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以《数列》为例谈数学文化在教材中的引入作者：谢晨明来源：《中学课程辅导·教师通讯》2018年第06期【内容摘要】十九大提出了“发展素质教育，推进教育公平，培养德智体美全面发展的社会主义建设者和接班人”的核心素养，明确把数学文化纳入到新课程标准中，那么如何把握教材中的文化资源，把数学文化素养纳入课堂之中，一直是高中老师的一大困惑，本文结合《数列》苏教版教材，界定出高中教材中主要的数学文化内容，为教材中数学文化的研究提供新的方向。
【关键词】数列数学文化苏教教材刚刚结束的党的十九大明确提出：“要全面贯彻党的教育方针，落实立德树人根本任务，发展素质教育，推进教育公平，培养德智体美全面发展的社会主义建设者和接班人。
”教育部于近日刚刚发布的《普通高中课程方案于标准》中更加明确的数学学科的核心素养是“学生学习该学科课程后应形成正确价值观念、必备品格和关键能力，并围绕学科核心素养的落实，精选、重组教学内容，设计教学活动，提出考试评价建议”明确了要把数学文化融入到课程内容，在前段时间教育部考试中心函件《关于2018年普通高考考试大纲修订内容的通知》再次要求“增加中华优秀传统文化的考核内容，积极培育和践行社会主义核心价值观，充分发挥高考命题的育人功能和积极导向作用。
”针对数学文化的考查，相信大家一定会比较迷惑：考什么？怎样考？怎么教？正如冯光庭在《基于“体现数学的文化价值”的数学教学策略探究》中所提到的：“要在数学教学过程中有效地体现数学的文化价值，并使数学教育真正成为数学文化的教育，第一要素是教师的认识问题，第二才是具体的操作问题”。
本文结合高中苏教必修五数列一章界定出高中教材中主要的数学文化内容，为教材中数学文化的研究提供新的方向。
一、首先了解“数学文化”的含义美国学者怀尔德在《作为文化系统的数学》一书中最早提出数学文化的概念，其特点在于：注重问题解决、数学应用、数学交流、数学思想方法和学生的情感态度。
例谈与数列有关的综合问题的解题技巧作者：徐义来源：《数学大世界·中旬刊》2019年第04期通过对近几年的数学高考题目进行一定的观察和总结，发现有关数列的题目出现频率比较高，不仅仅和函数、不等式等数与代数的部分相结合，有时还涉及三角形、立体几何等图形方面的知识。
数列是一种比较特殊的函数，需要教师熟练掌握相关概念，联想题目的特征，联想自身做题经验，找到解题方向，提高做题的效率。
数列就是按照一定的排序方式排列的一列数字，数列中每一个数都是这个数列的项。
数列也是一定定义域为正整数集的函数，而且数列所对应的数列通项公式也就是其函数的解析式。
对于高中生来说，数列的学习是一个重要部分，其中蕴含着多种多样的数学思想和数学方法，数列中涉及的问题也比较考查学生的归纳能力和逻辑能力，反映了学生对数列学习的深度，表现着学生的技巧性，所以数列的相关内容经常出现在每年的高考题目中，成为一道必考题。
数列作为特殊函数，在实际中也有广泛的应用，比如银行的信贷、养老保险等，这就需要学生不仅仅能够熟练掌握有关数列的相关问题，还要能够善于观察题目的特点，结合原有解题经验，迅速锁定解题的方向，提高解题的效率。
下文笔者就将针对数列题目来归纳一般的解题方式和思路。
一、与不等式知识结合在不等式和数列结合的题目中，主要考查的是数列的定义和等差数列的定义，题目上一般是已知Sn求an的基本题目，其中涉及的数学思想和数学方法为归纳法或者是利用放缩法去证明不等式。
这种函数和数列相结合的题目在高考中考到的几率比较大，学生应该多多掌握求出前n项和的各种方式，比如通过相加、相减或者相乘的方式来化简，从而提高解题的效率。
三、与最值、极限相结合数列和最值结合的题目主要就是考查学生对不等式和最值定义性质、数列性质等知识的掌握，大多数题目都会给出Sn和an之间的关系，并且要求出相应的通项公式，然后再构造出一个不等式来使之恒成立，其中涉及某个未知数的值，一般会要求学生求出未知数的最大值或者最小值。
例谈数列复习中数学思想的渗透作者：卞维清来源：《中学教学参考·理科版》2012年第12期数列是高中数学的重要内容，在高考中的地位十分突出，是高考必考的内容之一，往往以压轴题的形式出现，数列部分的内容蕴含着丰富的数学思想方法，如果在数列这一章节的复习中，教师能注重数学思想方法的渗透，可使许多较复杂问题化难为易，化繁为简，从而达到优化解题过程，培养学生数学思维能力的目的.一、函数与方程思想的渗透数列的本质是函数，数列是函数的继续和延伸.如等差数列（公差不为零），它的通项公式是关于自然数n的一次函数，它的前n项和是关于自然数n的不含常数项的二次函数.在解决数列问题的过程中，如果能适时地运用函数思想，往往会事半功倍.【例1】已知数列，通项公式为，若为递增数列，求实数λ的取值范围.解析：由题意知对一切正整数n恒成立，化简可得2n+1+λ>0恒成立，因为2n+1的最小值为3，所以λ>-3.另解：由数列的通项公式，联想到二次函数，对称轴为x=-λ2，问题转化为二次函数在正整数集上为增函数，只要-λ2-3.【例2】设等差数列的前n项的和为，求所有的无穷等差数列，使得对于一切正整数k都有（）解析：本题可从数列的基本量和d入手，但运算繁琐.若从函数角度出发，把数列问题转化为函数问题来解决，则要简单得多.设（a，b为常数），则由题意可知（）对一切正整数k恒成立.化简得（-a）（-b）=0 对一切正整数k恒成立.则有-a=0，，-b=0，解得a=1，，或a=0，，或a=0，则有或或，则有-1，或，或注：本题还可通过特殊化思想来解决，可取k=1，k=2时等式成立，求出，然后检验证明.二、特殊到一般的思想的渗透由于数列是关于自然数的函数，特殊到一般（归纳，猜想）的思想是数列中常用的数学思想.在解决数列问题时，我们往往可以取这个数列的前几项进行研究，再归纳总结，导出一般结论，进一步明确解题思路.【例3】（1）已知数列，其中，且数列-为等比数列，求常数p；（2）设数列、是公比不相等的两个等比数列，，证明数列}不是等比数列.解析：（1）由于数列-为等比数列，则它的前三项必成等比数列，记-，则有又-5p，-13p，-35p，所以（35-13p）（13-5p）（97-35p），解得p=2或p=3.检验：当p=2时，；当p=3时，-（均满足题意）.（2）要证明不是等比数列，只须证明它的前三项不成等比数列即可，即证设、的公比分别为p、q且p≠q.事实上，（），（）·（）（）.由于p≠q，，又、不为零，因此，故不是等比数列.注：本题如果采用等比数列的定义来解决，运算量较大.注意到一个数列“前三项成等比数列”是“这个数列为等比数列”的必要条件，从而联想到通过它的前三项是否成等比关系来解决.三、转化思想的渗透转化（化归）思想是数列中的一种重要思想.数列中常用的转化关系有：（n=1），--1（n≥2）（将“和”与“项”进行转化）；将其他数列转化为等差（等比）数列来解决等.【例4】数列满足：，求数列的通项公式.解析：∵，∴（）=2（）.∴数列为首项为2，公比为2的等比数列.∴，∴-1.注：原数列既非等差数列又非等比数列，求通项公式较困难，这时通过构造，可转化为一个等比数列轻松解决.高中阶段主要学习了等差、等比两种特殊数列，很多数列问题可最终转化为这两类数列来解决.形如：（q≠0）型的递推关系，均可采用上述方法进行化归.再比如用“错位相减”法求“等差数列乘等比数列”这一类数列和时，本质上就是转化为等比数列求和.【例5】已知数列前n项和为，对于任意自然数n满足：，且（1）求p的值；（2）证明：为等差数列.解析：（1）用特殊到一般思想，即，所以p=1或当p=1时，又，即（与条件矛盾，舍去）；当时，又，因为，所以p=12.（2）由（1）知，①所以-1=12（n-1）-1（n≥2）. ②①-②得--1=12-12（n-1）-1，即-12（n-1）-1，即（n-2）（n-1）-1（n≥2），③（将“和”与“项”的关系转化为“项”的关系）对于③式的处理有多种思想方法.方法1：由③得（n-3）-1=（n-2）-2 （n≥3），④③-④得（n-2）-（n-3）-1=（n-1）-1-（n-2）-2，即（n-2）（n-2）-2=（2n-4）-1（n≥3），即--1（n≥3），所以为等差数列.注：将③式中相邻两项关系转化为相邻三项的关系，利用等差中项法进行证明.方法2：由③式得，当n≥3时，-1=n-1n-2，所以；；…；--2=n-2n-3；-1=n-1n-2.将各式相乘可得-1，所以（n-1）（n≥3）. ⑤又，均符合⑤式，所以（n-1），用定义可证得为等差数列.注：通过“累积”法求出数列通项公式，然后利用定义加以证明.方法3：由③式得，当n≥3时，--1n-2，可得数列-1}从第二项起为常数列，所以n≥2时，-，即=（n-1）（下同方法2）注：此方法要求学生有一定的观察能力，能把递推关系转化为一个常数列来解决.四、递推思想的渗透递推公式是给出数列的一种常用方法，在很多数列问题中，往往给出数列的一种递推关系，然后求通项公式.递推公式的本质是由一项（或更多的项）推出它的下一项.【例6】已知数列中，，（n-1）-1（n≥2），求数列的通项公式.解析：由于条件中的递推关系较繁，可以先将这个递推关系进行化简.因为（n-1）-1（n≥2），所以-（n-2）-2（n≥3），两式相减得--1=（n-1）-1，即-1（n≥3）.所以当n≥3时，-1=n·（n-1）-2=n·（n-1）·（n-2）-3=n·（n-1）·（n-2）因为，所以（n-1）·（n-2）…3=n！2（n≥3），因为不符合上式，符合上式，所以（n=1），！2（n≥2）.注：化简后的递推式-1（n≥3）揭示了前后两项之间的关系，即知道了任一项都可求出它的后一项.因此我们采用递推的方法求出它的通项公式.文中的例5也可用递推思想求解，简解如下：n≥2时，-1+1=2·（-2+1）-2+2+1（-3+1）-=…=2n--2+2n-3+…+2+1=2n-1+2n--1.数列中蕴含的数学思想还有很多，这里就不一一举例了.总之，在复习数列这一内容时，教师不应该仅仅教给学生几个公式，应注意思想方法的渗透和总结，从而提高学生的数学素养和应试能力.。
例谈数列中的数学思想高中数学常见的数学思想有:方程思想、函数思想、分类讨论思想、化归与转化、整体思想等；在高中数学教学过程中，加强数学思想方法的渗透，培养学生的思维能力，显得非常重要。
下面通过几道例题浅谈数列解题过程中渗透的数学思想,不当之处,敬请批评指正.1、方程思想在数列中运用等差（比）数列一般涉及五个基本量：n n S a n q d a ,,),,1（或.于是“知三求二”成为等差（比）数列中的基本问题，可运用方程思想，通过解方程（组）求解。
例1：等差数列{}n a 的前n 项和为S n，且S 12=84，S 20=460，求S28。
解：由已知得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+=-+4602)112(2020842)112(121211d a d a ，解得4,151=-=d a .故10922)128(2828128=-+=d a S .在解决问题中利用方程揭示问题隐含的等量关系，从而显露设问与条件的联系。
等差（比）数列基本量之间的关系决定了方程思想在等差（比）数列问题中得以广泛运用。
例2、实数4321,,,a a a a 都不为0，且0)(2)(23224312242221=+++-+a a a a a a a a a ，求证：321,,a a a 成等比数列，且4a 为其公比。
分析：题中出现了四个变量，切不可乱了阵脚眉毛胡子一把抓，要抓住一个进行研究，观察后发现以4a 为主研究简单。
证明：由题设知，4a 是一元二次方程0)(2)(232231222221=+++-+a a x a a a x a a 的实数根所以0)(4))((4)(4231222322222123122≥--=++-+=∆a a a a a a a a a a 所以312231220a a a a a a =⇒=-因为)4,3,2,1(0=≠i a i 所以321,,a a a 成等比数列 由求根公式得：12312131222213124)()(2)(2a a a a a a a a a a a a a a =++=++= 所以4a 为其公比。
评注：对已知等式进行整体观察，发现4a 是某一元二次方程的根，从而得出巧妙的解答，颇具代表性。
例3、已知),0(,51cos sin πααα∈=+，则αcot 的值是__________。
分析：初观之，易两边同时平方---比较复杂；细察之，联想等差数列的性质，构造等差中项求解---非常简洁。
解：由),0(,51cos sin πααα∈=+，知ααcos ,101,sin 成等差数列 设公差是t ，则t t +=-=101cos ,101sin αα 由1)101()101(1cos sin 2222=++-⇒=+t t αα,解之得:107±=t又),0(πα∈,0,0101sin <>-=∴t t α107-=∴t 即53cos ,54sin -==αα,所以43cot -=α评注：也可将51cos sin =+αα同时平方得sin cos αα，进而得到57cos sin =-αα解方程组求解。
2、函数思想在数列中运用数列可以看作定义域为正整数集（或其有限子集）的特殊函数。
运用函数思想去研究数列，就是要借助于函数的单调性、图像和最值等知识解决相关问题。
它不仅使问题简化，而且可以加深对知识的理解。
例4、已知数列}{n a 的通项n a n 21=，n S 为其前n 项的和。
求证：n S n <证明：构造函数n nn f -++++=21...32122121)( 则112121...32122121)1(+-++++++=+n n n n f 两式作差得：nn n n n n n f n f ++-+=-+-+=-+11121)1(121)()1(因为n n n ++>+112，所以nn n ++<+11121即)()1(n f n f <+，则函数)(n f 在其定义域内是减函数又因为0)1()(,021121)1(<≤∴<-=-=f n f f ，即021...32122121<-++++n n，也就是n S n < 评注：数列是特殊的函数，构造函数后，问题转化为证明0)(<n f ，即0)(max <n f例5、已知数列}{n a 中，11=a ，且点))(,(*1N n a a P n n ∈+，在直线01=+-y x （1）求}{n a 的通项公式； （2）求)2,(1...11*21≥∈++++++n N n a n a n a n n的最小值。
分析:(1)由等差数列的通项是关于n 的一次函数,易判断}{n a 是等差数列;又一次函数的斜率就是其公差,易得通项公式;(2)数列是特殊的函数,求数列最值时往往从研究其对应的函数入手,打开突破口. 解：（1）由题设11=a ，11=-+n n a a ，即n n a n =⋅-+=1)1(1（2）构造函数n n n n n f ++++++=1...2111)( 则)1(21...3121)1(++++++=+n n n n f 于是11111(1()021*******f n f n n n n n n +-=+-=->+++++ )()1(n f n f >+∴，即函数N n n n f y ∈≥=,2),(是增函数故)(n f 的最小值是127221211)2(=+++=f 评注: 数列是特殊的函数，构造函数后，问题转化为判断函数的单调性，从而得到最值。
这种看似“无中生有”的想法，决非一时的突发奇想，它靠的是扎实的基本功和对事物敏锐的洞察力，只要我们平时注重知识的联系，善于将一个问题移植于一种崭新的情景中去研究，就会灵感顿生，从而创造性解决问题。
例6、已知等差数列}{n a 的前 m 项和为30，前2m 项和为100，则它的前3m 项和为（）A 、130 B 、170 C 、210 D 、260 分析:等差数列的前n 项和n S =21()22d dn a n +-,可以看成关于 n 的二次式函数,则n S n可以看成关于n 的一次式函数. 一次函数图像是一条直线,那么三个点30(,)m m 100(2,)2m m 3(3,)3m S m m 就在同一条直线y an b =+上,利用斜率相等,得它的前3m 项和为210.选(C).例7、递增数列}{n a ，对任意正整数n ，2n a n n λ=+恒成立，求λ. 分析：2n a n n λ=+看成函数2()f x x x λ=+，它的定义域是{}1,x x x N ≥∈，要使函数2()f x x x λ=+为递增函数，即单调增区间为[)1,+∞,抛物线对称轴2x λ=-至少在1x =的左侧，不过由于函数为离散函数，对称轴2x λ=-在 1.5x =的左侧也可以，因为B 点可以比A 点高。
于是，322λ-<，得 3.λ>- 例8、若等差数列{}n a 和等比数列{}n b 的首项均为1，且公差0d >，公比1q >，则集合*{|},n n n a b n N =∈的元素个数最多是（ ）个A 、1B 、2C 、3D 、4解析：数列是特殊的函数，等差数列{}n a 是直线上的点 且直线的斜率是公差，由0d >等比数列{}n b 例9、已知{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，其公比q 1111a b =，则（ ）A 、66a b =B 、66a b >C 、66a b <D 、6666a b a b ><或解析：利用指数函数是凹函数的特性，可知选B ；可推广至：(1,2,3......)i i a b i >= 例10、在等差数列{}n a 中，n S 是前n 项的和，公差0d ≠。
（1）若,()n m a m a n m n ==≠，求m n a +； （2）若()m n S S m n =≠，求m n S +。
解析：（1）由1()n a dn a d =+-知n a 是关于n 的一次式则三点(,),(,),(,)m n m n m a n a m n a ++三点共线，故任意两点连线斜率相等即()m n m n m a a a am n m n m+--=+--，解得0m n a +=（2）由211(1)()222n n n d d S na d n a n -=+=+-可知:n S 是关于n 的二次式，且无常数项故可构造函数21()()22d d f x x a x =+-由()m n S S m n =≠得()()f m f n =则2m nx +=因此()(0)0f m n f +==，即0m n S +=另解：由211(1)()222n n n d d S na d n a n -=+=+-得122n S d dn a n =+- 则n Sn大关于n 的一次式，所以三点(,),(,),(,)m n m n S S S m n m n m n m n +++共线利用任意两点连线斜率相等易求得0m n S +=。
例11、已知等差数列{}n a 的前n 项和是n S ，满足675S S S >>，下列结论不正确的是（ ） A 、0d < B 、110S > C 、120S < D 、130S < 解析：由675S S S >>可知760,0a a <>，故0d <； 由n S 有最大值，且与n S 相对应的二次函数的对称轴在区间1113(,)22内 又00S =，所以130S >，故选D 。
例12、在等差数列{}n a 中，59750a a +=，且95a a >，则使数列前n 项和是n S 取最小值的n 等于_______。
解析：传统解法是13170a d +=得1173()03a d +=，再由95a a >知0d > 所以670,0a a ><，即6n =但若注意到等差数列中n a 是一次函数，则由一次函数的线性特征1212()()...()...()n nf x f x f x x x x f n n++++++=可知59750a a +=即755912120a ⨯+⨯=所以2030a =，又670,0a a ><得6n =例13、已知*1111...()23n S n N n=++++∈，定义211()n n f n S S ++=-，试确定m 的取值范围，使得对于大于1的自然数n ，不等式22111()[log (1)][log ]20m m f n m m ->--恒成立。
