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数学物理方法第4章留数定理2016

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数学物理方法留数定理实积分市公开课获奖课件省名师示范课获奖课件

数学物理方法留数定理实积分市公开课获奖课件省名师示范课获奖课件
z0 为 Q(z) 旳一级极点.
11
所以 1 = 1 (z),
Q(z) z z0
其中 (z)在 z0 解析且 (z0 ) 0,
f (z) = 1 P(z) (z) . z z0 在 z0 解析且 P(z0 ) (z0 ) 0.
所以 z0 为 f (z) 旳一级极点,
Res[
f
(z), z0] =
平面上包括回路旳一种区域中，而实积提成为回路
积分旳一部分：
l2
a 0 l1 b
b
f (z)dz = f ( x)dx + f (z)dz
l a
l2
左边能够利用留数定理，右边对l2 旳积分在解析延拓
允许旳情况下，能够自由选择，一般选择l2 使积分最
易完毕。
29
一、形如
2π
0
R(cos
,
sin
)d
孤立奇点, 那么 f (z) 在全部旳奇点 (涉及点)
旳留数旳总和必等于零.
证 .
. z1 .z2
.zk .
. C (绕原点旳并将 zk包括在 . 内部旳正向简朴闭曲线)
由留数定义有:
n
Res[ f (z),] + Res[ f (z), zk ]
k =1
1
1
=
f
2i C 1
( z )dz
+
2i
C
留数定理旳主要应用之一：计算某些实变函数定 积分
原理：设法把实变函数定积分跟复变函数回路积 分联络起来。
留数定理是复变函数旳定理，若要在实变函数定 积分中应用，必须将实变函数变为复变函数。这就 要利用解析延拓旳概念。
28
b
如图，对于实积分 f ( x)dx，变量 x 定义在闭区间 a

数学物理方法4留数定理

数学物理方法4留数定理

P 0
Res f (0) =
=1
Q(0)
15
例4
计算积分
tan zdz
z =n
(n为正整数).
解 因tan z = sin z = P(z) ; 只以 cos z Q(z)
z=k+1 2
k = 0, 1,
, n 1, n为一阶极点,
Res tan z
z =k + 1 2
=
sin z (cos z)'
• (2) 要计算解析函数的积分，关键：计算留数；
• (3) bj(j=1,2,…)是 l 所包围的f(z)的所有奇点，而不是 f(z)所有的奇点。
6
例1
求
f (z) = z sin z z6
在 z = 0 的留数.
解: 采用洛朗展开式求 a1 :
z
sin z6
z
=
1 z6
z
z
z3 3!
+
Res
f
(1)
=
(2
1 lim
1)! z1
d dz
(z
1)2
ez z(z 1)2
=
lim
z1
d dz
ez z
=
lim
z1
e
z
(z z2
1)
=
0,
所以
ez
l
dz z(z 1)2
= 2 iRes
f (0) + Res
f (1)
= 2 i(1+ 0)= 2 i.
17
（三）无穷远点的留数
定义 设函数 f (z)在圆环域 R z +内解析，
l0

数学物理方法第4章

数学物理方法第4章

1
1
Re sf ( z)
k 1
n
z 1
表示f(z)在单位圆内所 有奇点的留数和
证明： 令:
ze
i
则:
dz ie d izd
i
0 2
cos (e e sin (e e
1 1 Re sf () Re s[ ,0] 10 2 (1 / z i ) (1 / z 1)(1 / z 3) z z10 Re sf () Re s[ ,0] 0 10 (1 iz ) (1 z )(1 3z )
得：
1 I 10 2(3 i )
§4.2 利用留数定理计算实变函数定积分
1 2 1 i f ( i ) i d 2i 0 re re
1 2 1 i i f ( i ) i 2 d ( re ) 2i 0 re ( re ) 1 1 i f ( ) 2 d Re s() 2i 1

f(z)在ρ<|z|<+∞解析，从而f(1/ξ)在0<|ξ|<1/ρ内解析， 除ξ=0外没有其它奇点，由留数定理得：
( z z0 ) f ( z ) a1 a0 ( z z0 ) a1 ( z z0 )
2
lim ( z z0 ) f ( z ) a1
z z0
非零的有限值
Re sf ( z0 )
若
P( z ) f ( z) Q( z ) P( z ) z z0 Re sf ( z ) lim ( z z0 ) lim P( z ) z z0 Q ( z ) z z0 Q ( z ) P ( z0 ) Q ' ( z0 )

04_留数定理

04_留数定理

+∞
推导
∫
+∞
−∞
f ( x)dx =2πi{f(z)在上半平面所有奇点的留数之和}
+∞ −∞
例：计算 I = ∫
+∞
1 dx （n为正整数） 2 n (1 + x )
黑板
此时，如果f(z)在实轴上存在有限个单极点，则 推导
∫
−∞
f ( x)dx =2πi{f(z)在上半平面所有奇点的留数之和}
+πi{f(z)在实轴上所有奇点的留数之和} 黑板
∑ Res f ( z ) + Res f (∞) = 0
k =1 k
n
1. lim f ( z ) = 0 a Res f (∞) = − lim[ z ⋅ f ( z )] z →∞ z →∞ 1 1 2. lim f ( z ) ≠ 0 a Res．f (∞) = − Res[ f ( ) 2 , 0] z →∞ z z
课堂练习：
∫
| z|= 2
ze z z eZ z − sin z f ( z ) d z; f ( z ) = 2 , 4 , , 2 z − 1 z − 1 z ( z − 1) z6
设∞为f(z)的一个孤立奇点，即f(z)在去心邻域R<|z|<+∞内 解析，则定义函数f(z)在z=∞处的留数为 1 Res f (∞) = ∫L f ( z )dz 2πi 其中L: 积分方向为顺时针方向（实际上是包含无穷远点 的区域的正方向）.如果f(z)在z=∞的去心邻域R<|z|<+∞内 的洛朗级数为
1 d m −1 (3) Res f ( z0 ) = lim m −1 [( z − z0 ) m f ( z )] (m − 1)! z → z0 d z

第四章留数定理§4.1留数定理

第四章留数定理§4.1留数定理

解于
z → nπ (n为整数，包括零)，有sin z → 0，f (z) → ∞。因此，z0 = nπ
是极点.
lim [(z − nπ ) f (z)] = lim z − nπ .
z →nπ
z→nπ sin z
应用罗毕达法则确定上式右边的极限,
lim [(z
z →nπ
−
nπ ) f
(z)] =
lim+Βιβλιοθήκη "+
z
+
1
⎤ ⎥⎦
=
lim
z →1
z n−1
+
1 zn−2 +"+
z
+1
=
1. n
另解
应用 (4.1.9) ,
( ) ⎡
lim⎢ z→1 ⎢⎣
z
n
1 −
1
′
⎤ ⎥ ⎥⎦
=
lim
z →1
1 nz n
−1
=
1. n
因此,在单极点 z0 =1 留数是 1 n .
例2 确定函数 f (z)=1 sin z的极点,求出函数在这些极点的留数。
点的留数:
( ) Re
sf
⎜⎛ ⎜⎝
−1
+
1−ε 2 ε
⎟⎞ ⎟⎠
=
lim
z → z0
1 εz2 + 2z + ε
′
= lim 1 = 1 z→z0 2εz + 2 2 1 − ε 2
应用留数定理, ∫ dz z =1 εz2 + 2z + ε
= 2πi Re sf (z0 ) = 2πi

数学物理方法课件：第四章 留数定理及其应用

数学物理方法课件：第四章 留数定理及其应用

z0
z0 z 2i 2i 2
z0 0 是f（z）的三阶极点
Re
s
f（0）
lim
z0
1 2！
d2 dz 2
z3 f（z）
1 d2
lim
z0
2！
dz
2
1
z
2i
12
lim
z0
2！（z
2i）3
1 i
8i 8
[例2] [解1]
求
f（z）
1 zn 1
f（z）（z 1）（z
在z0=1的留数
k！
Re s
f（z0）
a1
bm 1 （m
1
d m1
1）！dzm1
（z）
z z0
Re s
f（z0）（m
1 1）！zlimz0
ddzmm11（z
z0）m
f（z）
[推论]
若
f（z）
P（z），其中
Q（z）
P（z）和
Q（z）都在
[z则证0点：明解] 析R，Pe（s且zf0）（Pz（00），z0）QQ（P0（（，z0）zzQ00））（0z0） 0，Q（z0） 0
对
R
z
k
环 域中一个正向
（顺时针）回路l’，另作一
l
个围绕 点半径r很大的圆
形环路C。根据柯西定理：
C
f（z）dz f（z）dz ak zkdz
l
C（）
k C
zkdz （rei）kd（rei）
C
C
ir
k
1
2
e
i（k
1）
d
0
2i
k 1 k 1
0

数学物理方法第4章留数定理-2016

数学物理方法第4章留数定理-2016

式中
称为f(z)在bk处的留数,
它等于f(z)在bk的无心邻域的洛
朗展开中的洛朗系数
f(z) 的洛朗展开为
6
证明 首先在 内以各奇点为圆心,作小圆周 L1,L2,L3,…,Lk,… 分别包围各奇点,如图4.1所示.这样,
由外边界线 L0与内边界线L1,L2,L3,…,Lk,… 为边界 构成了复通区域.由复通区域的柯西定理，得
1 lim
(m 1)! zb
d m 1 d z m1
[( z
b)m
f
( z )]
4.1.7
即
Res
f
(b)
1 lim (m 1)! zb
d m 1 d z m1
[( z
b)m
f
(z)] .
10
3. 若 b 为 f (z) 的一阶极点 (1) 第 一 种 情 形 ： 若 b 为 f (z) 的 一 阶 极 点 ， 则 f (z) 在
因此对于本性奇点处的留数，就只能利用罗朗展开式的方法或 计算积分的方法来求．
13
14
15
16
17
18
例5
求
f
(
z)
1
1 z
4
在有限远奇点的留数。
解: f(z)分母的零点由 1 z4 0 确定,易见
z k 4 1 4 e i2 k 1 e i2 k 4 1 , k 0 ,1 ,2 ,3
其次,对于沿Lk的积分,由式(4.1.2)可得
将式(4.1.4)代入式(4.1.3),并将
代入,即有
7
4.1.2、计算留数的方法
1 若 b 为 f (z) 的可去奇点，则 f (z) 在 0 z b R 内

第四章留数定理及其应用

第四章留数定理及其应用
两边沿顺时针方向积分
x ol
f (z)dz l
ak
zkdz
l
ak l zkdz a1 2 i
k
k
66
因此f (z)在z=的留数为f (z)在z=邻域内的罗朗展开式 中z-1项的系数的a-1相反数，即
Re sf () a1 若f (z)在有限远的可去奇点邻域内的罗朗展开式中没有负 幂项， f (z)在有限远的可去奇点上的留数为零；若无限远 点为可去奇点时， f (z)在无限远点邻域内的罗朗展开式中 没有正幂项，但有负幂项，所以无限远点为可去奇点时， Res f ()一般不为零.
f (z) P(z) 1 其中P(z)=1，Q(z)=sinz，则:
Q(z) sin z
Res
f
(k )
lim
zk
1 (sin z)'
lim
zk
1 cos z
(1)k
k 0, 1, 2,
1144
由于z=不是f (z)的孤立奇点（是各奇点z=k当 k 时
的极限点），因此在z=的留数没有意义.
四、推论
若函数f (z)在复平面上除有限个孤立奇点外解析，则函 数f (z)在各奇点（包括无限远点）上的留数和为零. 此 定理称为留数和定理.
77
【证】 设闭曲线l把复平面内所有的有限远的孤立奇点都包围 在内，则：
m
l f (z)dz 2 i Resf (bk ) k=1
无限远点的留数为： f (z)dz 2 i Resf () l
b
a F ( x)dx C F (z)dz l F (z)dz
2 i[F(z)在闭曲线所包围的区域内各奇点上的留数之和].
其中
b

第四章 留数定理及其应用

第四章 留数定理及其应用

类型II 设积分 类型
∫
∞
−∞
存在， f ( x) dx存在，复变函数 f (z) 在
实轴上没有奇点，在上半平面内只有有限个奇点， 实轴上没有奇点，在上半平面内只有有限个奇点，且
lim z f ( z ) = 0,(0 ≤ arg z ≤ π )
z →∞
则
∫
∞
−∞
f ( x) dx = 2π i
Im z > 0
2.另一个定义 在无穷远点的去心邻域 R < | z | < ∞ , 另一个定义:在无穷远点的去心邻域 另一个定义 的洛朗展式为： 若 f (z) 的洛朗展式为：
f ( z) =
n=−∞
an z n , ∑
∞
( R < | z | < ∞)
则无穷远点的留数值为： 则无穷远点的留数值为：
Res f (∞) = −a−1
∑ Res f ( z)
C
(*)
证明： 证明：
∫
∞
−∞
f ( x) dx = lim ∫ f ( z ) dz − lim ∫
R→∞
R→∞ CR
f ( z ) dz
引理4.1) 引理 = lim ∫ f ( z ) dz − 0 (引理
R→∞ C
= 2π i
Im z > 0
∑ Res f ( z)
(留数定理 留数定理) 留数定理
留数：负一次幂的系数. 留数：负一次幂的系数 适用于所有的孤立奇点类型; 适用于所有的孤立奇点类型 特别是本性奇点或性质不明的奇点 特别是本性奇点或性质不明的奇点. 本性奇点
例4.4 例4.5
f ( z) = e 求 Res f (0)

第四篇留数定理

第四篇留数定理

数值积分
留数定理也可用于提高数值积分的精度 和收敛速度。通过分析被积函数的奇点 并计算留数,可以优化数值积分算法并 得到更准确的结果。
留数定理在电路分析中的应用
频域分析
留数定理可用于求解复变函数 在极点附近的积分,从而分析 电路中的频域特性,如振荡频 率、带宽等。
极点和零点分析
留数定理可用于确定电路系统 的极点和零点,从而预测系统 的动态特性和稳定性。
统中复杂的数学模型,分析 系统的安全性和稳定性。
。
3 抗攻击设计
4 信号处理应用
利用留数定理的特性,可以 设计出更加抗攻击的密码学
留数定理在数字信号处理中 的应用,可用于加解密数字
算法和协议。
信号的分析和处理。
留数定理在神经网络中的应用
系统参数分析
通过运用留数定理,可以分 析动力系统对参数的敏感 性,从而优化系统的性能和 稳定性。这在工程设计中 有广泛应用。
混沌理论研究
留数定理为动力系统混沌 行为的研究提供了理论基 础,有助于更好地理解和预 测复杂非线性系统的行为 。
留数定理在量子计算中的应用
量子位编码
留数定理在确定量子位编码时发挥重要作用,用于分析复杂的量子态波函数。
留数定理在代数几何中的应用
曲线积分计算
留数定理可用于计算复平面上闭合 曲线的复积分,在代数几何中广泛应 用于求解各种代数曲线的面积、长 度等几何量。
奇点分析
利用留数定理可以确定代数曲线上 的奇点位置和性质,有助于描述代数 曲线的几何特性。
复平面映射
留数定理可应用于研究复平面上的 解析函数对域的映射,在代数几何中 具有重要的理论意义。
留数定理在微分几何中的应用
1 曲面拓扑
2 曲率计算

数学物理方法 第4章 留数定理

数学物理方法 第4章 留数定理


e
ma
2 ia


0
cos ma x a
2 2
dx i
e
ma

e
ma
2 ia
2a
y
例：
0
sin x x
dx
Cε
CR
解：如图4.9所示，
图4.9
0
x

sin x x
dx lim
R 0

R
sin x x
R e imx dx lim dx R 2i 0 x 1
1
z 1
1 2
z z 2
1

2
iz

dz
z 1
z (1 ) z
2 2
i
f (z)
dz
z 1
( z 1)( z )
1
记：
z
( z 1)( z )
它在复平面上有2个单极点
和
1

其中 z 在单位圆内，其留数为：
CR
x 图4.7



f ( x ) dx 2 i
{
f (z)
在上半平面所有奇点的留数之和}
例：


dx 1 x
2

解： 记：
z i
f (z)
1 1 z
2
,它在上半平面有单极点
其留数为：
1 zi 1 2i
Re sf ( i ) lim ( z i ) f ( z ) lim
1 z ( z 2i)
3
并求函数在这些极点的留数。

留数定理

留数定理

求出函数在
这些极点的留数.
解
f (z) = z + 2i z5 + 4z3
=
z + 2i z3 (z2 + 4)
=
z3(z
z + 2i + 2i)(z
− 2i)
=
1 z3 (z − 2i)
(1)、当z→2i时，f(z) →∞，所以z=2i是f(z)的极点，
lim ( z
z→2i
− 2i)
f
(z)
=
lim
∫l f (z)dz = −2π ia−1
Re sf (∞) = −a−1
二、全平面的留数和为零
∞
∑ f (z) = ak z k k =−∞ (R < z < ∞)
函数f(z)在全平面上所有各点的留数之和为0。 这里的所有各点包括无限远点和有限远的奇点。
{ f (z)在所有有限远奇点上的留数和 + Re sf (∞)} = 0
n
∫ ∑ l
f
( z )dz
=
2π i
Re sf
j =1
(bj )
注意: 左边的积分是沿l 的正向进行的；
右边的奇点是指l 所围区域内的，并非是f(z)所有
的奇点。
7
留数定理对于无限远点也成立：
∞
∞
∫ ∫ ∑ ∑ ∫ f (z)dz = l
l k =−∞ ak z k dz = k =−∞ ak
l zk dz = 2π ia−1
∫ dz
z =1 ε z2 + 2z + ε
(0 < ε < 1)
∫ dz = πi
z =1 ε z2 + 2z + ε 1− ε 2

数学物理方法 第四章 留数定理

数学物理方法 第四章 留数定理

wuxia@
2、单极点留数
Res[ f ( z0 )] = lim ( z − z0 ) f ( z )
z →z 0
证明：z0是f ( z )的单极点， 洛朗级数为：f ( z ) = a−1 + a0 + a1 ( z − z0 ) + aห้องสมุดไป่ตู้ ( z − z0 ) 2 + ⋯ z − z0
l
wuxia@
再讨论l包围f ( z )的n个孤立奇点b1 , b2 ,⋯, bn的情况， 做回路l1 , l2 ,⋯, ln分别紧紧包围着b1 , b2 ,⋯, bn . 按照柯西定理， f ( z )dz = ∫ ∫
l l 1 l1
+∫
l2 2
+⋯+ ∫ ,
ln n
∫ f ( z )dz = 2πi[Res f (b ) + Res f (b ) + ⋯ + Res f (b )]
在挖去孤立奇点z0而形成的环域上的解析函数 z f(z)的洛朗级数分三种： （1）无负幂项 z0为f(z)的可去奇点 （2）有有限个负幂项 z0为f(z)的极点 （3）有无限个负幂项 z0为f(z)的本性奇点
wuxia@
第四章 留数定理
wuxia@
4、1 留数定理
wuxia@
在收敛环内任取一个包围z0的小回路l0 , 按照柯西定理
∫ f ( z )dz = ∫
l
l0
f ( z )dz, 带入上式，得： ak ( z − z0 ) k dz = ∑
∞
∫
l
f ( z )dz = ∫
l
k = −∞
k = −∞
ak ∫ ( z − z0 ) k dz ∑

数学物理方法9

数学物理方法9

第四章 留数定理

c
f ( z )e ipz dz
R

R
f ( x)e ipx dx f ( z )e ipz dz
cR
2iRes ( f ( z ))
第四章 留数定理
约当（Jordan）引理：z在上半平面趋于无穷时，如果f(z)一 致趋于0，且Re(p)>0，则
R c R
2
f ( z )dz f ( z )dz
第四章 留数定理
可以证明，后两项为0。
因此
I (1 e 2ia ) 2iResf (i ) e az ( z i ) 2i lim 2ieia z i 1 ez
I sin a
第四章 留数定理 例：计算 I sin(x )dx 解：改为计算 I ' e dx ，被积函数没有有限远奇点。采



f ( x)eipx dx 2i上半平面Res( f ( z))
第四章 留数定理
例：计算
I

0
x sin mx dx 2 2 x a
解：被积函数有两个单极点：ia、-ia。实轴加上半平面半圆 构成积分回路，有：
因此
I

2
zeimz c z 2 a 2 dz 2iRes(ia) ze imz ma 2i lim ( z ia) 2 ie 2 z ia z a
lim

f ( z)e dz 0
ipz
证：设p为正实数，有
| f ( z )e dz || f (e R)e
ipz i cR 0

ipR cos pR sin d

数学物理方法 第四章 留数定理

数学物理方法 第四章 留数定理
l l
将f (z)在无穷远邻域展开
k l f ( z)dz l k ak z
dz
1
2 i( a1 ) 2 i Re s f ()
Re 即使无限远点不是奇点， s f () a1 也可以不为零。
f ( z ) dz 2 ia
z0是Q( z )的一价零点 P( z ) 0. ,
P( z ) P( z0 ) Res f ( z0 ) lim( z z0 ) z z0 Q( z ) Q' ( z0 )
二、m (m2)阶极点留数的计算：设 z0 是 f (z) 的 m 阶极点,
a m a1 f ( z) a0 a1 ( z z0 ) m ( z z0 ) z z0
1
另外 1 1 2 1 lim Re s f z z ( z 2 2 z )' 1 1 lim 2 z z 2 z 2 1 1 2 ( 2)


1 2 1
2
15
§4.2 应用留数理论计算实变函数定积分
如果令 z =1· ix=cos x+i sin x, 则积分路 e 径变成单位圆的围路积分。因为
1 ix 1 ix cos x ( e e ) ( z z 1 ) 0 2 2 1 ix 1 ix 1 sin x ( e e ) ( z z ) 2i 2i 1 dx dz iz
实变函数积分复变函数的回路积分 基本思想: 将在区间 l1=[a, b] 的实变函数积分与 复平面上的回路积分联系起来,
I f ( x ) dx
a
b
可以看做复变函数线积分的特例, 即是复变函 数在实轴上的线积分。因此，可把上述实数 积分与复变函数积分联系起来。

山东大学《数学物理方法基础》课件-第4章

山东大学《数学物理方法基础》课件-第4章

f
( z )
WangChengyou © Shandong University, Weihai
数学物理方法
第4章 留数定理
8
小结
1. 判断极点的阶
lim
z z0
(z
z0
)
f
(z)
非零有限值Leabharlann z0为一阶极点lim
z z0
( z
z0 )m
f
( z )
非零有限值
z0为m阶极点
2. 计算极点的留数
lim
z z0
(z
z0 )m
f
( z )
非零有限值
a m
Resf
(z0 )
f(z)在m阶极点z0的留数a-1 = Resf(z0)是(z-z0)m-1项的系数， 该系数可以通过对(z-z0)mf(z)求m-1阶导数求得，
Resf
(z0 )
lim
z z0
1 dm1
(m
1)!
dz
m1
( z
z0 )m
WangChengyou © Shandong University, Weihai
数学物理方法
第4章 留数定理
9
1
例1：求 f (z) e z 在z0=0的留数Resf(0)
解： 利用e1/z在z0=0邻域上的洛朗级数展开式
1
ez
1 (1)k 1 1 1 1
1 1
1
,
1 (
)
k0 k ! z
定积分 b f (x) d x的积分区间[a,b]可以看作是复数平面上 a
实轴上的一段l1,
方法1：利用自变数的变换把l1 变换为某个新的复数平面
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的无心领域的洛朗级数有没有或有多少正幂项来划分的.因此无论
点是什么类型的奇点,都有可能有
1 z
项或没有
1 z
项,即a1 都可能不等于
零或等于零.
26
【例8】求f(z)=
在孤立奇
点(包括无穷远点）处的留数． 解 z=b1是二阶极点，z=b2是一阶极点，得
27
由留数和定理，易得
由于不存在z-1 项，故 Res f(∞)
柯西定理
y
柯西公式
高阶导数公式
闭路变形原理
L
o
x
y
bL
o
x
3
f(z)在除起点外解析 =?
L 逆时针+L0 顺时针
4
§4.1.1 留数定理
一、留数（残数，Residue, 缩写Res）的定义
如果b 是f (z)的一个奇点，其中L是此去心邻域内的任意
一条简单闭曲线.
f (z) ak (z b)k , k
2z
4z2 2!
8z3 3!
2 z3
2 z2
4 3z
,
0 z
由此得
Re
sf
0
a1
4 3
21
[例 7]
求
f
(z)
z
z2
12
2z z2
4
在有限远奇点的留数。
解: 由分母为零易得z=-1是二阶极点, z=±2i是一
阶极点,由(4.1.7)可得
Res
f (1) 1 lim d [(z 1)2 1! z1 d z
根据留数定理、积分主值的定义，以及引理1
的结论
则有
41
【例4.2.2】计算积分 解 (1)辅助函数． 由于被积函数为偶函数，故
令辅助函数 (2) 积分回路．
42
增加无穷大半圆
周CR 构成闭合(图4.5)
(3)按留数定理计算
43
它在上半平面有无限多个极点
bk=(2k+1)i，k=0,1,⋯
称a1为f 在b点的留数.
y
Res[f (z),b] 1
2 i L
f (z)dz c1
o
L b
x
5
二、留数定理 (柯西留数定理)
若函数f (z)在区域D内除有限个孤立奇点b1,b2, bk外 处处解析.L是D内包围诸奇点的一条正向简单闭曲线.
式中
称为f(z)在bk处的留数,
它等于f(z)在bk的无心邻域的洛
2. 计算方法，首先作变换z = eiθ, 把被积函数变成复 变函数
35
其次，把沿[0,2]的积分变成沿单位圆的回路 积分．利用留数定理可得
即积分等于2i乘函数 在|z|=1圆内所有奇点处留数之和.
36
【例4.2.1】计算积分
式中a>0
解 首先作变换q2x, 将积分区间化为[0,]， 再利用被积函数是偶函数，将积分区间化为
当z在上半平面及实轴上趋于∞时，zf(z)一致 地趋于零(与辐角无关)
其次，选择辅助函数f(z)。
通常将f(x)的x改为z(有时也要改变函数形式， 见例4.2.7.例4.2.8 )
40
第三，选择积分与回 路．当积分具有上述 特征时，受引理1的启 发，增加无穷大的半 圆周CR，构成闭合回 路L(图4.4).
引理2 (若当引理):
若z在上半平面及实轴上趋于∞时，f(z)一 致地趋于零(与辐角无关)，即
则
(4.2.3)
式中m>0，CR是以原点 为圆心、R为半径的上半
圆周，参看图2.3.
31
第四、五型积分的计算，要利用引理3，它指 出f(z)沿图4.3的无穷小半圆周的积分结果。 引理 3 若b是f(z)在实轴上的一阶极点，则
由此可得式(4.2.10)~式(4.2.13)四个公式：
49
(1) 式(4.2.9）的实部为 1 2 3 4
(4.2.12)
50
【例4.2.4】计算积分 解 (1) 辅助函数
在上半平面只有一个一阶极点b=i (2) 积分回路
仍可选取图4.5的回路 (3) 按留数定理计算．
51
§4.2.4 阶极点的积分
解 (1)辅助函数 f(z) = 它在上半平面内有一阶
极点b1= i 外，还在实轴 上有两个一阶极点
b2=1,b3=-1.图4.7
(2) 积分回路如图4.7所示 (3)按留数定理计算．
54
§4.2.5
(m>0), f(x)在实轴
上有一阶极点的积分
1.积分特征
除f(x)在实轴上有一 阶极点外，与第三 型积分特征相同。
(z b)m f (z) am am1(z b)
a1(z b)m1 a0 (z b)m 上式两边对 z 求 (m 1) 阶导数，得
4.1.7
9
d m 1 d zm1 [(z
b)m
f
(z)]
(m 1)!a1
＋{含
有
(z
b)
的正幂Βιβλιοθήκη 项}，两边取 z b 时的极限，可得
a1
朗展开中的洛朗系数
f(z) 的洛朗展开为
6
证明 首先在 内以各奇点为圆心,作小圆周 L1,L2,L3,…,Lk,… 分别包围各奇点,如图4.1所示.这样,
由外边界线 L0与内边界线L1,L2,L3,…,Lk,… 为边界 构成了复通区域.由复通区域的柯西定理，得
其次,对于沿Lk的积分,由式(4.1.2)可得
Res f (b) 0
4.1.6
8
2. 若 b 为 f (z) 的 m 阶极点，则
Res
f
(b)
1 lim (m 1)! zb
d m 1 d zm1
[( z
b)m
f
( z )]
【证明】 因为 b 是 f (z) 的 m 阶极点，所以有
从而
f (z) am (z b)m am1(z b)m1 a1(z b)1 a0 a1(z b) (am 0)
[,]
37
其次，令z=eiq，即可将对q的积分变为沿
|z|=1 的回路积分
第三，被积函数有两个一阶极点 z1,2 =
易见z1在|z|=1的回路内部,| z2 |在回路外．
38
根据留数定理
39
§4.2.2 f(x)dx 型积分 1. 积分特征 f(z)在实轴上没有奇点，在上半平面除有限
个①孤立奇点bk ( k =1，2，…，n)外解析；
25
22
§4.1.3 无穷远点的留数与留数和定理
定理 若函数f (z)除z bk k=1,2, ,m 及z=外解析,则
m
Re sf bk Re sf 0 4.1.10
k 1
式中
Re sf a1
4.1.11
称为函数f (z)在点的留数, a1 是f (z)在点的无心领域
的罗朗系数.
因此对于本性奇点处的留数，就只能利用罗朗展开式的方法或 计算积分的方法来求．
13
14
15
16
17
18
例5
求 f (z) 1 在有限远奇点的留数。
1 z4
解: f(z)分母的零点由 1 z4 0 确定,易见
i 2k 1
zk 4 1 4 ei2k1 e 4 ,
k 0,1, 2,3
第4章 留数定理 包含奇点的积分如何求？
1
柯西(Augustin Louis Cauchy, 1789—1857) 法国数学家、物理学家、天文学家
他的父亲与Lagrange, Lapalce交往密切 柯西极限，柯西不等式，柯西积分公式，柯西定理 等 （800篇论文）
拉格朗日（Joseph-Louis Lagrange，1736~1813）
当z在上半平面及实轴上趋 于 ∞时，f(z)一致地趋于零 (与辐角无关）
47
2.计算方法 与第二类型不同的是，第三类型积分的被积
函数满足引理2(若当引理)的条件． 类似地，增加无穷大的半圆周CR (图4.4)，构
成闭合回路L。根据留数定理，积分主值的定 义，以及引理2的结论
则有
48
为书写简单起见，式中已采用简单记号
0 z b R 内的罗朗展开式为
f (z) a1(z b)1 a0 a1(z b)
显然
a1
lim(z
zb
b)
f
(z)
，故当
b
为
f
(z)
的一阶极点时，
Res f (b) lim(z b) f (z) zb
4.1.8
11
(2)第二种情形：若 b 为 f (z) ( z) 的一阶极点， (z)
23
O
图4.2
24
25
计算 Re sf 的方法通常有两个 : 如果在点的无心邻域
展开f (z)为洛朗级数比较容易的话,就通过a1 得到Re sf
如果展开f (z)比较困难的话,就算出f (z)在所有bk处的留数,
利用留数和定理求 Re sf .
还应注意, 点是函数f (z)何种类型的奇点,是跟据f (z)在点
将式(4.1.4)代入式(4.1.3),并将
代入,即有
7
4.1.2、计算留数的方法
1 若 b 为 f (z) 的可去奇点，则 f (z) 在 0 z b R 内
的罗朗展开式中不含负幂项， f (z) an (z b)n 从而 a1 0 ，故当 b 为 f (z) 的可去奇n点0 时，
2 1 i,
8
i7 Re sf e 4
2 1 i,
8
20
[例 6]
求
1 e2z f (z) z4
在有限远奇点的留数。
解: z=0是分子的一阶零点,又是分母的四阶零点,易