第8章材料非线性问题的有限元法解读
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材料力学有限元法知识点总结
材料力学有限元法知识点总结材料力学是一门研究物质内部结构、性质和变形行为的学科，而有限元法则是一种在工程和科学领域中广泛应用的数值计算方法。
有限元法可以将一个复杂的实体划分为无数小的单元，通过对这些小单元进行分析和计算，最终得到整个实体的力学性质和行为。
本文将对材料力学有限元法的一些核心概念和知识点进行总结。
1. 有限元法基础概念有限元法基于将实际连续的物体离散为有限数量的单元，通过计算每个单元的受力、变形等性质，再通过组合这些单元的结果来近似整个物体的行为。
它包含以下几个基础概念：1.1 单元（Element）：有限元法中的基本组成单元，可以是一维的线段、二维的三角形或四边形，或三维的四面体、六面体等。
1.2 节点（Node）：单元的角点或边上的点，用于定义单元之间的连接关系和边界条件。
1.3 自由度（Degree of Freedom）：每个节点与力学性质相关的物理量，如位移、应力等。
根据问题的不同，在每个节点上可能有一个或多个自由度。
1.4 单元刚度矩阵（Element Stiffness Matrix）：描述单元内部受力和变形关系的矩阵，在有限元法中通过组合所有单元的刚度矩阵来得到整个系统的刚度矩阵。
1.5 全局刚度矩阵（Global Stiffness Matrix）：由所有单元刚度矩阵组合而成的整个系统的刚度矩阵，用于计算节点的位移和应力。
2. 有限元法的数学原理有限元法的数学原理主要基于以下两个方面：2.1 变分原理（Variational Principle）：有限元法的数学基础是根据变分原理推导实现的。
它通过对结构的势能进行变分并进行最小化，得到满足结构力学行为和边界条件的位移和应力场。
2.2 加权残差法（Weighted Residuals Method）：有限元法通过将变分原理中的势能函数展开为一系列基函数的线性组合，并使用权重函数对残差进行加权求和的方式进行近似。
这样可以将求解连续问题转化为离散问题，进而进行数值计算。
有限元 非线性.ppt
d
T
d
H d p
d p
d
p
上式可化为
T
T
H d p
[
D]
E
d
[D]e
d
p
•等效塑性应变增量和总应变增量的关系式
d p
T
De
T
d
d De d dp
H
De
d p
d p
d
De
De
T
T
De
d
H
De
•[D]P
记
Dp
De
T
De
任何具有一阶导数的连续函数Ψ(x)，在xn点的 一阶Taylor展开：
(
x)
(
xn
)
d dx
n
(
x
xn
)
非线性方程Ψ(x)=0在xn附近的近似方程是线性方程
(
xn
)
d dx
n
(
x
xn
)
0
xn1
(
xn
)
/
d dx
n
xn1 xn xn1
Newton-Raphson 迭代公式
➢ 针对结构平衡方程： Ψ(δ)=[K]{δ}-{R}={F (δ) } -{
[D]p
j n
d
V
•初应力转化得到的等效节点荷载，矫正荷载。
例8-1
➢ E，A，L，σs
➢ 杆I弹塑性，杆II弹性。
➢ 求3σsA作用下2点位移。
利用N-R公式，有：
d
d
n
n 1
(
n
)
d
d
KT
KT
n
有限元方法中材料非线性计算综述
6
(non-associated flow)。关联流动中使用了屈服函数 作为流动势 。关 联流动用来描述由位错诱发的塑性流动， ABAQUS® 中除铸铁外的一般金属与 Cam-Clay 土力学模型采用了关联流动的格式。非关联流动在处理摩擦型塑性流 动方面比关联流动更好，Mohr-Coulomb 和 Drucker-Prager 等模型使用了非关联 流动。关联流动集成的刚度矩阵 K ep 是对称矩阵，在材料不出现软化现象的时候
, H 0
(3)
5
其中 H H1 , H 2 , 为后继屈服条件中的内变量，表征了材料的强化、粘性等各种 复杂性质，其表达形式也可以非常复杂。塑性力学中常用的 Tressca 屈服准则和 Mises 屈服准则是 的两种特殊形式。Mises 屈服准则的应用较多一些，其屈 服与金属拉伸试验结果吻合得更好，而且其函数形式比较光滑。 Mises 屈服准则为：
2
Newton-Raphson 方法要求在给定 u 的时候计算的切线刚度 K ep ， K ep f int u u 。
K ep 与材料的状态有关， K ep 的计算将在后文中提及，现在假定在给定 u 的情况下 K ep 已经算出。
(a) Newton-Raphson 法 图1
(b) Quasi-Newton 法
K ep 还是正定的，容易求解。而非关联流动集成的刚度矩阵是不对称的，容易导
致求解失败。 除了以上与率不相关的塑性流动外， 粘塑性计算中需要定义率相关的流动法 则，粘性流动率 通常是与应力相关的。常见的粘塑性流动法则有： Bingham 模型：
k , Mises 0 Mises Mises 0 0,
3
有限元法的基本原理
有限元法的基本原理
有限元法是一种用于求解物体结构和材料行为的数值分析方法。
它将连续的物理问题离散化为一个由一系列小的单元构成的简化模型，每个单元都有自己的特性和行为。
有限元法的基本原理是将物体分割成离散的有限元素，并在每个元素上建立适当的数学模型。
这些数学模型可以描述元素的行为以及相邻元素之间的相互作用。
然后，通过在元素级别上求解这些模型，得到整个物体的行为。
在有限元法中，首先将物体网格化成一系列有限元素。
常用的有限元素包括三角形、四边形和六面体等。
然后，在每个元素上构建适当的数学模型，通常使用微分方程或代数方程来描述元素的行为。
这些方程可以是弹性、塑性、热传导等物理现象的方程。
为了求解整个物体的行为，有限元法需要在每个元素上求解数学模型。
一般来说，这涉及到在每个元素的内部和边界上施加恰当的边界条件，并使用数值方法进行求解。
常用的数值方法包括有限差分方法、有限体积方法和有限元法等。
通过在每个元素上求解数学模型，并根据元素之间的相互作用来求解整个物体的行为，有限元法可以提供物体的应力、应变、位移等各种物理量的分布和变化情况。
这对于分析和设计工程结构、优化材料性能等都具有重要意义。
总的来说，有限元法的基本原理是将物体离散化，并在每个元
素上构建适当的数学模型，然后通过数值方法求解这些模型，以获得整个物体的行为。
它是一种强大的工具，可以在工程和科学领域中广泛应用。
有限元法原理
有限元法原理
有限元法是一种工程计算方法，主要用于求解连续介质的力学问题。
它的基本原理是将连续介质离散成有限个小单元，然后利用有限元的形状函数对每个小单元进行近似，最终利用这些近似解来求解整个连续介质的力学问题。
有限元法的主要思想是将问题的解表示为一个有限个数的基函数的线性组合。
这些基函数与小单元的形状函数相联系，通过对小单元的形状函数进行合适的选取和调整，可以确保解在小单元内满足边界条件。
然后，通过将所有的小单元的解进行组合，就可以得到整个连续介质的解。
在实际的计算中，有限元法通常分为以下几个步骤：首先，需要根据实际问题确定合适的有限元模型，包括选择适当数量和类型的有限元单元。
然后，需要确定边界条件，即确定整个连续介质的边界约束条件。
接下来，根据小单元的形状函数和基函数，可以建立刚度矩阵和荷载向量。
最后，通过求解线性方程组，可以得到整个连续介质的解。
有限元法具有广泛的应用范围，在工程领域中可以用于求解各种静力学、动力学、热力学、流体力学等问题。
它不仅能够提供精确的解，同时也具有较高的计算效率和灵活性。
因此，有限元法已经成为工程计算领域中一种非常重要的数值分析方法。
非线性有限元方法
非线性有限元方法非线性有限元方法是大量应用于工程领域的计算方法，它主要用于求解复杂结构的力学问题，例如材料的变形、破坏和变形控制等。
与线性有限元方法不同，非线性有限元方法考虑因为载荷和边界条件的非线性导致问题的非线性本质，以及材料的非线性行为。
在这篇文章中，我们将讨论非线性有限元方法，包括其应用、工作原理以及其在工程领域中的重要性等内容。
首先，我们来研究一下非线性有限元方法的应用。
非线性有限元方法在许多方面都有应用。
其中最重要的领域是结构力学，包括建筑、航空航天、汽车等领域。
由于这些结构需要承受复杂的载荷，因此非线性有限元方法可以很好地模拟这些结构的行为，预测它们的性能和寿命。
此外，非线性有限元方法还可以应用于材料力学研究中，例如破碎、断裂和塑性变形等方面。
其次，我们来了解一下非线性有限元方法的工作原理。
与线性有限元方法类似，非线性有限元方法通过将结构分成小块进行离散，然后在每个小块中进行力学分析，最后将分析结果合并为整个结构的行为。
但是，与线性有限元方法不同的是，非线性有限元方法考虑到材料的非线性行为，采用迭代的方法计算结构的响应。
通常，在每一次迭代中，我们都将结构的当前状态作为一个初始猜测，然后求解出该状态下的切应力和位移场。
然后我们将这个位移场的结果代入底部，从而更新结构的状态。
如果解决方案收敛，则完成计算，否则就将新的状态再次代入求解。
这种方法的本质是将非线性问题转化为一系列线性问题的求解，通过迭代求解来逼近非线性问题的解。
最后，我们来讨论一下非线性有限元方法在工程领域中的重要性。
非线性有限元方法已成为现代工程设计和分析的不可或缺的工具。
它允许工程师们模拟和预测各种工程机构的行为，以及设计和优化各种结构。
例如，它可以帮助我们了解在不同载荷下建筑和桥梁行为的变化，预测材料的破坏和失效，以及优化汽车和飞机的结构以提高其性能。
总之，非线性有限元方法是一种复杂但十分有用的计算方法，它可以模拟各种结构的行为并预测其性能和寿命。
第8章有限元法的前后处理知识分享
8-2 有限元分析的前处理技术 有限元法的前处理主要有以下内容：
（1）计算模型的几何表示； （2）模型网格的自动分划（或剖分）； （3）刚度矩阵的带宽优化； （4）模型网格图的计算机绘制。
二 有限元网格的自动剖分
有限元网格的自动剖分与计算模型的几何表示方 法有密切的关系。
整体表示的几何模型，适宜于采用整体剖分—— 要用到较多的数学知识。
提出一种减小平均带宽的方法，简称AU算法。 平均带宽的定义：
1ni n1i
式中 n—刚度矩阵的 i — 阶矩 数阵 ； i行 第的带宽。
AU算法的基本步骤： （1）从[B]矩阵中取出相邻的两行列进行交换，
并计算平均带宽。如果满足下列两个条件之一， 则交换有效：
①平均带宽减少；
②平均带宽保持不变，但有较多元素的行从矩阵中心 向外移。
带宽优化的原理：通过调整总刚矩阵中非零元素 的位置，对应地修改单元信息，从而减少刚阵 带宽。
为此引入邻接矩阵[B]，其阶数与刚度矩阵相同， 其中的元素非0即1
1 bij 0
aij 0 aij 0
式中，aij是刚度矩阵中的元素。[B]也具有带状的 样子。
带宽优化有许多实用算法，有些要用到图论或较 深的数学知识。下面介绍两种易于理解的带宽 优化方法，它们都是采用变换邻接矩阵中的行 或列的办法来减少刚阵带宽的。
（2）在一个指定的交换循环内，按(1) ①及(1) ②执 行行列交换，其交换顺序规定为(1,2), (n,n-1), (2,3), (n-1,n-2)…,直至中心行。
（3）如果在一个循环内没有发生交换，或经过经验 次数 3n 100次的循环而平均带宽不减小，交换运 算停止；否则，重复执行(1)、(2)。
上式的解可表示为
231I31I31I31RRRc co coso2s4s333
（1）计算模型的几何表示； （2）模型网格的自动分划（或剖分）； （3）刚度矩阵的带宽优化； （4）模型网格图的计算机绘制。
二 有限元网格的自动剖分
有限元网格的自动剖分与计算模型的几何表示方 法有密切的关系。
整体表示的几何模型，适宜于采用整体剖分—— 要用到较多的数学知识。
提出一种减小平均带宽的方法，简称AU算法。 平均带宽的定义：
1ni n1i
式中 n—刚度矩阵的 i — 阶矩 数阵 ； i行 第的带宽。
AU算法的基本步骤： （1）从[B]矩阵中取出相邻的两行列进行交换，
并计算平均带宽。如果满足下列两个条件之一， 则交换有效：
①平均带宽减少；
②平均带宽保持不变，但有较多元素的行从矩阵中心 向外移。
带宽优化的原理：通过调整总刚矩阵中非零元素 的位置，对应地修改单元信息，从而减少刚阵 带宽。
为此引入邻接矩阵[B]，其阶数与刚度矩阵相同， 其中的元素非0即1
1 bij 0
aij 0 aij 0
式中，aij是刚度矩阵中的元素。[B]也具有带状的 样子。
带宽优化有许多实用算法，有些要用到图论或较 深的数学知识。下面介绍两种易于理解的带宽 优化方法，它们都是采用变换邻接矩阵中的行 或列的办法来减少刚阵带宽的。
（2）在一个指定的交换循环内，按(1) ①及(1) ②执 行行列交换，其交换顺序规定为(1,2), (n,n-1), (2,3), (n-1,n-2)…,直至中心行。
（3）如果在一个循环内没有发生交换，或经过经验 次数 3n 100次的循环而平均带宽不减小，交换运 算停止；否则，重复执行(1)、(2)。
上式的解可表示为
231I31I31I31RRRc co coso2s4s333
非线性有限元解法
于是方程的解为 u ( KT ( un ,n ))1( R ( un ,n )) ( KT ( un ,n ))1( n1R P( un ))
(9)
(10 )
•在增量方法中通常引入载荷因子λ,用 R R表示载荷， 于是非线性有限
元方程可写成： ( u, ) P( u ) R 0
(1)
用载荷因子λ系列： 0 0 1 2 M 1
(2)
相应于不同的载荷。
若相应于载荷因子 n 的解已经求得，记为 u un ，则 ( un ,n ) P( un ) n R 0
KT n
KT ( un
)
un
(8)
un1 un un
其收敛判据与直接迭代法的收敛判据雷同。
非线性有限元方程组的解法（增量法）
•求解非线性方程组的另一类方法是增量方法。使用增量方法的一个优点是 可以得到整个载荷变化过程的一些中间的数值结果。当问题的性质与加载的 历史有关时，例如弹塑性问题，则必须采用增量方法。
u1 ( K1 )1 R
据此容易写出直接迭代法的迭代公式：
Kn K( un )
un1 ( K n )|1 R
(2)
按照这种迭代公式可以得到一个解数列 { un } ，当这个数列收敛时停止计
算，其数列收敛值就是方程（1）的解。
非线性有限元方程组的解法（直接迭代法）
关于数列收敛的判据，可以采用各种各样的范数定义和收敛判据。若设第 n
( un ) K( un )un R 0
(7)
该值可作为对偏离平衡的一种度量（称为失衡力），收敛判据可相应地取为：
( un ) R
(8)
（失衡力收敛判据）
非线性有限元方程组的解法（牛顿法）
把非线性有限元方程记为： ( u ) P( u ) R 0 (1)
(9)
(10 )
•在增量方法中通常引入载荷因子λ,用 R R表示载荷， 于是非线性有限
元方程可写成： ( u, ) P( u ) R 0
(1)
用载荷因子λ系列： 0 0 1 2 M 1
(2)
相应于不同的载荷。
若相应于载荷因子 n 的解已经求得，记为 u un ，则 ( un ,n ) P( un ) n R 0
KT n
KT ( un
)
un
(8)
un1 un un
其收敛判据与直接迭代法的收敛判据雷同。
非线性有限元方程组的解法（增量法）
•求解非线性方程组的另一类方法是增量方法。使用增量方法的一个优点是 可以得到整个载荷变化过程的一些中间的数值结果。当问题的性质与加载的 历史有关时，例如弹塑性问题，则必须采用增量方法。
u1 ( K1 )1 R
据此容易写出直接迭代法的迭代公式：
Kn K( un )
un1 ( K n )|1 R
(2)
按照这种迭代公式可以得到一个解数列 { un } ，当这个数列收敛时停止计
算，其数列收敛值就是方程（1）的解。
非线性有限元方程组的解法（直接迭代法）
关于数列收敛的判据，可以采用各种各样的范数定义和收敛判据。若设第 n
( un ) K( un )un R 0
(7)
该值可作为对偏离平衡的一种度量（称为失衡力），收敛判据可相应地取为：
( un ) R
(8)
（失衡力收敛判据）
非线性有限元方程组的解法（牛顿法）
把非线性有限元方程记为： ( u ) P( u ) R 0 (1)
材料非线性问题的有限元
一、材料非线性问题的有限单元法1．1 引言以前各章所讨论的均是线性问题。
线弹性力学基本方程的特点是1．几何方程的应变和位移的关系是线性的。
2．物性方程的应力和应变的关系是线性的。
3．建立于变形前状态的平衡方程也是线性的。
但是在很多重要的实际问题中，上述线性关系不能保持。
例如在结构的形状有不连续变化（如缺口、裂纹等）的部位存在应力集中，当外载荷到达一定数值时该部位首先进入塑性，这时在该部位线弹性的应力应变关系不再适用，虽然结构的其他大部分区域仍保持弹性。
又如长期处于高温条件下工作的结构，将发生蠕变变形，即在载荷或应力保持不变的情况下，变形或应变仍随着时间的进展而继续增长，这也不是线弹性的物性方程所能描述的。
上述现象都属于材料非线性范畴内所要研究的问题。
工程实际中还存在另一类所谓几何非线性问题。
例如板壳的大挠度问题，材料锻压成型过程的大应变问题等，这时需要采用非线性的应变和位移关系，平衡方程也必须建立于变形后的状态以考虑变形对平衡的影响。
由于非线性问题的复杂性，利用解析方法能够得到的解答是很有限的。
随着有限单元法在线性分析中的成功应用，它在非线性分析中的应用也取得了很大的进展，已经获得了很多不同类型实际问题的求解方案。
材料非线性问题的处理相对比较简单，不需要重新列出整个问题的表达格式，只要将材料本构关系线性化，就可将线性问题的表达格式推广用于非线性分析。
一般说，通过试探和迭代的过程求解一系列线性问题，如果在最后阶段，材料的状态参数被调整得满足材料的非线性本构关系，则最终得到问题的解答。
几何非线性问题比较复杂，它涉及非线性的几何关系和依赖于变形的平衡方程等问题，因此，表达格式和线性问题相比，有很大的改变，这将在下一章专门讨论。
这两类非线性问题的有限元格式都涉及求解非线性代数方程组，所以在本章开始对非线性代数方程组的求解作—一般性的讨论。
这对下一章也是必要的准备。
正如在前面已指出的，材料非线性问题可以分为两类。
有限元求解非线性问题
• 在加工、密封、撞击等问题中，接触和摩擦的作 用不可忽视，接触边界属于高度非线性边界。
• 平时遇到的一些接触问题，如齿轮传动、冲压成 型、轧制成型、橡胶减振器、紧配合装配等，当 一个结构与另一个结构或外部边界相接触时通常 要考虑非线性边界条件。 • 实际的非线性可能同时出现上述两种或三种非线 性问题。
由于从理论上还丌能提供能普遍接受的据有时非线性材料特性可用数学模型迚行模拟尽管这些模型总有他们的局限性
有限元求解非线性问题
元计算科技发展有限公司
1）材料非线性问题
• 材料的应力和应变是非线性的，但应力与应变却 很微小，此时应变与位移呈线性关系，这类问题 属于材料的非线性问题。由于从理论上还不能提 供能普遍接受的本构关系，所以，一般材料的应 力与应变之间的非线性关系要基于试验数据，有 时非线性材料特性可用数学模型进行模拟，尽管 这些模型总有他们的局限性。在工程实际中较为 重要的材料非线性问题有：非线性弹性（包括分 段线弹性）、弹塑性、粘塑性及蠕变等。
2）几何非线性问题，几何非线性问题是由于 位移之间存在非线性关系引起的
• 当物体的位移较大时，应变与位移的关系是非线 性关系。研究这类问题一般都是假定材料的应力 和应变呈线性关系。它包括大位移大应变及大位 移小应变问题。如结构的弹性屈曲问题属于大位 移小应变问题，橡胶部件形成过程为大应变问题 。
3）非线性边界问题
Thanks！
• 平时遇到的一些接触问题，如齿轮传动、冲压成 型、轧制成型、橡胶减振器、紧配合装配等，当 一个结构与另一个结构或外部边界相接触时通常 要考虑非线性边界条件。 • 实际的非线性可能同时出现上述两种或三种非线 性问题。
由于从理论上还丌能提供能普遍接受的据有时非线性材料特性可用数学模型迚行模拟尽管这些模型总有他们的局限性
有限元求解非线性问题
元计算科技发展有限公司
1）材料非线性问题
• 材料的应力和应变是非线性的，但应力与应变却 很微小，此时应变与位移呈线性关系，这类问题 属于材料的非线性问题。由于从理论上还不能提 供能普遍接受的本构关系，所以，一般材料的应 力与应变之间的非线性关系要基于试验数据，有 时非线性材料特性可用数学模型进行模拟，尽管 这些模型总有他们的局限性。在工程实际中较为 重要的材料非线性问题有：非线性弹性（包括分 段线弹性）、弹塑性、粘塑性及蠕变等。
2）几何非线性问题，几何非线性问题是由于 位移之间存在非线性关系引起的
• 当物体的位移较大时，应变与位移的关系是非线 性关系。研究这类问题一般都是假定材料的应力 和应变呈线性关系。它包括大位移大应变及大位 移小应变问题。如结构的弹性屈曲问题属于大位 移小应变问题，橡胶部件形成过程为大应变问题 。
3）非线性边界问题
Thanks！
非线性结构有限元分析课件
非线性结构有限元分析的步骤与流程
• 设定边界条件和载荷，如固定约束、压力 或力矩等。
非线性结构有限元分析的步骤与流程
01 步骤三：求解
02
选择合适的求解器，如Newton-Raphson迭代法或 直接积分法。
03 进行迭代计算，求解非线性结构的内力和变形。
非线性结构有限元分析的步骤与流程
01
步骤四：后处理
非线性有限元分析的基本概念
总结词
非线性有限元分析是一种数值分析方法，通过将复杂的结构或系统离散化为有限个小的单元，并建立 每个单元的数学模型，来模拟和分析结构的非线性行为。
详细描述
非线性有限元分析是一种基于离散化的数值分析方法，通过将复杂的结构或系统划分为有限个小的单 元（或称为有限元），并建立每个单元的数学模型，来模拟和分析结构的非线性行为。这种方法能够 考虑各种复杂的边界条件和材料特性，提供更精确的数值结果。
非线性有限元分析的常用方法
总结词
非线性有限元分析的常用方法包括迭代法、增量法、 降维法等。这些方法可以根据不同的非线性问题选择 使用，以达到更好的分析效果。
详细描述
在非线性有限元分析中，常用的方法包括迭代法、增量 法、降维法等。迭代法是通过不断迭代更新有限元的位 移和应力，逐步逼近真实解的方法；增量法是将总载荷 分成若干个小的增量，对每个增量进行迭代计算，最终 得到结构的总响应；降维法则是通过引入一些简化的假 设或模型，将高维的非线性问题降维处理，以简化计算 和提高计算效率。这些方法各有优缺点，应根据具体的 非线性问题选择使用。
03
02
弹性后效
材料在卸载后发生的变形延迟现象。
材料强化
材料在受力过程中发生的强度增加 现象。
04
非线性有限元解法
现在设
u un
是方程（1）的第 n 次近似解。一般地，这时
( un ) P( un ) R 0
该值可作为对偏离平衡的一种度量（称为失衡力）。设修正值为 此时新的近似解为：
(2)
un
(3)
，
u un1 u n un
将（3）代入（1）中并在 u un 附近将 ( un un ) 泰勒（Taylor)展开： (4) ( un un ) ( un ) un un (5) n 若记 K K (u )
un un1 u n
范数的定义可取 或
(3) (4)
un max{ un }
un [{ un }t { un } ] 1/ 2
于是收敛判据可取为： un un （位移收敛判据） 在这里注意到，对于非线性方程（1），将 un 代入一般不是严格满足的，即
(5) (6)
( u ) K ( u )u R 0
非线性有限元方程组的解法
• 对于线弹性小变形问题，其有限元方程组是线性的
Ku R 0
• 其解答利用直接方法很容易得到 u K 1R • 但是对于非线性有限元方程组则不能利用直接方法 得到其解答。 • 一般地说，不能期望得到非线性方程组的精确界。 • 通常利用各种数值方法，用一系列的线性方程组去 逼近非线性方程组的解。
现在来求相应于载荷因子为1 n 时的解。 设 un1 un u 为其解， n 于是有 ( un u,n ) P( un u ) ( n )R 0 (4)
将 ( un u,n ) 在 un , n 处泰勒展开得
T T n
可得 n 1 n 1 从而可解出修正量 un 为 un ( K T ) ( un ) ( K T ) ( R P( un ))
非线性有限元
Ki-1
（三）混合法 如对同一非线性方程组混合使用增量
法和迭代法，则称为混合法或逐步迭代法。 一般在总体上采用Euler增量法，而在
同一级荷载增量内，采用迭代法。
Ki-1
刚度的取值可根据给定的应力-应变曲 线导出。若每级计算都采用上一级增量计算 终了时的刚度值，则称为始点刚度法。
Ki-1
始点刚度法类似于解微分方程初值问题 的欧拉(Euler)折线法，计算方法简单但计算 精度较低，容易“漂移”。
若采用中点刚度法则可以提高精度。该 法类似于解常微分方程初值问题的龙格-库塔 （Runge-Kutta）法，包括中点切线刚度法 和中点平均刚度法。
(1) 直接迭代法 对非线性方程组
设其初始的近似解为 ，由此确定近似的
矩阵
可得出改进的近似解
重复这一过程，以第i次近似解求出第i＋1 次近似解的迭代公式为直接迭代法
对非线性方程组
直到 变得充分小，即近似解收敛时，终止迭代。
在迭代过程中,得到的近似解一般不会满足 作为对平衡偏离的一种度量，称为失衡力。
q-Newton—Raphson迭代法的计算过程
（2）初应力法 如果在弹性材料内确实存在初应力 ，则材料的应力应变关系为
由上式及虚功原理可导出单元的结点力为
集合单元得出以下的有限元方程 式中， 为由初应力 引起的等效结点荷载
初应力法就是将初应力看作是变化的， 以此来反映应力和应变之间的非线性关系。 通过不断地调整初应力，使线弹性解逼近非 线性解。
接触非线性 由于接触体的变形和接触边界的摩擦作用，
使得部分边界条件随加载过程而变化，且不 可恢复。这种由边界条件的可变性和不可逆 性产生的非线性问题，称为接触非线性。
材科非线性有限元法 材料非线性是由本构关系的非线性引
（三）混合法 如对同一非线性方程组混合使用增量
法和迭代法，则称为混合法或逐步迭代法。 一般在总体上采用Euler增量法，而在
同一级荷载增量内，采用迭代法。
Ki-1
刚度的取值可根据给定的应力-应变曲 线导出。若每级计算都采用上一级增量计算 终了时的刚度值，则称为始点刚度法。
Ki-1
始点刚度法类似于解微分方程初值问题 的欧拉(Euler)折线法，计算方法简单但计算 精度较低，容易“漂移”。
若采用中点刚度法则可以提高精度。该 法类似于解常微分方程初值问题的龙格-库塔 （Runge-Kutta）法，包括中点切线刚度法 和中点平均刚度法。
(1) 直接迭代法 对非线性方程组
设其初始的近似解为 ，由此确定近似的
矩阵
可得出改进的近似解
重复这一过程，以第i次近似解求出第i＋1 次近似解的迭代公式为直接迭代法
对非线性方程组
直到 变得充分小，即近似解收敛时，终止迭代。
在迭代过程中,得到的近似解一般不会满足 作为对平衡偏离的一种度量，称为失衡力。
q-Newton—Raphson迭代法的计算过程
（2）初应力法 如果在弹性材料内确实存在初应力 ，则材料的应力应变关系为
由上式及虚功原理可导出单元的结点力为
集合单元得出以下的有限元方程 式中， 为由初应力 引起的等效结点荷载
初应力法就是将初应力看作是变化的， 以此来反映应力和应变之间的非线性关系。 通过不断地调整初应力，使线弹性解逼近非 线性解。
接触非线性 由于接触体的变形和接触边界的摩擦作用，
使得部分边界条件随加载过程而变化，且不 可恢复。这种由边界条件的可变性和不可逆 性产生的非线性问题，称为接触非线性。
材科非线性有限元法 材料非线性是由本构关系的非线性引
有限元法的基本原理
有限元法的基本原理有限元法（Finite Element Method, FEM）是一种数值分析方法，用于求解边界值问题和偏微分方程。
它将连续的物理问题离散化为有限数量的小区域，通过对每个小区域进行数学建模和计算，最终得到整个问题的近似解。
有限元法在工程、物理学、地质学、生物学等领域都有着广泛的应用。
有限元法的基本原理可以分为以下几个步骤，建立数学模型、离散化、建立方程、求解方程、后处理。
下面将逐一介绍这些步骤。
首先，建立数学模型。
将实际问题抽象为数学模型是使用有限元法的第一步。
这需要对问题进行合理的假设和简化，以便将其表达为数学形式。
例如，对于结构力学问题，可以假设材料是均匀、各向同性的，结构是线性弹性的。
然后，将问题的几何形状、材料性质、边界条件等信息输入模型中。
其次，离散化。
将连续的问题划分为有限数量的小区域，即有限元。
这需要选择合适的离散化方法和网格划分技术，以确保模型的准确性和计算效率。
通常情况下，问题的复杂性会决定有限元的数量和类型。
然后，建立方程。
利用变分原理或最小势能原理，可以得到问题的弱形式，再通过有限元离散化，得到线性方程组。
这些方程通常是大型、稀疏的，需要采用合适的数值方法进行求解，如直接法、迭代法等。
接着，求解方程。
通过数值计算方法，求解得到方程组的近似解。
在这一步中，需要考虑数值稳定性、收敛性和计算精度等问题，以确保结果的可靠性。
最后，进行后处理。
对求解得到的数值结果进行分析和解释，得出对实际问题有意义的结论。
这包括计算应力、应变、位移等物理量，评估结构的安全性和稳定性，优化设计等。
总之，有限元法是一种强大的数值分析工具，可以有效地解决各种工程和科学问题。
通过建立数学模型、离散化、建立方程、求解方程和后处理，可以得到问题的近似解，并为实际工程和科学研究提供有力的支持。
材料非线性有限元分析
1 ijkl
e p 1 d ij d ij d ij Dijkl d kl f , ij d
A f , p Dijkl f , kl M
ij
dij ( D
dij ( D
1 ijkl
H (l ) f , ij f , kl )d kl Dep1,ijkl d kl A
1 J 2 [( 1 2 ) 2 ( 2 3 ) 2 ( 3 1 ) 2 ] 6 2 2
随动强化的米塞斯屈服准则
这种材料的屈服面方程为
p ij 1 1 p p f ( sij , , k ) [ ( sij ij )( sij ij )] 2 0 0 2
kk pp
纯剪
单向拉伸
Gp是塑性剪切 模量
Ep是塑性拉伸 模量
A f , p Dijkl f , kl M
ij
f , kl Dijkl f , kl
s ij G 2J 2G s ij G 2 2 2
由此可得A=G+Gp（或A=G+Ep/3），又因 1 1G G p Dijkl Dijkl f , kl Dklij f , kl sij skl A A 1 G G G 2 s ij s ij s kl s 2 kl G Gp G Gp p p d ij Dijkl d kl 由此可得弹塑性矩阵为
J 2 sij sij / 2
，因此
由于偏张量第一不变量＝0
J1 sii 0
1 2 2 2 J 2 [( s11 s22 ) 2 ( s22 s33 ) 2 ( s33 s11 ) 2 ] s12 s23 s31 6
e p 1 d ij d ij d ij Dijkl d kl f , ij d
A f , p Dijkl f , kl M
ij
dij ( D
dij ( D
1 ijkl
H (l ) f , ij f , kl )d kl Dep1,ijkl d kl A
1 J 2 [( 1 2 ) 2 ( 2 3 ) 2 ( 3 1 ) 2 ] 6 2 2
随动强化的米塞斯屈服准则
这种材料的屈服面方程为
p ij 1 1 p p f ( sij , , k ) [ ( sij ij )( sij ij )] 2 0 0 2
kk pp
纯剪
单向拉伸
Gp是塑性剪切 模量
Ep是塑性拉伸 模量
A f , p Dijkl f , kl M
ij
f , kl Dijkl f , kl
s ij G 2J 2G s ij G 2 2 2
由此可得A=G+Gp（或A=G+Ep/3），又因 1 1G G p Dijkl Dijkl f , kl Dklij f , kl sij skl A A 1 G G G 2 s ij s ij s kl s 2 kl G Gp G Gp p p d ij Dijkl d kl 由此可得弹塑性矩阵为
J 2 sij sij / 2
，因此
由于偏张量第一不变量＝0
J1 sii 0
1 2 2 2 J 2 [( s11 s22 ) 2 ( s22 s33 ) 2 ( s33 s11 ) 2 ] s12 s23 s31 6
第8章 材料非线性问题的有限元法
非线性问题经有限元法离散后，得到如下形式的一组代数方程
Ψ ( ) K ({ }){ } { f } 0
即刚度方程[K]是节点位移向量{δ}的函数。 材料非线性问题是由材料非线性应力应变关系引起的，通常表 现为非线性弹性问题和弹塑性问题，此外还有与时间有关的应 力应变关系。 非线性弹性问题和弹塑性问题的塑性阶段呈现非线性物理性质。 加载过程时，这两类问题的非线性性质是一样的。不同之处在 于两点：一是弹塑性材料有一个从弹性到塑性的折点，二是卸 载过程两者有完全不同的路径。 在常应力状态下，变形随时间变化的特性成为粘性，变形随时 间变化的现象称为徐变（蠕变）。这类问题包括粘弹性问题、 粘弹塑性问题、徐变问题。
＝ [( 1 2 ) 2 ( 2 3 ) 2 ( 3 1 ) 2 ] / 2
2 2 2 2 ＝ ( x y ) 2 ( y z ) 2 ( z x ) 2 6( xy yz zx ) 2
则米赛斯屈服条件是 应力偏量 为：
7.1 材料非线性问题的求解方法
前面各章中，我们所讨论的问题都是线弹性力学问题。在线弹 性力学中，位移与应变的关系（几何方程）是线性的，应变与 应力的关系（本构方程）也是线性的。
1 表征材料应力应变关系的本构方程是线性的； 2 描述应变与位移关系的几何方程是线性的； 3 以变形前的状态建立的平衡方程仍适用于变形后的体系． 但是，工程中的许多问题的位移与应变、应变与应力的关系不 满足上述线性关系，呈非线性状态。通常把不满足条件 1 的称 为材料非线性，把不满足条件2，3的称为几何非线性。
因此，非线性方程Y(x)=0在xn附近的近似方程是线性方程
dY Y ( x) Y ( xn ) ( x xn )＝0 dx n
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第7章 非线性有限元
——材料非线性问题
1. 材料非线性问题的求解方法 2. 塑性应力应变关系 3. 弹塑性矩阵的表达式 4. 弹塑性问题的求解方法 5. 弹塑性问题的实例计算
7.1 材料非线性问题的求解方法
前面各章中，我们所讨论的问题都是线弹性力学问题。在线弹 性力学中，位移与应变的关系（几何方程）是线性的，应变与 应力的关系（本构方程）也是线性的。
(x
xn
)＝0
它的解是
Δx
Y
( xn
)
/(
dY dx
)n；
xn1 xn＋Δxn1
这就是牛顿－拉斐逊方法的迭代公式。
牛顿－拉斐逊方法的迭代过程如图7.1(a)所示，它要求在每 次迭代时计算 Y '(x) dY (x) / dx ，因此计算工作量巨大。
修正的牛顿－拉斐逊方法 迭代公式是
Δx
Y
( xn
dY ＝dF
d d
KT
式中，KT是曲线F＝Kδ的斜率，代表切 线刚度。第二步，从B1点作曲线F＝Kδ 的切线交直线F＝R于A2点，取A2点的横 坐标是δ2。从图中看出
A1B1 /(2 1)＝(KT )1
由于 A1B1＝R F(1)；2 1 (Δ )2
得
A1B1＝(KT )（1 Δ）2＝R F(1)
f ({σ},{ε}) 0
(7.2)
必须注意，由于小变形的关系，应力形式的平衡方程仍然是线 性的，但是以结点位移列阵{δ} 表示的平衡方程则不再是线性的 了。因为应力{σ}和应变{ε} 之间是非线性的，从而应力{σ}与位 移{δ}之间也是非线性的；于是(7.1)式可以写成
K({δ}){δ}{R} 0
(7.3)
1 牛顿-拉斐逊（Newton-Raphson）法
任何具有一阶导数的连续函数Y(x)，在xn点作一阶泰勒级数展开， 它在xn点的线性近似公式是
Y
(x)
Y
( xn
)
dY dx
n
(x
xn
)
因此，非线性方程Y(x)=0在xn附近的近似方程是线性方程
Y (x)
Y
( xn
)
dY dx
n
[K]n1{}n {R}
迭代步骤 如图7.3。
(7.5) (7.6)
(2) 切线刚度法 设材料的应力应变关系表示为增量形式
d{} [DT ({})]d{}
就可以利用切线刚度法，[DT ({})] 是切线弹
性矩阵。把公式（7.1）改写成
{Y ({})} [B]T{σ}dV {R} 0 (7.7) 考虑由于增量d{δ}引起{Y}的变化。因为 {R}与{δ}无关，则
非线性问题经有限元法离散后，得到如下形式的一组代数方程
Ψ ( ) K({}){}{ f } 0
即刚度方程[K]是节点位移向量{δ}的函数。
材料非线性问题是由材料非线性应力应变关系引起的，通常表 现为非线性弹性问题和弹塑性问题，此外还有与时间有关的应 力应变关系。
非线性弹性问题和弹塑性问题的塑性阶段呈现非线性物理性质。 加载过程时，这两类问题的非线性性质是一样的。不同之处在 于两点：一是弹塑性材料有一个从弹性到塑性的折点，二是卸 载过程两者有完全不同的路径。
2 变刚度法 (1) 割线刚度法 如果材料的应力应变关系能够表示成如 下形式
{} [D{}]{}
于是由(1.2)式，上式可以写成
{} [D({})][B]{} [D({})][B]{}
把上式代入(7.1)式，并利用(7.3)式，得
[K({R})] [B]T[D({})][B]dV
把(7.3)式写成迭代公式
)
/(
dY dx
)
；
0
xn1 x＋Δxn1
在每次迭代时Y’(x)值是不变的，迭代过程如图7.1(b)所示。
牛顿－拉斐逊方法求解平衡方程的迭代过程
结构的平衡方程式为
K({δ}){δ}{R} 0
(7.4)
简单起见，考虑单自由度系统。设Y(δ)=K(δ)δ－R＝0，因为
K是δ的函数，即K＝K(δ)。令F(δ)＝Kδ，于是
把上式和(e)式比较可以看出，δ2就是位移的第二次近似。 如此不断重复，则得迭代公式如下
(KT )（n Δ）n1＝R F(n )；n1 n （Δ）n1
因此，图7.2(a) 就是求解 (7.3) 式 的图解表示。由于KT表示结构的切线 刚度，因而牛顿—拉斐逊方法也称为 切线刚度法。
同样，修正的牛顿－拉斐逊方法 可以用图7.2 (b) 表示。由于每次迭代 不改变它的刚度值，所以也称为等刚 度法。
Y ( ) F{δ}{R} 0
用牛顿－拉斐逊方法求非线性方程Y(δ)＝0的根，(7.1)式的 迭代公式可以写成
(
dY
d
)n
Δ n1
R
F
(
n
)；
n1 n＋Δ n1
(e)
我们来叙述牛顿—拉斐逊方法求解(7.3)式的图解表示。
在图7.2中，给出了牛顿—拉斐逊迭代方法。曲线F＝Kδ和 直线F＝R的交点A的横坐标是(7.3)式的精确解。迭代开始时按线 性理论求解位移δ1 作为第一次近似值，即图7.2a 中A1 点的横坐 标。如果载荷R不因变形而改变它的大小和方向，则有
d{Y ({})} [B]T d{σ}dV
( [B]T[DT ({})][B]dV )d{} [KT ]d{}
切线刚度矩阵
[KT ] [B]T[DT ({})][B]dV
利用牛顿—拉斐逊方法，得到迭代公式
[KT ]n { }n1 {Y}n
[B]T{σ}n dV {R}；{}n1 {}n {}n1
(7.8)
( 7.9)
3 初应力法
设材料的物理方程取为
{} f ({}) (7.10)
即由给定的应变值确定相应的应力值。上式可用具有初应力的
在常应力状态下，变形随时间变化的特性成为粘性，变形随时 间变化的现象称为徐变（蠕变）。这类问题包括粘弹性问题、 粘弹塑性问题、徐变问题。
对于材料非线性问题进行有限元分析，由于考虑的是小变形， 平衡方程和几何关系依然成立，即
[B]T{σ}dV {R}
(7.1)
{ε} [B]{δ}
但是物理方程是非线性的，可以写成如下的一般形式
1 表征材料应力应变关系的本构方程是线性的； 2 描述应变与位移关系的几何方程是线性的； 3 以变形前的状态建立的平衡方程仍适用于变形后的体系．
但是，工程中的许多问题的位移与应变、应变与应力的关系不 满足上述线性关系，呈非线性状态。通常把不满足条件 1 的称 为材料非线性，把不满足条件2，3的称为几何非线性。
——材料非线性问题
1. 材料非线性问题的求解方法 2. 塑性应力应变关系 3. 弹塑性矩阵的表达式 4. 弹塑性问题的求解方法 5. 弹塑性问题的实例计算
7.1 材料非线性问题的求解方法
前面各章中，我们所讨论的问题都是线弹性力学问题。在线弹 性力学中，位移与应变的关系（几何方程）是线性的，应变与 应力的关系（本构方程）也是线性的。
(x
xn
)＝0
它的解是
Δx
Y
( xn
)
/(
dY dx
)n；
xn1 xn＋Δxn1
这就是牛顿－拉斐逊方法的迭代公式。
牛顿－拉斐逊方法的迭代过程如图7.1(a)所示，它要求在每 次迭代时计算 Y '(x) dY (x) / dx ，因此计算工作量巨大。
修正的牛顿－拉斐逊方法 迭代公式是
Δx
Y
( xn
dY ＝dF
d d
KT
式中，KT是曲线F＝Kδ的斜率，代表切 线刚度。第二步，从B1点作曲线F＝Kδ 的切线交直线F＝R于A2点，取A2点的横 坐标是δ2。从图中看出
A1B1 /(2 1)＝(KT )1
由于 A1B1＝R F(1)；2 1 (Δ )2
得
A1B1＝(KT )（1 Δ）2＝R F(1)
f ({σ},{ε}) 0
(7.2)
必须注意，由于小变形的关系，应力形式的平衡方程仍然是线 性的，但是以结点位移列阵{δ} 表示的平衡方程则不再是线性的 了。因为应力{σ}和应变{ε} 之间是非线性的，从而应力{σ}与位 移{δ}之间也是非线性的；于是(7.1)式可以写成
K({δ}){δ}{R} 0
(7.3)
1 牛顿-拉斐逊（Newton-Raphson）法
任何具有一阶导数的连续函数Y(x)，在xn点作一阶泰勒级数展开， 它在xn点的线性近似公式是
Y
(x)
Y
( xn
)
dY dx
n
(x
xn
)
因此，非线性方程Y(x)=0在xn附近的近似方程是线性方程
Y (x)
Y
( xn
)
dY dx
n
[K]n1{}n {R}
迭代步骤 如图7.3。
(7.5) (7.6)
(2) 切线刚度法 设材料的应力应变关系表示为增量形式
d{} [DT ({})]d{}
就可以利用切线刚度法，[DT ({})] 是切线弹
性矩阵。把公式（7.1）改写成
{Y ({})} [B]T{σ}dV {R} 0 (7.7) 考虑由于增量d{δ}引起{Y}的变化。因为 {R}与{δ}无关，则
非线性问题经有限元法离散后，得到如下形式的一组代数方程
Ψ ( ) K({}){}{ f } 0
即刚度方程[K]是节点位移向量{δ}的函数。
材料非线性问题是由材料非线性应力应变关系引起的，通常表 现为非线性弹性问题和弹塑性问题，此外还有与时间有关的应 力应变关系。
非线性弹性问题和弹塑性问题的塑性阶段呈现非线性物理性质。 加载过程时，这两类问题的非线性性质是一样的。不同之处在 于两点：一是弹塑性材料有一个从弹性到塑性的折点，二是卸 载过程两者有完全不同的路径。
2 变刚度法 (1) 割线刚度法 如果材料的应力应变关系能够表示成如 下形式
{} [D{}]{}
于是由(1.2)式，上式可以写成
{} [D({})][B]{} [D({})][B]{}
把上式代入(7.1)式，并利用(7.3)式，得
[K({R})] [B]T[D({})][B]dV
把(7.3)式写成迭代公式
)
/(
dY dx
)
；
0
xn1 x＋Δxn1
在每次迭代时Y’(x)值是不变的，迭代过程如图7.1(b)所示。
牛顿－拉斐逊方法求解平衡方程的迭代过程
结构的平衡方程式为
K({δ}){δ}{R} 0
(7.4)
简单起见，考虑单自由度系统。设Y(δ)=K(δ)δ－R＝0，因为
K是δ的函数，即K＝K(δ)。令F(δ)＝Kδ，于是
把上式和(e)式比较可以看出，δ2就是位移的第二次近似。 如此不断重复，则得迭代公式如下
(KT )（n Δ）n1＝R F(n )；n1 n （Δ）n1
因此，图7.2(a) 就是求解 (7.3) 式 的图解表示。由于KT表示结构的切线 刚度，因而牛顿—拉斐逊方法也称为 切线刚度法。
同样，修正的牛顿－拉斐逊方法 可以用图7.2 (b) 表示。由于每次迭代 不改变它的刚度值，所以也称为等刚 度法。
Y ( ) F{δ}{R} 0
用牛顿－拉斐逊方法求非线性方程Y(δ)＝0的根，(7.1)式的 迭代公式可以写成
(
dY
d
)n
Δ n1
R
F
(
n
)；
n1 n＋Δ n1
(e)
我们来叙述牛顿—拉斐逊方法求解(7.3)式的图解表示。
在图7.2中，给出了牛顿—拉斐逊迭代方法。曲线F＝Kδ和 直线F＝R的交点A的横坐标是(7.3)式的精确解。迭代开始时按线 性理论求解位移δ1 作为第一次近似值，即图7.2a 中A1 点的横坐 标。如果载荷R不因变形而改变它的大小和方向，则有
d{Y ({})} [B]T d{σ}dV
( [B]T[DT ({})][B]dV )d{} [KT ]d{}
切线刚度矩阵
[KT ] [B]T[DT ({})][B]dV
利用牛顿—拉斐逊方法，得到迭代公式
[KT ]n { }n1 {Y}n
[B]T{σ}n dV {R}；{}n1 {}n {}n1
(7.8)
( 7.9)
3 初应力法
设材料的物理方程取为
{} f ({}) (7.10)
即由给定的应变值确定相应的应力值。上式可用具有初应力的
在常应力状态下，变形随时间变化的特性成为粘性，变形随时 间变化的现象称为徐变（蠕变）。这类问题包括粘弹性问题、 粘弹塑性问题、徐变问题。
对于材料非线性问题进行有限元分析，由于考虑的是小变形， 平衡方程和几何关系依然成立，即
[B]T{σ}dV {R}
(7.1)
{ε} [B]{δ}
但是物理方程是非线性的，可以写成如下的一般形式
1 表征材料应力应变关系的本构方程是线性的； 2 描述应变与位移关系的几何方程是线性的； 3 以变形前的状态建立的平衡方程仍适用于变形后的体系．
但是，工程中的许多问题的位移与应变、应变与应力的关系不 满足上述线性关系，呈非线性状态。通常把不满足条件 1 的称 为材料非线性，把不满足条件2，3的称为几何非线性。