下载文档原格式
1二元关系1. 有序对与笛卡尔积定义1.1 两个对象x , y 组成的满足如下性质的二元组(x , y )：(x , y )=(u,v ) 当且仅当x=u , y=v其中x 称为第一元素，y 称为第二元素。
定义1.2 集合A 和B 的笛卡尔积定义为{(,)|,}A B x y x A y B ⨯=∈∈特别地，若A 或者B 是空集，则A ×B 是空集。
例：注意：笛卡尔积不满足结合律和交换律。
2. 二元关系定义2.1 若A 和B 是集合， 则A ×B 的任何子集R 称为从A 到B 的二元关系，简称关系。
若(,)x y R ∈，则称有序对(x , y )满足关系R ，一般记为xRy .定义域dom(R )=值域ran(R )=集合C 在R 下的像：R [C]=例2.2 设集合R ={(a,1),(a,2), (b,2),(b,3)}，则该集合可视为从{a,b}到{1,2,3}的二元关系，其定义域和值域为dom(R )={a,b}ran(R )={1,2,3}定义2.3（关系矩阵）M R 是由真值组成的0-1矩阵。
例2.4关系图：G R 是一个二部图（bipartite ）。
定义2.4 若R 是从集合A 到A 的二元关系，即R A A ⊆⨯，则称R 是A 上的二元关系。
定义2.5 集合A 上的三种特殊关系：（1） 空关系：∅ 其矩阵是0方阵。
（2） 全关系：E A =A ×A 其矩阵是全1方阵。
（3） 恒等关系：{(,)|}A I x x x A =∈，其矩阵是单位矩阵。
23. 二元关系的几种运算我们考虑对于二元关系的如下运算，即并、逆、复合、方幂和限制。
定理3.1 设R ，Q 是从A 到B 的二元关系，则R Q R Q M M M =+U注意：其中的加法是真值加法，即逻辑或，即0+0=0, 1+1=1，1+0=1，0+1=1证明： 证毕定义3.2（二元关系的逆）设R 是从A 到B 的二元关系。
第七章二元关系§1 有序对与笛卡尔积定义两个元素x与y按一定顺序排列构成的二元组称为一个有序对（或序偶），记为〈x,y〉，称x 为第一元素，y为第二元素。
性质 (1) ,,x y x y y x≠⇒〈〉≠〈〉(2) ,,x y u v x u y v〈〉=〈〉⇔=∧=例25 2,45,242xx x yx y+=⎧〈+〉=〈+〉⇒⎨=+⎩3,2x y⇒==−定义：设A、B为两个集合，称{},x y x A y B〈〉∈∧∈为集合A与B的笛卡尔积，记为A×B。
性质：(1) ,A A×=×=∅∅∅∅(2)笛卡尔积不满足交换律与结合律(3)笛卡尔积对并、交满足分配律×=××∪∪A B C A B A C()()()×=××∪∪B C A B A C A()()()×=××∩∩A B C A B A C()()()×=××∩∩B C A B A C A()()()(4)A C B D A B C D⊆∧⊆⇒×⊆×例A={1,2}，求P(A)×A。
§2 二元关系定义设R是集合，若R=∅或A≠∅且A中元素均为有序对，则称R为一个二元关系。
若〈x,y〉∈R，则称x与y有关系R，记为xRy。
定义：设A与B是两个集合，由A×B的子集定义的二元关系称为A到B的二元关系；当A=B 时，称之为A上的二元关系。
例 设A ={0,1}，则R 1={〈0,0〉,〈1,1〉}，R 2=∅， R 3=A ×A 都是A 上的二元关系。
例 设A 是n 元集，则A ×A 有n 2个元素，于是A ×A 有22n 个子集，由此得A 上有22n 个二元关系。
例 设A 是任一集合① 称∅是A 上的空关系 ② 称A ×A 是A 上的全域关系③ 称{},A I x x x A =〈〉∈是A 上的恒等关系。
集合的笛卡尔积与二元关系一、集合的笛卡尔积1.定义：集合的笛卡尔积，又称集合的直积，是两个集合的所有有序对的集合。
如果集合A 和集合B是非空集，则集合A与集合B的笛卡尔积记为A×B，定义如下：A×B={(a,b)|a∈A,b∈B}其中，(a,b)是有序对，a是第一个元素，b是第二个元素。
2.性质：笛卡尔积具有以下性质：•交换律：A×B=B×A•结合律：对于集合A、B、C，有(A×B)×C=A×(B×C)•分配律：对于集合A、B、C，有A×(B∪C)=(A×B)∪(A×C)•笛卡尔积的基数：对于非空集A和B，有|A×B|=|A||B|二、二元关系1.定义：二元关系是两个集合之间的关系。
如果集合A和集合B是非空集，则集合A与集合B上的二元关系是集合A×B的子集。
2.性质：二元关系具有以下性质：•反身性：对于集合A中的每个元素a，有(a,a)∈R•对称性：对于集合A中的每个元素a和b，如果有(a,b)∈R，则(b,a)∈R •传递性：对于集合A中的每个元素a、b和c，如果有(a,b)∈R和(b,c)∈R，则(a,c)∈R3.二元关系的表示：二元关系可以用多种方式表示，包括：•箭头图：使用箭头来表示二元关系中的元素。
箭头从第一个元素指向第二个元素，表示这两个元素之间存在关系。
•矩阵表示：使用矩阵来表示二元关系中的元素。
矩阵的每一行和每一列分别对应集合A和集合B的元素，矩阵中的元素表示这两个元素之间是否存在关系。
•函数表示：使用函数来表示二元关系中的元素。
函数从集合A映射到集合B，函数的输出值表示集合A中的元素与集合B中的元素之间的关系。
三、集合的笛卡尔积与二元关系1.笛卡尔积与二元关系的关系：笛卡尔积与二元关系之间存在着密切的关系。
二元关系是笛卡尔积的子集，笛卡尔积是二元关系的超集。
《离散数学》教学大纲（Discrete Mathematics）适用专业：电子信息类课程类别：学科基础课课程学时：48课程学分：3.0先修课程：高等数学、线性代数等一、课程简介离散数学是研究离散量的结构及其相互关系的数学学科，是现代数学的一个重要分支，是计算机科学中基础理论的核心课程，是计算机科学与技术的支撑学科。
它在计算机科学与技术领域有着广泛的应用，同时离散数学也是计算机专业的许多专业课程，如程序设计语言、数据结构、操作系统、编译技术、人工智能与机器人、数据库、网络、计算机图形学、算法设计与分析、理论计算机科学基础等必不可少的先行课程。
通过离散数学的学习，不但可以掌握离散结构的描述工具和处理方法，为后续课程的学习创造条件，而且可以提高抽象思维和严格的逻辑推理能力，为将来参与创新性的研究和开发工作打下坚实的基础。
二、教学目的与任务离散数学是一门培养学生缜密思维、严格推理，具有综合归纳分析能力的课程。
通过本课程的学习，使学生有一定的严格逻辑推理与抽象思维能力，掌握离散量的处理及运算技能，能够将离散数学应用到解决计算机技术中的实际问题中。
不仅能为学生奠定计算机科学的专业基础，并且能为将后续课程的学习及将来开发软、硬件技术及研究、应用提供有力的工具。
三、课程内容第1章命题逻辑的基本概念1.1命题与联结词1.2命题公式及其赋值第2章命题逻辑等值演算2.1等值式2.2析取范式与合取范式* 2.3联结词的完备集* 2.4可满足性问题与消解法第3章命题逻辑的推理理论3.1推理的形式结构3.2自然推理系统P3.3消解证明法第4章一阶逻辑基本概念4.1一阶逻辑命题符号化4.2一阶逻辑公式及其解释第5章一阶逻辑等值演算与推理5.1一阶逻辑等值式与置换规则5.2一阶逻辑前束范式* 5.3一阶逻辑的推理理论第6章集合代数6.1集合的基本概念6.2集合的运算6.3有穷集的计数6.4集合恒等式第7章二元关系7.1有序对与笛卡儿积7.2二元关系7.3关系的运算7.4关系的性质7.5关系的闭包7.6等价关系与划分7.7偏序关系第8章函数8.1函数的定义与性质8.2函数的复合与反函数* 8.3双射函数与集合的基数* 8.4一个电话系统的描述实例第14章图的基本概念14.1图14.2通路与回路14.3图的连通性14.4图的矩阵表示* 14.5图的运算第15章欧拉图与哈密顿图15.1欧拉图15.2哈密顿图15.3最短路问题、中国邮递员问题与货郎担问题第16章树16.1无向树及其性质16.2生成树16.3根树及其应用三、课程学时分配、教学内容与教学基本要求四、教学方法与教学手段说明该课程教学方式主要有：课堂教学、交互学习、课后作业。
