2.2.3 一元二次不等式的解法
学习目标
1.经历从实际问题中抽象出一元二次不等式模型的过程，能用符号语言来描述这个模型，提升数学抽象素养;
2.通过一元二次不等式实例的求解，能概括解一元二次不等式的一般步骤，提高总结归纳能力;会运用一元二次不等式知识解决有关的问题，发展数学应用意识.
自主预习
汽车在行驶中，由于惯性，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停止，一般称这段距离为“刹车距离”.刹车距离是分析交通事故的一个重要依据.
在一个限速为40 km/h的弯道上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相碰了.事后现场勘查，测得甲车的刹车距离略超过6 m，乙车的刹车距离略超过10 m.已知甲、乙两种车型的刹车距离s m与车速v km/h之间的关系分别为s甲=1100v2-110v，s乙=1200v2-120v.试判断甲、乙两车有无超速现象.
不难看出，要判断甲、乙两车是否超速，就是要得到它们车速的取值范围，也就是要解不等式
1100v2-110v>6和 ，
即v2-10v-600>0和 ，
一般地，形如ax2+bx+c>0的不等式称为 ，其中a，b，c是 ，而且 .一元二次不等式中的不等号也可以是“<”“≥”“≤”等.
[尝试与发现1]任意选定一些数，看它们是否是不等式x(x-1)>0的解，由此给出解这个不等式的方法.
注意到 ，结果才能是正数，也就是说，ab>0当且仅当
，或，
因此，不等式可以转化为两个不等式组，或，
用类似的方法可以求得不等式(x+1)(x-1)<0的解，但此时的依据是:ab<0当且仅当
，或 ，
因为不等式可以转化为两个不等式组，或，
一般地，如果x1
不等式(x-x1)(x-x2)>0的解集是 .
[尝试与发现2]通过代入数值验证的方法，猜测以下一元二次不等式的解集，由此总结求一元二次不等式解集的一般方法:
2.2.3 一元二次不等式的解法
课时作业15 一元二次不等式的解法
知识点一 一元二次不等式的解法
1.解下列不等式：
(1)2x2＋7x＋3>0；
(2)－4x2＋18x－814≥0；
(3)－2x2＋3x－2<0；
(4)－12x2＋3x－5>0.
解 (1)因为Δ＝72－4×2×3＝25>0，所以方程2x2＋7x＋3＝0有两个不等实根x1＝－3，x2＝－12 .又二次函数y＝2x2＋7x＋3的图像开口向上，所以原不等式的解集为x x＞－12或x＜－3.
(2)原不等式可化为2x－922≤0，所以原不等式的解集为x x＝94.
(3)原不等式可化为2x2－3x＋2>0，因为Δ＝9－4×2×2＝－7<0，所以方程2x2－3x＋2＝0无实根，又二次函数y＝2x2－3x＋2的图像开口向上，所以原不等式的解集为R.
(4)原不等式可化为x2－6x＋10<0，Δ＝(－6)2－40＝－4<0，所以方程x2－6x＋10＝0无实根，又二次函数y＝x2－6x＋10的图像开口向上，所以原不等式的解集为∅.
知识点二 根与系数关系的应用
2.若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根为2，－1，则当a＜0时，不等式ax2＋bx＋c≥0的解集为( )
A．{x|x＜－1或x＞2} B．{x|x≤－1或x≥2}
C．{x|－1＜x＜2} D．{x|－1≤x≤2}
答案 D
解析 由题意知，－ba＝1，ca＝－2，∴b＝－a，c＝－2a，又∵a＜0，∴x2－x－2≤0，∴－1≤x≤2.
3．若不等式2x2＋mx＋n＞0的解集是{x|x＞3或x＜－2}，则m，n的值分别是( )
A．2,12 B．2，－2
C．2，－12 D．－2，－12 答案 D
解析 由题意知－2,3是方程2x2＋mx＋n＝0的两个根，所以－2＋3＝－m2，－2×3＝n2，∴m＝－2，n＝－12.
- 1 - 2．2.3 一元二次不等式的解法
[课程目标] 1.掌握一元二次不等式的概念；2.会用因式分解法和配方法解一元二次不等式．
知识点一 一元二次不等式的概念
[填一填]
一般地,形如ax2＋bx＋c>0的不等式称为一元二次不等式,其中a,b,c均为常数,而且a≠0.一元二次不等式中的不等号也可以是“<”“≥”“≤”等．
知识点二 一元二次不等式的解法
[填一填]
1．因式分解法
(1)一般地,如果x10的解集是(－∞,x1)∪(x2,＋∞)．
(2)解一元二次不等式,先把不等式化成定义形式ax2＋bx＋c>0(其中不等号也可以是“<”“≥”“≤”等),若ax2＋bx＋c比较容易因式分解,可先将其进行因式分解,然后根据不等式解集的形式写出不等式的解集．
2．配方法
(1)把一元二次不等式x2＋bx＋c>0化为(x＋h)2>k(h,k为常数)的形式,当k≥0时,就可以用直接开平方法求出不等式的解集．这种解一元二次不等式的方法叫做配方法．
(2)一般步骤：
一移,将含未知数的项移到不等号的左边,常数项移到不等号的右边；
二除,二次项的系数不为1时,不等号两边同时除以二次项的系数,将其化为1；
三配,不等号两边同时加上一次项系数一半的平方,将其左边配成完全平方式；
四开,不等号右边是非负数时,用直接开平方法解不等式；方程右边是负数时,原不等式的解集为任意实数．
[答一答]
1．不等式x2－3x＋2>0的解集是什么？
提示：x2－3x＋2＝(x－1)(x－2)>0其解集为{x|x<1或x>2}．
2．不等式(x－1)(x－a)>0(a∈R)的解是什么？
提示：当a>1时,不等式的解集是(－∞,1)∪(a,＋∞)；
当a＝1时,不等式的解集是(－∞,1)∪(1,＋∞)；
当a<1时,不等式的解集是(－∞,a)∪(1,＋∞)．
3．用配方法解不等式x2＋2x≤0.
2.2.3 一元二次不等式
教学目标
1、能熟练地解一元二次不等式
2、能用区间表示一元二次不等式的解
教学重点
解一元二次不等式的解法：配方法、分解因式法、图象法
教学难点
一元二次不等式的解法
教学过程
2.2.3一元二次不等式
定义：含有一个未知数且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式
一般形式：ax2+bx+c>0(≥0)， ax2+bx+c<0(≤0)
解法
1、配方法
求不等式x2-2x-3<0的解集
解：配方x2-2x+1-1-3<0
(x-1)2<4
开方 | x-1|<2
-2
-1
∴{x|-1
∴x∈(-1,3)
2、分解因式法
求不等式x2-2x-3<0的解集
解： (x-3)(x+1)<0
0103xx或0103xx
13xx 13xx
-1
∴-1
∴{x|-1
∴x∈(-1,3)
3、图象解法
求不等式x2-2x-3<0的解集
解方程x2-2x-3=0
x=-1或3
根据右图可知
函数y= x2-2x-3在x轴下方的部分是：
∴-1
例1：求不等式x2-x-12>0
解法一：x2-x+41-41-12>0
(x-21)2>449
|x-21|>27
x-21<-27或x-21>27
x<-3 x>4
∴x<-3 或 x>4
∴{x| x<-3 或 x>4}
∴x∈(-,-3) (4,+)
解法二：(x+3)(x-4)>0
0403xx或0403xx
43xx 43xx
x>4 x<-3
∴x<-3 或 x>4
∴{x| x<-3 或 x>4}
∴x∈(-,-3) (4,+) -1 3 x 例2：求不等式x2-5x+6≤0
