2015届高三数学第一轮复习课件：5.1平面向量的概念及运算

第四章 第一节 平面向量的概念及其线性运算

题组一 向量的基本概念

1.给出下列六个命题：

①两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同．

②若|a|＝|b|，则a＝b.

③若AB＝DC，则四边形ABCD为平行四边形．

④在▱ABCD中，一定有AB＝DC.

⑤若m＝n，n＝p，则m＝p.

⑥若a∥b，b∥c，则a∥c.

其中不．正确的个数是 ( )

A．2 B．3

C．4 D．5

解析：两向量起点相同，终点相同，则两向量相等；但两相等向量，不一定有相同的起点和终点，故①不正确．|a|＝|b|，由于a与b方向不确定，所以a，b不一定相等，故②不正确．零向量与任一向量平行，故a∥b，b∥c时，若b＝0，则a与c不一定平行，故⑥不正确．正确的是③④⑤.

答案：B

2．判断下列命题是否正确，不正确的说明理由．

(1)若向量a与b同向，且|a|＞|b|，则a＞b；

(2)若向量|a|＝|b|，则a与b的长度相等且方向相同或相反；

(3)对于任意向量|a|＝|b|，且a与b的方向相同，则a＝b；

(4)由于零向量0方向不确定，故0不能与任意向量平行；

(5)起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等向量．

解：(1)不正确．因为向量是不同于数量的一种量，它由两个因素来确定，即大小与方向，所以两个向量不能比较大小，故(1)不正确．

(2)不正确．由|a|＝|b|只能判断两向量长度相等，不能判断方向．

(3)正确．∵|a|＝|b|，且a与b同向，由两向量相等的条件可得a＝b.

(4)不正确．由零向量性质可得0与任一向量平行，可知(4)不正确．

(5)正确．对于一个向量只要不改变其大小与方向，是可以任意平行移动的．

1 向量的有关概念

主标题：向量的有关概念

副标题：为学生详细的分析向量的有关概念的高考考点、命题方向以及规律总结。

关键词：向量，几种特殊的向量，知识总结

难度：2

重要程度：3

考点剖析：本考点包括向量的有关概念，考纲明确要求学生要理解零向量，单位向量，相等向量，平行向量，相反向量等有关概念。

命题方向：

1.对向量的有关概念、几种特殊的向量的概念进行辨析是高考的重点．

2.题型以选择题和填空题为主.

规律总结：

1.掌握几个概念：

向量以及向量的模，有向线段

向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小

2.几个特殊的向量：

单位向量，平行向量，零向量

零向量：零向量与任何向量平行

平面向量的有关概念

有关概念 定义 表示

向量 既有大小，又有方向的量叫做向量 ,ABa

有向线段 带有方向的线段叫做有向线段 AB

向量的模 向量的大小，也就是向量的长度(或称模) ,ABa

零向量 长度为0的向量 0

单位向量 长度等于1个单位的向量 1e

平行向量 方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，也叫共线向量 a∥b

相等向量 长度相等且方向相同的向量叫做相等向量 ab

我爱学习网 在线学习网 分享学习方法 励志人生

我爱学习网 高中数学学习方法/gaozhong/shuxue/fangfa/ 第1讲 平面向量的概念及线性运算

【2015年高考会这样考】

1．考查平面向量的线性运算．

2．考查平面向量的几何意义及其共线条件．

【复习指导】

本讲的复习，一是要重视基础知识，对平面向量的基本概念，加减运算等要熟练掌握，二是要掌握好向量的线性运算，搞清这些运算法则和实数的运算法则的区别．

基础梳理

1．向量的有关概念

(1)向量：既有大小又有方向的量叫向量；向量的大小叫做向量的模．

(2)零向量：长度等于0的向量，其方向是任意的．

(3)单位向量：长度等于1个单位的向量．

(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量共线．

(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量．

(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量．

2．向量的线性运算

向量运算 定 义 法则(或几何意义) 运算律

加法 求两个向量和的运算

三角形法则

平行四边形法则 (1) 交换律：

a＋b＝b＋a.

(2)结合律：

(a＋b)＋c＝a＋(b＋c) 我爱学习网 在线学习网 分享学习方法 励志人生

我爱学习网 高中数学学习方法/gaozhong/shuxue/fangfa/

减法 求a与b的相反向量－b的和的运算叫做a与b的差

三角形法则 a－b＝a＋(－b)

3.向量的数乘运算及其几何意义

(1)定义：实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫向量的数乘，记作λa，它的长度与方向规定如下：

①|λa|＝|λ||a|；

②当λ＞0时，λa与a的方向相同；当λ＜0时，λa与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0.

(2)运算律：设λ，μ是两个实数，则

①λ(μa)＝(λμ)a；②(λ＋μ)a＝λa＋μa；③ λ(a＋b)＝λa＋λb.

4．共线向量定理

向量a(a≠0)与b共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使得b＝λa.

1 平面向量1

1.数量和向量的区别：

数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小；向量有方向、大小，不能比较大小。

2.向量的表示方法：

①用有向线段表示；②用字母ba,等表示；③用有向线段的起点与终点字母表示：AB；向量AB的大小——长度称为向量的模，记作|AB|。

3.有向线段：

具有方向的线段叫做有向线段，三要素：起点、方向、长度。 向量与有向线段的区别：

⑴向量只有大小和方向两个要素，与起点无关，只要大小和方向相同，这两个向量就是相同的向量；

⑵有向线段有起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽管大小和方向，也是不同的有向线段。

4.零向量、单位向量概念：

①长度为0的向量叫零向量，记作0。

②长度为1个单位长度的向量，叫做单位向量。

说明：零向量、单位向量的定义都只是限制了大小。

5.相等向量的定义：长度相等且方向相同的向量叫相等向量。

说明：⑴向量a与b相等，记作a=b；

⑵零向量与零向量相等；

⑶任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段表示，并且与有向线段的起点无关。

6.平行向量的定义：

①方向相同或相反的非零向量叫平行向量；

②我们规定0与任一向量平行。

说明：⑴综合①②才是平行向量的完整定义；

⑵向量cba、、平行，记作cba////。

二、向量的运算法则

1.向量的加法

某人从A到B，再从B到C，则两次的位移和：ACBCAB；

⑴向量的加法：求两个向量和的运算，叫做向量的加法。

⑵三角形法则：ACBCABba

⑶四边形法则：OCACOAOBOAba

三角形法则 四边形法则 2 练习：化简（1）CDBCAB）（ （2）OMBOMBAB)( （3）COBOOCOA

2.向量的减法