计算投影变形实例

高斯投影长度变形公式
长度变形来源于以下两个方面
1、实地测量的边长长度换算到椭球面上产生的变形，即∆s1；
改正数误差方程式(此式较复杂这里省略)经最小二乘列出误差方程式,按级数展开后取其主项(其它项的影响甚微可忽略不计)：
∆s1=−H m
R A
s（1）式中：R A—长度所在方向的椭球曲率半径；
H m—长度所在高程面对于椭球面的平均高程；
s—实地测量的水平距离。

2、椭球面上的长度投影至高斯平面
∆s2=+y m2
2R2
s0（2）式中：R—测区中点的平均曲率半径；
y m—距离的2端点横坐标平均值；
s0—为归算到椭球面上的长度。

在不影响推证严密性的前提下取， R A=R，s=s0，综合上两式可得,综合长度变形∆s为：
∆s=−H m
R
s+
y m2
2R2
s。

线路工程控制测量投影变形问题分析和探讨摘要：介绍了线路工程控制测量中应考虑的变形因素，以及减少长度变形的几种常用手段，举例分析了某原水管道连通工程控制测量在地方城建坐标系下采用建立“抵偿高程面”的具体方法，并以实际数据验证其有效性。

关键词：控制测量长度变形抵偿变形投影带抵偿高程面1.问题的提出依据我国的工程测量规范规定，建立平面控制网的坐标系统应该保证长度综合变形不超过2.5cm/km.（相对变形不超过1/40000）。

在线路工程控制测量中，长度变形是一个不可以避免的问题，我们可以采取一些技术手段来使长度变形减弱，将长度变形控制在允许的范围之内，使平面控制点坐标反算边的长度与实地量测的长度相符，以满足工程测量规范的要求。

2.长度投影变形分析由参考文献：2可知，投影变形主要由于以下两种因素引起的：2.1参考椭球面归算变形因素：（1）式中，为平均高程面高程（相对于参考投影面），为地面上的实际长度，为高斯投影归算边长，为归算边两端点横坐标平均值。

2.2高斯投影归算变形因素：（2）式中，≈，一般可以将参考椭球视为圆球，取圆球半径≈6371km。

由公式（1）看出，将实地距离由较高的高程面归化算至较低的参考椭球面时，长度总是缩短的；值与成正比，随增大而增大。

由公式（2）看出，将参考椭球面上的距离化算至高斯平面时，长度总是增长的。

值随增大而增大，离中央子午经线越远变形越大。

理论上，当两项改正值大小相等时，长度变形为零。

（3）由上述分析可知，减少投影长度变形问题的主要思路为以下三种：（1）建立“抵偿变形投影带”高斯投影坐标系“抵偿变形投影带” 高斯投影坐标系的建立是在保持国家统一的椭球投影面不变的基础上，选择合适的中央子午线，使长度高斯投影变形恰好抵偿其投影到归化椭球面所产生的变形。

为了确定“抵偿变形投影带”的中央子午线的位置，取高斯投影坐标正算公式，同时由，。

可算出。

式中，B，L为测区中心位置的维度和经度，为标准分带经度与抵偿变形投影带中央子午线经度之差。

投影计算公式投影计算公式往往表达方式不止一种，有时很难分辨谁对谁错，我只把“墨卡托投影”、“高斯-克吕格投影”、“UTM投影”、“兰勃特等角投影” (1:100万地形图规范中称作正轴等角圆锥投影，GB/T 14512-93)的正反转换公式列出，因为我基本能保证这些公式的正确性。

“海洋地质制图常用地图投影系列小程序已升级，原下载者请注意下载更新版本。

1( 约定本文中所列的转换公式都基于椭球体a -- 椭球体长半轴b -- 椭球体短半轴f -- 扁率e -- 第一偏心率e’ -- 第二偏心率N -- 卯酉圈曲率半径R -- 子午圈曲率半径B -- 纬度，L -- 经度，单位弧度(RAD)-- 纵直角坐标, -- 横直角坐标，单位米(M)2( 椭球体参数我国常用的3个椭球体参数如下(源自“全球定位系统测量规范 GB/T 18314-2001”):椭球体长半轴 a(米) 短半轴b(米)Krassovsky (北京546378245 6356863.0188采用)IAG 75(西安80采用) 6378140 6356755.2882WGS 84 6378137 6356752.3142需要说明的是，在“海洋地质制图常用地图投影系列小程序”中，程序界面上的所谓“北京1954“西安1980”及“WGS 84”在实际计算中只涉及了相应的椭球体参数。

3( 墨卡托(Mercator)投影3.1 墨卡托投影简介墨卡托(Mercator)投影，是一种"等角正切圆柱投影”，荷兰地图学家墨卡托(Gerhardus Mercator 1512,1594)在1569年拟定, 假设地球被围在一中空的圆柱里，其标准纬线与圆柱相切接触，然后再假想地球中心有一盏灯，把球面上的图形投影到圆柱体上，再把圆柱体展开，这就是一幅选定标准纬线上的“墨卡托投影”绘制出的地图。

墨卡托投影没有角度变形，由每一点向各方向的长度比相等，它的经纬线都是平行直线，且相交成直角，经线间隔相等，纬线间隔从标准纬线向两极逐渐增大。

施工控制网中投影长度变形控制方法发布时间：2021-07-22T15:19:13.023Z 来源：《城镇建设》2021年9期作者：杨先恩[导读] 在平面控制测量中，地面长度投影到参考椭球面、杨先恩文山蔚鑫地矿工程勘察有限公司，云南文山 663099摘要：在平面控制测量中，地面长度投影到参考椭球面、参考椭球面长度投影到高斯平面皆会引起地面长度变形。

本文主要以实际案例为基础，介绍如何选择投影参数，控制长度变形。

关键词：参考椭球面抵偿高程面投影变形高斯投影前言根据《工程测量规范》（GB50026-2007）中规定：3. 1.4平面控制网的坐标系统，应在满足测区内投影长度变形不大于2. 5cm/km的要求下，作下列选择: 1采用统一的高斯投影3°带平面直角坐标系统。

2采用高斯投影3°带，投影面为测区抵偿高程面或测区平均高程面的平面直角坐标系统;或任意带，投影面为1985国家高程基准面的平面直角坐标系统。

3小测区或有特殊精度要求的控制网，可采用独立坐标系统。

4在已有平面控制网的地区，可沿用原有的坐标系统。

5厂区内可采用建筑坐标系统。

规范中之所以进行以上规定，是因为在平面控制测量中，地面长度投影到参考椭球面、参考椭球面长度投影到高斯平面皆会引起地面长度变形；地面长度投影到参考椭球面对边长是负影响（也就是边长变短），参考椭球面长度投影到高斯平面是正影响（也就是边长变长），两者会综合影响到地面长度。

为了保证施工放样的精度要求，要求通过控制点坐标直接反算的边长与实地测量的边长尽量相等，满足设计规定的施工精度要求，一般要求是满足测区内投影长度变形不大于2. 5cm/km。

而要满足投影变形精度，就需要选择合适的抵偿高程面和中央子午线，以达到控制投影长度变形的目的。

一、投影长度的变形在控制测量计算中，有四项投影计算会引起长度变形: 一是地面水平距离投影到参考椭球面，这将引起距离变短；二是参考椭球面距离投影到高斯平面，这将导致距离变长；三是参考椭球面距离投影到抵偿高程面，这将导致距离变长；四是不同抵偿高程面之间的投影变形；如果低的抵偿高程面投影到高的抵偿高程面，这将导致距离变长；如果高的抵偿高程面投影到低的抵偿高程面，这将导致距离变短。

第16卷 第12期 中 国 水 运 Vol.16 No.12 2016年 12月 China Water Transport December 2016收稿日期：2016-09-25作者简介：孙 健，山东交通职业学院。

墨卡托海图投影变形的应用分析孙 健，曹兴飞，邱 亮（山东交通职业学院，山东 潍坊 261206）摘 要：墨卡托投影海图占据了95%以上的航用海图,因其等角正圆柱的投影方式使得图上的恒向线是直线并且保持了等角投影,因此满足了航海需求并被广泛采用,但这样的投影方式同时存在着拉伸变形的特点。

本文分析墨卡托海图投影变形的几种特殊现象，提供给船舶驾驶人员航行使用此类海图参考。

关键词：墨卡托投影；变形；等角正圆柱投影；局部比例尺；纬度渐长率中图分类号：P28 文献标识码：A 文章编号：1006-7973（2016）12-0072-03一、墨卡托海图介绍墨卡托投影（ Mercator projection）是一种等角正切圆柱投影，由荷兰地图学家墨卡托（Gerhardus Mercator 1512－1594）创拟.他假设地球被围在一个中空的圆柱里，其基准纬线与圆柱相切，然后再假想地球中心有一盏灯，把球面上的图形投影到圆柱体上，再把圆柱体剪开后展开，这就是一幅选定基准纬线上的“墨卡托投影”地图。

如图1，又称等角正圆柱投影。

是目前地图投影方法中应用最普遍并且影响最大的。

图1 墨卡托投影方式墨卡托海图原理是把地球表面切成若干份，将每一份展铺在平面上，然后每一部分好像都有弹力一样，将它们向两头伸拉，直到它们的两端连在一块。

因此在离南北两极最近的地方拉伸的幅度最大，存在的变形也就越大。

然而绝大多数的航海活动都在中低纬度进行，图幅的变形较小对航海活动影响也就不大。

这样做的拉伸，使每一部分都变成一个长方形，和其它部分拼合起来就形成一幅完整的世界地图。

平行的纬线同平行的经线相互交错形成经纬网。

如果循着墨卡托投影图上两点间的直线航行，方向不变可以一直到达目的地，因此它对船舰在航行中定位、确定航向都具有有利条件，给航海者带来很大方便，航海者就可以在平面图上用直线画出他们的航线。

高斯投影长度变形的计算1. 地面上有两点A 、B ，它们在高斯投影平面上的直角坐标分别为A(X A ，Y A )、B(X B 、Y B )，则可由式(1)计算出AB 间的距离S ： 22)()(A B A B Y Y X X S -+-= (1)式中：S 表示在高斯投影平面上两点间的距离。

2.假如某两点平均高程为H m ，平均水平距离为S M ，地面两点之间的水平长度归算到参考椭球面所产生变形的近似值，用式(2)计算： m m S RH S -=∆1 ..................................... (2) 式中：而 H m =(H A +H B )/2，H A 、H B ——分别为A 、B 两点的高程；R ——平均曲率半径；S 0——两点投影到参考椭球面上的弦长。

3.参考椭球面上的长度投影到高斯平面上所产生变形的近似值，用式（3）计算： S RY S m ⨯=∆22)(21 .................................... (3) 式中：Y m ——两点的横坐标(自然值)的平均值；R ——平均曲率半径；S ——两点(长度)归算到参考椭球面上的长度。

4.地面测量的边长改化到高斯平面上的近似改正数的计算式为：21S S S ∆+∆=∆1.1.1.1.1 三角形面积计算如图2所示。

))()((sin 2121c p b p a p p A bc ch P c ---=== (4)式中：p=(a+b+c)/2。

图1 三角形面积和四边形面积1.1.1.1.2 四边形面积计算如图2 所示。

2/)sin sin (2/)sin sin (D d c B b a C c b A d a P ⨯⨯+⨯⨯=⨯⨯+⨯⨯= ...... (5) 如果四边形为矩形，由于丈量时存在误差，则P=(a+c)(d+b)/4。

1.1.1.2 坐标法计算面积公式坐标法计算面积的公式见式（8）和（9）。

§3.2 空间数据的地理参照系和控制基础4、高斯—克吕格投影高斯—克吕格投影是一种横轴等角切椭圆柱投影。

它是将一椭圆柱横切于地球椭球体上，该椭圆柱面与椭球体表面的切线为一经线，投影中将其称为中央经线，然后根据一定的约束条件即投影条件，将中央经线两侧规定范围内的点投影到椭圆柱面上，从而得到点的高斯投影(图3-2-5)。

高斯投影的条件为：(1)中央经线和地球赤道投影成为直线且为投影的对称轴；(2)等角投影；(3)中央经线上没有长度变形。

根据高斯投影的条件推导出的高斯—克吕格投影的计算公式为：式中：X、Y为点的平面直角坐标系的纵、横坐标；φ、λ为点的地理坐标，以弧度计，λ从中央经线起算；S为由赤道至纬度φ处的子午线弧长；N为纬度φ处的卯酉圈曲率半径；其中η为地球的第二偏心率，a、b则分别为地球椭球体的长短半轴。

高斯投影由于是等角投影，故没有角度变形，其沿任意方向的长度比都相等，其面积变形是长度的两倍。

对高斯—克吕格投影长度变形的研究可以依下述长度比表达式进行：由该长度比公式可以分析出高斯投影变形具有以下特点：(1)中央经线上无变形；(2)同一条纬线上，离中央经线越远，变形越大；(3)同一条经线上，纬度越低，变形越大；由此可见，高斯投影的最大变形处为各投影带在赤道边缘处，为了控制变形，我国地形图采用分带方法，即将地球按一定间隔的经差(6°或3°)划分为若干相互不重叠的投影带，各带分别投影。

1：2.5万至1：50万的地形图均采用6°分带方案，即从格林尼治零度经线起算，每6°为一个投影带，全球共分为60个投影带。

我国领土位于东经72°到136°之间，共包括11个投影带(13带～22带)。

1：1万及更大比例尺地形图采用3°分带方案，全球共分为120个投影带。

图3—4给出了高斯投影的6°带和3°带分带方案。

为了制作地图和使用地图的方便，通常在地图上都绘有一种或两种坐标网，即经纬线网和方里网。