第6讲 函数与方程 学案

第六讲 函数与方程一、课标解读：1.了解函数的零点与方程根的联系及判断函数的零点所在的大致区间；2.能利用二次函数的图象与判别式的符号，判断一元二次方程根的存在性及根的个数；3.根据具体的函数图象，能够用二分法求相应方程的近似解；4.体会函数与方程的内在联系，初步建立用函数方程思想解决问题的思维方式． 二、知识梳理： 方程的根与函数的零点 1.函数零点的概念：对于函数()()y f x x D =∈把使()0f x =成立的实数x 叫做函()()y f x x D =∈的零点. 2.函数零点的意义：函数)(x f y =的零点就是方程0)(=x f 实数根，亦即函数)(x f y =的图象与x 轴交点的横坐标. 即方程0)(=x f 有实数根⇔函数)(x f y =的图象与x 轴有交点⇔函数)(x f y =有零点． 3.二次函数的零点：二次函数)0(2≠++=a c bx ax y ．0∆>时，方程02=++c bx ax 有两不等实根，二次函数的图象与x 轴有两个交点，二次函数有两个零点． 0∆=，方程02=++c bx ax 有两相等实根，二次函数的图象与x 轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点．0∆<，方程02=++c bx ax 无实根，二次函数的图象与x 轴无交点，二次函数无零点．三、方法归纳： 1、函数零点的求法：（1）（代数法）求方程0)(=x f 的实数根；（2）（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数)(x f y =的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．2、对于一元二次方程根的分布问题，可以利用一元二次方程和二次函数的关系，借助图象来处理. 四、课堂例题精讲：1.若函数()2f x x ax b =--的两个零点是2和3，则函数()21g x bx ax =--的零点是________．答案：12-和13-解析：由题意，得22220330a b a b ⎧--=⎪⎨--=⎪⎩，解得56a b =⎧⎨=-⎩.∴()2651g x x x =---，令()0g x =，很容易得到其零点为12-和13-.2.求函数132)(3+-=x x x f 零点的个数为 .答案：3解析：因332()2312212(1)(1)f x x x x x x x x x =-+=--+=---2(1)(221)x x x =-+-，又22210x x +-=显然有两个实数根，故132)(3+-=x x x f 共三个零点.3.已知()()11y x x x =-+的图象如图所示，今考虑()()()110.01f x x x x =-++，则方程()0f x = ①有三个实根；②当1x <-时，恰有一实根（有一实根且仅有一实根）； ③当10x -<<时，恰有一实根； ④当01x <<时，恰有一实根； ⑤当1x >时，恰有一实根． 则正确结论的编号为 . 答案：①②解析：∵()()()22310.01 5.990f -=⨯-⨯-+=<，()10.010f -=>，即()()210f f --<，∴在()2,1--内有一个实根．由图中知，方程()0f x =在(),1-∞-上只有一个实根，所以②正确；又∵()00.010f =>，由图知()0f x =在()1,0-上没有实数根，所以③不正确； 又∵()()0.50.50.5 1.50.010.3650f =⨯-⨯+=-<，()10.010f =>，即()()0.510f f <， 所以()0f x =在()0.5,1上必有一个实根，又()()0.500f f <，∴()0f x =在()0,0.5上也有一个实根． ∴()0f x =在()0,1上有两个实根，④不正确；由()10f >且()f x 在()1,+∞上是增函数，∴()0f x =在()1,+∞上没有实根．∴⑤不正确． 并且由此可知①也正确．4.若函数()x f x a x a =--（0a >且1a ≠）有两个零点，则实数a 的取值范围是 .答案：1>a解析：设函数(0,xy a a =>且1a ≠）和函数y x a =+，则由函数()x f x a x a =--（0a >且1a ≠）有两个零点，知 函数(0,xy a a =>且1a ≠）与函数y x a =+有两个交点， 由图象可知当10<<a 时两函数只有一个交点，不符合， 当1>a 时，函数(1)xy a a =>的图象过点()0,1，而直线y x a =+所过的点一定在点()0,1的上方，所以一定有两个交点. 所以实数a 的取值范围是1>a .5.当关于x 的方程的根满足下列条件时，求实数a 的取值范围： （1）方程2340ax x a ++=的两根都小于1； （2）方程022=++ax x 至少有一个实根小于1-．解析：（1）当0a =时，0x =满足题意．当0a ≠时，设2()34f x ax x a =++.若要方程两根都小于1，只要 2339160443310223(1)005a a a a a af a a ⎧-≤≤⎪⎧∆=-≥⎪⎪⎪⎪-<⇒><-⎨⎨⎪⎪>⎪⎪⎩><-⎪⎩或或304a ⇒<≤ 综上，方程的根都小于1时，304a ≤≤（2）设2()2f x x ax =++，若方程的两个实根都小于1-，则有2801223(1)0a a a aa a f ⎧-≥⎧≤-≥⎪⎪⎪-<-⇒>⎨⎨⎪⎪<⎩->⎪⎩3a ⇒≤< 若方程的两个根一个大于1-，另一个小于1-，则有(1)30f a -=-<，∴3a >． 若方程的两个根中有一个等于1-，由根与系数关系知另一根必为2-， ∴12a -=--，∴3a =．综上，方程至少有一实根小于1-时，a ≥6.已知二次函数2()f x ax bx c =++和一次函数()g x ax b =+，其中a b c >>，且(1)0f =，（1）求证：两函数()f x 、()g x 的图象交于不同两点A 、B ； （2）求线段AB 在x 轴上投影11A B 长度的取值范围．解析：（1）∵(1)0f a b c =++=，a b c >>，∴0a >，0c <．由2y ax bx c y ax b⎧⎨⎩＝＋＋＝＋ 得2()0ax b a x c b +-+-=， 因为2()40b a ac ∆=+->，所以两函数()f x 、()g x 的图象必交于不同的两点；（2）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则211||A B = 2212()(2)4c x x a-=--．∵0a b c ++=，a b c >>，∴122c a -<<-， ∴11||A B ∈（23，32）． 7.关于x 的二次方程()2110x m x +-+=在区间[]0,2上有解，求实数m 的取值范围．解析：设()()211f x x m x =+-+，[]0,2x ∈，①若()0f x =在区间[]0,2上有一解，∵()010f =>，则应有()20f ≤，又∵()()222121f m =+-⨯+，∴解得32m ≤-.②若()0f x =在区间[]0,2上有两解，则()0102220m f ∆≥⎧⎪-⎪≤-≤⎨⎪⎪≥⎩，即()()21403141210m m m ⎧--≥⎪⎪-≤≤⎨⎪+-⨯+≥⎪⎩，解得312m -≤≤- 由①②可知1m ≤-.五、课堂训练：1.已知函数()2x f x e x a =-+有零点，则a 的取值范围是___________． 答案：(],2ln 22-∞-解析：设()x g x e =，()2h x x a =-，当两条曲线相切时，函数有零点，再通过图像即可得到答案. 2.设全集为R ，集合{|sin(2),}642A y y x x πππ==-≤≤，集合{|R B a =∈关于x 的方程012=++ax x 的根一个在()0,1上，另一个在()1,2上}. 求（ R A ）∩（ R B ）.解析：由2422x x ππππ≤≤≤≤得，512,sin(2)136626x x ππππ≤-≤∴≤-≤， 即1{|1}2A y y =≤≤，∴ R A 1{|1}2y y y =<>或又关于x 的方程 012=++ax x 的根一个在()0,1上，另一个在()1,2上， 设函数1)(2++=ax x x f ，则满足(0)0,20(1)0,520(2)0,f a f a f >⎧+<⎧⎪<⎨⎨+>⎩⎪>⎩即，∴522a -<<-．∴ 5{|2}2R B a a a =≤-≥-或∴（ R A ）∩（ R B ）15{|21}22x x x x =-≤<>≤-或或．3.设1x 与2x 分别是实系数方程20ax bx c ++=和20ax bx c -++=的一个根，且1212,0,0x x x x ≠≠≠ ，求证：方程202a x bx c ++=有且仅有一根介于1x 和2x 之间. 解析：令2(),2a f x x bx c =++由题意可知2211220,0ax bx c ax bx c ++=-++= 故221122,,bx c ax bx c ax +=-+=则2222111111(),222a a a f x x bx c x ax x =++=-=-22222222223(),222a a a f x x bx c x ax x =++=+=因为120,0,0a x x ≠≠≠∴12()()0f x f x <， 即方程202a x bx c ++=有且仅有一根介于1x 和2x 之间. 4.已知函数()421x x f x m =+⋅+有且仅有一个零点，求m 的取值范围，并求出该零点． 解析：∵()421x x f x m =+⋅+有且仅有一个零点，即方程()22210x x m +⋅+=仅有一个实根．设()20x t t =>，则210t mt ++=. 当Δ＝0时，即m 2－4＝0，∴2m =±，当m ＝－2时，t ＝1；m ＝2时，t ＝－1（不合题意，舍去）， ∴2x＝1，解得x ＝0符合题意．当Δ>0时，即m >2或m <－2时，t 2＋mt ＋1＝0有两正或两负根，即f （x ）有两个零点或没有零点． ∴这种情况不符题意．综上可知：m ＝－2时，f （x ）有唯一零点，该零点为x ＝0. 六、课后检测：1.如果二次函数)3(2+++=m mx x y 有两个不同的零点，则m 的取值范围是 .2.若函数f （x ）＝x 2＋ax ＋b 的两个零点是－2和3，则不等式af （－2x ）>0的解集是__________． 3.若函数2()4f x x x a =--的零点个数为3，则a =______. 4.当关于x 的方程的根满足下列条件时，求实数a 的取值范围： （1）方程2270x ax a -+-=的两个根一个大于2，另一个小于2； （2）方程22(4)2530x a x a a -+-++=的两根都在区间[1,3]-上；（3）方程227(13)20x a x a a -++--=的一个根在区间(0,1)上，另一根在区间(1,2)上；5.已知a 是实数，函数f （x ）＝2ax 2＋2x －3－a .如果函数y ＝f （x ）在区间[－1，1]上有零点，求a 的取值范围． 参考答案： 1.6m >或2m <-2. ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－32<x <1解析：∵f （x ）＝x 2＋ax ＋b 的两个零点是－2，3.∴－2，3是方程x 2＋ax ＋b ＝0的两根，由根与系数的关系知⎩⎪⎨⎪⎧－2＋3＝－a－2×3＝b，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1b ＝－6，∴f （x ）＝x 2－x －6.∵不等式af （－2x ）>0，即－（4x 2＋2x －6）>0⇔2x 2＋x －3<0，故解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－32<x <13. 答案：3解析：作出函数24y x x =-与函数4y =的图象，发现它们恰有3个交点. 4. 解析：（1）设22()70f x x ax a =-+-=，其图象为开口向上的抛物线．若要其与x 轴的两个交点在点(2,0)的两侧，只需(2)0f <， 即24270a a -+-<，∴ 13a -<<．（2）设22()(4)253f x x a x a a =-+-++则方程两个根都在[1,3]- 上等价于：222(1)0340(3)004136224(32)0()02f a a f a a a a a a f -≥⎧⎪⎧--≤≥⎪⎪-≤⎪⎪+⇒⎨⎨-≤≤-≤≤⎪⎪⎪⎪+-≥⎩≤⎪⎩∴01a ≤≤．（3）设22()7(13)2f x x a x a a =-++--，则方程一个根在(0,1)上，另一根在(1,2)上等价22220(0)0(1)0280(2)030a a f f a a f a a ⎧-->>⎧⎪⎪<⇒--<⎨⎨⎪⎪>->⎩⎩122403a a a a a <->⎧⎪⇒-<<⎨⎪<>⎩或或 21a -<<- 或34a <<．5.解析：当0a =时，()23f x x =- ，显然在[]1,1-上没有零点， 所以 0a ≠.令()248382440a a a a ∆=++=++=， 解得 37a -±=① 当 37a --=时， ()y f x =恰有一个零点在[]1,1-上； ② 当()()()()05111<--=⋅-a a f f ，即15a <<时，()y f x =在[]1,1-上也恰有一个零点. ③ 当()y f x =在[]1,1-上有两个零点时，则()()208244011121010a a a a f f >⎧⎪∆=++>⎪⎪-<-<⎨⎪≥⎪⎪-≥⎩ 或()()208244011121010a a a a f f <⎧⎪∆=++>⎪⎪-<-<⎨⎪≤⎪⎪-≤⎩解得5a ≥或352a --<.综上所求实数a 的取值范围是1a >或35a --≤。

高一数学教案范文：函数与方程教案教学目标：1. 了解函数的定义和性质；2. 掌握函数的表示方法；3. 能够根据函数的性质解决实际问题；4. 了解方程的定义和基本性质；5. 能够解一元一次方程；6.能够用方程解决实际问题。

教学重点：1. 函数的定义和性质；2. 函数的表示方法；3. 方程的定义和基本性质；4. 一元一次方程的解法。

教学难点：1. 函数的性质的理解和应用；2. 方程的解法的灵活运用。

教学准备：教师准备讲义、教具以及相关习题。

教学过程：第一课时：1. 导入：教师引导学生回顾函数的概念和性质，并提醒学生函数在数学中的重要作用。

2. 观察与思考：给出一个实际问题，让学生思考如何用函数的方法来解决。

3. 学习：教师向学生讲解函数的定义和性质，并介绍函数的表示方法。

4. 实践：教师带领学生通过例题的讲解和解题实践，巩固对函数的理解和应用。

5. 小结：教师对本节课的内容进行小结，并提醒学生复习函数的知识点。

第二课时：1. 导入：教师引导学生回顾方程的概念和性质，并提醒学生方程在数学中的应用。

2. 观察与思考：给出一个实际问题，让学生思考如何用方程的方法来解决。

3. 学习：教师向学生讲解方程的定义和基本性质，并介绍一元一次方程的解法。

4. 实践：教师带领学生通过例题的讲解和解题实践，巩固对方程的理解和应用。

5. 小结：教师对本节课的内容进行小结，并提醒学生复习方程的知识点。

第三课时：1. 导入：教师引导学生回顾函数和方程的概念，并提醒学生函数和方程在数学中的联系。

2. 学习：教师讲解如何用函数和方程解决实际问题，并通过例题讲解和解题实践来加深学生的理解。

3. 实践：教师布置一些综合性的习题，让学生通过解题来巩固所学内容。

4. 总结：教师对本节课的内容进行总结，并提醒学生复习整个教学内容。

教学反思：本节课的教学过程比较严谨，通过导入、观察与思考、学习、实践、小结等环节的设计，使学生能够逐步理解函数和方程的概念，并能够灵活运用所学知识解决实际问题。

初三数学教案函数与方程初三数学教案：函数与方程一、教学目标：1. 理解函数的概念，并能够准确地表示函数的定义；2. 掌握常见函数的图像特征和性质，能够进行函数的图像变换和平移；3. 熟练运用解一元一次方程的方法，解决实际问题；4. 进一步理解方程的解的概念，能够用解方程的方法解决实际问题。

二、教学重点：1. 函数的概念及其表示方法；2. 常见函数的图像特征与性质；3. 解一元一次方程的方法；4. 解方程的应用。

三、教学内容：1. 函数的概念与表示方法函数是自变量和因变量之间的一种数学关系，用来描述输入和输出之间的对应关系。

函数的表示方法有函数表、函数图像和函数公式等。

2. 函数的图像特征与性质常见的函数图像包括线性函数、二次函数、指数函数、对数函数和三角函数等。

对于线性函数来说，其图像是一条直线，斜率代表了函数的变化速率。

二次函数的图像是一条开口向上或向下的抛物线，顶点是函数的最值点。

3. 函数的图像变换和平移函数的图像变换可以通过改变函数的系数、常数项，以及加减、乘除等运算来实现。

常见的图像变换包括垂直平移、水平平移、垂直伸缩和水平压缩等。

4. 解一元一次方程的方法解一元一次方程可以通过移项、合并同类项、消元等方法来实现。

对于一元一次方程来说，解的过程即为寻找使得方程成立的未知数的值。

5. 解方程的应用方程在实际生活中有着广泛的应用，比如用方程解决分数相加的问题、求某物体的速度等。

通过解方程，我们可以把实际问题转化为数学问题，并得到准确的解答。

四、教学过程：1. 引入通过提出一个实际问题，如“小明每天花费的时间和获得的成绩之间是否存在某种关系？”来引入函数的概念，并让学生思考函数的定义和表示方法。

2. 函数的图像特征与性质分别介绍线性函数、二次函数、指数函数、对数函数和三角函数的图像特征和性质，并通过图像展示和实例进行说明。

3. 函数的图像变换和平移以线性函数为例，介绍函数图像的垂直平移、水平平移、垂直伸缩和水平压缩的图像变换，并通过实例和图像进行演示。

函数与方程教案教案：函数与方程一、教学目标：1. 知识与能力：（1）理解函数和方程的概念；（2）掌握函数和方程的基本性质；（3）能够根据实际问题建立函数和方程模型。

2. 过程与方法：（1）讲授与实例演示相结合的教学方法；（2）引导学生独立思考和探究，培养解决实际问题的能力。

3. 情感态度价值观：培养学生对数学知识的兴趣和热爱，提高解决实际问题的能力。

二、教学内容：1. 函数的概念：（1）函数的定义；（2）函数的图象和性质；（3）函数的自变量和因变量。

2. 函数相关的概念：（1）定义域和值域；（2）函数的增减性和奇偶性；（3）函数的图象与方程。

3. 方程的概念：（1）方程的定义；（2）方程的解；（3）实际问题转化为方程。

4. 方程的解法：（1）等式的加减消元法；（2）等式的乘除消元法；（3）方程的解集。

三、教学过程：1. 导入新知识：通过实例引出函数和方程的概念，并让学生思考函数和方程的联系与区别。

2. 讲解函数的定义：（1）讲解函数的定义和符号表示；（2）通过实例演示函数的图象和性质。

3. 探究函数的相关概念：（1）讲解函数的定义域和值域的概念，并通过实例计算；（2）引导学生思考函数的增减性和奇偶性。

4. 引入方程的概念：（1）讲解方程的定义和解的概念；（2）通过实例演示方程的解法。

5. 培养实际问题转化为方程的能力：通过实际问题实例，让学生学会将问题转化为方程，并通过解方程得到答案。

6. 强化训练：设计一定数量的练习题，让学生巩固所学内容，并检查学生的掌握程度。

7. 总结归纳：对本节课所学的内容进行总结和归纳，帮助学生理清思路，掌握学习要点。

四、教学评价：1. 观察学生对函数和方程的理解程度；2. 检查学生在实际问题中能否正确转化为方程；3. 分析学生的解题思路和解题能力；4. 对学生的作业进行批改和评价。

五、教学资源：1. 教材和课件；2. 实物、图片等辅助教具；3. 习题集和参考答案。

高中函数与方程教案教案标题：高中函数与方程教案教案目标：1. 理解函数的概念及其在实际问题中的应用。

2. 掌握函数的性质，包括定义域、值域、奇偶性等。

3. 熟练运用函数的基本变换和组合。

4. 理解方程与函数的关系，能够解一元一次方程和一元二次方程。

5. 能够应用函数和方程解决实际问题。

教案步骤：步骤一：引入函数的概念（15分钟）1. 引导学生回顾数学中的常见关系，如输入和输出的对应关系。

2. 介绍函数的定义，即每个输入只对应唯一的输出。

3. 通过实际例子解释函数的概念，如温度与时间的关系等。

步骤二：函数的性质和基本变换（25分钟）1. 解释函数的定义域和值域的概念，并通过图像和表格展示不同函数的定义域和值域。

2. 讲解函数的奇偶性，引导学生通过函数图像和代数表达式判断函数的奇偶性。

3. 介绍函数的平移、伸缩和翻转等基本变换，通过图像展示不同变换对函数的影响。

步骤三：函数的组合（20分钟）1. 引导学生理解函数的组合概念，即一个函数的输出作为另一个函数的输入。

2. 通过实际例子和图像展示函数的组合过程，解释复合函数的定义和求值方法。

3. 给予学生练习，让他们熟练掌握函数的组合运算。

步骤四：方程与函数的关系（15分钟）1. 引导学生回顾方程的定义和解方程的基本方法。

2. 解释方程与函数的关系，即方程的解对应函数的零点。

3. 通过实例演示如何通过解方程来求函数的零点。

步骤五：解一元一次方程和一元二次方程（25分钟）1. 复习一元一次方程和一元二次方程的基本形式和解法。

2. 通过实例演示如何将实际问题转化为方程，并解决问题。

3. 给予学生练习，让他们熟练掌握解一元一次方程和一元二次方程的方法。

步骤六：应用函数和方程解决实际问题（20分钟）1. 提供一些实际问题，要求学生运用所学的函数和方程的知识进行分析和解决。

2. 引导学生思考如何建立数学模型，并运用函数和方程解决实际问题。

3. 对学生的解答进行讨论和评价，帮助他们提升问题解决能力。

19.2.3一次函数与方程、不等式（学案）一、新课引入情景引入：x+y=2应该坐在哪里呢？举例说明：一次函数y=-x+2 与二元一次方程x+y=2之间的转化播放动画：一次函数点坐标与二元一次方程的解的关系从动画中可看见，一次函数图象上点的坐标与二元一次方程的解是一一对应的。

思考：一元一次方程、不等式与一次函数之间有着怎样的联系呢？二、知识探究(一)一次函数与一元一次方程的关系1.思考：下面三个方程有什么共同点和不同点？2x+1=3 ；2x+1=0 ；2x+1=-1共同点：；不同点：2.求出方程的解2x+1=3 2x+1=0 2x+1=-13.小组讨论：你能从函数的角度对解这三个方程进行解释吗？(提示：分别从“数”和“形”的角度进行分析)从“数”的角度：解2x+1=3，可以看成求函数y=2x+1的值为时，x为何值；解2x+1=0，可以看成求函数y=2x+1的值为时，x为何值；解2x+1=-1，可以看成求函数y=2x+1的值为时，x为何值；解ax+b=k，可以看成求函数y=ax+b的值为时，x为何值；从“形”的角度：解2x+1=3，可以看成求函数y=2x+1图象上的点纵坐标为时，所对应的横坐标为何值解2x+1=0，可以看成求函数y=2x+1图象上的点纵坐标为时，所对应的横坐标为何值解2x+1=-1，可以看成求函数y=2x+1图象上的点纵坐标为时，所对应的横坐标为何值解ax+b=k，可以看成求函数y=ax+b图象上的点纵坐标为时，所对应的横坐标为何值4.通过动图验证，发现:一次函数上各点的坐标与各方程的解一一对应。

5.小试牛刀练习1.已知一次函数为y=3x+2 ，求函数图象与x 轴交点坐标分析：要求交点坐标，则要观察图象，确定函数值y ，然后再解方程。

练习2.已知，如图为一次函数为y=kx+b (k ≠0)的图象，求关于x的方程的解（1）kx+b=3 _____（2）kx+b=0 _____分析：要解方程，则要通过观察图象，确定当y 值分别为3、0 时，对应点的横坐标是多少。

函数与方程【本讲教育信息】一. 教学内容：函数与方程二. 教学目的1、掌握判断一元二次方程根的存在及个数的方法，了解函数的零点与方程根的联系。

2、能根据具体函数的图象，借助计算器用二分法求相应的近似解。

3、体验函数零点概念的形成过程，提高数学知识的综合应用能力。

4、感受事物间相互转化的辨证思想和数形结合的数学思想。

三. 教学重点、难点1. 函数的零点的概念；2. 从函数的图象看零点的性质；3. 二分法的产生过程和二分法的定义；4. 二分法求零点近似值的步骤。

四. 知识分析1. 关于函数的零点（1）函数的零点的概念①如果函数在实数a处的值等于零，即，则a叫做这个函数的零点。

②函数的零点的几何意义是：函数的图象与x轴的公共点。

也就是函数的图象与x轴的交点的横坐标。

③方程有实数根函数有零点函数的图象与x轴有交点。

④若方程有二重实根，则称函数有二阶零点。

（2）如何判断函数在区间[a，b]上是否有零点？判断函数在区间[a，b]上是否有零点，最关键是要把握两点：①函数的图象在区间[a，b]上是否是连续不断的一条曲线。

（函数的连续性，形象地说就是图象在指定区间无间断点）②在区间的两个端点处，函数值之积小于0，即，那么函数在区间(a，b)内有零点，即存在，使，这个c就是方程的根。

（3）二次函数的零点一元二次方程的根也称为二次函数的零点。

利用函数的知识可以得到方程的根与函数的图象之间的关系如下表所示：二次函数与一元二次方程的这种关系，给我们提供了另外一种解方程的方法：利用函数的图象解方程或研究方程解的情况。

（4）二次函数的零点的性质①函数的零点可以重合（二阶零点），可以不重合，也可以没有零点；②当函数的图象通过零点时（不是二重零点），函数值变号。

例如，函数的图象在零点2的左边时，函数值取负号；在零点2的右边时，函数值取正号。

③相邻两个零点之间的所有函数值保持同号。

对任意函数，只要它的图象是不间断的，上述性质同样成立。

第6讲 对数与对数函数 考纲展示 命题探究1 对数的概念如果a x ＝N (a >0，且a ≠1)，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作x ＝log a N ，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数．2 对数的性质与运算法则 (1)对数的性质几个恒等式(M ，N ，a ，b 都是正数，且a ，b ≠1)①a log a N ＝N ；②log a a N＝N ；③log b N ＝log a N log ab ；④log am b n＝n m log a b ；⑤log a b ＝1log ba ，推广log ab ·log bc ·log cd ＝log a d .(2)对数的运算法则(a >0，且a ≠1，M >0，N >0)①log a (M ·N )＝log a M ＋log a N ；②log a MN ＝log a M －log a N ；③log a M n＝n log a M (n ∈R )；④log anM ＝1n log a M .3 对数函数的图象及性质a >10<a <1图 象续表a >10<a <1性 质定义域：(0，＋∞)值域：R过点(1,0)，即x ＝1时，y ＝0当x >1时，y >0 当0<x <1时，y <0 当x >1时，y <0 当0<x <1时，y >0 在(0，＋∞)上是增函数在(0，＋∞)上是减函数注意点 对数的运算性质及公式成立的条件对数的运算性质以及有关公式都是在式子中所有的对数符号有意义的前提下才成立的，不能出现log 212＝log 2[(－3)×(－4)]＝log 2(－3)＋log 2(－4)等错误.1．思维辨析(1)若log 2(log 3x )＝log 3(log 2y )＝0，则x ＋y ＝5.( ) (2)2log 510＋log 5(3)已知函数f (x )＝lg x ，若f (ab )＝1，则f (a 2)＋f (b 2)＝2.( ) (4)当x >1时，log a x >0.( ) (5)函数y ＝ln 1＋x1－x与y ＝ln (1＋x )－ln (1－x )的定义域相同．( )(6)若log a m <log a n ，则m <n .( )答案 (1)√ (2)× (3)√ (4)× (5)√ (6)× 2．函数y ＝ln (x ＋1)－x 2－3x ＋4 的定义域为( ) A ．(－4，－1) B ．(－4,1) C ．(－1,1) D ．(－1,1]答案 C解析 要使函数有意义，须使⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0，－x 2－3x ＋4>0，解得－1<x <1，所以函数的定义域为(－1,1)．3．(1)若2a ＝5b ＝10，则1a ＋1b ＝________. (2)已知a 23 ＝49(a >0)，则log 23 a ＝________.答案 (1)1 (2)3解析 (1)∵2a＝5b＝10，∴a ＝log 210，b ＝log 510，∴1a ＝lg 2，1b ＝lg 5，∴1a ＋1b ＝lg 2＋lg 5＝1.(2)因为a 23 ＝49(a >0)，所以a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫49 32 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫233，故log 23 a ＝log 23⎝ ⎛⎭⎪⎫233＝3.[考法综述] 考查对数运算，换底公式及对数函数的图象和性质，对数函数与幂指数函数相结合．综合考查利用单调性比较大小、解不等式等是高考热点．主要以选择题、填空题形式出现．典例 (1)函数f (x )＝2ln x 的图象与函数g (x )＝x 2－4x ＋5的图象的交点个数为( )A ．3B ．2C ．1D ．0(2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1681 －34＋log 354＋log 345＝________. (3)已知a >0，b >0，ab ＝8，则当a 的值为________时，log 2a ·log 2(2b )取得最大值．[解析] (1)在同一直角坐标系下画出函数f (x )＝2ln x 与函数g (x )＝x 2－4x ＋5＝(x －2)2＋1的图象，如图所示．∵f (2)＝2ln 2>g (2)＝1，∴f (x )与g (x )的图象的交点个数为2.(2)原式＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫234－34 ＋log 3⎝ ⎛⎭⎪⎫54×45＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23－3＋log 31＝278.(3)当log 2a 与log 2(2b )有一个为负数时，log 2a ·log 2(2b )<0显然不是最大值．当log 2a 与log 2(2b )都大于零时，log 2a ·log 2(2b )≤⎣⎢⎡⎦⎥⎤log 2a ＋log 2(2b )22＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤log 2(2ab )22＝4，当且仅当a ＝2b ，即a ＝4，b ＝2时“＝”成立．[答案] (1)B (2)278 (3)4【解题法】 对数运算及对数函数问题解题策略(1)将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算性质，转化为同底对数真数的积、商、幂的运算．(2)对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数，在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时，常利用数形结合思想求解．(3)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．1．设f (x )＝ln x,0<a <b ，若p ＝f (ab )，q ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2，r ＝12(f (a )＋f (b ))，则下列关系式中正确的是( )A ．q ＝r <pB ．p ＝r <qC ．q ＝r >pD ．p ＝r >q答案 B解析 ∵0<a <b ，∴a ＋b2>ab ，又f (x )＝ln x 在(0，＋∞)上单调递增，故f (ab )<f ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 2，即q >p ，∵r ＝12(f (a )＋f (b ))＝12(ln a ＋ln b )＝ln ab ＝f ()ab ＝p ，∴p ＝r <q .故选B.2.函数f (x )＝log 12 (x 2－4)的单调递增区间为( )A ．(0，＋∞)B ．(－∞，0)C ．(2，＋∞)D ．(－∞，－2) 答案 D解析 由x 2－4>0得x >2或x <－2，因此函数定义域为(－∞，－2)∪(2，＋∞)．令t ＝x 2－4，当x ∈(－∞，－2)时，t 随x 的增大而减小，y ＝log 12 t 随t 的增大而减小，所以y ＝log 12 (x 2－4)随x 的增大而增大，即f (x )在(－∞，－2)上单调递增．故选D.3．设a ＝log 37，b ＝2，c ，则( )A ．b <a <cB ．c <a <bC ．c <b <aD ．a <c <b答案 B解析 由3<7<9得log 33<log 37<log 39，∴1<a <2，由2>21＝2得b 0＝1得c <1，因此c <a <b ，故选B.4．已知关于x 的方程⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＝1＋lg a1－lg a有正根，则实数a 的取值范围是( )A ．(0,1)D ．(10，＋∞)答案 C解析 当x >0时，0<⎝ ⎛⎭⎪⎫12x <1，∵关于x 的方程⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＝1＋lg a1－lg a有正根，∴0<1＋lg a1－lg a <1，∴⎩⎪⎨⎪⎧1＋lg a1－lg a<1，1＋lg a1－lg a >0，解得－1<lg a <0，∴a <1.故选C.5．函数y ＝2log 4(1－x )的图象大致是( )答案 C解析 函数y ＝2log 4(1－x )的定义域为(－∞，1)，排除A 、B ；又函数y ＝2log 4(1－x )在定义域内单调递减，排除D.选C.6．若a ＝log 43，则2a ＋2－a ＝________. 答案433解析 ∵a ＝log 43＝log 23，∴2a ＋2－a＝2log 23 ＋2－log 23 ＝3＋13＝433.函数y ＝log 12(x 2－2x )的单调递减区间是________．[错解][错因分析] 易出现两种错误：一是不考虑定义域，二是应用复合函数的单调性法则时出错．[正解] 由x 2－2x >0，得函数y ＝log 12(x 2－2x )的定义域为(－∞，0)∪(2，＋∞)．令u ＝x 2－2x ，则u 在(－∞，0)上是减函数，在(2，＋∞)上是增函数，又y ＝log 12u 在(0，＋∞)上是减函数，所以函数y ＝log 12(x 2－2x )在(－∞，0)上是增函数，在(2，＋∞)上是减函数．故函数y ＝log 12(x 2－2x )的单调递减区间是(2，＋∞)．故填(2，＋∞)．[心得体会]………………………………………………………………………………………………时间：60分钟基础组1.[2016·衡水中学模拟]已知log 7[log 3(log 2x )]＝0，那么x － 12等于( )A.13B.36C.33D.24答案 D解析 由log 7[log 3(log 2x )]＝0，得log 3(log 2x )＝1，即log 2x ＝3，解得x ＝8，所以x － 12 ＝8－ 12 ＝18＝122＝24.故选D.2．[2016·武邑中学仿真]lg 51000－8 23 ＝( ) A.235 B ．－175 C ．－185 D ．4答案 B解析 lg 51000－8 23 ＝lg 5103－8 23 ＝lg 1035 －(23) 23 ＝35－4＝－175.3．[2016·冀州中学猜题]已知x ＝log 23，y ＝log 4π，z ，则( ) A ．x <y <z B ．z <y <x C ．y <z <x D ．y <x <z答案 A解析 y ＝log 4π＝log 2πlog 24＝log 2π>log 23，即y >x ，z >1，所以x <y <z .故选A.4．[2016·枣强中学期中]已知函数f (x )＝log 2x ，若在[1,8]上任取一个实数x 0，则不等式1≤f (x 0)≤2成立的概率是( )A.14B.13C.27D.12答案 C解析 1≤f (x 0)≤2⇒1≤log 2x 0≤2⇒2≤x 0≤4，∴所求概率为4－28－1＝27.5. [2016·衡水二中仿真]已知函数g (x )是偶函数，f (x )＝g (x －2)，且当x ≠2时其导函数f ′(x )满足(x －2)f ′(x )>0，若1<a <3，则( )A ．f (4a )<f (3)<f (log 3a )B ．f (3)<f (log 3a )<f (4a )C ．f (log 3a )<f (3)<f (4a )D ．f (log 3a )<f (4a )<f (3) 答案 B解析 ∵(x －2)f ′(x )>0，∴x >2时，f ′(x )>0；x <2时，f ′(x )<0.∴f (x )在(2，＋∞)上递增，在(－∞，2)上递减．∵g (x )是偶函数，∴g (x －2)关于x ＝2对称，即f (x )关于x ＝2对称，∵1<a <3，∴f (3)<f (log 3a )<f (4a )．故选B.6．[2016·枣强中学期末]已知函数f (x )＝|log 12 x |，若m <n ，有f (m )＝f (n )，则m ＋3n 的取值范围是( )A ．[23，＋∞)B ．(23，＋∞)C ．[4，＋∞)D ．(4，＋∞)答案 D解析 ∵f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪log 12 x ，若m <n ，有f (m )＝f (n )，∴log 12 m ＝－log 12n .∴mn ＝1.∴0<m <1，n >1.∴m ＋3n ＝m ＋3m 在m ∈(0,1)上单调递减．当m ＝1时，m ＋3n ＝4，∴m ＋3n >4.7．[2016·衡水二中模拟]已知函数f (x )＝log(x 2－ax ＋3a )在[2，＋∞)上单调递减，则a 的取值范围是( )A ．(－∞，4]B ．[4，＋∞)C ．[－4,4]D ．(－4,4]答案 D解析 令t ＝g (x )＝x 2－ax ＋3a ，∵f (x )＝log t 在定义域上为减函数，要使f (x )＝log(x 2－ax ＋3a )在[2，＋∞)上单调递减，则t ＝g (x )＝x 2－ax ＋3a 在[2，＋∞)上单调递增，且t ＝g (x )＝x 2－ax ＋3a >0，即⎩⎨⎧－－a 2≤2，g (2)>0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ≤4，a >－4，即－4<a ≤4，选D. 8．[2016·武邑中学预测]函数y ＝lg 1|x ＋1|的大致图象为( )答案 D解析 y ＝lg 1|x |是偶函数，关于y 轴对称，且在(0，＋∞)上单调递减，而y ＝lg1|x ＋1|的图象是由y ＝lg 1|x |的图象向左平移一个单位长度得到的．故选D.9．[2016·冀州中学仿真]函数y ＝ax 2＋bx 与y ＝log x (ab ≠0，|a |≠|b |)在同一直角坐标系中的图象可能是( )答案 D解析 从对数的底数入手进行讨论，结合各个选项的图象从抛物线对称轴的取值范围进行判断，D 选项0<⎪⎪⎪⎪⎪⎪b a <1,0<⎪⎪⎪⎪⎪⎪b 2a <12，0<－b 2a <12或－12<－b2a <0，故选D.10. [2016·武邑中学猜题]若直角坐标平面内的两个不同点M ，N 满足条件：①M ，N 都在函数y ＝f (x )的图象上； ②M ，N 关于原点对称．则称点对[M ，N ]为函数y ＝f (x )的一对“友好点对”．(注：点对[M ，N ]与[N ，M ]为同一“友好点对”)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3x (x >0)，－x 2－4x (x ≤0)，此函数的“友好点对”有( )A ．0对B ．1对C ．2对D ．3对答案 C解析 由题意，当x >0时，将f (x )＝log 3x 的图象关于原点对称后可知，g (x )＝－log 3(－x )(x <0)的图象与x ≤0时f (x )＝－x 2－4x 的图象存在两个交点，如图所示，故“友好点对”的个数为2，故选C.11．[2016·衡水二中期末]已知a >0且a ≠1，若函数f (x )＝alg (x2－2x＋3)有最大值，则不等式log a (x 2－5x ＋7)>0的解集为________． 答案 (2,3)解析 因为x 2－2x ＋3＝(x －1)2＋2≥2有最小值2，所以lg (x 2－2x ＋3)≥lg 2，所以要使函数f (x )有最大值，则函数f (x )必须单调递减，所以0<a <1.由log a (x 2－5x ＋7)>0得0<x 2－5x ＋7<1，即⎩⎪⎨⎪⎧0<x 2－5x ＋7，x 2－5x ＋7<1，解得2<x <3，即原不等式的解集为(2,3)． 12．[2016·冀州中学预测]已知函数f (x )＝log 12 (x 2－2ax ＋3)．(1)若函数f (x )的定义域为(－∞，1)∪(3，＋∞)，求实数a 的值； (2)若函数f (x )的定义域为R ，值域为(－∞，－1]，求实数a 的值； (3)若函数f (x )在(－∞，1]上为增函数，求实数a 的取值范围． 解 (1)由题意可知，x 2－2ax ＋3＝0的两根为x 1＝1， x 2＝3，∴x 1＋x 2＝2a ，∴a ＝2.(2)因为函数f (x )的值域为(－∞，－1]，则f (x )max ＝－1， 所以y ＝x 2－2ax ＋3的最小值为y min ＝2， 由y ＝x 2－2ax ＋3＝(x －a )2＋3－a 2，得3－a 2＝2， 所以a 2＝1，所以a ＝±1.(3)f (x )在(－∞，1]上为增函数，则y ＝x 2－2ax ＋3在(－∞，1]上为减函数，有y >0，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a ≥1，1－2a ＋3>0，即⎩⎪⎨⎪⎧a ≥1，a <2，故1≤a <2.所以实数a 的取值范围是[1,2)．能力组13.[2016·枣强中学模拟]设a ＝log 32，b ＝ln 2，c ＝5－ 12 ，则( )A ．a <b <cB ．b <c <aC ．c <a <bD ．c <b <a 答案 C解析 ∵12<log 32＝ln 2ln 3<ln 2，而c ＝5－ 12 ＝15<12，∴c <a <b . 14. [2016·衡水二中期中]已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|2x ＋1|，x <1log 2(x －m )，x >1，若f (x 1)＝f (x 2)＝f (x 3)(x 1，x 2，x 3互不相等)，且x 1＋x 2＋x 3的取值范围为(1,8)，则实数m 的值为________．答案 1解析 作出f (x )的图象，如图所示，可令x 1<x 2<x 3，则由图知点(x 1,0)，(x 2,0)关于直线x ＝－12对称，所以x 1＋x 2＝－1.又1<x 1＋x 2＋x 3<8，所以2<x 3<9.由f (x 1)＝f (x 2)＝f (x 3)(x 1，x 2，x 3互不相等)，结合图象可知点A 的坐标为(9,3)，代入函数解析式，得3＝log 2(9－m )，解得m ＝1.15．[2016·衡水中学热身]已知函数f (x )＝log a (8－ax )(a >0，a ≠1)，若f (x )>1在区间[1,2]上恒成立，则实数a 的取值范围为________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，83 解析 当a >1时，f (x )＝log a (8－ax )在[1,2]上是减函数， 由f (x )>1恒成立，则f (x )min ＝log a (8－2a )>1，解之得1<a <83，若0<a <1时，f (x )在x ∈[1,2]上是增函数， 由f (x )>1恒成立，则f (x )min ＝log a (8－a )>1， 且8－2a >0，所以a >4，且a <4，故不存在．综上可知，实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫1，83. 16．[2016·武邑中学月考]已知f (x )＝log a x (a >0且a ≠1)，如果对于任意的x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，2都有|f (x )|≤1成立，试求a 的取值范围． 解 ∵f (x )＝log a x ，则y ＝|f (x )|的图象如右图．由图知，要使x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，2时恒有|f (x )|≤1，只需|f (13)|≤1， 即－1≤log a 13≤1，即log a a －1≤log a 13≤log a a .当a >1时，得a －1≤13≤a ，即a ≥3； 当0<a <1时得a －1≥13≥a ，得0<a ≤13.综上所述，a 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤0，13∪[3，＋∞)．。

函数与方程教案函数与方程教案引言：数学是一门抽象而又实用的学科，而函数与方程则是数学中的两个重要概念。

函数与方程的学习对于培养学生的逻辑思维和问题解决能力非常重要。

在本篇文章中，我们将探讨如何设计一份高质量的函数与方程教案，以帮助学生更好地理解和应用这两个概念。

一、教学目标在设计教案之前，我们首先需要明确教学目标。

对于函数与方程的学习，我们可以设定以下几个目标：1. 理解函数与方程的基本概念和性质；2. 掌握函数与方程的表示方法和解题方法；3. 能够应用函数与方程解决实际问题；4. 培养学生的逻辑思维和问题解决能力。

二、教学内容接下来，我们需要确定教学内容。

函数与方程的内容非常广泛，可以从基础概念开始，逐步深入，包括但不限于以下几个方面：1. 函数的定义和性质：包括定义域、值域、图像、奇偶性等；2. 方程的基本概念：包括方程的定义、方程的解、方程的根等；3. 一次方程与一次函数：介绍一次方程与一次函数的关系，以及如何通过方程求解函数的根；4. 二次方程与二次函数：介绍二次方程与二次函数的关系，以及如何通过函数图像求解方程的根；5. 函数与方程的应用：介绍函数与方程在实际问题中的应用，如数学建模、物理问题等。

三、教学方法在教学过程中，我们可以采用多种教学方法，以激发学生的学习兴趣和提高他们的参与度。

以下是一些常用的教学方法：1. 探究式学习：通过引导学生观察、实验、总结，让他们主动发现函数与方程的规律和性质；2. 问题导向学习：通过提出具体问题，引导学生思考和解决问题，培养他们的问题解决能力；3. 合作学习：组织学生进行小组合作，通过互相讨论和合作解决问题，培养他们的团队合作精神；4. 案例分析：引入实际问题案例，让学生通过分析和解决案例，理解函数与方程的应用价值。

四、教学步骤在设计教案时，我们需要合理安排教学步骤，以确保教学的连贯性和有效性。

以下是一个可能的教学步骤：1. 引入：通过引入一个实际问题，激发学生的学习兴趣，并引导他们思考如何用函数与方程解决问题；2. 概念讲解：介绍函数与方程的基本概念和性质，让学生对它们有一个初步的了解；3. 示例演示：通过几个具体的例子，演示如何表示函数与方程，并解决相关问题；4. 练习巩固：组织学生进行一些练习，巩固他们对函数与方程的理解和掌握程度；5. 拓展应用：引入一些拓展应用题，让学生应用函数与方程解决更复杂的问题；6. 总结回顾：对本节课的内容进行总结回顾，并展望下节课的学习内容。

高中数学专题函数方程教案
一、教学目标
1. 了解函数方程的定义和基本概念；
2. 掌握函数方程的解法和计算方法；
3. 提高学生对函数方程的理解和运用能力。

二、教学重点和难点
重点：函数方程的定义和基本概念；
难点：解决函数方程的方法及计算过程。

三、教学准备
1. 教材：高中数学教材；
2. 工具：黑板、彩色粉笔、教学PPT等。

四、教学过程
1. 引入：通过几个实际问题引导学生认识函数方程的概念，引出本节课的主题；
2. 学习：结合具体例题，介绍函数方程的定义和基本性质，讲解解决函数方程的常见方法；
3. 练习：组织学生进行练习，巩固所学知识，培养学生的解题能力；
4. 拓展：引导学生应用函数方程解决更复杂的问题；
5. 总结：对本节课的内容进行总结，强调重点和难点，梳理知识结构，加深学生印象。

五、课后作业
1. 完成课后习题，巩固所学知识；
2. 总结本节课的重点内容，准备下节课的学习。

六、教学反思
教师根据学生学习情况和反馈，及时调整教学方法和内容，确保教学效果。