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极限的公式总结极限是高等数学中的重要概念，它在数学、物理和工程等领域中都有着广泛的应用。
极限的公式可以帮助我们求解一些复杂的问题和优化计算。
在本文中，我们将总结一些常见的极限公式，包括函数极限、无穷极限和级数极限等。
一、函数极限公式1. 一次函数极限：若 f(x) = ax + b（a≠0），则当x→a 时，f(x) 的极限为f(a)=a*a+b。
2. 二次函数极限：若 f(x) = ax² + bx + c（a≠0），则当x→a 时，f(x) 的极限为f(a)=a*a²+b*a+c。
3. 幂函数极限：若 f(x) = x^a（a为实数），则当x→∞ 或x→-∞ 时，f(x) 的极限为：- 若 a > 0，则极限为∞ 或 -∞，具体取决于 x 的正负；- 若 a = 0，则极限为 1；- 若 a < 0，则极限为 0。
4. 指数函数极限：α 为常数，若f(x) = α^x，则当x→∞ 或x→-∞ 时，f(x) 的极限为：- 若α > 1，则极限为∞ 或 0，具体取决于 x 的正负；- 若0 < α < 1，则极限为 0 或∞，具体取决于 x 的正负； - 若α = 1，则极限为 1。
5. 对数函数极限：若f(x) = logₐ(x)（a>0 且a≠1），则当x→0 或x→∞ 时，f(x) 的极限为：- 当 a > 1 时，极限为 -∞ 或∞，具体取决于 x 的趋势；- 当 0 < a < 1 时，极限为∞ 或 -∞，具体取决于 x 的趋势。
6. 三角函数极限：- sin(x) 的极限为 1，当x→0 时；- cos(x) 的极限为 1，当x→0 时；- tan(x) 的极限为∞ 或 -∞，当x→(nπ/2)(n为整数) 时；- cot(x) 的极限为∞ 或 -∞，当x→nπ(n为整数) 时；- sec(x) 的极限为∞ 或 -∞，当x→(2n+1)(π/2)(n为整数) 时； - csc(x) 的极限为∞ 或 -∞，当x→nπ(n为整数) 时。
习 题1.按定义证明下列极限: (1) +∞→x limxx 56+=6 ; (2) 2lim →x (x 2-6x+10)=2;(3) +∞→x lim 11522=--x x ; (4) -→2lim x 24x -=0;(5) 0lim x x →cos x = cos x 02.根据定义2叙述0lim x x → f (x ) ≠ A.3.设0lim x x → f (x ) = A.,证明0lim →h f (x 0+h ) = A.4.证明:若0lim x x → f (x ) = A,则0lim x x →| f (x )| = |A|.当且仅当A 为何值时反之也成立?5.证明定理3.16.讨论下列函数在x 0→0 时的极限或左、右极限:(1)f(x)=xx ; (2) f(x) = [x](3) f (x)=⎪⎩⎪⎨⎧<+=>.0,1.0;0.0;22x x x x x7.设 +∞→x lim f (x ) = A,证明0lim x x → f (x1) = A 8.证明:对黎曼函数R(x)有0lim x x →R (x ) = 0 , x 0∈[0,1](当x 0=0或1时,考虑单侧极限).习 题1． 求下列极限：（1）2lim π→x 2（sin x －cos x －x 2）; (2)0lim →x 12122---x x x ;(3) 1lim →x 12122---x x x ; (4)0lim →x ()()3232311x x x x +-+-;(5) 1lim →x 11--m n x x (n,m 为正整数)； （6）4lim→x 2321--+x x ；（7）0lim→x x a x a -+2（a>0）; (8) +∞→x lim()()()902070155863--+x x x .2． 利用敛性求极限： (1) -∞→x limx x x cos -; (2) 0lim →x 4sin 2-x xx3． 设 0lim x x →f(x)=A, 0lim x x →g(x)=B.证明：（1）0lim x x →[f(x )±g(x)]=A ±B;（2）0lim x x →[f(x)g(x)]=AB;（3）0limx x →)()(x g x f =BA(当B ≠0时) 4． 设f(x)=nn n n mm m m b x b x b x b a x a x a x a ++++++++----11101110 , a 0≠0,b 0≠0,m ≤n, 试求 +∞→x lim f(x)5． 设f(x)>0, 0lim x x →f(x)=A.证明limx x →nx f )(=n A ，其中n ≥2为正整数. 6. 证明0lim →x a x =1 (0<a<1)7.设 0lim x x →f(x)=A, 0lim x x →g(x)=B.(1)若在某∪0(x 0)内有f(x) < g(x)，问是否必有A < B ? 为什么？（2）证明：若A>B,则在某∪0(x 0)内有f(x) > g(x). 8.求下列极限（其中n 皆为正整数）： (1) -→0lim x n x x x+11; (2) +→0lim x n xx x +11; (3) 0lim →x 12--+++x nx x x n ; (4) 0lim→x xx n11-+(5) ∞→x lim[]xx (提示：参照例1)9．（1）证明：若0lim →x f (x 3)存在，则0lim →x f (x)= 0lim →x f (x 3) （2）若0lim →x f (x 2)存在，试问是否成立0lim →x f (x) =0lim →x f (x 2) ?习 题1. 叙述函数极限+∞→n lim f(x)的归结原则,并应用它证明+∞→n lim cos x 不存在.2. 设f 为定义在[a,+∞)上的增(减)函数.证明: +∞→n lim = f(x)存在的充要条件是f 在[a,+∞)上有上(下)界.3. (1)叙述极限-∞→n lim f (x)的柯西准则;(2)根据柯西准则叙述-∞→n lim f (x)不存在的充要条件,并应用它证明-∞→n lim sin x 不存在.4. 设f 在∪0(x 0)内有定义.证明:若对任何数列{x n }⊂∪0(x 0)且∞→n lim x n =x 0,极限∞→n lim f(x n )都存在,则所有这极限都相等.提示: 参见定理3.11充分性的证明.5设f 为∪0(x 0)上的递减函数.证明:f(x 0－0)和f(x 0+0)都存在,且 f(x 0－0) =()00sup x u x -∈f(x), f(x 0+0)=)(00inf x u x n ∈f (x)6.设 D(x)为狄利克雷函数,x 0∈R 证明0lim x x →D(x)不存在.7.证明:若f 为周期函数,且+∞→x lim f(x)=0,则f(x)=08.证明定理3.9习 题1. 求下列极限(1) xx x 2sin lim 0→; (2) ()230sin sin lim x x x →(3) 2cos lim2ππ-→x x x ; (4) xxx tan lim→; (5) 30sin tan lim xx x x -→; (6) x xx arctan lim 0→; (7) x x x 1sin lim +∞→ ; (8) ax a x a x --→22sin sin lim ;(9) 114sin lim 0-+→x xx ; (10) x x x cos 1cos 1lim 20--→2. 求下列极限(1) xn x-∞→-)21(lim ; (2) ()x x ax 101lim +→(a 为给定实数);(3) ()xx x cot 0tan 1lim +→; (4) xx x x 1011lim ⎪⎭⎫⎝⎛-+→;(5) 12)1323(lim -+∞→-+x x x x ; (6) x n xβα)1(lim ++∞→(βα,为给定实数)3. 证明:12cos 2cos 2cos lim lim 20=⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡∞→→n n x x x x xcox 4. 利用归结原则计算下列极限: (1) nn n πsinlim ∞→ ; (2)习 题1． 证明下列各式(1) 2x －x 2=O(x) (x →0); (2)x sin )(23x O x =(x →0+);(3))1(11o x =-+ (x →0);(4) (1+x)n = 1+ nx+o (x) (x →0) (n 为正整数) (5) 2x 3 + x 2=O(x 3) (x →∞) ;(6) o (g(x))±o(g(x)) =o(g(x))(x →x 0)(7) o(g 1(x))·0(g 2(x))=o(g 1(x)g 2(x)) (x →x 0) 2． 应用定理3.12求下列极限：(1) xx x x x cos 1arctanlim -∞→ (2)x x x cos 111lim 20--+→ 3． 证明定理3.134． 求下列函数所表示曲线的渐近线：(1) y = x 1; (2) y = arctan x ; (3) y = xx x 24323-+5． 试确定a 的值，使下列函数与x a 当x →0时为同阶无穷小量：(1) sin2x －2sinx ; (2)x+11－ (1－x); (3)x x sin 1tan 1--+; (4)53243x x -6． 试确定a 的值，使下列函数与x a 当x →∞时为同阶无穷大量：(1)52x x +; (2) x+x 2 (2+sinx);(3) (1+x)(1+x 2)…(1+x n ).7． 证明：若S 为无上界数集，则存在一递增数列{x n }⊂s ，使得x n →+∞(n →∞)8． 证明：若f 为x →r 时的无穷大量，而函数g 在某U 0(r)上满足g(x )≥K>0，则fg 为x →r时的无穷大量。
9． 设 f (x)~g (x) (x →x 0)，证明：f ( x )－g ( x ) = o ( f ( x ) ) 或 f ( x )－g ( x ) = o ( g ( x ) )总 练 习 题1． 求下列极限：(1) ])[(lim 3x x x --→; (2) 11)1]([lim -→++x x (3) ()()()())(lim x b x a x b x a x ---+++∞→(4) 22limax x x -+∞→ (5) 22limax x x --∞→(6) 3301111limxx x x x --+--+→(7) ⎪⎭⎫⎝⎛---→n m x x n x m11lim 1,m,n 为正整数 2． 分别求出满足下述条件的常数a 与b ：(1) 011lim 2=⎪⎪⎭⎫⎝⎛--+++∞→b ax x x x (2) ()01lim2=--+--∞→b ax x x x(3) ()01lim 2=--+-+∞→b ax x xx3． 试分别举出符合下列要求的函数f ：(1) )2()(lim 2f x f x ≠→； (2) )(lim 2x f x →不存在。
4． 试给出函数f 的例子，使f(x)>0恒成立，而在某一点x 0处有0)(lim 0=→x f x x 。
这同极限的局部保号性有矛盾吗？5． 设A x f ax =→)(lim ，B u g Ag =→)(lim ，在何种条件下能由此推出?))((lim B x f g ax =→6． 设f (x)=x cos x 。
试作数列(1){x n } 使得 x n →∞(n →∞), f (x n )→0 (n →∞); (2){y n } 使得 y n →∞(n →∞), f (y n )→0 (n →∞); (3){z n } 使得 z n →∞(n →∞), f (z n )→0 (n →∞).7． 证明：若数列{a n }满足下列条件之一，则{a n }是无穷大数列：(1) 1lim >=∞→r a n n n(2) 1lim1>=+∞→s a a nn n (a n ≠0, n=1,2,…)8． 利用上题（1）的结论求极限：(1) 211lim n n n ⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→ (2) 211lim n n n ⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞→9． 设+∞=∞→n n a lim ，证明(1) +∞=+++∞→)(1lim21n n a a a n(2)若a n > 0(n=1,2,…),则+∞=∞→n n n a a a 21lim 10.利用上题结果求极限：(1) n n n !lim ∞→ (2) nn In n )!(lim∞→11.设f 为U -0(x 0)内的递增函数。
