4二元关系和函数

二元关系和函数是离散数学中的基本概念，它们在数学领域中有着重要的地位。

在本篇文章中，我们将深入探讨二元关系的复合运算和函数的区别，希望能够让读者对这两个概念有更清晰的认识。

一、二元关系的复合运算1. 二元关系的定义在介绍二元关系的复合运算之前，我们需要先了解二元关系的基本概念。

二元关系是集合论中的一个概念，它描述了两个元素之间的某种关系。

如果集合A和B之间的关系R满足aRb，其中a∈A，b∈B，那么我们称R是从A到B的二元关系。

2. 二元关系的复合运算当我们考虑两个二元关系R和S的复合运算时，我们是在寻找一种新的关系，这个新的关系描述了R中的元素与S中的元素之间的某种关系。

具体而言，对于R中的元素a和S中的元素b，如果存在一个元素c，使得aRc且cSb成立，那么我们就称这个元素c满足R和S的复合运算，记作R∘S。

3. 复合运算的性质在二元关系的复合运算中，我们可以总结出一些性质，比如结合律、分配律等。

这些性质有助于我们更好地理解复合运算的运算规律，并在实际问题中进行应用。

二、函数的定义和特点1. 函数的定义函数是高中数学中最基本的概念之一，它描述了两个集合之间的一种特殊关系。

具体而言，如果集合A和集合B之间的关系f满足对于A中的每一个元素a，都存在一个元素b使得f(a)=b成立，那么我们就称f是从A到B的函数。

2. 函数的特点函数具有一些明显的特点，比如每一个自变量都有且只有一个对应的因变量，这是函数与普通关系的本质区别之一。

函数还有定义域、值域、单调性、奇偶性等特点，这些特点在实际问题中有着重要的作用。

三、二元关系的复合运算和函数的区别1. 从定义上来看二元关系和函数在定义上有着明显的不同。

二元关系描述了两个集合之间的某种关系，没有对应的自变量和因变量的概念；而函数则是描述了两个集合之间的特殊关系，其中包含了自变量和因变量的概念。

2. 从表示形式来看二元关系和函数的表示形式也有所不同。

在二元关系中，我们通常用有序对的形式来表示两个元素之间的关系；而在函数中，我们则使用映射的形式来表示自变量和因变量之间的对应关系。

离散数学第四章二元关系和函数知识点总结集合论部分第四章、二元关系和函数集合的笛卡儿积与二元关系有序对定义由两个客体x 和y，按照一定的顺序组成的二元组称为有序对，记作实例：点的直角坐标(3,4)有序对性质有序性（当x y时）与相等的充分必要条件是= x=u y=v例1 = ，求x, y.解 3y 4 = 2, x+5 = y y = 2, x = 3定义一具有序n (n3) 元组是一具有序对，其中第一具元素是一具有序n-1元组，即= , x n>当n=1时, 形式上能够看成有序 1 元组.实例 n 维向量是有序 n元组.笛卡儿积及其性质定义设A,B为集合，A与B 的笛卡儿积记作A B，即A B ={ | x A y B } 例2 A={1,2,3}, B={a,b,c}A B ={,,,,,,,,}B A ={,,,,,,, ,}A={}, P(A)A={, }性质：别适合交换律A B B A (A B, A, B)别适合结合律 (A B)C A(B C) (A, B)关于并或交运算满脚分配律A(B C)=(A B)(A C)(B C)A=(B A)(C A)A(B C)=(A B)(A C)(B C)A=(B A)(C A)若A或B中有一具为空集，则A B算是空集.A=B=若|A|=m, |B|=n, 则 |A B|=mn证明A(B C)=(A B)(A C)证任取∈A×(B∪C)x∈A∧y∈B∪Cx∈A∧(y∈B∨y∈C)(x∈A∧y∈B)∨(x∈A∧y∈C)∈A×B∨∈A×C∈(A×B)∪(A×C)因此有A×(B∪C) = (A×B)∪(A×C).例3 (1) 证明A=B C=D A C=B D(2) A C=B D是否推出A=B C=D 为啥解 (1) 任取A C x A y Cx B y D B D(2) 别一定. 反例如下：A={1}，B={2}, C=D=, 则A C=B D 然而A B.二元关系的定义定义设A,B为集合, A×B的任何子集所定义的二元关系叫做从A到B的二元关系, 当A=B时则叫做A上的二元关系.例4 A={0,1}, B={1,2,3}, R1={}, R2=A×B, R3=, R4={}. 这么R1, R2, R3,R4是从A 到B的二元关系, R3和R4并且也是A上的二元关系.计数|A|=n, |A×A|=n2, A×A的子集有个. 因此A上有个别同的二元关系.例如 |A|=3, 则A上有=512个别同的二元关系.设A 为任意集合，是A 上的关系，称为空关系E, I A 分不称为全域关系与恒等关系，定义如下：AE={|x∈A∧y∈A}=A×AAI={|x∈A}A例如, A={1,2}, 则E={,,,}AI={,}A小于等于关系L A, 整除关系D A, 包含关系R定义： L={| x,y∈A∧x≤y}, A R，R为实数集合AD={| x,y∈B∧x整除y},BB Z*, Z*为非0整数集R={| x,y∈A∧x y}, A是集合族.类似的还能够定义大于等于关系, 小于关系, 大于关系, 真包含关系等等.例如A = {1, 2, 3}, B ={a, b}, 则L={,,,,,}AD={,,,,}AA=P(B)={,{a},{b},{a,b}}, 则A上的包含关系是R={,,,,, ,,,}二元关系的表示表示方式：关系的集合表达式、关系矩阵、关系图关系矩阵：若A={a1, a2, …, a m}，B={b1, b2, …, b n}，R是从A到B 的关系，R 的关系矩阵是布尔矩阵M R = [ r ij ] m n, 其中r ij= 1 R.关系图：若A= {x1, x2, …, x m}，R是从A上的关系，R的关系图是G R=, 其中A为结点集，R为边集.假如属于关系R，在图中就有一条从x i到x j 的有向边.注意：A, B为有穷集，关系矩阵适于表示从A到B的关系或者A上的关系，关系图适于表示A上的关系A={1,2,3,4},R={,,,,},R的关系矩阵M和关系图G R如下：R关系的运算基本运算定义：定义域、值域和域dom R = { x | y (R) }ran R = { y | x (R) }fld R = dom R ran R例1 R={,,,}, 则dom R={1, 2, 4}ran R={2, 3, 4}fld R={1, 2, 3, 4}逆与合成R1 = { | R}R°S = | | y (RS) } 例2 R={, , , } S={, , , , }R1={, , , }R°S ={, , }S°R ={, , , }定义 F 在A上的限制F?A = { | xFy x A}A 在F下的像F[A] = ran(F?A)实例R={, , , }R?{1}={,}R[{1}]={2,4}R?=R[{1,2}]={2,3,4}注意：F?A F, F[A] ran F基本运算的性质定理1 设F是任意的关系, 则(1) (F1)1=F(2) dom F1=ran F, ran F1=dom F证 (1) 任取, 由逆的定义有∈(F 1) 1 ∈F 1 ∈F因此有 (F1)1=F(2) 任取x,x∈dom F 1 y(∈F1)y(∈F) x∈ran F因此有dom F1= ran F. 同理可证 ran F1 = dom F.定理2 设F, G, H是任意的关系, 则(1) (F°G)°H=F°(G°H)(2) (F°G)1= G1°F 1证 (1) 任取,(F°G)°H t(∈F°G∧∈H) t (s(∈F∧∈G)∧∈H)t s (∈F∧∈G∧∈H)s (∈F∧t (∈G∧∈H))s (∈F∧∈G°H)∈F°(G°H)因此(F°G)°H = F°(G°H)(2) 任取,∈(F°G)1∈F°Gt (∈F∧(t,x)∈G)t (∈G1∧(t,y)∈F1)∈G1°F1因此(F°G)1 = G1°F1幂运算设R为A上的关系, n为自然数, 则R 的n次幂定义为：(1) R0={ | x∈A }=I A(2) R n+1 = R n°R注意：关于A上的任何关系R1和R2都有R 10 = R20 = IA关于A上的任何关系R 都有R1 = R性质：定理3 设A为n元集, R是A上的关系, 则存在自然数s 和t, 使得R s = R t.证R为A上的关系, 由于|A|=n, A上的别同关系惟独个.当列出R 的各次幂R0, R1, R2, …, , …,必存在自然数s 和t 使得R s=R t.定理4 设R 是A 上的关系, m, n∈N, 则(1) R m°R n=R m+n(2) (R m)n=R mn证用归纳法(1) 关于任意给定的m∈N, 施归纳于n.若n=0, 则有R m°R0=R m°I=R m=R m+0A假设R m°R n=R m+n, 则有R m°R n+1=R m°(R n°R)=(R m°R n)°R=R m+n+1 ,因此对一切m, n∈N有R m°R n=R m+n.(2) 关于任意给定的m∈N, 施归纳于n.若n=0, 则有(R m)0=I A=R0=R m×0假设 (R m)n=R mn, 则有(R m)n+1=(R m)n°R m=(R mn)°R m=R mn+m=R m(n+1) 因此对一切m,n∈N有 (R m)n=R mn.关系的性质自反性反自反性定义设R为A上的关系,(1) 若x(x∈A→R), 则称R在A上是自反的.(2) 若x(x∈A→R), 则称R在A上是反自反的.实例：反关系：A上的全域关系E A, 恒等关系I A小于等于关系L A, 整除关系D A反自反关系：实数集上的小于关系幂集上的真包含关系例1 A={1,2,3}, R1, R2, R3是A上的关系, 其中R＝{,}1R＝{,,,}2R＝{}3R自反,2R反自反,3R既别是自反也别是反自反的1对称性反对称性定义设R为A上的关系,(1) 若x y(x,y∈A∧∈R→∈R), 则称R为A上对称的关系.(2) 若x y(x,y∈A∧∈R∧∈R→x=y), 则称R为A上的反对称关系.实例：对称关系：A上的全域关系E A, 恒等关系I A和空关系反对称关系：恒等关系I A，空关系是A上的反对称关系.例2 设A＝{1,2,3}, R1, R2, R3和R4基本上A上的关系,其中R＝{,}，R2＝{,,}1R＝{,}，R4＝{,,}3R对称、反对称.1R对称，别反对称.2R反对称，别对称.3R别对称、也别反对称.4传递性定义设R为A上的关系, 若x y z(x,y,z∈A∧∈R∧∈R→∈R), 则称R是A上的传递关系.实例：A上的全域关系E,恒等关系I A和空关系A小于等于关系, 小于关系，整除关系，包含关系，真包含关系例3 设A＝{1,2,3}, R1, R2, R3是A上的关系, 其中R＝{,}1R＝{,}2R＝{}3R和R3 是A上的传递关系1R别是A上的传递关系2关系性质的充要条件设R为A上的关系, 则(1) R在A上自反当且仅当I A R(2) R在A上反自反当且仅当R∩I A=(3) R在A上对称当且仅当R=R 1(4) R在A上反对称当且仅当R∩R1I A(5) R在A上传递当且仅当R R R证明模式证明R在A上自反任取x,第11页/共11页。

网络工程专业《离散数学》本科课程教学大纲（2022版）计算机学院2022年编制一、课程基本信息课程代码：128003课程名称：离散数学学分/学时：4.5学分/72学时课程类别：专业教育模块课程性质：专业基础课开课学期：第三学期授课对象：22网络工程本先修课程：高等数学、线性代数二、课程简介《离散数学》课程在讲授利用离散问题进行建模、数学理论、计算机求解方法和技术知识的同时，培养学生的数学抽象能力和严密的逻辑推理能力，通过本课程的学习，可以增强学生使用离散数学知识进行分析问题和解决实际问题的能力，为后续的计算机专业课程打下坚实的基础。

主要内容包括命题逻辑基本概念、等值演算、推理理论，一阶逻辑基本概念、推理理论，集合代数、二元关系、函数、基本组合计数公式、图的基本概念、欧拉图与哈密顿图、树、代数系统。

通过本课程的学习，学生能够掌握离散数学的基本知识、概念、公式及其应用，掌握离散数学中的常规逻辑推断方法，能够具备有效地收集、整理和分析数据的能力，并对所考察的问题作出推断或预测，以及应用数据挖掘和数据分析方法解决实际问题的能力，从而为今后学习、工作和发展建立良好的知识储备。

三、课程具体目标1.通过该课程的教学，了解并掌握计算机科学中普遍地采用离散数学中的一些基本概念、基本思想和基本方法。

通过本课程的学习将得到良好的数学训练，提高抽象思维能力和逻辑推理能力，掌握有关逻辑和证明的基本技巧和方法，理解并能初步运用离散结构进行问题建模和求解，从而为其学习计算机专业各门后续课程做好必要的知识准备，并为从事计算机的应用提供理论基础。

【毕业要求1.1工程知识】（M）2.掌握命题逻辑基本概念、等值演算、推理理论，一阶逻辑基本概念、推理理论，集合代数、二元关系、函数、基本的组合计数、图论等知识的相关的基本概念、基本表示和一些相关运算。

【毕业要求1.1工程知识】（M）3.在传统模式课堂上让学生自带移动智能终端（BYOD，Bring Your Own Device）开展即时互动反馈的信息化教学新模式，以满足教师和学生课堂教学互动与即时反馈需求，从而激发学生的独立思考、自主学习和探究的能力。

二元函数连续可微可导三者关系1. 首先，我们需要了解二元函数的连续性、可微性和可导性的定义。

一个二元函数是指一个拥有两个自变量和一个因变量的函数，通常表示为f(x, y)。

连续性是指函数在其定义域内不断接近于某一点的性质。

可微性是指函数在某一点处存在切线，可以用导数来表示切线的斜率。

可导性是可微性的一种特殊情况，指函数在某一点处存在有限的导数。

2. 当一个二元函数在一个点处连续时，意味着在该点处的函数值与其周围的点的函数值非常接近。

换句话说，如果我们选择足够接近这个点的任意两个点(x1, y1) 和(x2, y2)，那么对应的函数值f(x1, y1) 和f(x2, y2) 的差异将非常小。

这表明函数在这个点处没有突变或跳跃。

3. 如果一个二元函数在某一点处连续可微，那么它在该点处的偏导数存在且连续。

偏导数是指函数在该点处关于每个自变量的导数。

换句话说，不仅函数的函数值连续，而且函数在该点处每个自变量的变化对函数值的影响也是连续的。

这意味着函数在该点处的切线可以通过偏导数来准确描述。

4. 但是，连续可微并不一定意味着函数在该点处可导。

可导性是一个更高的要求，它要求函数在该点处存在有限的导数。

导数是函数在某一点处切线的斜率，可以用来近似描述函数在该点处的变化率。

如果一个二元函数在某一点处可导，那么偏导数的存在意味着函数在该点处的切线是唯一的，即不存在不同的切线可以通过该点。

5. 总结来说，二元函数的连续性、可微性和可导性有以下关系：连续性是最基本的性质，它要求函数在某一点处的函数值连续；可微性要求函数在某一点处连续且偏导数连续；可导性是可微性的特殊情况，它要求函数在某一点处存在有限的导数。

这些性质相互关联，但并不是互相包含的关系。

函数可以连续但不可微，也可以连续可微但不可导。

6. 最后，需要注意的是，虽然我们在讨论二元函数的连续性、可微性和可导性，但这些概念同样适用于多元函数。

多元函数是指拥有多个自变量和一个因变量的函数，其连续性、可微性和可导性的定义和二元函数是类似的。

一次函数和二元函数关系
一次函数和二元函数之间的关系可以从两个方面来理解：
1. 包含关系：一次函数是二元函数的一种特殊情况。

二元函数是数学上两个变量之间的关系，而一次函数是二元函数中的一个特殊类型，它表示的是x，y之间的一种线性依赖关系。

一次函数的一般形式为y=kx+b（k和b为常数，k≠0），其中x是自变量，y是因变量。

2. 图像关系：一次函数和二元一次方程的图像表示方法相同，都是直线。

二元一次方程的图像表示的是点的运动轨迹，而一次函数图像表示的是x，y之间的依赖关系。

二元一次方程可以看作是一次函数的特例，即当b=0时，二元一次方程就变成了一次函数。

一次函数和二元函数之间的关系主要表现在它们之间的包含关系和图像关系。

一次函数是二元函数的一个特殊情况，它们的图像表示方法相同，都是直线。

1。

二元函数的线性相关性线性相关性是描述两个二元函数之间的关系的一个重要指标。

当两个二元函数存在线性相关性时，它们的图像可以通过一个线性方程描述。

具体来说，对于两个二元函数f(x)和g(x)，如果存在不全为零的常数a和b，使得对于所有的x，有af(x)+bg(x)=0，我们称f(x)和g(x)是线性相关的。

线性相关性对于多个二元函数也同样适用。

对于n个二元函数f1(x)，f2(x)，...，fn(x)，如果存在不全为零的常数a1，a2，...，an，使得对于所有的x，有a1f1(x)+a2f2(x)+...+anfn(x)=0，我们称f1(x)，f2(x)，...，fn(x)是线性相关的。

线性相关性的研究在数学、物理学、工程学等许多学科中具有重要的意义。

下面我们将从不同的角度探讨二元函数的线性相关性。

1.线性相关性的定义和性质：线性相关性的定义在前文已经给出。

除了这个定义外，线性相关性还有以下性质：1.1 若f(x)和g(x)线性相关，则它们的线性组合也是线性相关的。

即对于任意的常数a和b，有af(x)+bg(x)=0，则对于任意的常数c和d，有caf(x)+dbg(x)=0。

1.2 若f(x)和g(x)线性相关，则它们的导数也是线性相关的。

即若有af(x)+bg(x)=0，则有a'f'(x)+b'g'(x)=0。

1.3 若f(x)和g(x)线性相关，则它们的积分也是线性相关的。

即若有af(x)+bg(x)=0，则有∫(a*f(x)+b*g(x))dx=0。

2. 线性相关性的判断：对于给定的二元函数f(x)和g(x)，我们如何判断它们是否线性相关呢？最常用的方法是求解它们的Wronskian行列式。

具体步骤如下：2.1计算f(x)和g(x)的导数f'(x)和g'(x)。

2.2 构造Wronskian行列式W(f,g)(x)=f(x)g'(x)-g(x)f'(x)。