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测绘技术中的地理配准方法简介地理配准是测绘技术中至关重要的一个环节，它是将不同来源、不同标准的地理信息数据整合为统一的坐标系统的过程。
合理和精确的地理配准方法对于地理信息数据的准确性和有效性具有至关重要的影响。
本文将对地理配准方法进行简要介绍，包括常见的数学模型和配准算法。
1.数学模型数学模型是地理配准的基础，它用于描述不同数据源之间的空间关系。
最常用的数学模型包括最小二乘法、仿射变换和投影变换等。
（1）最小二乘法最小二乘法是一种经典的拟合方法，它通过最小化残差平方和来确定最优配准参数。
在地理配准中，最小二乘法常用于平面配准，可以通过控制点的坐标误差来估计配准参数。
（2）仿射变换仿射变换是一种保持线性关系的坐标变换方法，它包括平移、旋转、缩放和错切等操作。
在地理配准中，仿射变换常用于校正图像、配准遥感影像等。
（3）投影变换投影变换是将地球表面的三维坐标映射到二维平面上的方法，它通常用于地理坐标系与地图投影坐标系之间的转换。
在地理配准中，投影变换可以用来实现不同空间数据之间的配准。
2.配准算法配准算法是根据数学模型进行计算和处理的方法，它包括点匹配、特征匹配和影像配准等。
（1）点匹配点匹配是最基本的配准方法，它通过选取一些具有明显特征的控制点，计算它们之间的几何变换关系，进而确定配准参数。
点匹配适用于具有明显点特征的数据，如地理图像、卫星遥感影像等。
（2）特征匹配特征匹配是一种可以提取图像局部特征的配准方法，它通过提取特征点或特征描述子，并计算它们之间的相似度来进行匹配。
特征匹配适用于存在较多局部特征的数据，如数字地图、空照图像等。
（3）影像配准影像配准是将不同时间或不同传感器获取的遥感影像配准到同一坐标系统的方法。
影像配准常使用基于特征的方法，如尺度不变特征变换（SIFT）、快速特征匹配（SURF）等。
同时，影像配准还可以利用影像边界信息进行辅助配准。
3.地理配准的应用地理配准广泛应用于各个领域，如地图制图、遥感影像处理、地理信息系统（GIS）等。
何为仿射变换（AffineTransformation）变换模型是指根据待匹配图像与背景图像之间⼏何畸变的情况，所选择的能最佳拟合两幅图像之间变化的⼏何变换模型。
可采⽤的变换模型有如下⼏种:刚性变换、仿射变换、透视变换和⾮线形变换等，如下图：其中第三个的仿射变换就是我们这节要讨论的。
仿射变换(Affine Transformation)Affine Transformation是⼀种⼆维坐标到⼆维坐标之间的线性变换，保持⼆维图形的“平直性”（译注：straightness，即变换后直线还是直线不会打弯，圆弧还是圆弧）和“平⾏性”（译注：parallelness，其实是指保⼆维图形间的相对位置关系不变，平⾏线还是平⾏线，相交直线的交⾓不变。
）。
c和d的区别可以看下图：仿射变换可以通过⼀系列的原⼦变换的复合来实现，包括：平移（Translation）、缩放（Scale）、翻转（Flip）、旋转（Rotation）和剪切（Shear）。
仿射变换可以⽤下⾯公式表⽰：这个矩阵乘法的计算如下：具体到⼆维的仿射变换的计算如下：⼏种典型的仿射变换如下：平移变换 Translation将每⼀点移动到(x+tx, y+ty)，变换矩阵为：平移变换是⼀种“刚体变换”，rigid-body transformation，就是不会产⽣形变的理想物体。
效果：缩放变换（Scale）将每⼀点的横坐标放⼤（缩⼩）⾄sx倍，纵坐标放⼤（缩⼩）⾄sy倍，变换矩阵为：变换效果如下：剪切变换（Shear）变换矩阵为：相当于⼀个横向剪切与⼀个纵向剪切的复合效果：旋转变换（Rotation）⽬标图形围绕原点顺时针旋转theta弧度，变换矩阵为：效果：组合旋转变换，⽬标图形以(x, y)为轴⼼顺时针旋转theta弧度，变换矩阵为：相当于两次平移变换与⼀次原点旋转变换的复合：先移动到中⼼节点，然后旋转，然后再移动回去。
这个转换矩阵也可以下⾯这样描述。
投影变换法求实形原理
投影变换法求实形原理主要是通过将三维物体转换为二维平面图形来实现。
具体来说，它是通过投影变换矩阵将场景世界中的3D物体转换为2D平面图形的过程。
转换后的二维平面图形相对于原来的三维物体降了一维。
在计算机图形学中，投影变换主要有两种形式：透射变换和仿射变换。
透射变换是将图像投影到一个新的视平面，可以看作是将三维物体通过某种方式投影到二维平面上。
而仿射变换则是一种特殊的透射变换，变换后图像的形状仍然维持原状。
在投影变换过程中，需要计算投影变换矩阵和投影变换参数，然后将这些参数映射到物体上，最终得到降维后的二维平面图形。
这个过程可以通过计算机图形学中的各种算法和工具来实现。
另外，在计算机图形学中，还可以使用一些特殊的装置来实现投影变换。
例如，可以使用类似于德国画家丢勒绘画时使用的装置，通过固定线和物体表面的点，记录线穿过木框的位置，并在画纸关闭时标记到画纸上，不断变动线末端物体上的点，最终可以得到准确的物体画像。
这个过程其实也是一种投影变换，通过这种方式可以绘制出真实立体感的图形。
总的来说，投影变换法求实形原理是一种将三维物体转换为二维平面图形的方法，它涉及到一系列的数学和几何学原理。
在计算机图形学中，这种方法被广泛应用于各种场景的建模、渲染和可视化中。
仿射变换与透视变换1. 仿射变换1) 用途旋转 (线性变换)，平移 (向量加)．缩放(线性变换)，错切，反转2) 方法仿射变换是一种二维坐标到二维坐标之间的线性变换，它保持了二维图形的“平直性”（直线经过变换之后依然是直线）和“平行性”（二维图形之间的相对位置关系保持不变，平行线依然是平行线，且直线上点的位置顺序不变）。
任意的仿射变换都能表示为乘以一个矩阵(线性变换)，再加上一个向量(平移)的形式．公式中的m矩阵，是线性变换和平移的组合，m11,m12,m21,m22为线性变化参数，m13,m23为平移参数，其最后一行固定为0,0,1，因此，将3x3矩阵简化为2x3。
3) 举例a) 以原点为中心旋转，2x3矩阵为：[ cos(theta), -sin(theta), 0 ],[ sin(theta), cos(theta), 0 ]则x’= x * cos(theta) - sin(theta) * yy’= x * sin(theta) + cos(theta) * yb) 平移，2x3矩阵为[1,0,tx],[0,1,ty]则x’= x * 1 + y * 0 + tx = x + txy’= x * 0 + y * 1 + ty = y + ty4) 图形变换样式2. 透视变换（投影变换）1) 用途将2D矩阵图像变换成3D的空间显示效果，全景拼接．2) 方法透视变换是将图片投影到一个新的视平面，也称作投影映射．它是二维到三维再到另一个二维空间的映射。
相对于仿射变换，它提供了更大的灵活性，将一个四边形区域映射到另一个四边形区域（不一定是平行四边形）．它不止是线性变换．但也是通过矩阵乘法实现的，使用的是一个3x3的矩阵，矩阵的前两行与仿射矩阵相同(m11,m12,m13,m21,m22,m23)，也实现了线性变换和平移，第三行用于实现透视变换。
以上公式设变换之前的点是z值为1的点，它三维平面上的值是x,y,1，在二维平面上的投影是x,y，通过矩阵变换成三维中的点X,Y,Z，再通过除以三维中Ｚ轴的值，转换成二维中的点。
仿射空间与仿射变换在数学中，仿射空间和仿射变换是一对密切相关的概念。
仿射空间是指具有一定结构的向量空间，而仿射变换则是描述了仿射空间中的点与向量之间的转换关系。
在本文中，我们将深入探讨仿射空间及其性质，并介绍一些常见的仿射变换。
一、仿射空间的定义与性质1. 定义仿射空间是指一个非空集合，其中包含了向量加法和数乘运算，并且满足以下性质：（1）对于任意两个点A和B，存在唯一的向量u使得B = A + u；（2）对于任意一个点A和一个标量λ，存在唯一的点B使得B = λA；2. 性质（1）仿射空间中的任意两个向量之和仍然在该空间内；（2）仿射空间中的标量乘积运算满足结合律和分配律；（3）仿射空间中存在零向量，满足A + 0 = A；（4）对于任意的点A和B，存在唯一的向量u使得B = A + u。
二、仿射变换的定义和性质1. 定义仿射变换是指将一个仿射空间映射到另一个仿射空间的变换。
具体来说，一个仿射变换可以由一个线性变换和一个平移变换组合而成。
2. 性质（1）仿射变换保持直线的性质：一条直线上的点经过仿射变换后仍然在一条直线上；（2）仿射变换保持比例关系的性质：两个点的线段经过仿射变换后的比例等于原始比例；（3）仿射变换保持共线性的性质：三个点共线的关系保持不变。
三、常见的仿射变换1. 平移变换平移变换是指将一个点在向量u的作用下移动到另一个点的变换。
具体来说，给定一个点A和一个向量u，平移变换将A映射到B，其中B = A + u。
2. 旋转变换旋转变换是指将一个点绕着某个中心点进行旋转的变换。
具体来说，给定一个中心点O、一个角度θ和一个点A，旋转变换将A映射到B，其中B是A绕O逆时针旋转θ后的位置。
3. 缩放变换缩放变换是指将一个点按照一定比例进行放大或缩小的变换。
具体来说，给定一个比例因子λ和一个点A，缩放变换将A映射到B，其中B = λA。
4. 投影变换投影变换是指将一个点沿着某个方向进行投影的变换。
章主要讨论透视仿射对应，仿射对应，仿射变换及其关系，图形的仿射性质和仿射变换的特例。
关键词：透视仿射对应，仿射变换，仿射对应，仿射坐标，图形的仿射性质，单比，同素性，结合性，平行性;引言在欧氏平面上建立仿射坐标系，研究仿射变换下图形的仿射性质（单比，同素性，结合性，平行性）及仿射变换的特例（正交变换，位似变换，相似变换，压缩变换等）为以后学习射影变换和图形的射影性质打下基础。
1. 预备知识1.1单比定义1：设1P ,2P 是有向直线上的两个定点， P 是这有向直线的另一点，P 分有向线段12p p 为两个有向线段1p p 和2p p ，则其量数的比12P P P P叫做三点12,,P P P的单比；记为()12P P P ，即()12P P P =12P P P P，其中 1P ，2P 叫做基点，P 叫做分点显然 当P 在1P ,2P 之间时,()120p p p 〈当P 在1P ,2P 之外时, ()120p p p 〉 当P 与1P 重合时,()120p p p = 当P 与2P 重合时, ()12P P P 不存在 当P 为线段1P 2P 的中点时, ()12P P P =-1.如果已知一直线上三点的单比()12P P P ,另一直线上两点12,p p '',则在第二直线上可以唯一地确定一点p '而使()12p p p '''=()12P P P 。
现在我们将共线三点的单比用坐标表示。
定理：设共线三点123,,P P P 的仿射坐标顺次为()()()112233,,,,,,x y x y x y 则单比 ()123p p p =31313232x x y y x x y y --=--； 这就是单比的坐标表示。
1.2 透视仿射对应1.2.1. 透射仿射对应的分类 一般透射仿射对应可以分为两个： （1）二直线间的透视仿射对应lA'A B 'B C'C a'a X定义1：在一平面上设有直线a 和a '，l 为此平面上与a ，a '均不平行的另一直线，通过直线a 上各点,,A B C 分别作与l 平行的直线，顺次交a '于,,A B C ''' 这样（图1）使得到直线a 上点到a '上点的一个一一对应,称为透视仿射对应。
仿射变换技术在影像处理中的应用研究随着现代科技的发展，影像处理技术已经被广泛应用于各个领域，包括医学影像、数字图像等等。
其中，仿射变换技术是一种非常重要的变换技术，被广泛使用于图像处理中。
本文将对于仿射变换技术在影像处理中的应用进行一定的研究和探讨。
1. 仿射变换技术的定义仿射变换是一种能够将一个二维平面的点映射到另一个二维平面的点的线性变换操作。
经过仿射变换的图像中，直线仍然是直线，平行线仍然是平行线，但是线段的长度和角度可能会发生改变。
仿射变换技术的重要性在于它能够将原来的图像变形到另一个图像，同时保持了原有的一些几何关系。
2. 仿射变换技术的原理在平面上进行仿射变换时，可以使用一个3x3的矩阵来表示变换操作。
这个矩阵包含了一个平移向量、一个旋转角度、一个缩放因子、一个错切角度等参数，通过修改这些参数可以实现不同的变换效果。
具体而言，假设原始图像上的一个点为(x,y)，那么通过仿射变换后的点将会变为(x',y')，具体的变换关系可以用如下的矩阵形式表示：`[ x' y' 1 ] = [x y 1] * [ a11 a12 tx ][ a21 a22 ty ][ 0 0 1 ]`其中，a11和a22表示缩放因子，a12和a21表示错切因子，tx和ty表示平移量。
3. 仿射变换技术的应用在影像处理中，仿射变换技术有着广泛的应用。
其中最常见的是进行图像矫正和变换。
例如，在数字图像处理中，为了避免图像出现倾斜、扭曲等问题，我们需要将不同角度拍摄的图片进行校正以得到准确的信息。
在这个过程中，可以使用仿射变换技术对图像进行调整和变形，以保持几何关系不变。
同时，仿射变换技术也可以用于变形图像的拼接，例如将分别拍摄的不同角度的图像按原来的几何关系高效地拼凑成一张完整的大图像。
另外，在医学影像处理中，仿射变换技术也有着非常重要的应用。
例如，在进行双模态图像配准、CT/MRI图像融合等工作时，仿射变换技术被用来校准不同的医学图像，以达到精度更高的匹配效果。
12 仿射平面与投影平面 第一章 仿射几何学 本章内容的安排在于揭示一种思想方法，从观察到概念形成到不变量系统再到代数系统，这种安排思想也充分反映了历史上射影几何建立过程中综合方法与解析方法各有所长交替作用互相影响的发展历程。本节研究的内容来自于生活、自然与生产建设实践，如正交变换是从研究我们生活空间中物体位置改变的最简单的情形移动、转动和镜面反射开始的，仿射变换则是从太阳光的照射开始的。因此在本章的学习中应注重于培养观察能力。 《数学发现的艺术》中是这样描述“观察”与“归纳”的：“观察是有意知觉的高级形式，它与有意注意结合在一起，与思维相联系。怎样进行观察？需要注意三点：一是有意识、有目标，处处留心，总想‘找岔儿’，从中发现点什么，否则就会熟视无睹，看等于不看；二是要有基础，有必要的相关知识，否则难以看出‘门道儿’，而只能是‘外行看热闹’；三是要有方法，否则就看不到‘点子’上，抓不住要领。在观察中，要特别注意从个别想到一般，从平常中发现异常”；而“归纳是由个别事例向关于这一类事物的一般性的过渡，是一种对经验、以实验观察结果进行去粗取精、去伪存真的综合处理方法。人们用归纳法清理事实，概括经验，处理资料，从而形成概念，发现规律”。 通过本章学习，首先对观察、归纳应该有一个较为深刻的认识，为在以后的学习中能熟练应用观察而打下良好的基础，其次对数学研究的目标之一——对象的结构——有一个初步的了解。 13
§1 正交变换 本单元分两个部分介绍正交变换，其一是解析几何中坐标变换的复习，主要通过讨论刚体运动中的特例——平移、旋转和反射，揭示其中最基本的不变量——距离，进而提炼出正交变换的概念。其二是利用不变量系统建立相应的坐标系，从而引入解析法，用代数方法解决正交变换的结构问题。
一、基本概念 实例 (a) 平移是沿一定的方向推移物体的过程，建立适当的坐标系，就有
平移0Xl： îíì+=¢+=¢00yyyxxx， 即 0XXX+=¢； (b) 旋转是物体绕着固定点转动的过程，建立适当的坐标系，就有
旋转qr： îíì+=¢-=¢qqqqcossinsincosyxyyxx，
即 XX÷÷øöççèæ-=¢qqqqcossinsincos； (c) 反射是关于一条固定直线的对称，建立适当的坐标系，就有
反射xr： îíì-=¢=¢yyxx ， 即 XX÷÷øöççèæ-=¢1001。 这三种变换是平面上物体运动的最基本方式，它们的组合就形成了物体在平面上的丰富多彩的运动方式。这三种变 14
换有一个最基本的共同的度量特征“保持两点间的距离不变”，从而它们的组合也是如此。由此可给出如下概念： 正交变换 保持任何两点间的距离不变的变换。 通过研究正交变换的不变量系统：保持两点之间的距离不变；保持直线之间的夹角不变等，由此可建立起相应的在正交变换下保持不变的笛卡尔直角坐标系。
二、重要结果 1．正交变换的代数表示： ,232221131211
îí
ì
++=¢++=¢ayaxayayaxax
其中 0,122122111222221212211=+=+=+aaaaaaaa。 或用矩阵表示为 )(,0IAAXAXXT=+=¢ （满足IAAT=的方阵A称为正交矩阵。） 2．正交变换的结构定理 定理：正交变换可分解为平移、旋转和反射的积。
三 例题选讲 例 求以直线0=++CByAx为轴的轴反射变换公式。 解 当0¹A时，直线与x轴的交点为)0,(0ACX- 15
斜率为,BAtg-=q 则 22222cosBAAB+-=q， 2222sinBAAB+-=q 。
通过正交变换的分解可得 )(00XlrrrlXXxX--=¢qq
即
00)(cossinsincos1001cossinsincosXXXX+-÷÷øöççèæ-÷÷øöççèæ-÷÷øöççèæ-=¢qqqqqq
00)(2cos2sin2sin2cosXXX+-÷÷øöççèæ-=qq
将各已知量分别代入，得
ïïîïïíì+-+--+-=¢+-+-+-=¢22222222222222222222BABCyBAABxBAABy
BAACyBAABxBAABx
（*）
容易验证，当A=0时，（*）式也成立。 所以（*）为所求。 评注： 正交变换，寥寥几页，但在全书中的地位十分重要，因为它揭示了贯穿于全书的研究思想方法： （1）观察具体的实际现象及相关资料（平移、旋转和反射）； （2）归纳抽象，形成概念（正交变换）； （3）研究不变性质（正交变换的不变量系统）； 16
（4）利用不变量系统建立相应的坐标系（笛卡尔直角坐标系）； （5）研究对象的结构（正交变换的分解）。
§2 仿射变换 本单元主要分两个部分介绍仿射变换，其一是通过平行投影建立仿射对应，研究仿射变换的不变量系统；其二是利用仿射变换的不变量系统建立与之相应的仿射坐标系，利用解析法研究仿射几何。 一、 基本概念 空间中的物体在太阳光的照射下，会在地面上投下影子。若物体是平面图形，那么图形和影子之间即建立了一种一一对应。太阳光线可近似地看成是平行的，从而我们有以下概念。 1．平行投影：若从平面p到平面p¢的一一点对应满足对应点的连线互相平行，则称此对应为从平面p到平面p¢的平行投影。 注：透视仿射对应就是平行投影。 2.仿射对应：有限个平行投影的积。 注：仿射变换的结构（即仿射变换的分解）问题已解决，即仿射变换可分解为有限个平行投影的积。但我们仍然可提出这样的问题“最少可用几个透视仿射变换表示仿射变换？” 3.仿射不变量和仿射不变性 图形的在仿射变换下保持不变的性质（数量）称为图形的仿射不变性（仿射不变量）。 4．单比 17
x
yOE(1,1)Ey
ExP(x,y)PyPx( 1, 0 )( x, 0 )
( 0, 1 )( 0, y )
设A、B、C三点共线，称有向线段的比值BCAC为A、B、C的单比，记为)(ABC，即BCACABC=)(。 注：单比的实质是解析几何中的定比分点中的分比，两者之间相差一个符号而已。由此可见，仿射几何对解析几何会有重要的指导意义。
二 重要结果 1．仿射对应的不变量体系 ① 基本不变量： 同素性、结合性、平行性、单比； ② 常用不变量： 平行线段之比、封闭图形面积之比。 注：（1） 由基本不变量和常用不变量经过“组合”，可导出许多不变量，如线段的中点、三角形的中线和重心、平行四边形的性质等。 （2） 必须引起重视的是角度不是仿射不变的。 2．仿射坐标系（根据仿射不变量体系所建立的相应的坐标系）
其中PPx//EEx//y轴，PPy//EEy//x轴，且x轴与y轴上不一定垂直，其上的度量单位在一般情形下不一致。 18
3．仿射对应的代数表示 0,22211211232221131211¹îíì++=¢++=¢aaaaayaxayayaxax
或 0,0¹+=¢AXAXX 。 4．仿射几何基本定理： 不共线的三对对应点唯一决定一个仿射对应。 注：为什么要研究变换的不变量？ 我们所研究的变换是连续性的，一个图形经过连续变形而变到另一个图形，在连续变化过程中得到的一系列图形具有一定的共性。这种共性是变化前后的图形都拥有的，换句话说，这种共性不因变换而改变，即它们是变换的不变量（性质）。 不变量的作用在于：（1） 我们可以从特例或比较简单图形的性质导出复杂图形的性质，这是从特殊到一般的哲学思想在几何研究中的体现。 （2） 不变量系统可使我们弄清楚几何学的构建或者解决结构问题。例如我们研究n阶矩阵的特征值和特征向量而导致线性变换下的不变子空间，最终导致线性空间分解为不变子空间的直和。又如我们研究正交变换下的不变量系统，导致我们建立笛卡尔直角坐标系，从而给出正交变换的代数表示，最终导出正交变换可分解为平移、旋转和反射的积，从而解决了正交变换的结构问题。
三、例题选讲 例1 求椭圆12222=+byax的面积。 19
解 适当选取仿射变换 ïîïíì=¢=¢yyxabx ，将椭圆变成圆。 因为面积之比是仿射不变量， 所以 BAOOABSSSS¢DD=圆椭圆
所以 abbbabSpp=×=22椭圆 。 小结：（1） 由本例可建立 模型：在仿射变换下，叙述形式保持不变的命题（称为仿射命题）。 解法：适当选取仿射变换或仿射坐标系，将一般问题变为特殊情形，使问题获得解决，再利用不变性返回一般情形。 (2) 仿射几何是射影几何的子几何。本章在全书中的作用是为射影几何的展开铺路、提供素材，以便初学者入门。 例2 梯形两底的中点，两腰的交点，两对角线的交点，四点共线。 分析 梯形、线段的中点、直线的交点和点共线都是仿射不变的，从而本命题的叙述形式在仿射变换下保持不变。根据上面的小结，我们求解如下。 解 取两底中点的连线为y轴。一底为 x轴建立仿射坐标系如图，那么 AC的方程为 x+(a+1)y–1 = 0 BD的方程为 x-(a+1)y+1 = 0 解得P的坐标为 （0，1） AD的方程为 x+(a-1)y+1 = 0
x
yOAB
QDC
P
M
(-1,0)(1,0)(a,1)(-a,1)
xyOABA'
