高考数学一轮复习第五章平面向量复数55复数课件文

1课时跟踪检测（二十八）复数

一抓基础，多练小题做到眼疾手快

1．(2015·安徽高考改编)设i是虚数单位，则复数2i

1－i在复平面内所对应的点位于第

________象限．

解析：2i

1－i＝2i1＋i

1－i1＋i＝2i－1

2＝－1＋i，由复数的几何意义知－1＋i在

复平面内的对应点为(－1,1)，该点位于第二象限．

答案：二

2．(2016·西安质检)已知复数z

1＝2＋i，z

2＝1－2i.若z

＝z1

z

2

，则z

＝________.

解析：z

＝z1

z

2＝2＋i

1－2i＝2＋i1＋2i

5＝5i

5

＝i，z

＝－i.

答案：－i

3．若复数z

＝a2

－1＋(a

＋1)i(a

∈R)是纯虚数，则1

z

＋a的虚部为________．

解析：由题意得a2

－1＝0，

a

＋1≠0，所以a

＝1，

所以1

z

＋a＝1

1＋2i＝1－2i

1＋2i1－2i＝1

5－2

5i，根据虚部的概念，可得1

z

＋a的虚部为

－2

5.

答案：－2

5

4．复数|1＋

2i|＋1－3i

1＋i2＝________.

解析：原式＝12

＋

22

＋1－3i2

1＋i2＝

3＋－2－23i

2i＝3＋i－3＝i.

答案：i

5．(2015·重庆高考)设复数a

＋b

i(a

，b

∈R)的模为3，则(a

＋b

i)(a

－bi)＝________.

解析：∵|a

＋b

i|＝

a2

＋b2

＝3，∴(a

＋b

i)(a

－b

i)＝a2

＋b2

＝3.

答案：3

二保高考，全练题型做到高考达标

1．复数z

＝1＋2i2015

1－i2015(i为虚数单位)的共轭复数在复平面上对应的点在第________象限．

2解析：z

＝1＋2i2015

1－i2015＝1－2i

1＋i＝1－3i－2

2＝－1

2－3

2

i，则z

＝－1

2＋3

2i在复平面内对应的

点在第二象限．

答案：二

2.如图，在复平面内，复数z

1，z

2对应的向量分别是

OA

，

OB

，则

|z

1＋z

2|＝________.

解析：由题图可知，z

1＝－2－i，z

2＝i，则z

1＋z

2＝－2，∴|z

1＋z

2|

＝2.

答案：2

§5.5 复数的概念

1．虚数单位为i，规定：i2＝________，且实数与它进行四则运算时，原有的加法、乘法的________仍然成立．

2．复数的概念

形如：a＋bi(a，b∈R)的数叫复数，其中a叫做复数的______，b叫做复数的__________．

①当________时，复数a＋bi为实数；

②当________时，复数a＋bi为虚数；

③当________且________时，复数a＋bi为纯虚数．

3．复数相等的充要条件

a＋bi＝c＋di(a，b，c，d∈R)⇔ ________，特别地，a＋bi＝0⇔________.

4．复数z＝a＋bi(a，b∈R)与复平面上的点Z(a，b)、平面向量OZ→都可建立________的关系(其中O是坐标原点)．

5．在复平面内，实轴上的点都表示________；虚轴上的点除________外都表示________．

6．复数的模

向量OZ→的模r叫做复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模，记作________或||a＋bi.即||z＝||a＋bi＝r＝________(r≥0，r∈R)．

7．共轭复数

一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为__________，复数z的共轭复数记作________．

8．数系的扩充

数集扩充的过程是：自然数集(N)→_______→_______→_______→复数集(C)．数集的每一次扩充，都使得在原有数集中能实施的运算，在新的数集中仍能进行，并且解决了在原有数集中某种运算不可实施的矛盾．

自查自纠

1．－1 运算律

2．实部 虚部 ①b＝0 ②b≠0 ③a＝0 b≠0

3．a＝c且b＝d a＝b＝0

4．一一对应

5．实数 原点 纯虚数

6.||z a2＋b2

7．共轭复数 z

8．整数集(Z) 有理数集(Q) 实数集(R)

(2015·福建)若集合A＝{i，i2，i3，i4}(i是虚数单位)，B＝{1，－1}，则A∩B等于( )

第1页共13页2024年高考数学总复习第五章《平面向量与复数》

§5.5复数最新考纲1.在问题情境中了解数系的扩充过程，体会实际需求与数学内部的矛盾(数的运

算规则、方程求根)在数系扩充过程中的作用，感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的

联系.2.理解复数的基本概念及复数相等的充要条件.3.了解复数的代数表示法及其几何意义.4.能进行复数代数形式的四则运算，了解复数代数形式的加、减运算的几何意义．

1．复数的有关概念

(1)定义：形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中a叫做复数z的实部，b叫做复数z的虚部(i为虚数单位)．

(2)分类：

满足条件(a，b为实数)

复数的分类a＋bi为实数⇔b＝0

a＋bi为虚数⇔b≠0

a＋bi为纯虚数⇔a＝0且b≠0

(3)复数相等：a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)．

(4)共轭复数：a＋bi与c＋di共轭⇔a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R)．

(5)模：向量OZ→

的模叫做复数z＝a＋bi的模，记作|a＋bi|或|z|，即|z|＝|a＋bi|＝a2＋b2(a，b∈R)．

2．复数的几何意义

复数z＝a＋bi与复平面内的点Z(a，b)及平面向量OZ→

＝(a，b)(a，b∈R)是一一对应关系．

3．复数的运算

(1)运算法则：设z

1＝a＋bi，z

2＝c＋di，a，b，c，d∈R.

(2)几何意义：复数加减法可按向量的平行四边形或三角形法则进行．第2页共13页如图给出的平行四边形OZ

1ZZ

2可以直观地反映出复数加减法的几何意义，即OZ→

＝OZ

1→

＋OZ

2→

，

Z

1Z

2→

＝OZ

2→

－OZ

1→.概念方法微思考

1．复数a＋bi的实部为a，虚部为b吗？

提示不一定．只有当a，b∈R时，a才是实部，b才是虚部．

2．如何理解复数的加法、减法的几何意义？

提示复数的加法、减法的几何意义就是向量加法、减法的平行四边形法则．

题组一思考辨析

1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

高考数学一轮复习 第五章 平面向量与复数

5.5 复 数 考试要求 1.通过方程的解，认识复数.2.理解复数的代数表示及其几何意义，理解两个复数相等的含义.3.掌握复数的四则运算，了解复数加、减运算的几何意义． 知识梳理

1．复数的有关概念

(1)复数的定义：形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中a是实部，b是虚部，i为虚数单位． (2)复数的分类： 复数z＝a＋bi(a，b∈R)

 实数b＝0，虚数b≠0其中，当a＝0时为纯虚数.

(3)复数相等：

a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)．

(4)共轭复数：

a＋bi与c＋di互为共轭复数⇔a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R)．

(5)复数的模：

向量OZ→的模叫做复数z＝a＋bi的模或绝对值，记作|a＋bi|或|z|，即|z|＝|a＋bi|＝a2＋b2(a，b∈R)．

2．复数的几何意义

(1)复数z＝a＋bi(a，b∈R)一一对应复平面内的点Z(a，b)．

(2)复数z＝a＋bi(a，b∈R)一一对应平面向量OZ→.

3．复数的四则运算 (1)复数的加、减、乘、除运算法则：

设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则

①加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i；

②减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i；

③乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；

④除法：z1z2＝a＋bic＋di＝a＋bic－dic＋dic－di＝ac＋bdc2＋d2＋bc－adc2＋d2i(c＋di≠0)．

(2)几何意义：复数加、减法可按向量的平行四边形或三角形法则进行．

如图给出的平行四边形OZ1ZZ2可以直观地反映出复数加、减法的几何意义，即OZ→＝OZ1→＋OZ2→，Z1Z2→＝OZ2→－OZ1→.

常用结论