第四章 分离变量法、本征函数法在讨论有界区域具有齐次边界条件的数学物理问题时可寻求变量分离形式的解，这就是分离变量法.§2.4.1一维有界区域齐次方程齐次边界条件混合问题的分离变量法以弦的横振动为例，设弦长为l ，两端固定的一维自由振动的混合问题是⎪⎩⎪⎨⎧≤≤==≥==>≤≤=)0(),()0,(),()0,()0(,0),(,0),0()0,0(),,(),(2l x x x u x x u t t l u t u t l x t x u a t x u t xx tt ψϕ 由于边界条件是齐次的，因此设问题有变量分离形式的解： )()(),(t T x X t x u =，这里X (x )与变量t 无关，T (t )与变量x 无关，将它代入方程，分离变量得到)()()()(2x X x X t T a t T ''=''，这是一个恒等式，左边仅是t 的函数，右边仅是x 的函数，而x ,t 是两个无关的独立变量，所以这个等式只能是常数，记为λ-，于是有λ-=''='')()()()(2x X x X t T a t T ，从而得到两个常微分方程：)()(,0)()(2=+''=+''x X x X t T a t T λλ,对齐次边界条件也有,)()(,0)0()0(==t T l X T X ,由于求非零解，所以0)(≠t T ，只有，0)(,0)0(==l X X ，由此就得到关于X (x )的施斗姆-刘维尔本征值问题：⎩⎨⎧===+''0)(,0)0(0)()(l X X x X x X λ，（1）0<λ不是本征值.（2）0=λ，得B Ax x X +=)(，A ,B 为待定常数，由0)0(=X 得B =0，由0)(=l X 得Al =0，0≠l ,所以A =0，表明0=λ也不是本征值. （3）当0>λ时，方程的通解为x D x C x X λλs i n c o s )(+= 由0)0(=X 得C=0；由0)(=l X 得关于λ的方程 0sin=l D λ由于求问题的非零解，所以0≠D .只有0sin=l λ，从而得到问题的可列个本征值：,...)3,2,1(,==n ln n πλ 即 ,...)3,2,1(,)(2==n ln n πλ 对应的本征函数（把非零常数D 省去）有,...)3,2,1(,sin)(==n lx n x X n π现将本征值2)(ln n πλ=代入关于T (t )的方程得到)()()(2=+''t T la n t T n n π，这是一个二阶的常系数线性齐次方程，它的通解为lat n D lat n C t T n n n ππsincos)(+=，从而得到变量分离状态的解，称之为驻波： lx n l at n D lat n C t T x X t x u n n n n n πππsin)sincos()()(),(+==.从这里可以看出，为什么我们在本征函数)(x X n 把D 取成1呢？事实上是不失一般性的，无非是将D 并入系数n n D C ,中而已. 现在要求满足初始条件的解，一般而言，这可列个驻波解并不满足初始条件，为使得到满足初始条件的混合问题的解，按照叠加原理，将可列个驻波解叠加得到∑+∞=+=1sin)sincos(),(n n n lx n lat n D lat n C t x u πππ.于是由)()0,(x x u ϕ=得∑+∞==1sin)(n n lx n C x πϕ.注意到本征函数系...3,2,1sin=⎭⎬⎫⎩⎨⎧n l x n π，在[]l ,0上是正交的完全的函数系，且...)3,2,1(,2sin==n l lx n π，故而有...3,2,1,sin)(20==⎰n ln lC ln ξπξξϕd同理由)()0,(x x u t ψ=有∑+∞==1sin)(n n lx n D la n x ππψ所以 ...3,2,1,sin)(20==⎰n ln an D ln ξπξξψπd因此分离变量法又叫傅立叶解法.分离变量法是将偏微分方程与边界条件要分离变量，所以方程与边界条件都应是齐次的.在求解过程中会得到施斗姆-刘维尔本征值问题，由此确定可列个本征值与相应的本征函数系，这是分离变量法的核心问题.例1. 长为l 的均匀细杆，侧面是绝热的，杆的0=x 端保持为零度，另一端l x =按牛顿冷却定律与外界进行热交换，设外界温度恒为零度，已知杆的初始温度分布是)(x ϕ，求杆上的温度),(t x u .这个问题归结为下列的混合问题：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==+∂∂=>≤≤==),()0,(,0)(,0),0()0,0(),,(),(2x x u hu x u t u t l x t x u a t x u l x xx t ϕ这里一维热传导方程是齐次的，边界条件是齐次的，所以设)()(),(t T x X t x u =（1）代入方程和边界条件，分离变量后得到施斗姆-刘维尔本征值问题：⎩⎨⎧=+'==+''0)()(,0)0(0)()(l hX l X X x X x X λ 和常微分方程0)()(2=+'t T a t T λ;（2）解本征值问题由方程得 x D x C x X λλsincos )(+=,由0)0(=X 得C =0；由0)()(=+'l hX l X 得 0)sincos (=+l h l D λλλ,为了得到非零解，0≠D ，得到关于λ的超越方程：hl λλ-=tan ,令l λμ=，有超越方程 h lμμ-=t a n . 于是得到可列个正根n μ上面方程的正根是正切曲线μtan =y 与直线hly μ-=交点的横坐标，显然有可列个...)3,2,1(=n ，因此得到本征值（可列个）...)3,2,1(,)(2==n l nn μλ相应的本征函数为 ,...)3,2,1(,sin)(==n lxx X n n μ（3）把本征值2)(lnn μλ=代入关于T (t )的常微分方程中有...)3,2,1(,0)()()(2==+'n t T lat T n n n μ得解 ...)3,2,1(,)(2)(==-n eC t T tl an n n μ，就有 lxeC t T x X t x u n tlan n n n n μμs i n)()(),(2)(-==（4）为了得到满足初始条件的解),(t x u ，将可列个),(t x u n 叠加，有 ∑+∞=-=1)(sin),(2n n tlan lxeC t x u n μμ.由初始条件，有 ∑+∞==1sin)(n n n lxC x μϕ.注意到 )cos 1(21sinsin 222n ln n hl x lx lx μμμ+==⎰d ,因此...)3,2,1(,sin)(cos 1202=+=⎰n lh l C ln nn ξξμξϕμd ,故得此混合问题的解为 ∑+∞=-=1)(sin),(2n n tlan lxeC t x u n μμ.§2.4.2二维矩形薄板的齐次方程齐次边界条件混合问题的分离变量法例2．边长为a , b 的矩形薄板，两板面不透热，它的一边y =b为绝热，其余三边保持零度温度.设板的初始温度分布是),(y x ϕ，试求板内的温度变化.解：以),,(t y x u 为此矩形板内点(x ,y )处时刻t 的温度，这时此混合问题为：⎪⎩⎪⎨⎧=====≤≤≤≤+======),(,0,0,0,0)0,0()],,,(),,([),,(0002y x u u u u u b y a x t y x u t y x u a t y x u t b y y y a x x yy xx t ϕ 这是一个齐次方程、齐次边界条件的问题，可设有变量分离形式的解.（1）设解为)()()(),,(t T y Y x X t y x u =代入齐次方程中，分离变量后有)()()()()()(2y Y y Y x X x X t T a t T ''+''='由于x ，y ，t 都是独立变量，所以令λ-='')()(x X x X ，μ-='')()(y Y y Y这里μλ,都是待定的常数，并且0)()()(2=++'t T a t T μλ齐次边界条件分离变量后得0)0(,0)0(,0)()0(='===Y Y a X X于是得到两个施斗姆-刘维尔本征值问题：⎩⎨⎧===+''0)(,0)0(0)()(a X X x X x X λ 与 ⎩⎨⎧='==+''0)(,0)0(0)()(b Y Y y Y y Y μ（2）解上述两个本征值问题，容易得到它的本征值和相应的本征函数系. ,)(2a n n πλ=,...)3,2,1(,s i n)(==n ax n x X n π ,)21(2⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=b m mπμ ,...)2,1,0(,)21(sin )(=+=m b y m y Y mπ（3）将本征值代入关于)(t T 的一阶方程中，得到t a bm a n nm nm eC t T 222221)()(π⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛++-=（4）为得到满足初始条件的混合问题的解，将)()()(),,(t T y Y x X t y x u nm m n nm =对n ，m 叠加，有bym ax n eCt y x u n m t a bm a n nmπππ)21(sinsin),,(1021)(2222+=∑∑∞+=∞+=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛++-由初始条件得bym ax n Cy x n m nmππϕ)21(sinsin),(10+=∑∑∞+=∞+=从而得ηξπηπξηξϕd d bm an abC a bnm )21(sinsin),(400+=⎰⎰ .例3. （圆的狄里克雷问题）设有一个半径为a 的无限长圆柱，把它的对称轴取做z 轴，假设在柱的表面上温度不随时间t 而改变，且与z 坐标无关.则过了一段时间后，在圆柱的每一点处，温度也会稳定下来与t 无关，这时圆柱体内的温度),(y x u u =就满足二维拉普拉斯方程0=+≡∆yy xx u u u .圆柱表面的温度ϕ==+ay x y x u 22),(，求此问题的解.这个问题通常称为圆的狄里克雷问题.解：由于讨论的圆形区域，所以用极坐标),(θr 比用直角坐标),(y x 方便得多，由高等数学知道，在极坐标表示下的二维拉普拉斯方程有形式),(1),(1),(2=++θθθθθr u rr u rr u r rr这里仍记),(),(θr u y x u =，其中θθsin ,cos r y r x ==.这样柱面上的温度表示为边界条件：)(),(θϕθ=a u于是得到边值问题：⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=≤≤≤≤=++)20()(),()20,0(,0112πθθϕθπθθθa u a r u r u r u r rr用分离变量法解此问题.设)()(),(θθΘr R r u =，代入方程，分离变量得)()()(2=-'+''r R r R r r R r λ0)()(=+''θλθΘΘ这里，由于是圆形区域，当角度θ从θ变到πθ2+时，单值函数),(θr u 应该满足周期条件),()2,(θπθr u r u =+，由此得到)()2(θπθΘΘ=+.因此这里本征值问题的提法是求方程0)()(=+''θλθΘΘ的以π2为周期的周期解:)()2(θπθΘΘ=+，于是得本征值,2n n =λ...2,1,0=n ，相应的本征函数有：00=λ时，00)(b a +=θθΘ，由周期条件，取1)(0=θΘ，对于0,2>=n n n λ就有本征函数为...3,2,1,sin cos )(=+=n n b n a n n n θθθΘ将本征值n λ代入关于)(r R 的方程，当02>=n n λ时，方程是尤拉方程，作变量替换t e r =，就得通解nn nn n rd rc r R -+=)(当00=λ有 r d c r R ln )(000+= .由物理意义，温度),(θr u 在圆心0=r 处应是有界的，所以必须取...)2,1,0(,0==n d n ，才使解),(θr u 在0=r 为有限值.通常将),0(θu 为有界的条件称为自然边界条件，从而得到 ...)3,2,1(,)(,)(00===n r c r R c r R nn n 于是得到方程的这样一系列的解：00),(c r u =θ，n n n n n n r n c b n c a r u )s i n c o s (),(θθθ+=记n n n n n n B c b A c a A c ===,,200，为得到满足边界条件的解，将这些...)3,2,1(),,(=n r u n θ叠加，有∑∑+∞=+∞=++==100)sin cos (2),(),(n nn nn nrn B n AA r ur u θθθθ由边界条件)(),(θθf r u a r ==，得到∑+∞=++=10)sin cos (2)(n nn nan B n AA f θθθ,从而有...)2,1,0(,c o s )(120==⎰n n f aA nn πϕϕϕπd ...)3,2,1(,sin )(120==⎰n n f aB nn πϕϕϕπd§2.4.3三维空间内球坐标系和柱坐标系中方程=+∆u u λ的变量分离三维波动方程和三维热传导方程将变数t 和坐标变量分离后，都会得到称谓亥姆霍兹（Helmholtz ）方程=+∆u u λ其中λ是常数.就最常用的球坐标和柱坐标的情形具体地说明变量分离的步骤和结果. 2.4.3.1 柱坐标直角坐标与柱坐标的关系式为)20,0(sin cos πϕϕϕ≤≤>⎪⎩⎪⎨⎧===r z z r y r x于是亥姆霍兹方程在柱坐标系下的表达式为01)(122222=+∂∂+∂∂+∂∂∂∂u zu u rr u r rr λϕ设)()()(),,(z Z r R z r u ϕϕΦ=，代入上式得)(22222=+Φ++Z R zZ R rRZ rR rrr Z ΦΦΦλϕd d d d d d d d以Z R u Φ=除这式，有11)(122222=++Φ+λϕzZ Z r r R r rrR d d d d d d d d Φ上式头两项是ϕ,r 的函数，第三项只是z 的函数，而变量z r ,,ϕ是独立变量，因此令μ-=221zZ Z d d ，得关于)(z Z 的常微分方程0)()(=+''z Z z Z μ这里μ是一个待定常数，由此得01)(1222=-+ΦΦ+μλϕd d d d d d r r R r rrR容易分离变量得0)()(2=+''ϕϕΦΦm ,0)()(1222=-+R rm krR rrr d d d d ,其中μλ-=2k .若令kr x =，那么这个方程就化为m 阶贝塞尔方程0)1()(122=-+R xm x R x xx d d d d ,由此可见，用分离变量法把在柱坐标下的亥姆霍兹方程化为三个常微分方程，0)()(=+''z Z z Z μ, 0)()(2=+''ϕϕΦΦm ,0)1()(122=-+R xm x R x xx d d d d .它们中都含有未定参数（依次为22,,k m μ），这些参数的取值（本征值）都由边界条件确定.例4.圆盘的温度分布问题 设有半径为a 的均匀圆盘，边界的温度为零度，初始时刻圆盘的温度分布为22r a -，这里222y x r +=，求圆盘的温度分布.解：由于区域是圆域，用极坐标，注意到初始温度22r a -与极角θ无关，所以温度u 也应与θ无关，只是t r ,的函数.即),(t r u u =，所求问题归结为定解问题：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==><≤=+-222)0,(),0(,0),()0,0(,0)1(r a r u t u t a u t a r u r u k u r rr t 有界用分离变量法，令)()(),(t T r R t r u =代入方程分离变量后得λ-='+''=')()()()()(2r rR r R r R r t T k t T由此得两个常微分方程：0)()(2=+'t T k t T λ)()()(22=+'+''r R r r R r r R r λ由有界),0(t u ，0),(=t a u ，得0=λ不是本征值.当0>λ时，方程为零阶贝塞尔方程，在0=r 有有界解，有)()(0r J r R λ=由0)(=a R 得超越方程0)(0=a J λ，这个方程的正根为...)3,2,1(=n n μ，这样问题的本征值...3,2,1,2=⎪⎭⎫⎝⎛=n a n n μλ，相应的本征函数为...)3,2,1(,)(0=⎪⎭⎫⎝⎛=n r a J r R n n μ.把本征值2⎪⎭⎫⎝⎛=a n n μλ代入关于)(t T 的方程，得通解...)3,2,1(,)(22)(==-n eC t T tak n n nμ由叠加原理得tak nn nn n nnear J Ct T r Rt r u 22)(101)()()(),(μμ-+∞=+∞=∑∑==根据初始条件，有2210)(ra ar J C nn n -=∑+∞=μ本征函数系⎭⎬⎫⎩⎨⎧)(0a r J nμ以r r =)(ρ为权函数正交，且由第一章5.3节范数公式得2122020)]([2)()(n anrnJ ar ar rJ ar J μμμ==⎰d .于是，令r ax nμ=，就有r ar rJ r a J a C ann n d ⎰-=0022212)()()(2μμx x J xax x xJaJ a n n nnn d d ⎰⎰-=μμμμμ00324024212)()([)(2注意到)()]([01x xJ x xJ x=d d 与)()]([1222x J x x J x x=d d ，利用分部积分得⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+-=⎰x x J x J J J aC nnn n n n n n n nd μμμμμμμμμ012213212122)(2)(1)()(2)()(421222n n n J J a μμμ=应用递推公式)(2)()(102x J x x J x J =+，有)(2)()(2)(1012n nn n nn J J J J μμμμμμ=-=从而有 )(8132n n n J aC μμ=,故问题的解为tak nn n nnear J J at r u 22)(10132)()(8),(μμμμ-+∞=∑=,这里n μ是)(0x J 全部的正根，即0)(0=n J μ.例5. 考虑位移与角度无关的圆膜振动问题.设半径为a 的圆膜振动问题为：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===><≤=+-)()0,(,0)0,(),0(,0),()0,0(,0)1(2r f r u r u t u t a u t a r u r u c u tr r rr tt有界解：令)()(),(t T r R t r u =代入方程分离变量后得两个常微分方程：0)()()(22=+'+''r R r r R r r R r λ,0)()(2=+''t T c t T λ.这样得到施斗姆-刘维尔型本征值问题：⎩⎨⎧='=+'+''0)(,)0(0)()()(22a R R r R r r R r r R r 有限λ 当0=λ时，方程的通解为21ln )(A r A r R +=，由)0(R 有限，01=A ，因此00==λλ是本征值，其相应的本征函数为1)(0=r R .当0>λ时，方程为零阶贝塞尔方程，它在0=r 点处有界解为)()(0r AJ r R λ=由0)(='a R ，得关于λ的超越方程：0)(0='a J λ 由关系式)()(10x J x J -='，设...)3,2,1(=n n μ为)(1x J 的正根，由此得到本征值...3,2,1,2=⎪⎭⎫⎝⎛==n a n n μλλ，它们对应的本征函数⎪⎭⎫⎝⎛=r a J r R n n μ0)(分别把00=λ，2⎪⎭⎫⎝⎛=a n n μλ这些本征值代入关于)(t T 的常微分方程得000)(D t C t T +=, actD actC t T n n n n n μμsincos)(+=,根据叠加原理，函数)()()()(),(100t T r Rt T r R t r u n n n∑+∞=+=)()sincos(1000arJ actD actC D t C n n n n n n μμμ∑+∞=+++=.由初始条件，有0)(100=+∑+∞=arJ C D n n n μ)()(100r f arJ D acC n n n n =+∑+∞=μμ于是得 ...)3,2,1(,0,00===n C D n 而据2.1.5.3中的范数公式为...)3,2,1(),(2)()(2022020===⎰n J ar ar rJ ar J n an rn μμμd从而有r r rf aC ad ⎰=20)(2r r aJ r rf J ac D na nn n n d ⎰=020)()()(2μμμ故问题的解为)(sin),(100arJ actD t C t r u n n n n μμ∑+∞=+=,其中n μ是)(1x J 的全部正零点，即0)(1=n J μ,且0>n μ. 2.4.3.2 球坐标直角坐标与球坐标的关系式为⎪⎩⎪⎨⎧===θϕθϕθsin sin sin cos sin r z r y r x其中)20),0,0(πϕπθ≤≤≤≤+∞≤≤r亥姆霍兹方程在球坐标系下的表达式为0sin 1)(sin sin 1)(12222222=+∂∂+∂∂∂∂+∂∂∂∂u ur u r ru rrrλϕθθθθθ设)()()(),,(ϕθϕθΦΘr R r u =，代入上式得sin )(sin sin )(2222222=+++ΘΦΦΘΘΦΘΦR r R r R rR rrrλϕθθθθθd d d d d dd d d d上式两边除以)()()(ϕθΦΘr R ，分离变量易得0)()(2=+''ϕϕΦΦm0)()sin ()(sin sin 122=-+θθμθθθθΘΘmd d d d0)()()(12222=-+r R rk rR rrrμd d d d其中λ=2k ，这些方程中所含的参数22,,k m μ是在分离变量时引入的，都要由定解问题的边界条件来确定其取值.在关于)(θΘ的方程中，令)()(,cos x y x ==θθΘ，则方程化为0)1()1(222=--+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-y x m x y x x μd d d d 这就是连带勒让德方程，当0=m 时，为勒让德方程.例6. 有一单位球体，测得表面电位分布为θ2cos ，求球体内无源电位分布.解：由于边界值与ϕ无关，所以可设电位),(θr u u =与ϕ无关，因此球形区域内电位分布问题在球面坐标系下为⎪⎩⎪⎨⎧=<<=∂∂∂∂+∂∂∂∂θθθθθθ2222cos ),1(10,0)(sin sin 1)(1u r u r r ur r r用分离变量法，设)()(),(θθΘr R r u =，代入方程并分离变量，得两个常微分方程)()(2)(2=-'+''r R r R r r R r λ0)()(sin cos )(=+'+''θλθθθθΘΘΘ令)11()()(,cos ≤≤-==x x y x ，记θθΘ，则上式化为勒让德方程02)1(222=+--y xy xxy x λd d d d它的本征值问题提法是求)(x y 在[-1，+1]上的有界解，得本征值)1(+=l l l λ，相应的本征函数)(cos )(θθl l P =Θ.当...)2,1,0(),1(=+=l l l l λ时，关于)(r R 的方程的通解为...)2,1,0(,)()1(=+=+-l rD r C r R l l ll l由自然边界条件)0(R 有界，得...)2,1,0(,0==l D l ，所以问题的解为：∑+∞==)(cos ),(l l llP r Cr u θθ由边界条件θθ2cos ),1(=u ，得∑+∞==2)(cos cos l l lP Cθθ令θcos =x ，由于)(32)(31202x P x P x +=，得此球域内电位分布函数：2222)31(cos 31)(cos 3231),(rrP r u -+=+=θθθ.例7. （半球内的稳定温度分布）求半径为a 的上半球内稳定状态下的温度分布，设上半球面保持恒温0u ，半球底面为0℃.解：定解问题为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=<<=<<<<=∆0),2,()20(,),,()20,0(,00ϕππθϕθπθr u u a u a r u为了用勒让德函数表示解，需将半球问题化为整球问题，若保持0),2,(=ϕπr u ，由物理意义知，将边界条件作奇延拓⎪⎩⎪⎨⎧≤<-<≤=)2(,)20(,),,(00πθππθϕθu u a u 就保证温度u 是θcos r z =的奇函数，并且有02====πθuuz .注意到边界条件与ϕ无关，可以认为温度),(θr u u =也与ϕ无关，这样定解问题化为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧≤<-<≤=<<=∂∂∂∂+∂∂∂∂)2(,)20(,),()0(,0)(sin sin 1)(100222πθππθθθθθθu u a u a r u r r ur r r用分离变量法，令)()(),(θθΘr R r u =，代入方程分离变量得)()(2)(2=-'+''r R r R r r R r λ0)()(sin cos )(=+'+''θλθθθθΘΘΘ关于)(θΘ的方程，令，记)()(,cos θθΘ==x y x ，化为勒让德方程)11(,02)1(2≤≤-=+'-''-x y y x y x λ它的本征值问题就是求在[－1，+1]区间上的有界解，得本征值...)2,1,0(),1(=+=l l l l λ，相应的本征函数...)2,1,0(),(cos )(==l P l l θθΘ.把本征值)1(+=l l l λ代入关于)(r R 的方程（是尤拉方程）得通解...)2,1,0(,)()1(=+=+-l rD r C r R l l ll l要使),(θr u 有界，必须)(r R l 也有界，所以...)2,1,0(,0==l D l ，因此得...)2,1,0(,)(==l r C r R l l l ，由叠加原理得解：∑+∞==)(cos ),(l l llP r Cr u θθ由边界条件得⎪⎩⎪⎨⎧≤<-<≤=∑∞+=)2(,)20(,)(c o s 00πθππθθu u P a C l l l l从而得⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+=⎰⎰-011000)()(212x x P u x x P u a l C l l ll d d 注意到⎰⎰⎰--=-=0111)()1()()(x x P x x P x x P lll ld d d利用lll ll x dxdl x P )1(!21)(2-⋅=，易得⎪⎩⎪⎨⎧+=++-==++12,!)!1(2)!2)(34()1(2012120m l m m a u m m m l C m m ml 当当，得到问题的解为),(cos !)!1(2)!2)(34()1(),(12120120θθ+++∞=+∑⎪⎭⎫⎝⎛++-=m m m m mP a r m m m m u r u 0(≤θ≤)2π.§2.4.4非齐次方程齐次边界条件的解法2.4.4.1本征函数法这里把分离变量法推广用于求解非齐次方程齐次边界条件的定解问题，介绍的方法叫本征函数法.例8. 一维波动方程的强迫振动问题，具有第一类齐次边界条件的定解问题⎪⎩⎪⎨⎧====><≤=-)()0,(),()0,(0),(,0),0()0,0(),,(),(),(2x x u x x u t l u t u t l x t x f t x u a t x u t xx tt ψϕ （1）求出对应齐次方程齐次边界条件的本征值与本征函数系. 这里为⎩⎨⎧===-0),(,0),0(,0),(),(2t l u t u t x u a t x u xx tt的本征函数系. 易得本征值为2⎪⎭⎫ ⎝⎛=l n nπλ，本征函数,sin)(lx n x X n π=,...)3,2,1(=n（2）设问题的解),(t x u 在本征函数系,sin)(⎭⎬⎫⎩⎨⎧=l x n x X n π ,...)3,2,1(=n 的傅立叶级数是∑+∞==1sin)(),(n n lx n t T t x u π其中,...)3,2,1()(=n t T n 是待定的函数.为了求出函数)(t T n ，将已知函数)(),(),,(x x t x f ψϕ在本征函数系⎭⎬⎫⎩⎨⎧l x n πsin下展开为傅立叶级数： ∑+∞==1sin)(),(n n lx n t f t x f π，∑+∞==1sin)(n n l x n x πϕϕ，∑+∞==1sin)(n nlx n x πψψ其中ξπξξd ln t f lt f ln sin),(2)(0⎰=，ξπξξϕϕd ln lt ln sin)(2)(0⎰=，ξπξξψψd ln lt ln sin)(2)(0⎰=，都是已知的.将∑+∞==1sin)(),(n n lx n t T t x u π代入方程与初始条件中，得∑∑∞+=∞+==⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+''112sin)(sin )()(n n n n nlx n t f l x n t T l a n t T πππ，∑∑+∞=+∞==11sin)(sin)0(n n n n l x n t l x n T πϕπ，∑∑+∞=+∞=='11sin)(sin)0(n n n n lx n t lx n T πψπ，由唯一性知，得到关于)(t T n 的常微分方程初值问题：...)3,2,1(,)0(,)0()()()(2=⎪⎩⎪⎨⎧='==⎪⎭⎫ ⎝⎛+''n T T t f t T l a n t T n n n nn n n ψϕπ用拉普拉斯积分变换解得⎰-++=tn n n n d lt a n f an llat n an l lat n t t T 0)(sin)(sincos)()(ττπτππψππϕ这样就得到一维波动方程强迫振动齐次边界条件的解∑+∞==1sin)(),(n n lx n t T t x u πl x n d lt a n f an llx n lat n an llat n n tn n nn πττπτππππψπϕsin)(sin)(sin)sincos(11∑⎰∑∞+=+∞=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++=这种求解具有齐次边界条件的非齐次方程定解问题的方法称为本征函数法，本征函数法对热传导问题（或扩散问题）等同样适用.例9. 长为l 的均匀细杆，其一端保持零度，另一端绝热，杆的初始温度为0u （常数），从开始时刻有一指数衰减的热源作用在杆上，求杆内温度分布，即归结为定解问题：⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=≥==>><<+=-)0(,)0,()0(,0),(,0),0()0,0,0(,02l x u x u t t l u t u t l x Ae u a u x t xx t αα 解： （1）求对应齐次方程的同样齐次边界条件的本征值与本征函数，易得本征值为2212⎪⎭⎫⎝⎛+=πλl n n ，本征函数,212sin)(x ln x X n π+=,...)2,1,0(=n ，所以问题的解设为∑+∞=+=2)12(sin)(),(n n lxn t T t x u π（2）把t Ae t x f α-=),(和初值0u 在本征函数系下展成傅立叶级数有：∑+∞=--++=2)12(sin)12(4n ttlxn n AeAeππαα∑+∞=++=02)12(sin)12(4n lxn n u u ππ（3）代入方程与初始条件中，得关于)(t T n 的常微分方程初值问题：tn n e n A t T l a n t T αππ-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛++')12(4)(2)12()(2π)12(4)0(0+=n u T n求得此常微分方程初值问题的解为t l a n tn e n A l a n A uel a n n At T 22)12(202)12(42)12(12)12()12(4)(⎪⎭⎫⎝⎛+--+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+-⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=παπαπαππ故问题的解为=),(t x ul x n l a n en A e l a n n A n u n tt l a n 2)12(sin 2)12()12(42)12()12(4)12(4022)12(202παππαπππαπ+⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-+∑∞+=-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-2.4.4.2齐次化原理对于非齐次方程的初边值混合问题：⎪⎩⎪⎨⎧=====-0)0,(,0)0,(0),(,0),0(),(2x u x u t l u t u t x f u a u t xx tt 成立着齐次化原理.齐次化原理：若);,(τt x W 是初边值问题⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧====>=∂∂-∂∂),();,(,0);,(0);,(,0);,0()(0222ττττττττx f x W x W t l W t W t x Wa tW t的解（这里0≥τ为参数），则ττd t x W t x u t⎰=0);,(),(就是上述初边值混合问题的解，证明从略. 而对于);,(τt x W 的问题，令τ-='t t ，就化为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧='∂∂===>'=∂∂-∂∂='='),(,00);,(,0);,0()0(000222τττx f t WW t l W t W t x Wa t W t t它的解用分离变量法得∑∑+∞=+∞=-='==11sin)(sin)(sinsin)();,(n n n n lx n lt a n D lx n lt a n D t x W W πτπτππττ这里 ⎰=ln ln f an D 0s i n ),(2)(ξπξτξπτd从而由齐次化原理得到原初边值混合问题的解为：∑⎰⎰∞+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-==100sin )(sin )();,(),(n t n tl xn l t a n D t x W t x u πττπτττd d§2.4.5非齐次边界条件的定解问题的解法对于非齐次边界条件的定解问题的解法，应先将边界条件齐次化，把定解问题转化为齐次边界条件，用前面叙述的方法求解.例10. 设长为l ，端点按某种规律依时间t 变化的弦强迫振动，弦振动位移),(t x u 满足定解问题：⎪⎩⎪⎨⎧====><<=-)()0,(),()0,()(),(),(),0()0,0(),,(2x x u x x u t t l u t t u t l x t x f u a u t xx tt ψϕνμ为了能用上段的本征函数法求解，先将边界条件齐次化，为此设),(),(),(t x w t x v t x u +=这里),(t x v 是引进的新的函数，使),(),(),(t x w t x u t x v -=满足齐次边界条件0),(,0),0(==t l v t v ，就必须让函数),(t x w 满足 )(),(),(),0(t t l w t t w νμ==对此最简单的取法，令)()(),(t B x t A t x w +=，由此易得 )()()],()([1)(t t B t t l t A μμν=-=，即得 )()]()([),(t t t lx t x w μμν+-=这样，若),(t x u 是这个定解问题的解，那么),(t x v 满足定解问题⎪⎩⎪⎨⎧-=-===><<--=-)0,()()0,(),0,()()0,(0),(,0),0()0,0(),(),(22x w x x v x w x x v t l v t v t l x w a w t x f v a v t t xx tt xx tt ψϕ这个问题就可以用本征函数法或齐次化原理求解.应当指出，在数学物理问题的理论上已经证明了),(t x u 的解与),(t x w 的选取法无关.这里仅给出了对边界条件是第一类边界条件的),(t x w 的选取形式，对其他类型的边界条件完全可以用类似的方法找出相应的),(t x w ，使边界条件齐次化.现在给出几种边界条件下对应的函数),(t x w 的表达式.（1）若)(),(),(),0(t t l u t t u x νμ==，则),(t x w 可取为)()(),(t t x t x w μν+=（2）若)(),(),(),0(t t l u t t u x νμ==，则取)()()(),(t t l x t x w μν+-=（3）若)(),(),(),0(t t l u t t u x x νμ==，则),(t x w 可取为)]()([2)(),(2t t lxt x t x w μνμ-+=（4）)(),(),(),(),0(),0(t t l u t l u t t u t u x x νσμσ=+=-，这里0>σ，则),(t x w 可取为222)()1()()(),(ll t l t xt x t x w σμσνμ++-+=这里只要令 2)()(),(x t B x t A t x w +=，就可求得.例11. 求解混合问题⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===><<=--)()0,()(,),(,0),0()0,0(,2sin 422x x u b b t u t u t x x e u a u x t axxt ϕππ为常数解：（1）先把边界条件齐次化令bx t x v t x u +=),(),(这样这个问题就转化为关于),(t x v 的定解问题⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-===><<=--bx x x v t v t v t x x ev a v x t axx t )()0,(0),(,0),0()0,0(,2sin 422ϕππ（2）用本征函数法或齐次化原理解此问题得2)12(sin2sin),(04)12(4222xn ea x tet x v n tan n ta++=∑∞+=+--其中 ,...)2,1,0(,2)12(s i n ])([20=+-=⎰n n a n ξξβξξϕππd 最后得原问题的解为2)12(sin2sin),(04)12(4222xn ea x tebx t x u n tan n ta+++=∑∞+=+--.。
