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空间解析几何图形演示分解

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空间解析几何(下篇)剖析

空间解析几何(下篇)剖析

空解精要（升华部分）序这个部分是空解的精华部分，与高代数分都有联系，关键在于你能否发现其中的玄机。

我相信，当你看完以下的知识点时，一切都会水落石出。

这部分的重点有：柱而，锥而，旋转曲面，二次曲而及其一般线性理论，还有参数方程。

*注意：这部分的知识点如果不涉及度量问题，那么在仿射坐标系下也成立。

一.最完美二次曲面一球而1.定义：在三维线性空间中，我们把到定点的距离等于定长的点的集合叫做球面，这个定点叫球心。

球心到球而的任何点的距离叫做半径。

2.球而的方程：以点（心）b，z°）为球心，R为半径的球面标准方程为（x-x0^ +（y-y0^ +（Z_Z0）2=R2这是一个二次曲面，它的一般形式为x2+ y2 +z2 +Ax + By + Cz + D = O命题1:用一个平面去截取球面，得到的截面是一个圆。

命题2：如果一个平面与球面相切，那么切点与球心的连线垂直于该平面。

3.切而的求法：根据数学分析里面的求偏导数来做，无需刻意记住二次曲而一般理论中的公式。

二.柱面的锥面（一）•柱面1.定义：由平行于某一定方向且与一条空间定曲线相交的一族平行直线所组成的曲而叫做柱面，定曲线叫做准线，平行直线中的每条都叫（直）母线，定方向是直母线的方向，也叫柱面方向。

2.柱而方程的构造从定义中可以看出，柱面的存在由准线和母线族决定，如果确定了准线的方程和母线的方向，那么就可以得出柱面的方程。

如果已知准线方程为F（x,y,z） = 0G（x,y,z） = °母线方向为（l,m, n）于是，假设一点A3」山）在柱面上，这里假设的R是准线与母线的交点，而母线的位置具有任意性，于是将准线和母线联立就可以取遍所有的母线，也就是柱面的方程兀一为_z—勺/ m n FCW“Zi）= O &（心”心）=0 从中消去心牙心，得到的就是柱面方程。

特别地，准线是圆，椭圆，双曲线，抛物线的柱而分别叫做圆柱而，椭圆柱而，双曲柱而，抛物柱而。

03空间解析几何

03空间解析几何

截口椭圆任意接近，即：
x
双曲面和锥面任意接近。
z
o
y
20. 单叶双曲面是直纹面
x2 y2 z2 1
a2 b2 c2
含两个直母线系
.
直纹面在建筑学上有意义
例如，储水塔、 电视塔等建筑都 有用这种结构的。
21. 双曲抛物面是直纹面
x2 y2 z
a2 b2
含两个直母线系
22. 一般锥面
方程 F(x,y,z)= 0是 n次齐次的： 若 F (tx, ty, tz) t n F ( x, y, z). t是任意数
y2 z2 b2
1
x
z
0
y
.
12. 单叶旋转双曲面
上题双曲线
x2 y2
a
2
b2
1
z 0
绕 y 轴一周
y
o
a
x
12. 单叶旋转双曲面
上题双曲线
x2 y2
a
2
b2
1
z 0
绕 y 轴一周
.
z
y
o
a
x
12. 单叶旋转双曲面
上题双曲线
x2 y2
a
2

b2
1
z 0
绕 y 轴一周
得单叶旋转双曲面 . .
Sz
z1 C
o
y1
y
.
S：f ( x 2 y 2 , z) 0.
x
11. 双叶旋转双曲面
双
曲
线
x a
y b
z
绕 x 轴一周
x
0
y
11. 双叶旋转双曲面
双
曲
线
x a

空间解析几何双曲抛物面PPT课件

空间解析几何双曲抛物面PPT课件

双曲抛物面 （马鞍面）
x2 a2
y2 b2
2z
z
平行截割法
用z = a截曲面
x
用y = 0截曲面
0
用x = b截曲面
y
.
第13页/共19页
椭圆抛物面与双曲抛物面统称为抛物面，它们 都没有对称中心，所以又叫做无心二次曲面。
第14页/共19页
第15页/共19 8 与旋转抛物面 x2 y2 2z 的交线。
2. 双曲抛物面
定义 2 在直角坐标系下，由方程
x2 a2
y2 b2
2z
（2）
所表示的曲面叫做双曲抛物面，方程（2）叫
做双曲抛物面的标准方程，其中 a, b 为任意的正
常数.
对称性
显然曲面（2）关于 xOz面，yOz面与 z 轴
对称，但是它没有对称中心.
第1页/共19页
x2 y2 a2 b2 2z
面
看下面的演示
第10页/共19页
双曲抛物面 （马鞍面）
x2 a2
y2 b2
2z
z
平行截割法
用z = a截曲面
x
用y = 0截曲面
0
用x = b截曲面
y
第11页/共19页
双曲抛物面 （马鞍面）
x2 a2
y2 b2
2z
z
平行截割法
用z = a截曲面
x
用y = 0截曲面
0
用x = b截曲面
y
.
第12页/共19页
虚轴与x轴平行， 顶点 (0,b 2h, h)
在主抛物线（7）上
y2 2b2 z x 0
（7）
第7页/共19页
因此，曲面被 xoy平面分割成上下两部分，

解析几何课件

解析几何课件
若 、 为数：
（3）若 为数：
上一页
下一页
返回
解析几何
设
数量积的坐标表达式
上一页
下一页
返回
解析几何
由勾股定理
向量模的坐标表示式
向量的模与空间两点间距离公式
上一页
下一页
返回
解析几何
为空间两点.
空间两点间距离公式
上一页
下一页
返回
解析几何
空间两向量的夹角的概念：
类似地，可定义向量与一轴或空间两轴的夹角.
定理
.
7
.
4
.
1
件是它们线性相关
三个向量共面的充要条
定理
.
8
.
4
.
1
线性相关
空间任何四个向量总是
定理
上一页
下一页
返回
解析几何
横轴
纵轴
竖轴
定点
空间直角坐标系
三个坐标轴的正方向符合右手系.
§1.5 标架与坐标
下一页
返回
解析几何
Ⅶ
面
面
面
空间直角坐标系共有八个卦限
Ⅰ
Ⅱ
Ⅲ
Ⅳ
Ⅴ
Ⅵ
Ⅷ
2、坐标面与卦限
r
e
e
e
-
+
+
=
.
,
2
1
叫做平面上向量的基底
这时
e
e
上一页
下一页
返回
解析几何
例2 证明四面体对边中点的连线交于一点，且互相平分.
A
B
C
D
E
F
P1
e1

第四 章空间解析几何

第四 章空间解析几何

O
P1
Q1
Q2
y
P2
x
由于△M1NM2是直角三角形，∠M1NM2是直角， 所以
|M1M2|2＝|M1N|2＋ |NM2|2
又△M1PN也是直角三角形且
|M1N|2＝|M1P|2＋ |PN|2
所以
而
|M1M2|2＝|M1P|2＋ |PN|2＋|NM2|2
|M1P| ＝ |P1P2| ＝ |x2－x1|
设所求单位向量为bmnp由于它在xoy平面上且是单位向量所以满足于是垂直液体密度所指一方的液体的质量流向单位时间内经过这区域的单位向量计算为垂直于向量各点处的流速均为常的一个区域液体在区上面积为设液体流过平面体积为所以这柱体的高为的夹角夹角就是高与地面的垂线的的斜柱体这柱体的斜斜高为的液体组成一个底面积单位时间内流过这区域的质量为所指一方的液体域流向从而单位时间内这区432向量的向量积定义45给定向量a与b的向量积crossproduct或称外积exteriorproduct叉积crossproduct是满足下面条件的一个向量记为bsinabab分别垂直于a和b且abab符合右手规则图415
(a+b)+c=a+(b+c)=a+b+c (4)a+(-a)=0
则称向量c 为向量 a与 b的差．记作：a-b ．即若b+c=a ，
则 a-b=c．求向量的差的运算称为向量的减法．
设给定两向量a 与 b，若从点O 作两向量OA=a ， OB=b ，则由定义可知，以向量b 的终点B 为起点， 向量 a的终点A 为终点的向量BA 就是向量 a与b 的差 A (图4-9)。
一、向量的概念 在实际中经常遇到两种量，一种是用数表示 的量，叫做数量或标量，如质量、温度、体积等。 另一种是要用数量和方向才能表示的量，即既有大 小、又有方向的量，叫做向量(vector)或矢量，如 速度、力等。 向量常用有向线段来表示。有向线段的长度表 示向量的大小，有向线段的方向表示向量的方向， 以A为起点，B为终点的有向线段所表示的向量记 做 AB（图4－5）。也可用黑体字母来表示，如向量 a,b,x等。

空间解析几何

空间解析几何
P2 P1
z
R2 R1 P O
R M1 M2 N Q1 Q2 y Q
x
上一张 下一张
z
R2 R1 P
由勾股定理
R M1 M2 N Q1 Q2 y Q
ρ 2 =|| M 1 M 2 ||2
=|| M 1 N || + || M 1 R ||
2
2
P1 P2
O
=|| M1 P ||2 + || M1Q ||2 + || M1 R ||2
主要名称与记号: 主要名称与记号 坐标平面: 坐标平面 三个坐标轴中任意两条坐标轴 所确定的平面. 所确定的平面 xoy 平面 yoz 平面 zox 平面 平面, 平面, 平面.
上一张
下一张
空间点在空间直角坐标系中的表示法. 空间点在空间直角坐标系中的表示法
z z R M O x x 点M (x, y, z) P y Q
相应的空间直角坐标系, 即过空间中一定点 相应的空间直角坐标系 即过空间中一定点O, 空间中一定点 作三条互相垂直的数轴, 它们以O为公共原点 作三条互相垂直的数轴 它们以 为公共原点 且具有相同的单位长度, 且具有相同的单位长度 这三条数轴分别称为 x 轴, y 轴, z 轴, 都统称为数轴 都统称为数轴.
上一张
下一张
由上可知，对应于数轴上一点 的实数 也叫做P点的坐 的实数x也叫做 由上可知，对应于数轴上一点P的实数 也叫做 点的坐 这个事实我们用P(x)表示这样，数轴也可以称为坐 表示这样， 标，这个事实我们用 表示这样 数轴也可以称为坐 标轴，用O x表示。换句话说，在直线上，一个原点， 标轴， 表示。换句话说，在直线上，一个原点， 表示 一个正向，一个单位长就确定了它上面的一个坐标系 一个正向，一个单位长就确定了它上面的一个坐标系

《高数空间解析几何》PPT课件

类似地， 方程 f( y , z)= 0在空间表示以 yoz 坐标面上的 曲线为准线，平行于 x 轴的直线为母线的柱面. 方程 f( x , z)= 0在空间表示以 xoz 坐标面上的曲线为准线， 平行于 y 轴的直线为母线的柱面.
8
椭圆柱面：
z
x2 a2
y2 b2
1
xoy 坐标面上的椭圆为准线、
3
P26例 5
xoz 坐标面上的双曲线
x2 a2
z2 c2
1分别绕 x、z 轴旋
转一周，求所得旋转曲面方程
x2 y2y2 z2
绕 x 轴转所得曲面称为旋转双叶双曲面,
z
曲面方程为
x2 y2 z2 a2 c2 c2 1
o
x
绕 z 轴转所得曲面称为旋转单叶双曲面,
z
曲面方程为
x2 y2 z2 a2 a2 c2 1
曲面讨论的两个基本问题： （1）已知曲面的形状，建立这曲面的方程； （2）已知方程 F(x, y, z) =0，研究这方程的图形；
二、旋转曲面 一条平面曲线 C 绕其平面上 一条直线 L 旋转所形成的曲面，称为旋转曲面 . 定直线 L 称为旋转轴.
1
建立 y oz 面上曲线 C : f ( y , z ) = 0绕 z 轴旋转所成
例
求曲线
:
x2
x
2
y2 y2
z2 8y
64
,
在 xoy, y0z 坐标面上的投影曲线的方程.
解 关于xo y 坐标面的投影
柱面方程 x 2 y 2 8 y
因而曲线 在 xo y 坐标
面上的投影曲线是圆.
1
y 0
y2 z2
b2
c2

《高中数学课件《解析几何》PPT》

极坐标系与直角坐标系的互换、球坐标系的定义与性质。
直线与平面方程
平面方程
点法式、点向式和一般式等多种表示平面的方法， 并讲解其转换。
直线方程
点向式、两点式和截距式等表达直线的不同方法， 以及它们之间的关系。
距离公式
点到直线距离公式
推导过程及其应用，涉及到点、线段、向量等 各种基本概念的综合运用。
点到平面距离公式
公式的证明及其几何意义，以及与点法式和向 量的关系。
向量基本概念
1
向量的线性运算
2
向量加减法和数乘，推导过程及其应用，
讲解向量的几何意义。
3
向量的定义
介绍向量的基本概念和性质，以及与几 何图形的关系。
向量的数量积
定义、性质、模长、平行、垂直以及相 关公式的推导及其应用。
平面向量的向量积
直线与直线的交点
两直线的位置关系和求交点法，包括斜交和异面交 的情况。
空间几何体的基本概念
1 棱锥
定义、性质和分类讨论，包括三棱锥、四棱锥和五棱锥。
2 棱柱
定义、性质和分类讨论，包括三棱柱、四棱柱和五棱柱。
3 圆柱和圆锥
定义、性质和分类讨论，以及圆锥的侧面积、母线和母线扫描等的介 绍。
4 球体
定义、性质和分类讨论，以及球冠、球状锥和球状三角锥的计算。
解析几何
解析几何是数学中的一个重要分支，主要研究空间内点、直线、平面和几何 体等基本图形的性质，以及它们与坐标系和代数方程的关系。
坐标系概念
1 平面直角坐标系
2 空间直角坐标系
坐标系的定义、建立和性质； 向量变换和坐标变换。
三维坐标系的定义，向量的 坐标表示及其基本运算规律。
3 极坐标系和球坐标系

空间解析几何演示

27. 作图练习
4
2
.
x
0
z
y
6
6
6
平面y=0 , z=0，3x+y =6, 3x+2y =12 和x+y+z =6所围成的立体图
27. 作图练习
a
a
x
z
y
0
28. 作图练习
z = 0
y = 0
x = 0
a
a
x
z
y
0
28. 作图练习
.
a
a
x
z
y
0
学画草图
28. 作图练习
.
a
b
c
y
x
z
o
16. 椭球面
x
z
y
0
截痕法
用z = a截曲面
用y = b截曲面
用x = c截曲面
17. 椭圆抛物面
x
z
y
0
截痕法
用z = a截曲面
用y = b截曲面
用x = c截曲面
17. 椭圆抛物面
.
用z = a截曲面
用y = 0截曲面
用x = b截曲面
x
z
y
0
截痕法
（马鞍面）
18. 双曲抛物面
截痕法
.
18. 双曲抛物面
（马鞍面）
x
z
y
0
用z = a截曲面
用y = 0截曲面
用x = b截曲面
截痕法
.
18. 双曲抛物面
（马鞍面）
x
z
y
0
用z = a截曲面
用y = 0截曲面

《空间解析几何》课件

了解空间解析几何在计算机图形 学中的应用，如3D建模、动画制 作等。
THANKS
感谢观看
通过参数方程表示曲面的形式，如x = x(u, v)，y = y(u, v)，z = z(u, v)。
曲面方程
表示三维空间中曲面的方程形式，如z = f(x, y)。
空间曲线的方程
1 2
参数曲线
通过参数方程表示曲线的形式，如x = x(t)，y = y(t)，z = z(t)。
空间曲线
表示三维空间中曲线的方程形式，如F(x, y, z) = 0。
空间解析几何的应用领域
总结词
空间解析几何在许多领域都有广泛的应用。
详细描述
在物理学中，空间解析几何用于描述物理现象的空间关系，如力学、电磁学和光学等领 域。在计算机图形学中，空间解析几何用于建模和渲染三维场景。在工程学中，空间解 析几何用于设计和分析机械、建筑和航空航天等领域中的物体和结构。此外，空间解析
03
空间平面与直线
空间平面的方程
平面方程的基本形式
Ax + By + Cz + D = 0
特殊平面
平行于坐标轴的平面、过原点的平面、与坐标轴垂直的平面
参数方程
当平面过某一定点时，可以用参数方程表示平面的方程
空间直线的方程
直线方程的基本形式
Ax + By + Cz = 0
特殊直线
与坐标轴平行的直线、过原点的直线、与坐标轴垂直的直线
利用代数方法，如向量运算、线性代数等， 求解空间几何问题。
几何意义
将代数解转化为几何意义，解释其实际意义 。
如何理解空间几何中的概念？
向量的概念
理解向量的表示、向量的加法、数乘以及向量的模 等基本概念。
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z
z 2 x 2 y 2 2 2 z x y
解 由
得交线L：
x2 y2 1 z 1
1
o
.
x
y
24. 空间曲线在坐标面上的投影
求曲面 z 2 x 2 y 2 及 z x 2 y 2 的交线 L在 xoy 平面的投影。
z
z 2 x 2 y 2 2 2 z x y
解 由
L
1
投影柱面
x2 y2 1
所求投影曲线为
x2 y2 1 z 0
. . .
得交线L：
x2 y2 1 z 1
x2 y2 1
o
. .
x
z =0
2
y
25. 空间曲线作为投影柱面的交线(1)
L:
2 y 2 z 2 4 x 4z 2 2 y 3 z 8 x 12
y2 = – 4x ( 消去z )
z
将其换成 投影柱面的交线
y2 = – 4x
0 y
x
25. 空间曲线作为投影柱面的交线(1)
L:
2 y z 4 x 4z 2 2 y 3 z 8 x 12
2 2
y2+(z – 2)2 = 4 z
将其换成 投影柱面的交线
y2 = – 4x ( 消去z ) y2+(z – 2)2 = 4 (消去x )
F(x,y,z)= 0 的图形是以原点为顶点的锥面；
z
准线
顶点 x
0
y
反之，以原点为顶点的锥面的方程是 n次齐次方程 F(x,y,z)= 0. 锥面是直纹面
23. 空间曲线——圆柱螺线
圆柱面 x 2 y 2 a 2 z
M(x,y,z)
点P在圆柱面上等速地绕z轴旋转； 同时又在平行于z轴的方向 等速地上升。 其轨迹就是圆柱螺线。
x = acos t y = asin t z = bt
（移动及转动都是等速进 行，所以z与t成正比。)
Q
当 t 从 0 2， 螺线从点P QPQ 2b 叫螺距.M
0
t
N
a
y
P
x
24. 空间曲线在坐标面上的投影
求曲面 z 2 x 2 y 2 及 z x 2 y 2 的交线 L在 xoy 平面的投影。
28
2 作出曲面 x 2 y 2 a， x 2 z 2 a 2 , x 0, y 0, z 0所围立体
图形 29 作出曲面 z 1 x 2 y 2 和 x 2 y 2 z 1 所围立体图形 30 平面 x a , y a , z a , x y z a 在第一卦限所围立体图 形
.
(消去x )
L
y2 = – 4x
0 y
转动坐标系，有下页图
x
.
26. 空间曲线作为投影柱面的交线(2) L：
z
y 2 + (z – 2)2 = 4 (消去x) y2 = – 4x (消去z)
y2+(z – 2)2 = 4 y2 = – 4x
L
y
0
x
空间解析几何
主 目 录( 1— 30 )
1 空间直角坐标系 2 两矢量和在轴上的投影 3 矢量积的分配律的证明 4 混合积的几何意义 5 一般柱面 F(x,y)=0 6 一般柱面 F(y,z)=0 7 椭圆柱面 8 双曲柱面 9 抛物柱面 10 旋转面的方程 11 双叶旋转双曲面 12 单叶旋转双曲面 13 旋转锥面 14 旋转抛物面 15 环面 16 椭球面 17 椭圆抛物面 18 双曲抛物面 19 双曲面的渐近锥面 20 单叶双曲面是直纹面 21 双曲抛物面是直纹面 22 一般锥面 23 空间曲线——圆柱螺线 24 空间曲线在坐标面上的投影 25 空间曲线作为投影柱面的交线(1) 26 空间曲线作为投影柱面的交线(2) 27 作出平面y=0 , z=0，3x+y =6, 3x+2y =12 和 x+y+z = 6所围成的立体图形
y2 = – 4x
0 y
.
x
25. 空间曲线作为投影柱面的交线(1)
L:
2 y z 4 x 4z 2 2 y 3 z 8 x 12
2 2
y2+(z – 2)2 = 4 z
将其换成 投影柱面的交线
L： y2 = – 4x ( 消去z ) y2+(z – 2)2 = 4
o
y
20. 单叶双曲面是直纹面
x2 y2 z2 2 2 1 2 a b c
含两个直母线系
.
直纹面在建筑学上有意义 例如，储水塔、 电视塔等建筑都 有用这种结构的。
21. 双曲抛物面是直纹面
x2 y2 2 z 2 a b
含两个直母线系
22. 一般锥面
方程 F(x,y,z)= 0是 n次齐次的： 若 F (tx, ty, tz ) t n F ( x, y, z ). t是任意数 n次齐次方程
.
19. 双曲面的渐进锥面
z
x2 y2 z2 双叶： 2 2 2 1 a b c x2 y2 z2 渐进锥面： 2 2 2 0 a b c x2 y2 z2 单叶： 2 2 2 1 a b c
在平面上，双曲线有渐进线。 相仿，单叶双曲面和双叶双曲面 有渐进锥面。 用z=h去截它们，当|h|无限增大时， 双曲面的截口椭圆与它的渐进锥面 的 x 截口椭圆任意接近，即： 双曲面和锥面任意接近。