绘制根轨迹法则

4.2 绘制根轨迹的基本法则本节讨论根轨迹增益*K （或开环增益K ）变化时绘制根轨迹的法则。

熟练地掌握这些法则，可以帮助我们方便快速地绘制系统的根轨迹，这对于分析和设计系统是非常有益的。

法则1 根轨迹的起点和终点：根轨迹起始于开环极点，终止于开环零点；如果开环零点个数m 少于开环极点个数n ，则有)(m n -条根轨迹终止于无穷远处。

根轨迹的起点、终点分别是指根轨迹增益0=*K 和∞→时的根轨迹点。

将幅值条件式（4-9）改写为∏∏∏∏==-==--=--=mi inj j mn m i i nj jsz sp sz s ps K 1111*|1||1||)(||)(|(4-11)可见当s=j p 时，0*=K ；当s=i z 时，∞→*K ；当|s|∞→且m n ≥时，∞→*K 。

法则2 根轨迹的分支数，对称性和连续性：根轨迹的分支数与开环零点数m 、开环极点数n 中的大者相等，根轨迹连续并且对称于实轴。

根轨迹是开环系统某一参数从零变到无穷时，闭环极点在s 平面上的变化轨迹。

因此，根轨迹的分支数必与闭环特征方程根的数目一致，即根轨迹分支数等于系统的阶数。

实际系统都存在惯性，反映在传递函数上必有m n ≥。

所以一般讲，根轨迹分支数就等于开环极点数。

实际系统的特征方程都是实系数方程，依代数定理特征根必为实数或共轭复数。

因此根轨迹必然对称于实轴。

由对称性，只须画出s 平面上半部和实轴上的根轨迹，下半部的根轨迹即可对称画出。

特征方程中的某些系数是根轨迹增益*K 的函数，*K 从零连续变到无穷时，特征方程的系数是连续变化的，因而特征根的变化也必然是连续的，故根轨迹具有连续性。

法则3 实轴上的根轨迹：实轴上的某一区域，若其右边开环实数零、极点个数之和为奇数，则该区域必是根轨迹。

设系统开环零、极点分布如图4-5 所示。

图中，0s 是实轴上的点，)3,2,1(=i i ϕ是各开环零点到0s 点向量的相角，)4,3,2,1(=j j θ是各开环极点到0s 点向量的相角。

简述绘制根轨迹的规则
1.确定系统的传递函数，通常为开环传递函数。

2. 求出传递函数的特征方程，并确定系统的极点和零点。

3. 根据特征方程的根的实部和虚部的符号，确定根轨迹的起点
和方向。

实部为负时，起点在左侧无穷远点；实部为正时，起点在右侧无穷远点。

如果有根在虚轴上，起点在最靠近虚轴的点。

4. 根据特征方程的根的虚部和实部的大小，确定根轨迹的曲线
形状。

虚部相同时，曲线形状取决于实部的大小。

实部相同时，曲线形状取决于虚部的大小。

5. 根据系统的零点，确定根轨迹离开或逼近的方向。

如果零点
是实数，离开或逼近方向与实轴上的零点位置有关。

如果零点是虚数，离开或逼近方向与虚轴上的零点位置有关。

6. 根据根轨迹的数量和方向，确定系统的稳定性和性能。

在根
轨迹穿过虚轴时，系统发生振荡。

在根轨迹趋近无穷远点时，系统响应速度较慢，稳定性较好。

绘制根轨迹需要一定的数学基础和图像分析能力。

在实际应用中，通常使用计算机软件进行绘制和分析。

- 1 -。