一元二次不等式的解法1

一元二次不等式的解法

[学习目标]

1.理解一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系

2.掌握图像法解一元二次不等式

[教学过程]

一、一元二次不等式的概念

一元二次不等式

定义 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，叫做一元二次不等式

表达式 ax2＋bx＋c＞0，ax2＋bx＋c＜0，ax2＋bx＋c≥0，ax2＋bx＋c≤0，其中a≠0，a，b，c均为常数

解集 ax2＋bx＋c＞0(a≠0) 解集是使f(x)＝ax2＋bx＋c的函数值为正数的自变量x的取值集合

ax2＋bx＋c＜0(a≠0) 解集是使f(x)＝ax2＋bx＋c的函数值为负数的自变量x的取值集合

ax2＋bx＋c≥0(a≠0) 解集是使f(x)＝ax2＋bx＋c的函数值大于或等于0的自变量x的取值集合

ax2＋bx＋c≤0(a≠0) 解集是使f(x)＝ax2＋bx＋c的函数值小于或等于0的自变量x的取值集合

思考 下列不等式是一元二次不等式的有________．

①x2＞0；②－3x2－x≤5；③x3＋5x－6＞0；④ax2－5y＜0(a为常数)；⑤ax2＋bx＋c＞0.

答案 ①②

解析 ①②是，符合定义；③不是，因为未知数的最高次数是3，不符合定义；④不是，当a＝0时，它是一元一次不等式，当a≠0时，它含有两个变量x，y；⑤不是，当a＝0时，不符合一元二次不等式的定义．

二、二次函数、一元二次方程、一元二次不等式的关系

Δ＝b2－4ac Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0

y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图像

ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的根 有两个不相等的实根x1，x2，且x1＜x2 有两个相等的实数根x1，x2 没有实数根

ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的解集 {x|x＜x1或x＞x2} 错误! R

ax2＋bx＋c＜0(a＞0)的解集 {x|x1＜x＜x2} ∅ ∅

思考 一元二次不等式解集的端点(非无穷大的一侧)与对应一元二次方程的根________．(填“相同”或“不相同”)

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--完整版学习资料分享---- xyx2x1Oxyx1=x2OxyO高一数学必修5 3.2-01

《一元二次不等式及其解法》导学案（一）

湖北洪湖贺龙中学 崔先湖

班级 组别 姓名

【学习目标】1.熟练掌握一元二次不等式及其解法。

2.会运用一元二次不等式解有关问题。

【学习重点】一元二次不等式的解法

【学习难点】一元二次不等式与二次函数一元二次方程三个“二次”间的关系；

【知识链接】

一元一次不等式：

三个二次之间的关系

0a，acb42 0 0 0

二次函数

cbxaxy2

(a>0)的图象

一元二次方程

02cbxax

(a>0)的根

一

元

二

次

不

等

式

解

集

02cbxax

(a>0)的解集

02cbxax

(a>0)的解集

一元二次不等式解法：

1.解一元二次不等式的一般步骤：

当0a＞时，解形如20(0)axbxc＞或20(0)axbxc＜的一元二次不等式，一般可分为三步：

（1）确定对应方程20axbxc的解；

（2）画出对应函数2yaxbxc图象的简图；

（3）由图象得出不等式的解集。

阅读教材P76到P79，完成尝试完成下面练习 -----WORD格式--可编辑--专业资料-----

--完整版学习资料分享---- 1、下面那些不等式是一元二次不等式？

（1）0x2 （2）5x-x-2 （3）2ax2 （4）0653xx

（5）05mx2y （6）0ax2cbx

数学基础模块 上册

45 2.2.3 一元二次不等式的解法(二)

【教学目标】

1. 进一步学习一元二次不等式的解法，体会一元二次方程与一元二次不等式的关系．

2. 体会数形结合、转化、分类讨论等数学思想方法，提高运算能力，逻辑思维能力．

3. 激发学生学习数学的热情，培养勇于探索、勇于创新的精神，同时体会事物之间普遍联系的辩证思想．

【教学重点】

一元二次不等式的解法．

【教学难点】

根据一元二次方程的解的情况写出相应的一元二次不等式的解集．

【教学方法】

本节课主要采用启发式教学法．首先回顾完全平方公式，复习初中学习的配方法，接着用例题介绍用因式分解法和配方法解一元二次不等式的步骤，基本思想仍然是把二次不等式转化为一次不等式（组）来求解．最后给出解一元二次不等式的一般步骤．

【教学过程】

教学

环节 教学内容 师生互动 设计意图

导

入 1．(a＋b)2＝ ；

(a－b)2＝ ．

2．把下面的二次三项式写成a(x＋m)2＋n的形式：

(1) x2＋2x＋4； (2) x2－2x＋1．

3．解下列一元二次不等式：

(1) x2＋8x＋15＞0

(2)－x2－3x＋4＞0

(3) 2x2－3x－2＞0

学生通过练习，复习一元二次不等式的解法．

教师巡视指导． 复习初中学习的完全平方公式和配方法，为本节课的教学打下基础．

复习巩固上一节的内容.

新

课 例2 解下列不等式：

(1) x2－4 x＋4＞0；(2) x2－4 x＋4＜0．

解 (1)由于 x2－4 x＋4＝(x－2)2≥0， 学生在教师的引导下，运用初中所学的配方法，进行配方，通过分析求出一元

学生根第二章 不等式

46

新

课

所以原不等式的解集为{ x | x≠2}；

(2) 由（1）可知，没有一个实数x使得不等式

知识点一：一元二次不等式的定义

只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式。比如：.

任意的一元二次不等式，总可以化为一般形式：或.

知识点二：一般的一元二次不等式的解法 设一元二次方程的两根为且，，则相应的不等式的解集的各种情况如下表：

注意：

（1）一元二次方程的两根是相应的不等式的解集的端点的取值，是抛物线与轴的交点的横坐标；

（2）表中不等式的二次系数均为正，如果不等式的二次项系数为负，应先利用不等式的性质转化为二次项系数为正的形式，然后讨论解决；

（3）解集分三种情况，得到一元二次不等式与的解集。

知识点三：解一元二次不等式的步骤

（1）先看二次项系数是否为正，若为负，则将二次项系数化为正数；

（2）写出相应的方程，计算判别式：

①时，求出两根，且（注意灵活运用因式分解和配方法）；

②时，求根；

③时，方程无解

（3）根据不等式，写出解集.

知识点四：用程序框图表示求解一元二次不等式ax2+bx+c＞0(a＞0)的过程

规律方法指导

1．解一元二次不等式首先要看二次项系数a是否为正；若为负，则将其变为正数；2．若相应方程有实数根，求根时注意灵活运用因式分解和配方法；

3．写不等式的解集时首先应判断两根的大小，若不能判断两根的大小应分类讨论；4．根据不等式的解集的端点恰为相应的方程的根，我们可以利用韦达定理，找到不等式的解集与其系数之间的关系；

5．若所给不等式最高项系数含有字母，还需要讨论最高项的系数

二次函数

（）的图象

经典例题透析

类型一：解一元二次不等式

1．解下列一元二次不等式

（1）； （2）； （3）

思路点拨：转化为相应的函数，数形结合解决，或利用符号法则解答.

总结升华：

1. 初学二次不等式的解法应尽量结合二次函数图象来解决，培养并提高数形结合的分析能力； 2. 当时，用配方法，结合符号法则解答比较简洁（如第2、3小题）；当且是一个完全平方数时，利用因式分解和符号法则比较快捷，（如第1小题）.