根轨迹绘制的基本规则

简述绘制根轨迹的规则
1.确定系统的传递函数，通常为开环传递函数。

2. 求出传递函数的特征方程，并确定系统的极点和零点。

3. 根据特征方程的根的实部和虚部的符号，确定根轨迹的起点
和方向。

实部为负时，起点在左侧无穷远点；实部为正时，起点在右侧无穷远点。

如果有根在虚轴上，起点在最靠近虚轴的点。

4. 根据特征方程的根的虚部和实部的大小，确定根轨迹的曲线
形状。

虚部相同时，曲线形状取决于实部的大小。

实部相同时，曲线形状取决于虚部的大小。

5. 根据系统的零点，确定根轨迹离开或逼近的方向。

如果零点
是实数，离开或逼近方向与实轴上的零点位置有关。

如果零点是虚数，离开或逼近方向与虚轴上的零点位置有关。

6. 根据根轨迹的数量和方向，确定系统的稳定性和性能。

在根
轨迹穿过虚轴时，系统发生振荡。

在根轨迹趋近无穷远点时，系统响应速度较慢，稳定性较好。

绘制根轨迹需要一定的数学基础和图像分析能力。

在实际应用中，通常使用计算机软件进行绘制和分析。

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4.2 绘制根轨迹的基本法则本节讨论根轨迹增益*K （或开环增益K ）变化时绘制根轨迹的法则。

熟练地掌握这些法则，可以帮助我们方便快速地绘制系统的根轨迹，这对于分析和设计系统是非常有益的。

法则1 根轨迹的起点和终点：根轨迹起始于开环极点，终止于开环零点；如果开环零点个数m 少于开环极点个数n ，则有)(m n -条根轨迹终止于无穷远处。

根轨迹的起点、终点分别是指根轨迹增益0=*K 和∞→时的根轨迹点。

将幅值条件式（4-9）改写为∏∏∏∏==-==--=--=mi inj j mn m i i nj jsz sp sz s ps K 1111*|1||1||)(||)(|(4-11)可见当s=j p 时，0*=K ；当s=i z 时，∞→*K ；当|s|∞→且m n ≥时，∞→*K 。

法则2 根轨迹的分支数，对称性和连续性：根轨迹的分支数与开环零点数m 、开环极点数n 中的大者相等，根轨迹连续并且对称于实轴。

根轨迹是开环系统某一参数从零变到无穷时，闭环极点在s 平面上的变化轨迹。

因此，根轨迹的分支数必与闭环特征方程根的数目一致，即根轨迹分支数等于系统的阶数。

实际系统都存在惯性，反映在传递函数上必有m n ≥。

所以一般讲，根轨迹分支数就等于开环极点数。

实际系统的特征方程都是实系数方程，依代数定理特征根必为实数或共轭复数。

因此根轨迹必然对称于实轴。

由对称性，只须画出s 平面上半部和实轴上的根轨迹，下半部的根轨迹即可对称画出。

特征方程中的某些系数是根轨迹增益*K 的函数，*K 从零连续变到无穷时，特征方程的系数是连续变化的，因而特征根的变化也必然是连续的，故根轨迹具有连续性。

法则3 实轴上的根轨迹：实轴上的某一区域，若其右边开环实数零、极点个数之和为奇数，则该区域必是根轨迹。

设系统开环零、极点分布如图4-5 所示。

图中，0s 是实轴上的点，)3,2,1(=i i ϕ是各开环零点到0s 点向量的相角，)4,3,2,1(=j j θ是各开环极点到0s 点向量的相角。

绘制根轨迹的基本原则绘制根轨迹是控制工程中常用的一种方法，它可以帮助我们分析系统的稳定性，相当于一个工程师的眼睛。

根轨迹是由根的轨迹组成的，而系统的根是指其特征方程的根。

特征方程是由系统的传递函数确定的，因此我们可以通过绘制特征方程的根轨迹来分析系统的动态性态。

绘制根轨迹的基本原则有以下几点。

1. 系统根轨迹的数量等于系统特征方程的根的数量。

这是因为每个根对应着系统中一个极点。

2. 根轨迹的起点和终点都在实轴上。

这是因为特征方程的根只有实数或成对的共轭复数根。

3. 根轨迹要从左侧的极点开始。

如果存在多个极点，则从最左侧的极点开始。

如果没有极点，则从传递函数的实轴交点开始。

4. 根轨迹要向右边的极点或者方向稳定，如果两个虚根前后交叉，则会出现不稳定性。

在解决此问题是，需要重新绘制，或者调整参数，使出现前后交叉的根跑到不相交的区域。

5. 当相邻两根的虚部相等时，其插值点在实轴上。

这个时候，由于两个根的插值点处于实轴上，因此根轨迹向这个点的方向发生了变化。

6. 根轨迹需要跨越系统的实轴部分。

无论极点的数量、位置以及根轨迹的线路，都必须穿过右半平面。

7. 根轨迹的末端，必须落到无限远点。

<1>｛1｝</1>因此，通过这几个基本原则，我们可以绘制出系统的根轨迹。

然而，在实际的工程中，我们会遇到许多不同的情况，例如系统传递函数变化、加入控制器等。

这时候，我们需要灵活应对，对基本原则进行微调，以便更好地分析系统的动态特性。

总结来说，根轨迹能够帮助工程师更好地了解控制系统的动态特性，这有助于他们进行有效的控制和优化。

在绘制根轨迹的过程中，需要严格遵循基本原则，同时对特殊情况进行灵活调整。

第4章 根 轨 迹 法根轨迹的基本概念所谓根轨迹是指控制系统开环传递函数的某一参数从零变化到无穷时，闭环特征根在s 平面上移动的轨迹。

一般取开环增益为可变参数，但也可以用系统中的其他参数，如某个环节的时间常数等。

根轨迹的绘制法则gnj jmi iK ps z s s D s N 1)()()()(11-=++=∏∏== 在绘制根轨迹时，通常首先求出g K ＝0和g K ＝∞时的特征根，再根据绘制法则画出0＜g K ＜∞时的根轨迹草图；一. 根轨迹的起点（K g =0）上式说明，当g K ＝ 0时，系统的开环极点就是闭环极点。

绘制根轨迹时，我们通常是从g K ＝ 0时的闭环极点画起，即开环极点是闭环根轨迹曲线的起点。

起点数n 就是根轨迹曲线的条数。

二. 根轨迹的终点（K g =∞）当g K ＝∞时，闭环特征方程式为∏==+=mi i z s s N 1)()(这就是说，系统的开环零点就是g K =∞时的闭环极点，即根轨迹曲线的终点。

其个数为m ，另外的n －m 个根轨迹终点在无穷远。

三. 根轨迹的分支数和对称性根轨迹在s 平面上的分支数（条数）等于开环特征方程的阶数n ，即与开环极点个数相同。

此外，在一般控制系统的特征方程中，各项系数都是实数。

因此，特征根或是实数，或是共扼复数，则根轨迹一定是对称于实轴。

四. 实轴上的根轨迹当开环传递函数有实数极点、零点时，这意味着实轴上有根轨迹的起点和终点。

这时，必须确定实轴上哪一区间有根轨迹，哪一区间没有根轨迹。

五. 根轨迹的分离点和会和点在有根轨迹的实轴上，存在着两个开环极点时，必然有一个分离点a 。

同样，在有根轨迹的实轴上，存在两个开环零点(包括无穷远零点)时，必然有一个会合点b 。

当g K 为g K a (a 点的g K 值)或g K b (b 点的g K 值)时，特征方程都将出现重根。

这是两者的共性。

此外，分离点a 的g K 值，是其实轴根轨迹上的最大g K 值；会合点b 的g K 值，是其实轴根轨迹上的最小g K 值。

绘制零度根轨迹的8条法则绘制零度根轨迹的8条法则是控制系统理论中的重要概念，用于预测系统的根轨迹。

根轨迹是描述系统极点在复平面上运动的轨迹，对于开环稳定的连续时间系统，绘制根轨迹可以帮助设计者了解系统的稳定性、动态性能和调节器的参数调整等信息。

下面将详细介绍绘制零度根轨迹的八条法则。

1.根轨迹的起始点：零度根轨迹的起始点是系统零极点的交点，也就是系统传递函数的分子多项式与分母多项式的公共根。

起始点数目等于系统的零极点差异的绝对值。

如果起始点是虚数根，则起始点垂直于虚轴；如果起始点是实数根，则起始点沿着实轴移动。

2.根轨迹的末端点：根轨迹的末端点是极点的交点，也就是系统传递函数的分母多项式的根。

末端点数目等于系统的极点数目。

3.根轨迹的关于虚轴和实轴的对称性：零度根轨迹关于虚轴和实轴是对称的。

如果零度根轨迹中有一个点在复平面上，则它的共轭点也在轨迹上。

4.根轨迹的角度特征：根轨迹趋近虚轴的角度特征取决于系统的零和极点之间的差异。

如果零点在极点的左侧，则根轨迹的角度在趋近虚轴时是奇数个180度。

如果零点在极点的右侧，则根轨迹的角度在趋近虚轴时是偶数个180度。

5.根轨迹的交点：当根轨迹与实轴或虚轴相交时，可以通过零点数目和交点的位置来确定系统的稳定性。

如果实轴上的交点数目为奇数，则系统不稳定。

如果虚轴上的交点数目为奇数，则系统是无法稳定的。

6.根轨迹的穿越特征：根轨迹可以穿越实轴或虚轴。

如果根轨迹穿越实轴，则必须有一个零点或极点位于实轴上。

如果根轨迹穿越虚轴，则必须有一个零点或极点位于虚轴上。

7.根轨迹的极点规律：根轨迹的极点位置取决于系统的极点位置。

当系统的极点靠近时，根轨迹的极点会趋向于其中一个极点。

当系统的极点远离时，根轨迹的极点会趋向于无穷远。

8.根轨迹的环绕特征：当根轨迹环绕其中一极点的次数等于该极点的倍数时，被环绕的极点是系统的稳定极点。

根轨迹环绕的次数与稳定电路发生变号的次数相同。