山西省忻州市忻州一中2024届下学期高三数学试题3月月考考试试卷

2023~2024学年第二学期高三3月月考试卷数学考生注意：1．本试卷分选择题和非选择题两部分。

满分150分，考试时间120分钟。

2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。

3．考生作答时，请将答案答在答题卡上。

选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．。

4．本卷命题范围：高考范围。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是合题目要求的。

1．已知集合(){6,},{lg 20}A xx x B x x =<∈=-<N ∣∣，则()R A B = ð（）A ．{}1,2,3,4,5B ．{}0,1,2,3,4,5C ．{}0,1,4,5D ．{02xx ≤≤∣，或36}x ≤<2．已知复数512iz =+，则2i z --=（）A B ．C 1D 3．已知D 是ABC △的AB 边上一点，若()1,,2AD DB CD CA CB λμλμ==+∈R，则λμ-=（）A ．23B ．13C ．0D ．13-4．已知函数()2log ,02,23,2,x x f x x x <≤⎧=⎨->⎩若()()1210f a f a +--≥，则实数a 的取值范围是（）A ．(],2-∞B ．[)2,+∞C ．[]2,6D ．1,22⎛⎤⎥⎝⎦5．已知12,F F 是椭圆()2222:10x y C a b a h+=>>的两个焦点，若C 上存点P ，使12PF PF =则C 的离心率的取值范围是（）A ．10,3⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．1,13⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭6．已知各项都是正数的等比数列{}n a 的前3项和为21，且312a =，数列{}n b 中，131,0b b ==，若{}n n a b +是等差数列，则12345b b b b b ++++=（）A ．153B ．91C ．33D ．－337．已知e 是自然对数的底数，212e sin ,e ln2a b c ===，则（）A ．a b c>>B ．c a b >>C ．a c b>>D ．b c a>>8．在棱长为4的正方体1111ABCD A B C D -中，E 是CD 的中点，F 是1CC 上的动点，则三棱锥A DEF -外接球半径的最小值为（）A ．3B ．CD 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。

2024届山西省部分学校高三下学期3月月考数学试卷一、单选题1. 已知集合，则（）A．B．C．D．或2. 已知复数，则（）A．B．C．D．3. 已知是的边上一点，若，则（）A．B．C．0D．4. 已知函数若，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．5. 设分别是椭圆的左右焦点，若椭圆C上存在点P，使线段的垂直平分线过点，则椭圆离心率的取值范围是（）A．B．C．D．6. 已知各项都是正数的等比数列的前3项和为21，且，数列中，，若是等差数列，则（）A．153B．91C．33D．7. 已知是自然对数的底数，，则（）A．B．C．D．8. 在棱长为4的正方体中，是的中点，是上的动点，则三棱锥外接球半径的最小值为（）A．3B．C．D．二、多选题9. 将函数的图象向右平移个单位长度后，得到函数的图象，若在区间上恰有两个零点，则实数的值可能为（）A．B．C．D．10. 如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，，侧面为正三角形，且平面平面，则（）A．B．在棱上存在点，使得平面C．平面与平面的交线平行于平面D．到平面的距离为11. 已知定义域为的函数的导函数为，若函数和均为偶函数，且，则（）A．B．C．D．三、填空题12. 展开式的常数项为 ______ ．13. 已知抛物线与圆的公共点为，则______ ；若为圆的劣弧上不同于的一个动点，过点作垂直于轴的直线交抛物线于点不经过原点，则周长的取值范围是 ______ ． 14. 锐角的内角的对边为，若的面积是，则的最小值是 ______ ．四、解答题15. 如图，直三棱柱的底面是等腰直角三角形，分别是棱，上的点，．(1)证明：平面平面；(2)若，求平面与平面夹角的余弦值．16. 已知数列的前项和为，且．(1)求数列的通项公式；(2)已知，数列的前项和为，若对任意的正整数，不等式都成立，求实数的取值范围．17. 光明高级中学高三年级理科考生800人都参加了本学期的期中调研测试，学校把本次测试数学成绩达到120分以上（包含120分）的同学的数学成绩等第定为优秀，物理成绩达到90分以上（包含90分）的同学的物理成绩等第定为优秀．现从理科考生中随机抽取10名同学调研本次测试的数学和物理成绩，如下表：(1)试列出列联表，并依据的独立性检验分析能否认为本次测试理科考生的数学成绩的等第优秀与物理成绩的等第是否优秀有关？(2)①数学组的章老师打算从这10个同学中，按照这次测试数学的等第是否优秀，利用分层随机抽样的方法抽取5人，再从这5人中抽取3个人，并仔细考查这3个人的答题情况．设最后抽出的3个人中数学等第优秀的人数为，求的分布列及数学期望；②如果本次测试理科考生的物理成绩，用样本估计总体，以10名同学物理成绩的平均数为，方差为，若从参加考试的800名理科考生中随机抽取4人，求这4人中至少有1人的物理成绩的等第优秀的概率．参考数据：取．若，则，．．0.100.050.0250.0100.0052.70618. 已知函数（m是常数）．(1)若，求函数的图象在处的切线的方程；(2)若有两个零点，且，证明：，且． 19. 已知为平面上一个动点，到定直线的距离与到定点距离的比等于，记动点的轨迹为曲线．(1)求曲线的方程；(2)若轴上是否存在定点，使过点且斜率为的直线与曲线相交于（均不同于两点，且分别为直线的斜率）？若存在，求出定点的坐标；若不存在，请说明理由．。

2023-2024学年山西省高一下册3月联考数学模拟试题一、单选题1．设集合{}{}290,36A x x B x x =-+>=<，则()R A B ⋂=ð（）A ．(2,3)B ．(3,2)-C ．[2,3)D ．(3,)+∞【正确答案】C【分析】解不等式可得集合,A B ，再根据集合的运算可得结果.【详解】由290x -+>，解得33x -<<，即}{33A x x =-<<，显然}{2B x x =<，∴}{R 2B x x =≥ð，∴()R [2,3)A B = ð．故选：C.2．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若6,a b c ===C =（）A ．π4B ．π3C ．π6D ．3π4【正确答案】A【分析】由余弦定理求解即可.【详解】由余弦定理可得222cos22a b c C ab +-==，因为(0,π)C ∈，所以π4C =．故选：A.3．若(1,),(1,3),(1,7)A m B m C m +-三点共线，则m =（）A ．5-B ．5C ．0或5-D ．0或5【正确答案】D【分析】由题意可得//AB BC，再利用向量共线求解即可.【详解】因为(,3),(2,4)AB m m BC m =-=-，若(1,),(1,3),(1,7)A m B m C m +-三点共线，则//AB BC，所以42(3)m m m =--，解得0m =或5．故选：D.4．已知正实数a ，b 满足911b a+=，则a b +的最小值为（）A ．8B ．16C ．12D ．24【正确答案】B【分析】根据已知条件，利用“1”的代换，将a b +转化为19()a b a b ⎛⎫++ ⎪⎝⎭，再利用基本不等式求解即可.【详解】已知正实数a ，b 满足911b a+=，所以199()10101016b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=++≥+=+= ⎪⎝⎭，当且仅当9b aa b=，即4,12a b ==时，等号成立．所以a b +的最小值为16，故选：B.5．已知向量a b - 与向量b 均为单位向量，且它们的夹角为60︒，则向量a 在向量b上的投影向量为（）A ．12a- B ．32bC ．12b- D ．32a【正确答案】B【分析】由已知条件求出a b ⋅，再由投影向量公式计算即可求出答案．【详解】∵11()1122a b b -⋅=⨯⨯= ，∴212a b b ⋅-= ，则32a b ⋅= ，故向量a 在向量b上的投影向量为3cos ,2||b a b b a a b a b b a b b ⋅=⋅⋅=，故选：B.6．已知函数2846,0()|log ,0x x x f x x x ⎧++≤⎪=⎨⎪⎩，则方程()2f x =的实数解的个数为（）A ．2B ．3C ．4D ．5【正确答案】B【分析】讨论0x ≤、0x >，令()2f x =求解即可判断个数.【详解】当0x ≤时，由2462x x ++=，解得2x =-；当0x >时，由8log 2x =，得8log 2x =或8log 2x =-，解得64x =或164．故方程()2f x =的实数解的个数为3．故选：B7．已知ABC 的三个内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ．若2sin sin sin sin sin A c A A B b C +=+，则该三角形的形状一定是（）A ．钝角三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．锐角三角形【正确答案】C【分析】利用正弦定理的边角转化，将已知变形sin sin a A ac b A bc +=+，化简从而得出a b =【详解】因为2sin sin sin sin sin A c A A B b C +=+，由正弦定理2sin sin sin a b cR A B C===（2R 为ABC 外接圆的直径），可得sin sin 2222a a b c A c A b R R R R⋅+⋅=⋅+⋅，所以(sin )(sin )a A c b A c +=+．又因为sin 0A c +>，所以a b =．即ABC 为等腰三角形.故选：C8．泰姬陵是印度在世界上知名度最高的古建筑之一，被列为“世界文化遗产”．秦姬陵是印度古代皇帝为了纪念他的皇妃建造的，于1631年开始建造，用时22年，距今已有366年历史．如图所示，为了估算泰姬陵的高度，现在泰姬陵的正东方向找一参照物AB ，高约为50m ，在它们之间的地面上的点Q （B ，Q ，D 三点共线）处测得A 处、泰姬陵顶端C 处的仰角分别是45°和60°，在A 处测得泰姬陵顶端C 处的仰角为15°，则估算泰姬陵的高度CD 为（）A ．75mB ．C ．mD ．80m【正确答案】A【分析】Rt ABQ 中边角关系解出AQ ，CAQ 中由正弦定理解得CQ ，Rt CDQ △中由边角关系解得CD .【详解】由已知得ABQ 为等腰直角三角形，50AB =，AQ =45AQB ∠= ，60CQD ∠= ，则有75CQA ∠= ，A 处测C 处的仰角为15°，则60QAC ∠= ，∴45QCA ∠= ，CAQ 中，由正弦定理，sin sin AQ CQ QCA QAC=∠∠=，解得CQ =，Rt CDQ △中sin CD CQD CQ ∠=，sin 752CD CQ CQD =∠==.故选：A 二、多选题9．已知向量(3,1),(4,6)AB k k BC =---= ，若AB AC ⊥，则k 的值可能为（）A ．1B ．2C ．4-D ．2-【正确答案】AC【分析】由向量垂直的坐标表示求解即可.【详解】依题意得(1,5)AC AB BC k k =+=-+．因为AB AC ⊥，所以(3)(1)AB AC k k ⋅=---+ (1)(5)0k k -+=，解得1k =或4-．故选：AC.10．如图，在正方形ABCD 中，Q 为BC 上一点，AQ 交BD 于E ，且E ，F 为BD 的两个三等分点，则（）A ．0AE AF AC +-= B ．2133AE AB AD =+ C ．1233AF AB AD =+uuu ruu ur uuu r D ．2136FQ AB AD=- 【正确答案】BCD【分析】利用向量的线性运算及三角形相似的性质即可求解.【详解】因为AE AF AC +=，所以0AE AF AC +-= ，故A 错误．1121()3333AE AB BE AB BD AB AD AB AB AD =+=+=+-=+，故B 正确．212()32333AE AB BF AB BD AB AD AB AB AD =+=+=+-=+，故C 正确．因为E 为BD 上靠近B 的三等分点，所以12BE ED = ，利用相似性质可得12BQ AD =，则FQ BQ BF =-= 121221()232336AD BD AD AD AB AB AD -=--=-．故D 正确．故选：BCD.三、单选题11．若平面上的三个力123,,F F F 作用于一点，且处于平衡状态．已知123N,F F == ，12,F F的夹角为3π4，则（）A ．3F =B ．3F =C ．31,F F 夹角的余弦值为5-D ．31,F F 【正确答案】BC【分析】利用数量积公式及变形即可解决.【详解】由已知可知：312F F F -=+，所以3F == ．设13,F F的夹角为θ，由213F F F -=+，得2F =cos θ=．故选：BC.四、多选题12．在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且c）A ．若π,14B b =<<，则ABC 有两解B ．若π,π,2B b ⎛⎫∈> ⎪⎝⎭ABC 无解C ．若ABC 为锐角三角形，且2B C =，则1sin ,42A a ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭D ．若2A B C +=，则a b +的最大值为【正确答案】ACD【分析】根据边角的关系，可判断三角形的个数，即可判断AB ；根据三角形是锐角三角形，求角C 的范围，即可判断C ；利用正弦定理，将边表示为三角函数，利用三角函数的性质，即可判断D.【详解】对于A ，因为π,14B b =<<sin c B b c <<，则ABC 有两解，A 正确．对于B，因为π,π,2B b ⎛⎫∈> ⎪⎝⎭，所以ABC 有且仅有一解，B 错误．对于C ，由π0π32π022π02C C C ⎧<-<⎪⎪⎪<<⎨⎪⎪<<⎪⎩得ππ64C <<，则1sin ,22C ⎛∈ ⎝⎭，因为sin sin a cA C =，所以sin 1sin ,42a C A c ⎛⎫=∈ ⎪ ⎪⎝⎭，C 正确．对于D ．因为2A B C +=，所以π3C =，又因为sin sin sin 2a b c A B C ==所以,a A b B ==，则sin sin 3333a b A B A +=+=+2sin 3A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭3πsin cos sin 3226A A A ⎫⎛⎫+=+⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，由2π03A <<，得ππ5π666A <+<，所以当ππ62A +=，即π3A =时，a b +取得最大值D 正确．故选：ACD 五、填空题13．写出与向量(1,a =平行的一个单位向量的坐标：_____________．【正确答案】1,77⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭（答案不唯一）【分析】先求向量的模，再利用平行向量进行求解即可．【详解】因为(1,a =，则7a ==，所以与a平行的单位向量为17||a a ⎛= ⎝⎭或1,7||a a ⎛-=- ⎝⎭．故17⎛ ⎝⎭（答案不唯一）．14．已知两个非零向量,a b 满足(12)a b a ⊥- ，且1||7b = ，则|6|a b -=__________．【正确答案】67【分析】根据(12)a b a ⊥- 得到212a b a ⋅= ，然后求6a b - 即可.【详解】两非零向量,a b 满足(12)a b a ⊥- ，可得(12)0a b a ⋅-= ，则212a b a ⋅= ，因为17b = ，所以6667a b b -=== ．故答案为.6715．如图，海上一观测站A 接到在北偏西60︒方向上一艘商船D 的求助电话，得知该商船需要加燃油，观测站人员准备让在商船D 正东方向的一艘商船B 向它输送燃油，速度为每小时120海里，此时商船B 距观测站海里，20分钟后测得商船B 位于距观测站30海里的C 处，再经过___________分钟商船B 到达商船D 处．【正确答案】15【分析】在ABC 中，由余弦定理求得ACB ∠，从而得到30ADC DAC ∠=∠=︒，利用正弦定理求得DC ，然后根据速度比求出时间.【详解】在ABC 中，AB =201204060BC =⨯=海里，30AC =海里，由余弦定理得222160090013001cos 2240302CB CA AB ACB CB CA +-+-∠==⋅⨯⨯，则60,120ACB ACD ∠=︒∠=︒．在ADC △中，因为30ADC DAC ∠=∠=︒，所以30DC AC ==海里，所以306015120t =⨯=分钟，即再经过15分钟商船B 到达商船D 处．故15.16．在长方形ABCD 中，4AB =，2AD =，E 为边AB 的中点，,G F 分别为边,AD BC 上的动点，且2π3FEG ∠=，则GE EF +的取值范围是_______________．【正确答案】⎣【分析】画出图形，用三角函数的性质表示出GE EF +，在根据辅助角公式化简，换元法后利用函数单调性求解即可.【详解】如图，设AEG α∠=，则π3FEB α∠=-，2cos GE α=，2πcos 3EF α=⎛⎫- ⎪⎝⎭，π223ππcos cos 2sin 2136GE EF αααα⎛⎫+ ⎪⎝⎭+=+=⎛⎫⎛⎫-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令πsin 3t α⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则22πππ2ππsin 2cos 2cos 22sin 12166233t αααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-++=-+=+-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以14GE EF t t+=-易得ππ124α⎡⎤∈⎢⎣⎦,，所以π5π7π,31212α⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，,14t ⎤+∈⎥⎣⎦，因为函数14y t t =-在4⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，所以143t t-≤，所以134GE EF t t+=-≤≤故⎣六、解答题17．如图，在4×4正方形网格中，向量a ，b满足1a = ，2b = ，且a b ⊥ ．(1)在图中，以A 为起点作出向量c，使得2c a b =+ ；(2)在（1）的条件下，求c d ⋅．【正确答案】(1)作图见解析(2)2【分析】（1）由向量线性运算的几何表示作出向量c；（2）利用向量a ，b 为基底，求c d ⋅.【详解】（1）2c a b =+ ，以A 为起点作出向量c，如图所示，（2）由图中网格可得：122d a b =- ，由1a = ，2b = ，且0a b ⋅=则有()2211224222a b a b c d a b ⎛⎫+-=-= ⎪⋅⎝⎭⋅= 18．已知向量121212(1,0),(0,1),5,(2)3λλ===-+=+- e e a e e b e e ，且//a b r r．(1)求λ的值；(2)若a 与b 反向，124=+ c e e ，求a 与c的夹角．【正确答案】(1)3λ=或5-(2)3π4．【分析】（1）根据题意求出a 、b的坐标，由向量共线的坐标运算可得答案；（2）由a 与b反向求出λ，再求出、 a c 的坐标，由向量夹角的坐标运算可得答案.【详解】（1）根据题意得5(1,0)(0,1)(5,)λλ=-+=-a ，(2)(1,0)3(0,1)λ=+-b (2,3)λ=+-，因为a b∥，所以(2)15λλ+=，解得3λ=或5-；（2）由（1）5λ=-时，(5,5)=-- a ，(3,3)=-- b ，所以53= a b ，则a 与b同向，舍去；当3λ=时，(5,3)=- a ，(5,3)=- b ，所以a b =- ，则a 与b反向，1244(1,0)(0,1)(4,1)=+=+=c e e ，因为cos ,2⋅==-a c a c a c ，因为0,π≤≤a c ，所以a 与c 的夹角为3π4．19．已知向量(sin ,),(sin ,sin )m x x n x x ==，函数2()()f x m n =+ ．(1)求()f x 的单调递减区间；(2)若π9π,π642f αα⎛⎫+=<< ⎪⎝⎭αα的值．【正确答案】(1)πππ,π(Z)36k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦(2)．【分析】（1）根据向量的加法及数量积的坐标表示，利用同角三角函数函数的平方关系及二倍角的正弦、余弦公式，结合辅助角公式及三角函数的性质即可求解；（2）根据已知条件及三角函数的诱导公式，结合二倍角的余弦公式即可求解.【详解】（1）因为(sin ,),(sin ,sin )m x x n x x ==所以(2sin ,sin )m n x x x +=，所以2222()()4sin sin 3cos cos f x m n x x x x x =+=++-π4cos 2242sin 26x x x ⎛⎫=--=-+ ⎪⎝⎭．由πππ2π22π,Z 262k x k k -≤+≤+∈，得ππππ,Z 36k x k k -≤≤+∈，所以()f x 的单调递减区间为πππ,π(Z)36k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦．（2）由π964f α⎛⎫+= ⎪⎝⎭得ππ942sin 242cos 2364αα⎛⎫-++=-= ⎪⎝⎭，即7cos 28α=．因为ππ2α<<，所以1sin 4α==，cos α=-44αα=-=20．某城建部门欲沿河边规划一个三角形区域建设市民公园．如图，MN 为该城区内河段的一部分，现有两种设计方案，方案一的设计为AMN 区域，方案二的设计为BMN 区域，经测量，700AM AN ==米，500BM =米，800BN =米，A B ∠=∠．(1)求MN 的长度．(2)若市民公园建设每平方米的造价为80元，不考虑其他因素，要使费用较低，该选哪个方案（请1.732=）【正确答案】(1)700米(2)方案二的设计符合要求，理由见解析，元【分析】（1）利用余弦定理解得222222cos cos 22AM AN MN BM BN MN A B AM AN BM BN+-+-===⋅⋅，解方程可得MN 的长度；（2）利用面积公式可得AMN BMN S S >△△，确定方案二节约及其造价.【详解】（1）在AMN 中，由余弦定理得2222490000490000cos 22700700AM AN MN MN A AM AN +-+-==⋅⨯⨯．在BMN 中，由余弦定理得2222250000640000cos 22500800BM BN MN MN B BM BN +-+-==⋅⨯⨯．由A B ∠=∠，得cos cos A B =，故2249000049000025000064000027007002500800MN MN +-+-=⨯⨯⨯⨯，解得700MN =米，故MN 的长度为：700米．（2）方案二的设计符合要求．理由如下：因为1490000sin sin 22AMN S AM AN A A =⋅⋅⋅=△，1400000sin sin 22BMN S BM BN B B =⋅⋅⋅=△，且sin sin A B =，所以AMN BMN S S >△△，故选择方案二的设计，建设市民公园的费用较低．因为700AM AN MN ===米，所以AMN 是等边三角形，60A B ∠=∠=︒，所以1sin 1732002BMN S BM BN B =⋅⋅⋅==△平方米，所以总造价为8017320013856000⨯=元．故：方案二符合要求，最低造价为元.21．在ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且22cos cos b bc C c B =+．(1)若tan 2tan 1tan C C A=-，求角B 的值；(2)若ABC 外接圆的周长为8π，求ABC 面积的取值范围．【正确答案】(1)π6B =(2)(ABC S ∈ 【分析】（1）由22cos cos b bc C c B =+，根据余弦定理和正弦定理可得2sin sin sin B A C =，结合三角恒定变化即可求解；（2）利用圆的周长公式可得ABC 外接圆的半径为4，再根据余弦定理和均值不等式求得B 的范围，代入三角形面积公式即可求解.【详解】（1）因为22cos cos b bc C c B =+，所以由余弦定理得2222222222a b c a c b b bc c ab ac +-+-=⋅+⋅，解得2b ac =，所以由正弦定理可得2sin sin sin B A C =，由tan 2tan 1tan C C A=-，得sin cos 2sin 1cos sin cos C A C C A C =-，即sin()2sin sin A C C A +=，又因为ABC ，πA C B +=-，且sin 0B ≠，所以2sin 2sin sin 2sin B C A B ==，解得1sin 2B =．由2b ac =知，b 不是最大边，故π6B =．（2）因为ABC 外接圆的周长为8π，所以ABC 外接圆的半径8π42πR ==，又因为22221cos 222a cb ac ac B ac ac +--=≥=，当且仅当a c =时等号成立，所以π03B <≤，由正弦定理可得28sin b R B==，所以8sin b B =，所以ABC 的面积2311sin sin 32sin 22ABC S ac B b B B ===△．因为π03B <≤，所以0sin 2B <≤，所以(ABC S ∈ ．22．已知函数()22log f x x x =+.(1)证明：对任意()0,λ∈+∞，总存在()0,μ∞∈+，使得()0f x >对(),x λμ∞∈+恒成立.(2)若不等式()23tf x x t +<-对[]0,1t ∈恒成立，求x 的取值范围.【正确答案】(1)证明见解析；(2)()0,1【分析】（1）先判断()22log f x x x =+为增函数，找出隐零点从而得证；（2）把不等式等价为()230t f x t x ++-<，从而借助二次函数的图象建立不等式，再构造函数()()22log 20h x x x x x =++->，利用单调性可解.【详解】（1）()22log f x x x =+的定义域为()0,∞+，2y x = 在()0,∞+上为增函数，又2log y x = 在()0,∞+上为增函数，所以()22log f x x x =+在()0,∞+为增函数，因为111024f ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，()110f =>，所以()f x 在1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭内存在唯一的零点0x ，所以当0x x >时，()0f x >．故对任意()0,λ∈+∞，总存在()00,x μλ=∈+∞，使得()0f x >对(),x λμ∞∈+恒成立．（2）由()23tf x x t +<-，得()230t f x t x ++-<．设函数()()23g t t f x t x =++-，()g t 为关于t 的二次函数．因为()230t f x t x ++-<对[]0,1t ∈恒成立，由图可知()()0010g g ⎧<⎪⎨<⎪⎩，即()2230log 200x x x x x -<⎧⎨++-<>⎩设函数()()22log 20h x x x x x =++->，22192()24y x x x =+-=+- 在()0,∞+上为增函数，又2log y x = 在()0,∞+上为增函数，则()h x 在()0,∞+上为增函数，因为()10h =，所以不等式22log 20x x x ++-<的解集为()0,1，而当()0,1x ∈时，30x -<显然成立，所以x 的取值范围为()0,1．关键点睛：第一问的关键是借助111024f ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，()110f =>，找到()f x 的隐零点，从而问题得证.。

山西省忻州市2024年数学（高考）部编版真题(自测卷)模拟试卷一、单项选择题（本题包含8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）(共8题)第(1)题设S n是公差为d(d≠0)的无穷等差数列{a n}的前n项和，则下列命题错误的是A．若d＜0，则数列{S n}有最大项B．若数列{S n}有最大项，则d＜0C．若数列{S n}是递增数列，则对任意的n N*，均有S n＞0D．若对任意的n N*，均有S n＞0，则数列{S n}是递增数列第(2)题如图，I是全集，M、P、S是I的3个子集，则阴影部分所表示的集合是（）A．B．C．D．第(3)题已知命题p：，，命题q：，，则下列是真命题的是（）A．B．C．D．第(4)题已知实数集，集合，则（）A．B．C．D．第(5)题若复数，则（）A．3B．4C．D．第(6)题如图，平面四边形A､B､C､D，己知，，，，则A､B两点的距离是（）A．B．C．D．第(7)题已知数列的通项为，则其前8项和为（）A．B．C．D．第(8)题要得到函数的图象，只需将函数的图象（）A ．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度C ．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度二、多项选择题（本题包含3小题，每小题6分，共18分。

在每小题给出的四个选项中，至少有两个选项正确。

全部选对的得6分，选对但不全的得3分，有选错或不答的得0分） (共3题)第(1)题已知函数，则下列结论正确的是（）A．函数是偶函数B．函数的最小正周期为2C．函数在区间存在最小值D．方程在区间内所有根的和为10第(2)题已知点A，B，C都在双曲线上，点在第一象限，点在第四象限，A，B关于原点对称，，过作垂直于轴的直线分别交，于点D，E．若，则下列结论正确的是（）A．点的纵坐标为B．C．D．双曲线的离心率为第(3)题已知数列是首项为，公比为的等比数列，则（）A．是等差数列B．是等差数列C．是等比数列D．是等比数列三、填空（本题包含3个小题，每小题5分，共15分。

山西省忻州市2024年数学（高考）统编版质量检测(评估卷)模拟试卷一、单项选择题（本题包含8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）(共8题)第(1)题已知复数，且，若z在复平面内对应的点位于第二象限，则（）A．B．C．2D．第(2)题已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，圆上的点到C的一条渐近线的距离的最大值为，A是双曲线C右支上一点，线段与双曲线C的左支交于点B，若的重心与内心重合，则直线AB的方程为（）A．B．C．D．第(3)题若关于x的不等式对恒成立，则实数a的取值范围为（）A．B．C．D．第(4)题命题“，”的否定为（）A．，B．，C．，D．，第(5)题欧拉恒等式（为虚数单位，为自然对数的底数）被称为数学中最奇妙的公式.它是复分析中欧拉公式的特例：当自变量时，.得.根据欧拉公式，复数在复平面上所对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限第(6)题函数的部分图象如图所示，则（）A．1B．C．D．第(7)题若复数满足，其中为虚数单位，则的虚部为（）A．B．C．D．第(8)题某校课题小组为了研究高一学生数学成绩和物理成绩的线性相关关系，在高一第二学期期中考试后随机抽取了5名同学（记为1，2，3，4，5）数学成绩和物理成绩（满分均为100分）如表所示：学生代号12345数学成绩x7476767678物理成绩y7575767777则y关于x的线性回归方程为（）A．B．C．D．二、多项选择题（本题包含3小题，每小题6分，共18分。

在每小题给出的四个选项中，至少有两个选项正确。

全部选对的得6分，选对但不全的得3分，有选错或不答的得0分） (共3题)第(1)题设函数，，给定下列命题，其中正确的是（）A ．若方程有两个不同的实数根，则（为自然对数的底数）B．若方程恰好只有一个实数根，则C．若，总有恒成立，则D．若函数有两个极值点，则实数第(2)题已知椭圆的离心率为，短轴长为，两个焦点为，点为椭圆上一点，记，则下列结论中正确的是（）A．的周长与点的位置无关B．当时，的面积取到最大值C．的外接圆半径最小为D．的内切圆半径最大为第(3)题已知，若关于的方程恰好有6个不同的实数解，则的取值可以是（）A．B．C．D．三、填空（本题包含3个小题，每小题5分，共15分。

山西省忻州市2024年数学（高考）统编版真题(综合卷)模拟试卷一、单项选择题（本题包含8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）(共8题)第(1)题已知函数在区间上有最大值或最小值，则实数的取值范围为（）A．B．C．D．第(2)题已知，，，则（）A．B．C．D．第(3)题已知集合则（）A．B．C．D．第(4)题已知函数，把的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，则（）A ．是偶函数B．的图象关于直线对称C ．的图象关于直线对称D．的图象关于点中心对称第(5)题已知函数满足：，，则下列说法正确的有（）A．是周期函数B．C．D．图象的一个对称中心为第(6)题设集合，，则（）A．B．C．D．第(7)题已知正三棱台的上底面积为，下底面积为，高为2，则该三棱台的表面积为（）A．B．C．D．18第(8)题如图的程序框图是为了求出满足的最小正整数，那么在 和两个空白框中，可以分别填入（）．A．和B．和C．和D．和二、多项选择题（本题包含3小题，每小题6分，共18分。

在每小题给出的四个选项中，至少有两个选项正确。

全部选对的得6分，选对但不全的得3分，有选错或不答的得0分） (共3题)第(1)题若函数在上单调，则实数的值可以为（）A．B．C．D．3第(2)题设抛物线与直线相交于不同的两点、，弦的垂直平分线与轴交于，与的准线交于．下列结论正确的是（）A．B．弦中点的纵坐标是定值C．存在唯一的使得D．存在唯一的使得第(3)题设正实数a，b满足，则以下说法正确的是（）A．B．的最大值为2C．的最大值为2D．的最小值是三、填空（本题包含3个小题，每小题5分，共15分。

请按题目要求作答，并将答案填写在答题纸上对应位置） (共3题)第(1)题已知某品牌的新能源汽车的使用时间x（年）与维护费用y（千元）之间有如下数据：使用时间x（年）246810维护费用y（千元） 2.4 3.2 4.4 6.87.6若x与y之间具有线性相关关系，且y关于x的线性回归方程为．据此估计，该品牌的新能源汽车的使用时间为12年时，维护费用约为________千元．第(2)题已知抛物线方程为，直线与抛物线交于A、B两点，抛物线的焦点F为（O为坐标原点）的垂心，则实数的值为__________．第(3)题已知向量，若与垂直，请写出满足条件的向量的一个坐标______．四、解答题（本题包含5小题，共77分。

山西省忻州市2024年数学（高考）统编版质量检测(培优卷)模拟试卷一、单项选择题（本题包含8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）(共8题)第(1)题已知，则（）A．B．C．D．第(2)题函数的图象大致是（）A．B．C．D．第(3)题已知公比不为1的等比数列的前项和为，若数列是首项为1的等差数列，则（）A．B．C．D．第(4)题已知函数，则函数的图象（）A．关于点对称B．关于点对称C．关于点对称D．关于点对称第(5)题函数的图象大致为（）A．B．C．D．第(6)题地球生命来自外星吗？一篇发布在《生物学快讯》上的文章《基因库的增长是生命起源和演化的时钟》可能给出了一种答案．该论文的作者根据生物功能性基因组里的碱基排列数的大小定义了基因库的复杂度y（单位：1），通过研究各个年代的古代生物化石里基因库的复杂度，提出了一个有趣的观点：生物基因库的复杂度近似是随时间呈指数增长的，只要知道生物基因库的复杂度就可以推测该生物体出现的年代．如图是该论文作者根据生物化石（原核生物，真核生物，蠕虫，鱼类，哺乳动物）中的基因复杂度的常用对数与时间（单位：十亿年）的散点图及回归拟合情况（其中回归方程为：，相关指数）．根据题干与图中的信息，下列说法错误的是（）A．根据信息生物基因库的复杂度近似是随时间呈指数增长的情况，不同于作者采取取常用对数的做法，我们也可采用函数模型来拟合B．根据回归方程可以得到，每过10亿年，生物基因库的复杂度一定增加到原来的倍C．虽然拟合相关指数为0.97，但是样本点只有5个，不能很好地阐释其统计规律，所以增加可靠的样本点可以更好地完善回归方程D．根据物理界主流观点：地球的形成始于45亿年前，及拟合信息：地球在诞生之初时生物的复杂度大约为，可以推断地球生命可能并非诞生于地球第(7)题若复数满足，则（）A．B．1C．D．第(8)题若双曲线的渐近线与圆相切，则k=（）A．2B．C．1D．二、多项选择题（本题包含3小题，每小题6分，共18分。

山西省忻州市2024年数学（高考）统编版质量检测(预测卷)模拟试卷一、单项选择题（本题包含8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）(共8题)第(1)题若，则 ( )A．B．C．D．第(2)题已知复数，则（）A．B．C．1D．2第(3)题已知集合，，则（）A．B．C．D．第(4)题已知函数满足，与函数图象的交点为，则=A．0B．C．D．第(5)题若点是角的终边上一点，则（）A．B．C．D．第(6)题中国救援力量在国际自然灾害中为拯救生命作出了重要贡献，很好地展示了国际形象，增进了国际友谊，多次为祖国赢得了荣誉.现有5支救援队前往，，等3个受灾点执行救援任务，若每支救援队只能去其中的一个受灾点，且每个受灾点至少安排1支救援队，其中甲救援队只能去，两个受灾点中的一个，则不同的安排方法数是（）A．72B．84C．100D．120第(7)题2021年7月，中共中央办公厅､国务院办公厅印发《关于进一步䧕轻义务教育阶段学生作业负担和校外培训负担的意见》.各地积极推进“双减”工作，义务教育阶段学生负担得到有效减轻.下表是某校七年级10名学生“双减”前后课外自主活动时间的随机调查情况（单位：小时）.学生编号12345678910“双减”前1“双减”后232设“双减”前､后这两组数据的平均数分别是，标准差分别是，则下列关系正确的是（）A．B．C．D．第(8)题的展开式中的常数项为（）A．40B．80C．120D．140二、多项选择题（本题包含3小题，每小题6分，共18分。

在每小题给出的四个选项中，至少有两个选项正确。

全部选对的得6分，选对但不全的得3分，有选错或不答的得0分） (共3题)第(1)题已知正方体的棱长为2，其外接球的球心为，点满足，过点的平面平行于和，则（）A．平面平面B．平面平面C．当时，平面截球所得截面的周长为D．平面截正方体所得截面的面积为定值第(2)题已知定义在R上的函数的图象连续不间断，当时，，且当时，，则下列说法正确的是（ ）A．B ．在上单调递减C．若，则D ．若是的两个零点，且，则第(3)题已知，，且，则（ ）A ．的最小值是1B．的最小值是C．的最小值是4D ．的最小值是5三、填空（本题包含3个小题，每小题5分，共15分。

山西省忻州市2024年数学（高考）统编版测试(综合卷)模拟试卷一、单项选择题（本题包含8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）(共8题)第(1)题在复平面上，复数对应的点在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限第(2)题集合，则（ ）A ．B ．C ．D ．第(3)题已知为虚数单位，若，则复数在复平面内对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限第(4)题已知的角对应的边分别为的平分线交边于点，若，则的最小值为（ ）A ．B．4C ．D ．第(5)题已知的内角，面积满足所对的边，则下列不等式一定成立的是A ．B ．C．D．第(6)题设集合U=,则A ．B ．C ．D ．第(7)题已知，，，则（ ）A ．B ．C ．D ．第(8)题若为虚数单位，则复数的虚部为（ ）A．B ．C ．D ．二、多项选择题（本题包含3小题，每小题6分，共18分。

在每小题给出的四个选项中，至少有两个选项正确。

全部选对的得6分，选对但不全的得3分，有选错或不答的得0分） (共3题)第(1)题已知函数的定义域为，导函数为，，且，则（ ）A ．B ．在处取得极大值C ．D ．在单调递增第(2)题已知函数，则（ ）A ．的最小正周期为B．图象的一条对称轴为直线C ．当时，在区间上单调递增D ．存在实数，使得在区间上恰有2023个零点第(3)题关于函数，下述结论正确的是（ ）A．的最小值为B．在上单调递增C．函数在上有3个零点D．曲线关于直线对称三、填空（本题包含3个小题，每小题5分，共15分。

请按题目要求作答，并将答案填写在答题纸上对应位置） (共3题)第(1)题已知双曲线的左､右焦点分别为，，点到其中一条渐近线的距离为2，过作x轴的垂线交双曲线的右支于A，B两点，若为等边三角形，则该双曲线渐近线的斜率为___________.第(2)题曲线在点处的切线方程为___________.第(3)题已知函数，若曲线在点，（，其中互不相等）处的切线互相平行，则的取值范围是__________.四、解答题（本题包含5小题，共77分。