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•—、曲线的参数方程•第1课时参数方程的概念、圆的参数方程卜1.理解曲线参数方程的有关概念.卜2.掌握圆的参数方程.「3一一能够根据圆的参数方程解决最值问题____ ] •1. 了解曲线的参数方程的意义.（重点）I•2.常与方程、平面几何和三角函数结合命题|I• 3.掌握圆的参数方程并用于解决最值问题. （难点）预习学案启动思维目前世界上最高的摩天轮是北京朝阳公园的朝天轮，它的轮盘直径约198米，地面高度208米，运转一周大约需要30分钟，安装在轮缘上的48个同步旋转的空调轿厢, 每个最多可截客40人・若一游客从地面搭乘摩天轮，经t秒后该游客的位置在哪里？走进教材1.参数方程的概念一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标(兀，y)都是某个变数t的函数山飞⑴①,并且对于f的每一个允许值，由方程组①所确定的点M(x, y)都在这条曲线上，那么方稈①就叫做这条曲线的参数方程联系变数兀,y 的变数' 叫做参变数,简称参数.相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方稈叫做参数普通方程 .2. 的参数方程（1）如图所示，设0的半径是r,占八、、M从初始位置A/。
出发，按逆时针方向在O上作匀速周运动，设\x=rcos 3 y=rsin 0（0为参数）y），则>4这就是心在原点0,半径为r的圆的参数方程，其中0的几何意义是0M。
绕点O逆时针旋转到I OM的位置时, OM。
转过的角度.• (2)圆心为C(o，b)，半径为厂的圆的普通方程自主练习是（）A.直线x+2y —2 — 0B.以（2,0）为端点的射线D.以（2Q ）和（0，1）为端点的线段 C. (%—1)2+/=11・若曲线 |x =1 +cos 20, y=sin 23 （0为参数），则点（兀，y ）的轨迹•解析:x = 1 + cos 20=2 - 2sin20 ,又sin?。
= %• Ax = 2 - 2y ,艮卩兀+ 2y - 2 = 0.•又y = sin20e [0,1] z•・••轨迹是以(2,0)和(0,1)为端点的线段・•答案：D•2.由方程兀2+护—4饥一2°+5Q—4=0(r为参数)所表示的一族圆的圆心轨迹是()•A. —个定点 B. —个椭圆•C・一条抛物线 D. 一条直线解析：上述方程可变形为(%—2r)2+(y—r)2：=4,・•・这组圆的圆心坐标为(2t, t).令[ =>x—2y=0.[y=t•答案：D• 3.把圆x2+y2+2x—4y+1 =0化为参数方程—4y+1 —0 的标准方程是(x+ 1)2H~ 心为（一1,2），半径为2,故参数方程为|x—— 1 +2cos 0y=2 + 2sin 3（0为参数）答案:x=— 1 +2cos 0y=2+2sin 3（0为参数）2)2=4,• 4•二个大风壬的半径为8 m,12分钟旋转一周 ,它的最低点离地面2 m（如图所示），风车翼片的一个端占为P.炎. 、•（1）点P的参数方程；•（2）点P到地面的距离加米）与时间/（分钟）之间的函数关系（用弧度制求解）.解析：首先考虑建立直角坐标系，以最低点的切线作为X 轴，最低点作为坐标原点，如图建立直角坐标系.(1)设P(JG y)的初始位置在最低点，1X0ZPO l O=0,那么风车上翼片端点所在位置P可由函数兀⑴、y⑴来刻画.在RtAOrPQ中，8cos 3=~/.x(0 = 8sin 0, y(r)= — 8cos 0+8.8 ，而寻=号’所以0=自・兀x(0 = 8sin g71 ,小y(f)=_8cos g+8即点P的参数方程为7Cx=8sin ~^tTty = — 8cos g+8 （［为参数）・7Th⑴=y(D + 2, (2)Vy(O = —8cos g+8,.\/z(0=—8cos ”+10・课堂讲义典例导航2cos 0PQ (°为参数，0£0<2兀)[y=3sin 3(判断点A(2,0), B -A/3,刁是否在曲线C上？若在曲线上，\ 厶)求出点对应的参数的值.•［思路点拨］(1)消参,得到普通方程•⑵将点代入普通方程判断• (3)注意变量的取值范围k==2cos 0［解题过程］将点A(2,0)的坐标代入［y=3sin0 ，得cos 3= 1Vsin 0=0，由于0解得0=0,所以点4(2,0)在曲线C上，对应0=0.将点B—A/3,\ I］的坐标代入x—• 2cos3V3 2cos 0—书cos 3=-2-• a 1sin t/=2由于0<3<2TI,解得0=5兀"6_,所以点冲一伍目在曲线C±,对应&=石・［规律方法］对于曲线C 的普通方程＞,j ）=0,若点M （X1， yi ）在曲线上，则/Cm yJ=O,若点Ng ，丁2）不在曲线上，则Zte ， 力）和.同样，对于曲线c 的参数方程¥=£；；）（》为参数），若点即参数（不存在.［变式训练］1 •已知曲线C 的参数方程为1=”_4 (/为参血,旳）在曲线上,则忙眷）对应的参数f 有解，否则无解,数)判断点4(3,0), 3(—2,2)是否在曲线C上？若在曲线上，求出点对应的参数的值.. 一\x=t+\b+l=3解析：将点4(3,0)的坐标代入(=[2_4，得(2_4=0，解得尸2,所以点A(3,0)在曲线C上，对应参数尸2.]%=/+1 ”+1 = _2将点8( — 2,2)的坐标代入[円2_4，得[—4 = 2 '即,此方程组无解，所以点3(—22)不在曲线C上.•例酬＜ 已知圆的普通方程界+护+2兀一6y+9 =0,将它化为参数方程.［思路点拨］（1）将圆的普通方程化为参数方程，关键是引 入适合的参数.⑵将一般方程标准化I —T 引入参数I —T 化为参数方程圆的参数方程［解题过程］由x2+y2+2x-6y+9 = 0, 得(x+l)24-(j—3)2= 1. 令x+1 =cos 0, y—3 = sin 0,fx= —1+cos 0，所以参数方程为仁3 +smo（0为参数）.［规律方法］(1)普通方程化为参数方程关键是选参数，并且利用三角等式sin2a+cos2a = 1.(2)常见的圆的参数方程有：x=rcos q *匚、①圆x2+y2=r2的参数方程为：sin6) (0为参数)；fx=x0+rcos 0,②圆(x-^o)2+(y-yo)2=r2的参数方程为［尸沟+罰0(0为参数).4/ 4r 当fHO 时,而y=tx,即2,尸l+z24? y—TT?•［变式训练］2•设丁 =饥（》为参数），求圆x2+y2 -4^=0的参数方程.解析：因为y=tx,代入x2+y2—4y=0,得x2+(/x)2—4/x—0.r r fx = 0,当f=0 时，x=0,且y=0,即＜ c 2=0・• 例❸《已知矩BABCD 的顶点C(4,4),点4在 圆O ： x 2+y 2=%x>0, y>0)±移动，且 AD 两边始终分别平行于兀轴、评由.求矩形 4BCD 面积的；「川二斗值，以及相应的点 4的坐标.AV B参数方程的应用•［思路点拨］由题目可获取以下主要信息:①点C(4,4)是定点，点A是弧上的动点；*②*矩开如= S刊'\AD\.解答本题可以设出点A的坐标,转化为矩形白6邻边的长屢之积求最小值与最知首.［解题过程］方法一：设点A的坐标为a，y±°)' 则??+y2 = 9.S 矩形ABCD=SBI・SD=(4—兀)・(4一刃= 16—4(x+y)+xy ・_(x+y『_9 •••(x+y)2=x2+y2+2xy=9+2x”•••xy= 2 ・•••S 矩形ABCD= 16一4(x+y)+ 2Vx2+y2^(x+y)2^2(x2+y2)(x^0, y^O)・°・9W(x+y)y 18,于是3Wx+yW3边令t=x+y,贝I」S 矩形ABCD=2^t—4『+㊁.(3W T W3A J^)7 7/.当t=x+y = 4时,Smin = y 此时xy = 297所以兀、y是方程才一4z+㊁=0即2z2—8z+7=0的两根,解得z=2± 22■<x=2+ 22或V y=2+当 f=x+y=3 时，Smax=4,此时 xy =Oj 所以％、y 是方程z 2—3z=0的两根.此时点4的坐标为综上所述，S m[n =225max=4,此时点人的坐标为(3,0)或(0,3)・方法二：由于点4在圆6 x2+y2=9(x^0, y^O)上移动,7T所以设点4(3cos0, 3sin <9),且0,才S ABCD =\AB\'\AD\= (4-3cos 0)・(4一3sin 6»)=16— 12(sin 0+cos 0) + 9sin 0・cos 0.( 、令f=sin 0+cos 3=\l2sin 0+f ,#_1则sin 0・cos 3=―—，且[1, A/2].7+尹WW 边）.47 当 t=sin 0 + cOS 0 = g 时，Smin = y7此时 sin 3-cos 0=込，• Q _2.2_19 I• •»矩形ABCD —2厂 2_9f_4\3丿4 7 所以sin 0、cos 0 是方程z2—^z+j^=O, 即18Z2-24Z+7= 0 的两根，解得毫盖.x=3cos 0=2+号-y=3sin <9=2-半%—3cos 0=2 —或彳J = 3sin 0=2 +当r=sin O+cos 0=1时,Smax=4, 此时sin 0・cos 0=0,所以sin 3=0, cos 3=1或sin 3=1, cos 3=0.x-— 3cos 0~— 3 丿=3sin<9=0 或| x=3cos 0=0 y = 3sin 3=3 *综上所述，5min =此时点4的坐标为2+麥，25max=4,此时点A的坐标为(3,0)或(0,3)・•［规律方法］⑴方法一：设出点4的直角坐标,将矩形的面积表示为兀+歹的二次函数,而利用基本不等式确定x + y的取值范围是难点・方法二：利用圆的参数方程,将矩形的面积表示为角0的三角函数,根据三角函数的有界性从而求出了矩形面积的最大值与最小值,这样就突破了有关不等式方面的难点・两种方法都运用了换元法,这是解决多元函数问题的常用技巧・• (2)在解答本题的过程中,易出现换元时不考虑参数的取值范围的错误,导致错误的原因•［变式训练］3.青海省玉树县2010年4月14日发生7.1级地震，灾区人民的安危牵动着全国人民的心，一批批救援物资源源不断地运往灾区•现在一架救援飞机在离灾区地面593 m 高处以150m/s的速度作水平飞行.为使投放救援物资准确落于灾区某指定的地点（不记空气阻力），飞行员应如何确定投放时机呢？解析：如图所示，物资投出机舱后，设在时刻t的水平位移为X,垂直距离为"(g = 9・8 m/s2).令J=0,得alls,代入x=150t,得x^l 650 m.所以，飞行员在离救援点的水平距离约1 650米时开始投放物资，可使其准确落在指定位置.疑难解读•1.求曲线的参数方程的方法步骤是什么？•(1)建立直角坐标系，设曲线上任一点P坐标为(x，y)；•(2)选取适当的参数，与运动有关的问题选取时间"故参数，与旋转的有关问题选取角0叫做参数，或选取有向线段的数量、长度、直线的倾斜角、斜率等.•(3)根据已知条件和图形的几何性质，物理意义，建立点P坐标与参数的函数式；/八左希存旦石rh 巫施心会拓iVi丽/古姑审M的参数方程中，设点M 绕点0转动的角速度为①（① 为常数）转动的某一时刻为t,因此取时刻t 为参数可得圆的参 数方程为：若以0M 转过的角度0（ZM°OM=0）为参数，可得圆的参[FCOS 0数方程为 .a （0为参数），此时0具有明显的几何意义. y=rsin c/2・ 参数有什么实际意义?x=rcos coty = rsin cot（t 为参数），此时参数f 表示时间.。
