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第1节 平面向量的概念及线性运算
考试要求 1。了解向量的实际背景；2.理解平面向量的概念,理解两个向量相等的含义;3.理解向量的几何表示;4。掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义；5.掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义；6.了解向量线性运算的性质及其几何意义。
知 识 梳 理
1.向量的有关概念
（1)向量:既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的长度（或模).
(2)零向量：长度为0的向量，其方向是任意的.
(3）单位向量:长度等于1个单位的向量.
（4）平行向量：方向相同或相反的非零向量.平行向量又叫共线向量。规定：0与任一向量平行。
（5)相等向量：长度相等且方向相同的向量。
（6）相反向量：长度相等且方向相反的向量。
2.向量的线性运算
向量
运算 定 义 法则(或几何意义) 运算律 20211
加法 求两个向量
和的运算
（1）交换律：
a＋b＝b＋a。
（2）结合律：
（a＋b)＋c＝
a＋(b＋c)
减法 减去一个向
量相当于加
上这个向量
的相反向量 a－b＝a＋(－b)
数乘 求实数λ与向量a的积的运算 (1)|λa｜＝｜λ|｜a｜；
(2)当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同;当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λaλ(μa)＝λμa;
（λ＋μ）a＝λa＋μa；
λ(a＋b）＝λa＋λb 20211
＝0
3.共线向量定理
向量a（a≠0）与b共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使得b＝λa。
［常用结论与微点提醒]
1.一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向量，即错误!＋错误!＋错误!＋…＋错误!＝错误!，特别地， 一个封闭图形，首尾连接而成的向量和为零向量.
2。中点公式的向量形式：若P为线段AB的中点，O为平面内任一点，则错误!＝错误!(错误!＋错误!).
3。错误!＝λ错误!＋μ错误!（λ,μ为实数),若点A,B，C共线，则λ＋μ＝1.
【创新设计】2017版高考数学一轮复习 第五章 平面向量阶段滚动检测 理 北师大版
(建议用时：90分钟)
一、选择题
1.(2016·山东省实验中学诊断)下列有关命题的叙述错误的是( )
A.若綈p是q的必要条件，则p是綈q的充分条件
B.若p且q为假命题，则p，q均为假命题
C.命题“任意x∈R，x2－x＞0”的否定是“存在x∈R，x2－x≤0”
D.“x＞2”是“1x＜12”的充分不必要条件
解析 易知，A正确；p且q为假，p，q至少有一个为假，B错误；“任意”的否定是“存在”，“＞”的否定是“≤”，C正确；“x＞2”一定能推出“1x＜12”，但当x＝－1时，满足1x＜12，但不满足x＞2，所以“x＞2”是“1x＜12”的充分不必要条件，D正确.综上可知，选B.
答案 B
2.(2016·阜阳一模)已知向量a＝(1，n)，b＝(－1，n)，若2a－b与b垂直，则n2的值为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
解析 由a＝(1，n)，b＝(－1，n)，得2a－b＝(3，n)，若2a－b与b垂直，则(2a－b)·b＝0，则有－3＋n2＝0，解得n2＝3，故选C.
答案 C
3.(2015·南昌十所重点中学二模)在正项等比数列{an}中，a1＝1，前n项和为Sn，且－a3，a2，a4成等差数列，则S7的值为( )
A.125 B.126 C.127 D.128
解析 设{an}的公比为q，则2a2＝a4－a3，又a1＝1，
∴2q＝q3－q2，解得q＝2或q＝－1，∵an＞0，∴q＞0，
∴q＝2，∴S7＝1－271－2＝127，故选C.
答案 C
4.(2016·渭南一模)已知2sin 2α＝1＋cos 2α，则tan 2α＝( )
A.－43 B.43
C.－43或0 D.43或0
解析 ∵2sin 2α＝1＋cos 2α，sin22α＋cos22α＝1，∴sin 2α＝0，cos 2α＝－1
5.3 平面向量的应用（精讲）（基础版）
考点一 证线段垂直
【例1-1】（2022·山西运城）在平面四边形ABCD中，2,3AC，6,4BD，则该四边形的面积为（ ）
A．52
B．252 C．13 D．26
【答案】C
【解析】∵12120ACBD，∵AC∵BD，所以四边形ABCD面积为：114936161322ACBD.故选：C.
【例1-2】（2022·广东）如图，在正方形ABCD中，P为对角线AC上任意一点（异于A、C两点），PEAB，PFBC，垂足分别为E、F，连接DP、EF，求证：DPEF.
【答案】见解析
【解析】设正方形ABCD的边长为1，01AEaa，则EPAEa，1PFEBa，2APa.，DPEFDAAPEPPFDAEPDAPFAPEPAPPF考点呈现
例题剖析 1cos18011cos902cos4521cos45aaaaaa210aaaa，
DPEF，即DPEF.
【一隅三反】
1．（2022·四川省峨眉）若平面四边形ABCD满足：0ABCD，()0ABADAC，则该四边形一定是（
）
A．平行四边形 B．菱形 C．矩形 D．正方形
【答案】B
【解析】0ABCD，ABDC,所以四边形ABCD为平行四边形，
()0ABADAC, 0DBAC，所以BD垂直AC，所以四边形ABCD为菱形.故选：B
2．（2022·福建·漳州三中）若O为ABC所在平面内一点，且满足|||2|OBOCOBOCOA，则ABC的形状为（ ）
A．等腰直角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等边三角形
【答案】B
【解析】ABC中，|||2||||()()|OBOCOBOCOACBOBOAOCOA
高考数学一轮复习 第五章 平面向量与复数
5.5 复 数 考试要求 1.通过方程的解，认识复数.2.理解复数的代数表示及其几何意义，理解两个复数相等的含义.3.掌握复数的四则运算，了解复数加、减运算的几何意义． 知识梳理
1．复数的有关概念
(1)复数的定义：形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中a是实部，b是虚部，i为虚数单位． (2)复数的分类： 复数z＝a＋bi(a，b∈R)
实数b＝0，虚数b≠0其中，当a＝0时为纯虚数.
(3)复数相等：
a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)．
(4)共轭复数：
a＋bi与c＋di互为共轭复数⇔a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R)．
(5)复数的模：
向量OZ→的模叫做复数z＝a＋bi的模或绝对值，记作|a＋bi|或|z|，即|z|＝|a＋bi|＝a2＋b2(a，b∈R)．
2．复数的几何意义
(1)复数z＝a＋bi(a，b∈R)一一对应复平面内的点Z(a，b)．
(2)复数z＝a＋bi(a，b∈R)一一对应平面向量OZ→.
3．复数的四则运算 (1)复数的加、减、乘、除运算法则：
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则
①加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i；
②减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i；
③乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；
④除法：z1z2＝a＋bic＋di＝a＋bic－dic＋dic－di＝ac＋bdc2＋d2＋bc－adc2＋d2i(c＋di≠0)．
(2)几何意义：复数加、减法可按向量的平行四边形或三角形法则进行．
如图给出的平行四边形OZ1ZZ2可以直观地反映出复数加、减法的几何意义，即OZ→＝OZ1→＋OZ2→，Z1Z2→＝OZ2→－OZ1→.
常用结论
