第七章空间解析几何与向量代数习题

7空间解析几何与向量代数习题与答案第七章空间解析几何与向量代数A一、1、平行于向量«Skip Record If...»的单位向量为______________.2、设已知两点«Skip Record If...»，计算向量«Skip Record If...»的模，方向余弦和方向角.3、设«Skip Record If...»，求向量«Skip Record If...»在x轴上的投影，及在y轴上的分向量.二、1、设«Skip Record If...»，求(1)«Skip Record If...»(3)a、b的夹角的余弦.2、知«Skip Record If...»，求与«Skip Record If...»同时垂直的单位向量.3、设«Skip Record If...»，问«Skip Record If...»满足_________时，«Skip Record If...».三、1、以点(1,3,-2)为球心，且通过坐标原点的球面方程为__________________.2、方程«Skip Record If...»表示______________曲面.3、1)将xOy坐标面上的«Skip Record If...»绕x轴旋转一周，生成的曲面方程为 _______________，曲面名称为___________________.2)将xOy坐标面上的«Skip Record If...»绕x轴旋转一周，生成的曲面方程_____________，曲面名称为___________________.3)将xOy坐标面上的«Skip Record If...»绕x轴及y轴旋转一周，生成的曲面方程为_____________，曲面名称为_____________________.4）在平面解析几何中«Skip Record If...»表示____________图形。

习题7-1 空间直角坐标系1.填空题（1）下列各点所在象限分别是：a .（1，-2，3）在________________；b .（2，3，-4）在________________；c .（2，-3，-4）在________________；d .（-2，-3，1）在________________。

（2）点P(-3,2,-1)关于平面XOY 的对称点是_______，关于平面YOZ 的对称点是_________，关于平面ZOX 的对称点是__________，关于X 轴的对称点是__________，关于Y 轴的对称点是____________，关于Z 轴的对称点是____________。

（3）点A(-4,3,5)在XOY 平面上的射影点是_________，在YOZ 平面上的射影点是_________，在ZOX 面上的射影点是__________，在X 轴上的射影点是_________，在Y 轴上的射影点是__________，在Z 轴上的射影点是__________。

（4）已知空间直角坐标系下，立方体的4个顶点为A(,,a a a ---)，B(,,a a a --)，C(,,a a a --)和D （,,a a a ），则其余顶点分别为___________，_____________，___________， ___________。

2.已知三角形的三个顶点A（2，-1，4)，B(3，2，-6)，C(-5，0，2)，求过A、B、C 三点的中线的长度。

3.已知平行四边形ABCD的两个顶点A（2，-3，-5），B（-1，3，2）及它的对角线的交点E（4，-1，7），求顶点C、D的坐标。

4.已知某直线线段AB被点C（2，0，2）及点D(5，-2，0)内分为3等分，求端点A、B的坐标。

5.求点M（-4，3，-5）到各坐标轴的距离。

6.在YOZ面上，求与三个已知点A(3，1，2)，B（4，-2，-2）和C(0，5，1)等距离的点。

第七章 空间解析几何与向量代数A一、1、 平行于向量)6,7,6(-=a 的单位向量为______________.2、 设已知两点)2,0,3()1,2,4(21M M 和，计算向量21M M 的模，方向余弦和方向角.3、 设k j i p k j i n k j i m 45,742,853-+=--=++=，求向量p n m a -+=34在x 轴上的投影，及在y 轴上的分向量. 二、1、设k j i b k j i a -+=--=2,23，求(1)b a b a b a b a 23)2)(2(⨯⋅-⨯⋅及；及(3)a 、b 的夹角的余弦.2、知)3,1,3(),1,3,3(),2,1,1(321M M M -，求与3221,M M M M 同时垂直的单位向量.3、设)4,1,2(),2,5,3(=-=b a ，问μλ与满足_________时，轴z b a ⊥+μλ.三、1、以点(1,3,-2)为球心，且通过坐标原点的球面方程为__________________.2、方程0242222=++-++z y x z y x 表示______________曲面.3、1)将xOy 坐标面上的x y 22=绕x 轴旋转一周，生成的曲面方程为 _______________，曲面名称为___________________.2)将xOy 坐标面上的x y x 222=+绕x 轴旋转一周，生成的曲面方程 _____________，曲面名称为___________________.3)将xOy 坐标面上的369422=-y x 绕x 轴及y 轴旋转一周，生成的曲面方 程为_____________，曲面名称为_____________________.4）在平面解析几何中2x y =表示____________图形。

在空间解析几何中2x y =表示______________图形.5）画出下列方程所表示的曲面 (1))(4222y x z +=(2))(422y x z += 四、1、指出方程组⎪⎩⎪⎨⎧==+319y 4x 22y 在平面解析几何中表示____________图形，在空间解 析几何中表示______________图形.2、求球面9222=++z y x 与平面1=+z x 的交线在xOy 面上的投影方程.3、求上半球2220y x a z --≤≤与圆柱体)0(22>≤+a ax y x 的公共部分在xOy 面及xOz 面上的投影.五、1、求过点(3,0,-1)且与平面3x-7y+5z-12=0平行的平面方程.2、求过点(1,1,-1)，且平行于向量a =(2,1,1)和b =(1,-1,0)的平面方程.3、求平行于xOz 面且过点(2,-5,3)的平面方程.4、求平行于x 轴且过两点(4,0,-2)和(5,1,7)的平面方程. 六、1、求过点(1,2,3)且平行于直线51132-=-=z y x 的直线方程.2、求过点(0,2,4)且与两平面12=+z x ,23=-z y 平行的直线方程.3、求过点(2,0,-3)且与直线⎩⎨⎧=+-+=-+-012530742z y x z y x 垂直的平面方程.4、求过点(3,1,-2)且通过直线12354zy x =+=-的平面方程.5、求直线⎩⎨⎧=--=++03z y x z y x 与平面01=+--z y x 的夹角.6、求下列直线与直线、直线与平面的位置关系 1)直线⎩⎨⎧=++-=-+7272z y x z y x 与直线11321-=--=-zy x ; 2)直线431232--=+=-z y x 和平面x+y+z=3.7、求点(3,-1,2)到直线⎩⎨⎧=-+-=+-+04201z y x z y x 的距离.B1、已知0=++c b a （c b a ,,为非零矢量），试证:a c c b b a ⨯=⨯=⨯.2、),(},1,1,1{,3b a b a b a ∠=⨯=⋅求.3、已知a 和b 为两非零向量，问t 取何值时，向量模||tb a +最小？并证明此时)(tb a b +⊥.4、求单位向量n ，使a n ⊥且x n ⊥轴，其中)8,6,3(=a .5、求过z 轴，且与平面052=-+z y x 的夹角为3π的平面方程.6、求过点)2,1,4(1M ，)1,5,3(2--M ，且垂直于07326=++-z y x 的平面.7、求过直线⎩⎨⎧=--+=-+-022012z y x z y x ，且与直线2l ：211zy x =-=平行的平面.8、求在平面π:1=++z y x 上，且与直线⎩⎨⎧-==11z y L ：垂直相交的直线方程.9、设质量为kg 100的物体从空间点)8,1,3(1M ，移动到点)2,4,1(2M ，计算重力所做的功（长度单位为m ）.10、求曲线⎩⎨⎧==-+30222z x z y 在xoy 坐标面上的投影曲线的方程，并指出原曲线是什么曲线？11、已知k j OB k i OA 3,3+=+=，求OAB ∆的面积12、.求直线⎩⎨⎧=---=+-0923042z y x z y x 在平面14=+-z y x 上的投影直线方程.C1、设向量c b a ,,有相同起点,且0=++c b a γβα，其中0=++γβα，γβα,,不全为零,证明:c b a ,,终点共线.2、求过点)1,2,1(0-M ，且与直线L ：121122=--=+y x 相交成3π角的直线方程. 3、过)4,0,1(-且平行于平面01043=-+-z y x 又与直线21311zy x =-=+相交的直线方程.4、求两直线1L ：1101-=-=-z y x 与直线2L ：0236+=-=z y x 的最短距离. 5、柱面的准线是xoy 面上的圆周（中心在原点，半径为1），母线平行于向量}1,1,1{=g ，求此柱面方程.6、设向量a,b 非零，3),(,2π==b a b ，求xaxb a x -+→0lim.7、求直线⎪⎩⎪⎨⎧--==)1(212:y z y x L 绕y 轴旋转一周所围成曲面方程. 第七章 空间解析几何与向量代数习 题 答 案A一、1、⎩⎨⎧⎭⎬⎫-±116,117,116 2、21M M =2,21cos ,22cos ,21cos ==-=γβα,3,43,32πγπβπα=== 3、a 在x 轴上的投影为13，在y 轴上的分量为7j 二、1、1）3)1()2(2)1(13=-⋅-+⋅-+⋅=⋅b ak j i k j ib a 75121213++=---=⨯（2）18)(63)2(-=⋅-=⋅-b a b a ，k j i b a b a 14210)(22++=⨯=⨯ （3）2123),cos(^=⋅⋅=b a b a b a 2、}2,2,0{},1,4,2{3221-=-=M M M Mk j i kj iM M M M a 4462201423221--=--=⨯= }1724,1724,1726{--±=±a a 即为所求单位向量。

第七章 空间解析几何与向量代数A一、1、平行于向量)6,7,6(-=a 的单位向量为______________.2、设已知两点)2,0,3()1,2,4(21M M 和，计算向量21M M 的模，方向余弦和方向角.3、设k j i p k j i n k j i m 45,742,853-+=--=++=，求向量p n m a -+=34在x 轴上的投影，及在y 轴上的分向量. 二、1、设k j i b k j i a -+=--=2,23，求(1)b a b a b a b a 23)2)(2(⨯⋅-⨯⋅及；及(3)a 、b 的夹角的余弦.2、知)3,1,3(),1,3,3(),2,1,1(321M M M -，求与3221,M M M M 同时垂直的单位向量.3、设)4,1,2(),2,5,3(=-=b a ，问μλ与满足_________时，轴z b a ⊥+μλ. 三、1、以点(1,3,-2)为球心，且通过坐标原点的球面方程为__________________.2、方程0242222=++-++z y x z y x 表示______________曲面. 3、1)将xOy 坐标面上的x y 22=绕x 轴旋转一周，生成的曲面方程为_______________，曲面名称为___________________.2)将xOy 坐标面上的x y x 222=+绕x 轴旋转一周，生成的曲面方程 _____________，曲面名称为___________________.3)将xOy 坐标面上的369422=-y x 绕x 轴及y 轴旋转一周，生成的曲面方 程为_____________，曲面名称为_____________________.4）在平面解析几何中2x y =表示____________图形。

在空间解析几何中2x y =表示______________图形.5）画出下列方程所表示的曲面 (1))(4222y x z += (2))(422y x z += 四、1、指出方程组⎪⎩⎪⎨⎧==+319y 4x 22y 在平面解析几何中表示____________图形，在空间解 析几何中表示______________图形.2、求球面9222=++z y x 与平面1=+z x 的交线在xOy 面上的投影方程. 3、求上半球2220y x a z --≤≤与圆柱体)0(22>≤+a ax y x 的公共部分在xOy 面及xOz 面上的投影. 五、1、求过点(3,0,-1)且与平面3x-7y+5z-12=0平行的平面方程.2、求过点(1,1,-1)，且平行于向量a =(2,1,1)和b =(1,-1,0)的平面方程.3、求平行于xOz 面且过点(2,-5,3)的平面方程.4、求平行于x 轴且过两点(4,0,-2)和(5,1,7)的平面方程. 六、1、求过点(1,2,3)且平行于直线51132-=-=z y x 的直线方程. 2、求过点(0,2,4)且与两平面12=+z x ,23=-z y 平行的直线方程.3、求过点(2,0,-3)且与直线⎩⎨⎧=+-+=-+-012530742z y x z y x 垂直的平面方程.4、求过点(3,1,-2)且通过直线12354zy x =+=-的平面方程. 5、求直线⎩⎨⎧=--=++003z y x z y x 与平面01=+--z y x 的夹角.6、求下列直线与直线、直线与平面的位置关系 1)直线⎩⎨⎧=++-=-+7272z y x z y x 与直线11321-=--=-zy x ; 2)直线431232--=+=-z y x 和平面x+y+z=3. 7、求点(3,-1,2)到直线⎩⎨⎧=-+-=+-+04201z y x z y x 的距离.B1、已知0=++c b a （c b a ,,为非零矢量），试证:a c c b b a ⨯=⨯=⨯.2、),(},1,1,1{,3b a b a b a ∠=⨯=⋅求.3、已知和为两非零向量，问取何值时，向量模||tb a +最小？并证明此时)(tb a b +⊥.4、求单位向量，使a n ⊥且x n ⊥轴，其中)8,6,3(=a .5、求过轴，且与平面052=-+z y x 的夹角为3π的平面方程. 6、求过点)2,1,4(1M ，)1,5,3(2--M ，且垂直于07326=++-z y x 的平面.7、求过直线⎩⎨⎧=--+=-+-022012z y x z y x ，且与直线：211zy x =-=平行的平面.8、求在平面:1=++z y x 上，且与直线⎩⎨⎧-==11z y L ：垂直相交的直线方程.9、设质量为kg 100的物体从空间点)8,1,3(1M ，移动到点)2,4,1(2M ，计算重力所做的功（长度单位为）.10、求曲线⎩⎨⎧==-+30222z x z y 在xoy 坐标面上的投影曲线的方程，并指出原曲线是什么曲线？11、已知k j OB k i OA 3,3+=+=，求OAB ∆的面积 12、.求直线⎩⎨⎧=---=+-0923042z y x z y x 在平面14=+-z y x 上的投影直线方程.C1、设向量c b a ,,有相同起点,且0=++c b a γβα，其中0=++γβα，γβα,,不全为零,证明:c b a ,,终点共线.2、求过点)1,2,1(0-M ，且与直线：121122=--=+y x 相交成3π角的直线方程. 3、过)4,0,1(-且平行于平面01043=-+-z y x 又与直线21311zy x =-=+相交的直线方程. 4、求两直线：1101-=-=-z y x 与直线：0236+=-=z y x 的最短距离. 5、柱面的准线是xoy 面上的圆周（中心在原点，半径为1），母线平行于向量}1,1,1{=g ，求此柱面方程.6、设向量a,b 非零，3),(,2π==b a b ，求xaxb a x -+→0lim.7、求直线⎪⎩⎪⎨⎧--==)1(212:y z y x L 绕y 轴旋转一周所围成曲面方程. 第七章 空间解析几何与向量代数习 题 答 案A一、1、⎩⎨⎧⎭⎬⎫-±116,117,116 2、21M M =2,21cos ,22cos ,21cos ==-=γβα,3,43,32πγπβπα=== 3、在x 轴上的投影为13，在y 轴上的分量为7j 二、1、1）3)1()2(2)1(13=-⋅-+⋅-+⋅=⋅b ak j i k j i b a 75121213++=---=⨯（2）18)(63)2(-=⋅-=⋅-b a b a ，k j i b a b a 14210)(22++=⨯=⨯ （3）2123),cos(^=⋅⋅=b a b a b a 2、}2,2,0{},1,4,2{3221-=-=M M M Mk j i kj iM M M M a 4462201423221--=--=⨯= }1724,1724,1726{--±=±a a 即为所求单位向量。

2
解 ∵ a + b = AC = 2MC = −2MA ,
D
C
b
M
b − a = BD = 2MD = −2MB ,
∴
MA
=
−
1 2
(a
+
b),
MB
=
−
1 2
(b
−
A a ),
a
B
图 7.2
MC
=
1 2
(a
+
b),
MD
=
1 2
(b
−
a ).
10. 用向量的方法证明: 连接三角形两边中点的线段(中位线)平行且等于第三
而
a⋅b =
a
⋅
b
⋅
cos(a,
b)
=
10
×
cos
π 3
=5,
所以
r 2 = 100 − 60 + 36 = 76 ,
故 r = 76 .
3. 已知 a + b + c = 0 , 求证 a × b = b × c = c × a
证 法1
∵a + b + c = 0 ,
所以
c = −(a + b) ,
解 因 a = m − 2n + 3 p = (8i + 5 j + 8k) − 2(2i − 4 j + 7k) + 3(i + j − k) = 7i + 16 j − 9k ,
故沿 x 轴方向的分向量为 axi = 7i ; 沿 y 轴方向的分向量为 ay j = 16 j .
16. 若线段 AB 被点 C(2, 0, 2)和D(5, −2, 0) 三等分, 试求向量 AB 、点 A 及点 B 的

高数第四版第七章（人民大学出版社）第七章空间解析几何与向量代数习题7-1★★1．填空题：（1）要使（2）要使★2．设ua?b?a?b设立，向量a,b应当满足用户a?ba?b?a?b成立，向量a,b应满足a//b，且同向ab2c,va3bc，试用a,b,c则表示向量2u?3v知识点：向量的线性运算求解：2u?3v?2a?2b?4c?3a?9b?3c?5a?11b?7c★3．设p,q两点的向径分别为r1,r2，点r在线段pq上，且prrq?m，证明点r的向径为nr?nr1?mr2m?n知识点：向量的线性运算证明：在?opq中，根据三角形法则oq?op?pq，又pr?mmpq?(r2?r1)，m?nm?n∴or?op?pr?r1?nr?mr2m(r2?r1)?1m?nm?n★★4．未知菱形abcd的对角线ac?a,bd?b，试用向量a,b表示ab,bc,cd,da。

知识点：向量的线性运算解：根据三角形法则，ab?bc?ac?a,ad?ab?bd?b，又abcd为菱形，ad?bc（民主自由向量），a?b????????????b?a?cd??dc??ab?∴2ab?ac?bd?a?b?ab?22?a?b??? a?b∴ad?bc?，da??22∴★★5．把?abc的bc边五等分，设分点依次为d1,d2,d3,d4，再把各分点与点a相连接，先行以ab?c,bc?a表示向量d1a,d2a,d3a和d4a。

知识点：向量的线性运算解：见图7-1-5，acbad1d2图7-1-5cd3d411bc?d1a??ad1??(c?a)55234同理：d2a??((c?a),d3a??(c?a),d4a??(c?a)555根据三角形法则，ab?bd1?ad1,bd1?习题7-2★1在空间直角坐标系则中，表示以下各点在哪个卦减半？a(2,?2,3)；b(3,3,?5)；c(3,?2,?4)；d(?4,?3,2)请问：a(2,?2,3)在第四卦减半，b(3,3,?5)在第五卦减半，c(3,?2,?4)在第八卦减半， d(?4,?3,2)在第三卦限★2．在座标面上和坐标轴上的点的座标各存有什么特征？并表示以下各点的边线：a(2,3,0);b(0,3,2);c(2,0,0);d(0,?2,0)知识点：空间直角坐标答：在各坐标面上点的坐标有一个分量为零，坐标轴上点的坐标有两个分量为零，∴点a在xoy坐标面上；b在yoz坐标面上；c在x轴上；d在y轴上。

第七章 空间解析几何与向量代数A一、1、平行于向量)6,7,6(-=a 的单位向量为______________.2、设已知两点)2,0,3()1,2,4(21M M 和，计算向量21M M 的模，方向余弦和方向角.3、设k j i p k j i n k j i m 45,742,853-+=--=++=，求向量p n m a -+=34在x 轴上的投影，及在y 轴上的分向量. 二、1、设k j i b k j i a -+=--=2,23，求(1)b a b a b a b a 23)2)(2(⨯⋅-⨯⋅及；及(3)a 、b 的夹角的余弦.2、知)3,1,3(),1,3,3(),2,1,1(321M M M -，求与3221,M M M M 同时垂直的单位向量.3、设)4,1,2(),2,5,3(=-=b a ，问μλ与满足_________时，轴z b a ⊥+μλ. 三、1、以点(1,3,-2)为球心，且通过坐标原点的球面方程为__________________.2、方程0242222=++-++z y x z y x 表示______________曲面. 3、1)将xOy 坐标面上的x y 22=绕x 轴旋转一周，生成的曲面方程为_______________，曲面名称为___________________.2)将xOy 坐标面上的x y x 222=+绕x 轴旋转一周，生成的曲面方程 _____________，曲面名称为___________________.3)将xOy 坐标面上的369422=-y x 绕x 轴及y 轴旋转一周，生成的曲面方 程为_____________，曲面名称为_____________________.4）在平面解析几何中2x y =表示____________图形。

在空间解析几何中2x y =表示______________图形.5）画出下列方程所表示的曲面 (1))(4222y x z += (2))(422y x z += 四、1、指出方程组⎪⎩⎪⎨⎧==+319y 4x 22y 在平面解析几何中表示____________图形，在空间解 析几何中表示______________图形.2、求球面9222=++z y x 与平面1=+z x 的交线在xOy 面上的投影方程. 3、求上半球2220y x a z --≤≤与圆柱体)0(22>≤+a ax y x 的公共部分在xOy 面及xOz 面上的投影. 五、1、求过点(3,0,-1)且与平面3x-7y+5z-12=0平行的平面方程.2、求过点(1,1,-1)，且平行于向量a =(2,1,1)和b =(1,-1,0)的平面方程.3、求平行于xOz 面且过点(2,-5,3)的平面方程.4、求平行于x 轴且过两点(4,0,-2)和(5,1,7)的平面方程. 六、1、求过点(1,2,3)且平行于直线51132-=-=z y x 的直线方程. 2、求过点(0,2,4)且与两平面12=+z x ,23=-z y 平行的直线方程.3、求过点(2,0,-3)且与直线⎩⎨⎧=+-+=-+-012530742z y x z y x 垂直的平面方程.4、求过点(3,1,-2)且通过直线12354zy x =+=-的平面方程. 5、求直线⎩⎨⎧=--=++003z y x z y x 与平面01=+--z y x 的夹角.6、求下列直线与直线、直线与平面的位置关系 1)直线⎩⎨⎧=++-=-+7272z y x z y x 与直线11321-=--=-zy x ; 2)直线431232--=+=-z y x 和平面x+y+z=3. 7、求点(3,-1,2)到直线⎩⎨⎧=-+-=+-+04201z y x z y x 的距离.B1、已知0=++c b a （c b a ,,为非零矢量），试证:a c c b b a ⨯=⨯=⨯.2、),(},1,1,1{,3b a b a b a ∠=⨯=⋅求.3、已知和为两非零向量，问取何值时，向量模||tb a +最小？并证明此时)(tb a b +⊥.4、求单位向量，使a n ⊥且x n ⊥轴，其中)8,6,3(=a .5、求过轴，且与平面052=-+z y x 的夹角为3π的平面方程. 6、求过点)2,1,4(1M ，)1,5,3(2--M ，且垂直于07326=++-z y x 的平面.7、求过直线⎩⎨⎧=--+=-+-022012z y x z y x ，且与直线：211zy x =-=平行的平面.8、求在平面:1=++z y x 上，且与直线⎩⎨⎧-==11z y L ：垂直相交的直线方程.9、设质量为kg 100的物体从空间点)8,1,3(1M ，移动到点)2,4,1(2M ，计算重力所做的功（长度单位为）.10、求曲线⎩⎨⎧==-+30222z x z y 在xoy 坐标面上的投影曲线的方程，并指出原曲线是什么曲线？11、已知k j OB k i OA 3,3+=+=，求OAB ∆的面积 12、.求直线⎩⎨⎧=---=+-0923042z y x z y x 在平面14=+-z y x 上的投影直线方程.C1、设向量c b a ,,有相同起点,且0=++c b a γβα，其中0=++γβα，γβα,,不全为零,证明:c b a ,,终点共线.2、求过点)1,2,1(0-M ，且与直线：121122=--=+y x 相交成3π角的直线方程. 3、过)4,0,1(-且平行于平面01043=-+-z y x 又与直线21311zy x =-=+相交的直线方程. 4、求两直线：1101-=-=-z y x 与直线：0236+=-=z y x 的最短距离. 5、柱面的准线是xoy 面上的圆周（中心在原点，半径为1），母线平行于向量}1,1,1{=g ，求此柱面方程.6、设向量a,b 非零，3),(,2π==b a b ，求xaxb a x -+→0lim.7、求直线⎪⎩⎪⎨⎧--==)1(212:y z y x L 绕y 轴旋转一周所围成曲面方程. 第七章 空间解析几何与向量代数习 题 答 案A一、1、⎩⎨⎧⎭⎬⎫-±116,117,116 2、21M M =2,21cos ,22cos ,21cos ==-=γβα,3,43,32πγπβπα=== 3、在x 轴上的投影为13，在y 轴上的分量为7j 二、1、1）3)1()2(2)1(13=-⋅-+⋅-+⋅=⋅b ak j i k j i b a 75121213++=---=⨯（2）18)(63)2(-=⋅-=⋅-b a b a ，k j i b a b a 14210)(22++=⨯=⨯ （3）2123),cos(^=⋅⋅=b a b a b a 2、}2,2,0{},1,4,2{3221-=-=M M M Mk j i kj iM M M M a 4462201423221--=--=⨯= }1724,1724,1726{--±=±a a 即为所求单位向量。

空间解析几何与矢量代数小练习一填空题 5 ’x9=45 分1、平行于向量a(6,7, 6) 的单位向量为______________.2、设已知两点M1( 4, 2 ,1)和 M 2 (3,0,2) ，计算向量M1M2的模_________________，方向余弦 _________________和方向角 _________________3、以点 (1,3,-2) 为球心，且通过坐标原点的球面方程为__________________.4、方程x2 y 2 z 2 2x 4 y 2z 0 表示______________曲面.5、方程x2 y2 z 表示______________曲面.6、x2 y2 z2 表示 ______________曲面 .7、在空间解析几何中y x2 表示 ______________图形 .二计算题11 ’x5=55 分1、求过点 (3,0,-1)且与平面3x-7y+5z-12=0平行的平面方程.2、求平行于x 轴且过两点 (4,0,-2)和(5,1,7)的平面方程.3、求过点 (1,2,3) 且平行于直线xy 3z 1的直线方程 .2 1 54、求过点 (2,0,-3)x 2 y 4z 7 0且与直线5 y 2z 1垂直的平面方3x 05、已知：OA i 3k ，OB j 3k ，求OAB 的面积。

1参考答案一 填空题1、6 ,7 ,611 11 112、 M 1 M 2 =2, cos1,cos2,cos1 ,2 ,3 ,2223433、 ( x 1) 2( y3) 2 ( z2) 2144、以 (1,-2,-1) 为球心 , 半径为6 的球面5、旋转抛物面6、 圆锥面7、 抛物柱面二 计算题1、 3x 7y 5 z 4 0 2 、 9 y z 2 0 3、x 1y 2 z34、 16x 14y 11z 65 02155 S1OA OB 19222。

第七章 向量与空间解析几何复习题一、选择题1. 向量}6,3,2{-=a ，则与a 同向的单位向量为（ ）（A ） }6,3,2{- （B ）}6,3,2{71-- （C ） }6,3,2{71-± （D ） }6,3,2{71- 2. 平面243=-z x （ ）(A)平行于zox 平面 (B)平行于y 轴 (C)垂直于y 轴 (D)垂直于x 轴3. 设向量c b a ,,满足0)(=-⨯c b a 则必有（ ）(A)0 =a (B) c b = (C)b a //且c a // (D) )//(c b a -4. 平面0=+++D Cz By Ax 过x 轴，则( )（A ）0==D A （B ）0,0≠=C B （C ）0,0=≠C B （D ）0==C B5. 在空间直角坐标系中，点（1，-2，3）关于原点对称的点的坐标是（ ）(A) （1，-2，-3） (B) （-1，2，-3） (C) （-1，-2，-3） (D) （1，-2，-3）6. 设向量a ={4,-3,4},b={2,2,1},则向量a 和b 的夹角为（ ） (A) 412arcsin (B) 0 (C) 412arccos (D) 4π 7．平面4y-7z=0的位置特点是（ ）(A) 通过oz 轴 (B) 通过oy 轴 (C) 通过ox 轴，且过点（0，7，4）(D) 平行于oyz 面8．平面x+y+2z=0的位置特点是（ ）(A) 通过原点 (B) 不通过原点 (C) 平行于向量a={1，1，2} (D)过x 轴 9．向量k j i k j i a 22432-+=+-=β与的夹角为（ ） (A)2π (B) 0 (C) π (D) 4π 10. 平面3510x z -+= ( )(A) 平行于zox 平面 （B) 平行于y 轴 (C) 垂直于y 轴 (D) 垂直于x 轴 11. 下列平面中，与平面012=++-z y x 垂直的平面是( )(A)052=++-z y x (B) 0532=++-z y x(C) 0103=+--z y x (D) 0653=-+-z y x12．设向量{}1,2,3-=，⎭⎬⎫⎩⎨⎧=k ,34,2b .已知b a ⊥，则=k （ ）. (A) 32 (B) 326 (C) 27(D) 113．在空间直角坐标系中,方程1222=+y x 表示的曲面是（ ）.(A) 球面 (B) 圆柱面 (C) 圆锥面 (D)椭圆柱面14．设向量{}2,1,1-=，{}4,0,3=，则向量在向量上的投影为（ ）. (A) 65 (B) 65- (C) 1 (D) -115．下列曲面方程中表示圆锥面的是（ ）.(A)22y x z += (B)22y x z += (C)1222=++z y x (D) 1222=+y x16．设平面截x ，y ，z 轴的截距分别为a ，b ，c （a 、b 、c 均不为0）则这个平面的方程为() (A)1xyza b c ++= (B)1xyza b c ++=- (C) 1=++cz by ax (D) 0=++cz by ax17. 设空间直线 210zyx== ，则该直线过原点，且（ ）(A) 与X 轴垂直 (B) 垂直于Y 轴，但不平行X 轴(C) 与X 轴平行 (D) 垂直于Z 轴，但不平行X 轴18. 直线42z 31y 21x -=+=-与平面x-2y+z=5的位置关系是（ ）.(A) 垂直 (B) 平行 (C) 重合 (D) 斜交19．向量b a ⨯与二向量a 及b 的位置关系是（ ）(A) 共面 (B) 共线 (C) 垂直 (D) 斜交20. 在空间直角坐标系中，点(1,3,1)P -关于y 轴对称的点的坐标是（ ）(A) （1，3，1） (B) （-1，3，-1） (C) （-1，-3，1） (D) （-1，3，1）21．点（1,2,1）到平面032=++-z y x 的距离=d （ ).(A) 0 (B) 2 (C)36(D) 36222.在空间直角坐标系中，仅有点（ ）是在第三卦限内.（A ）(1,-1,2) （B ）(-1,-1,2) （C ）(1,1,-2) （D ）(-1,1,-2)23. 同时垂直于向量(2,1,4)a =和z 轴的向量的单位向量是（ ）（A ）(55- （B ）(55- （C ）(55- （D ）(5524．过点（２，－３，0）且以)3,2,1(-=→n 为法向量的平面方程为( )(A) 13231)2(=+-++-z y x (B) 13231)2(-=+-++-z y x (C) 13)3(2)2(=++--z y x (D) 03)3(2)2(=++--z y x25．yoz 平面内的直线14=+z y 绕y 轴旋转一周所得的曲面方程为（ ）.(A) )(16)1(222z x y +=- (B) 116)(222=++z x y(C) 1)(4=++z x y (D) 11622=+z y二、填空题1．设a b k a },1,2,0{},,1,1{-=-=⊥,b 则常数k = .2．已知112,(2,0,1)a b =-=（，，） ，则a b ⨯= .3.设},4,2,1{},1,0,2{==b a 则a 与b 的夹角=)^(b a .4.过空间两点)2,1,0(-和)1,4,3(-的直线方程为 .5.已知3=a ，26=b ，72=⨯b a ，则=⋅b a .6. 点)0,2,1(M 到平面02543=++-z y x 的距离为 .7. 过点)3,1,2(-且与平面2240x y z +--=垂直的直线方程为 .8．设k j i a 23-+=，k j i b --=32，则b a ⋅= .9．点(0,1,3)-到平面2380x y z -+-=的距离为____________________.10．设(2,3,5),(2,4,),a b c ==-且a b ⊥，则常数c =___________．11.直线1139412-=-=-z y x 与平面0253=--+z y x 的交点为 12．设(2,1,1),(1,1,2),a b a b →→→→=-=-⨯=则________________.13．在空间直角坐标系中，点)3,2,1(-关于x 轴的对称点为 _____________.14．已知点)2,1,3(-A 和向量}1,3,4{-=AB ，则B 点的坐标为______________.15．过点0(3,4,4)P -且方向角为2,,343πππ的直线方程为___________________. 16．已知向量}2,3,2{},0,1,3{-=-=b a ，则a 与b 的夹角余弦为 .17．过点)3,1,2(-且垂直于直线11211-+==-z y x 的平面方程为 . 18．若向量b 与向量k j i a 22+-=平行且满足18-=⋅k b ,则b = . 19．向量}1,2,2{-=a 在y 轴上的投影等于 .20．已知向量 {}{}2,3,2b , 0,1,3-=-=→→a , 则模→→⨯b a = .21. 过（1，1，-1）、（-2，-2，2）和（1，-1，2）三点的平面方程是 .22．求过定点)2,1,1(-且与直线111122-=-+=-z y x 垂直的平面方程为____________. 23.曲线 ⎪⎩⎪⎨⎧==-01422z x y 绕x 轴旋转一周，所得的旋转曲面的方程为 .24.已知)2,1,2(),1,2,2(),1,1,1(C B A ，则与,同时垂直的向量是 .25.xOz 平面内的抛物线122+=x z 绕z 轴旋转一周所得曲面方程 .26. 过空间两点)0,1,1(),2,1,0(-B A 的直线方程为 .27．过空间两点)5,2,1(),2,0,1(--的直线方程为 ..28.过点)1,1,2(-且与直线12431:-==-z y x l 平行的直线方程为 .29．已知向量{}1,0,1a -=，{}3,2,0b -=，则a 在b 上的投影为 . 30．xoy 平面上的曲线y x 22=绕y 轴旋转后得到的旋转曲面方程 .31．过点（1,－2,0）且垂直于向量}1,3,2{-=a 的平面方程是 .32．设向量{}4,3-,4=，{}1,2,2=，则_____________),(cos =. 33. 设}1,2,1{},3,1,0{=-=b a ，则与a 和b 同时垂直的单位向量为 .34. 直线1139412-=-=-z y x 与平面0253=--+z y x 的交点为 .35. 点M （1，2，1）到平面：02543=++-z y x 的距离为36．在空间直角坐标系中，点)3,2,1(-关于原点的对称点是 __________.37. xoy 平面内双曲线12y 3x 22=-绕y 轴旋转所得曲面方程是 . 38．过空间两点)1,3,0(),2,1,0(B A -的直线方程为 .39．设空间三点)3,1,2(),0,1,1(),2,1,0(C B A -,则=⋅AC AB .三、解答题1．求过空间三点(1,0,2),(-1,1,1),(3,1,0)的平面方程.2．试把空间直线⎩⎨⎧=++-=+++043201z y x z y x 化成参数方程形式.3.求过点)1,2,1(-且同时平行于两平面012:1=--+z y x π与012:2=+-+z y x π的直线方程.4. 求过P 0129(,,)-与平面π:3250x y z +--=垂直的直线方程，并求出直线与平面的交点.6．求平行于x 轴是过点)2,1,3(1-M 和)0,1,0(2M 的平面方程.9．试写出直线⎩⎨⎧=-+-=+++022301z y x z y x 的点向式方程和参数方程. 10.求过点)4,2,0(且与平面12=+z x 平行的平面方程.12. 已知平面通过)2,7,4(),1,3,8(21P P -且垂直于平面021753=+-+z y x ，求这个平面的方程.13. 已知A （1，1，1），B （2，2，1），C （2，1，2），求与AB →，AC →同时垂直的单位向量.14. 设平面经过原点及点（6，-3，2），且与平面824=+-z y x 垂直，求此平面方程.15. 求过点)0,1,2(且与两平面0152084=---=+-z y x z x 和都平行的直线的方程。

第七章 空间解析几何与向量代数§7.1 空间直角坐标系§7.2 向量及其加减法、向量与数的乘法一、判断题。

1． 点（-1，-2，-3）是在第八卦限。

（ ） 2． 任何向量都有确定的方向。

（ ） 3． 任二向量b a ,=.则a =b 同向。

( ) 4． 若二向量b a ,+,则b a ,同向。

（ ）5． 若二向量b a ,满足关系b a -=a +b，则b a ,反向。

（ ）6． 若ca b a +=+,则c b =( ) 7． 向量ba ,满足=，则ba ,同向。

（ ） 二、填空题。

1． 点（2，1，-3）关于坐标原点对称的点是2． 点（4，3，-5）在 坐标面上的投影点是M （0，3，-5） 3． 点（5，-3，2）关于 的对称点是M （5，-3，-2）。

4． 设向量a 与b 有共同的始点，则与b a ,共面且平分a 与b 的夹角的向量为 5． 已知向量a 与b 方向相反，且||2||a b =，则b 由a 表示为b = 。

6．设b a ,有共同的始点，则以b a ,为邻边的平行四边形的两条对角线的向量分别为 。

三、选择题。

1．点（4，-3，5）到oy 轴的距离为 （A ）2225)3(4+-+ （B ）225)3(+-（C ）22)3(4-+ （D ）2254+ 2．已知梯形OABC 、CB //OA 且21a ，OC =b ，则AB = （A ）21b a - （B ）b a 21- （C ）a b -21 （D ）a b 21-3．设有非零向量b a ,，若a ⊥ b ，则必有（A+（B+-（C+<-（D+>-三、试证明以三点A（4，1，9）、B（10，-1，6）、C（2，4，3）为顶点的三角形为等腰直角三角形。

四、在yoz平面上求与三个已知点A（3，1，2）、B（4，-2，-2）、C（0，5，1）等距离的点D。

六、用向量方法证明：三角形两边中点的连线平行与第三边，且长度为第三边的一半。

空间解析几何与矢量代数小练习一 填空题 5’x9=45分1、 平行于向量)6,7,6(-=a 的单位向量为______________.2、 设已知两点)2,0,3()1,2,4(21M M 和，计算向量21M M 的模_________________， 方向余弦_________________和方向角_________________3、以点(1,3,-2)为球心，且通过坐标原点的球面方程为__________________.4、方程0242222=++-++z y x z y x 表示______________曲面.5、方程22x y z +=表示______________曲面.6、222x y z +=表示______________曲面.7、 在空间解析几何中2x y =表示______________图形.二 计算题 11’x5=55分1、求过点(3,0,-1)且与平面3x-7y+5z-12=0平行的平面方程.2、求平行于x 轴且过两点(4,0,-2)和(5,1,7)的平面方程.3、求过点(1,2,3)且平行于直线51132-=-=z y x 的直线方程.4、求过点(2,0,-3)且与直线⎩⎨⎧=+-+=-+-012530742z y x z y x 垂直的平面方5、已知：k i OA 3+=，k j OB 3+=，求OAB ∆的面积。

参考答案一 填空题1、⎩⎨⎧⎭⎬⎫-±116,117,116 2、21M M =2,21cos ,22cos ,21cos ==-=γβα,3,43,32πγπβπα===3、14)2()3()1(222=++-+-z y x4、以(1,-2,-1)为球心,半径为6的球面5、旋转抛物面6、 圆锥面7、 抛物柱面二 计算题1、04573=-+-z y x2、029=--z y3、531221-=-=-z y x 4、065111416=---z y x5 219==∆S。

空间解析几何与向量代数第七章 A 一、)?6(a?6,7,1、平行于向量的单位向量为______________.)0,,)和2M(3M(4,2,1MM.设已知两点的模，方向余弦和方向角，计算向量2、2121pn?4m?3j?5i??4ka?7nim?3?5j?8k,?2i?4j?k,p轴设3、在，求向量x .上的投影，及在y轴上的分向量二、；?b?b?2b及aab2()(?2a)?3及a k?2k,b??2j?iia?3?j(1)的、(3)ab1、设，求 .夹角的余弦1,2),M(3,3,?1),M(3,1,3),(M1MM,MM同时垂直的单位向量.，求与2、知31232211??b?z轴?与a??),4?(2,1?a?(3,5,2),b满足设.3、_________时，，问三、1、以点(1,3,-2)为球心，且通过坐标原点的球面方程为__________________.222?2x?4y??y2?zz?x0表示______________曲面2、方程.2x?y2 __将xOy坐标面上的轴旋转一周，生成的曲面方程为绕x、31)___________________._____________，曲面名称为22xy2x??生成的曲面方程坐标面上的2)将xOyx轴旋转一周，绕___________________._____________，曲面名称为2236??9y4x轴旋转一周，生成的曲面方轴及yxOy坐标面上的绕x3)将_____________________._____________程为，曲面名称为2xy?在空间解析几何中）在平面解析几何中图形。

表示____________ 42x?y图形.表示______________ ）画出下列方程所表示的曲面 5222)(x?y4z? (1)222)??4(xyz (2)四、22?yx1???图形，在空间解1在平面解析几何中表示____________、指出方程组94??3y??图形.析几何中表示______________2229?zx??y1?x?z.面上的投影方程的交线在2、求球面与平面xOy22222?ax(a?0xy?)yxa0?z???的公共部分在、求上半球与圆柱体3xOy面及xOz面上的投影.五、1、求过点(3,0,-1)且与平面3x-7y+5z-12=0平行的平面方程.2、求过点(1,1,-1)，且平行于向量a=(2,1,1)和b=(1,-1,0)的平面方程.33、求平行于xOz面且过点(2,-5,3)的平面方程.4、求平行于x轴且过两点(4,0,-2)和(5,1,7)的平面方程.六、1?3zyx???、求过点1(1,2,3)且平行于直线.的直线方程521 2??3zy1?zx?2且与两平面2、求过点(0,2,4)平行的直线方程,.0?7??x?2y4z? .垂直的平面方程(2,0,-3)3、求过点且与直线?0z?5x3?y2?1??x?4y?3z??的平面方程且通过直线. 4、求过点(3,1,-2)152 x?y?3z?0?x?y?z?1?0的夹角5、求直线.与平面?0??zyx??6、求下列直线与直线、直线与平面的位置关系x?2y?z?7?x?1y?3z??;与直线1)直线?7??2xy?z?112??? x?2y?2z?3??和平面2)x+y+z=3.直线43?1x?y?z?1?0?到直线、求点7(3,-1,2)的距离.?04????2xyz?5B c,a,b a?c?c?a?b?c?0b?b?a.1、已知（:为非零矢量），试证)ba,},求?(,a?b?{11,13a?b?, .2、a)tb(a?tb|a?|b?t b.取何值时，向量模和为两非零向量，问已知3、最小？并证明此时n)86,(a?3,xan?n? 4、求单位向量，使轴，其中.且?0?y?5z2x?z的平面方程轴，且与平面.的夹角为5、求过3)5()1,2M?3,,?1,(M40?3y?6x2?z7?.的平面，、求过点6，且垂直于2160?1??2y?zx?zxyl??.：、求过直线，且与直线平行的平面7?202?y?z?2x?21?1? 1?y??1?x?y?z：L.垂直相交的直线方程求在平面、上，:且与直线8?1?z??),2M(1,43M(,1,8)kg100，计算重力所做的功的物体从空间点9、设质量为，移动到点21m（长度单位为.）22?02xy?z??xoy坐标面上的投影曲线的方程，并指出原曲线是什么曲在10、求曲线?3z??线？OA?i?3k,OB?j?3k?OAB的面积，求、已知1170??z2x?4y?1??z4x?y.12、.求直线在平面上的投影直线方程?0??9y?2z3x??C?????????,c?0,??a,b,c?a?b?0,不全为零有相同起点,且，1、设向量，其中cb,a,终点共线证明:.?212y?x?)2,?1M(1,??L.且与直线，求过点角的直线方程：相交成2、0112?3z3y?x?1??0)3x?4y?z??10,(?10,4相交的直线方且平行于平面、过又与直线3211程.2z?yzxy1x?LL????.4、求两直线：：与直线的最短距离210?3?160?1xoy}1,1,g?{1，，母线平行于向量5、柱面的准线是面上的圆周（中心在原点，半径为1） .求此柱面方程a?xb?a?lim?)b(?2,a,b.非零，a,b，求6、设向量x30?x x?2y??L:绕y轴旋转一周所围成曲面方程7、求直线. ?1)1y?(?z??2?第七章空间解析几何与向量代数答案习题 A 8?667??,?, 1一、、??111111?????12132?????????,cos,coscos????,,MM ,2、=2,21222334a在x轴上的投影为7j3、，在y轴上的分量为1331)???2)?(?a?b?31?(?1)?2?(二、11）、kijk?7?5i?j3a?b??1?212?1k2j?14(??18a?2b?2a?b)?10i?62(?a)?3b??(a?b)，（2）3ba?^??cos(a,b)（3）ba?212}2?,2,{?2,4,?1},MM?{0MM 2、3122kijk44j???MM?24?1?6iMa?M3221220?4??4a6},,???{a172172217即为所求单位向量。

A12

B12

C
2 1
A22

B
2 2

C
2 2
（3）直线与平面相交（夹角）
设直线 L 的方向向量为 s (m, n, p) , 平面 的法向量为
n ( A, B,C), 则它们的交角： Am Bn Cp
sin
A2 B2 C 2 m2 n2 p2
（4）线、面之间的平行与垂直
3 3
则
a 15 , b 5 a 25
17
3
17
于是
p ( 15 17 , 25 17, 0 )
【例8】已知向量 a (4, 3, 2)，u 轴与三坐标轴正向构成 相等锐角，求 a 在 u 轴上的投影。
分析：先求出 u 轴上的单位向量，再利用向量投影公式。
解：设 u 轴的方向余弦分别为 cos,cos ,cos ，
解：M1M2 (1, 2,1)
| M1M2 | 2
方向余弦为
cos 1
2
, cos

2 2
, cos
1 2
方向角为 2 , 3 , 1
3
4
3
【例2】确定 , , 的值，使向量i 3 j ( 1)k 与向量
( 3)i ( ) j 3k 相等。并求此时向量的模与方向余弦。
分析： 向量相等的定义是向量坐标对应相等。
解： 由已知条件得
3

3




1 3
易得
1



4
1
即当 1, 4, 1 时两向量相等。 此时向量为

第七章 空间解析几何一、选择题1. 在空间直角坐标系中，点（1，－2，3）在[ D ] A. 第一卦限 B. 第二卦限 C. 第三卦限 D. 第四卦限2.方程2222=+y x 在空间解析几何中表示的图形为[ C ] A. 椭圆 B. 圆 C. 椭圆柱面 D. 圆柱面 3.直线312141:1+=+=-z y x l 与⎩⎨⎧=-++=-+-0201:2z y x y x l ，的夹角是 [ C ] A.4π B. 3π C. 2πD. 0 4. 在空间直角坐标系中，点（1，2,3）关于xoy 平面的对称点是[ D ] A. (-1,2,3) B. (1,-2,3) C. (-1,-2,3) D. (1,2,-3)5.将xoz 坐标面上的抛物线x z 42=绕z 轴旋转一周，所得旋转曲面方程是[B ] A. )(42y x z += B. 2224y x z +±=C. x z y 422=+ D. x z y 422±=+6.平面2x-2y+z+6=0与xoy 平面夹角的余弦是[B ] A. 13- B.13 C. 23- D. 237. 在空间直角坐标系中，点（1，2,3）关于yoz 平面的对称点是[ A ]A. (-1,2,3)B. (1,-2,3)C. (-1,-2,3)D. (1,2,-3)8.方程22222x y z a b+=表示的是 [ B ]A.椭圆抛物面B.椭圆锥面C. 椭球面D. 球面9. 已知a ϖ={0, 3, 4}, b ϖ={2, 1, -2},则=b proj a ϖρ[ C ]A. 3B.31-C. -1D.1 10．已知,a b 为不共线向量，则以下各式成立的是 DA. 222()a b a b =• B. 222()a b a b ⨯=⨯C. 22()()a b a b •=⨯D. 2222()()a b a b a b •+⨯=11．直线1l 的方程为03130290x y z x y z ++=⎧⎨--=⎩，直线2l 的方程为03031300x y z x y z ++=⎧⎨--=⎩，则1l 与2l 的位置关系是 DA.异面B.相交C.平行D.重合12．已知A 点与B 点关于XOY 平面对称，B 点与C 点关于Z 轴对称，那么A 点与C 点是 CA.关于XOZ 平面对称B.关于YOZ 平面对称C.关于原点对称D.关于直线x y z ==对称13．已知A 点与B 点关于YOZ 平面对称，B 点与C 点关于X 轴对称，那么A 点与C 点 C A.关于XOZ 平面对称 B.关于XOY 平面对称 C.关于原点对称 D.关于直线x y z ==对称 14. 下列那个曲面不是曲线绕坐标轴旋转而成的 CA.2221x y z ++= B.221x y z ++= C.21x y z ++= D.221x y z ++=15. 已知,a b 为不共线向量,则下列等式正确的是 CA.2a a a = B. 2()a a b a b ••= C. 2()a b b ab ••= D. 222()a b a b =•16．已知向量(1,2,1)a =，(3,4,3)b =--，那么以,a b 为两边的平行四边形的面积是 B A.20B. C.10D.17．已知直线l 方程2303450x y z x y z ++=⎧⎨++=⎩与平面π方程20x z -++=，那么l 与π的位置关系是CA. l 在π内B. l 垂直于πC. l 平行于πD.不能确定18．两向量,a b 所在直线夹角4π，0ab <，那么下列说法正确的是 B A. ,a b 夹角4πB. ,a b 夹角34πC. ,a b 夹角可能34π或4π D.以上都不对19.已知||1=a，||=b ¶(,)4π=a b ，则||+=a b （D ）. (A) 1(B) 1+ (C) 2(D) 20.设有直线3210:21030x y z L x y z +++=⎧⎨--+=⎩及平面:4220x y z π-+-=，则直线L （ C ）。

类似地可讨论 B = 0 , C = 0 情形. 情形.
( 3) A = B = 0 , 平面平行于 xoy 坐标面； 坐标面；
类似地可讨论 A = C = 0 , B = C = 0 情形 .
例3 设平面过原点及点 (6 , − 3 , 2) , 且与平面
4 x − y + 2z = 8
求此平面方程. 垂直 , 求此平面方程. 解 设平面为 Ax + By + Cz + D = 0 , 由平面过原点知
两平面平行但不重合 .
2 −1 −1 , 两平面平行 = = ( 3) Q 2 −4 2 Q M (1 , 1 , 0) ∈ Π 1 , M (1 , 1 , 0) ∈ Π 2
两平面重合. ∴ 两平面重合.
例7 设 P0 ( x0 , y0 , z 0 ) 是平面 Ax + By + Cz + D = 0 外一点， 到平面的距离. 外一点，求 P0 到平面的距离. 解 ∀ P1 ( x1 , y1 , z1 ) ∈ Π
已知平面上的一个点为 M 0 ( x0 , y0 , z0 ) , 设平面上的任一点为 M ( x , y , z ) , r r 必有 M 0 M ⊥ n ⇒ M 0 M ⋅ n = 0 .
Q M 0 M = { x − x 0 , y − y0 , z − z 0 }
∴ A( x − x0 ) + B( y − y0 ) + C(z − z0 ) = 0
c
y
o
b
x
a
⇒
D D D A=− , B=− , C =− . a b c
D D D 将 A = − , B = − , C = − , 代入所设方程得 a b c

第七章空间分析几何与向量代数A一、1、平行于向量a(6,7, 6) 的单位向量为______________.2、设已知两点M1( 4, 2 ,1)和 M 2 (3,0,2) ，计算向量M1M2的模，方向余弦和方向角.3、设m3i 5j 8k , n 2i 4j 7k ,p 5i j 4k ，求向量 a 4m 3n p 在x轴上的投影，及在y 轴上的分向量.二、1、设a3i j 2k ,b i 2j k ，求(1) a b及 a b；(2)( 2a) 3b及 a 2b (3) a、b的夹角的余弦 .2、知M1(1, 1,2), M2(3,3,1), M3(3,1,3)，求与M1M2,M2M3同时垂直的单位向量.3、设a(3,5, 2), b (2,1,4) ，问与知足_________时，a b z轴.三、1、以点 (1,3,-2)为球心，且经过坐标原点的球面方程为__________________.2、方程x2y 2z 22x 4 y 2z0 表示______________曲面.3、 1) 将 xOy 坐标面上的y22x 绕x轴旋转一周，生成的曲面方程为_______________ ，曲面名称为 ___________________.2) 将 xOy 坐标面上的x2y 22x 绕x轴旋转一周，生成的曲面方程_____________，曲面名称为 ___________________.3) 将 xOy 坐标面上的4x29 y 236 绕x轴及y轴旋转一周，生成的曲面方程为 _____________，曲面名称为 _____________________.4）在平面分析几何中y x2表示____________图形。

在空间分析几何中y x 2表示______________图形.5）画出以下方程所表示的曲面(1)z24( x 2y2 )(2) z4( x2y 2 )四、x 2 y 2 1在平面分析几何中表示 ____________图形，在空间解1、指出方程组 4 9y 3析几何中表示 ______________图形 .2、求球面x2 y2 z2 9 与平面x z 1的交线在xOy面上的投影方程.3、求上半球0 za2 x 2 y2与圆柱体x2 y 2 ax (a 0) 的公共部分在xOy 面及 xOz 面上的投影 .五、1、求过点 (3,0,-1)且与平面3x-7y+5z-12=0平行的平面方程.2、求过点 (1,1,-1)，且平行于向量a=(2,1,1)和b=(1,-1,0)的平面方程.3、求平行于xOz 面且过点 (2,-5,3)的平面方程.4、求平行于x 轴且过两点 (4,0,-2)和(5,1,7)的平面方程.六、1、求过点 (1,2,3) 且平行于直线xy 3z 1的直线方程 .2 1 52、求过点 (0,2,4)且与两平面x 2z 1 ,y3z 2 平行的直线方程.3、求过点 (2,0,-3)x 2 y 4z 7 0且与直线5 y 2z 1垂直的平面方程 .3x 04、求过点 (3,1,-2) 且经过直线x 4y 3z的平面方程 .5 2 1x y 3z 0 y z 1 0 的夹角 .5、求直线y z与平面 xx 06、求以下直线与直线、直线与平面的地点关系1) 直线x 2y z 7 与直线 x 1y 3 z ;2x y z 7 21 12) 直线 x 2 y 2 z 3和平面 x+y+z=3.3 1 47、求点 (3,-1,2)x y z 1 0到直线y z 4 的距离 .2x 0B1、已知 a b c 0 （ a, b, c 为非零矢量），试证 : a b b c c a .2、 a b 3, a b { 1,1,1}, 求 (a, b) .3、已知 a 和 b 为两非零向量， 问 t 取何值时， 向量模 | a t b |最小？并证明此时 b (atb ) .4、求单位向量 n ，使 n a 且 n x 轴，此中 a (3,6,8) .5、求过 z 轴，且与平面 2x y 5z 0 的夹角为的平面方程 .36、求过点 M 1 (4,1,2) ， M 2 ( 3,5, 1) ，且垂直于 6x 2y 3z 7 0 的平面 .x 2y z 1 0 l 2 x y z 7、求过直线y z2 0 ，且与直线 ：1 平行的平面 .2x128、求在平面: x y z 1 上，且与直线y 1L ：垂直订交的直线方程 .z 19、设质量为 100kg 的物体从空间点M 1 (3,1,8) ，挪动到点 M 2 (1,4,2) ，计算重力所做的功（长度单位为 m ） .10、求曲线y 2 z 22x 0在 xoy 坐标面上的投影曲线的方程，并指出原曲线是什么曲z 3线？11、已知 OA i 3k , OB j 3k ，求 OAB 的面积2x 4 y z 0 y z 1上的投影直线方程 .12、 . 求直线y 2z9在平面 4x3xC1、设向量 a, b, c 有同样起点 , 且a b c 0 ，此中 0 ， , , 不全为零 ,证明 : a,b,c 终点共线 .2、求过点 M 0 (1,2, 1) ，且与直线 L ：x2y 12订交成 角的直线方程 .21 1 33、过 ( 1,0,4) 且平行于平面 3x4 y z100 又与直线x1 y 3z订交的直线方1 12程 .4、求两直线 L 1 ：x 1yz与直线L 2：xy z2的最短距离 .1163 05、柱面的准线是 xoy 面上的圆周（中心在原点，半径为1），母线平行于向量 g {1,1,1} ，求此柱面方程 .6、设向量 a,b 非零， b 2, (a,b)a xba.，求 limx3xx 2 y7、求直线 L :z1( y 1) 绕 y 轴旋转一周所围成曲面方程 .2第七章 空间分析几何与向量代数习题答案A一、 1、6,7,611 11 112、M 1 M 2 =2, cos1 21 23, cos ,cos , ,,32 22343、 a 在 x 轴上的投影为 13，在 y 轴上的重量为 7j二、 1、 1） a b 3 1 ( 1) 2 ( 2) ( 1) 3i j k a b312 5ij 7k1 21（2） ( 2a) 3b6(a b) 18 ， a 2b 2( a b) 10i 2 j14k^ a b3（ 3） cos(a, b)a b2 212、 M 1M 2 { 2,4, 1},M 2M 3 {0, 2,2}i j ka M 1M 2 M 2M3 2 4 1 6i 4 j 4k0 2 2a { 6 ,2 4 , 4 }a 2 17 17 2 17即为所求单位向量。

【最新整理，下载后即可编辑】第七章空间解析几何与向量代数1．求点(2,－3,－1)关于：（1）各坐标面；（2）各坐标轴；（3）坐标原点的对称点.解答：（1）xOy面：()---，zOx面：()2,3,12,3,1-；2,3,1-，yOz面：()（2）x轴：()2,3,1，y轴：()2,3,1--；--，z轴：()2,3,1（3）()-2,3,1.所属章节：第七章第一节难度：一级2．求点（4，－3，5）到坐标原点和各坐标轴的距离.解答：点（4，－3，5）到坐标原点的距离为=点（4，－3，5）到x=点（4，－3，5）到y=点（4，－3，5）到z5=.所属章节：第七章第一节难度：一级3．把两点（1，1，1）和（1，2，0）间的线段分成两部分，使其比等于2：1，试求分点的坐标.解答：设分点坐标为(,,)x y z ，则由条件11121201x y z x y z ---===---，解得511,,33x y z ===，即所求分点坐标为511,,33⎛⎫⎪⎝⎭.所属章节：第七章第一节 难度：一级4．设立方体的一个顶点在原点，三条棱分别在三条坐标轴的正半轴上，已知棱长为a ，求各顶点的坐标. 解答：各顶点的坐标为：()()()()()()()()0,0,0,,0,0,0,,0,0,0,,,,,,,0,,0,,0,,.a a a a a a a a a a a a所属章节：第七章第一节 难度：一级5．在yOz 平面上求一点，使它与点A （3，1，2），点B （4，－2，－2）和点C （0，5，1）的距离相等.解答：设所求点为(0,,)P y z ，则由条件有PA PB PC ==，故==，解得1,2y z ==-.即所求点为(0,1,2)-. 所属章节：第七章第一节 难度：一级6．在z 轴上求一点，使它到点A （－4，1，7）和点B （3，5，－2）的距离相等.解答：设所求点为(0,0,)P z ，则由条件有PA PB =，故=解得149z =.即所求点为14(0,0,)9. 所属章节：第七章第一节 难度：一级7．已知向量a 和b 的夹角为60°，且5,8,==a b 试求+a b 和.-a b 解答：由于222((2cos 129θ+=+⋅+++=a b a b)a b)=a b a b ，代入已知条件，即可得+=a b又由于222((2cos 49θ-=-⋅-+-=a b a b)a b)=a b a b ，故7-=a b .所属章节：第七章第三节 难度：二级8．设向量a 和b 的夹角为2π3，且3,4,==a b 试求： （1）⋅a b（2）()()322-⋅+a b a b解答：（1）2cos 34cos 63θπ⋅⋅⋅=⨯⨯=-a b =a b ；（2）22(32)(2)34461-⋅+=-+⋅-a b a b a b a b =. 所属章节：第七章第三节 难度：二级9．设23,3,=+=-A a b B a b 其中2,1,==a b 向量a 和b 的夹角为π3，试求⋅A B 及Pr oj B A . 解答：2222(23)(3)637637cos 28θ⋅=+⋅-=-+⋅=-+⋅⋅=A B a b a b a b a b a b a b ；由于22222(3)(3)9696cos 31θ=⋅-⋅-=+-⋅=+-⋅⋅=B B B =a b a b a b a b a b a b ，所以Pr oj31B ⋅===A B A B . 所属章节：第七章第三节 难度：二级10．设2,,1,2,k =+=+==A a b B a b a b 且,⊥a b 问： （1）k 为何值时，;⊥A B（2）k 为何值时，A 与B 为邻边的平行四边形面积为6.解答：(1) 要使⊥A B ，则⋅=A B ，即22(2)()2(2)0k k k +⋅+=+++⋅=a b a b a b a b ，代入条件即240k +=，解得2k =-；（2）要使以A 与B 为邻边的平行四边形面积为6，即6⨯=A B ，代入条件即23k -=，解得1k =-或 5.k = 所属章节：第七章第四节 难度：二级11．已知向量a +3b 垂直于向量7a －5b ,向量a －4b 垂直于向量7a －2b ,试求向量a 与b 的夹角.解答：因为a +3b ⊥7a -5b ，a -4b ⊥7a -2b ，所以 (a +3b )⋅(7a -5b )=0, (a -4b )⋅(7a -2b )=0，即 7|a |2+16a ⋅b -15|b |2 =0, 7|a |2-30a ⋅b +8|b |2 =0， 由以上两式可得 b a b a ⋅==2||||,于是21||||) ,cos(^=⋅⋅=b a b a b a ，3) ,(^π=b a . 所属章节：第七章第三节 难度：二级12．设[],,2,=a b c 求：()()(),,.+++⎡⎤⎣⎦a b b c c a 解答：()()()[],,[()()]()()()2,,4+++=+⨯+⋅+=⨯+⨯⋅+==⎡⎤⎣⎦a b b c c a a b b c c a a b a c c a a b c .所属章节：第七章第四节 难度：二级13．设{}{}3,2,6,2,1,0,=-=-a b 试求下列各向量的坐标： （1）;+a b （2）1;2-b （3）1.3+a b 解答：（1）{}{}{}3,2,62,1,01,1,6+---a b =+=； （2）{}1112,1,01,,0222⎧⎫----⎨⎬⎩⎭b ==；（3）{}{}1113,2,62,1,01,,2333⎧⎫+-+-=-⎨⎬⎩⎭a b =. 所属章节：第七章第二节 难度：一级14．求向量=++a i k 的模以及它与坐标轴之间的夹角.解答：2==a ；与坐标轴的夹角余弦分别为1111cos ,cos 222αβγ======a a a ， 故与坐标轴的夹角分别为°°°60,45 ,60αβγ===.所属章节：第七章第二节 难度：一级15．已知一向量的起点是A (2,－2,5),终点是B (－1,6,7),试求： （1）向量AB 在各坐标轴上的投影； （2）向量AB 的模和方向余弦； （3）AB 的单位向量. 解答：由于向量{}3,8,2AB =-，所以（1）向量AB 在各坐标轴上的投影为382-，，；（2）向量AB 的模(3)-=，方向余弦为cosαβγ===；（3）AB 的单位向量AB AB ⎧=⎨⎩. 所属章节：第七章第二节 难度：一级16．已知向量{}3,1,2-的起点坐标为（2，0，－5），求它的终点坐标.解答：终点坐标为()()()3,1,22,0,55,1,3-+-=--. 所属章节：第七章第二节 难度：一级17． 已知向量的终点为B （2，－1，7），它在坐标轴上的投影依次为4、－4和7，求该向量起点A 的坐标. 解答：起点A 的坐标()()()2,1,74,4,72,3,0---=-. 所属章节：第七章第二节 难度：一级18．已知向量{}{}1,1,5,2,3,5,==-a b 求与3-a b 同向的单位向量. 解答：由于{}{}{}31,1,532,3,55,10,10-=--=--a b ，单位化，与3-a b 同向的单位向量为{}311225,10,10,,315333-⎧⎫=--=--⎨⎬-⎩⎭a b a b . 所属章节：第七章第二节 难度：一级19．设向量{}{},5,1,3,,,l l m =-=a b 且//a b ，试求l 与m 的值. （题目与解答不统一）如果题目中向量为{}{},5,1,3,1,l m =-=a b ，则答案为115,.5l m ==-即原参考答案，下面按原题解答. 参考答案：115,.5l m ==-解答：由于//a b ，所以513l l m-==，解得l m ==或5l m ==.所属章节：第七章第二节 难度：一级20．已知向量32,23,=++=--a i j k b i j k 试求⋅a b 与.⨯a b 解答：321(3)2(1)1⋅=⨯+⨯-+⨯-=a b ；{}3125,7,11231⨯==---ij ka b .所属章节：第七章第四节 难度：一级21．已知()()()1,2,34,4,32,4,3A B C ---、、和()8,6,6D ，试求向量AB 在向量CD 上的投影.解答：{}3,2,6AB =--，{}6,2,3CD =，4Pr oj 7CD AB CD AB CD⋅==-. 所属章节：第七章第四节 难度：一级22．设直线L 通过点（－2，1，3）和（0，－1，2），求点（10，5，10）到直线L 的距离.解答：设(2,1,3),(0,1,2),(10,5,10)A B P --，点P 到直线L 的距离为d ，则{}{}{}12,4,7,10,6,8,2,2,1PA PB AB =---=---=--利用12PAB S PA PB ∆=⨯，12PAB S AB d ∆=⨯，解得d =所属章节：第七章第四节 难度：二级23．求点（1，－3，2）关于点（－1，2，1）的对称点. 解答：设(1,3,2),(1,2,1)A B --，所求点为(,,)C x y z ，由题意知AB BC →→=，即{}{}2,5,11,2,1x y z --=+--，解得(3,7,0)C -. 所属章节：第七章第四节 难度：一级24．求以向量25,33,25=+=+=-a i j b j k c j k 为相邻三棱的平行六面体的体积.解答：由于25[,,]03342025==--a b c ，所以所求六面体的体积为[,,]42V ==a b c .所属章节：第七章第四节 难度：三级25．试证()()()2,1,2,1,2,1,2,3,0A B C --和()5,0,6D -四点共面. 解答：由题意{}{}{}1,3,3,0,4,2,3,1,4AB AC AD =-==-，由于133[,,]0420314AB AC AD -==-，所以,,,A B C D 四点共面. 所属章节：第七章第四节 难度：三级26．确定球面22224470x y z x y z ++-+--=的球心和半径. 参考答案：球心()1,2,2, 4.R -=（本题参考答案有误） 解答：将原方程22224470x y z x y z ++-+--=配方，得222(1)(2)(2)9x y z -+++-=，故球心为(1,2,2)-，半径为3R =.所属章节：第七章第五节 难度：一级27．一球面过坐标原点和()()()2,0,01,1,01,0,1A B C -、、三点，试确定该球面的方程. 参考答案：()2221 1.x y z -++=解答：设球面的方程为2222000()()()x x y y z z R -+-+-=，将它所经过的四个点的坐标代入，即可解得0001,0,1x y z R ====，即球面方程为()22211x y z -++=. 所属章节：第七章第五节 难度：二级28．试求与()()122,1,34,1,2M M --、距离相等的点的轨迹方程. 参考答案：44107.x y z +-=解答：设动点坐标为(,,)P x y z ，则由条件有12PM PM =，故有222222(2)(1)(3)(4)(1)(2)x y z x y z -+++-=-+-++，化简得44107x y z +-=. 所属章节：第七章第五节 难度：一级29．指出下列方程所表示的曲面：（1）22111;222x y ⎛⎫⎛⎫++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（2）221;49x y -=（3）221;49y z += （4）22z y =+解答：（1）母线平行于z 轴的圆柱面； （2）母线平行于z 轴的双曲柱面； （3）母线平行于x 轴的椭圆柱面； （4）母线平行于x 轴的抛物柱面. 所属章节：第七章第五节 难度：一级30．说明下列旋转曲面是如何形成的并写出其名称：（1）2221;4y x z +-=（2）224;x y z +=（3）2221;169z x y +-= （4）2224x y z +=解答：（1）旋转单叶双曲面，它是由双曲线221,40y x z ⎧-=⎪⎨⎪=⎩或221,40y z x ⎧-=⎪⎨⎪=⎩绕y 轴旋转而成；（2）旋转抛物面，它由抛物线24,0x z y ⎧=⎨=⎩或24,0y z x ⎧=⎨=⎩绕z 轴旋转而成；（3）旋转双叶双曲面，它是由双曲线221,1690z x y ⎧-=⎪⎨⎪=⎩或221,1690z y x ⎧-=⎪⎨⎪=⎩绕z 轴旋转而成；（4）圆锥面，它由相交的两条直线224,0x z y ⎧=⎨=⎩或224,y z x ⎧=⎨=⎩绕z 轴旋转而成.所属章节：第七章第五节 难度：一级31．建立下列旋转曲面的方程：（1）曲线25:,0z xL y ⎧=⎨=⎩绕x 轴旋转一周所生成的旋转曲面；（2）yOz 平面上的椭圆22149y z +=绕z 轴旋转一周所生成的曲面；（3）xOy 平面上的双曲线224936x y -=绕y 轴和x 轴旋转一周所生成的曲面； （4）直线2,0y xz =⎧⎨=⎩绕x 轴旋转一周所生成的曲面.解答：（1）225;y z x +=（2）2221;449x y z ++=（3）绕y 轴：22249436,x y z -+= 绕x 轴：22249936;x y z --= （4）22240.x y z --= 所属章节：第七章第五节 难度：一级32．指出下列方程所表示的曲线：（1）22225.3;x y z x ⎧++=⎨=⎩（2）()()2221425,10;x y z y ⎧-+++=⎪⎨+=⎪⎩（3）221;9420y z x ⎧-=⎪⎨⎪-=⎩（4）24;1x yz ⎧=⎨=⎩（5）2221;169420.x y z x ⎧++=⎪⎨⎪-=⎩解答：（1）平面x =3上的圆； （2）平面y =－1上的圆；（3）平面x =2上的双曲线； （4）平面z =1上的抛物线； （5）平面x =2上的椭圆. 所属章节：第七章第五节 难度：一级33．求曲线22236,2x y z z ⎧++=⎨=⎩在xOy 平面上的投影曲线.（原参考答案有误）解答：在所给方程中消去z ，得2212x y +=，加上0z =，即得22320x y z ⎧+=⎨=⎩. 所属章节：第七章第五节 难度：一级34．求曲线22,1z x y x y z ⎧=+⎨++=⎩在xOy 平面上的投影曲线.解答：在所给方程中消去z ，得22113222x y ⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，加上0z =，即得221132220x y z ⎧⎛⎫⎛⎫+++=⎪ ⎪ ⎪⎨⎝⎭⎝⎭⎪=⎩. 所属章节：第七章第五节难度：一级35．求下列曲线在xOy 平面上的投影：（1）22222241,;x y z x y z ⎧++=⎪⎨=+⎪⎩（2）222224, 1.x y x y z ⎧+=⎪⎨-+=-⎪⎩解答：（1）在所给方程中消去z ，得22531x y -=，加上0z =，即得22531x y z ⎧-=⎨=⎩； （2）在所给方程中消去z ，得224x y +=，加上0z =，另外由2221x y z -+=-知2221y x z =++，故1y ≥，于是投影曲线为224x y z ⎧+=⎨=⎩ 且1y ≥.所属章节：第七章第五节 难度：二级36．求曲线()2222221,11x y z x y z ⎧++=⎪⎨++-=⎪⎩在各坐标面上的投影：? 解答：xOy面：223,,40x y z ⎧+=⎪⎨⎪=⎩yOz 面：210,z x -=⎧⎨=⎩且y ≤xOz 面：210,0z y -=⎧⎨=⎩且2x ≤所属章节：第七章第五节 难度：二级37．求下列各平面的方程：（1）平行与（于）Oy轴，且通过点（1，－5，1）和（3，2，－2）；（2）通过Ox轴和点（4，－3，－1）；（3）平行于xOz平面，且通过点（3，2，－7）.解答：（1）由于所求平面平行于Oy轴，故可设方程为+-=；++=，将另外两点坐标代入即得3250x zAx Cz D（2）由于所求平面通过Ox轴，故可设方程为0+=，By Cz 将另一点坐标代入即得30-=；y z（3）由于所求平面平行于xOz平面，故可设方程为y=.-，故2By D+=，又通过点(3,2,7)所属章节：第七章第六节难度：一级38. 设点P（3，－6，2）为原点到一平面的垂足，求该平面的方程.解答：法向量为{}n OP→3,6,2==-，所求平面的方程为x y z--++-=，即3(3)6(6)2(2)0-+-=.x y z362490所属章节：第七章第六节难度：一级39．求通过两点（8，－3，1）和（4，7，2），且垂直于平面+--=的平面方程.35210x y z解答：由条件可设法向量为{}{}{}n=-⨯-=---，4,10,13,5,115,1,50由点法式方程得++-=.15501670x y z所属章节：第七章第六节难度：二级40．求通过点()1,2,1P且垂直于两平面0y z+=的平面方+=和50x y程.解答：由条件可设法向量为{}{}{}1,1,00,5,11,1,5n=⨯=-，由点法式方程得-+-=.x y z540所属章节：第七章第六节难度：二级41．求一个通过点()3,2,1-且平行y轴的平面方程.-和()1,5,1解答：由条件可设法向量为{}{}{}2,7,20,1,02,0,2n =-⨯=，由点法式方程得20x z +-=.所属章节：第七章第六节 难度：二级42．求a 和b 的值，使：（1）平面2350x ay z ++-=与620bx y z --+=平行； （2）平面3530x y az -+-=与3250x y z +++=垂直. 解答：（1）要使平面2350x ay z ++-=与620bx y z --+=平行，则两个法向量平行，故有2361a b ==--，解得218,3a b ==-； （2）要使平面3530x y az -+-=与3250x y z +++=垂直，必须两个法向量垂直，故有31(5)320a ⨯+-⨯+⨯=，解得6a =. 所属章节：第七章第六节 难度：一级43．求过点（2，－3，8）且平行于直线243325x y z --+==-的直线方程.解答：由于两直线平行，方向向量相同，故得所求直线方程238325x y z -+-==-. 所属章节：第七章第七节 难度：一级44．求过点（4，－2，3）且垂直于平面2310x y z +-+=的直线方程.解答：由于所求直线垂直于已知平面，它的方向向量与该平面的法向量相同，即{}1,2,3s =-，于是所求方程为423123x y z -+-==-. 所属章节：第七章第七节 难度：一级45．求过点（－1，2，1）且平行于直线210,210x y z x y z +--=⎧⎨+-+=⎩的直线方程.解答：已知直线的方向向量为{}{}{}1,1,21,2,13,1,1s =-⨯-=-，所求直线方向向量与它相同，于是所求直线方程为121311x y z +--==-. 所属章节：第七章第七节 难度：二级46．试求下列直线的标准方程：（1）240,3290;x y z x y z -+=⎧⎨--+=⎩（2）350;280.x z y z -+=⎧⎨-+=⎩解答：（1）令0x =，代入方程，求得直线上一点坐标为(0,1,4)，方向向量为{}{}{}2,4,13,1,29,7,10s =-⨯--=， 于是标准方程为14;9710x y z --== （2）令0z =，代入方程，求得直线上一点坐标为(5,8,0)--，方向向量为{}{}{}1,0,30,1,23,2,1s =-⨯-=，于是标准方程为58.321x y z++== 所属章节：第七章第七节 难度：二级47．确定下列直线与平面的位置关系： （1）34273x y z++==-与42230;x y z ---=（2）327x y z ==--与641490.x y z -+-= 解答：（1）直线的方向向量{}2,7,3s =-，平面的法向量{}4,2,2n =--，易证s n ⊥，故所给直线与平面平行；（2）直线的方向向量{}3,2,7s =--，平面的法向量{}6,4,14n =-，易证sn ，故所给直线与平面垂直.所属章节：第七章第七节 难度：一级48．确定下列直线间的平行或垂直关系：（1）27,27x y z x y z +-=⎧⎨-++=⎩与3638,20.x y z x y z +-=⎧⎨--=⎩（2）21,21x y y z +=⎧⎨-=⎩与1,2 3.x y x z -=⎧⎨-=⎩解答：（1）直线27,27x y z x y z +-=⎧⎨-++=⎩的方向向量为{}11213,1,5211i j ks =-=-，直线3638,20.x y z x y z +-=⎧⎨--=⎩的方向向量为{}23639,3,15211i j ks =-=-----，由于它们平行，所以两条直线平行； （2）直线21,21x y y z +=⎧⎨-=⎩的方向向量为{}11202,1,2021ij ks ==--，直线1,2 3.x y x z -=⎧⎨-=⎩的方向向量为{}21102,2,1102ijk s =-=-，由于它们垂直，所以两条直线垂直. 所属章节：第七章第七节 难度：二级49．求直线221312x y z +-+==与平面23380x y z ++-=的交点和交角. 参考答案：()1,1,1,arcsin 154（参考答案有误？）解答：将直线方程221312x y z +-+==改写成参数形式32221x t y t z t =-⎧⎪=-+⎨⎪=-⎩，代入所给平面方程23380x y z ++-=，解得1t =，再代回直线方程，即得交点(1,1,1)；由于直线的方向向量为{}3,1,2s =，平面的法向量{}2,3,3n =，所以交角的正弦为sin 15414s n s nϕ⋅===⋅⋅，于是交角为arcsin154.所属章节：第七章第七节 难度：二级50．求点（3，－1，－1）在平面23300x y z ++-=上的投影. 解答：过已知点()3,1,1--向已知平面作垂线311123x y z -++==，参数形式为32131x t y t z t =+⎧⎪=-⎨⎪=-⎩，代入已知平面解得参数167t =，于是交点也即所求投影点为372541,,777⎛⎫⎪⎝⎭. 所属章节：第七章第七节 难度：二级51．求点（2，3，1）在直线722123x y z +++==上的投影.解答：过已知点作垂直于已知直线的平面(2)2(1)3(1)0x y z -+-+-=，再将已知直线的参数方程72232x t y t z t =-⎧⎪=-⎨⎪=-⎩代入，即得参数2t =，两者交点即所求投影点为(5,2,4)-. 所属章节：第七章第七节 难度：二级52．在平面1x y z ++=上求作一直线，使它与直线1,1y z ==-垂直相交.解答：由于所求直线与直线1,1y z ==-垂直，故可作平面平行与该已知直线，得平面方程0x x =，联立已知平面方程1x y z ++=，得一条直线01x x x y z =⎧⎨++=⎩，又由于所求直线与直线1,1y z ==-相交，将1,1y z ==-代入直线方程01x x x y z =⎧⎨++=⎩，可得01x =，于是所求直线方程为11x x y z =⎧⎨++=⎩，即111011x y z --+==-. 所属章节：第七章第七节 难度：三级53．通过点（－1，0，4）作一直线，使它平行于平面34100,x y z -+-=且与直线13312x y z +-== 相交.解答：过点（－1，0，4）作一平面，使它平行于平面34100x y z -+-=，得3410x y z -+-=， 由于所求直线与已知直线13312x y z+-== 相交，将已知直线方程化为参数方程3132x t y t z t =-⎧⎪=+⎨⎪=⎩，代入平面方程3410x y z -+-=，得交点413732(,,)777，此为所求直线上另一点，过两点作出直线1448374x y z +-==，即为所求. 所属章节：第七章第七节 难度：三级54．求两异面直线11112x y z +-==和12134x y z +-==之间的距离. 解答：分别在两条已知直线上任取一点，如取(1,0,1),(0,1,2)P Q --，连接两点得向量{}1,1,1PQ →=-，作与两条已知直线都垂直的向量{}{}{}1,1,21,3,42,2,2s =⨯=--，则所求距离为Pr 312s PQ s d oj PQ s→→⋅====. 所属章节：第七章第七节 难度：三级55．一直线通过点（1，2，1）并与2xy z ==-相交，且垂直于直线11,321x y z -+==求它的方程. 解答：过已知点(1,2,1)P 作垂直于已知直线11321x y z -+==的平面，得:3280x y z π++-=，它与已知直线2x y z ==-交于点1688(,,)777Q -，连接,P Q ，即得所求直线121325x y z ---==-. 所属章节：第七章第七节 难度：二级56．求通过直线0,20x y x y z +=⎧⎨-+-=⎩且平行于直线x y z ==的平面方程.解答：过直线0,20x y x y z +=⎧⎨-+-=⎩的平面束为(2)0x y x y z λ++-+-=，即(1)(1)20x y z λλλλ++-+-=，由于它与直线x y z ==平行，故(1)(1)0λλλ++-+=，解得2λ=-，于是所求平面方程为3240x y z -+-=.所属章节：第七章第七节 难度：二级57．求通过直线240,3290x y z x y z -+=⎧⎨---=⎩且垂直于平面41x y z -+=的平面方程.解答：过直线2403290x y z x y z -+=⎧⎨---=⎩的平面束为24(329)0x y z x y z λ-++---=，即(23)(4)(12)90x y z λλλλ++--+--=，由于它垂直于平面41x y z -+=，故两者的法向量平行，解得1311λ=-，代回平面束方程，即得所求平面方程1731371170x y z +--=. 所属章节：第七章第七节 难度：二级58．过两平面0x y z +-=和20x y z ++=的交线，作两个互相垂直的平面，且使其中一个平面通过点A （0，1，－1）.解答：过两平面0x y z +-=和20x y z ++=的交线的平面束方程为(2)0x y z x y z λ+-+++=，即(1)(12)(1)0x y z λλλ++++-+=，由于其中一个平面经过点(0,1,1)A -，将此点坐标代入平面束方程，得2λ=-，得到一个平面330x y z ++=，由于平面束中的另一个平面与上面平面垂直，利用法向量垂直，解得98110x y z +-=. 所属章节：第七章第七节 难度：三级。