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一类p(x)-Laplace方程正解的存在性
张启虎
【期刊名称】《兰州大学学报（自然科学版）》
【年(卷),期】2006(042)001
【摘要】考虑方程{-△p(x)u=f(u),u-0 x∈Ω,x∈aΩ正解的存在性,这里-△p(x)u=-div(|△u|p(x)-2△u),p(x)∈C1(RN)是径向对称的,Ω=B(0,R)∩ RN是有界径向对称区域,其中R是充分大的正数.当u→+∞lim f(u)up--1=0时,证明了方程正解的存在性,而且未对f(0)的符号做任何限制.
【总页数】3页(P89-91)
【作者】张启虎
【作者单位】徐州师范大学数学系,江苏,徐州,221116
【正文语种】中文
【中图分类】O175
【相关文献】
1.一类带有梯度的p(x)-Laplace方程正解的存在性 [J], 赵凯芳;刘辉昭;丁纺
2.一类带临界非线性项的p-Laplace方程正解的存在性 [J], 李新英;罗蔚;周树清
3.一类具有非线性边界条件的发展型p-Laplace 方程组正解的爆破性及整体存在性 [J], 吴学凇;高文杰
4.一类一维奇异p-Laplace方程组边值问题正解的存在性 [J], 王芳;钟承奎;王彩勋
5.一类分数阶p-Laplace方程积分三点边值问题正解的存在性 [J], 汤小松;罗节英
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下面我来详细地解释一下p -Laplacian方程以及相关的求解方法。
p -Laplacian方程是一类非线性偏微分方程，其形式如下：\operatorname{div}(|\nabla u|^{p-2}\nabla u) = f(x,u,\nabla u)其中u 是未知函数，f(x,u,\nabla u) 是已知函数，\nabla u 表示u 的梯度。
p -Laplacian方程的解的性质比较复杂，因为当p 取不同的值时，它具有不同的性质。
例如，p=2 的情况下，p -Laplacian方程就是Laplace 方程，又称为调和方程；而p=1 的情况下，p -Laplacian方程就是具有线性耗散性的对流扩散方程。
通常情况下，有限元方法是求解p -Laplacian方程的常用方法之一。
其主要思路是通过离散化来将方程转化为一个线性代数方程组，再对该方程组进行求解。
具体来说，可以将空间域离散化为若干个小单元，每个小单元内部的u 可以用一些基函数（如线性三角形函数）来表示。
这样，将方程在每个单元上进行离散，并使用有限元法的基函数来表示u 的数值近似解，就可以得到一个线性代数方程组。
解这个线性代数方程组得到的数值解可以近似地代表p -Laplacian方程的解。
当然，为了保证数值解的精度，需要在离散化和求解过程中采用一定的技巧，比如选择合适的网格或子区域，或者使用高阶的基函数等。
另外，还有其他方法可以用来求解p -Laplacian方程，比如有限差分法、保费-加拉金方法等。
这些方法各有优劣，应根据实际问题的需求选择合适的方法。
好的，下面继续讲述p -Laplacian方程。
p -Laplacian方程是一类非线性的偏微分方程，其解的性质十分复杂。
但是，在一定的条件下，可以得到一些关于p -Laplacian方程解的基本性质。
首先，我们可以得到p -Laplacian方程解的唯一性。
具体来说，如果有两个解u_1 和u_2 ，且它们均满足p -Laplacian方程，则它们的差w=u_1-u_2 也满足p -Laplacian方程，并且有以下不等式成立：\int_\Omega |\nabla w|^p dx = \int_\Omega |\nabla(u_1-u_2)|^p dx \leq \int_\Omega |\nabla u_1|^p dx - \int_\Omega |\nabla u_2|^p dx这说明差值w 的L^p 范数可以通过两个解的L^p 范数的差来控制，从而得到p -Laplacian方程解的唯一性。
Laplace方程一、介绍Laplace方程是一个重要的偏微分方程，它在应用数学领域起着重要的作用。
Laplace方程的形式如下：∇²φ = 0其中∇²是拉普拉斯算子，φ是未知函数。
这个方程描述了未知函数在给定区域内的二阶空间导数等于零的情况。
在本文中，我们将全面、详细、完整地探讨Laplace方程及其在物理学和数学中的应用。
二、物理学中的应用2.1 稳态问题Laplace方程常常用于描述稳态问题，即与时间无关的问题。
例如，当我们研究电势场或温度分布时，可以使用Laplace方程来描述系统的平衡状态。
通过求解Laplace方程，我们可以得到电势场或温度分布的解析解，从而更好地理解系统的行为。
2.2 电势与电荷分布在电磁学领域中，Laplace方程与电荷分布和电势之间存在联系。
根据电场的高斯定律，我们可以得到∇²V = -ρ/ε₀，其中V是电势，ρ是电荷密度，ε₀是真空介电常数。
当系统中的电荷密度为零时，即没有自由电荷，Laplace方程成为∇²V = 0。
因此，Laplace方程可以描述无电荷分布下的电势分布。
2.3 势流与速度场在流体力学中，Laplace方程与势流和速度场之间存在联系。
势流是无旋流体的流动描述，它满足Laplace方程。
通过求解Laplace方程，我们可以得到势流的解析解，从而更好地理解流体的运动规律。
在涡流较小的情况下，可以将流体的速度场表示为势流函数的梯度，进而通过Laplace方程求解速度场。
三、数学中的应用3.1 边界值问题Laplace方程在数学中的一个重要应用是解决边界值问题。
边界值问题是指在给定区域内，找到满足Laplace方程以及一些特定边界条件的解。
通过给定边界条件，我们可以唯一确定Laplace方程的解，进而得到满足特定条件的函数。
3.2 谐函数满足Laplace方程的函数被称为谐函数。
谐函数在数学中有广泛的应用。
例如，谐函数在电势场、温度分布以及其他物理问题中经常出现。
一类p—laplace方程边值问题解的存在性理解一类p-Laplace方程边值问题解的存在性：1. p—Laplace方程简介p—Laplace方程是一种常见的椭圆型偏微分方程，它在空间变换、热传导中也有广泛的应用。
它的解由p—Laplace方程决定：∂u/∂x+∂v/∂y=u^(p-2)f，其中p是大于等于1的任意常数，u，v是满足边界条件的函数，x，y是定义域内的坐标，f是常函数。
2. 一类p—Laplace方程边值问题的存在性一类p—Laplace方程的边值问题的存在性取决于其常数p的大小。
如果p大于1，那么该方程有唯一解；如果p小于1，那么该方程可能有无穷多解；如果p=1，则该方程常有唯一解，又有可能出现无穷多解。
3. p—Laplace方程边值问题解的存在性判定判定一类p—Laplace方程边值问题解的存在性，要仔细检查边界条件是否符合两个条件：（1）任意的边界函数都必须满足给定边界条件；（2）边界条件必须对所有满足方程组调和函数，如成反馈函数、空间变换函数等来施加有效制约。
缺一不可，边值问题解才能有存在性。
4. p＞1时一类p—Laplace方程边值问题解的存在性当p大于1时，p—Laplace方程边值问题解有唯一解。
这是因为二阶偏微分方程组只能有一个解， p大于1时，椭圆型经ene变换可以转化为二阶偏微分方程组，根据拓扑的余定理，二阶偏微分方程组必有唯一解，故这时候方程解有存在性。
5. p＜1时一类p-Laplace方程边值问题解的存在性当p小于1时，p—Laplace方程边值问题解可能有无穷多解。
这是因为当p＜1时，椭圆型经ene变换不能转化为二阶偏微分方程组，根据拓扑的余定理，任一条件的任何解，如满足给定的边界条件，都是经en变换回解法所得，因此这种情况下该方程解有无穷多解的存在性。
6. p=1时一类p—Laplace方程边值问题解的存在性当p等于1时，p—Laplace方程边值问题解存在性有两种情形：（1）如果边界条件符合两个条件（前面讲到），有唯一解；（2）另一种情形是，如果边界条件不完全符合两个条件，则可能出现无穷多解。
非自治p(t)-拉普拉斯系统周期解的存在性张申贵;慕嘉【摘要】In this paper, we investigate a class of non-autonomous p(t)-Laplacian system. By using saddle point theorem and the least action principle, some sufficient conditions for the existence of periodic solutions are obtained, which generalize and improve the resuls in [8].%本文研究一类非自治p(t)-Laplace系统.利用鞍点定理和极小作用原理,获得了周期解存在的充分条件,推广和改进了文献[8]中的结果.【期刊名称】《数学杂志》【年(卷),期】2017(037)002【总页数】10页(P409-418)【关键词】周期解;p(t)-Laplace系统;临界点【作者】张申贵;慕嘉【作者单位】西北民族大学数学与计算机科学学院,甘肃兰州 730030;西北民族大学数学与计算机科学学院,甘肃兰州 730030【正文语种】中文【中图分类】O175.8;O176.3考虑二阶 Hamilton 系统(其中 T ＞ 0,设 F:满足如下假设(A) 对每个关于 t 可测;对几乎所有的关于 x 连续可微,且存在使得对所有的和成立.Mawhin 和 Willem 在文 [1]在非线性项有界,即存在使得对所有和成立时,得到了系统 (1.1) 周期解的存在性定理.文 [2]假设非线性项是次线性增长的,即存在使得对所有和成立.在具有线性增长非线性项,即存在f,g ∈ L1(0,T;R+),使得对所有x ∈ RN和 a.e.t ∈ [0,T]成立时,文 [3]中得到以下定理.定理A[3]设 F 满足 (1.2) 式, 且若则系统 (1.1) 在 Sobolev 空间 HT1中至少有一个周期解.文 [4]将定理 A 中的强制性条件改进为下方有界的情形当非线性项▽F(t,x) 线性增长时, 文 [5–7]中分别在具有部分周期位势, 脉冲作用项, 单调性条件下得到了二阶 Hamilton 系统周期解的存在性定理.设存在常数 M0＞ 0,M1＞ 0,M2＞ 0 和非负函数ω ∈ C([0,∞),[0,∞)), 使得受到文 [8]和 [9]的启发, 我们考虑用控制函数ω(|x|) 替换线性增长条件 (1.2) 中的|x|,并将上述结果推广到非自治 p(t)- 拉普拉斯系统其中p(t) ∈ C([0,T],R+),p(t)=p(t+T),且临界点理论是研究微分方程和差分方程边值问题可解性的有效方法, 如文 [10–12]. 非自治 p(t)- 拉普拉斯系统来自于非线性弹性问题和流体力学,该系统刻画了“逐点异性”的物理现象.近年来,临界点理论已用于研究非自治 p(t)- 拉普拉斯系统周期解的存在性,参见文[13–21].记p(t) ∈ C([0,T],R+), 定义当p−＞ 1 时,空间 W1,p(t)T 是自反的 Banach 空间,其范数为记则引理2.1,存在常数有其中引理2.2有引理2.3[16]在 Sobolev 空间 W1,p(t)T 上定义泛函ϕ如下:则u ∈ WT1,p(t)是问题 (1.3) 的周期解当且仅当 u 是泛函ϕ的临界点, 且ϕ连续可微,定义1设 X 为 Banach 空间, 若泛函ϕ∈ C1(X,R) 满足: 对任何点列 {un} ⊂ X, 由{ϕ(un)} 有界,ϕ′(un) → 0 蕴含 {un} 有收敛子列, 则称泛函ϕ满足 (PS) 条件.引理2.4[1](极小作用原理) 若泛函ϕ:X → R 弱下半连续, 且ϕ在自反的Banach 空间 X 中强制,即当‖u‖ → ∞ 时,有ϕ(u) → +∞,则泛函ϕ在空间 X 中有极小值.引理2.5[1](鞍点定理) 设 E 是 Hilbert 空间,E=E1⊕ E2, 其中 E2/={0} 是有限维子空间. 若ϕ∈ C1(X,R) 满足 (PS) 条件和以下两个条件(i) 存在e ∈ Bρ∩ E2和常数ω ＞σ, 使得ϕ|e+E1≥ ω; (ii) 存在常数σ 和ρ, 使得ϕ|∂Bρ∩E2≤ σ,则ϕ有临界值c≥ω且其中;id 表示恒等算子;Bρ是 E 中以 0 为中心半径为 r 的开球;∂Bρ表示Bρ的边界. 定理3.1设ω ∈ C([0,∞),[0,∞)),满足(ω1)–(ω4). 设存在f,g ∈ L1(0,T;R+), 使得对所有x ∈ RN和 a.e.t ∈ [0,T]成立,且则问题 (1.3) 在 Sobolev 空间 WT1 ,p(t)中至少有一个周期解.注定理 3.1 推广与改进了定理 A 和文献 [8]中定理 1.5. 首先, 定理 3.1 中将对应结果推广到了非自治 p(t)- 拉普拉斯系统;另一方面,易见式 (3.2) 中极限是下方有界的. 取p(t)≡ 2,则p−=p+=2,令其中β(t) ∈ L1(0,T;R+), 则 F 满足定理 3.1 的条件,但不满足定理 A 和文 [8]中定理 1.5.证由条件(ω1)–(ω3), 式 (3.1),(2.1),有利用 Young 不等式及,有由式 (3.4) 和 (3.5) 式,有Z由引理 1.2, 由式 (3.2) 和(ω4), 并注意到时. 注意到当p−＞ 1 时, 空间 WT1 ,p(t)是自反的 Banach空间, 泛函ϕ弱下半连续[20], 由极小作用原理可知, 泛函ϕ至少有一个临界点, 从而得到问题 (1.3) 至少有一个周期解.定理3.2设非负函数ω 满足F 满足 (3.1) 和 (3.3) 式,且其中则问题 (1.3) 在 Sobolev 空间 WT1 ,p(t)中至少有一个周期解.注取,则,令则 F 满足定理 3.2 中的条件,但不满足文 [13–21]中定理.Z证我们将利用鞍点定理来证明定理 3.2,设第1步证明泛函ϕ满足 (PS) 条件, 即任何点列, 由有界,可推得 {un} 有收敛子列. 首先证明有界.类似于 (3.4) 式的证明,有由式 (3.5),(3.8),有另一方面, 由式 (2.1),可得由式 (3.9),(3.10), 有其中. 由式 (3.9),有由式 (3.4),(3.5),(3.12),有其中 K 为式 (3.7) 中定义的正常数. 反设在 WT1,p(t)中无界,当由引理 2.2,当当n → ∞ 时,, 有ω(|u¯n|) → +∞. 由式 (3.6),(3.13), 并注意到p−＞ 1,当n → ∞ 时,当n→ ∞ 时, 式 (3.12), 有ω(|u¯n|) → +∞. 由式 (3.6),(3.13),并注意到p−＞ 1,当n → ∞ 时,ϕ(un) → −∞.这与有界矛盾! 故 {un} 在 WT1 ,p(t)中有界. 注意到当 p−＞ 1 时,WT1,p(t)紧嵌入C([0,T];RN) 和 WT1 ,p(t)的一致凸性, 类似于文献 [19]中定理 3.2 的证明,{un} 在 WT1,p(t)中有收敛子列,故泛函ϕ满足 (PS)条件.第2步取我们证明鞍点定理的环绕条件成立. 对u ∈ E1, 类似于 (3.4) 式的证明,有由式 (3.14),有对,由引理由 (3.3) 式知故当时, 有成立. 显然存在常数η,使得ϕ(u)≥ η.另一方面,对,由式 (3.6),∀ε＞ 0,当充分大时,有令ε充分小, 当时,, 则因此存在正常数ρ, 使得【相关文献】[1]Mawhin J,Willem M.Criticalpoint theory and Hamiltonian systems[M].NewYork:Springer Verlag, 1989.[2]Tang C L.Periodic solutions ofnon-autonomous second order systems with sublinear nonlinearity[J]. Proc.Amer.Math.Soc.,1998,126(11):3263–3270.[3]Zhao F K,Wu X.Existence of periodic solutions for nonautonmous second order systems with linear nonlinearity[J].Nonl.Anal.,2005,60(7):325–335.[4]Tang X H,Meng Q.Solutions of a second-order Hamiltonian system with periodic boundary conditions[J].Nonl.Anal.,2010,11:3722–3733.[5] 张申贵. 一类非自治二阶系统的多重周期解 [J]. 山东大学学报 (理学版),2011,46(11):64–69.[6]Chen P,Tang X H.Existence of solutions for a class of second-order p-Laplacian systems with impulsive eff ects[J].Appl.Math.,2014,59(5):543–570.[7] 吴越, 安天庆. 一类非自治二阶哈密顿系统的周期解 [J]. 吉林大学学报 (理学版),2013,51(1):57–63.[8]Wang Z Y,Zhang J H.Periodic solutions of a class of second order non-autonomous Hamiltonian systems[J].Nonl.Anal.,2010,72(12):4480–4487.[9]Zhang Q F,Tang X H.Periodic solutions for second ordersystems[J].Appl.Math.,2012,41(5), 303–310.[10] 彭艳芳.R3中一类 Kirchhoff 型方程变号解的存在性及集中性 [J]. 数学杂志,2015,35(1):75–84.[11] 敖恩, 张国伟. 关于二阶半线性椭圆方程的 Dirichlet 边值问题一个注记 [J]. 数学杂志,2014,34(1): 37–42.[12] 张克玉, 徐家发. 一类二阶差分方程边值问题解的存在性 [J]. 数学杂志,2014,34(5):857–862.[13]Ge B,Xue X P,ZHOU Q M.Existence of periodic solutions for a diff erential inclusion systems involving the p(t)-Laplacian[J].Acta Math.Sci.,2011,31B(5):1786–1802.[14]Fan X L.A Knobloch-type result for p(t)-Laplaciansystems[J].J.Math.Anal.Appl.,2003,282(3): 453–464.[15]Zhang L,Tang X H,Chen J.Infinitely many periodic solutions for some second-order diff erential systems with p(t)-Laplacian[J].Boundary Value Problems,2011,33(2):1–15.[16]Wang X J,Yuan R.Existence of periodic solutions for p(t)-Laplaciansystems[J].Nonl.Anal.,2009, 70(1):866–880.[17] 张申贵. 一类超线性 p(t)-Laplacian 系统的无穷多周期解 [J]. 吉林大学学报 (理学版),2014,52(1): 34–38.[18]Zhang L,Tang X H.Existence and multiplicity ofperiodic solutions for some second order diff erential systems with p(t)-Laplacian[J].Math.Slovaca,2013,63(6):1269–1290. [19]Zhang L,Tang X H.Subharmonic solutions for some nonautonomous Hamiltonian systems with p(t)-Laplacian[J].Bull.Belg.Math.Soc.(2),2011,18(2):385–400.[20]Zhang L,Chen Y.Existence of periodic solutions of p(t)-Laplaciansystems[J].Bull.Malays.Math. Sci.Soc.(2),2012,35(1):25–38.[21]Chen P,Tang X H,Agarwal R.Existence of homoclinic solutions for p(n)-Laplacian Hamiltonian systems on orlicz sequence space[J]put.Model.,2012,55(3):989–1002.。
一类第二种非线性Volterra 积分方程积分数值解方法1前言微分方程和积分方程都是描述物理问题的重要数学工具，各有优点.相对于某种情况来说，对于某种物理数学问题，积分方程对于问题的解决比微分方程更加有优势，使对问题的研究更加趋于简单化，在数学上，利用积分形式讨论存在性、唯一性往往比较方便，结果也比较完美,所以研究积分方程便得越来越有用,日益受到重视.积分方程的发展，始终是与数学物理问题的研究息息相关.一般认为，从积分发展的源头可以追溯到国外的数学家克莱茵的著作《古今数学思想》，该书是被认为第一个清醒的认为应用积分方程求解的是Abel.Abel 分别于1833年和1826年发表了两篇有关积分方程的文章，但其正式的名称却是由数学家du Bois-Raymond 首次提出的，把该问题的研究正式命名为积分方程。
所以最早研究积分方程的是Abel,他在1823年从力学问题时首先引出了积分方程，并用两种方法求出了它的解,第一的积分方程便是以Abel 命名的方程.该方程的形式为：⎰=-baax f dt t x t )()()(ϕ,该方程称为广义Abel 方程,式中a 的值在(0,1)之间.当a=21时，该式子便成为)()(x f dt tx x x a =-⎰ϕ.在此之前，Laplace 于1782年所提出的求Laplace 反变换问题，当时这个问题就要求解一个积分方程.但是Fourier其实已经求出了一类积分方程的反变换，这就说明在早些时候积分方程就已经在专业性很针对的情况下得到了研究，实际上也说明了Fourier 在研究反变换问题是就相当于解出了一类积分方程.积分方程的形成基础是有两位数学家Fredholm 和V olterra 奠定的，积分方程主要是研究两类相关的方程，由于这两位数学家的突出贡献，所以这两个方程被命名为Fredholm 方程和V olterra 方程。
后来又有德国数学家D.Hilbert 进行了重要的研究，并作出了突出的贡献，由于D.Hilbert 领头科学家的研究，所以掀起了一阵研究积分方程的热潮，并出现了很多重要的成果，后来该理论又推广到非线性部分。
求解 Laplace 方程是数学和工程中的一个经典问题，它通常涉及到计算具有特定边界条件的二维或三维空间中的场或势分布。
Laplace 方程是一个偏微分方程，通常用于描述无源场（电场、温度场、流体流动等）的分布情况。
数值方法常用于求解Laplace 方程，其中有一些常见的数值求解方法，如有限差分法、有限元法和边界元法等。
以下是使用有限差分法（Finite Difference Method）求解 Laplace 方程的基本步骤：
1.离散化域：将求解域进行离散化，将二维或三维空间划分为网格点。
选择
适当的步长和网格尺寸。
2.建立差分方程：将 Laplace 方程中的二阶偏导数项通过中心差分或其他差分
方法转化为离散形式的差分方程。
3.边界条件：根据具体问题设置边界条件，这些边界条件可以是已知场值、
场梯度或其他限制条件。
4.迭代求解：根据离散化的差分方程和边界条件，使用迭代方法求解离散方
程，例如使用迭代求解法（如雅可比迭代、高斯-赛德尔迭代、逐次超松弛
法等）进行数值求解。
5.收敛判据：在迭代过程中，需要设置收敛准则来判断数值解的收敛性。
通
常可以设置一个误差容限或最大迭代次数。
6.结果分析：分析数值求解得到的离散解，根据实际情况进行后处理，如可
视化结果、提取特定点的值或进一步分析模拟结果的物理意义等。
对于复杂的问题，可能需要考虑更高阶的差分格式、自适应网格、并行计算以及其他数值技巧来提高计算效率和数值解的精度。
在实际应用中，有限差分法通常是求解 Laplace 方程的一种常用且有效的数值方法。
laplace方程Laplace方程是数学中的一个重要概念，它被广泛应用于物理学、工程学和其他领域的问题求解中。
本文将介绍Laplace方程的基本概念、特点和应用，并探讨它在不同领域中的重要性和影响。
Laplace方程是一个偏微分方程，描述了一个没有任何源或汇的稳定状态。
它的数学表达式是∇^2φ=0，其中∇^2表示拉普拉斯算子，φ是待求函数。
Laplace方程的解决方法是通过求解泊松方程，即在给定边界条件下找到满足Laplace方程的解。
Laplace方程在物理学中有广泛的应用。
例如，在电场分布中，Laplace方程可以用来描述没有电荷分布的区域。
在这种情况下，Laplace方程的解可以帮助我们确定电势分布。
类似地，在热传导问题中，Laplace方程可以用来描述没有热源的区域的温度分布。
通过求解Laplace方程，我们可以了解到物体表面上的温度分布情况。
Laplace方程还在流体力学、弹性力学和量子力学等领域中起着重要作用。
在流体力学中，Laplace方程可以用来描述无旋流场的速度分布。
在弹性力学中，Laplace方程可以用来描述没有体积力的弹性体的位移场。
在量子力学中，Laplace方程可以用来描述没有势能的粒子的波函数。
在工程学中，Laplace方程的应用也非常广泛。
例如，在电路分析中，Laplace方程可以用来描述电路中的电势分布。
通过求解Laplace方程，我们可以计算出电路中各个节点的电势。
类似地，在热传导问题中，Laplace方程可以用来描述材料内部的温度分布。
通过求解Laplace方程，我们可以计算出材料中不同位置的温度值。
Laplace方程在数学和物理学中具有重要意义。
它的应用范围非常广泛，涵盖了电场分布、热传导、流体力学、弹性力学和量子力学等多个领域。
通过求解Laplace方程，我们可以获得各种问题的解析解，从而更好地理解和解决实际问题。
Laplace方程的研究和应用将继续推动科学和工程领域的发展，为人类的生活和社会进步做出贡献。
