第二节 一元二次不等式及其解法

1 一元二次不等式及其解法（知识讲解与典型例题）

课标要求分析：

经历从实际情境中抽象出一元二次不等式模型的过程。通过函数图象了解一元二次不等式与相应方程、函数的联系。掌握求解一元二次不等式的基本方法，并能解决一些实际问题。课标建议在一元二次不等式的学习中，应注重了解一元二次不等式的实际背景。求解一元二次不等式，首先可求出相应方程的根，然后根据相应函数的图象求出不等式的解；也可以运用代数的方法求解。鼓励学生设计求解一元二次不等式的程序框图。

本周学习目标：

1．掌握一元二次不等式的基本解法；

2．了解一元二次不等式与相应函数，方程的联系，体会数形结合的数学思想；

3．初步掌握高次(分式)不等式、无理不等式与绝对值不等式的解法；

4．能将实际问题转化为数学问题，建立不等式模型，求解不等式。

本周学习重难点：

一元二次不等式的基本解法及与相应函数、方程的联系。

本周学习内容：

1．一元一次不等式的解法回顾

为引入一元二次不等式和梳理不等式解法作准备。

2．一元二次不等式的解法

一元二次不等式的一般形式：

由一元二次不等式的一般形式，即可发现其与二次函数和二次方程的联系，

进而可以利用函数图象得到不等式的解集。

设，两根为，。

结合图象按判别式分类归纳下表：

解集判别式

R

注意：

（1）的情形要转化为的情形；

（2），解集的变化。

关于含参讨论注意： 2 （1）对二次项系数讨论：定不等式类型、定图象（开口方向）类型；

（2）对根的讨论：判别式（根的个数，交点个数）、根的分布（根的大小）；

（3）对解集的讨论：画函数图象草图，根据图象定解集。

（4）书写表达的规范。

3．高次（分式）不等式的解法

简单高次不等式的解法：穿线法。

注意：系数化正，右上往左下，奇穿偶不穿。单独考虑孤立点。

（回顾变号零点存在定理，穿线法的原理还是一个数形结合的思想。）

1 第四讲 一元二次不等式的解法

知识归纳和梳理：

不等式的性质：

定理1：如果a>b，那么bb．(对称性)

定理2：如果a>b，且b>c，那么a>c．(传递性)

定理3：如果a>b，那么a+c>b+c．

推论：如果a>b，且c>d，那么a+c>b+d．(相加法则)

定理4：如果a>b，且c>0，那么ac>bc；

如果a>b，且c<0，那么ac

推论1：如果a>b >0，且c>d>0，那么ac>bd．(相乘法则)

结论：已知ab>0,若a>b，则11.ab

一元二次不等式)0(02acbxax解的讨论.

0 0 0

二次函数

cbxaxy2

（0a）的图象

一元二次方程

的根002acbxax 有两相异实根

)(,2121xxxx 有两相等实根

abxx221

无实根

的解集)0(02acbxax 21xxxxx或 abxx2

R

的解集)0(02acbxax 21xxxx 



类似地,可以讨论)0(02acbxax、)0(02acbxax、)0(02acbxax的解集.

对于0a的情形，可以利用不等式的性质转化成0a的类型

例如：解不等式02322xx，将不等式两边同时乘以1，等价于解不等式02322xx

2 【典型例题】：

例1.已知a>b>0，m>0，试比较mamb与ab的大小。

经典练习：

比较1aa与32aa(a≥3)的大小关系为________。

例2．解下列不等式

（1）62xx>0 (2) 2362xx

(3) 2223xx. (4) 01442xx

1 一元二次不等式及其解法导学案

【使用说明及学法指导】

1.结合导学案，完成问题导学部分，并标记自己的疑难点；2.若预习完可对合作探究部分认真审题，做不玩的正课时在做；3.找出自己的疑惑和需要谈论的问题准备上课谈论质疑.

【学习目标】 1.复习二次函数图象； 2.根据二次函数图象解一元二次不等式；3.归纳一元二次不等式的解法； 4.一元二次不等式的解法的综合运用.

【重难点】一元二次不等式的解法和综合运用

【问题导学】画二次函数图象应画清楚：1.开口方向，2.对称轴，3.顶点，4.与x轴的交点（如果有的话）

情景：一名跳水运动员进行10米跳台跳水，在正常情况下，运动员必须在距水面5米以前完成规定的翻腾动作，并且调整好入水姿势，否则就容易出现失误。那么他最多有多长时间完成规定动作？假设运动员起跳后的运动时间t(s)和运动员距离水面的高度h(m)满足关系：2()56.510httt

问题1. 二次函数的图像和性质，如223yxx的开口方向、顶点坐标、与x 轴的交点坐标及对称轴分别是什么？并作出它的草图.

（1）开口方向： ；

（2）顶点坐标： ；

（3）与x 轴的交点坐标： ；

（4）对称轴为： .

问题2. 根据草图填空：

1. 当x 或 时，0y，即2230xx；

2. 当x 时，函数的图像位于x轴的下方，则y 0，即223xx 0；

（填、、或）. 所以不等式2230xx的解集是 ；

3. 当x 时，函数的图像位于x轴的上方，则y 0，即223xx 0；

（填、、或）. 所以不等式2230xx的解集是 ；

一元二次不等式的解法

教学目标

把握;

知道一元二次不等式可以转化为一元一次不等式组;

了解简单的分式不等式的解法;

能利用二次函数与一元二次方程来求解一元二次不等式,理解它们三者之间的内在联系;

能够进行较简单的分类讨论,借助于数轴的直观,求解简单的含字母的一元二次不等式;

通过利用二次函数的图象来求解一元二次不等式的解集,培养学生的数形结合的数学思想;

通过研究函数、方程与不等式之间的内在联系,使学生熟悉到事物是相互联系、相互转化的,树立辨证的世界观.

教学重点:;

教学难点:弄清一元二次不等式与一元二次方程、二次函数的关系.

教与学过程设计

课时

Ⅰ.设置情境

问题:

①解方程 ②作函数的图像

③解不等式

置疑在解决上述三问题的基础上分析,一元一次函数、一元一次方程、一元一次不等式之间的关系。能通过观察一次函数的图像求得一元一次不等式的解集吗?

回答函数图像与x轴的交点横坐标为方程的根,不等式的解集为函数图像落在x轴上方部分对应的横坐标。能。

通过多媒体或其他载体给出下列表格。扼要讲解怎样通过观察一次函数的图像求得一元一次不等式的解集。注重色彩或彩色粉笔的运用

在这里我们发现一元一次方程,一次不等式与一次函数三者之间有着密切的联系。利用这种联系我们可以快速准确地求出一元一次不等式的解集,类似地,我们能不能将现在要求解的一元二次不等式与二次函数联系起来讨论找到其求解方法呢?

Ⅱ.探索与研究

我们现在就结合不等式的求解来试一试。

答方程的解集为

不等式的解集为

置疑哪位同学还能写出的解法?

答不等式的解集为

我们通过二次函数的图像,不仅求得了开始上课时我们

还不知如何求解的那个第小题的解集,还求出了的解集,可见利用二次函数的图像来解一元二次不等式是个十分有效的方法。

下面我们再对一般的一元二次不等式与来进行讨论。为简便起见,暂只考虑的情形。请同学们思考下列问题: