例题4 设X={1，2，3，4}，若H={<x，y>|(x-y)/2是整数}， S={<x，y>|(x-y)/3是正整数}，求HS，HS， H，S-H。 解：H={<1，1>，<1，3>，<2，2>，<2，4>， <3，3>，<3，1>，<4，4>，<4，2>} S={<4，1>} HS={<1，1>，<1，3>，<2，2>，<2，4>，<3，3>， <3，1>，<4，4>，<4，2>，<4，1>} HS= XX={<1，1>，<1，2>，<1，3>，<1，4>，<2，1>， <2，2>，<2，3>，<2，4>，<3，1>，<3，2>， <3，3>，<3，4>，<4，1>，<4，2>，<4，3>，<4，4>} H={<1，2>，<1，4>，<2，1>，<2，3>，<3，2>， <3，4>，<4，1>，<4，3>} S-H={<4，1>}
3、有序３元组：是一个序偶，其第一元素本身也是一个 序偶，表示为<<x，y>，z>或<x，y，z>。 4、有序n元组：有序n元组也是一个序偶，其第一元素是 一个n-1元组。< <x1，x2，…， xn-1> ，xn>，通常简记为： <x1，x2，…， xn-1，xn>，其中xi称作它的第i坐标，i=1， 2，…，n。 <x1，x2，…， xn-1，xn> =<y1，y2，…，yn-1，yn>的充要 条件是xi=yi，i=1，2，…，n。
小圆圈用直线或弧线连接起来,并加上从结点a到结
点b方向的箭头。
例 设A＝｛1,2,3,4,5｝,B＝｛a,b,c｝, 则ρ 1 ＝｛(1,a),(1,b),(2,b),(3,a)｝是 A 到 B 的关系, 而ρ 2＝｛(a,2),(c,4),(c,5)｝是B到A的关系。 其集合表示法如下：
2、关系矩阵： 设给定两个有限集合X={x1，x2，…，xm}， Y={y1，y2，…，yn}，R是X到Y的关系，则R 的关系矩阵MR，其中[rij]mn， rij =1，当<xi， yj>R， rij =0，当<xi， yj>R 。
若A、B均是有限集，|A|=m，|B|=n，则|AB|=mn。
三、笛卡尔积的性质
1、对于任意集合A，A=， A= 。
2、笛卡尔积运算不满足交换律，当A，B， AB时ABBA。
3、笛卡尔积运算不满足结合律，即当A，B，C 均非空时(AB)CA(BC)。
4、定理3-4.1：对任意三个集合A、B、C，有 (1)A(BC)=(AB)(AC) 证明两个集合相 (2)A(BC)=(AB)(AC) 等，可以证明它 (3)(BC)A=(BA)(CA) 们互相包含。 (4)(BC)A=(BA)(CA) 证明：(2)<a，b>A(BC)， 则aA，bBC，即aA，bB，且bc，
定理3-3.1：设A1，A2为有限集合，其元素个数分别 为|A1|，|A2|，则|A1A2|=|A1|+|A2|-|A1A2|，此定理被 称作包含排斥原理。
3-4 序偶与笛卡尔积
一、有序n元组
1、序偶(有序2元组)：两个具有固定次序的 客体组成一个序偶(有序2元组)，记作<x， y>，其中x是它的第一元素，y是它的第二元 素。
一、有序n元组
例：平面直角坐标系中的一个点的坐标就构成为 一个有序序偶，我们可用<x，y>表示。
注：序偶是讲究次序的。 例<1，3>和<3，1>表示平面上两个不同的点，这 与集合不同，{1，3}和{3，1}是两个相等的集合。 2、定义3-4.1：两个序偶相等，<x，y>=<u，v>， 当且仅当x=u且y=v。
5、定理3-5.1：若Z和S是集合X到Y的两个关 系，则Z和S的并、交、补、差仍是到的关系。
关系的表示方法
• 集合法 • 关系矩阵 • 关系图
二、关系的表示 1、集合 为直观地表示A到B的关系,采用如下的图示:
•用大圆圈表示集合A和B,里面的小圆圈表示集合中 的元素; •若a∈A,b∈B,且(a,b)∈ρ,则在图示中将表示a和b的
3、X到Y的关系 例题2 设X={1，2，3，4}，求X上的关系>及 dom >，ran >。 解： >={<2，1>，<3，1>，<4，1>，<3， 2>，<4，2>，<4，3>} dom >={2，3，4}， ran >={1，2，3}
4、特殊的关系 (1)全域关系：对于集合X和Y，称XY为X到Y的全域关 系。记作U。 称为空关系。 (2)二元关系：R是XX的子集，称R是X上的二元关系 (3)恒等关系：Ix称为X上的恒等关系iff Ix={<x,x>|xX}
3-5 关系及其表示
• • • • • 兄弟关系 师生关系 朋友关系 恋人关系 大于关系
一、关系（Relation）
1、关系 定义3-5.1：任一序偶的集合确定了一个二元关系R， <a，b>R记作aRb，称a与b有关系，<a，b>R记 作aRb，称a与b没有关系。 例如，>={<x，y>|x，y是实数且x>y} 说明： (1)把关系R这种无形的联系用集合这种“有形”的实 体来描述，为今后的描述和论证带来方便。 (2)序偶是讲究次序的，如果有<a，b>R未必有<b， a>R ，即a与b有关系R，未必b与a有关系R。 例：甲与乙有父子关系，但乙与甲没有父子关系。
序偶<x,y>其元素可以分别属于不同的集合，因此任给 两个集合A和B，我们可以定义一种序偶的集合。
二、笛卡尔积
1、定义3-4.2：设A和B是任意两个集合，由A中 元素作第一元素，B中元素作第二元素构成序偶， 所有这样序偶的集合称集合A和B的笛卡尔积或直
积。记作AB。 即
AB={<x，y>|xA∧yB}
证明定理3-4.3用到集合包 含的传递性： (AB)∧(BC) (AC)
6、定理3-4.3：对任意四个非空集合，ABCD的充分 必要条件是AC，BD。 证明：充分性。设AC，BD。 由定理3-4.2，因BD，A，所以ABAD。又AC， D非空，所以ADCD，所以ABCD。 必要性。设 ABCD。 xA，yB，所以<x， y>AB，又因ABCD，所以<x，y>CD，所以 xC，yD，所以AC，BD
2、前域、值域 定义3-5.2：二元关系R中， •所有序偶的第一元素的集合dom R称为R的 前域，即： dom R={x|(y)<x，y>R} •所有序偶的第二元素的集合ran R称为R的值 域，即： ran R={y|(x)<x，y>R} 。 •R的前域和值域一起称作的域，记作FLD R。 即： FLD R=dom Rran R
2、n个集合的笛卡尔积：集合A1，A2，…，An，则
特别地，
约定：若A=或B=，则A B= ，B A=
例题 若A={，}，B={1，2，3}，求AB， BA， AA， BB以及(AB)(BA)。 解：AB={<，1>，<，2>，<，3>，<，1>，<，2>， <，3>} BA={<1，>，<1， >，<2，>，<2，>，<3， >， <3， >} AA={<， >，<， >，<，>，<， >} BB={<1，1>，<1，2>，<1，3>，<2，1>，<2，2>， <2，3>，<3，1>，<3，2>，<3，3>} (AB)(BA)=
例题3 若H={f，m，s，d}表示一个家庭中的父、母、 子、女四个人的集合，确定H上的全域关系和空关系， 另外再确定H上的一个关系，指出该关系的值域和前域。 解： •设H上的同一家庭成员的关系为H1，H上的互不相识 的关系为H2，则：H1为全域关系，H2为空关系； •设H上的长幼关系为H3 ， H3={<f，s>，<f，d>，<m， s>，<m，d>}，dom H3={f，m}，ran H3={s，d}
M 2
a 0 1 0 0 0 b 0 0 0 0 0 c 0 0 0 1 1
关系矩阵的写法也可以简化, 当约定了元素 的次序后, 可以不写最左列和最上行的元素。 如
1 0 M 1 1 0 0
1 0
例题5 设X={x1,x2,x3,x4},Y={y1,y2,y3}, R={<x1,y1>, <x1,y3>, <x2,y2>, <x2,y3>, <x3,y1>, <x4,y1>, <x4,y2>}，写出关系矩阵MR。
例题6 设A={1,2,3,4}，写出集合A上大于关系>的 关系矩阵。
离 散 数 学
Discrete Mathematics
曾庆田
Email:qtzeng@
