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数学物理方法课件：04第四章 解析函数的幂级数表示 (1)

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第四章 解析函数的幂级数表示方法

第四章 解析函数的幂级数表示方法

第四章 解析函数的幂级数表示方法第一节 级数和序列的基本性质 1、复数项级数和复数序列： 复数序列就是：111222,,...,,...n n n z a ib z a ib z a ib =+=+=+在这里，n z 是复数，,Im ,Re n n n n b z a z ==一般简单记为}{n z 。

按照|}{|n z 是有界或无界序列，我们也称}{n z 为有界或无界序列。

设0z 是一个复常数。

如果任给0ε>，可以找到一个正数N ，使得当n>N 时ε<-||0z z n ,那么我们说{}n z 收敛或有极限0z ，或者说{}n z 是收敛序列，并且收敛于0z ，记作0lim z z n n =+∞→。

如果序列{}n z 不收敛，则称{}n z 发散，或者说它是发散序列。

令0z a ib =+，其中a 和b 是实数。

由不等式0||||||||||n n n n n a a b b z z a a b b --≤-≤-+-及容易看出，0lim z z n n =+∞→等价于下列两极限式：,lim ,lim b b a a n n n n ==+∞→+∞→因此，有下面的注解：注1、序列{}n z 收敛（于0z ）的必要与充分条件是：序列{}n a 收敛（于a ）以及序列{}n b 收敛（于b ）。

注2、复数序列也可以解释为复平面上的点列，于是点列{}n z 收敛于0z ，或者说有极限点0z 的定义用几何语言可以叙述为：任给0z 的一个邻域，相应地可以找到一个正整数N ，使得当n N >时，n z在这个邻域内。

注3、利用两个实数序列的相应的结果，我们可以证明，两个收敛复数序列的和、差、积、商仍收敛，并且其极限是相应极限的和、差积、商。

定义4.1复数项级数就是12......n z z z ++++或记为1n n z +∞=∑，或n z ∑，其中n z 是复数。

定义其部分和序列为：12...n n z z z σ=+++如果序列{}n σ收敛，那么我们说级数n z ∑收敛；如果{}n σ的极限是σ，那么说n z ∑的和是σ，或者说n z ∑收敛于σ，记作1nn zσ+∞==∑，如果序列{}n σ发散，那么我们说级数n z ∑发散。

数学物理方法课件：04第四章 解析函数的幂级数表示 (1)

数学物理方法课件：04第四章 解析函数的幂级数表示 (1)

z n1
( z 1)
n0 n 1
1
zn ( z 1)
微分 m 次
1 z n0
m!
(1 z)m1
n(n 1)...(n m 1) znm
nm
n=m+k
1 (1 z)m1
Ck mk
k0
zk
(z
1)
一般情形
1 (1 z)
1 ( 1)...( k 1) zk ( z 1)
级数 (1) 处处发散，级数 (3) 处处绝对收敛；
级数 (2) 在 z=1 处发散，在其余点处收敛。
魏尔斯特拉斯定理 + 阿贝尔定理
➢ 幂级数的和函数在收敛圆内解析
幂级数 cn (z a)n 的和函数 f(z) 在收敛圆 |z-a|=R n0
的内部解析，可逐项求导、逐项积分：
z
f ( )d
1
zn ( z 1)
n0 n!
1 z n0
•导出：cos z ei z ei z 1 z2 z4 (1)n z2n
2
2! 4!
(2n)!
积分
sin z
zz
z3
z5
(1)n
z 2n1
0
3! 5!
(2n 1)!
z dz
lnk (1-z) lnk1 0 1 z
k 1
k!
规定 (1 z) |z0 1
例2：求 f (z) ez 在 z=0 和 z=3 处的泰勒展开
1 z
在
ez
zn ,
1
zn
z=0
n0 n! 1 z n0
收敛半径 = 1
处
幂级数相乘：f (z) cn zn ,

数学物理方法课件解析函数的幂级数展开

数学物理方法课件解析函数的幂级数展开

幂级数展开求解积分方程
幂级数展开求解积分方程 的步骤
首先将积分方程中的未知函数进行幂级数展 开，然后代入积分方程中求解系数，最后得 到积分方程的解。
举例
求解∫(上限1下限0) (x^2+y^2)^(-3/2) * y dx = 1。将y(x)进行幂级数展开，得到
y(x)=∑(n=0,∞) a_n * x^(n+1)，然后代入 积分方程中求解系数a_n，得到解。
THANKS
感谢观看
幂级数展开的收敛半径
幂级数展开的收敛半径是指函数在一定区间内可以展开成幂 级数的范围。
收敛半径的大小取决于各项系数的变化规律，可以通过比较 相邻项系数的方法来确定收敛半径。
幂级数展开的收敛区间
幂级数展开的收敛区间是指函数可以精确展开成幂级数的区间，通常是一个闭区 间或者半开半闭区间。
在收敛区间内，幂级数展开可以无限逼近原函数，但在收敛区间的外延，误差会 逐渐增大。
数学物理方法课件解析函 数的幂级数展开
• 幂级数展开的概述 • 幂级数展开的原理 • 幂级数展开的应用 • 幂级数展开的实例解析
01
幂级数展开的概述
幂级数展开的定义
幂级数展开是指将一个函数表示为无 穷级数的方式，其中每一项都是该函 数的幂次与系数的乘积。
幂级数展开的一般形式为：$f(x) = a_0 + a_1x + a_2x^2 + cdots + a_nx^n + cdots$，其中 $a_0, a_1, ldots, a_n$ 是常数，$x$ 是自变量。
幂级数展开求解微分方程
幂级数展开求解微分方程的步骤
首先将微分方程中的未知函数进行幂级数展开，然后代入微分方程中求解系数，最后得 到微分方程的解。

数学物理方法(第四版)(汪德新)PPT模板

数学物理方法(第四版)(汪德新)PPT模板

12.1傅里 叶变换
1
12.2傅里 叶变换法
2
12.3拉普 拉斯变换
3
12.4拉普拉 斯变换法
4
第三篇数学物理方程
第13章格林函数法
03
＊13.3格林函数法
在波动问题中的应
用
02
＊13.2格林函数法 在输运问题中的应
用
01
＊13.1格林函数法 在稳定场问题中的
应用
第三篇数学物理方程
第14章保角变换法
02 第17章Z变换
＊17.1Z变换的定义及其性质 ＊17.2用Z变换求解差分方程
03 第18章小波变换
＊18.1从傅里叶变换，加博变换到小波 变换 ＊18.2连续小波变换的性质
第四篇数学物理 方法的若干新兴 分支
06 参考文献
参考文献
07 附录
附录
1. 附录A微分算符▽的若干常用公式 2. 附录B几种常用的常系数常微分方程的解 3. 附录C广义积分与积分主值 4. 附录D二阶线性齐次常微分方程w″（z）＋p（z）w′（z）＋q（z）w（z）
数学物理方法（第四版）(汪德新)
演讲人
2 0 2 X - 11 - 11
01 前言
前言
02 第一篇复变函数导论
第一篇复变函数导 论
第1章复变函数与解析函数 第2章复变函数的积分 第3章解析函数的级数表示 第4章留数定理及其应用 第5章解析延拓多值函数及其黎曼面
第一篇复变 函数导论
第1章复变函数与解析函 数
6.3勒让德多项式的正交性与完备 性
6.2勒让德多项式的微分与积分表 达式母函数与递推公式
6.4关联勒让德方程与关联勒让德 函数
第二篇特殊函数场论与狄拉克δ函数

函数的幂级数展开式ppt课件泰勒级数课件

函数的幂级数展开式ppt课件泰勒级数课件

o
x0
P104,条件1,2
y f (x)
x
Pn的确定
Pn( x) a0 a1( x x0 ) a2( x x0 )2 an( x x0 )n
分析: f (x0) Pn(x0) a0
f (x0) Pn(x0) 1 a1 f (x0) Pn(x0) 2!a2
an
1 n!
代换 恒等变形
求导,积分
数项级数求和
无穷级数
特殊:数项级数
特殊:交正错项
一般:
一般:函数项级数
特殊:幂级数 一般:
判定敛散性
求R,收敛域 求和函数,
2. 数项级数求和
(1)e x 1 x 1 x2 2!
1 xn
n!
n0
1 n!
xn
此公式对应了无数个求和公式!
x0 )n
称为点 x0 处泰勒级数
f (x) 的泰勒级数 :
f (x)
f (x)
f (x0 )
f (x0 )(x x0 )
f
( x0 2!
)
(
x
x0
)2
f
(n) (x0 ) (x n!
x0 )n
n0
f
(n)( x0 )( x n!
x0 )n
不一定！
2 定理1 设函数 f (x) 在点 x0 的某一邻域
内具有
各阶导数, 则 f (x) 在该邻域内能展成泰勒级数的 充要条件是 f (x) 的__________余项满足:___________
理解1:
f (x) 的 n 阶泰勒公式
f (x) f (x0 ) f (x0 )(x x0 )
f
( x0 2!

2021年数理方法课件 精美PPT 04第四章 解析函数的幂级数表示

2021年数理方法课件 精美PPT 04第四章 解析函数的幂级数表示
§4.1 函数项级数的基本性质
1.函数项级数 fn(z) (1) n=0 • 称函数项级数 (1) 在点集 E 上收敛于函数 f(z)，
若对每点 zE 及任意ε>0，存在正数 N ( , z),
m
对每个 m N ( , z)，有 | fn(z) − f (z) | . n=0
• 当 N( , z)可不依赖于 zE 时，称此函数项级数
|
cn
|
(上极限)
上极限：对实数序列 {xn} ，若去掉前 n 项后的
子序列最小上界为 pn，则
lim sup
n→
xn
=
lim
n→
pn
•对
zn ,
lim
1/ n!
= lim n n! = , 收敛半径为 ∞
n=0 n! n→ 1 /(n + 1)! n→
例1：(1)
n=0
z2n 2n ,
zn (2) ,
n=0
1− z m→+ 1− z
m
对 0<ε<1/2，不等式 | zn − (1− z)−1 | n=0
的解为 m N (z, ) −1, N (z, ) = − ln( |1− z |)
− ln | z |
若
|z|≤ρ，则N (z,
)
ln[
(1−
)]
;
lim N(z, ) = +
ln
z → −1
➢ 柯西收敛准则
fn(z) 收敛 (一致收敛) 的充分必要条件：
n=0
对zE 及 0，存在 N( , z) 0, p m N( , z)
p
时 | fn (z) | .
N ( ) 0

第四章解析函数的幂级数表示法

第四章解析函数的幂级数表示法
m!来自(m 1)!只要令
(z)
f (m) (a)
f (m1) (a) (z a)
m! (m 1)!
即可。充分性是明显的。
• 例4.7 考察函数
f (z) z sin z
在原点 z 0 的性质。
• 解 显然 f (z) 在 z 0 解析，
且 f (0) 0
• 定义 4.5 设函数 fn (z) (n 1,2, )
定义于区域 D 内，若级数（4.2）在
内D任一有界闭集上一致收敛，则称此级 数在 内D内闭一致收敛。
3.解析函数项级数
• 函数项级数能逐项求导的条件时苛刻的， 然而解析函数项级数求导的条件却比较 宽些，这就是下面的维尔斯特拉斯定理。
充要条件为： f (z) 在 D 内任一
a 点
的邻域内可展成幂级数，即泰
勒级数。
• 2． 幂级数的和函数在其收敛圆周上的状 况
• 定理4.16 如果幂级数的收敛半径 R 0
且

f (z) cn (z a)n ,(z K : z a R)
n0
则在收敛圆周上至少有一奇点。
3! 5!
3! 5!
如在 z a R 内的解析函数 f (z)
a 不恒为零，
为其零点，则必有
a 的一个邻域，使得 f (z) 在其中无
异于 a 的零点。
（简单说来就是：不恒为零的解析函数的 零点必是孤立的。）
（4） 1 z 2 z 4 z9
解 当ｎ是平方数时， cn 1 其他情形 cn 0 。因此，相应有，
n cn 1或0 于是数列 n cn
的聚点是0和1，从而
l 1, R 1

第四章 解析函数的级数表示PPT课件

第四章 解析函数的级数表示PPT课件

2020/12/4
3
第四章 解析函数的级数表示
▪ 本章的主要内容是：复数项级数和复变函数项级 数的一些基本概念和性质；重点介绍复变函数项 级数中的幂级数和由正、负整次幂项所组成的洛 朗级数.
▪ 关于复数项级数和复变函数项级数的某些概念和 定理都是实数范围内的相应的内容在复数范围内 的直接推广，因此，在学习中结合高等数学中无 穷级数部分的复习，并在对此中进行学习．
n 1
n1
n1
证明：Snz1z2 zn ( x 1 x 2 x n ) i ( y 1 y 2 y n )
n in, n 和 n 分 别 为 实 数 项 级 数 x n 和 y n 的 部 分 和 ，
n 1 n 1
由 定 理 1 可 知 数 列 { S n } 有 极 限 的 充 要 条 件 是 { n } ， { n } 有 极 限 存 在 ，
lnimzn z0.
2020/12/4
7
• 例1．下 列 复 数 列 是 否 收 敛 ？ 如 果 收 敛 ， 求 出 其 极 限 .
(1)zn
(1
1)ein n
,
解：
(1)zn
(1
1)ein n
(2)zn ncosin,
(3)zn
(11)(cosisin)
nn n
(13i )n. 6
x n (1 1 n )c o s n,yn (1 1 n )sin n,
lnimxn x0, 同 理 可 得 ： lni m yny0.
充分性 已 知 ln i m xnx0,ln i m yny0 ，
0 , N N , 当 n N 时 ， 都 有 x n x 0 2 ,( y n y 0 ) 2 ，

幂级数ppt课件

幂级数ppt课件

lim | un1(x) | 1 | x 1|
n un (x)
2
当1 | x 1| 1 1 x 3，收敛 2
当 1 | x 1| 1 x 1,3， 2
可以验证当x 1时收敛，x 3时发散
故收敛区间为[1, 3)，收敛半径为2
例4
求
(1)n (2x 3)n 的收敛半径、收敛区间和收敛域。
定理证毕.
19
例1 求下列幂级数的收敛区间:
(1) (1)n xn ;
(2) (nx)n;
n1
n
n1
(3) xn ;
n1 n!
解 (1) lim an1 lim n 1 R 1
n an
n n 1
当x 1时,
级数为
(1)n ,
n1 n
当x 1时,
级数为
1,
n1 n
该级数收敛 该级数发散
解
级数的一般项为un ( x)
(2n)! ( n !)2
x2n 缺少奇次幂的项
应用达朗贝尔判别法
lim un1( x) 4 x 2 , n un ( x)
当 4 x 2 1, 即| x | 1 , 2
当 4 x 2 1, 即| x | 1 , 2
级数收敛, 级数发散,
收敛半径为
R 1
2
另解
9
二、幂级数及其收敛性
1、定义:形如 an ( x x0 )n的级数称为幂级数.
n0
其中an 为幂级数系数.
下面着重讨论
的情形, 即
2、收敛性
例如级数 xn 1 x x2 ,
n0
当 x 1时, 收敛; 当 x 1时, 发散;
收敛域(1,1); 发散域(,1][1,);

复变函数解析函数的幂级数表示法

复变函数解析函数的幂级数表示法

又 n (a n a ) i (bn b ) (a n a ) 2 (bn b ) 2 an a n 故 a n a , bn b. lim lim
n n
bn b n
n 0 n n 0

n 0
3. 收敛圆与收敛半径
由Able定理，幂级数的收敛范围不外乎下述 三种情况：
(i)若对所有正实数都收敛，级数(3)在复平面上处 处收敛。 (ii )除z=0外，对所有的正实数都是发散的，这时， 级数(3)在复平面上除z=0外处处发散。
( iii ) 0, 使 得 cn n收 敛,
4. 收敛半径的求法
1 / 0 cn1 定理2 若 lim ，则 R 0 (比值法) n cn 0 cn 1 z n 1 cn 1 证明 ( i ) 0, lim lim z z n n n c cn z n 1 当 z 1时,即 z 时, cn z n绝 对 收 敛 ；
---级数的部分和 若z0 D lim sn ( z0 ) s( z0 ), 称 级数 1)在z0收 敛, (
n
其 和为 ( z0 ), sn ( z0 )不 存在 ， 称 级数 )发 散, s lim (1
n
若级数(1)在D内处处收敛，其和为z的函数
s( z ) f1 ( z ) f 2 ( z ) f n ( z )＋ ---级数(1)的和函数
n 1 n 1 n 1 n 1
2 2 证明 n an ibn an bn 2 2 an an bn , 2 2 bn an bn
n n

解析函数的级数表示PPT课件

解析函数的级数表示PPT课件

k 0
k 0
数学物理方法
性质 3
若级数 wk (z)在区域D（边界 L）上一致收敛，且各项wk (z) k 0
在区域 D 上解析，则
（1）级数和S(z) wk (z)在 D 内解析 k 0
（2）在 D 内级数可逐项求导任意多次：
S (m) (z) w(m)k (z) k 0
数学物理方法
证明：（1）.设：z——边界 L 上任意一点，z ——D 中任意
若 zk 收敛而 zk 发散，则称 zk 为条件收敛级数。
k 0
k 0
k 0
数学物理方法
例1 下列级数是否收敛？是否绝对收敛？
1
i
(8i)n
(1)n i
(1) (1 ) (2)
n1 n
n
n0 n!
(3) (
n1
n
2n )
解
(1)
n1
1 n
发散，
n1
1 n2
收敛，
n1
1 n
数学物理方法
四、一致收敛级数的性质
性质 1
若级数 wk (z)在 D 内一致收敛于S(z)，且其各项均为 D k 0
内的连续函数，则S(z)也是 D 内的连续函数。
性质 2
若级数 wk (z)在曲线 L 上一致收敛于S(z)，且各项均为 L k 0
上的连续函数，则级数可沿 L 逐项积分：
L s(z)dz L wk (z)dz L wk (z)dz
实质：1.找一个收敛的正项级数 mk（收敛性比较容易判断） k 0
2.将 wk (z) 与mk 比较
（在 D 上所有点）
数学物理方法
判别法 2
已知u(z)在 D（或 L）上是个有界函数，若 wk (z)在 D（或 k 0

04_解析函数的幂级数展开

04_解析函数的幂级数展开

可交换性： 绝对收敛级数经改变项的位 置后构成的级数仍绝对收敛，而且与原 级数有相同的和. 若复数项级数 p 与 q 都绝对收敛，其 和分别为S 和 ，则它们的Cauchy乘 积 p q (p q p q ) (p q p q p q ) 也是绝对收敛的，且为S 。
孤立奇点的分类
孤立奇点分类：可去奇点、极点和本性 奇点
极点与零点的关系
第六节 解析函数在无穷远点的性态
定义
若 函 数 f ( z ) 在 无 穷 远 点 z 的 某 邻 域 R | z | 内 解 析 则 称 为 f ( z )的 孤 立 奇 点 .
从 函 数 的 极 值 看 ， z 是 f ( z )的 可 去 奇 点 ， 极 点 或 本性奇点的充分必要条件分别是：
2内 收 敛
于 f 2 ( z ). D 1与 D 2 有 一 公 共 区 域 ， 如 图 所 示 阴 影 区 域 ， 且 在 这 个 公 共 区 域 重 两 级 数 相 等 ， 所 以 f 2 ( z ) 为 f 1 ( z )的 解 析 延 拓 函 数 .事 实 上 ， 它 们 不 过 是 同 一 解 析 函 数 域 中 的 T a ylo r 级 数 而 已 . 1 1 z 在不同
第四章 解析函数的幂级数展开


第一节 第二节 第三节 第四节 第五节 第六节 第七节
复数项级数与复变项级数 幂级数 解析函数的Taylor级数展开 解析函数的Laurent级数展开 孤立奇点 解析函数在无穷远点的性态 解析延拓
第一节 复数项级数与复变项级数
复数项级数概念
设有复数列 z ( k

k
k

k
k 1
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例1：(1)
n0
z2n 2n ,
zn (2) ,
n1 n
(3)
zn1 的收敛半径
n1 n(n 1)
对级数 (1)，不存在极限 lim | cn |,
c n n1
1
R
lim
n
sup
n
|
cn
|
1/
2
lim
n
|
cn
|1/
n
另解：
wn
n0 2n
(w z2 ) 收敛半径为 2 R
2
级数 (2), (3) 收敛半径都为 1。 在收敛圆上：
若 |z-a|ρ，则| cn (z a)n | M q n,
q
1
| z0 a |
(发散点)
z1
M qn 收敛
n0
cn (z a)n
n0
z• •a
在 |z-a|ρ 内绝对收敛且一致收敛
•z0
柯西-阿达玛公式：若存在极限 lim | cn | 或
c n n1
lim
n
|
cn
|1/ n ,
则极限值为
§4.1 函数项级数的基本性质
1.函数项级数 fn(z) (1) n0 • 称函数项级数 (1) 在点集 E 上收敛于函数 f(z)，
若对每点 zE 及任意ε>0，存在正数 N ( , z),
m
对每个 m N ( , z)，有 | fn(z) f (z) | . n0
• 当 N( , z)可不依赖于 zE 时，称此函数项级数
在 E 上一致收敛于 f(z)。
• 若 | fn(z) | 收敛，则称 fn(z) 绝对收敛
n0
n0
➢几何级数
z n 1 z z 2 ...
n0
在 |z|≥1 时发散；在 |z|≤ρ<1 内一致收敛；
在 |z|<1 内绝对收敛，但不是一致收敛
m zn 1 zm1 1 (| z | 1) 收敛有快有慢
•a
在 上该级数有强级数
M | z a |n
n0 n
此级数在圆 上一致收敛，可逐项积分：
fn(z) 收敛 (一致收敛) 的充分必要条件：
n0
对zE 及 0，存在 N( , z) 0, p m N( , z)
p
时 | fn (z) | .
N ( ) 0
N ( )
nm
推论：绝对收敛的级数必为收敛级数
魏尔斯特拉斯 M-判别法：若在 E 上 | fn(z) | Mn，
Mn为收敛的正项级数 (称为 fn(z) 的强级数)，
上连续， fn(z) 在 C 上一致收敛于 f(z)， n0
则 f (z) 在 C 上可积，C f (z)dz C fn(z)dz n0
3.魏尔斯特拉斯定理
若 fn(z), n=0,1,2,…在区域 D 上解析，在包含于 D
的任意闭圆盘上 fn(z) 一致收敛于 f(z)，则： n0
(1) 和函数 f(z) 在 D 上解析；
(2) 在 D 内级数可逐项求导至任意阶，且
f
( n
p)(z)
在包含于
D
上的任意闭圆盘上一致
n0
收敛于 f ( p)(z)
§4.2 幂级数与解析函数
1.幂级数的收敛圆
以 a 为中心的幂级数：
cn(z a)n c0 c1(z a) c2(z a)2 ...
n0
存在 0 R ∞，使得 cn(z a)n 在|z-a|<R 时收敛， n0
在 |z-a|>R 时发散。|z-a|=R 称为幂级数的收敛圆， R 称为幂级数的收敛半径
阿贝尔定理：若幂级数 cn (z a)n 在 z = z0 收敛， n0
则对 0<ρ < |z0-a|，该幂级数在闭圆盘 |z-a|≤ρ 内
绝对收敛且一致收敛。
证明： cn (z0 a))n | M n0
cn (z a)n 的收敛半径。
n0
普适公式：1
R
lim sup
n
n
|
cn
|
(上极限)
上极限：对实数序列 {xn} ，若去掉前 n 项后的
子序列最小上界为 pn，则
lim sup
n
xn
lim
n
pn
•对
zn ,
lim
1/ n!
lim n n! , 收敛半径为 ∞
n0 n! n 1 /(n 1)! n
则在此圆盘上 f(z) 能展开为幂级数 (泰勒展开)
f (z) cn (z a)n,
n0
f (n)(a) cn n!
(展开方式唯一)
收敛半径 = min{ |b-a|：b为 f(z) 的奇点或 ∞ }
• f(z) 在 a 处有泰勒展开
f(z) 在 a 处解析
• 与实变函数的
exp( x2 ), x 0
cn (z a)n1, | z a | R
a
n0 n 1
f ( p)(z) n(n 1)...( n p 1) cn (z a)n p
n p
, cp
f ( p)(a) p!
若 0<R<∞，则收敛圆 |z-a|=R 上必有 f(z) 的奇点
2.解析函数的泰勒(Taylor)展开
泰勒定理：若函数 f(z) 在圆盘 D：|z-a|< δ 上解析，
n0
n0
则在 E 上 fn(z) 绝对收敛且一致收敛
n0
2.一致收敛级数的连续性和逐项积分
(1) 设 fn(z), n=0,1,2,… 在平面点集 E 上连续，
fn(z) 在 E 上一致收敛于 f(z)。
n0
则和函数 f(z) 在 E 上连续；
(2) 若 fn(z), n=0,1,2,…在逐段光滑的曲线 C
级数 (1) 处处发散，级数 (3) 处处绝对收敛；
级数 (2) 在 z=1 处发散，在其余点处收敛。
魏尔斯特拉斯定理 + 阿贝尔定理
➢ 幂级数的和函数在收敛圆内解析
幂级数 cn (z a)n 的和函数 f(z) 在收敛圆 |z-a|=R n0
的内部解析，可逐项求导、逐项积分：
z
f ( )d
泰勒展开对比：f
(
x)
0,
, x0
f (n)(0) 0
证明：对 zD 作圆 : | a | , | z a |
出发点：柯西公式
f (z)
1
2 i
f ( )d z
f ( )
f ( ) (z a)n
( a) (z a) a n 0 ( a)n ,
• z•
n0
1 z m 1 z
m
对 0<ε<1/2，不等式 | zn (1 z)1 | n0
的解为 m N (z, ) 1, N (z, ) ln( |1 z |)
ln | z |
若 |z|≤ρ，则N (z, ) ln[ (1 )]; lim N(z, )
ln
z 1
➢ 柯西收敛准则