第二讲 复数的模及其几何意义

第二讲 复数的模及其几何意义（一）复数模的运算复数()R b a bi a ∈+,的模：z = ；例1. 已知84z z i +=-，求复数z 。

例2. 已知复数12cos ,sin z i z i θθ=-=+，求12z z ⋅的最值。

运算律： ； ； ；例1：已知()()()2321331i i i z --+=，则—z =例2：复数()()()223321i a i a i z ---=，则32=z ，则a =（二）复数的几何意义1. 复数加法，减法的运算的几何意义满足 ；2. 21z z -表示复平面上 ；例1：复平面内，说出下列复数z 对应的点的集合构成的图形；（1）1z = （2）1z i -+=（3）4z i z i ++-= （4）|1|||z z i +=-例2：（1）若2=z ，则i z +-1的取值范围为 。

（2）已知C z ∈，且132=--i z ，求cos sin z i θθ--⋅的最大值和最小值。

（3）若622=-++i z i z ，则i z 5-的取值范围为 。

（4）复平面内，曲线11=+-i z 关于直线x y =的对称曲线方程为 。

例3：已知1z =，设21u z i =-+，求u 的取值范围。

例4：已知123,5z z ==，126z z +=，求12z z -的值。

（三）综合问题例1. 已知复数z 的实部大于零，且满足)()cos sin z i R θθθ=+∈，2z 的虚部为2．（1）求复数z ；（2）设22z z z z -、、在复平面上的对应点分别为,,A B C ，求AB AC ⋅的值．课后练习：1.= ；2. 已知()()()2444331001i i ai --=-，则a = 。

3. 已知02a <<，复数z 的实部为a ，虚部为1，则z 的取值范围是（ ）A ．(15)，B ．(13)， C ．(1D ．(14. 复数Z 与点Z 对应，21,Z Z 为两个给定的复数，21Z Z ≠，则21Z Z Z Z -=-决定的Z 的轨迹是（ ）A ．过21,Z Z 的直线 B. 线段21Z Z 的中垂线C. 双曲线的一支D. 以Z 21,Z 为端点的圆5. 设复数z 满足条件,1=z 那么i z ++22的最大值是 。

复数模的几何意义的应用1.向量长度：复数的模可以表示平面上的向量的长度。

设复数 z = x + yi，其中x 和 y 分别表示向量在 x 轴和 y 轴上的分量，则向量的长度为，z，= √(x² + y²)。

这在几何中常用于求解线段的长度，以及判断两个向量的大小关系。

2.距离计算：复数模可以用于计算平面上两点之间的距离。

设复数z1和z2分别表示平面上两点的坐标，则两点之间的距离为，z1-z2、这在几何中常用于判断点与直线或点与平面的距离，以及解决一些距离相关的几何问题。

3.向量运算：复数模可以用于向量的加法和减法。

设复数z1和z2分别表示平面上两个向量，则它们的和为z1+z2，差为z1-z2、在几何中，可以使用复数模进行向量的加法减法，从而得到平移、旋转等运算结果。

4.复杂几何图形的表示：复数模可以用于表示复杂几何图形的顶点。

通过将复数看作是平面上的点，可以使用复数模来表示三角形、四边形等多边形的顶点。

将各个顶点的复数模排列起来，就可以得到一个复数向量。

5.区域的面积计算：复数的模可以用于计算平面上的区域的面积。

设复数z表示平面上的一个点，则以原点为起点，z为终点的向量可以表示一个三角形或多边形的区域，其面积可以通过复数z的模的一半来计算。

6.图形的旋转和缩放：复数模可以用于表示平面上的图形的旋转和缩放。

通过将复数模看作是向量的长度，可以将一个复数z*r看作是将向量z进行缩放的结果，其中r为缩放比例。

而将一个复数z*e^(iθ)看作是将向量z进行逆时针旋转θ弧度的结果。

总之，复数模的几何意义在解决几何问题中有着广泛的应用。

通过将复数看作是平面上的向量，并利用复数的模，可以解决向量长度、距离、向量运算、复杂几何图形表示、区域面积计算以及图形旋转和缩放等问题。

这些应用不仅在几何学中有着重要的地位，也在其他科学领域中得到了广泛的应用。

复数的基本运算及几何意义复数是由实部和虚部构成的数，可以用公式表示为 z = a + bi，其中a 是实部，b 是虚部，i 是虚数单位。

一、复数的四则运算1. 复数的加法：将实部和虚部分别相加即可。

例如：(2 + 3i) + (4 + 5i) = 6 + 8i2. 复数的减法：将实部和虚部分别相减即可。

例如：(2 + 3i) - (4 + 5i) = -2 - 2i3. 复数的乘法：根据分配律展开运算，注意 i 的平方为 -1。

例如：(2 + 3i) * (4 + 5i) = 8 + 22i - 15 = -7 + 22i4. 复数的除法：将分子乘以分母共轭复数，并进行合并化简。

例如：(2 + 3i) / (4 + 5i) = (2 + 3i) * (4 - 5i) / (4^2 + 5^2) = (8 + 7i) / 41二、复数在平面几何中的意义在平面直角坐标系中，复数可以看作是复平面上的点，实部对应横轴，虚部对应纵轴。

1. 复数的模：复数 z 的模表示为 |z|，是复平面上由原点到对应点的距离。

例如：z = 3 + 4i，则|z| = √(3^2 + 4^2) = 52. 复数的辐角：复数 z 的辐角表示为 arg(z)，是复平面上由正实轴到对应位置向量的角度。

例如：z = 2 + 2i，则arg(z) = π/43. 欧拉公式：欧拉公式表示为e^(iθ) = cos(θ) + isin(θ)，其中 e 是自然对数的底，i 是虚数单位，θ 是角度。

该公式将三角函数与指数函数联系了起来，是复数运算中的重要工具。

4. 复数的乘法及除法的几何意义：复数的乘法相当于平移、旋转和伸缩，在复平面上实现了几何变换。

复数的除法相当于平移、旋转和收缩，在复平面上实现了逆向几何变换。

综上所述，复数的基本运算包括加法、减法、乘法和除法，可以使用公式进行计算。

在平面几何中，复数可以表示为复平面上的点，模表示距离，辐角表示角度。

复数的模二级结论-概述说明以及解释1.引言1.1 概述概述部分的内容可以从以下角度展开：概述部分旨在介绍复数的模二级结论这一主题，并概括性地阐述本文的研究目的和内容。

首先，复数是由实数和虚数部分组成的数学对象，在数学和物理学等领域广泛应用。

复数的模是一个重要的概念，表示复数到原点的距离或向量的长度。

本文将从数学角度出发，探讨复数的模在模二级下的一些特性和结论。

通过研究复数模二的性质和表示方法，我们可以揭示复数在模二级上的规律性，进而深入理解复数的数学本质。

在接下来的正文部分，我们将首先介绍复数的定义和性质，包括实部、虚部、共轭复数等基本概念，并给出一些基本的运算法则。

然后，我们将详细介绍复数的表示方法，包括直角坐标形式和极坐标形式，并分析它们在模二级下的特征和应用。

最后，我们将给出一些关于复数模二的结论。

这些结论可能涉及到复数的奇偶性、模二同余等概念，并对其进行详细证明和解释。

通过这些结论，我们可以进一步理解复数模二的规律性，为多个领域中的应用提供数学依据。

总之，本文旨在研究复数的模二级结论，并通过对复数的定义、性质、表示方法和结论的介绍，希望能够揭示复数在模二级下的规律性和特征，深化对复数及其应用的理解。

文章结构部分的内容可以包括以下几个方面：1.2 文章结构:本文按照以下结构进行展开讨论复数的模二级结论。

首先，引言部分将对本文的概述、目的进行阐述。

然后，正文部分将分为两个小节，分别对复数的定义和性质以及复数的表示方法进行介绍。

最后，结论部分将给出对复数模二的两个结论进行总结和讨论。

在正文部分，2.1小节将详细阐述复数的定义和性质。

我们将介绍复数的基本概念，包括实部和虚部的定义，并探讨了复数的加法、减法和乘法等运算规则。

此外，我们还将讨论复数共轭的概念，并介绍复数的模和辐角的计算方法。

通过介绍这些基本概念和性质，我们可以更好地理解复数的本质和特点。

2.2小节将重点介绍复数的表示方法。

我们将介绍常见的复数表示形式，包括直角坐标形式和极坐标形式。

复数的几何意义一、复数的几何意义1、复数的几何表示：bi a z +=与复平面内的点）（b ,a Z 之间是一一对应的，即任何复数bi a z +=都可以用复平面内的点）（b ,a Z 来表示。

2、复数的向量表示：直角坐标系内的点）（b ,a Z 与始点在原点的向量）（b ,a OZ =是一一对应的，因此，复数bi a z +=也与向量）（b ,a OZ =一一对应，其中复数0对应零向量，任何复数bi a z +=可以表示为复平面内以原点O 为起点的向量OZ ，我们把这种表示像是叫做复数的向量表示法。

复数z=a+bi ↔复平面内的点Z （a ，b ）↔平面向量OZ 3、复数的模的几何意义复数z=a+bi 在复平面上对应的点Z(a,b)到原点的距离. 即 |Z |=|a+bi |=22b a +4、复数的加法与减法的几何意义加法的几何意义 减法的几何意义)ZZ 2Z1yz 1z 2≠0时， z 1+z 2对应的向量是以OZ 1、OZ 2、为邻边的平行四边形OZ 1ZZ 2的对角线OZ ， z 2-z 1对应的向量是Z 1Z 2 5、 复数乘法与除法的几何意义z 1=r 1（cos θ1+i sin θ1） z 2=r 2（cos θ2+i sin θ2）①乘法：z=z 1· z 2=r 1·r 2 [cos(θ1+θ2)+i sin(θ1+θ2)]如图：其对应的向量分别为oz oz oz 12→→→显然积对应的辐角是θ1+θ2 < 1 > 若θ2 > 0 则由oz 1→逆时针旋转θ2角模变为oz 1→的r 2倍所得向量便是积z 1·z 2=z 的向量oz →。

< 2 >若θ2< 0 则由向量oz 1→顺时针旋转θ2角模变为r 1·r 2所得向量便是积z 1·z 2=z 的向量oz →。

为此，若已知复数z 1的辐角为α，z 2的辐角为β求α+β时便可求出z 1·z 2=z a z 对应的辐角就是α+β这样便可将求“角”的问题转化为求“复数的积”的运算。

复数的基本概念和几何意义复数是数学中的一个重要概念，它由一个实数部分和一个虚数部分组成。

一个复数可以用以下形式表示：a+bi，其中a为实数部分，b为虚数部分，i为虚数单位，即i^2=-1复数的基本概念包括实数部分和虚数部分。

实数部分是复数的实际部分，它可以是任何实数。

虚数部分是复数中的虚构部分，它必须乘以虚数单位i才能表示。

实数部分和虚数部分都可以是负数。

复数的几何意义可以通过复平面理解。

复平面是一个由实数轴和虚数轴构成的平面。

实数轴表示实数部分，虚数轴表示虚数部分。

复数a+bi 可以在复平面上表示为一个点，实数部分对应的是x坐标，虚数部分对应的是y坐标。

复数的模表示复数到原点的距离，可以通过勾股定理求得。

模的值是一个非负实数。

复数的共轭表示实数部分不变，虚数部分取相反数，即a-bi。

复数可以进行加法、乘法和求逆运算。

复数的加法和减法可以通过实数部分和虚数部分分别相加或相减得到。

复数的乘法可以通过FOIL法则展开得到。

复数的求逆可以通过取共轭复数，将实数部分除以模的平方得到。

复数的基本性质包括交换律、结合律、分配律等。

复数可以进行四则运算，并满足这些性质。

复数的重要应用包括在电路分析、量子力学、工程计算等领域。

复数在这些领域中能够提供更加精确和便捷的计算手段。

总结起来，复数是由实数部分和虚数部分组成的数，它可以在复平面上表示为一个点。

复数有加法、乘法和求逆等运算，满足交换律、结合律和分配律。

复数的几何意义可以帮助我们理解和应用它们。

复数在数学和实际应用中都有重要的意义。

求复数的模和幅角复数的模和幅角是复数的两个重要性质。

在复平面上，复数可以表示为一个有序对(a,b)，其中a为实部，b为虚部，而复数的模则是指在复平面上复数与原点之间的距离，而幅角则指的是复数与正实轴之间的夹角。

本文将详细介绍复数的模和幅角及其相关性质。

第一部分：复数的模复数的模是复数与原点的距离，可以用数学公式表示为mod(z) = √(a² + b²)，其中a和b分别为复数的实部和虚部。

复数模的定义保证了它为非负实数。

复数的模具有以下性质：1. 如果复数z的模等于0，则z本身为0，即z=0。

2. 如果复数z的模等于一个正实数r，则z在复平面上的位置位于以原点为中心、半径为r的圆上。

3. 如果复数z的模为r，则z的负数模为-r，即z = -r。

第二部分：复数的幅角复数的幅角是复数与正实轴的夹角，可以用数学公式表示为arg(z) = tan^(-1)(b/a)，其中a和b分别为复数的实部和虚部。

幅角的范围为(-π, π]，通常用弧度表示。

复数的幅角具有以下性质：1. 如果复数z在实轴的正半轴上，其幅角为0。

2. 如果复数z在实轴的负半轴上，其幅角为π。

3. 如果复数z在虚轴上，其幅角为±π/2。

4. 如果复数z在第一象限，其幅角为arg(z)。

5. 如果复数z在第二、三、四象限，其幅角为arg(z) + kπ，其中k 为整数。

第三部分：复数的模和幅角的关系复数的模和幅角之间存在一定的关系。

1. Euler公式：e^(ix) = cos(x) + isin(x)，其中e为自然对数的底，i为虚数单位。

根据Euler公式，可以得到复数z的模和幅角的关系为：z =|z|e^(iarg(z))。

2. De Moivre公式：(cos(x) + isin(x))^n = cos(nx) + isin(nx)，其中n 为整数。

根据De Moivre公式，对于任意整数n，复数z的模和幅角的关系为：z^n = |z|^n*e^(inarg(z))。

复数的几何意义
复数的几何意义是指将复数视为在平面上的点或向量，并将其与平面上的几何图形相对应。

在平面上，复数可以用坐标表示，其中实部表示点的横坐标，虚部表示点的纵坐标。

复数的几何意义可以从以下几个方面进行解释：
1. 向量表示：可以将复数看作是一个具有大小和方向的向量。

复数的模表示向量的长度，模的平方表示向量的长度的平方。

复数的幅角表示向量与正实轴之间的夹角，幅角可以通过反三角函数计算得到。

2. 平面几何：复数可以用来表示平面上的点。

实部和虚部分别表示点的横坐标和纵坐标，通过给定复数的坐标，可以确定平面上的一个点。

反之，给定一个平面上的点，可以用复数表示其坐标。

3. 旋转和缩放：复数的模表示向量的长度，幅角表示向量与正实轴之间的夹角。

利用复数的属性，可以进行旋转和缩放的操作。

例如，将复数乘以一个实数可以对向量进行缩放，将复数乘以虚数单位i可以将向量逆时针旋转90度。

4. 复平面：复数可以用来构建复平面，即以复数为坐标的平面。

复平面上的每个点都对应一个复数，反之每个复数都对应复平面上的一个点。

通过复数的运算，可以在复平面上进行向量相加、相乘等操作。

在复平面上，可以进行直线的绘制、点的位置计算、图形的变换等。

复数的几何意义在数学、物理和工程中都有广泛的应用，如电路分析、信号处理、图像处理、控制系统等领域。

总结起来，复数的几何意义是将复数视为平面上的点或向量，并通过复数的实部和虚部表示点的坐标。

复数的模表示向量的长度，幅角表示向量与正实轴之间的夹角。

复数的几何意义在几何图形的构建、运算和变换中具有重要的应用。

第2课时复数的几何意义一、复数的几何意义及复数的模1．复平面(1)定义：建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面；(2)实轴：在复平面内，x轴叫做实轴，单位是1，实轴上的点都表示实数；(3)虚轴：在复平面内，y 轴叫做虚轴，单位是i ，除原点外，虚轴上的点都表示纯虚数；(4)原点：原点(0,0)表示实数0. 2．复数的几何意义(1)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )―――→一一对应复平面内的点Z (a ，b )． (2)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R ) ―――→一一对应平面向量OZ→. 为方便起见，我们常把复数z ＝a ＋b i 说成点Z 或说成向量OZ →，并且规定，相等的向量表示同一个复数．3．复数的模向量OZ →的长度叫做复数z ＝a ＋b i 的模，记作|z |或|a ＋b i|，且|a ＋b i|＝a 2＋b 2. 二、共轭复数 1．定义如果两个复数的实部相等，而虚部互为相反数，则这两个复数叫做互为共轭复数．2．表示复数z 的共轭复数用z 表示，即当z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )时，则z ＝a －b i.1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)在复平面内，对应于实数的点都在实轴上． ( ) (2)复数的模一定是正实数．( )(3)复数z 1>z 2的充要条件是|z 1|>|z 2|. ( )[解析] (1)正确．根据实轴的定义，x 轴叫实轴，实轴上的点都表示实数，反过来，实数对应的点都在实轴上，如实轴上的点(2,0)表示实数2.(2)错误．复数的模一定是实数但不一定是正实数，如：0也是复数，它的模为0不是正实数．(3)错误．两个复数不一定能比较大小，但两个复数的模总能比较大小． [答案] (1)√ (2)× (3)×2．复数z ＝cos θ＋isin θ(i 为虚数单位)其中θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，32π，则复数z 在复平面上所对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限[解析] ∵θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，32π，∴cos θ<0且sin θ<0，∴该复数所对应的点位于复平面上第三象限． [答案] C3．若x －2＋y i 和3x －i 互为共轭复数，则实数x 与y 的值分别是________，________.[解析] ∵x －2＋y i 和3x －i 互为共轭复数， ∴⎩⎨⎧ x －2＝3x ，y ＝1，解得⎩⎨⎧x ＝－1，y ＝1. [答案] －1 1对应的点满足下列条件时，求a的值(或取值范围)．(1)在实轴上；(2)在第三象限；(3)在抛物线y2＝4x上．[思路探究]解答本题可先确定复数z的实部、虚部，再根据要求列出关于a的方程(组)或不等式(组)求解．[解]复数z＝(a2－1)＋(2a－1)i的实部为a2－1，虚部为2a－1，在复平面内对应的点为(a2－1,2a－1)．(1)若z对应的点在实轴上，则有2a －1＝0，解得a ＝12.(2)若z 对应的点在第三象限，则有 ⎩⎨⎧a 2－1<0，2a －1<0，解得－1<a <12. (3)若z 对应的点在抛物线y 2＝4x 上，则有(2a －1)2＝4(a 2－1)，即4a 2－4a ＋1＝4a 2－4， 解得a ＝54.复数集与复平面内所有的点组成的集合之间存在着一一对应关系.每一个复数都对应着一个有序实数对，复数的实部、虚部分别对应点的横坐标、纵坐标，从而讨论复数对应点在复平面内的位置，关键是确定复数的实、虚部，由条件列出相应的方程(或不等式)组.1．在复平面内，若复数z ＝(m 2－m －2)＋(m 2－3m ＋2)i 对应点：(1)在虚轴上；(2)在第二象限；(3)在直线y ＝x 上，分别求实数m 的值或取值范围．[解] 复数z ＝(m 2－m －2)＋(m 2－3m ＋2)i 的实部为m 2－m －2，虚部为m 2－3m ＋2.(1)由题意得m 2－m －2＝0， 解得m ＝2或m ＝－1. (2)由题意得⎩⎨⎧m 2－m －2<0，m 2－3m ＋2>0，∴⎩⎨⎧－1<m <2，m >2或m <1， ∴－1<m <1.(3)由已知得m 2－m －2＝m 2－3m ＋2， ∴m ＝2.【例2】 已知平面直角坐标系中O 是原点，向量OA ，OB 对应的复数分别为2－3i ，－3＋2i ，求向量BA→对应的复数．[思路探究] 复数→求向量OA →，OB →的坐标→ 计算向量BA→的坐标→确定对应的复数[解] 向量OA→，OB →对应的复数分别为2－3i ，－3＋2i ，根据复数与复平面内的点一一对应，可得向量OA→＝(2，－3)，OB →＝(－3,2)．由向量减法的坐标运算可得向量BA →＝OA →－OB →＝(2＋3，－3－2)＝(5，－5)，根据复数与复平面内的点一一对应，可得向量BA→对应的复数是5－5i.1．根据复数与平面向量的对应关系，可知当平面向量的起点为原点时，向量的终点对应的复数即为向量对应的复数．反之，复数对应的点确定后，从原点引出的指向该点的有向线段，即为复数对应的向量．2．解决复数与平面向量一一对应的题目时，一般以复数与复平面内的点一一对应为工具，实现复数、复平面内的点、向量之间的转化．2．在复平面内，O 是原点，向量OA→对应的复数为2＋i.(1)如果点A 关于实轴的对称点为点B ，求向量OB→对应的复数；(2)如果(1)中的点B 关于虚轴的对称点为点C ，求点C 对应的复数． [解] (1)设向量OB →对应的复数为z 1＝x 1＋y 1i(x 1，y 1∈R )，则点B 的坐标为(x 1，y 1)，由题意可知，点A 的坐标为(2,1)．根据对称性可知：x 1＝2，y 1＝－1，故z 1＝2－i. (2)设点C 对应的复数为z 2＝x 2＋y 2i(x 2，y 2∈R )，则点C 的坐标为(x 2，y 2)，由对称性可知：x 2＝－2，y 2＝－1，故z 2＝－2－i.1．若z ∈C ，则满足|z |＝2的点Z 的集合是什么图形？[提示] 因为|z |＝2，即|OZ →|＝2，所以满足|z |＝2的点Z 的集合是以原点为圆心，2为半径的圆，如图所示．2．若z ∈C ，则满足2<|z |<3的点Z 的集合是什么图形？ [提示] 不等式2<|z |<3可化为不等式组⎩⎨⎧|z |>2，|z |<3，不等式|z |>2的解集是圆|z |＝2外部所有的点组成的集合， 不等式|z |<3的解集是圆|z |＝3内部所有的点组成的集合，这两个集合的交集就是上述不等式组的解集．因此，满足条件2<|z |<3的点Z 的集合是以原点为圆心、分别以2和3为半径的两个圆所夹的圆环，但不包括圆环的边界，如图所示．【例3】 已知复数z 1＝－3＋i ，z 2＝－12－32i. (1)求|z 1|与|z 2|的值，并比较它们的大小；(2)设复平面内，复数z 满足|z 2|≤|z |≤|z 1|，复数z 对应的点Z 的集合是什么？ [思路探究] (1)利用复数模的定义来求解．若z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则|z |＝a 2＋b 2.(2)先确定|z |的范围，再确定点Z 满足的条件，从而确定点Z 的图形． [解] (1)|z 1|＝(－3)2＋12＝2.|z 2|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－322＝1. ∵2＞1，∴|z 1|＞|z 2|.(2)由(1)知|z 2|≤|z |≤|z 1|，则1≤|z |≤2.因为不等式|z |≥1的解集是圆|z |＝1上和该圆外部所有点的集合，不等式|z |≤2的解集是圆|z |＝2上和该圆的内部所有点组成的集合，所以满足条件1≤|z |≤2的点Z 的集合是以原点O 为圆心，以1和2为半径的两圆所夹的圆环，且包括圆环的边界．1．两个复数不全为实数时不能比较大小；而任意两个复数的模均可比较大小．2．复数模的意义是表示复数对应的点到原点的距离，这可以类比实数的绝对值，也可以类比以原点为起点的向量的模来加深理解．3．|z 1－z 2|表示点Z 1，Z 2两点间的距离，|z |＝r 表示以原点为圆心，以r 为半径的圆．3．如果复数z＝1＋a i满足条件|z|<2，那么实数a的取值范围是________．[解析] 由|z |<2知，z 在复平面内对应的点在以原点为圆心，以2为半径的圆内(不包括边界)，由z ＝1＋a i 知z 对应的点在直线x ＝1上，所以线段AB (除去端点)为动点Z 的集合，由图可知－3<a < 3.[答案] (－3， 3)1．在复平面内，若OZ →＝(0，－5)，则OZ →对应的复数为() A ．0 B ．－5C ．－5iD ．5[解析] OZ →对应的复数z ＝0－5i ＝－5i.[答案] C2．在复平面内，复数z ＝sin 2＋icos 2对应的点位于()A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限[解析] ∵π2<2<π，∴sin 2>0，cos 2<0.故z ＝sin 2＋icos 2对应的点在第四象限．[答案] D3．已知复数z ＝2－3i ，则复数的模|z |是( )A ．5B ．8C ．6 D.11[解析] |z |＝(2)2＋(－3)2＝11.[答案] D4．若复数z 1＝3＋a i ，z 2＝b ＋4i(a ，b ∈R )，且z 1与z 2互为共轭复数，则z ＝a ＋b i 的模为________．[解析] ∵z 1＝3＋a i ，z 2＝b ＋4i 互为共轭复数，∴⎩⎨⎧ 3＝b ，a ＝－4，∴z ＝－4＋3i ，∴|z |＝(－4)2＋32＝5.[答案] 55．已知复数z 满足z ＋|z |＝2＋8i ，求复数z .[解] 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则|z |＝a 2＋b 2，代入方程得，a ＋b i ＋a 2＋b 2＝2＋8i ，∴⎩⎨⎧ a ＋a 2＋b 2＝2，b ＝8，解得⎩⎨⎧a ＝－15，b ＝8. ∴z ＝－15＋8i. 课时分层作业(九)(建议用时：40分钟)[基础达标练]一、选择题1．在复平面内，复数6＋5i ，－2＋3i 对应的点分别为A ，B .若C 为线段AB 的中点，则点C 对应的复数是( )A ．4＋8iB ．8＋2iC ．2＋4iD ．4＋i[解析] 由题意知A (6,5)，B (－2,3)，则AB 中点C (2,4)对应的复数为2＋4i.[答案] C2．复数z ＝1＋3i 的模等于( )A ．2B ．4C.10 D ．2 2[解析] |z |＝|1＋3i|＝12＋32＝10，故选C.[答案] C3．复数z 1＝a ＋2i ，z 2＝－2＋i ，如果|z 1|<|z 2|，则实数a 的取值范围是( )A ．(－1,1)B ．(1，＋∞)C ．(0，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)[解析] ∵|z 1|＝a 2＋4，|z 2|＝5， ∴a 2＋4<5，∴－1<a <1.[答案] A4．在复平面内，O 为原点，向量OA→对应的复数为－1＋2i ，若点A 关于直线y ＝－x 的对称点为B ，则向量OB→对应的复数为( ) A ．－2－iB ．－2＋iC ．1＋2iD ．－1＋2i[解析] 因为A (－1,2)关于直线y ＝－x 的对称点为B (－2，1)，所以向量OB→对应的复数为－2＋i.[答案] B5．已知复数z 对应的点在第二象限，它的模是3，实部为－5，则z 为( )A ．－5＋2iB ．－5－2iC ．－5＋3iD ．－5－3i[解析] 设z ＝－5＋b i(b ∈R )，由|z |＝(－5)2＋b 2＝3，解得b ＝±2，又复数z 对应的点在第二象限，则b ＝2， ∴z ＝－5＋2i.[答案] A二、填空题6．在复平面内，复数z 与向量(－3,4)相对应，则|z |＝________.[解析] 由题意知z ＝－3＋4i ，∴|z |＝(－3)2＋42＝5.[答案] 57．已知复数x 2－6x ＋5＋(x －2)i 在复平面内对应的点在第三象限，则实数x 的取值范围是________．[解析] 由已知得⎩⎨⎧ x 2－6x ＋5<0，x －2<0，∴⎩⎨⎧ 1<x <5，x <2，∴1<x <2.[答案] (1,2)8．已知△ABC 中，AB→，AC →对应的复数分别为－1＋2i ，－2－3i ，则BC →对应的复数为________．[解析] 因为AB→，AC →对应的复数分别为－1＋2i ，－2－3i ， 所以AB→＝(－1,2)，AC →＝(－2，－3)． 又BC→＝AC →－AB →＝(－2，－3)－(－1,2)＝(－1，－5)，所以BC →对应的复数为－1－5i.[答案] －1－5i三、解答题9．若复数z ＝x ＋3＋(y －2)i(x ，y ∈R )，且|z |＝2，则点(x ，y )的轨迹是什么图形？[解] ∵|z |＝2， ∴(x ＋3)2＋(y －2)2＝2，即(x ＋3)2＋(y －2)2＝4.∴点(x ，y )的轨迹是以(－3,2)为圆心，2为半径的圆．10．实数m 取什么值时，复平面内表示复数z ＝(m －3)＋(m 2－5m －14)i 的点：(1)位于第四象限；(2)位于第一、三象限；(3)位于直线y ＝x 上．[解] (1)由题意得⎩⎨⎧m －3>0，m 2－5m －14<0，得3<m <7，此时复数z 对应的点位于第四象限．(2)由题意得⎩⎨⎧ m －3>0，m 2－5m －14>0，或⎩⎨⎧m －3<0，m 2－5m －14<0，∴m >7或－2<m <3，此时复数z 对应的点位于第一、三象限．(3)要使复数z 对应的点在直线y ＝x 上，只需m 2－5m －14＝m －3，∴m 2－6m －11＝0，∴m ＝3±25，此时，复数z 对应的点位于直线y ＝x 上．[能力提升练]1．已知a ∈R ，且0<a <1，i 为虚数单位，则复数z ＝a ＋(a －1)i 的共轭复数z 在复平面内所对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 [解析] ∵0<a <1，∴1－a >0，故复数z ＝a ＋(a －1)i 的共轭复数z ＝a ＋(1－a )i 在复平面内所对应的点(a,1－a )位于第一象限．[答案] A2．已知实数a ，x ，y 满足a 2＋2a ＋2xy ＋(a ＋x －y )i ＝0，则点(x ，y )的轨迹是( )A ．直线B ．圆心在原点的圆C ．圆心不在原点的圆D ．椭圆 [解析] 因为a ，x ，y ∈R ，所以a 2＋2a ＋2xy ∈R ，a ＋x －y ∈R .又a 2＋2a ＋2xy ＋(a ＋x －y )i ＝0，所以⎩⎨⎧a 2＋2a ＋2xy ＝0，a ＋x －y ＝0，消去a 得(y －x )2＋2(y －x )＋2xy ＝0，即x 2＋y 2－2x ＋2y ＝0，亦即(x －1)2＋(y ＋1)2＝2，该方程表示圆心为(1，－1)，半径为2的圆．[答案] C3．若复数z 对应的点在直线y ＝2x 上，且|z |＝5，则复数z ＝________.[解析] 依题意可设复数z ＝a ＋2a i(a ∈R )，由|z |＝5，得a 2＋4a 2＝5，解得a ＝±1，故z ＝1＋2i 或z ＝－1－2i.[答案] 1＋2i 或－1－2i4．已知O 为坐标原点，OZ 1→对应的复数为－3＋4i ，OZ 2→对应的复数为2a ＋i(a ∈R )．若OZ 1→与OZ 2→共线，求a 的值． [解] 因为OZ 1→对应的复数为－3＋4i ， OZ 2→对应的复数为2a ＋i ， 所以OZ 1→＝(－3,4)，OZ 2→＝(2a,1)． 因为OZ 1→与OZ 2→共线，所以存在实数k 使OZ 2→＝kOZ 1→， 即(2a,1)＝k (－3,4)＝(－3k,4k )，所以⎩⎨⎧ 2a ＝－3k ，1＝4k ，所以⎩⎪⎨⎪⎧ k ＝14，a ＝－38，即a 的值为－38.。

复数的几何意义及其应用案例复数是数学中一个重要的概念，它由实数和虚数构成，可以表示为a+bi的形式，其中a和b都是实数，i是虚数单位。

复数有着丰富的几何意义，它在几何学中有广泛的应用。

本文将探讨复数的几何意义以及一些应用案例。

一、复数的几何意义1. 复平面复数可以用平面上的点来表示。

将复数a+bi对应于平面上的点P(a, b)，这个平面就是复平面。

复平面上的点P可以表示为向量OP，其中O是平面上的原点。

复数的实部a对应于点P在x轴上的投影，虚部b对应于点P在y轴上的投影。

这样，复数的加法、减法、乘法和除法运算都可以用向量运算来表示。

2. 模和幅角复数a+bi的模定义为它与原点的距离，即|a+bi|=√(a²+b²)。

模表示了复数的大小。

复数的幅角定义为它与x轴的夹角，可以用反三角函数来表示，即θ=arctan(b/a)。

幅角表示了复数的方向。

3. 共轭复数对于复数a+bi，它的共轭复数定义为a-bi，可以用符号∼表示。

共轭复数在复数的乘法和除法运算中有重要的应用。

二、复数的应用案例1. 电路分析复数在电路分析中有着广泛的应用。

例如，交流电路中的电压和电流可以用复数来表示。

通过对复数电压和电流进行运算，可以得到电路中的功率、阻抗、电感和电容等重要参数。

2. 信号处理在信号处理中，复数被用来表示信号的频谱。

通过对复数频谱进行运算，可以实现信号的滤波、调制、解调等操作。

复数的傅里叶变换在信号处理中起着重要的作用。

3. 几何变换复数可以表示平面上的几何图形。

通过对复数进行平移、旋转、缩放等几何变换，可以实现图形的变换和组合。

复数的乘法运算可以实现图形的旋转和缩放，复数的加法运算可以实现图形的平移。

4. 分形图形分形是一种特殊的几何图形，具有自相似性和无限细节等特点。

复数可以用来生成分形图形，例如著名的朱利亚集合和曼德博集合。

通过对复数进行迭代运算，可以生成具有丰富结构和美丽形态的分形图形。

复数模的几何意义
复数模是一个复数的长度，它在复平面上的几何意义是该复数与
原点之间的距离。

具体来说，如果一个复数为z=a+bi，它的复数模|z|表示z与原点之间的距离。

在复平面上，复数的实部a表示x轴上的坐标，虚部b表示y轴
上的坐标。

我们可以用复数的坐标表示为(a,b)，表示该复数在复平面
上的位置。

复数模可以理解为复数对原点的长度。

因此，复数模越小，该复
数离原点越近；复数模越大，该复数离原点越远。

我们可以看到，复
数的模越小，它离原点越近，它的模越大，它离原点越远。

当然，复
数的模也可以等于0，这意味着该复数就是原点。

在解决数学问题时，我们可以根据复数模的大小快速推断出复数
的一些性质。

例如，如果与某个复数的模相等的两个复数相乘，那么
它们的模对应的是它们的积的模。

而且，如果一个复数的模为1，则它被称为单位复数。

总之，复数模在复数的理解和多项式方程的解法中有很重要的作用，了解它的几何意义和性质对于我们日常的数学推理有很大的帮助。

模复数的模
模是复数的模。

数学中的复数的模。

将复数的实部与虚部的平方和的正的平方根的值称为该复数的模。

复数的模是设复数z=a+bi(a,b∈R)，则复数z的模|z|，它的几何意义是复平面上一点(a,b)到原点的距离。

运算法则：| z1·z2| = |z1|·|z2|，∈| z1|－| z2|∈≤| z1+z2|≤| z1|+| z2|，| z1－z2| = | z1z2|，是复平面的两点间距离公式，由此几何意义可以推出复平面上的直线、圆、双曲线、椭圆的方程以及抛物线。

扩展资料
如z=a+bi（a,b均为实数）的数称为复数，其中a称为实部，b称为虚部，i称为虚数单位。

当z的虚部等于零时，常称z为实数；当z的虚部不等于零时，实部等于零时，常称z为纯虚数。

复数域是实数域的代数闭包，即任何复系数多项式在复数域中总有根。

复数是由意大利米兰学者卡当在十六世纪首次引入，经过达朗贝尔、棣莫弗、欧拉、高斯等人的工作，此概念逐渐为数学家所接受。