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空间几何的非线性变换空间几何是研究几何对象在三维空间中的性质和变换的一个分支。
线性变换是空间几何中非常重要的一种变换，它能够保持点、线或者平面的位置、方向、长度和角度等性质不变。
然而，在实际应用中，很多情况下需要进行非线性变换，例如在计算机图形学、计算机视觉、自然语言处理等领域就需要对图像、语言等非线性信息进行处理。
本文将重点介绍空间几何的非线性变换。
1. 刚体变换刚体变换是最简单的非线性变换之一。
刚体变换包括平移、旋转和镜像三种基本操作，它们能够保持点之间的距离和夹角不变。
例如，二维平面上的一条直线，如果进行平移、旋转、镜像操作后，依然是一条直线。
当然，在三维空间中进行刚体变换需要更复杂的运算。
刚体变换在计算机图形学的建模和动画制作中有广泛的应用。
2. 仿射变换仿射变换是一种保持直线平行的非线性变换。
它包括平移、旋转、比例和错切四种基本操作。
仿射变换能够保持平面上的点、线和平面的位置和方向不变。
对于一个不共线的三角形，它经过仿射变换后仍然是一个三角形。
仿射变换在计算机视觉、机器学习等领域有很多应用，例如在图像对齐、文本识别和人脸识别中都需要进行仿射变换。
3. 投影变换投影变换是指将三维空间中的物体映射到二维平面上的过程。
投影变换可以是线性和非线性的，其中较常用的是透视投影和正交投影。
透视投影是一种模拟人眼看物体的方法，它能够产生近大远小的效果，常用于3D建模、游戏开发和虚拟现实等领域。
正交投影能够保持物体的形状和大小不变，常用于制作工程图和CAD软件中。
4. 变形变换变形变换是一种将物体进行形状变换的非线性变换。
变形变换包括弯曲、扭曲、拉伸等形变操作，它能够改变物体的形状和大小。
例如，在计算机图形学中，可以使用变形变换对人脸进行变形，从而实现面部表情的动态模拟。
总之，空间几何的非线性变换在现代科技中有着广泛和重要的应用。
通过对非线性变换的研究，我们能够更好地理解和利用三维空间中的几何信息。
未来，随着技术的不断发展和进步，空间几何的非线性变换将会在更广泛的领域中得到应用。
常见图形的变换及用途：教案详解图像变换方法与应用图形变换，是指将一个图形进行身形、大小、位置和姿态的改变，从而得到一个新的图形的过程，是图像处理中的重要内容。
图形变换不仅可以使得图像更加丰富和多样化，还可以在很多领域得到广泛的应用，如游戏、电影、多媒体、医疗等领域，今天我们就来详细的学习一下常见图形的变换及用途，希望对你有所帮助。
一、图形变换的基础知识1、图形变换的基本类型：主要包括刚性变换、相似变换、仿射变换、投影变换等。
2、图形变换的重要影响因素：主要包括变换矩阵、变换前后的坐标系、变换前后的图像大小等。
3、图形变换的基本理论：主要包括平移、缩放、旋转、翻转、拉伸、扭曲等几个关键技术。
二、常见图形变换及用途1、平移变换平移变换是将图像在正交平面内沿着x、y轴方向进行移动的一种基本变换，用于调整图像的位置。
通常使用平移矩阵来进行平移变换，矩阵内容为：[[1, 0, dx], [0, 1, dy], [0, 0, 1]]，其中dx、dy分别表示在x、y轴方向上的平移距离。
应用场景：在许多图像处理算法中，都需要将图像进行平移变换，比如说模板匹配、人脸检测等。
2、缩放变换缩放变换是将图像在x轴和y轴方向上均匀拉伸或收缩的一种基本变换。
通常使用缩放矩阵来进行缩放变换，矩阵内容为：[[a, 0, 0], [0, b, 0], [0, 0, 1]]，其中a、b表示在x、y轴各自方向上的缩放比例。
应用场景：在许多图像处理算法中，都需要将图像进行缩放变换，比如图像放大、縮小、模式识别、图像超分辨率重建等。
3、旋转变换旋转变换是将图像沿着某一点进行旋转的一种基本变换。
通常使用旋转矩阵来进行旋转变换，矩阵内容为：[[cosθ, -sinθ, 0], [sinθ, cosθ, 0], [0, 0, 1]]，其中θ表示旋转的角度。
应用场景：旋转变换在图像矫正、图像特征提取以及计算机视觉领域中得到广泛的应用。
4、翻转变换翻转变换是将图像进行水平或垂直方向翻转的一种基本变换。
以下是仿射几何和射影几何的总表：
仿射几何：
1. 基本概念：
-点、线、平面
-直线的平行与垂直
-点到直线的距离
-点与直线的位置关系
-角度的概念
2. 平移变换：
-平移的定义与性质
-平移的表示与组合
-平移的不变性
3. 旋转变换：
-旋转的定义与性质
-旋转的表示与组合
-旋转的不变性
4. 缩放变换：
-缩放的定义与性质
-缩放的表示与组合
-缩放的不变性
5. 仿射变换：
-仿射变换的定义与性质
-仿射变换的表示与组合
-仿射变换的不变性
射影几何：
1. 射影平面：
-射影平面的定义与性质
-射影平面上的点、线、圆的性质
2. 射影变换：
-射影变换的定义与性质
-射影变换的表示与组合
-射影变换的不变性
3. 射影直线：
-射影直线的定义与性质
-射影直线的交点、平行性质
4. 射影圆：
-射影圆的定义与性质
-射影圆的切线性质
5. 射影相似：
-射影相似的定义与性质
-射影相似的判定条件
-射影相似的不变性
请注意，以上列举的只是仿射几何和射影几何中的一些基本概念和变换，这两个领域还涉及更多深入的理论和应用。
图像的等距变换，相似变换，仿射变换，射影变换及其matlab实现第二次写CSDN文档，上一篇的排版实在太烂了，于是决定认真学习一下markdown的语法。
好了，废话不多说，今天，我们学习一下图像（2维平面）到图像（2维平面）的四种变换，等距变换，相似变换，仿射变换，投影变换首先介绍它的原理，最后介绍matlab的实现1.数学基础射影变换矩阵H属于射影群PL(n)中的一个，仿射群是由PL(3)中最后一行为(0,0,1)的矩阵组成的子群，包括仿射群，欧式群，其中欧式群是仿射群的子群，其左上角的矩阵是正交的，当它的行列式为1是称为定向欧式群，距离是欧式群的不变量，但不是相似群的不变量，而夹角是这两个群的不变量。
听了这么多群，不变量的数学概念，可能有点晕，下面我用最直观的语言解释。
线性空间中的线性变换可以用矩阵来描述，因此我们用矩阵来刻画这四种变换。
我们以数学系的经典代数入门教材北大版的《高等代数》为例，研究这些变换是如何进行的2. 等距变换等距变换（isometric transform），保持欧式距离不变，当图像中的点用齐次坐标表示时，变换矩阵如下所示：???x′y′1???=???εcos(θ)εsin(θ)0?εsin(θ)?εcos(θ)0txty1??? ???xy1???当ε=1是保向的，ε=?1是逆向的，等距变换可以更简单的写成x′=HEx=(R0t1)x其中R是旋转矩阵。
t是平移矢量，有3个自由度（1旋转角θ+两个平移tx,ty），需要2组点4个方程求解，等距变换的不变量是:长度，角度，面积。
用matlab实现等距变换如下：clear;close all;clcI=imread('book1.jpg');figure,imshow(I);[w,h]=size(I);theta=pi/4;t=[100,100];s=0.5;% test Eucludian transformH_e=projective2d([cos(theta) -sin(theta) t(1);sin(theta) cos(theta) t(2);0 0 1]');newimg=imwarp(I,H_e);figure,imshow(newimg); 12345678910111213141234567891011121314可以看出，等距变换就是对图像的旋转+平移3. 相似变换相似变换（similarity transform）：等距变换+均匀缩放，当图像中的点用齐次坐标表示时，变换矩阵如下所示：???x′y′1???=???scos(θ)ssin(θ)0?ssin(θ)?scos(θ)0txty1?? ????xy1???当s=1是保向的，s=?1是逆向的，相似变换可以更简单的写成x′=HSx=(sR0t1)x其中R是旋转矩阵。
高中数学仿射变换一、引言仿射变换是高中数学中的重要概念之一，它在几何变换和线性代数中有着广泛的应用。
本文将介绍仿射变换的基本概念、性质以及应用，帮助读者更好地理解和掌握这一知识点。
二、基本概念1. 定义：仿射变换是指保持直线平行性质的变换。
简单来说，它是由平移、旋转、缩放和投影四种基本变换组成的变换。
2. 仿射变换的代数表示：设二维平面上有一个点P(x, y)，经过仿射变换后得到点P'(x', y')，则有如下代数表示：x' = a*x + b*y + cy' = d*x + e*y + f其中a、b、c、d、e、f为常数。
三、性质1. 保直线性质：仿射变换保持直线的性质，即直线经过仿射变换后仍然是直线。
例如，一条直线上的三个点经过仿射变换后仍然共线。
2. 保平行性质：仿射变换保持平行线的性质，即平行线经过仿射变换后仍然平行。
例如，两条平行线经过仿射变换后仍然平行。
3. 保比例性质：仿射变换保持线段的比例关系。
例如，一条线段上的两个点经过仿射变换后线段上的其他点的比例关系仍然成立。
四、应用1. 几何变换：仿射变换在几何变换中有着广泛的应用，可以用来描述平面上的旋转、缩放、平移等操作。
例如，我们可以利用仿射变换来实现图片的旋转、缩放和平移。
2. 图像处理：仿射变换在图像处理中也有着重要的应用，可以用来进行图像的扭曲、校正和纠正等操作。
例如，我们可以利用仿射变换来对图像进行透视校正，使得图像中的平行线在处理后仍然保持平行关系。
3. 计算机图形学：仿射变换在计算机图形学中扮演着重要的角色，可以用来进行三维物体的平面投影、旋转和缩放等操作。
例如，我们可以利用仿射变换来实现计算机图形学中的三维模型的投影效果。
五、总结通过本文的介绍，我们了解了高中数学中的仿射变换的基本概念、性质以及应用。
仿射变换作为一种保持直线平行性质的变换，在几何变换、图像处理和计算机图形学等领域都有着广泛的应用。
九点标定仿射变换投射变换
九点标定是指在计算机视觉和计算机图形学中，通过使用已知
的几何关系来估计摄像机的参数，例如焦距、光心和畸变系数等。
这种技术通常用于三维重建和摄像机定位等应用中。
九点标定通常
需要至少9个已知空间点对应的图像点来进行计算。
仿射变换是指在二维空间中，通过线性变换和平移来对图像进
行变换的一种方法。
这种变换保持了图像中的直线和平行线的性质，常用于图像配准、图像校正和图像拼接等领域。
投射变换是指将一个几何空间映射到另一个几何空间的一种变换。
在计算机图形学中，投射变换通常用于将三维场景投影到二维
图像平面上，常见的投射变换包括透视投影和正交投影。
透视投影
可以模拟人眼看到的景深效果，而正交投影则保持了物体在不同深
度上的大小不变。
总的来说，九点标定、仿射变换和投射变换在计算机视觉和计
算机图形学中都有着重要的应用，它们分别用于摄像机参数估计、
图像变换和三维到二维的投影等方面。
这些技术在计算机图形学、
虚拟现实、增强现实等领域都发挥着重要作用。
说明仿射变换与投影变换的特点仿射变换与投影变换是图像处理中常用的变换方法，它们能够对图像进行各种形式的几何变换。
下面将分别介绍仿射变换和投影变换的特点。
1. 仿射变换:仿射变换是一种保持线段平行性质的变换。
它由线性变换和平移组成，包括平移、旋转、缩放、错切等几种变换方式。
具体特点如下：(1) 保持直线性质：在仿射变换后，直线仍然是直线，直线上的点的顺序不会改变。
(2) 保持平行线性质：平行线变换后仍然是平行线。
(3) 保持中点性质：线段的中点在仿射变换前后位置不变。
(4) 不保持面积比例：三角形的面积在仿射变换后会发生改变。
(5) 仿射变换可逆性：仿射变换可逆，即可以通过逆变换将变换后的图像恢复到原始状态。
2. 投影变换：投影变换是一种通过投影变换矩阵来改变图像的视角的方法。
它是仿射变换的扩展，通过引入透视效果来产生更加真实的效果。
具体特点如下：(1) 透视效果：投影变换引入了透视效果，能够使远处的图像变小，近处的图像变大，以模拟真实世界中的视觉效果。
(2) 改变图像视角：投影变换可以改变观察者与被观察物体之间的距离和角度，从而改变图像的视角，产生新的观察角度。
(3) 变换矩阵：投影变换使用齐次坐标，并通过4x4的齐次变换矩阵来描述变换，其中包括平移、旋转、缩放、错切等变换。
(4) 非线性变换：投影变换是一种非线性变换，不能用仿射变换的线性组合来表示，因此需要使用更复杂的方式来计算和实现。
综上所述，仿射变换和投影变换在图像处理中有着不同的应用和特点。
仿射变换主要用于几何变换，保持了图像中直线和平行线的性质，而投影变换则引入了透视效果，能够改变图像的视角和观察角度。
这两种变换方法在计算机视觉、图像合成和图像处理等领域具有广泛的应用。
仿射变换详解warpAffine今天遇到一个问题是关于仿射变换的，但是由于没有将仿射变换的具体原理型明白，看别人的代码看的很费解，最后终于在师兄的帮助下将原理弄明白了，我觉得最重要的是理解仿射变换可以看成是几种简单变换的复合实现，具体实现形式即将几种简单变换的变换矩阵M相乘，这样就很容易理解啦定义：仿射变换的功能是从二维坐标到二维坐标之间的线性变换，且保持二维图形的“平直性”和“平行性”。
仿射变换可以通过一系列的原子变换的复合来实现，包括平移，缩放，翻转，旋转和剪切。
这类变换可以用一个3*3的矩阵M来表示，其最后一行为（0，0，1）。
该变换矩阵将原坐标为（x,y)变换为新坐标（x',y')，即OpenCV中相应的函数是：void warpAffine(InputArray src, OutputArray dst, InputArray M, Size dsize,int flags=INTER_LINEAR, int borderMode=BORDER_CONSTANT, constScalar& borderValue=Scalar())¶Parameters:∙src –input image.∙dst –output image that has the size dsize and the same type as src .∙M – transformation matrix，最重要的东东了，本文中着重讲M的构造∙dsize –size of the output image.ansformation ( ).∙borderMode – pixel extrapolation method (see borderInterpolate()); when borderM ode=BORDER_TRANSPARENT , it means that the pixels in the destination image correspon ding to the “outliers” in the source image are not modifi ed by the function.∙borderValue –value used in case of a constant border; by default, it is 0.下面介绍一些典型的仿射变换：（1）平移，将每一点移到到（x+t , y+t)，变换矩阵为(2)缩放变换将每一点的横坐标放大或缩小s x倍，纵坐标放大（缩小）到s y倍，变换矩阵为（3）旋转变换原点：目标图形围绕原点顺时针旋转Θ 弧度，变换矩阵为(4) 旋转变换：目标图形以（x , y ）为轴心顺时针旋转θ弧度，变换矩阵为相当于两次平移与一次原点旋转变换的复合，即先将轴心（x,y)移到到原点，然后做旋转变换，最后将图片的左上角置为图片的原点,即有的人可能会说为什么这么复杂呢，那是因为在opencv的图像处理中，所有对图像的处理都是从原点进行的，而图像的原点默认为图像的左上角，而我们对图像作旋转处理时一般以图像的中点为轴心，因此就需要做如下处理如果你觉得这样很麻烦，可以使用opencv中自带的Mat getRotationMatrix2D(Point2f center, double angle, double scale)函数获得变换矩阵M，center:旋转中心angle：旋转弧度，一定要将角度转换成弧度scale:缩放尺度它得到的矩阵是：其中α = scale * cos( angle ) , β = scale* sing( angle ) , ( center.x , center.y ) 表示旋转轴心但是不得不说opencv的文档以及相关书籍中都把这个矩阵写错了，如下：建议大家自己通过下式验证一下，即首先将轴心(x,y)移到原点，然后做旋转平绽放变换，最后再将图像的左上角转换为原点没有去研究该函数的源码，不晓得源码中到底怎么写的，但是在别人的博客中看到这个函数貌似需要修正opencv中还有一个函数：Mat getAffineTransform(InputArray src, InputArray dst)¶它通过三组点对就可以获得它们之间的仿射变换，如果我们在一组图像变换中知道变换后的三组点，那么我们就可以利用该函数求得变换矩阵，然后对整张图片进行仿射变换还有一种与仿射变换经常混淆的变换为透视变换，透视变换需要四组点对才能确定变换矩阵，由于仿射变换保持“平直性”与“平行性”，因此只需要三组点对，而透视变换没有这种约束，故需要四组点对warpPerspective函数主要作用：对图像进行透视变换，就是变形函数的调用形式：C++:void warpPerspective(InputArray src, OutputArray dst, InputArray M, Size dsize,int flags=INTER_LINEAR, int borderMode=BORDER_CONSTANT, constScalar& borderValue=Scalar())参数详解：InputArray src：输入的图像OutputArray dst：输出的图像InputArray M：透视变换的矩阵Size dsize：输出图像的大小int flags=INTER_LINEAR：输出图像的插值方法，combination of interpolation methods (INTER_LINEAR or INTER_NEAREST) and the optionalflag WARP_INVERSE_MAP, that sets M as the inverse transformation ( )int borderMode=BORDER_CONSTANT：图像边界的处理方式const Scalar& borderValue=Scalar()：边界的颜色设置，一般默认是0函数原理：透视变换(Perspective Transformation)是将图片投影到一个新的视平面(Viewing Plane)，也称作投影映射(Projective Mapping)。
重点一坐标及投影变换1．坐标变换实质是建立两个平面点之间的一一对应关系，包括几何纠正和投影转换，他们是空间数据处理的基本内容之一。
几何纠正是对数据坐标转换和图纸变形误差的纠正。
投影变换是指投影方式的变换2．仿射变换。
在几何上定义为两个向量空间之间的一个仿射变换或者仿射映射，由一个线性变换接上一个平移组成。
是GIS 数据处理中使用最多的一种几何纠正方法。
它的主要特性为：同时考虑到因地突变形而引起的实际比例尺在x 方向和y 方向上的变形，因此纠正后的坐标数据在不同方向上的长度比将发生变化。
注：一般的GIS 软件都有仿射变换、相似变换和二次变换等几何纠正功能3．大地基准面(Geodetic datum) ，设计用为最密合部份或全部大地水准面的数学模式。
它由椭球体本身及椭球体和地表上一点视为原点间之关系来定义。
此关系能以6 个量来定义，通常(但非必然)是大地纬度、大地经度、原点高度、原点垂线偏差之两分量及原点至某点的大地方位角。
每个国家或地区均有各自的基准面，我们通常称谓的北京54 坐标系、西安80 坐标系，指的就是两个大地基准面。
4．我国采用的椭球体及坐标系我国参照前苏联从1953 年起采用克拉索夫斯基( Krassovsky) 椭球体建立了我国的北京54 坐标系。
1978 年采用国际大地测量协会推荐的1975 地球椭球体(IAG75) 建立了我国新的大地坐标系－－西安80 坐标系。
目前大地测量基本上仍以北京54 坐标系作为参照，北京54 与西安80 坐标之间的转换可查阅国家测绘局公布的对照表。
WGS1984 基准面采用WGS84 椭球体，它是一地心坐标系，即以地心作为椭球体中心，目前GPS测量数据多以WGS1984 为基准。
5．椭球体与基准面的关系。
椭球体与基准面之间的关系是一对多的关系，也就是基准面是在椭球体基础上建立的，但椭球体不能代表基准面，同样的椭球体能定义不同的基准面。
6．地图投影，就是指建立地球表面(或其他星球表面或天球面) 上的点与投影平面(即地图平面)上点之间的一一对应关系的方法。
谈仿摘要：仿射变换，即平行投影变换，是几何学中的一个重要变换，是从运动变换过渡到射影变换的桥梁。
在初等几何中，仿射图形经过平面仿射变换，可以由对特殊几何图形的证明，得出对一般几何图形的证明。
而且，根据仿射变换的性质，可以把特殊图形的命题推广到一般图形，从而达到事半功倍的效果。
本文将探讨应用仿射变换中的仿射不变性质与仿射不变量来解决一些初等几何问题。
关键词：仿射变换；仿射不变性；仿射图形；初等几何问题。
1.引言本文探讨了仿射变换在初等几何中的应用,提出了利用仿射变换解决初等几何问题的基本思路。
仿射变换是几何中一个重要变换，它是从运动变换到射影变换的桥梁。
灵活地运用仿射变换，能使一些初等几何问题由繁到简。
论文中，应用仿射不变性和不变量解决一般三角形、平行四边形、梯形、椭圆的有关仿射的命题，使仿射几何的知识和思想方法体现于解决初等几何问题中，有利于提高从现代几何学的观点处理初等几何问题的能力。
仿射几何是高等几何的重要组成部分，是联结射影几何与欧氏几何的纽带。
在初等几何里，有大量的命题是研究图形的仿射性质的，而在初等几何中的有些问题应用仿射变换解决更简单。
在高等几何中，把平行光线照射到物体上，得到的影子叫平行投影。
平行投影是仿射变换中最基本、最简单的一类。
几何图形经过平行投影保留不变的性质称为图形的仿射性质。
图形的仿射性质有：平行投影将点变成点；直线变成直线；平行投影保持点和直线的结合关系，保持直线的平行关系；平行投影保持两平行（共线）线段的长度比；平行投影下，任一封闭凸曲线所围成的图形的面积之比为常数；平行投影可以将任意三角形变成正三角形，将任意的平行四边形变成正方形或长方形，任意的梯形变成等腰梯形或直角梯形，任意的椭圆可以经过平行投影变成圆，相应地椭圆中心变成圆心，椭圆直径变成圆的直径，椭圆的切线变成圆的切线等。
通过平行投影证明图形性质的方法，在初等几何中适当的运用这种方法，可以在解决问题时带来事半功倍的效果。
仿射平面与投影平面第一章仿射几何学本章内容的安排在于揭示一种思想方法，从观察到概念形成到不变量系统再到代数系统，这种安排思想也充分反映了历史上射影几何建立过程中综合方法与解析方法各有所长交替作用互相影响的发展历程。
本节研究的内容来自于生活、自然与生产建设实践，如正交变换是从研究我们生活空间中物体位置改变的最简单的情形移动、转动和镜面反射开始的，仿射变换则是从太阳光的照射开始的。
因此在本章的学习中应注重于培养观察能力。
《数学发现的艺术》中是这样描述“观察”与“归纳”的：“观察是有意知觉的高级形式，它与有意注意结合在一起，与思维相联系。
怎样进行观察？需要注意三点：一是有意识、有目标，处处留心，总想‘找岔儿’，从中发现点什么，否则就会熟视无睹，看等于不看；二是要有基础，有必要的相关知识，否则难以看出‘门道儿’，而只能是‘外行看热闹’；三是要有方法，否则就看不到‘点子’上，抓不住要领。
在观察中，要特别注意从个别想到一般，从平常中发现异常”；而“归纳是由个别事例向关于这一类事物的一般性的过渡，是一种对经验、以实验观察结果进行去粗取精、去伪存真的综合处理方法。
人们用归纳法清理事实，概括经验，处理资料，从而形成概念，发现规律”。
通过本章学习，首先对观察、归纳应该有一个较为深刻的认识，为在以后的学习中能熟练应用观察而打下良好的基础，其次对数学研究的目标之一——对象的结构——有一个初步的了解。
1213§1 正交变换本单元分两个部分介绍正交变换，其一是解析几何中坐标变换的复习，主要通过讨论刚体运动中的特例——平移、旋转和反射，揭示其中最基本的不变量——距离，进而提炼出正交变换的概念。
其二是利用不变量系统建立相应的坐标系，从而引入解析法，用代数方法解决正交变换的结构问题。
一、基本概念实例 (a) 平移是沿一定的方向推移物体的过程，建立适当的坐标系，就有平移0X l ： îíì+=¢+=¢00y y y x x x ， 即 0X X X +=¢； (b) 旋转是物体绕着固定点转动的过程，建立适当的坐标系，就有旋转q r ： îíì+=¢-=¢qq q q cos sin sin cos y x y y x x ， 即 X X ÷÷øöççèæ-=¢q q q q cos sin sin cos ；(c) 反射是关于一条固定直线的对称，建立适当的坐标系，就有反射x r ： îíì-=¢=¢y y x x ， 即 X X ÷÷øöççèæ-=¢1001。
这三种变换是平面上物体运动的最基本方式，它们的组合就形成了物体在平面上的丰富多彩的运动方式。
这三种变14 换有一个最基本的共同的度量特征“保持两点间的距离不变”，从而它们的组合也是如此。
由此可给出如下概念：正交变换 保持任何两点间的距离不变的变换。
通过研究正交变换的不变量系统：保持两点之间的距离不变；保持直线之间的夹角不变等，由此可建立起相应的在正交变换下保持不变的笛卡尔直角坐标系。
二、重要结果1．正交变换的代数表示：,232221131211îíì++=¢++=¢a y a x a y a y a x a x 其中 0,122122111222221212211=+=+=+a a a a a a a a 。
或用矩阵表示为 )(,0I AA X AX X T =+=¢ （满足I AA T =的方阵A 称为正交矩阵。
）2．正交变换的结构定理定理：正交变换可分解为平移、旋转和反射的积。
三 例题选讲例 求以直线0=++C By Ax 为轴的轴反射变换公式。
解 当0¹A 时，直线与x 轴的交点为)0,(0AC X -15斜率为,BA tg -=q 则 22222cosB A A B +-=q ， 2222sin B A AB +-=q 。
通过正交变换的分解可得)(00X l r r r l X X x X --=¢q q即00)(cos sin sin cos 1001cos sin sin cos X X X X +-÷÷øöççèæ-÷÷øöççèæ-÷÷øöççèæ-=¢q q q q q q q q 00)(2cos 2sin 2sin 2cos X X X +-÷÷øöççèæ-=q q q q 将各已知量分别代入，得ïïîïïíì+-+--+-=¢+-+-+-=¢22222222222222222222B A BC y B A A B x B A AB y B A AC y B A AB x B A A B x （*） 容易验证，当A=0时，（*）式也成立。
所以（*）为所求。
评注： 正交变换，寥寥几页，但在全书中的地位十分重要，因为它揭示了贯穿于全书的研究思想方法：（1）观察具体的实际现象及相关资料（平移、旋转和反射）；（2）归纳抽象，形成概念（正交变换）；（3）研究不变性质（正交变换的不变量系统）；（4）利用不变量系统建立相应的坐标系（笛卡尔直角坐标系）；（5）研究对象的结构（正交变换的分解）。
§2 仿射变换本单元主要分两个部分介绍仿射变换，其一是通过平行投影建立仿射对应，研究仿射变换的不变量系统；其二是利用仿射变换的不变量系统建立与之相应的仿射坐标系，利用解析法研究仿射几何。
一、基本概念空间中的物体在太阳光的照射下，会在地面上投下影子。
若物体是平面图形，那么图形和影子之间即建立了一种一一对应。
太阳光线可近似地看成是平行的，从而我们有以下概念。
1．平行投影：若从平面p到平面p¢的一一点对应满足对应点的连线互相平行，则称此对应为从平面p到平面p¢的平行投影。
注：透视仿射对应就是平行投影。
2.仿射对应：有限个平行投影的积。
注：仿射变换的结构（即仿射变换的分解）问题已解决，即仿射变换可分解为有限个平行投影的积。
但我们仍然可提出这样的问题“最少可用几个透视仿射变换表示仿射变换？”3.仿射不变量和仿射不变性图形的在仿射变换下保持不变的性质（数量）称为图形的仿射不变性（仿射不变量）。
4．单比1617设A 、B 、C 三点共线，称有向线段的比值BC AC 为A 、B 、C 的单比，记为)(ABC ，即BCAC ABC =)(。
注：单比的实质是解析几何中的定比分点中的分比，两者之间相差一个符号而已。
由此可见，仿射几何对解析几何会有重要的指导意义。
二 重要结果1．仿射对应的不变量体系① 基本不变量： 同素性、结合性、平行性、单比； ② 常用不变量： 平行线段之比、封闭图形面积之比。
注：（1） 由基本不变量和常用不变量经过“组合”，可导出许多不变量，如线段的中点、三角形的中线和重心、平行四边形的性质等。
（2） 必须引起重视的是角度不是仿射不变的。
2．仿射坐标系（根据仿射不变量体系所建立的相应的坐标系）其中PP x //EE x //y 轴，PP y //EE y //x 轴，且x 轴与y 轴上不一定垂直，其上的度量单位在一般情形下不一致。
183．仿射对应的代数表示 0,22211211232221131211¹îíì++=¢++=¢a a a a a y a x a y a y a x a x或 0,0¹+=¢A X AX X 。
4．仿射几何基本定理： 不共线的三对对应点唯一决定一个仿射对应。
注：为什么要研究变换的不变量？我们所研究的变换是连续性的，一个图形经过连续变形而变到另一个图形，在连续变化过程中得到的一系列图形具有一定的共性。
这种共性是变化前后的图形都拥有的，换句话说，这种共性不因变换而改变，即它们是变换的不变量（性质）。
不变量的作用在于：（1） 我们可以从特例或比较简单图形的性质导出复杂图形的性质，这是从特殊到一般的哲学思想在几何研究中的体现。
（2） 不变量系统可使我们弄清楚几何学的构建或者解决结构问题。
例如我们研究n 阶矩阵的特征值和特征向量而导致线性变换下的不变子空间，最终导致线性空间分解为不变子空间的直和。
又如我们研究正交变换下的不变量系统，导致我们建立笛卡尔直角坐标系，从而给出正交变换的代数表示，最终导出正交变换可分解为平移、旋转和反射的积，从而解决了正交变换的结构问题。
三、例题选讲例1 求椭圆12222=+by a x 的面积。
19解 适当选取仿射变换 ïîïíì=¢=¢yy x a b x ，将椭圆变成圆。
因为面积之比是仿射不变量，所以 BA O OAB S S S S ¢D D =圆椭圆 所以b b ab S p p =×=22椭圆小结：（1） 由本例可建立模型：在仿射变换下，叙述形式保持不变的命题（称为仿射命题）。
解法：适当选取仿射变换或仿射坐标系，将一般问题变为特殊情形，使问题获得解决，再利用不变性返回一般情形。
(2) 仿射几何是射影几何的子几何。
本章在全书中的作用是为射影几何的展开铺路、提供素材，以便初学者入门。
例2 梯形两底的中点，两腰的交点，两对角线的交点，四点共线。
分析 梯形、线段的中点、直线的交点和点共线都是仿射不变的，从而本命题的叙述形式在仿射变换下保持不变。
根据上面的小结，我们求解如解 取两底中点的连线为y 轴x 轴建立仿射坐标系如图，那么AC 的方程为 x+(a+1)y –1 = 0 BD 的方程为 x-(a+1)y+1 = 0 解得P 的坐标为 （0，1） AD 的方程为 x+(a-1)y+1 = 020BC 的方程为 x-(a-1)y –1 = 0解得Q 的坐标为 （0，1/（a - 1））。
所以O 、M 、P 、Q 都在y 轴上，即O 、M 、P 、Q 四点共线。
