第二节 一元二次不等式及其解法

2021版《3年高考2年模拟》专有电子资源

1 / 17

第二节 一元二次不等式及其解法

命题导航 课程标准(2017年版) 命题预测

1.经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程,了解一元二次不等式的现实意义.能借助一元二次函数求解一元二次不等式,并能用集合表示一元二次不等式的解集.

2.借助一元二次函数的图象,了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系. 1.考向预测:与基本初等函数结合考查一元二次不等式与其对应的函数、方程的关系问题.不等式的解法是重要考查内容,其中“三个二次”之间的关系是考查热点.

2.学科素养:主要考查逻辑推理、数学运算核心素养.

1.“三个二次”的关系

判别式

Δ=b2-4ac Δ>0 Δ=0 Δ<0

二次函数

y=ax2+bx+c

(a>0)的图象

一元二次方程

ax2+bx+c=0

(a>0)的根 有两相异实根x1,x2(x1

ax2+bx+c>0

(a>0)的解集 ① {x|xx2} ② {x|x≠x1} ③ R

ax2+bx+c<0(a>0)的解集 ④ {x|x1

⑤ ⌀

⑥ ⌀

2021版《3年高考2年模拟》专有电子资源

2 / 17

2.(x-a)(x-b)>0和(x-a)(x-b)<0型不等式的解集

不等式 解集

ab

(x-a)(x-b)>0 {x|xb} ⑦ {x|x≠a} ⑧ {x|xa}

(x-a)(x-b)<0 ⑨ {x|a

口诀:大于取两边,小于取中间.

【常用结论】

1.一元二次不等式的恒成立问题

(1)一元二次不等式ax2+bx+c>0对任意实数x恒成立⇔{𝑎>0,𝑏2-4ac<0.

(2)一元二次不等式ax2+bx+c<0对任意实数x恒成立⇔{𝑎<0,𝑏2-4ac<0.

2.分式不等式的转化

(1)𝑓(𝑥)𝑔(𝑥)>0(<0)⇔f(x)·g(x)>0(<0).

(2)𝑓(𝑥)𝑔(𝑥)≥0(≤0)⇔f(x)·g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0.

以上两式的核心要义是将分式不等式转化为整式不等式.

1.判断正误(正确的打“√”,错误的打“✕”).

(1)若不等式ax2+bx+c<0的解集为(x1,x2),则必有a>0.( )

(2)若不等式ax2+bx+c>0的解集是(-∞,x1)∪(x2,+∞),则方程ax2+bx+c=0的两个根是x1和x2.( )

(3)若方程ax2+bx+c=0(a≠0)没有实数根,则不等式ax2+bx+c>0的解集为R.( )

(4)不等式ax2+bx+c≤0在R上恒成立的条件是a<0且Δ=b2-4ac≤0.( )

(5)若二次函数y=ax2+bx+c的图象的开口向下,则不等式ax2+bx+c<0的解集一定不是空集.( )

答案 (1)√ (2)√ (3)✕ (4)✕ (5)√ 2021版《3年高考2年模拟》专有电子资源

3 / 17

2.不等式x2-3x+2<0的解集为( )

A.(-∞,-2)∪(-1,+∞) B.(-2,-1)

C.(-∞,1)∪(2,+∞) D.(1,2)

答案 D

3.若不等式mx2+2x+1>0的解集为(-∞,-2)∪(-23,+∞),则m=( )

A.12 B.712 C.34 D.56

答案 C

4.不等式𝑥-3𝑥-1≤0的解集为( )

A.{x|x<1或x≥3} B.{x|1≤x≤3}

C.{x|1

答案 C

5.若不等式x2+ax+4≤0的解集不是空集,则实数a的取值范围是 .

答案 (-∞,-4]∪[4,+∞)

6.不等式2𝑥+1<1的解集是 .

答案 {x|x>1或x<-1}

一元二次不等式的解法

命题方向一 不含参数的一元二次不等式

典例1 (1)(2019牡丹江模拟)不等式x(2-x)<0的解集是( )

A.(2,+∞) B.(-∞,2)

C.(0,2) D.(-∞,0)∪(2,+∞)

(2)求不等式-2x2+x+3<0的解集.

答案 (1)B

解析 (1)因为x(2-x)<0, 2021版《3年高考2年模拟》专有电子资源

4 / 17

所以x(x-2)>0,解得x>2或x<0,

所以不等式的解集是(-∞,0)∪(2,+∞).

(2)化-2x2+x+3<0为2x2-x-3>0,

解方程2x2-x-3=0,得x1=-1,x2=32,

∴不等式2x2-x-3>0的解集为(-∞,-1)∪(32,+∞),

即原不等式的解集为(-∞,-1)∪(32,+∞).

命题方向二 含参数的一元二次不等式

典例2 解关于x的不等式ax2-2≥2x-ax(a∈R).

解析 原不等式可化为ax2+(a-2)x-2≥0.

①当a=0时,原不等式可化为x+1≤0,解得x≤-1.

②当a>0时,原不等式可化为(𝑥-2𝑎)(x+1)≥0,

解得x≥2𝑎或x≤-1.

③当a<0时,原不等式化为(𝑥-2𝑎)(x+1)≤0.

当2𝑎>-1,即a<-2时,解得-1≤x≤2𝑎;

当2𝑎=-1,即a=-2时,解得x=-1;

当2𝑎<-1,即-2

综上所述,当a=0时,不等式的解集为{x|x≤-1};

当a>0时,不等式的解集为{𝑥|x≥2𝑎或x≤-1};

当-2

当a=-2时,不等式的解集为{-1};

当a<-2时,不等式的解集为{𝑥|-1≤x≤2𝑎}. 2021版《3年高考2年模拟》专有电子资源

5 / 17

命题方向三 已知一元二次不等式的解集求参数

典例3 已知不等式ax2-bx-1>0的解集是{𝑥|-12<𝑥<-13},则不等式x2-bx-a≥0的解集是 .

答案 {x|x≤2或x≥3}

解析 ∵不等式ax2-bx-1>0的解集是{𝑥|-12<𝑥<-13},

∴ax2-bx-1=0的解是x1=-12和x2=-13,且a<0.

∴{-12-13=𝑏𝑎,(-12)×(-13)=-1𝑎,解得{𝑎=-6,𝑏=5.

则不等式x2-bx-a≥0即为x2-5x+6≥0,解得x≤2或x≥3.

方法技巧

一元二次不等式的解法

(1)对于系数为常数的一元二次不等式,可以用分解因式法或判别式法求解,题目简单,情况单一.

(2)含有参数的不等式的求解时,往往需要对参数进行分类讨论.

①若二次项系数为常数,则需先将二次项系数化为正数,再考虑分解因式,对参数进行分类讨论,若不易分解因式,则可依据判别式符号进行分类讨论;

②若二次项系数为参数,则应先考虑二次项系数是不是零,以便确定不等式是一次不等式还是二次不等式,再讨论二次项系数不为零的情形,以便确定解集的形式;

③对方程的根进行讨论.

(3)若一元二次不等式的解集为区间的形式,则区间的端点值恰对应相应的一元二次方程的根,要注意解集的形式与二次项系数的联系.

▶提醒 当不等式中二次项的系数含有参数时,不要忘记讨论其等于0的情况.

1-1 (2019西安模拟)若不等式ax2+bx+c>0的解集为(-4,1),则不等式b(x2+1)-a(x+3)+c>0的解集为( )

A.(-43,1) B.(-1,43) 2021版《3年高考2年模拟》专有电子资源

6 / 17

C.(-∞,-43)∪(1,+∞) D.(-∞,-1)∪(43,+∞)

答案 B

1-2 解不等式:12x2-ax>a2(a∈R).

解析 不等式12x2-ax>a2可化为12x2-ax-a2>0,即(4x+a)(3x-a)>0,

令(4x+a)(3x-a)=0,

解得x1=-𝑎4,x2=𝑎3.

当a>0时,-𝑎4<𝑎3,所以不等式的解集为{𝑥|x<-𝑎4或x>𝑎3};

当a=0时,得x2>0,所以不等式的解集为{x|x∈R且x≠0};

当a<0时,-𝑎4>𝑎3,所以不等式的解集为{𝑥|x<𝑎3或x>-𝑎4}.

综上所述,当a>0时,不等式的解集为

{𝑥|x<-𝑎4或x>𝑎3};

当a=0时,不等式的解集为{x|x∈R且x≠0};

当a<0时,不等式的解集为{𝑥|x<𝑎3或x>-𝑎4}.

一元二次不等式的恒成立问题

命题方向一 确定形如f(x)>0(f(x)<0)(x∈R)不等式中参数的取值范围

典例4 若不等式(a-2)x2+2(a-2)x-4<0对一切x∈R恒成立,则实数a的取值范围是( )

A.(-∞,2] B.[-2,2]

C.(-2,2] D.(-∞,-2)

答案 C

解析 当a-2=0,即a=2时,不等式为-4<0,对一切x∈R恒成立.

当a-2≠0,即a≠2时,

有{𝑎-2<0,𝛥=4(𝑎-2)2+16(a-2)<0,

即{𝑎-2<0,𝑎2<4,解得-2

7 / 17

综上,实数a的取值范围是(-2,2].

命题方向二 确定形如f(x)>0 或f(x)<0 (x∈[a,b])不等式中参数的取值范围

典例5 设函数f(x)=mx2-mx-1(m≠0),若对于x∈[1,3], f(x)<-m+5恒成立,求m的取值范围.

解析 f(x)<-m+5可化为mx2-mx+m-6<0,

令g(x)=mx2-mx+m-6=m(𝑥-12)2+34m-6,m≠0,x∈[1,3].要使g(x)<0在[1,3]上恒成立,即使g(x)在[1,3]上的最大值小于零.

当m>0时,易知g(x)在[1,3]上是增函数,

所以g(x)max=g(3)=7m-6<0,

所以m<67,则0

当m<0时,易知g(x)在[1,3]上是减函数,

所以g(x)max=g(1)=m-6<0,

解得m<6,所以m<0.

综上所述,m的取值范围是{𝑚|0<𝑚<67或m<0}.

命题方向三 确定形如f(x)>0或f(x)<0(参数m∈[a,b])不等式中x的取值范围

典例6 (2019六安模拟)若不等式x2+mx>4x+m-3在0≤m≤4时恒成立,则x的取值范围是( )

A.[-1,3] B.(-∞,-1]

C.[3,+∞) D.(-∞,-1)∪(3,+∞)

答案 D

解析 解法一:特殊值法:当x=-1时,由x2+mx>4x+m-3,得m<4,故x=-1不符合题意,排除A,B;

当x=3时,由x2+mx>4x+m-3,得m>0,故x=3不符合题意,排除C.

解法二:原不等式可化为(x-1)m+x2-4x+3>0在0≤m≤4时恒成立.

令f(m)=(x-1)m+x2-4x+3,m∈[0,4],