复合关系、逆关系课件PPT

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离散数学-3-7复合关系和逆关系

复合关系与逆关系的应用
通过实例说明了复合关系和逆关系在离散数学中的应用，如用于描述图的连通性、判断关系的传递性等。
对未来研究的展望
• 深入研究复合关系和逆关系的性质：尽管我们已经对复合关系和逆关系有了一定的了解，但仍有许多性质值得进一步探讨。例如，对于某些特殊类型的关系（如等价关系、偏序关系等），其复合关系和逆关系可能具有独特的性质。
逆关系在计算机科学中用于反向操作或撤销操作，如撤销一个已执行的命令或操作。
计算机科学中的许多概念和技术，如函数复合、逆函数、算法设计等，都与复合关系和逆关系密切相关。
在其他领域的应用
在物理学中，复合关系和逆关系用于描述物理现象之间的相互作用和转化，如力学中的合成与分解、热力
学中的可逆过程等。
复合关系与逆关系的联系与区别
联系
复合关系和逆关系都是二元关系的基本运算，它们可以相互转化和组合，形成更复杂的关系。
VS
区别
复合关系是两个关系的“串联”，而逆关系是一个关系的“反向”；复合关系的结果仍是一个二元关系，而逆关系的结果是一个与原关系方向相反的关系。
04
复合关系与逆关系的应用
Chapter
02
逆关系概述
Chapter
定义与性质
01
02
定义：设 $R$ 是从集合 $A$ 到集合 $B$ 的一个关系，则 $R$ 的逆关系 $R^{-1}$ 是从集合 $B$ 到集合 $A$ 的一个关系，且 $R^{-1} = {(b, a) | (a, b) in R}$。
性质
03
04
05
逆关系的逆关系是原关系，即 $(R^{-1})^{-1} = R$。
在逻辑推理中的应用

复合关系、逆关系ppt课件

R在A上是自反的 (x)( xA xRx) R在A上是非自反的 (x)( xA <x,x>R)。定理： R是自反的 IA R MR主对角线上的元素全为1 GR的每个顶点处均有自环。
6
自反性反自反性第二对部称性分集反合对论称性传递性
自反性(举例)：恒等关系、全域关系 • 实数：
R在A上是反自反的 (x)(xA <x,x>R )。 R在A上是非反自反的 (x)( xA xRx) 定理： R是反自反的 IAR= MR主对角线上的元素全为0 GR的每个顶点处均无自回路（无环）。
8
自反性反自反性第二对部称性分集反合对论称性传递性
反自反性(举例)：空关系 • 实数：
• 关系：序偶的集合
• 定义域、值域、域
3-5. 2 一些特殊关系
• 空关系、恒等关系、全域关系
• 关系的交并补差还是关系
3-5. 3 关系的表示
• 序偶集合形式
• 关系矩阵MR
• 关系图GR
2
第二部分集合论
主要内容
集合
3-1 集合的概念和表示法 3-10 等价关系与等价类
3-2 集合的运算
1
第一部分数理逻辑
上节内容回顾
3-4 序偶和笛卡尔积
• 序偶的概念和表示 <x, y> <x,y,z>=<<x,y>,z> <<x,y>,z> ≠ <x,<y,z>>
• 笛卡尔积 • AB={<x,y>|xAyB} • 不满足交换律、结合律 • 与、满足分配率
3-5 关系及其表示
3-5. 1 关系
3-11 相容关系

3-7复合关系和逆关系

解：RoS={<4,1>,<1,4>,<3,2>,<2,3>}={<x,y>x+y=5} SoR={<0,3>,<1,2>,<2,1>,<3,0>}={<x,y>x+y=3} RoR={<0,0>,<1,1>,<2,2>,<3,3>,<4,4>}={<x,y>x-y=0} SoS={<0,2>,<1,3>,<2,4>}={<x,y>y-x=2} (RoS)oR={<4,3>,<1,0>,<3,2>,<2,1>}={<x,y>x-y=1} Ro(SoR)={<4,3>,<3,2>,<2,1>,<1,0>}={<x,y>x-y=1}
由1)和2)可得 (RoS)c = ScoRc
19
例：A={a,b,c},B={1,2,3,4,5},R是A上关系，S是A到B的关系。R={<a,a>，<a,c>，<b,b>，<c,b>，<c,c>} S={<a,1>，<a,4>，<b,2>，<c,4>，<c,5>}，验证定理6。
则
RoS={<a,1>,<a,4>,<a,5>,<b,2>,<c,2>,<c,4>,<c,5>}
说明：关系的复合不满足交换律。 R是A到B的关系，S是B到C的关系，RoS是可以的，而SoR根本不能复合；若A=C，则RoS是A上的关系，SoR是B上的关系，根本不可能相等；若A=B=C，则R、S均为A上的关系，RoS和SoR也是A上的关系，但一般地RoSSoR，从例子中可以看出。

离散数学3.7-8

15
复合关系和逆关系
S1=S, {<a,c>,<b,d>,<c,e>,<d,f>}, S2=SοS={<a,c>,<b,d>,<c,e>,<d,f>}, {<a,d>,<b,e>,<c,f>}, S3=SοSοS=S2οS={<a,d>,<b,e>,<c,f>}, {<a,e>,<b,f>}, S4=S3οS={<a,e>,<b,f>}, S5=S4οS={<a,f>}, {<a,f>}, S 6 = S 5 ο S =Φ , S 7=Φ, …, , (n>5). Sn=Φ (n>5).
20
关系的闭包运算
首先R 是自反的, 证:1. 首先 ∪ IA是自反的,且R R ∪ IA, 若又有自反关系R'满足若又有自反关系满足R R',则因为满足 ,则因为R' 是自反的有I 是自反的有 A R',即有 R' ∧ IA R', ,即有R , 从而有R ∪ IA R',命题得证. 从而有 ,命题得证.
19
关系的闭包运算
下面介绍由给定关系R,求其各种闭包的方法. 下面介绍由给定关系R,求其各种闭包的方法. R,求其各种闭包的方法
定理设R是集合A上的二元关系,则: 是集合A上的二元关系, r(R)= 1. r(R)=R∪IA. s(R)= 2. s(R)=R∪RC. 3. t(R)=t(R) = R ∪ R2 ∪ R3 ∪ .... t(R)= .
8
复合关系和逆关系

离散数学ch8[2]函数的复合与反函数PPT课件

14.11.2020
24
单侧逆函数:存在的充要条件
集合X 集合X
14.11.2020
集合Y 集合Y
满射f(x)
g(y)
25
单侧逆函数:存在的充要条件
函数f存在逆函数的充要条件是函数f是双射
证明：设f: X→Y, 必要性：若f是双射，由逆函数引理知，逆函数存在。充分性：若函数f存在逆函数f-1,则由逆函数性质知，
f-1ºf=Ix,fºf-1=Iy。 ∴f有左，右逆元，由2知，f是既满又单，
∴f是双射函数。
14.11.2020
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置换:定义
置换
设 X={x1,x2,...,xn}是一个有穷集合。从集合 X 到 X 的双射函数，称为集合 X 中的置换或排列，并记作 p:XX。集合 X 的基数|X|=n 称为置换的阶。
∴gºf是函数。
14.11.2020
4
复合函数:复合函数性质
性质：
a)若g，f是满射，则gºf是满射。
b)若g，f是单射，则gºf是单射。
c) 若g，f是双射，则gºf是双射。
14.11.2020
5
复合函数:复合函数性质
性质：
a)若g，f是满射，则gºf是满射证明：
设f: X→Y, g:Y→Z, 则gºf:X→Z，
单侧逆函数
单侧逆函数
设f: X→Y,g:Y→X, 如果gºf=Ix,则称 g是f的左逆元（左逆函数），
f是g的右逆元（右逆函数）。
14.11.2020
20
单侧逆函数:存在的充要条件
左逆函数，右逆函数存在的充要条件
a) f有左逆元当且仅当f是单射。
b) f有右逆元当且仅当f是满射。

复合关系与逆关系共73页

53、伟大的事业，需要决心，能力，组织和责任感。 ——易卜生 54、唯书籍不朽。——乔特
55、为中华之崛起而读书。 ——周恩来
45、法律的制定是为了保证每一个人自由发挥自己的才能，而不是为了束缚他的才能。—— 罗伯斯庇尔
谢谢！
51、天下之事常成于困约，而败于奢靡。——陆游 52、生命不等于是呼吸，生命是活动。——卢梭
犯罪的法律，而是针对疯狂的法律。 ——马克·吐温 42、法律的力量应当跟随着公民，就像影子跟随着身体一样。— —贝卡利亚 43、法律和制度必须跟上人类思想进步。— —杰弗逊 44、人类受制于法律，法律受制于情理。— —托·富勒

离散数学 3-7 复合关系和逆关系3-8 关系的闭包

(x)(y)(xXyX<x,y>R<y,x>Rx=y)
例如，平面上三角形的相似关系是对称的。例： R1={<1，1>，<2，3>，<3，2>} R2={<1，1>，<3，3>}
R3={<2，2>，<2，3>，<3，2>，<3，1>} R4={<2，2>，<2，3>，<3，1>} 注意：存在关系既不是对称的，也不是反对称的。
R在X上反自反(x)(xX<x，x>R)
例如，在实数集合中，””是自反的，因为对于任意实数xx成立。平面上三角形的全等关系是自反的。例：X={a，b，c}， R1={<a，a>，<b，b>，<c，c>，<a，b>，<c，a>} R2={<a，b>，<b，c>，<c，a>} R3={<a，a>，<b，c>} 注意：R不是自反的，未必一定是反自反的。一个关系可能既不是自反的，也不是反自反的。
间至多有一条弧。
三、传递性
1、定义：设R是集合X上的二元关系，如果对于任意 x，y，zX，每当<x，y>R，<y，z>R时就有<x，
z>R，则称R是传递的。 R在X上传递 (x)(y)(z)(xXyXzX<x,y>R<y,z>R <x,z>R) 例： R1={<x,y>,<z,x>,<z,y>}是传递的，
二、对称性和反对称性
1、对称性：设R是集合X上的二元关系，如果对于每一个x，yX，每当<x，y>R，就有<y，x>R，则称R是对称的。 R在X上对称

复合关系与逆关系共73页文档

个生命就是一场冒险。走得最远的人，常是愿意去做，并愿意去冒险的人。“稳妥”之船，从未能从岸边走远。-戴尔．卡耐基。
梦境
3、人生就像一杯没有加糖的咖啡，喝起来是苦涩的，回味起来却有久久不会退去的余香。
复合关系与逆关系4、守业的最好办法就是不断的发展。 5、当爱不能完美，我宁愿选择无悔，不管来生多么美丽，我不愿失去今生对你的记忆，我不求天长地久的美景，我只要生生世世的轮回里有你。
谢谢你的阅读
❖ 知识就是财富 ❖ 丰富你的人生
71、既然我已经踏上这条道路，那么，任何东西都不应妨碍我沿着这条路走下去。——康德 72、家庭成为快乐的种子在外也不致成为障碍物但在旅行之际却是夜间的伴侣。——西塞罗 73、坚持意志伟大的事业需要始终不渝的精神。——伏尔泰 74、路漫漫其修道远，吾将上下而求索。——屈原 75、内外相应，言行相称。——韩非

四、复合关系和逆关系

xA, yB <x,y>∈(R∪S)c ⇔<y,x> ∈(R∪S) ⇔<y,x>∈R∨<y,x>∈S ⇔<x,y>∈Rc∨<x,y>∈S c ⇔<x,y>∈ R c∪S c
th3
定理3 设R是X上的二元关系，则: a）R是对称的，当且仅当R=Rc b）R是反对称的，当且仅当R ∩ R
例题给定集合A={1,2,3,4,5},在集合A上定义两个关系R={<1,2>,<3,4>, <2,2>},S={<4,2>,<2,5>,<3,1>,<1,3>},求RS和SR矩阵。
0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 × 1 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0
MRS ＝
=
复合运算对∪,∩的分配律设R是从集合A到B的关系, 证明:(1)对xA, zC 设<x,z>∈R·(S∪T) S和T均为B到C的关系， W是C到D的关系,则 (1)R·(S∪T)=R·S∪R·T (2)R·(S∩T)= R·S∩R·T (3)(S∪T)·W=S·W∪T·W (4)(S∩T)·W =S·W∩T·W
th3
b) R是反对称的，当且仅当R ∩ R c Ix 必要性若R是反对称的对x, yX ,设<x,y>∈R∩Rc 则： <x,y>∈R∩Rc <x,y>∈R∧<x,y>∈Rc <x,y>∈R∧<y,x>∈R x = y（R是反对称的） <x,y>∈Ix ∴R ∩ R c Ix 充分性若R ∩ R c Ix 对x, y X,设<x,y>∈R且<y,x>∈R，则 <x,y>∈R ∧ <y,x>∈R <x,y>∈R∧ <x,y>∈R c <x,y>∈R∩Rc <x,y>∈ Ix （ R ∩ R c Ix ）作业：P119(2)a、(5) x=y ∴ R是反对称的

复合关系和逆关系集合与关系离散数学PPT精品文档

A IA
R A
B
1。 1。
。a
2。 2。。b
3。
3。
。c
。d
从这两个图看出它们的复合都等于R。
第17页
二、关系的乘幂
令R是A上关系，由于复合运算可结合，所以关系的复合可以写成乘幂形式。即
R ◦ R=R2， R2 ◦ R=R ◦ R2 =R3，…
Rn+1＝Rn ◦ R
R0＝{<x,x>|x∈A}＝IA
RS=k∨inj==(1Ri1(∧RiSk∧1j)S∨kj()Ri2∧(1S≤2ij≤)∨m,...1∨≤(jR≤ti)n∧Snj)
第8页
（3）矩阵法（续）
R ={<1,b>,<2,c>,<2,d>,<3,a>} S={<a,y>,<b,x>,<b,z>,<c,s>,<d,y>,<d,t>}
0100 0011 1000
复合关系和逆关系
第1页
本节讲述关系的运算二元关系是以序偶为元素的集合，除了可进行集
合并、交、补等运算外，还可以进行一些新的运算。知识点：复合运算：定义计算方法证明逆运算定义计算方法证明
第2页
关系的定义域与值域
定义域(domain) ：关系R中所有序偶<x,y>的第一元素 x组成的集合，称为R的定义域，记作dom R，即 dom R={x|(y)(<x,y>R)}
S={<x,y>| y=2x+3}
R x
x2+3x
S 2(x2+3x)+3 = 2x2+6x+3

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三角形的全等：{<A,B>|A≌B}、相似 • 数理逻辑：
、：{<P,Q>|PQ} 、{<P,Q>|P↔Q是重言式} • 集合论：
＝：{<A,B>|A B}
自反性反自反性第二对部称性分集反合对论称性传递性
[反自反性irreflexivity]：设RAA, 如果对于每一个xA，有<x,x>R，则称二元关系R是反自反的。
R在A上是自反的 (x)( xA xRx) R在A上是非自反的 (x)( xA <x,x>R)。定理： R是自反的 IA R MR主对角线上的元素全为1 GR的每个顶点处均有自环。
自反性反自反性第二对部称性分集反合对论称性传递性
自反性(举例)：恒等关系、全域关系 • 实数：
= ≥ ≤：{<x,y>|x,y都是实数且x≤y} • 几何图形：
R是反对称的 (x)(y)(xAyA xRy yRx x=y ) (x)(y)(xAyA x≠y xRy yRx ). R非反对称 (x)(y)(xA yA xRy yRx xy) 定理：R是反对称的
在MR中, xixj(ij rij=1rji=0) 在GR中, xixj(ij), 若有有向边 <xi,xj>, 则必没有 <xj,xi>。
R在A上是反自反的 (x)(xA <x,x>R )。 R在A上是非反自反的 (x)( xA xRx) 定理： R是反自反的 IAR= MR主对角线上的元素全为0 GR的每个顶点处均无自回路（无环）。
自反性反自反性第二对部称性分集反合对论称性传递性
反自反性(举例)：空关系 • 实数：
• 关系：序偶的集合
• 定义域、值域、域
3-5. 2 一些特殊关系
• 空关系、恒等关系、全域关系
• 关系的交并补差还是关系
3-5. 3 关系的表示
• 序偶集合形式
• 关系矩阵MR
• 关系图GR
2
第二部分集合论
主要内容
集合
3-1 集合的概念和表示法 3-10 等价关系与等价类
3-2 集合的运算
自反性反自反性第二对部称性分集反合对论称性传递性
反对称性(举例)：空关系，恒等关系 • 实数：>、< 、≥、≤、= • 数理逻辑： {<P,Q>|PcQ是重言式} • 集合论：：{<A,B>|A B} 、、= • 人之间的关系：父与子关系 • 整数：整除关系：{<x,y>|x,y都是整数且x|y} 注意：非对称不一定反对称；可能有某种关系即是对称的又是
第二部分集合论
主要内容
集合
3-1 集合的概念和表示法 3-2 集合的运算 3-4 序偶与笛卡尔积 3-5 关系及其表示
3-10 等价关系与等价类 3-11 相容关系 3-12 序关系
3-6 关系的性质 3-7 复合关系和逆关系 3-8 关系的闭包运算 3-9 集合的划分与覆盖
函数
4.1 函数的基本概念 4.2 复合函数与逆函数
自反性(reflexivity) 反自反性( irreflexivity) 对称性(symmetry) 反对称性( antisymmetry) 传递性(transitivity)
自反性反自反性第二对部称性分集反合对论称性传递性
需要指出：
从X到Y的关系R是XY 的子集，即RXY，而XY （XY）（XY）所以R （XY）（XY）令Z= XY，则RZZ 因此，我们今后通常限于讨论同一集合上的关系。
反对称的。例如：A={1,2,3}, S={<1,1>,<2,2>,<3,3>} S在A上即是对称的又是反对称的。 N={<1,2>,<1,3>,<3,1>} N在A上即不是对称的又不是反对称的。
R在A上对称 (x)(y)(xAyAxRyyRx). R非对称 (x)(y)(xAyAxRyyRx) 定理： R是对称的 MR是对称的 GR的任何两个顶点之间若有边, 则必有两条方向相反的有向边.
自反性反自反性第二对部称分性集反合对论称性传递性
对称性(举例)：空关系、恒等关系、全域关系 • 实数：≠、= ：{<x,y>|x,y都是实数且x=y} • 几何图形：三角形的全等：{<A,B>|A≌B}、相似 • 数理逻辑：
1
第一部分数理逻辑
上节内容回顾
3-4 序偶和笛卡尔积
• 序偶的概念和表示 <x, y> <x,y,z>=<<x,y>,z> <<x,y>,z> ≠ <x,<y,z>>
• 笛卡尔积 • AB={<x,y>|xAyB} • 不满足交换律、结合律 • 与、满足分配率
3-5 关系及其表示
3-5. 1 关系
{<P,Q>|P□Q是重言式} 中“□”取 ↔、∧、∨、↑、↓ 、时 • 集合论：＝、不相交：{<A,B>|A∩B=∅} • 整数：同余 • 人之间的关系：同学关系、朋友关系、邻居关系
自反性反自反性第二对部称性分集反合对论称性传递性
[反对称性antisymmetry]：设RAA,如果对于每个x,yA,每当 xRy和yRx，必有x=y，则称集合A上的关系R是反对称的。
≠、>、<：{<x,y>|x,y都是实数且x<y} • 数理逻辑：
{<P,Q>|P□Q是重言式} 中“□”取 ↑、↓、、c 时 • 集合论：
、：{<A,B>|A B}
注意：非自反不一定是反自反的。
即存在有关系既不是自反的也不是反自反的。
自反性反自反性第二对部称分性集反合对论称性传递性
[对称性symmetry]：设RAA, 如果对于每个 x,yA，每当 xRy，就有 yRx，则称集合A上的关系R是对称的。
3-11 相容关系
3-4 序偶与笛卡尔积
3-12 序关系
3-5 关系及其表示
3-6 关系的性质
函数
3-7 复合关系和逆关系 4.1 函数的基本概念
3-8 关系的闭包运算
4.2 复合函数与逆函数
3-9 集合的划分与覆盖
3
自反性反自反性对称性反对称性传递性
3-6 关系的性质
（1）（2）（3）（4）（5）
需要注意：关系和运算
关系：= > < 不相交朋友同学父子
运算：＋－×÷ ∧ ∨→↔ ∪ ∩ ~
Hale Waihona Puke 自反性反自反性第二对部称性分集反合对论称性传递性
[自反性reflexivity]：设R为定义在A上的二元关系，即 RAA, 如果对于每一个 xA ，有 xRx (<x,x>R)，则称二元关系R是自反的。