蕴含数列中的数学思想方法

【高中数学】高中数列知识蕴含的主要数学思想1.函数思想由于一般的项公式、第一个n项和序列的公式都是关于n的函数的，所以可以从函数的角度，利用函数的思想来解决一些序列问题，相关的问题有：序列的单调性、求基本量、最大值、，利用序列对应函数的特征和序列对应函数的性质可以解决上述问题2.方程思想在等差和等比的顺序中有五个基本量。

利用方程的思想，我们可以“知三求二”，当一些量已知时，其他量可以通过一系列方程或方程来求解。

此外，本章中常用的待定系数法实际上是方程思想的体现3.转化与化归思想本章中变换思想的应用主要体现在将非特殊序列问题转化为特殊序列问题求解上。

例如，递归序列的通项公式可以通过构造转化为特殊序列的通项公式，而非特殊序列的求和问题可以转化为特殊序列的求和问题，它是指将相等数量的项目或研究对象转化为相等数量的点，例如相等数量序列或最差数量序列的基础4.分类讨论思想本章分类讨论的思想主要体现在解决一些参数级数问题，尤其是比例级数的求和或相关问题上。

如果包括参数，我们不能忽视q=1的讨论5.数形结合思想借助于序列对应函数的图像，解决一些问题将非常直观和快速。

例如，为了解决算术序列前n项之和的最大值问题，我们可以组合二次函数的图像6.归纳思想归纳思维是指从本章中的个别事实中归纳出一般结论的数学思维，根据序列的前几项归纳出序列的一般术语公式，图的归纳数是根据图的归纳数或归纳数在图中的应用7.类比思想类比思维指的是一种数学思维，即一种对象具有某些特征，而一个相似的对象也具有这些特征。

它的推理方式是从特殊推理到特殊推理，作为两种特殊数列，等差数列和等比数列有许多相似之处。

例如，在等差数列中，if，then；在比例数列中，如果，那么通过类比可以得出许多有用的结论，并且可以发现许多有趣的性质8.整体思想在研究序列（即等距或比例序列的前k项之和）时，我们使用整体思想，即将其视为序列中的一项，依此类推，我们可以得到序列的特征首页上一页12下一页末页共2页。

数学思想在数列问题中的应用举例李一诺(河北省邢台市第二中学２０１６级１８班㊀０５４０００)摘㊀要:数列常常与函数㊁方程㊁不等式等知识进行综合ꎬ它体现了函数与方程㊁等价转化㊁分类讨论等重要的数学思想方法.关键词:数列ꎻ数学思想ꎻ函数ꎻ转化ꎻ分类计论ꎻ数形结合中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０１９)０１－０００７－０２收稿日期:２０１８－１０－１５作者简介:李一诺(２００２.８－)ꎬ女ꎬ河北省邢台人ꎬ在校学生.㊀㊀一㊁利用方程思想解题方程思想充满了数列整个章节ꎬ它是解决数列有关元素问题的基本方法ꎬ运用方程思想解题需要抓住基本量ꎬ掌握好设未知数ꎬ列方程ꎬ解方程三个环节.例１㊀等差数列ａｎ{}的前ｍ项和为３０ꎬ前２ｍ项和为１００ꎬ则它的前３ｍ项的和为(㊀㊀).Ａ.１３０㊀㊀Ｂ.１７０㊀㊀Ｃ.２１０㊀㊀Ｄ.２６０解㊀设等差数列ａｎ{}的公差为ｄꎬ前ｎ项和为Ｓｎꎬ由题意可知Ｓｍ＝３０ꎬＳ２ｍ＝１００ꎬ将Ｓｍ＝３０ꎬＳ２ｍ＝１００代入Ｓｎ＝ｎａ１＋ｎｎ－１()ｄ２得ｍａ１＋ｍｍ－１()ｄ２＝３０ꎬ２ｍａ１＋２ｍ２ｍ－１()ｄ２＝１００.ìîíïïïï解之得ｄ＝４０ｍ２ꎬａ１＝１０ｍ＋２０ｍ２ꎬʑＳ３ｍ＝３ｍａ１＋３ｍ３ｍ－１()ｄ２＝２１０.㊀㊀二㊁利用函数思想解题数列是特殊的函数ꎬ因此ꎬ求解数列问题应根据题意注意沟通数列与函数之间的内在联系ꎬ运用函数的思想方法求解往往使解题方便快捷.例２㊀在等差数列中ꎬ已知Ｓｐ＝ｑꎬＳｑ＝ｐｐʂｑ()ꎬ求Ｓｐ＋ｑ的值.解㊀由题意知:Ｓｎｎ＝ｇｎ()是一次函数ꎬʑ点ｐꎬｑｐæèçöø÷ꎬｑꎬｐｑæèçöø÷ꎬｐ＋ｑꎬＳｐ＋ｑｐ＋ｑæèçöø÷均在直线ｇｎ()＝ｄｎ２＋ａ１－ｄ２上ꎬ从而ｐｑ－ｑｐｑ－ｐ＝Ｓｐ＋ｑｐ＋ｑ－ｐｑｐ＋ｑ－ｑꎬ化简即得Ｓｐ＋ｑ＝－ｐ＋ｑ().㊀㊀三㊁利用分类讨论思想解题依据题中的条件ꎬ确定讨论对象和讨论标准ꎬ使用分类讨论思想ꎬ使解题更具有条理性ꎬ解题过程更加清晰.例３㊀求和Ｓｎ＝１＋２ｘ＋ ＋ｎｘｎ－１ｘʂ０().解㊀ȵＳｎ＝１＋２ｘ＋３ｘ２＋ ＋ｎ－１()ｘｎ－２＋ｎｘｎ－１ꎬʑｘＳｎ＝ｘ＋２ｘ２＋ ＋ｎ－１()ｘｎ－１＋ｎｘｎ.两式相减得１－ｘ()Ｓｎ＝１＋ｘ＋ｘ２＋ ＋ｘｎ－１()－ｎｘｎ.当ｘ＝１时ꎬＳｎ＝１＋２＋３＋ ＋ｎ＝１２ｎｎ＋１()ꎻ当ｘʂ１时ꎬＳｎ＝１－ｘｎ１－ｘ()２－ｎｘｎ１－ｘ.㊀㊀四㊁利用转化思想解题根据题目所给的结构特征ꎬ寻找项之间的规律ꎬ利用转化思想解题.它集中体现在求和过程中将非特殊数列转化为等差数列或等比数列.例４㊀求和Ｓｎ＝１ ２＋２ ３＋３ ４＋ ＋ｎｎ＋１().解㊀ȵｋｋ＋１()＝ｋ２＋ｋｋ＝１ꎬ２ꎬ ꎬｎ()ꎬʑＳｎ＝１２＋１()＋２２＋２()＋ ＋ｎ２＋ｎ()＝１２＋２２＋ ＋ｎ２()＋１＋２＋ ＋ｎ()７＝１６ｎｎ＋１()２ｎ＋１()＋１２ｎｎ＋１()＝１３ｎｎ＋１()ｎ＋２().㊀㊀五㊁利用数形结合思想解题恩格斯曾经这样定义数学: 数学是研究现实世界的量的关系与空间形式的数学 .数形结合不仅是一种重要的解题方法ꎬ而且也是一种重要的思维方法.它形象㊁直观ꎬ有利于我们解题.例５㊀设等差数列ａｎ{}的前ｎ项和为Ｓｎꎬ已知ａ３＝１２ꎬＳ１２>０ꎬＳ１３<０ꎬ(１)求公差ｄ的取值范围ꎻ(２)指出Ｓ１ꎬＳ２ꎬＳ３ꎬ ꎬＳ１２中那一个值最大?并说明理由.㊀㊀解㊀(１)易得－２４７<ｄ<－３.(２)ȵｄ<０ꎬʑＳｎ＝ｆｎ()的图象为经过原点且开口向下的抛物线上的一群离散点.设抛物线与横轴的另一个交点为Ａｎ０ꎬ０()ꎬ由Ｓ１２>０ꎬＳ１３<０ꎬ可知１２<ｎ０<１３ꎬ对称轴ｎ＝ｎ０２ɪ６ꎬ６.５()ꎬ故当ｎ＝６时ꎬＳ６最大.㊀㊀六㊁利用构造思想解题构造法解题可以化繁为简ꎬ它主要体现在利用原数列构造新数列求通项的问题.例６㊀设正项数列ａｎ}{满足ａ１＝２ꎬａｎ＝２ａｎ－１ꎬ求ａｎ.解㊀ȵａｎ>０(ｎɪＮ)ꎬʑａｎ＝２ａｎ－１.两边取以为２底的对数ꎬｌｏｇ２ａｎ＝１＋１２ｌｏｇ２ａｎ－１.令ｂｎ＝ｌｏｇ２ａｎꎬ则有ｂｎ＝１２ｂｎ－１＋１.用迭代法得ｂｎ＝２－(１２)ｎ－１ꎬʑａｎ＝２２－(１/２)ｎ－１.㊀㊀参考文献:[１]孙丰亮ꎬ娄树庆.数学思想方法在数列教学中的运用[Ｊ].课程教育研究ꎬ２０１３(３１).[责任编辑:杨惠民]探究过度放缩后的一种 修正术江凤华１㊀江国荣２(１.江苏省无锡市辅仁高级中学高三９班㊀２１４１２３ꎻ２.江苏省无锡市市北高级中学㊀２１４０４５)摘㊀要:用放缩法证明不等式是高中数学学习中的难点之一.学习时不容易掌握ꎬ我们放缩的 步幅 大了ꎬ常常偏离目标值.有没有一种方法在发现过度放缩以后采取一点修补办法证出目标呢?本文围绕这个目标做了一点尝试ꎬ发现还是可行的.关键词:放缩法证明ꎻ逐步留项ꎻ高中难题中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０１９)０１－０００８－０２收稿日期:２０１８－１０－１５作者简介:江凤华(２００１－)ꎬ女ꎬ江苏省海门人ꎬ在校学生.江国荣(１９７１－)ꎬ男ꎬ江苏省海门人ꎬ教师ꎬ从事数学教学及数学教育研究.㊀㊀一㊁探究过程例１㊀证明:ðｎｉ＝１１ｉ２<５３.试证１㊀当ｎ＝１ꎬðｎｉ＝１１ｉ２＝１<５３.当ｎȡ２ꎬȵ１ｉ２<１ｉ (ｉ－１)＝１ｉ－１－１ｉꎬʑðｎｉ＝１１ｉ２＝１１２＋１２２＋１３２＋ ＋１ｎ２<１＋(１１－１２)＋(１２－１３)＋ ＋(１ｎ－１－１ｎ)＝２－１ｎ<２.８。

高中数列知识蕴含的主要数学思想高中数列知识蕴含的主要数学思想1.函数思想因为数列的通项公式、前n项和公式都是关于n的函数，所以一些数列问题可从函数的角度出发，运用函数思想来解答.相关的问题有：数列的单调性问题、求基本量问题、最值问题等.上述问题可利用数列所对应函数的特征、数列所对应函数的性质来解答.2.方程思想等差、等比数列都有5个基本量，运用方程思想可做到“知三求二”.在已知某些量的情况下，通过列方程或方程组求解其它量.此外，本章经常使用的待定系数法其实就是方程思想的体现.3.转化与化归思想本章的转化思想的运用，主要体现在把非特殊数列问题转化成特殊数列问题来解答，如：求递推数列的通项公式可通过构造转化成特殊数列求通项公式，非特殊数列的求和问题可转化成特殊数列的求和问题等.化归思想指的是把问题转化到研究对象最基础知识点上去解决，如：用等差、等比数列及等差、等比中项的定义，证明一个数列是等差或等比数列等.4.分类讨论思想本章的分类讨论思想主要体现在解决一些含参数列问题上，9.特殊化思想在解答一些关于数列的选择或填空题时，用符合题设条件的特殊数列求解，就是特殊化思想的体现.最常用的特殊数列是常数列，这是因为非零常数列既是等差数列又是等比数列，在题目对公差、公比没有显性或隐性的限制时，我们就可以特殊化为常数列来解答.二、高中数列知识常用的数学方法1.待定系数法本法实质是通过列方程或方程组求待定的参数，这是解答含参数列问题的一种重要方法.2.配方法主要应用在等差数列（非常数列）求前n项和的最值问题中.3.构造法①由一个等差或等比数列的某些子数列可构造成一个新的等差或等比数列；②由数列递推公式求数列的通项公式往往采用构造法，即通过添项、取倒数、开方、平方等手段把它转化成特殊数列求通项公式；③对于数列应用题，我们可构造相应的数列模型来解答.。

由递推公式求数列通项中的数学思想成都市玉林中学 周先华递推公式是认识数列的一种重要形式，是给出数列的基本方式之一。

在近几年高考题目中均有此类题，特别是2004年全国及各省市地方命题中以较大分值出现；而且数列是初等数学与高等数学的衔接点之一。

另一个面，数学思想方法的考查在高考中逐年加大了它的份量。

学习数学的根本目的在于培养数学能力，即运用数学解决实际问题和进行发明创造的本领，而这种能力，不仅表现在对数学知识的记忆，而且更主要地反映在数学思想方法的素养上。

因此，研究由递推公式求数列通项公式中的数学思想方法是很有必要的。

一．引入问题：已知数列{a n }满足a 1=1, 且a n+1 =3n a +1,求a n 。

分析一：归纳法。

由递推公式，可求出a 2=4，a 3=13，a 4=40。

则a 2-a 1=3=31，a 3-a 2=9=32，a 4-a 3=27=33。

由此猜测：a n -a n-1=3n-1（可用数学归纳法证明），所以a n-1-a n-2=3n-2，a n-2-a n-3=3n-3……，a 4-a 3=33，a 3-a 2=32，a 2-a 1=31，把上式子累加，得，a n -a 1=31+32+33+……+3n-1=，得a n =312n -。

分析二：构造法。

由a n+1 =3n a +1，得a n+1 +12=3（a n +12），即数列{a n +12}为一个公比为3的等比数列，则 a n +12=(1+12)·3n-1 =312n -。

分析三：迭代法。

a n =3a n-1+1=3(3a n-2+1)+1=32a n-2+3⨯1+1=…=3n-1a 1+3n-2 ⨯1+3n-3⨯1 +…+3⨯1+1=312n - 点评：（1）分析一中先猜测出前后两项差的关系，再用累加法求出通项；这种用不完全归纳法求出前几项再找规律的的方法，对所有求数列通项的题均适用，应培养归纳能力；（2）分析二中构造出新数列，由新数列求出a n 的通项；（3）分析三使用迭代法，这也是由递推式求通项的基本方法。

例谈数列复习中数学思想的渗透作者：卞维清来源：《中学教学参考·理科版》2012年第12期数列是高中数学的重要内容，在高考中的地位十分突出，是高考必考的内容之一，往往以压轴题的形式出现，数列部分的内容蕴含着丰富的数学思想方法，如果在数列这一章节的复习中，教师能注重数学思想方法的渗透，可使许多较复杂问题化难为易，化繁为简，从而达到优化解题过程，培养学生数学思维能力的目的.一、函数与方程思想的渗透数列的本质是函数，数列是函数的继续和延伸.如等差数列（公差不为零），它的通项公式是关于自然数n的一次函数，它的前n项和是关于自然数n的不含常数项的二次函数.在解决数列问题的过程中，如果能适时地运用函数思想，往往会事半功倍.【例1】已知数列，通项公式为，若为递增数列，求实数λ的取值范围.解析：由题意知对一切正整数n恒成立，化简可得2n+1+λ>0恒成立，因为2n+1的最小值为3，所以λ>-3.另解：由数列的通项公式，联想到二次函数，对称轴为x=-λ2，问题转化为二次函数在正整数集上为增函数，只要-λ2-3.【例2】设等差数列的前n项的和为，求所有的无穷等差数列，使得对于一切正整数k都有（）解析：本题可从数列的基本量和d入手，但运算繁琐.若从函数角度出发，把数列问题转化为函数问题来解决，则要简单得多.设（a，b为常数），则由题意可知（）对一切正整数k恒成立.化简得（-a）（-b）=0 对一切正整数k恒成立.则有-a=0，，-b=0，解得a=1，，或a=0，，或a=0，则有或或，则有-1，或，或注：本题还可通过特殊化思想来解决，可取k=1，k=2时等式成立，求出，然后检验证明.二、特殊到一般的思想的渗透由于数列是关于自然数的函数，特殊到一般（归纳，猜想）的思想是数列中常用的数学思想.在解决数列问题时，我们往往可以取这个数列的前几项进行研究，再归纳总结，导出一般结论，进一步明确解题思路.【例3】（1）已知数列，其中，且数列-为等比数列，求常数p；（2）设数列、是公比不相等的两个等比数列，，证明数列}不是等比数列.解析：（1）由于数列-为等比数列，则它的前三项必成等比数列，记-，则有又-5p，-13p，-35p，所以（35-13p）（13-5p）（97-35p），解得p=2或p=3.检验：当p=2时，；当p=3时，-（均满足题意）.（2）要证明不是等比数列，只须证明它的前三项不成等比数列即可，即证设、的公比分别为p、q且p≠q.事实上，（），（）·（）（）.由于p≠q，，又、不为零，因此，故不是等比数列.注：本题如果采用等比数列的定义来解决，运算量较大.注意到一个数列“前三项成等比数列”是“这个数列为等比数列”的必要条件，从而联想到通过它的前三项是否成等比关系来解决.三、转化思想的渗透转化（化归）思想是数列中的一种重要思想.数列中常用的转化关系有：（n=1），--1（n≥2）（将“和”与“项”进行转化）；将其他数列转化为等差（等比）数列来解决等.【例4】数列满足：，求数列的通项公式.解析：∵，∴（）=2（）.∴数列为首项为2，公比为2的等比数列.∴，∴-1.注：原数列既非等差数列又非等比数列，求通项公式较困难，这时通过构造，可转化为一个等比数列轻松解决.高中阶段主要学习了等差、等比两种特殊数列，很多数列问题可最终转化为这两类数列来解决.形如：（q≠0）型的递推关系，均可采用上述方法进行化归.再比如用“错位相减”法求“等差数列乘等比数列”这一类数列和时，本质上就是转化为等比数列求和.【例5】已知数列前n项和为，对于任意自然数n满足：，且（1）求p的值；（2）证明：为等差数列.解析：（1）用特殊到一般思想，即，所以p=1或当p=1时，又，即（与条件矛盾，舍去）；当时，又，因为，所以p=12.（2）由（1）知，①所以-1=12（n-1）-1（n≥2）. ②①-②得--1=12-12（n-1）-1，即-12（n-1）-1，即（n-2）（n-1）-1（n≥2），③（将“和”与“项”的关系转化为“项”的关系）对于③式的处理有多种思想方法.方法1：由③得（n-3）-1=（n-2）-2 （n≥3），④③-④得（n-2）-（n-3）-1=（n-1）-1-（n-2）-2，即（n-2）（n-2）-2=（2n-4）-1（n≥3），即--1（n≥3），所以为等差数列.注：将③式中相邻两项关系转化为相邻三项的关系，利用等差中项法进行证明.方法2：由③式得，当n≥3时，-1=n-1n-2，所以；；…；--2=n-2n-3；-1=n-1n-2.将各式相乘可得-1，所以（n-1）（n≥3）. ⑤又，均符合⑤式，所以（n-1），用定义可证得为等差数列.注：通过“累积”法求出数列通项公式，然后利用定义加以证明.方法3：由③式得，当n≥3时，--1n-2，可得数列-1}从第二项起为常数列，所以n≥2时，-，即=（n-1）（下同方法2）注：此方法要求学生有一定的观察能力，能把递推关系转化为一个常数列来解决.四、递推思想的渗透递推公式是给出数列的一种常用方法，在很多数列问题中，往往给出数列的一种递推关系，然后求通项公式.递推公式的本质是由一项（或更多的项）推出它的下一项.【例6】已知数列中，，（n-1）-1（n≥2），求数列的通项公式.解析：由于条件中的递推关系较繁，可以先将这个递推关系进行化简.因为（n-1）-1（n≥2），所以-（n-2）-2（n≥3），两式相减得--1=（n-1）-1，即-1（n≥3）.所以当n≥3时，-1=n·（n-1）-2=n·（n-1）·（n-2）-3=n·（n-1）·（n-2）因为，所以（n-1）·（n-2）…3=n！2（n≥3），因为不符合上式，符合上式，所以（n=1），！2（n≥2）.注：化简后的递推式-1（n≥3）揭示了前后两项之间的关系，即知道了任一项都可求出它的后一项.因此我们采用递推的方法求出它的通项公式.文中的例5也可用递推思想求解，简解如下：n≥2时，-1+1=2·（-2+1）-2+2+1（-3+1）-=…=2n--2+2n-3+…+2+1=2n-1+2n--1.数列中蕴含的数学思想还有很多，这里就不一一举例了.总之，在复习数列这一内容时，教师不应该仅仅教给学生几个公式，应注意思想方法的渗透和总结，从而提高学生的数学素养和应试能力.。

高中数学基本数学思想：函数与方程思想在数列中的应用函数思想和方程思想是学习数列的两大精髓.“从基本量出发，知三求二.”这是方程思想的体现.而“将数列看成一种特殊的函数，等差、等比数列的通项公式和前n项和公式都是关于n的函数.”则蕴含了数列中的函数思想.借助有关函数、方程的性质来解决数列问题，常能起到化难为易的功效。

以下是小编给大家带来的方程思想在数列上的应用，仅供考生阅读。

函数与方程思想在数列中的应用(含具体案例)本文列举几例分类剖析：一、方程思想1.知三求二等差(或等比)数列{an}的通项公式，前n项和公式集中了等差(或等比)数列的五个基本元素a1、d(或q)、n、an、Sn.“知三求二”是等差(或等比)数列最基本的题型，通过解方程的方法达到解决问题的目的.例1等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a10=30，a20=50，(1)求数列{an}的通项公式;(2)若Sn=242，求n的值.解(1)由a10=a1+9d=30，a20=a1+19d=50，解得a1=12，因为n∈N*，所以n=11.2.转化为基本量在等差(等比)数列中，如果求得a1和d(q)，那么其它的量立即可得.例2在等比数列{an}中，已知a6―a4=24，a3a5=64，求{an}的前8项的和S8.解a6―a4=a1q3(q2―1)=24.(1)由a3a5=(a1q3)2=64，得a1q3=±8.将a1q3=―8代入(1)，得q2=―2(舍去);将a1q3=8代入(1)，得q=±2.当q=2时，a1=1，S8=255;当q=―2时，a1=―1，S8=85.3.加减消元法利用Sn求an利用Sn求an是求通项公式的一种重要方法，其实这种方法就是方程思想中加减消元法的运用.例3(2011年佛山二模)已知数列{an}、{bn}中，对任何正整数n都有：a1b1+a2b2+a3b3+…+an―1bn―1+anbn=(n―1)?2n+1.若数列{bn}是首项为1、公比为2的等比数列，求数列{an}的通项公式.解将等式左边看成Sn，令Sn=a1b1+a2b2+a3b3+…+an―1bn―1+anbn.依题意Sn=(n―1)?2n+1，(1)又构造Sn―1=a1b1+a2b2+a3b3+…+an―1bn―1=(n―2)?2n―1+1，(2)两式相减可得Sn―Sn―1=an?bn=n?2n―1(n≥2).又因为数列{bn}的通项公式为bn=2n―1，所以an=n (n≥2).当n=1，由题设式子可得a1=1，符合an=n.从而对一切n∈N*，都有an=n.所以数列{an}的通项公式是an=n.4.等差、等比的综合问题这一类的综合问题往往还是回归到数列的基本量去建立方程组.例4设{an}是公比大于1的等比数列，Sn为数列{an}的前n项和.已知S3=7，且a1+3，3a2，a3+4构成等差数列，求数列{an}的通项公式.解根据求和定义和等差中项建立关于a1，a2，a3的方程组.由已知得a1+a2+a3=7，(a1+3)+(a3+4)2=3a2.解得a2=2.设数列{an}的公比为q，由a2=2，可得a1=2q，a3=2q.又S3=7，可知2q+2+2q=7，即2q2―5q+2=0，解得q1=2，q2=12.由题意得q>1，所以q=2.可得a1=1，从而数列{an}的通项为an=2n―1.二、函数思想数列是一类定义在正整数或它的有限子集上的特殊函数.可见，任何数列问题都蕴含着函数的本质及意义，具有函数的一些固有特征.如一次、二次函数的性质、函数的单调性、周期性等在数列中有广泛的应用.如等差数列{an}的通项公式an=a1+(n―1)d=dn+(a1―d)，前n项和的公式Sn=na1+n(n―1)2d=d2n2+(a1―d2)n，当d≠0时，可以看作自变量n的一次和二次函数.因此我们在解决数列问题时，应充分利用函数有关知识，以它的概念、图象、性质为纽带，架起函数与数列间的桥梁，揭示了它们间的内在联系，从而有效地分解数列问题.1.运用函数解析式解数列问题在等差数列中，Sn是关于n的二次函数，故可用研究二次函数的方法进行解题.例5等差数列{an}的前n项的和为Sn，且S10=100，S100=10，求S110，并求出当n为何值时Sn有最大值.分析显然公差d≠0，所以Sn是n的二次函数且无常数项.解设Sn=an2+bn(a≠0)，则a×102+b×10=100，a×1002+b×100=10.解得a=―11100，b=11110.所以Sn=―11100n2+11110n.从而S110=―11100×1102+11110×110=―110.函数Sn=―11100n2+11110n的对称轴为n=111102×11100=55211=50211.因为n∈N*，所以n=50时Sn有最大值.2.利用函数单调性解数列问题通过构造函数，求导判断函数的单调性，从而证明数列的单调性.例6已知数列{an}中an=ln(1+n)n (n≥2)，求证an>an+1.解设f(x)=ln(1+x)x(x≥2)，则f ′(x)=x1+x―ln(1+x)x2. 因为x≥2，所以x1+x<1，ln(1+x)>1，所以f ′(x)<0.即f(x)在[2，+∞)上是单调减函数.故当n≥2时，an>an+1.例7已知数列{an}是公差为1的等差数列，bn=1+anan.(1)若a1=―52，求数列{bn}中的最大项和最小项的值;(2)若对任意的n∈N*，都有bn≤b8成立，求a1的取值范围.(1)分析最大、最小是函数的一个特征，一般可以从研究函数的单调性入手，用来研究函数最大值或最小值的方法同样适用于研究数列的最大项或最小项.解由题设易得an=n―72，所以bn=2n―52n―7.由bn=2n―52n―7=1+22n―7，可考察函数f(x)=1+22x―7的单调性.当x<72时，f(x)为减函数，且f(x)<1;当x>72时，f(x)为减函数，且f(x)>1.所以数列{bn}的最大项为b4=3，最小项为b3=―1.(2)分析由于对任意的n∈N*，都有bn≤b8成立，本题实际上就是求数列{bn}中的最大项.由于bn=1+1n―1+a1，故可以考察函数f(x)=1+1x―1+a1的形态.解由题，得an=n―1+a1，所以bn=1+1n―1+a1.考察函数f(x)=1+1x―1+a1，当x<1―a1时，f(x)为减函数，且f(x)<1;当x>1―a1时，f(x)为减函数，且f(x)>1.所以要使b8是最大项，当且仅当7<1―a1<8，所以a1的取值范围是―73.利用函数周期性解数列问题例8数列{an}中a1=a2=1，a3=2，anan+1an+2an+3=an+an+1+an+2+an+3且anan+1an+2≠1成立.试求S100=a1+a2+…+a100的值.分析从递推式不易直接求通项，观察前几项a1=1，a2=1，a3=2，a4=4，a5=1，a6=1，a7=2，a8=4，a9=1，…可猜测该数列是以4为周期的周期数列.解由已知两式相减得通过上述实例的分析与说明，我们可以发现，在数列的教学中，应重视方程函数思想的渗透，应该把函数概念、图象、性质有机地融入到数列中，通过数列与函数知识的相互交汇，使学生的知识网络得以不断优化与完善，同时也使学生的思维能力得以不断发展与提高.高中数学思想方法介绍，高中数学解题思想方法与讲解数学思想，是指现实世界的空间形式和数量关系反映到人们的意识之中，经过思维活动而产生的结果。