5.3.3古典概型(第2课时)-学生版

§3.2.1 古典概型（二）通过典型例题，较为深入地理解古典概型及其概率计算公式，会用列举法计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率.重点: 理解基本事件的概念、理解古典概型及其概率计算公式.古典概型是等可能事件概率.学法指导1、对于条件中含有“至少”等字眼的古典概型，它包含的互斥事件或基本事件的个数往往较多，计数比较麻烦，这时，可考虑其对立事件，减少计算量；2、灵活构造等概样本空间，简化运算；随机事件，基本事件，对立事件，互斥事件和概率加法公式【例题讲评】例1一盒中装有质地相同的各色球12只，其中5红、4黑、2白、1绿，从中取1球。

求：（1）取出球的颜色是红或黑的概率；（2）取出球的颜色是红或黑或白的概率.例2某种饮料每箱装6听，如果其中有2听不合格，质检人员依次不放回从某箱中随机抽出2听，求检测出不合格产品的概率.例3 从含有两件正品a1，a2和一件次品b1的三件产品中，每次任取一件，每次取出后不放回，连续取两次，求下列两个事件的概率：（1）事件A：取出的两件产品都是正品；（2）事件B：取出的两件产品中恰有一件次品。

变形：从含有两件正品a1，a2和一件次品b1的三件产品中，一次取两件，求下列两个事件的概率：（1）事件A：取出的两件产品都是正品；（2）事件B：取出的两件产品中恰有一件次品。

例4掷一颗骰子，观察掷出的点数，求掷得奇数点的概率。

解法一分析：掷骰子有6个基本事件，具有有限性和等可能性，因此是古典概型。

解法二分析：也可以把试验的所有可能结果取为{点数是奇数}和{点数为偶数}两个样本事件，它们互为对立事件，并且组成等概样本空间。

变形：一次掷两颗骰子，观察掷出的点数，求掷得点数和是奇数的概率。

例5现有一批产品共有10件，其中8件为正品，2件为次品：（1）如果从中取出一件，然后放回，再取一件，求连续3次取出的都是正品的概率；（2）如果从中一次取3件，求3件都是正品的概率．分析：（1）为返回抽样；（2）为不返回抽样．小结：关于不放回抽样，计算基本事件个数时，既可以看作是有顺序的，也可以看作是无顺序的，其结果是一样的，但不论选择哪一种方式，观察的角度必须一致，否则会导致错误．例6 盒中有6只灯泡，其中2只次品，4只正品，有放回地从中任取两次，每次取一只，试求下列事件的概率：（1）取到的2只都是次品；（2）取到的2只中正品、次品各一个；（3）取到的2只中至少有一只次品。

第二学期高一教案主备人：使用人：随堂检测：9.口袋里装有两个白球和两个黑球，这四个球除颜色外完全相同，四个人按顺序依次从中摸出一 球，试求“第二个人摸到白球”的概率。

10．袋中有红、白色球各一个，每次任取一个，有放回地抽三次，写出所有的基本事件，并计算下列事件的概率：（1）三次颜色恰有两次同色； （2）三次颜色全相同； （3）三次抽取的球中红色球出现的次数多于白色球出现的次数。

答案：（红红红）（红红白）（红白红）（白红红）（红白白）（白红白）（白白红）（白白白） （1）34 （2）14 （3）1211．已知集合{0,1,2,3,4}A =，,a A b A ∈∈；（1）求21y ax bx =++为一次函数的概率； （2）求21y ax bx =++为二次函数的概率。

答案：（1）425（2）4512．连续掷两次骰子，以先后得到的点数,m n 为点(,)P m n 的坐标，设圆Q 的方程为2217x y +=；（1）求点P 在圆Q 上的概率； （2）求点P 在圆Q 外的概率。

答案：（1）118 （2）131813．设有一批产品共100件，现从中依次随机取2件进行检验，得出这两件产品均为次品的概率不超过1%，问这批产品中次品最多有多少件？ 答案：10件精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。

读沙漠，读出了它坦荡豪放的胸怀；读太阳，读出了它普照万物的无私；读春雨，读出了它润物无声的柔情。

读大海，读出了它气势磅礴的豪情。

读石灰，读出了它粉身碎骨不变色的清白。

2、幸福幸福是“临行密密缝，意恐迟迟归”的牵挂；幸福是“春种一粒粟，秋收千颗子”的收获. 幸福是“采菊东篱下，悠然见南山”的闲适；幸福是“奇闻共欣赏，疑义相与析”的愉悦。

幸福是“随风潜入夜，润物细无声”的奉献；幸福是“夜来风雨声，花落知多少”的恬淡。

幸福是“零落成泥碾作尘，只有香如故”的圣洁。

幸福是“壮志饥餐胡虏肉，笑谈渴饮匈奴血”的豪壮。

幸福是“先天下之忧而忧，后天下之乐而乐”的胸怀。

课时21 古典概型知识点一样本点个数的计算错误！未指定书签。

1.一个家庭有两个小孩，对于性别，则所有的样本点是( )A．(男，女)，(男，男)，(女，女)B．(男，女)，(女，男)C．(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)D．(男，男)，(女，女)答案 C解析把第一个孩子的性别写在前边，第二个孩子的性别写在后边，则所有的样本点是(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)．故选C.2．做试验“从0,1,2这3个数字中，不放回地取两次，每次取一个，构成有序数对(x，y)，x为第1次取到的数字，y为第2次取到的数字”．(1)写出这个试验的样本空间；(2)求出这个试验的样本点的总数；(3)写出“第1次取出的数字是2”这一事件包含的样本点．解(1)这个试验的样本空间Ω＝{(0,1)，(0,2)，(1,0)，(1,2)，(2,0)，(2,1)}．(2)样本点的总数为6.(3)“第1次取出的数字是2”包含以下2个样本点：(2,0)，(2,1)．知识点二古典概型的判断错误！未指定书签。

3.下列问题中是古典概型的是( )A．种下一粒杨树种子，求其能长成大树的概率B．掷一个质地不均匀的骰子，求出现1点的概率C．在区间[1,4]上任取一个数，求这个数大于1.5的概率D．同时掷两个质地均匀的骰子，求向上的点数之和是5的概率答案 D解析A，B两项中的样本点的发生不是等可能的；C项中样本点的总数是无限的；D项中每个样本点的发生是等可能的，且样本点总数有限．故选D.4．下列概率模型：①在平面直角坐标系内，从横坐标和纵坐标都是整数的所有点中任取一点；②某射手射击一次，可能命中0环，1环，2环，…，10环；③某小组有男生5人，女生3人，从中任选1人做演讲；④一只使用中的灯泡的寿命长短；⑤中秋节前夕，某市工商部门调查辖区内某品牌的月饼质量，给该品牌月饼评“优”或“差”．其中属于古典概型的是________．答案③解析①不属于，原因是所有横坐标和纵坐标都是整数的点有无限多个，不满足有限性；②不属于，原因是命中0环，1环，…，10环的概率不一定相同，不满足等可能性；③属于，原因是满足有限性，且任选1人与学生的性别无关，是等可能的；④不属于，原因是灯泡的寿命是任何一个非负实数，有无限多种可能，不满足有限性；⑤不属于，原因是该品牌月饼被评为“优”或“差”的概率不一定相同，不满足等可能性．知识点三古典概型概率的计算错误！未指定书签。

中学高中数学 3.2 古典概型（第2课时）教案新人教版必修3 教学目标：
1．进一步理解古典概型的两大特点：有限性、等可能性；
2．了解实际问题中基本事件的含义；
3．能运用古典概型的知识解决一些实际问题．
（3）从标有1， 2，3，4，5，6，7， 8，9的9张纸片中任取2张，那么这2
张纸片数字之积为偶数的概率为_________．
（4）口袋中有形状、大小都相同的一只白球和一只黑球，现依次有放回地随
机摸取3次，每次摸取一个球．一共有多少种不同的结果？请列出所有可能的结果．
四、要点归纳与方法小结
本节课学习了以下内容：
1．进一步理解古典概型的概念和特点；
2．进一步掌握古典概型的计算公式；
3．能运用古典概型的知识解决一些实际问题．
仅此学习交流之用
谢谢。

教学辅导教案第1页共12 页成为受人尊敬的百年育人集团A ．0.50B ．0.60C ．0.70D ．0.801．下列对古典概型的说法中正确的是（ ）①试验中所有可能出现的基本事件只有有限个 ①每个事件出现的可能性相等①每个基本事件出现的可能性相等 ①基本事件总数为n ，随机事件A 若包含k 个基本事件，则n k A P )(．A ．①①B ．①①①C ．①①D ．①①2．同时抛掷两枚质地完全相同的骰子，总的事件个数为（ ）A ．36B ．30C ．15D ．213．在两个袋内，分别写着装有1，2，3，4，5，6六个数字的6张卡片，今从每个袋中各取一张卡片，则两数之和等于9的概率为（ ）A ．31B ．61C ．91D ．121 4．袋子中装有编号为A 1，A 2，A 3的3个黑球和编号为B 1，B 2的2个红球，从中任意摸出2个球．（1）写出所有不同的结果；（2）求恰好摸出1个黑球和1个红球的概率；（3）求至少摸出1个红球的概率．5．某公司的招聘考试有编号分别为1，2，3的三个不同的A 类基本题和一道A 类附加题：另有编号分别为4，5的两个不同的B 类基本题和一道B 类附加题．甲从这五个基本题中一次随机抽取两道题，每题做对做错及每题被抽到的概率是相等的．（1）用符号（x ，y ）表示事件“抽到的两题的编号分别为x 、y ，且x ＜y ”共有多少个基本事件？请列举出来；（2）求甲所抽取的两道基本题的编号之和小于8但不小于4的概率．知识点一古典概型的相关概念1．基本事件在试验中，能够表示其他事件且不能再分的最简单的事件称为基本事件．基本事件具有如下的两个特点：①任何两个基本事件是互斥的；①任何事件（除不可能事件）都可以表示成基本事件的和．2．古典概型在一个试验中,如果具有以下两个特点：①试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；（有限性）①每个基本事件发生的可能性相等.（等可能性）我们将具有这两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型．题型一古典概型相关概念的理解【例1-1】袋中有2个红球，2个白球，2个黑球，从里面任意摸2个小球，不是基本事件的为（）A．{正好2个红球}B．{正好2个黑球}C．{正好2个白球}D．{至少1个红球}【例1-2】下列随机试验的数学模型属于古典概型的是（）A．在适宜条件下，种一粒种子，它可能发芽，也可能不发芽B．在平面直角坐标系内，从横坐标和纵坐标都为整数的所有点中任取一个点C．某射击运动员射击一次，试验结果为命中0环，1环，2环， (10)D．四位同学用抽签的方法选一人去参加一个座谈会据此估计，这三天中恰有两天下雨的概率近似为（ ）A ．0.30B ．0.35C ．0.40D ．0.501．（对应题型一）下列试验属于古典概型的有（ ）①从装有大小、形状完全相同的红、黑、绿各一球的袋子中任意取出一球，取出的球为红色的概率；①在公交车站候车不超过10分钟的概率；①同时抛掷两枚硬币，观察出现“两正”“两反”“一正一反”的次数；①从一桶水中取出100mL ，观察是否含有大肠杆菌．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 2．（对应题型二）先后抛掷2枚均匀的硬币．①一共可能出现多少种不同的结果？①出现“1枚正面，1枚反面”的结果有多少种？3．（对应题型三）一袋中装有大小相同，编号分别为1，2，3，4，5，6，7，8的八个球，从中有放回地每次取一个球，共取2次，则取得两个球的编号之和不小于15的概率为（ ）A ．321B ．641C ．643D ．323 4．（对应题型三）从甲，乙，丙，丁4个人中随机选取两人，则甲乙两人中有且只一个被选取的概率为 ．5．（对应题型三）连续抛掷2颗骰子，则出现朝上的点数之和等于6的概率为（ ）A ．365B ．665C ．111D ．1156．（对应题型四）把6张形状完全相同的卡片的正面分别写上数字1，2，3，4，5，6且洗匀后正面朝下放在桌子上，从这6张卡片中同时随机抽取两张卡片，则两张卡片上的数字之和等于7的概率是 ．7．（对应题型五）任意抛掷三枚相同的硬币，恰有一枚国徽朝上的概率是 ． 8．（对应题型六）调查某校高三年级500名学生的肥胖情况，得到下表：偏瘦 正常 偏胖女生（人）x 120 y 男生（人） 50 180 z已知从这批学生中随机抽取1名学生，抽到偏瘦女生的概率为0.1．（1）求x 的值；（2）若用分层抽样的方法，从这批学生中随机抽取50名，问应在偏胖学生中抽多少名？（3）已知y ≥46，z ≥46，求偏胖学生中男生人数大于女生人数的概率．9．（对应题型7）已知某运动员每次投篮命中的概率等于40%.现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定1，2，3，4表示命中，5，6，7，8，9，0，表示不命中；再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果.经随机模拟产生了如下2-组随机数： 907 966 191 925 271 932 812 458569 683 431 257 393 027 556 488730 113 537 989据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为__________．【查漏补缺】1．从三男三女6名学生中任选2名(每名同学被选中的机会相等),则2名都是女同学的概率等于（ ）A ．31B ．41C ．51D ．612．盒子里共有大小相同的3只白球，1只黑球．若从中随机摸出两只球，则它们颜（2）所取的2道题不是同一种题型的概率．4．某大学新闻系有男生45名，女生15名，按照分层抽样的方法组建了一个4人的青奥会采访小组．（1）求某学生被抽到的概率及采访小组中男、女生的人数；（2）经过半个月的实地采访，这个采访小组决定选出2名学生做后期整理编辑，方法是先从小组里选出1名学生对信息分类，该学生整理结束，再从小组内剩下的学生中选1名做后期剪辑，求选出的2名学生中恰有1名女生的概率．1．抛掷一枚质地均匀的硬币，如果连续抛掷1000次，那么第999次出现正面朝上的概率是（ ）A ．9991B ．10001C ．1000999D ．21 2．某班级为了进行户外拓展游戏，组成红、蓝、黄3个小队．甲、乙两位同学各自等可能地选择其中一个小队，则他们选到同一小队的概率为（ ）A ．31B ．21C ．32D ．43 3．袋中有5个球，其中红色球3个，标号分别为1，2，3；篮色球2个，标号分别为1，2；从袋中任取两个球，则这两个球颜色不同且标号之和不小于4的概率为（ ）A ．103B ．52C ．53D ．107 4．从甲，乙，丙，丁4个人中随机选取两人，则甲乙两人中有且只一个被选取的概率为 ．5．从1，2，3，4这四个数中一次随机地取两个数,则其中一个数是另一个数的两倍的概率是 ．6．每次抛掷一枚骰子（六个面上分别标以数字1，2，3，4，5，6）（1）连续抛掷2次，求向上的数之和为6的概率；（2）连续抛掷2次，求向上的数不同的概率．【第一天】1．从三男三女6名学生中任选2名(每名同学被选中的机会相等)，则2名都是女同学的概率等于（ ）A ．31B ．41C ．51D ．612．一袋中装有大小相同，编号分别为1，2，3，4，5，6，7，8的八个球，从中有放回地每次取一个球，共取2次，则取得两个球的编号之和不小于15的概率为（ ）A ．321B ．641C ．643D ．323 3．一个盒子中装有标号为1，2，3，4，5的5个球，同时选取两个球，则两个球上的数字为相邻整数的概率为________．4．袋子中装有编号为A 1，A 2，A 3的3个黑球和编号为B 1，B 2的2个红球，从中任意。

版块一：古典概型 1．古典概型：如果一个试验有以下两个特征：⑴有限性：一次试验出现的结果只有有限个，即只有有限个不同的基本事件； ⑵等可能性：每个基本事件发生的可能性是均等的．称这样的试验为古典概型．2．概率的古典定义：随机事件A 的概率定义为()P A =A 事件包含的基本事件数试验的基本事件总数． 版块二：几何概型几何概型事件A 理解为区域Ω的某一子区域A ，A 的概率只与子区域A 的几何度量（长度、面积或体积）成正比，而与A 的位置和形状无关，满足此条件的试验称为几何概型．几何概型中，事件A 的概率定义为()A P A μμΩ=，其中μΩ表示区域Ω的几何度量， A μ表示区域A 的几何度量．题型一：一维情形 【例1】 在区间[010]，中任意取一个数，则它与4之和大于10的概率是______．【例2】 在长为18cm 的线段AB 上任取一点M ，并以线段AM 为边作正方形，则这个正方形的面积介于36cm 2与81cm 2之间的概率为（ ）A ．56B ．12C ．13D ．16【例3】 两根相距3m 的木杆上系一根拉直的绳子，并在绳子上挂一彩珠，则彩珠与两端距离都大于1m 的概率为（ ）知识内容典例分析板块二.几何概型A ．12 B ．13 C ．14 D ．23题型二：二维情形【例4】 （2010东城一模）某人向一个半径为6的圆形标靶射击，假设他每次射击必定会中靶，且射中靶内各点是随机的，则此人射击中靶点与靶心的距离小于2的概率为（ ）A ．113B ．19C ．14D ．12【例5】 （2010西城一模）在边长为1的正方形ABCD 内任取一点P ，则点P 到点A 的距离小于1的概率为 ．【例6】 （2010丰台二模）一个正三角形的外接圆的半径为1，向该圆内随机投一点P ，点P 恰好落在正三角形外的概率是_________．【例7】 （2010东城二模）在直角坐标系xOy 中，设集合{}(,)01,01x y x y Ω=≤≤≤≤，在区域Ω内任取一点(,)P x y ，则满足1x y +≤的概率等于 ．【例8】 （2010丰台二模）已知(){},|6,0,0x y x y x y Ω=+≤≥≥，{}(,)4,0,20A x y x y x y =-≤≥≥．若向区域Ω上随机投一点P ，则点P 落入区域A 的概率是_________．【例9】 （2010崇文二模）在平面直角坐标系xOy 中，平面区域W 中的点的坐标(,)x y 满足225x y +≤，从区域W 中随机取点(,)M x y ．⑴若x ∈Z ，y ∈Z ，求点M 位于第四象限的概率；⑵已知直线:(0)l y x b b =-+>与圆22:5O x y +=15，求y x b -+≥的概率．【例10】 （2010丰台二模）设集合{}1,2,3P =和{}1,1,2,3,4Q =-，分别从集合P 和Q 中随机取一个数作为a 和b 组成数对(),a b ，并构成函数()241f x ax bx =-+．⑴ 写出所有可能的数对(),a b ，并计算2a ≥，且3b ≤的概率；⑵ 求函数()f x 在区间[)1,+∞上是增函数的概率．【例11】 （2010宣武二模）口袋中有质地、大小完全相同的5个球，编号分别为1，2，3，4，5．甲先摸出一个球，记下编号为a ，放回袋中后，乙再摸一个球，记下编号为b ．⑴ 求“6a b +=”的事件发生的概率；⑵ 若点(),a b 落在圆2221x y +=内，则甲赢，否则算乙赢，这个游戏规则公平吗？试说明理由．【例12】 已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>及内部面积为πS ab =，12A A ，是长轴的两个顶点，12B B ，是短轴的两个顶点，点P 是椭圆及内部的点，则12PA A ∆为钝角三角形的概率为_____，12PB B ∆为钝角三角形的概率为______，12PB B ∆为锐角三角形的概率为________，12PB B ∆为直角三角形的概率为_____．【例13】 已知集合{}420135A =--，，，，，，在平面直角坐标系中，点()M x y ，的坐标x A ∈，y A ∈．计算：⑴ 点M 正好在第二象限的概率；⑵ 点M 不在x 轴上的概率；⑶点M正好落在区域80x yxy+-<⎧⎪>⎨⎪>⎩上的概率．【例14】如右下图，在一个长为π，宽为2的矩形OABC内，曲线()sin0πy x x=≤≤与x 轴围成如图所示的阴影部分，向矩形OABC内随机投一点（该点落在矩形OABC内任何一点是等可能的），则所投的点落在阴影部分的概率是（）y=sin x2πCBAOyxA．1πB．2πC．3πD．π4【例15】如图，在边长为25的正方形中挖去边长为23的两个等腰直角三角形，现有均匀的粒子散落在正方形，问粒子落在中间带形区域的概率是多少？【例16】在圆心角为150°的扇形AOB中，过圆心O作射线交弧AB︵于P，则同时满足：45AOP∠≥°且75BOP∠≥°的概率为．【例17】（2009福建文）点A为周长等于3的圆周上的一个定点，若在该圆周上随机取一点B，则劣弧︵AB 的长度小于1的概率为．【例18】 设A 为圆周上一定点，在圆周上等可能的任取一点P 与A 连结，求弦长超过半径3【例19】 （08江苏）在平面直角坐标系xOy 中，设D 是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2的点构成的区域，E 是到原点的距离不大于1的点构成的区域，向D 中随机投一点，则所投的点落入E 中的概率是 ．【例20】 取一个正方形及其它的外接圆，随机向圆内抛一粒豆子，则豆子落入正方形外的概率（ ）A ．2π B ．π2π- C 2 D ．π4【例21】 向面积为S 的ABC ∆内任投一点P ，则随机事件“PBC ∆的面积小于3S ”的概率为多少？【例22】 如图，60AOB ∠=°，2OA =，5OB =，在线段OB 上任取一点C ，试求：C E DBO A⑴AOC ∆为钝角三角形的概率；⑵AOC ∆为锐角三角形的概率．【例23】 把一根长度为6的铁丝截成3段．⑴若三段的长度均为整数，求能构成三角形的概率；⑵若截成任意长度的三段，求能构成三角形的概率．【例24】 小明的爸爸下班驾车经过小明学校门口，时间是下午6:00到6:30，小明放学后到学校门口的候车点候车，能乘上公交车的时间为5:50到6:10，如果小明的爸爸到学校门口时，小明还没乘上车，就正好坐他爸爸的车回家，问小明能乘到他爸的车的概率．【例25】 甲、乙两人约定在6时到7时之间在某处会面，并约定先到者应等候另一个人一刻钟，过时即离去，求两人能会面的概率．【例26】 在区间[11]-，上任取两实数a b ，，求二次方程2220x ax b ++=的两根都为实数的概率．【例27】 （2010海淀一模）某商场为吸引顾客消费推出一项优惠活动．活动规则如下：消费额每满100元可转动如图所示的转盘一次，并获得相应金额的返券，假定指针等可能地停在任一位置． 若指针停在A 区域返券60元；停在B 区域返券30元；停在C 区域不返券． 例如：消费218元，可转动转盘2次，所获得的返券金额是两次金额之和． ⑴若某位顾客消费128元，求返券金额不低于30元的概率；⑵若某位顾客恰好消费280元，并按规则参与了活动，他获得返券的金额记为X （元）．求随机变量X 的分布列和数学期望．【例28】 （2010石景山一模）如图，两个圆形转盘,A B ，每个转盘阴影部分各占转盘面积的12和14．某“幸运转盘积分活动”规定，当指针指到,A B 转盘阴影部分时，分别赢得积分1000分和2000分．先转哪个转盘由参与者选择，若第一次赢得积分，可继续转另一个转盘，此时活动结束；若第一次未赢得积分，则终止活动．⑴记先转A转盘最终所得积分为随机变量X，则X的取值分别是多少？⑵如果你参加此活动，为了赢得更多的积分，你将选择先转哪个转盘？请说明理由．题型三：三维情形【例29】（2010朝阳一模）一只小蜜蜂在一个棱长为30的正方体玻璃容器内随机飞行．若蜜蜂在飞行过程中与正方体玻璃容器6个表面中至少有一个的距离不大于10，则就有可能撞到玻璃上而不安全；若始终保持与正方体玻璃容器6个表面的距离均大于10，则飞行是安全的，假设蜜蜂在正方体玻璃容器内飞行到每一位置可能性相同，那么蜜蜂飞行是安全的概率是（）A．18B．116C．127D．38【例30】设正四面体ABCD的体积为V，P是正四面体ABCD的内部的点．①设“14P ABCV V-≥”的事件为X，求概率()P X；②设“14P ABCV V-≥且14P BCDV V-≥”的事件为Y，求概率()P Y．。