第2讲 一元二次不等式的解法

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第2讲 一元二次不等式的解法

[学生用书P107]

1．三个“二次”间的关系

判别式

Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0

二次函数

y＝ax2＋bx

＋c(a>0)的

图象

一元二次方

程ax2＋bx

＋c＝0(a>0)

的根 有两个相异

实根x1，x2

(x1

实根x1＝

x2＝－b2a 没有实

数根

ax2＋bx＋c

>0(a>0)

的解集 {x|x>x2

或x

ax2＋bx＋c

<0(a>0)

的解集 {x|x1

2.常用结论

(x－a)(x－b)>0或(x－a)(x－b)<0型不等式的解法

不等式 解集

ab

(x－a)·

(x－b)>0 {x|x

或x>b} {x|x≠a} {x|x>a

或x

(x－a)·

(x－b)<0 {x|a

判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)若不等式ax2＋bx＋c<0的解集为(x1，x2)，则必有a>0.( )

(2)若不等式ax2＋bx＋c>0的解集是(－∞，x1)∪(x2，＋∞)，则方程ax2＋bx＋c＝0的两 2 / 18

个根是x1和x2.( )

(3)若方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)没有实数根，则不等式ax2＋bx＋c>0的解集为R.( )

(4)不等式ax2＋bx＋c≤0在R上恒成立的条件是a<0且Δ＝b2－4ac≤0.( )

(5)若二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象开口向下，则不等式ax2＋bx＋c<0的解集一定不是空集．( )

答案：(1)√ (2)√ (3)× (4)× (5)√

(教材习题改编)不等式(x＋1)(x＋2)<0的解集为( )

A．{x|－2

C．{x|x<－2或x>1} D．{x|x<－1或x>2}

答案：A

(教材习题改编)不等式－2x2＋x<－3的解集为( )

A.x－32

B.x－1

C.xx<－32或x>1

D.xx<－1或x>32

解析：选D.－2x2＋x<－3，

即为2x2－x－3>0，Δ＝25>0，

方程2x2－x－3＝0的两实根为x1＝－1，x2＝32，

所以2x2－x－3>0的解集为

xx<－1或x>32.

(教材习题改编)关于x的不等式－12x2＋mx＋n>0的解集为{x|－1

A．－12 B.－32

C.12 D．32

解析：选D.－12x2＋mx＋n>0，

即为x2－2mx－2n<0.

由题意知，x2－2mx－2n<0的解集为{x|－1

所以－1＋2＝2m，－1×2＝－2n.所以m＝12，n＝1.

所以m＋n＝32，故选D.

不等式x2＋ax＋4≤0的解集不是空集，则实数a的取值范围是________．

解析：由题意得Δ＝a2－16≥0，

即a2≥16，

所以a的取值范围是(－∞，－4]∪[4，＋∞)．

答案：(－∞，－4]∪[4，＋∞)

不等式2x＋1<1的解集是________．

解析：2x＋1<1⇒2－（x＋1）x＋1<0

⇒x－1x＋1>0⇒x>1或x<－1.

答案：{x|x>1或x<－1}

一元二次不等式的解法(高频考点)

[学生用书P108]

一元二次不等式的解法是每年高考的重点，虽然考查的机会较少，但常与集合、分段函数、导数等内容综合考查，主要命题角度有：

(1)不含参数的一元二次不等式；

(2)含参数的一元二次不等式．

[典例引领]

角度一 不含参数的一元二次不等式

求不等式－x2＋8x－3>0的解集．

【解】 因为Δ＝82－4×(－1)×(－3)＝52>0，所以方程－x2＋8x－3＝0有两个不相等的实根x1＝4－13，x2＝4＋13.又二次函数y＝－x2＋8x－3的图象开口向下，所以原不等式的解集为{x|4－13

角度二 含参数的一元二次不等式 4 / 18 解关于x的不等式：x2－(a＋1)x＋a<0.

【解】 由x2－(a＋1)x＋a＝0，

得(x－a)(x－1)＝0，

所以x1＝a，x2＝1.

①当a>1时，x2－(a＋1)x＋a<0的解集为{x|1

②当a＝1时，x2－(a＋1)x＋a<0的解集为∅；

③当a<1时，x2－(a＋1)x＋a<0的解集为{x|a

将本例中的不等式改为ax2－(a＋1)x＋1<0，如何求解？

解：若a＝0，原不等式等价于－x＋1<0，解得x>1.

若a<0，原不等式等价于x－1a(x－1)>0，

解得x<1a或x>1.

若a>0，原不等式等价于x－1a(x－1)<0.

①当a＝1时，1a＝1，x－1a(x－1)<0无解；

②当a>1时，1a<1，解x－1a(x－1)<0，

得1a

③当01，解x－1a(x－1)<0，

得1

综上所述，当a<0时，解集为xx<1a或x>1；

当a＝0时，解集为{x|x>1}；

当0

当a＝1时，解集为∅；

当a>1时，解集为x1a

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一元二次不等式的解法

(1)对于常系数一元二次不等式，可以用分解因式法或判别式法求解，题目简单，情况单一．

(2)含有参数的不等式的求解，往往需要对参数进行分类讨论．

①若二次项系数为常数，需先将二次项系数化为正数，再考虑分解因式，对参数进行分类讨论，若不易分解因式，则可依据判别式符号进行分类讨论．

②若二次项系数为参数，则应先考虑二次项系数是否为零，以确定不等式是一次不等式还是二次不等式，再讨论二次项系数不为零的情形，以便确定解集的形式．

③对方程的根进行讨论，比较大小，以便写出解集．

(3)若一元二次不等式的解集为区间的形式，则区间的端点值恰对应相应的一元二次方程的根，要注意解集的形式与二次项系数的联系．

[注意] 当不等式中二次项的系数含有参数时，不要忘记讨论其等于0的情况．

[通关练习]

1．设实数a∈(1，2)，关于x的一元二次不等式x2－(a2＋3a＋2)x＋3a(a2＋2)＜0的解集为( )

A．(3a，a2＋2) B.(a2＋2，3a)

C．(3，4) D．(3，6)

解析：选B.由x2－(a2＋3a＋2)x＋3a(a2＋2)＜0，得(x－3a)·(x－a2－2)＜0，因为a∈(1，2)，所以3a＞a2＋2，所以关于x的一元二次不等式x2－(a2＋3a＋2)x＋3a(a2＋2)＜0的解集为(a2＋2，3a)．故选B.

2．求不等式12x2－ax>a2(a∈R)的解集．

解：因为12x2－ax>a2，

所以12x2－ax－a2>0，

即(4x＋a)(3x－a)>0，

令(4x＋a)(3x－a)＝0，

得x1＝－a4，x2＝a3.

当a>0时，－a4

解集为xx<－a4或x>a3；

当a＝0时，x2>0，解集为{x|x∈R且x≠0}；

当a<0时，－a4>a3，

解集为xx－a4.

综上所述，当a>0时，不等式的解集为

xx<－a4或x>a3；

当a＝0时，不等式的解集为{x|x∈R且x≠0}；

当a<0时，不等式的解集为xx－a4.

一元二次不等式恒成立问题(高频考点)[学生用书P109]

一元二次不等式与其对应的函数与方程之间存在着密切的联系．在解决具体的数学问题时，要注意三者之间的相互联系，并在一定条件下相互转换．对于一元二次不等式恒成立问题，常根据二次函数图象与x轴的交点情况确定判别式的符号，进而求出参数的取值范围．主要命题角度有：

(1)在R上的恒成立问题；

(2)在给定区间上的恒成立问题；

(3)给定参数范围的恒成立问题．

[典例引领]

角度一 在R上的恒成立问题

(1)若不等式2kx2＋kx－38<0对一切实数x都成立，则k的取值范围为( )

A．(－3，0) B.[－3，0)

C．[－3，0] D．(－3，0]

(2)设a为常数，对于∀x∈R，ax2＋ax＋1>0，则a的取值范围是( )

A．(0，4) B.[0，4)

C．(0，＋∞) D．(－∞，4)

【解析】 (1)当k＝0时，显然成立；当k≠0时，即一元二次不等式2kx2＋kx－38<0对 7 / 18

一切实数x都成立，则k<0，k2－4×2k×－38<0，解得－3

综上，满足不等式2kx2＋kx－38<0对一切实数x都成立的k的取值范围是(－3，0]．

(2)对于∀x∈R，ax2＋ax＋1>0，则必有a>0，Δ＝a2－4a<0或a＝0，所以0≤a<4.

【答案】 (1)D

(2)B

角度二 在给定区间上的恒成立问题

设函数f(x)＝mx2－mx－1.若对于x∈[1，3]，f(x)<－m＋5恒成立，求m的取值范围．

【解】 要使f(x)<－m＋5在x∈[1，3]上恒成立，

即mx－122＋34m－6<0在x∈[1，3]上恒成立．

有以下两种方法：

法一：令g(x)＝mx－122＋34m－6，x∈[1，3]．

当m>0时，g(x)在[1，3]上是增函数，

所以g(x)max＝g(3)⇒7m－6<0，

所以m<67，

所以0

当m＝0时，－6<0恒成立；

当m<0时，g(x)在[1，3]上是减函数，

所以g(x)max＝g(1)⇒m－6<0，

所以m<6，

所以m<0.

综上所述，m的取值范围是mm<67.

法二：因为x2－x＋1＝x－122＋34>0，

又因为m(x2－x＋1)－6<0，