2021届云南师范大学附属中学高三高考适应性月考卷(三)数学(理)试题(解析版)

2021年云南省昆明市云南师大附中高三数学理模拟试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 下列函数中既是奇函数又在区间上单调递减的是（）A．B． C． D．参考答案：C2. 过P(2，0)的直线被圆截得的线段长为2时，直线的斜率为( )A. B. C. D.参考答案：A略3. 一个空间几何体的三视图如图，则该几何体的体积为A. B. C. D.参考答案：D略4. 在中，，，，点在斜边上，以为棱把它折成直二面角，折叠后的最小值为A． B． C． D．参考答案：B5. 设，则a， b，c的大小关系是（）A、a＞c＞bB、a＞b＞cC、c＞a＞bD、b＞c＞a参考答案：A6. 若，则|a0|﹣|a1|+|a2|﹣|a3|+|a4|﹣|a5|=（）A．0 B．1 C．32 D．﹣1参考答案：A【考点】DB：二项式系数的性质．【分析】T r+1==（﹣1）r x r，当r为奇数时，＜0．当r为偶数时，＞0．可得|a0|﹣|a1|+|a2|﹣|a3|+|a4|﹣|a5|=a0+a1+a2+a3+a4+a5，对，令x=1，即可得出．【解答】解：T r+1==（﹣1）r x r，当r为奇数时，＜0．当r为偶数时，＞0．∴|a0|﹣|a1|+|a2|﹣|a3|+|a4|﹣|a5|=a0+a1+a2+a3+a4+a5．对，令x=1，可得：a0+a1+a2+a3+a4+a5=（1﹣1）2=0．故选：A．7. 函数（其中）的图像如图所示，为了得到的图像，只需将f(x)的图像( )A.向左平移个长度单位B.向右平移个长度单位C.向左平移个长度单位D.向右平移个长度单位参考答案：D由图像知，，，，，得，所以，为了得到的图像，所以只需将f(x)的图象向右平移个长度单位即可，故选D．8. （5分）（2015?浙江模拟）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，P为BC的中点，Q为线段CC1上的动点，过点A，P，Q的平面截该正方体所得的截面记为S．①当0＜CQ＜时，S为四边形②截面在底面上投影面积恒为定值③存在某个位置，使得截面S与平面A1BD垂直④当CQ=时，S与C1D1的交点R满足C1R=其中正确命题的个数为（）A． 1 B． 2 C． 3 D． 4参考答案：C【考点】：棱柱的结构特征．【专题】：空间位置关系与距离．【分析】：对选项逐个进行检验即可，对于①：得到0＜DT＜1，可以容易得到S为四边形；对于②则找其投影三角形即可；对于③，则需要找线面垂直关系即可；对于④，则需补图完成．解：设截面与DD1相交于T，则AT∥PQ，且AT=2PQ?DT=2CQ．对于①，当0＜CQ＜时，则0＜DT＜1，所以截面S为四边形，且S为梯形，故①正确；对于②，截面在底面上投影为△APC，其面积为，故②错误；对于③，存在某个位置，使得截面S与平面A1BD垂直，故③正确；对于④，右补充一个正方体后，得到S与C1D1的交点R满足C1R=，故④正确；故选：C．【点评】：本题重点考查了空间几何体的结构特征、空间中点线面的位置关系等知识，对于中点问题的处理思路是：无中点，取中点，相连得到中位线．属于中档题．9. 若复数z=（a∈R，i是虚数单位）是纯虚数，则|a+2i|等于( )A．2 B．2C．4 D．8参考答案：B考点：复数求模；复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算．专题：计算题．分析：先将z计算化简成代数形式，根据纯虚数的概念求出a，再代入|a+2i|计算即可．解答：解：z==．根据纯虚数的概念得出∴a=2．∴|a+2i|=|2+2i|==2故选B．点评：本题考查了复数代数形式的混合运算，纯虚数的概念、复数的模．考查的均为复数中基本的运算与概念．10. 设奇函数上是增函数，且，则不等式的解集为（）A． B．C． D．参考答案：D ∵奇函数在上是增函数，，，∴，又，∴，从而有函数的图象如图，则有不等式的解集为解集为或，选D.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知向量a=（，1），b=（0，-1），c=（k，）.若a-2b与c共线，则k=________________.参考答案：１本题考查了向量的差与数乘的运算以及向量的共线，容易题．显然，由与共线，有，可得．12. 已知定义在R上的函数f（x）=（x2﹣3x+2）?g（x）+3x﹣4，其中函数y=g（x）的图象是一条连续曲线．已知函数f（x）有一个零点所在区间为（k，k+1）（k∈N），则k的值为．参考答案：1【考点】函数零点的判定定理．【专题】转化思想；数学模型法；函数的性质及应用．【分析】由已知可得f（1）=﹣1＜0，f（2）=2＞0，故函数f（x）有一个零点所在区间为（1，2），进而得到答案．【解答】解：∵f（x）=（x2﹣3x+2）?g（x）+3x﹣4，f（1）=﹣1＜0，f（2）=2＞0，故函数f（x）有一个零点所在区间为（1，2），故k=1，故答案为：1．【点评】本题考查的知识点是函数零点的判定定理，熟练掌握函数零点的判定定理，是解答的关键．13. 在中，是边所在直线上任意一点，若，则参考答案：14. 设变量x ，y 满足约束条件：则的最大值为________．参考答案：915. 在等腰梯形ABCD 中，已知AB∥DC，AB=2，BC=1，∠ABC=60°，点E 和F 分别在线段BC 和DC 上，且=， =，则?的值为．参考答案：【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据向量数量积的公式和应用，进行运算求解即可．【解答】解：∵AB=2，BC=1，∠ABC=60°，∴BG==，CD=2﹣1=1，∠BCD=120°，∵=， =，∴?=（+）?（+）=（+）?（+）=?+?+?+?=2×1×cos60°+×2×1×cos0°+×1×1×cos60°+××1×1×cos120°=1+=，故答案为：16. 已知函数的图象经过点，则不等式的解集为_______参考答案：(0,1)因为函数的图象经过点，所以代入，得：，所以由得：，所以不等式的解集为(0,1)。

2025届云南师范大学附属中学高三第三次测评数学试卷考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。

2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。

3．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知半径为2的球内有一个内接圆柱，若圆柱的高为2，则球的体积与圆柱的体积的比为（ ） A ．43B ．916C ．34D ．1692．将函数22cos 128x y π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭的图像向左平移()0m m >个单位长度后，得到的图像关于坐标原点对称，则m 的最小值为（ ） A ．3π B ．4π C ．2π D ．π3．设变量,x y 满足约束条件22390x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩，则目标函数2z x y =+的最大值是（ ）A ．7B ．5C ．3D ．24．一袋中装有5个红球和3个黑球（除颜色外无区别），任取3球，记其中黑球数为X ，则()E X 为（ ）A ．98B ．78C ．12D ．62565．某四棱锥的三视图如图所示，该几何体的体积是（ ）A ．8B ．83C ．4D ．436．若双曲线E ：22221x y a b-=（0,0a b >>）的一个焦点为(3,0)F ，过F 点的直线l 与双曲线E 交于A 、B 两点，且AB 的中点为()3,6P --，则E 的方程为（ ）A ．22154x y -=B ．22145x y -=C ．22163x y -=D ．22136x y -=7．已知曲线cos(2)||2C y x πϕϕ⎛⎫=+<⎪⎝⎭：的一条对称轴方程为3x π=，曲线C 向左平移(0)θθ>个单位长度，得到曲线E 的一个对称中心的坐标为,04π⎛⎫⎪⎝⎭，则θ的最小值是（ ） A ．6πB ．4π C ．3π D ．12π8．阿基米德（公元前287年—公元前212年）是古希腊伟大的哲学家、数学家和物理学家，他和高斯、牛顿并列被称为世界三大数学家.据说，他自己觉得最为满意的一个数学发现就是“圆柱内切球体的体积是圆柱体积的三分之二，并且球的表面积也是圆柱表面积的三分之二”.他特别喜欢这个结论，要求后人在他的墓碑上刻着一个圆柱容器里放了一个球，如图，该球顶天立地，四周碰边，表面积为54π的圆柱的底面直径与高都等于球的直径，则该球的体积为 （ ）A ．4πB ．16πC ．36πD ．643π9．已知12,F F 是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的-一个公共点，且1223F PF π∠=，设椭圆和双曲线的离心率分别为12,e e ，则12,e e 的关系为（ ）A ．2212314e e += B ．221241433e e += C ．2212134e e += D ．221234e e +=10．若0,0x y >>，则“222x y xy +=”的一个充分不必要条件是 A ．x y = B ．2x y = C ．2x =且1y =D ．x y =或1y =11．已知数列{}n a 满足12n n a a +-=，且134,,a a a 成等比数列.若{}n a 的前n 项和为n S ，则n S 的最小值为（ ） A ．–10B ．14-C ．–18D ．–20 12．用数学归纳法证明，则当时，左端应在的基础上加上（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

云南师大附中2021届高考适应性月考卷〔三〕理科数学参考答案第一卷〔选择题，共60分〕【解析】1．分别取1212x y ==，，，，计算可得{101}Q =-，，，应选B. 2．123i 32(6)i 12i 55z b b b z -+-==+-，当605b-=时，12z z 是实数，6b ∴=，应选A. 3．A 中否命题应为“假设21x ≠，那么1x ≠〞；B 中否认应为“210x x x ∀∈+-，≥R 〞；C 中原命题为真命题，故其逆否命题为真命题；易知D 正确，应选D ．4．(10)(12)(12)(34)b a c +=+=+=，，，，，λλλλ，又()b a c +⊥λ，()0b a c ∴+⋅=λ，即(12)+⋅，λλ(34)3380=++=，λλ，解得311=-λ，应选C. 5．由题意可知输出结果为1234105S =-+-+-⋅⋅⋅+=，应选C. 6．3πsin cos cos 226y x x x x ⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭，故其对称轴为π2π6x k k -=∈，Z ，ππ212k x ∴=+， k ∈Z ，当0k =时，π12x =，应选A. 7．对于①，其正确；由正态分布的概念的对称性可得(10)(01)P P -<<=<<=ξξ11(1)22P m ->=-ξ，故②正确；随机变量2K 的观测值k 越大，判断“X 与Y 有关系〞的把握越大，故③错误，所以正确的有①②两个，应选C.8．该几何体下方是一个长方体，上方是一个圆柱被切掉一局部，体积为442π3V =⨯⨯+⨯1π2324π2+⨯⨯=+，应选D. 9． 123221213112132a a a ==-=-=-=--+，，，452121*********a a =-==-=+-，， 推理得{}n a 是周期为4的数列，所以3201512a a ==-，应选B ．10．1122()2cos ()()2()2f x x g x x x f x g x -''''==+，，≤，≥，故函数()2sin f x x =([0π])x ∈，上点P 的坐标必为(00)，，函数()13x g x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭上点Q 的坐标必为813⎛⎫⎪⎝⎭，，故直线PQ的斜率为83，应选C ．11．由题意可知22222m c m n a ⎧=⎪⎨-=⎪⎩，，那么22n b =，椭圆的方程可化为22221x y c b +=．由0AP PQ ⋅=知AP 与渐近线垂直．不妨设P 在第一象限，那么直线AP 的方程为()ay x c b=--，与渐近线by x a =联立可解得P 的坐标为2a ab c c ⎛⎫ ⎪⎝⎭，．又点P 在椭圆上，代入椭圆方程可得42421a a c c +=，即42111e e +=，整理得4210e e --=，所以2e ，应选D ． 12．1121212212()(()()),()()()()()()(()())22f x f x f x f x f x f x f xg x f x f x f x -⎧+=+=⎨<⎩≥1113e ((,0][3,)),e ((0,3)),x x x x -+⎧∈-∞+∞⎪=⎨⎪∈⎩又当[]x a b ∈，时，1212()()0g x g x x x ->-恒成立，故()g x 在[]x a b ∈，时是增函数，结合图象可知()g x 在[0)x ∈+∞，时是增函数，又[15]a b ∈-，，，故b a -的最大值在05a b ==，时取得，应选D ．第二卷〔非选择题，共90分〕二、填空题〔本大题共4小题，每题5分，共20分〕【解析】13．由4652a a a ⋅=，得2552a a =，即52a=，所以54b=，19959()9362b b S b +===. 14．ππsin d (cos )cos πcos02a x x x ==-=-+=⎰，二项式6⎛⎝展开式的通项公式为663166C (1)2C rr rr r r r r T x ---+⎛=⋅=- ⎝．令30r -=，得3r =，此时展开式中常数项为363346(1)2C 160T -=-⨯=-． 15．函数(1)y f x =+的图象关于点(10)-，成中心对称，∴函数()y f x =的图象关于点(00)，成中心对称，即()y f x =为奇函数．不等式22(2)(2)0f x x f y y -+-≤，可化为222(2)(2)(2)f x x f y y f y y ---=-≤，又定义在R 上的函数()y f x =是减函数，2222x x y y ∴--≥，由14x ≤≤得22(22)014x y x y x ⎧---⎨⎩≥，≤≤，故()(2)014x y x y x -+-⎧⎨⎩≥，≤≤，即02014x y x y x -⎧⎪+-⎨⎪⎩≥，≥，≤≤或02014x y x y x -⎧⎪+-⎨⎪⎩≤，≤，≤≤，作出可行域，又(12)()M N x y ，，，，故2OM ON x y ⋅=+，利用线性规划知识可求得OM ON ⋅的取值范围为[012]，. 16．如图1，设P ABCD -的外接球的球心为G ，A B C D ，，，在球面上，∴球心在正方体1111ABCD A B C D -上下底面中心连线1O O 上，点P 也在球上，GP GA R ∴==，棱长为1，22OA ∴=，设11O P x O G y ==，，那么1OG y =-，在1Rt GO P △中，有222R x y =+①，在Rt GOA △中，三、解答题〔共70分．解容许写出文字说明，证明过程或演算步骤〕 17.〔本小题总分值12分〕【注：此题题干第一行中“且sin 2m n C ⋅=-〞改为“且sin 2m n C ⋅=〞，改后答案如下：】解：〔Ⅰ〕sin()2cos sin sin cos cos sin sin()m n A B A B A B A B A B ⋅=-+=+=+， …………………………………………………………………………………〔2分〕在ABC △中，π0πA B C C +=-<<，，所以sin()sin A B C +=，……………………〔4分〕又sin 2m n C ⋅=，所以sin sin 22sin cos C C C C ==，所以1cos 2C =，即π3C =． ……………………………………………………………………………………〔6分〕〔Ⅱ〕sin sin 2sin A B C +=，由正弦定理得2c a b =+，………………………………〔7分〕1sin 2ABC S ab C =△，得4ab =，……………………………………………〔9分〕由余弦定理得22222222cos ()3412c a b ab C a b ab a b ab c =+-=+-=+-=-，得2c =．………………………………………………………………………………〔12分〕 18.〔本小题总分值12分〕解：〔Ⅰ〕芯片甲为合格品的概率为4032841005++=，芯片乙为合格品的概率为4029631004++=，…………………………………………〔3分〕随机变量X 的所有可能取值为90453015-,，，. 433(90)545P X ==⨯=；133(45)5420P X ==⨯=； 411(30)545P X ==⨯=；111(15)5420P X =-=⨯=， 所以随机变量X 的分布列为………………………………………………………………………………………〔7分〕那么X 的数学期望3311()904530(15)66520520E X =⨯+⨯+⨯+-⨯=．…………………〔8分〕〔Ⅱ〕设生产的5件芯片乙中合格品有n 件，那么次品有5n -件. 依题意，得5010(5)140n n --≥， 解得196n ≥，所以4n =或5n =．……………………………………………………〔10分〕设“生产5件芯片乙所获得的利润不少于140元〞为事件A ，那么454531381()C 444128P A ⎛⎫⎛⎫=⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．……………………………………………………〔12分〕19.〔本小题总分值12分〕〔Ⅰ〕证明：如图2，取AB 的中点H ，连接PH HC ，． PAB △是正三角形，且H 为AB 的中点，2AB =，PH AB ∴⊥，且3PH =…………………………………………………〔2分〕 底面ABCD 是矩形，22AB BC ==，123HC ∴=+. 又6PC =222PC PH CH ∴=+，PH HC ∴⊥．………………………………………………………〔4分〕AB HC H =，PH ∴⊥平面ABCD .PH ⊂平面PAB ，∴平面PAB ⊥平面ABCD ．………………………………………〔6分〕〔Ⅱ〕解：如图2所示，以H 为原点建立空间直角坐标系H xyz -，那么(100)(100)A B -，，，，，，(003)P ，，，(120)D ，，．……………………………〔7分〕设(01)AE AP =<<λλ，那么(203)BE BA AE =+=-，，λλ，(220)BD =，，， 设()n x y z =，，为平面EBD 的法向量， 由0,()(220)=0,0,()(203)=0,n BD x y z n BE x y z ⎧⎧⋅=⎪⎪∴⎨⎨⋅=-⎪⎪⎩⎩，，，，，，，，λλ 220,(2)30,x x z ⎧=⎪∴⎨-=⎪⎩λλ令2z =-λ，得(362)n =--，，λλλ.易知(003)HP =，，为平面ABD 的一个法向量.………………………………………〔9分〕二面角E BD A --的大小为45︒，22332cos45cos 210443n HP n HP n HP-⋅∴︒=〈〉===⋅-+⨯，λλλ. ………………………〔10分〕又由01<<λ，得12=λ，1AE EP ∴=∶．……………………………………………〔12分〕由221(4),44,y x x y m ⎧=+⎪⎨⎪-=⎩得2381640x x m ---=， 那么816433A B A B mx x x x ++==-，.(*) ……………………………………………………〔3分〕因为2PA PB PC ⋅=，P A B C ，，，共线且P 在线段AB 上， 所以2()()()P A B P P C x x x x x x --=-， 整理得：4()320A B A B x x x x +++=， 将(*)代入上式可解得：28m =.所以双曲线G 的方程为221287x y -=．……………………………………………………〔6分〕〔Ⅱ〕由题意可设椭圆S 的方程为：2221(7)28x y a a +=>，弦的两个端点分别为11()M x y ，，22()N x y ，，MN 的中点为00()Q x y ，，由22112222221,281,28x y a x y a ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得121212122()()()()028x x x x y y y y a -+-++=，……………………………〔8分〕 因为1212012012422y y x x x y y y x x -=-+=+=-，，，所以0024028x ya-=，…………………〔9分〕所以S 中垂直于l 的平行弦的中点的轨迹为直线24028x y a -=截在椭圆S 内的局部. 又这个轨迹恰好是G 的渐近线截在S 内的局部，所以211122a =，所以256a =， 椭圆S 的方程为2212856x y +=．…………………………………………………………〔12分〕21.〔本小题总分值12分〕 〔Ⅰ〕解：()[(1)]()f x g x a g x '''=+--λλλλ，………………………………………〔1分〕令()0f x '>，得[(1)]()g x a g x ''+->λλ，(1)x a x ∴+->λλ，即(1)()0x a --<λ，解得x a <， ………………………………………………………〔3分〕故当x a <时，()0f x '>；当x a >时，()0f x '<，……………………………………〔4分〕∴当x a =时，()f x 取极大值，但()f x 没有极小值.()f x 的极大值为()[(1)]()()()(1)e a f a g a a g a g a g a =+--=-=-⋅λλλλλ．………〔6分〕〔Ⅱ〕证明：e 1e 11x x x x x----=，又当0x >时，令()e 1x t x x =--，那么()e 10x t x '=->，故()(0)0t x t >=，因此原不等式化为e 1x x a x --<，即e (1)10x a x -+-<，…………〔8分〕令()e (1)1x h x a x =-+-，那么()e (1)x h x a '=-+， 由()0h x '=，得e 1x a =+，解得ln(1)x a =+，当0ln(1)x a <<+时，()0h x '<；当ln(1)x a >+时，()0h x '>，故当ln(1)x a =+时，()h x 取得最小值[ln(1)](1)ln(1)h a a a a +=-++，……………〔10分〕令()ln(1)01as a a a a=-+>+，， 那么2211()0(1)1(1)as a a a a '=-=-<+++.故()(0)0s a s <=，即[ln(1)](1)ln(1)0h a a a a +=-++<.因此，存在正数ln(1)x a =+，使原不等式成立. ……………………………………〔12分〕22.〔本小题总分值10分〕【选修4−1：几何证明选讲】 〔Ⅰ〕证明：PA 为圆O 的切线，PAB ACP ∴∠=∠， 又P ∠为公共角，PAB PCA ∴△∽△，AB PAAC PC∴=， 所以，AB PC AC PA ⋅=⋅. ………………………………………………………………〔4分〕〔Ⅱ〕解：PA 为圆O 的切线，BC 是过点O 的割线， 2PA PB PC ∴=⋅，4540PC BC ∴==，，又222901600CAB AC AB BC ∠=︒∴+==，， 又由〔Ⅰ〕知13AB PA AC PC ==，AC AB ∴==，连接EC ，CAE EAB ∠=∠，ACE ADB △∽△，AB ADAE AC∴=，480.AD AE AB AC ∴⋅=⋅==……………………………………………〔10分〕变形得2213sin =+ρθ．由OA OB ⊥可设12π()2A B ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，，，ρθρθ，所以2211OAOB+222212π13sin 1113sin 244⎛⎫++ ⎪+⎝⎭=+=+θθρρ 2223sin 3cos 544++==θθ〔定值〕． ……………………………………………………〔7分〕1222222122229(13sin )(13cos )139sin cos 4sin 24AOB S ===+++++△ρρθθθθθ，易知当sin 20=θ时，max ()1AOB S =△.……………………………………………………〔10分〕24.〔本小题总分值10分〕【选修4−5：不等式选讲】解：〔Ⅰ〕因为4(4)()4x x a x x a a -+----=-≥， 因为4a <，所以当且仅当4a x ≤≤时等号成立，故431a a -=∴=，．……………………………………………………………………〔5分〕〔Ⅱ〕当1a =时，假设1()()g x f x m=+的定义域为R ，那么()0f x m +≠恒成立，即()0f x m +=在R 上无解，又()441(4)(1)3f x x x a x x x x =-+-=-+----=≥，当且仅当14x ≤≤时取等号，3m ∴>-．………………………………………………………………………………〔10分〕。

2023届云南师范大学附属中学高三上学期适应性月考卷（三）数学试卷注意事项:1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚.2.每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效.3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分，考试用时120分钟.一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分,共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1. 复数13i2iz -=+的虚部为 A. 75-B. 7i 5-C. 73-D. 7i 3-2. 设集合{}2{326},log 2A x m x m B x x =-<<+=<∣∣, 若A B A =U , 则实数m 的取值范围是 A. ∅B. [3,1]--C. (1,3)-D. [1,3]-3. 已知()f x 为幂函数, 且1(8)4f =, 则(4)f = A. 12D.1164. 已知某地区成年女性身高X (单位:cm)近似服从正态分布()2160,N σ, 且(158160)0.2P X <=…, 则随机抽取该地区 1000 名成年女性, 其中身高不超过162cm 的人数大约为 A. 200B. 400C. 600D. 7005. 已知{}n a 为等差数列, n S 为{}n a 的前n 项和. 若10370,0S a a <+>, 则当n S 取最大值时,n 的值为 A. 3B. 4C. 5D. 66. 设抛物线24x y =的焦点为F , 若222:(4)(0)M x y r r +-=>e 与抛物线有四个不同的交点, 记y 轴同侧的两个交点为, A B , 则||||FA FB ⋅的取值范围是 A. (0,4)B. (5,9)C. (0,9)D. (4,9)7. 在()522x x +-的展开式中, 含4x 的项的系数为A. -120B. -40C. -30D. 2008. 张衡是中国东汉时期伟大的天文学家、数学家, 他曾在数学著作《算罔论》中得出结论：圆周率的平方除以十六约等于八分之五. 已知在菱形ABCD 中,AB BD ==将ABD V 沿BD 进行翻折, 使得AC =. 按张衡的结论, 三棱锥A BCD -外接球的表面积约为A. 72B.C.D. 二、不定项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分,选对但不全的得2分，有选错的得0分)9. 炎炎夏日，许多城市发出高温预警，凉爽的昆明成为众多游客旅游的热门选择，为了解来昆明旅游的游客旅行方式与年龄是否有关，随机调查了100 名游客，得到如下22⨯列联表.零假设为0H :旅行方式与年龄没有关联，根据列联表中的数据，经计算得2 4.087χ≈,则下列说附: 22()()()()()n ad bc a b c d a c b d χ-=++++.A. 在选择自由行的游客中随机抽取一名, 其小于 40 岁的概率为1950B. 在选择自由行的游客中按年龄分层抽样抽取 6 人, 再从中随机选取 2 人做进一步的访谈,则 2 人中至少有 1 人不小于 40 岁的概率为35C. 根据0.01α=的独立性检验, 推断旅行方式与年龄没有关联, 且犯错误概率不超过0.01D. 根据0.05α=的独立性检验, 推断旅行方式与年龄有关联, 且犯错误概率不超过0.05 10. 已知222212:220,:2410O x y mx y O x y x my +-+=+--+=e e . 则下列说法中, 正确的有A. 若(1,1)-在1O e 内, 则0m …B. 当1m =时, 1O e 与2O e 共有两条公切线C. 若1O e 与2O e 存在公共弦, 则公共弦所在直线过定点11,36⎛⎫⎪⎝⎭D. m ∃∈R , 使得1O e 与2O e 公共弦的斜率为1211. 函数())0,||2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的部分图象如图 1 所示,则下列说法中, 正确的有 A. ()f x 的最小正周期T 为π B. ()f x 向左平移38π个单位后得到的新函数是偶函数 C. 若方程()1f x =在(0,)m 上共有 6 个根, 则这 6 个根的和为338πD. 5()0,4f x x π⎛⎫⎡⎤∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭图象上的动点M 到直线240x y -+=的距离最小时, M 的横坐标为4π12. 公元前 300 年前后, 欧几里得撰写的《几何原本》是最早有关黄金分割的论著, 书中描述: 把一条线段分割为两部分, 使较大部分与全长的比值等于较小部分与较大的比值, 则这个比值即为“黄金分割比”, 把离心率为 “黄金分割比” 倒数的双曲线叫做 “黄金双曲线”. 黄金双曲线 2222:1(0,0)x y a b a bΓ-=>>的一个顶点为A , 与A 不在y 轴同侧的焦点为,F Γ的一个虚轴端点为.B PQ 为双曲线任意一条不过原点且斜率存在的弦, M 为PQ 中点. 设双曲线Γ的离心率为e , 则下列说法中, 正确的有A. 12e =B. 2||||||OA OF OB =C. OM PQ k k e ⋅=D. 若OP OQ ⊥, 则2211||||e OP OQ +=恒成立三、填空题 (本大题共 4 小题, 每小题 5 分, 共 20 分)13. 已知(2,9),(1,0)a b ==-r r, 则a r 在b r 上的投影向量为_____. (用坐标表示) 14. ()ln f x x x =在1x =处的切线方程为_____.15. 各数位数字之和等于 8 (数字可以重复) 的四位数个数为_____.16. 已知非零实数,x y 满足222x yxy x y y x++=-, 则22x y +的最小值为_____. 四、解答题 (共 70 分. 解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤) 17. (本小题满分 10 分)还原糖不达标会影响糖果本身的风味, 同时还原糖偏高又会使糖果吸潮, 易使糖果变质, 不耐贮存, 影响糖果的质量. 还原糖主要有葡萄糖、果糖、半乳糖、乳糖、麦芽糖等. 现采用碘量法测定还原糖含量, 用0.05mol /L 硫代硫酸钠滴定标准葡萄糖溶液, 记录耗用硫代硫酸钠的体积数(mL), 试验结果见下表.附：回归方程ˆˆˆybx a =+中,()()()1122211ˆˆˆ,nny iii ii i nni ii i x x y x y nxybay bx x x xnx -====--===---∑∑∑∑. (1) 由如图 2 散点图可知,y 与x 有较强的线性相关性, 试求y 关于x的线性回归方程; (2) 某工厂抽取产品样本进行检测, 所用的硫代硫酸钠溶液大约为2.90mL , 则该样本中所含的还原糖大约相当于多少体积的标准葡萄糖溶液?18. (本小题满分 12 分)在ABC V 中, 角,,A B C 成等差数列, 角,,A B C 所对的边分别为,,a b c . (1) 若2A C π-=, 求:a c 的值;(2) 若a ab b a b c+=++, 判断ABC V 的形状.19. (本小题满分 12 分)某运动员多次对目标进行射击, 他第一次射击击中目标的概率为35. 由于受心理因素的影响,每次击中目标的概率会受前一次是否击中目标而改变, 若前一次击中目标, 下一次击中目标的概率为34; 若第一次末击中目标, 则下一次击中目标的概率为12.(1) 记该运动员第n 次击中目标的概率为n P , 证明: 23n P ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭为等比数列,并求出 {}n P 的通项公式;(2) 若该运动员每击中一次得 2 分, 未击中不得分, 总共射击 2 次, 求他总得分X 的分布列与数学期望.20. (本小题满分 12 分)如图 3, 在三棱锥D ABC -中, 二面角D AB C --是直二面角,AB BD ⊥, 且,AB BD AC BC ==, P 为CD 上一点, 且BP ⊥平面ACD .,E F 分别为棱,DA DC 上的动点, 且DE DFDA DCλ==.(1) 证明: AC BC ⊥;(2) 若平面EFB 与平面ABC , 求λ的值.21. (本小题满分 12 分)在平面直角坐标系xOy 中, 设点11,0,,033P Q ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 点G 与,P Q 两点的距离之和为4,3N 为一动点, 点N 满足向量关系式:0GN GP GQ ++=u u u r u u u r u u u r r.(1) 求点N 的轨迹方程C ;(2) 设C 与x 轴交于点,A B (A 在B 的左侧), 点M 为C 上一动点 (且不与,A B 重合). 设直线,AM x 轴与直线4x =分别交于点,R S , 取(1,0)E , 连接ER , 证明: ER 为MES ∠的角平分线.22. (本小题满分 12 分) 设()e 21x f x a x =--, 其中a ∈R . (1) 讨论()f x 的单调性;(2) 令5()e ()(0)4x F x f x a a=+≠, 若()0F x …在R 上恒成立, 求a 的最小值.数学参考答案一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）二、不定项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分）三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）四、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分10分）解：（1）∵1(24681012)76x =+++++=，624.84y =，24.844.146y ==， 61217.28i ii x y==∑，621364i i x ==∑，∴1221666217.2824.84743.4ˆ0.62364649706i ii ii x yx ybxx ==--⨯====-⨯-∑∑，………………………………（4分）∴ˆˆ 4.140.6270.2ay bx =-=-⨯=-， ∴y 关于x 的线性回归方程为ˆ0.620.2yx =-．………………………………………（6分） （2）令ˆ0.620.2 2.90yx =-=，解得5x =， ∴则该样本中所含的还原糖大约相当于5mL 的标准葡萄糖溶液.……………………………………………………………………………………（10分）18．（本小题满分12分）解：（1）∵A B C ，，成等差数列，∴2A C B +=，……………………………………………………………………………（1分）又πA C B ++=， ∴π3B =，2π3A C +=， 又π2A C -=， ∴1π2πππ7π2234312A ⎛⎫=+=+=⎪⎝⎭，12πππππ2323412C ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭， ………………………………………………………………………………………（3分）∴1ππ7πsin sin 24312:sin :sin πππsin sin 1234a c A C ⎫⎛⎫+⎪+ ⎪⎪⎝⎭======⎛⎫- ⎪⎝⎭⎝⎭2=+5分）（2）由题意可得，22a ab ac ab b ++=+，即22b a ac =+，………………………………………………………………………………………（6分） 由余弦定理结合（1）可得22221cos 2222a cbc ac c a B ac ac a +---====，∴2c a =，…………………………………………………………………………………（8分） ∴由正弦定理可得sin 2sin C A =，又2ππ3A B C C =--=-，∴2πsin 2sin sin 3C C C C ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，…………………………………………（10分） ∴cos 0C =，又(0π)C ∈，， ∴π2C =，ABC △为直角三角形. ……………………………………………………（12分） 19．（本小题满分12分）解：（1）由题意，当*n ∈N 时，13111(1)4224n n n n P P P P +=+-=+g g ， ………………………………………………………………………………………（2分） 则12111234643n n n P P P +⎛⎫-=-=- ⎪⎝⎭，………………………………………………………（4分）又121315P -=-， 23n P ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭∴是首项为115-，公比为14的等比数列，12113154n n P -⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭g ∴，11121543n n P -⎛⎫⎛⎫=-+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭g ∴(*)n ∈N . ……………………………………………………（6分） （2）记i A 为第i 次射击击中目标，则由题意可得13()5P A =，213(|)4P A A =，211(|)2P A A =， X 可取到的值为024，，，且 12211121(0)()(|)()255P X P A A P A A P A ====⨯=，212121*********(2)()()(|)()(|)()254520P X P A A P A A P A A P A P A A P A ==+=+=⨯+⨯=， 12211339(4)()(|)()4520P X P A A P A A P A ====⨯=， 则X 的分布列为：……………………………………………………………………………………（10分）∴1795()024520202E X =⨯+⨯+⨯=. …………………………………………………（12分） 20．（本小题满分12分）（1）证明：∵平面DAB ⊥平面ABC ，平面ABC I 平面ABD AB =，AB BD ⊥，且BD ⊂平面ABD ， BD ⊥∴平面ABC ，又AC ⊂平面ABC ， ∴BD AC ⊥，又BP ⊥平面ACD ，AC ⊂平面ACD ， ∴BP AC ⊥，且BP BD B =I ，BP BD ⊂，平面BCD ，AC ⊥∴平面BCD ，又BC ⊂平面BCD ，∴AC BC ⊥. ……………………………………………………………………………（4分）（2）解：法一（几何法）：DE DFDA DCλ==∵， EF AC ∥∴，如图3，过点B 作直线l 平行于AC ，则l AC EF ∥∥， 则l 同时在平面EFB 与平面ABC 内，是两平面的交线， 又由（1）AC ⊥平面BCD ，可得AC FB ⊥，AC BC ⊥， ∴BC l ⊥且FB l ⊥，∴由二面角的平面角的定义可得FBC ∠是平面EFB 与平面ABC 所成角，………………………………………………………………………………………（8分） 设2AB BD ==，则BC AC == 过点F 作FM BC ⊥于点M ， 则122FM FCFM BD CDλλ==-⇒=-，且BM DFBM BC DCλ==⇒=，cos FBC ∠=∵，tan FM FBC BM ∠===∴，解得12λ=. ……………………………………………………………………………（12分） 法二（向量法）：如图4，以点C 为原点，分别以CB ，CA ，过点C 且与平面ABC 垂直的直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系， 设2AB BD ==，则AC BC ==∴(000)C ，，，(00)A，00)B ，，02)D ，，则(2)DA =-u u u r，(02)DC =-u u u r ，，(002)DB =-u u u r，，， ………………………………………………………………………………………（6分） 由DE DFDA DC λ==，可得(2)DE DA λλ==-u u u r u u u r ，，(02)DF DC λλ==-u u u r u u u r，，，图3图4(00)EF DF DE =-=u u u r u u u r u u u r ，，∴，22)EB DB DE λ=-=-u u u r u u u r u u u r ，，，………………………………………………………………………………………（8分） 设1111()n x y z =u u r ，，为平面EFB的法向量，则11110(22)0y x y z λ⎧=⎪+-=，，可得一组解为101n λλ⎫=⎪-⎭u u r ，，……………………………………………………（10分） 取平面ABC 的法向量2(001)n =u u r，，，则121212|||cos |||||n n n n n n λ<>===u u r u u ru u r u u r g uu r u u r ， ， 令01m λλ=>-=，化简得2232m m =+，即1m =，12λ=. ……………………………………………………………………………………（12分）21．（本小题满分12分）（1）解：设点()N x y ，，()G x y ''，，则由点G 与P ，Q 两点的距离之和为42||33PQ ⎛⎫>=⎪⎝⎭， 可得点G 的轨迹是以P ，Q 为焦点且长轴长为43的椭圆，其轨迹方程为229314x y ''+=． 由0GN GP GQ ++=u u u r u u u r u u u r r ，可得33x yx y ''==，，代入点G 的轨迹方程，可得：22931433x y ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即22143x y C +=：．…………………………………………………（4分） （第一问也可以利用几何法：由条件可知G 为NPQ △的重心，延长PG ，QG ，必分别交NQ ，NP 的中点（分别设为H ，I ），取1(10)F -，，2(10)F ，，则12||||2||NF NF HP +=+ 12332||2||2||3(||||)4||22IQ GP GQ GP GQ F F ⎛⎫⎛⎫=+=+=> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由椭圆定义可得C 的方程．）（2）证明：设点00()M x y ，，则00(1)1y ME y x x =--：，即000(1)0y x x y y ---=， 00(2)2y MA y x x =++：，令4x =，得0062y y x =+，00642y R x ⎛⎫⎪+⎝⎭，∴，……………………………………………（6分） 过R 作直线ME 的垂线，垂足为点T ，则要证ER 为MES ∠的角平分线，只需证||||RT RS =，又||RT ===，006||||||2R y RS y x ==+，………………………………………………………………………（8分） 00y ≠∵，||||RT RS =∴2=，即222000(4)4[(1)]x y x -=+-时，又00()x y ，在C 上，则2200143x y +=，即22004123y x =-， 代入上式可得22200000168123484x x x x x -+=-+-+恒成立，ER ∴为MES ∠的角平分线得证．……………………………………………………（12分）（第（2）问也可利用二倍角公式，证明221REME REk k k =-） 22．（本小题满分12分）解：（1）()e 2x f x a '=-，①当0a ≤时，()0f x '<在R 上恒成立，∴()f x 在R 上单调递减；………………………………………………………………………………………（2分）②当0a >时，()f x '在R 上单调递增，且当()0f x '=时，2ln x a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，∴当2ln x a ⎛⎫⎛⎫∈-∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，时，()0f x '<，()f x 单调递减；当2ln x a ⎛⎫⎛⎫∈+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，时，()0f x '>，()f x 单调递增.………………………………………………………………………………………（4分）（2）55()e ()e (e 21)044x x x F x f x a x a a=+=--+≤∵，∴若0a >，5(0)11104F a a =-+>≥，与()0F x ≤在R 上恒成立矛盾， ∴0a <，…………………………………………………………………………………（6分）则()e (e 21e 2)e (2e 23)x x x x x F x a x a a x '=--+-=--， 令()2e 23x h x a x =--，则由0a <可知()h x 在R 上单调递减， 又当0x <时，e 1x <，2e 2x a a >，232(23)302a h a a -⎛⎫>---= ⎪⎝⎭∴，又(0)230h a =-<，02302a x -⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭，∴，使得000()2e 230x h x a x =--=，………………………………（8分）0023e 02x x a+=>∴， 0a <∵，∴0032302x x +<<-，，且当0()x x ∈-∞，时，()0()0()h x F x F x '>>，，单调递增；当0()x x ∈+∞，时，()0()0()h x F x F x '<<，，单调递减， 0000max 000232355()()e (e 21)214224x x x x F x F x a x a x a a a a++⎛⎫==--+=--+ ⎪⎝⎭∴ 220000011[(23)(42)(23)5](448)044x x x x x a a=+-+++=--+≤， ……………………………………………………………………………………（10分）又0a <，∴2004480x x --+≥，解得033[21]222x ⎛⎫⎡⎫∈--∞-=-- ⎪⎪⎢⎝⎭⎣⎭I ，，，， 令23()2e xx m x +=，则22321()2e 2e x x x x m x ----'==在322⎡⎫--⎪⎢⎣⎭，上恒大于0， ()m x ∴在322⎡⎫--⎪⎢⎣⎭，上单调递增，2min21e (2)2e 2a m ---=-==∴．…………………………………………………………（12分）。

云南师大附中2021届高考适应性月考卷〔一〕理科数学【试卷综析】本试卷是高三理科试卷，以根底知识和根本技能为载体，以能力测试为主导，在注重考查学科核心知识的同时，突出考查考纲要求的根本能力，重视学生科学素养的考查.知识考查注重根底、注重常规、注重主干知识，兼顾覆盖面.试题重点考查：不等式、复数、向量、三视图、导数、简单的线性规划、直线与圆、圆锥曲线、立体几何、数列、函数的性质及图象、三角函数的性质、三角恒等变换与解三角形、命题、程序框图、排列组合、概率与随机变量分布列与期望、不等式选讲、几何证明选讲、参数方程极坐标等；考查学生解决实际问题的综合能力，是份较好的试卷.一、选择题(本大题共12小题，每题5分，共60分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的) 【题文】1、全集U 和集合A 如图1所示，那么()U C A B ⋂= A.{3} B.{5,6} C.{3,5,6} D.{0,4,5,6,7,8} 【知识点】集合及其运算A1 【答案解析】B 解析：由图易知()U A B ={5,6}.那么选B.【思路点拨】此题主要考查的是利用韦恩图表示集合之间的关系，理解集合的补集与交集的含义是解题的关键.【题文】2、设复数12,z z 在复平面内对应的点关于原点对称，11z i =+，那么12z z = A .－2i B.2i C .－2 D.2 【知识点】复数的概念与运算L4【答案解析】A 解析：11i z =+在复平面内的对应点为(1,1)，它关于原点对称的点为(1,1)--，故21i z =--，所以212(1i)2i.z z =-+=-那么选A.【思路点拨】通过复数的几何意义先得出2z ，再利用复数的代数运算法那么进行计算.A .6 B.22 C .10 D.10 【知识点】向量的数量积及其应用F3【思路点拨】遇到求向量的模时，一般利用向量的模的平方等于向量的平方转化求解.A .1 B.2 C .3 D.4 【知识点】导数的应用B12【答案解析】B 解析：21e (1)ax y a x '=-+，由题意得011x y a ='=-=，所以 2.a =那么选B.【思路点拨】理解导数与其切线的关系是解题的关键.【题文】5、在△ABC 中，假设sinC=2sinAcosB,那么此三角形一定是 A .等腰直角三角形 B.直角三角形 C .等腰三角形 D.等边三角形 【知识点】解三角形C8【答案解析】C 解析：由及正、余弦定理得，22222a c b c a ac +-=，所以22a b =，即a b =.那么选C.【思路点拨】判断三角形形状，可以用正弦定理及余弦定理把角的关系转化为边的关系，也可利用三角形内角和的关系进行转化求解.【题文】6、函数()2sin 3sin cos f x x x x =在区间,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值是 A .1 B.132 C .32D.13+【知识点】函数sin()y A x ωϕ=+的图象与性质C4【答案解析】C 解析：函21cos 231π()sin 3cos 2sin 2226x f x x x x x x -⎛⎫=+=+=+- ⎪⎝⎭, ππππ5π,,2,42636x x ⎡⎤⎡⎤∈-∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦∵∴, ()f x 的最大值是32.那么选C. 【思路点拨】一般研究三角函数的性质，通常先化成一个角的三角函数再进行解答.【题文】7、实数x,y 满足约束条件0024030220x y x y x y x y ≥⎧⎪≥⎪⎪+-≤⎨⎪+-≤⎪⎪+-≥⎩，那么z=x+3y 的取值范围是A .[1,9] B.[2,9] C .[3,7] D.[3,9]【知识点】简单的线性规划问题E5【答案解析】B 解析：根据线性约束条件作出可行域， 如图1所示阴影局部．作出直线l ：30x y +=，将直线l 向上平移至过点 (0,3)M 和(2,0)N 位置时，max 0339z =+⨯=， min 230 2.z =+⨯=那么选B.【思路点拨】此题先正确的作出不等式组表示的平面区域，再结合目标函数的几何意义进行解答.【题文】8、如图，网格纸上小方格的边长为1(表示1cm)，图中粗线和虚线是某零件的三视图，该零件是由一个底面半径为4cm ，高为3cm 的圆锥毛坯切割得到，那么毛坯外表积与切削得的零件外表积的比值为 A .310 B.510 C .710 D.910【知识点】三视图G2【答案解析】D 解析：圆锥毛坯的底面半径为4cm r =，高为3cm h =，那么母线长5cm l =，所以圆锥毛坯的外表积2ππ36πS rl r =+=原表，切削得的零件外表积2π2140πS S =+⨯⨯=零件表原表，所以所求比值为910．那么选D. 【思路点拨】由三视图求几何体的外表积，关键是正确的分析原几何体的特征.【题文】9、假设任取x,y ∈[0,1]，那么点P(x,y)满足2y x >的概率为 A .23 B.13 C .12 D.34【知识点】定积分 几何概型K3 B13【答案解析】A 解析：该题属几何概型，由积分知识易得点(,)P x y 满足2y x >的面积为12310012(1)33x dx x x ⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭⎰，所以所求的概率为23．那么选A. 【思路点拨】当总体个数有无限多时的概率问题为几何概型，假设事件与两个变量有关时，可归结为面积问题进行解答.【题文】10、椭圆()222210x y a b a b+=>>的左焦点为F ，右顶点为A ，点B 在椭圆上，且BF ⊥x 轴，直线AB 交y 轴于点P ，假设2AP PB =，那么椭圆的离心率是A .32 B.22 C .13 D.12【知识点】椭圆的几何性质H5【答案解析】D 解析：因为2AP PB =，那么12,2,2OA OF a c e ===∴∴．那么选D.【思路点拨】求椭圆的离心率一般先结合条件寻求a,b,c 关系，再结合离心率的定义解答即可.【题文】11、把边长为2的正三角形ABC 沿BC 边上的高AD 折成直二面角，设折叠后BC 中点为M ，那么AC 与DM 所成角的余弦值为 A .23 B.24 C .32 D.33【答案解析】B 解析：建立如图2所示的空间直角坐标系D xyz -，那么(0,0,3),(1,0,0),(0,1,0),A B C那么AC 与DM 所成角的余弦值为24.所以选C. 此题也可用几何法：在△ABC 中过点M 作AC 的平行线，再解三角形即得．【思路点拨】求异面直线所成角时，可先考虑用定义法作出其平面角，再利用三角形解答，假设作其平面角不方便时，可采取向量法求解. 【题文】12、函数()()3f x x x x R =+∈当02πθ<<时，()()sin 10f a f a θ+->恒成立，那么实数a 的取值范围是A .(﹣∞，1] B.(﹣∞,1) C .(1, ＋∞) D.(1, ＋∞) 【知识点】奇函数 函数的单调性B3 B4【答案解析】A 解析：2()130f x x '=+>，故3()()f x x x x =+∈R 在R 上单调递增，且为奇函数，所以由(sin )(1)0f a f a θ+->得(sin )(1)f a f a θ>-，从而sin 1a a θ>-，即当π02θ<<时，1sin 1a θ<--恒成立，所以1a ≤．那么选A. 【思路点拨】此题可先利用奇函数及函数的单调性进行转化，再把不等式恒成立问题转化为函数的最值问题进行解答.二、填空题(本大题共4小题，每题5分，共20分)【题文】13、定义一种新运算“⊗〞：S a b =⊗，其运算原理如图3的程序框图所示，那么3654⊗-⊗=_______. 【知识点】程序框图L1【答案解析】﹣3解析：由框图可知(1),,(1),.a b a b S b a a b ->⎧=⎨-⎩≤ 从而得36546(31)5(41)3⊗-⊗=---=-．【思路点拨】读懂程序框图，理解所定义的新运算，即可解答.【题文】14、等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1234,2,a a a 成等差数列，假设11a =，那么4S =_____.【知识点】等比数列与等差数列D2 D3【答案解析】15解析：1234,2,a a a ∵成等差数列,2213211144,44,440,a a a a a q a q q q +=+=-+=∴即∴42,15q S ==∴．【思路点拨】遇到等差数列与等比数列，假设无性质特征，那么用其公式转化为首项与公比关系进行解答.【题文】15、关于sinx 的二项式()1sin nx +的展开式中，末尾两项的系数之和为7，且系数最大的一项的值为52，当x ∈[0, π]时，x=___________. 【知识点】二项式定理J3【答案解析】π6或5π6． 解析：1C C 17n n n n n -+=+=，故6n =，所以第4项的系数最大，于是3365C sin 2x =，所以，31sin 8x =，即1sin 2x =，又[0,π]x ∈，所以π6x =或5π6． 【思路点拨】一般遇到二项展开式某项或某项的系数问题，通常结合展开式的通项公式进行解答.【题文】16、函数()3232a b f x x x cx d =+++(a ＜b)在R 上单调递增，那么a b cb a++-的最小值为______.【知识点】导数的应用 根本不等式B12 E6【答案解析】3解析：由题意2()0f x ax bx c '=++≥在R 上恒成立，故0b a >>，24b c a≥，于是a b c b a ++-≥2211441b b b a b a a a b b a a⎛⎫++++ ⎪⎝⎭=--，设b t a =(1)t >，那么问题等价于求函数244()4(1)t t g t t ++=-(1)t >的最小值，又()()244191()166634(1)414t t g t t t t ++⎡⎤==-++≥+=⎢⎥--⎣⎦，由此可得min ()(4)3g t g ==．【思路点拨】先由函数的单调性结合导数得到abc 的关系，再通过换元法转化为熟悉函数的最小值问题.三、解答题(共70分，解容许写出文字说明，证明过程或演算步骤) 【题文】17、(本小题总分值12分)一个口袋内有5个大小相同的球，其中有3个红球和2个白球. (1)假设有放回的从口袋中连续的取3次球(每次只取一个球)，求在3次摸球中恰好取到两次红球的概率；(2)假设不放回地从口袋中随机取出3个球，求取到白球的个数ξ的分布列和数学期望E(ξ). 【知识点】概率 离散随机变量的分布列和数学期望K6 K7【答案解析】(1)54125(2)6()5E ξ=解析：(1)设在3次有放回的摸球中恰好取到两次红球的概率为P ，由题设知， 21233354C 155125P ⎛⎫⎛⎫=-=⎪⎪⎝⎭⎝⎭． (2)白球的个数ξ可取0，1，2，3211233232333555C C C C C 133(0),(1),(2)C 10C 5C 10P P P ξξξ=========． 所以ξ的分布列如下表：ξ 0 1 2P110 35 3101336()012105105E ξ=⨯+⨯+⨯=． 【思路点拨】求离散随机变量的分布列一般先确定随机变量的所有取值，再计算各个取值的概率，最后得分布列并计算期望. 【题文】18、(本小题总分值12分)如图4，在斜三棱柱111ABC A B C -中，点O 、E 分别是111,A C AA 的中点，111AO A B C ⊥平面，∠BCA=90°，12AA AC BC ===. (1)证明：OE ∥平面11AB C ；(2)求直线11A C 与平面11AA B 所成角的正弦值. 【知识点】直线与平面平行，线面所成的角G4 G11【答案解析】(1) 略(2) 21解析：方法一：〔1〕证明：∵点O 、E 分别是11A C 、1AA 的中点，∴1OE AC ∥，又∵OE ⊄平面11AB C ，1AC ⊂平面11AB C ， ∴OE ∥平面11AB C ．〔2〕解：设点1C 到平面11AA B 的距离为d ，∵111111A A B C C AA B V V --=， 即1111111323AC B C AO ⋅⋅⋅⋅=⋅11AA B S d ⋅△．又∵在11AA B △中，11122A B AB ==, ∴11AA B S △7=221d 11A C 与平面11AA B 21． 方法二：建立如图3所示的空间直角坐标系O xyz -， 那么(0,0,3)A ，113(0,1,0),0,,2A E ⎛-- ⎝⎭， 1(0,1,0)C ，1(2,1,0)B ，(0,2,3)C ．〔1〕证明：∵OE =130,,2⎛- ⎝⎭， 1(0,1,3)AC =-，∴112OE AC =-，∴1OE AC ∥，又∵OE ⊄平面11AB C ，1AC ⊂平面11AB C ，∴OE ∥平面11AB C ． 〔2〕解：设11A C 与平面11AA B 所成角为θ，∵11(0,2,0)A C =，11(2,2,0)A B =，1(0,1,3)A A =.设平面11AA B 的一个法向量为(,,)n x y z =，111220,0,30,0,x y A B n y z A A n ⎧+=⎧⋅=⎪⎪⎨⎨+=⎪⋅=⎪⎩⎩则即 不妨令1x =，可得31,1,3n ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭， ∴11221sin cos ,7723AC n θ=〈〉==⋅， ∴11A C 与平面11AA B 所成角的正弦值为217． 【思路点拨】证明直线与平面平行通常利用线面平行的判定定理，求线面所成角可以先作出其平面角，再利用三角形求解，假设直接作角不方便时可考虑用向量的方法求解.【题文】19、设数列{}n a 满足10a =且*11.2n na n N a +=∈-. (1)求证数列11n a ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭是等差数列，并求数列{}n a 的通项公式；(2)设11,n n n a b S n+-=为数列{}n b 的前n 项和，证明：n S ＜1.【知识点】等差数列 数列求和D2 D4【答案解析】(1) 11n a n =-． (2)略解析：〔1〕解：将112n n a a +=-代入11111n n a a +---可得111111n n a a +-=--，即数列11n a ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭是公差为1的等差数列．又1111,,11nn a a ==--故 所以11n a n=-．〔2〕证明：由〔Ⅰ〕得11111n n a n n b nn nnn +-+-===-+⋅+111111nnn k k k S b k k n =====<++∑∑．【思路点拨】证明数列为等差数列通常利用等差数列的定义证明，遇到与数列的和有关的不等式可先考虑能否求和再证明. 【题文】20、函数()()1ln f x ax x a R =--∈. (1)讨论函数f(x)在定义域内的极值点的个数；(2)假设函数f(x)在x=1处取得极值，对()()0,,2x f x bx ∀∈+∞≥-恒成立，求实数b 的取值范围.【知识点】导数的应用B12【答案解析】(1) 当0a ≤时，没有极值点；当0a >时，有一个极值点． (2) 211e b -≤ 解析：〔1〕11()ax f x a x x-'=-=， 当0a ≤时，()0f x '<在(0,)+∞上恒成立，函数()f x 在(0,)+∞上单调递减， ∴()f x 在(0,)+∞上没有极值点；当0a >时，由()0f x '<得10x a <<，由()0f x '>得1x a>， ∴()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,a ⎛+∞⎫⎪⎝⎭上单调递增，即()f x 在1x a =处有极小值．∴当0a ≤时，()f x 在(0,)+∞上没有极值点；当0a >时，()f x 在(0,)+∞上有一个极值点．〔2〕∵函数()f x 在1x =处取得极值，∴1a =， ∴1ln ()21x f x bx b x x -⇔+-≥≥，令1ln ()1xg x x x=+-，可得()g x 在2(0,e ]上递减，在2[e ,)+∞上递增，∴2min 21()(e )1e g x g ==-，即211eb -≤． 【思路点拨】一般遇到不等式恒成立求参数范围问题，通常别离参数转化为函数的最值问题进行解答.【题文】21、如图5，抛物线C:()220y px p =>和圆M ：()2241x y -+=，过抛物线C上一点H ()00,x y ()01y ≥作两条直线与圆M 相切于A,B 两点，圆心M 到抛物线准线的距离为174. (1)求抛物线C 的方程；(2)假设直线AB 在y 轴上的截距为t ，求t 的最小值. 【知识点】抛物线 直线与圆锥曲线H8 H7【答案解析】(1) 2y x = (2) min 11t =-解析：〔1〕∵点M 到抛物线准线的距离为42p +=174，∴12p =，即抛物线C 的方程为2y x =．〔2〕方法一：设1122(,),(,)A x y B x y ，∵114MA y k x =-，∴114HA x k y -=， 可得，直线HA 的方程为111(4)4150x x y y x --+-=，同理，直线HB 的方程为222(4)4150x x y y x --+-=，∴210101(4)4150x y y y x --+-=，220202(4)4150x y y y x --+-=，∴直线AB 的方程为22000(4)4150y x y y y --+-=，令0x =，可得000154(1)t y y y =-≥，∵t 关于0y 的函数在[1,)+∞上单调递增， ∴min 11t =-．方法二：设点2(,)(1)H m m m ≥，242716HM m m =-+，242715HA m m =-+． 以H 为圆心，HA 为半径的圆方程为22242()()715x m y m m m -+-=-+，① ⊙M 方程为22(4)1x y -+=．②①-②整理得直线AB 的方程为：2242(24)(4)(2)714x m m y m m m m -----=-+． 当0x =时，直线AB 在y 轴上的截距154t m m=-(1)m ≥， ∵t 关于m 的函数在[1,)+∞上单调递增， ∴min 11t =-．【思路点拨】求抛物线的方程关键是利用圆心到其准线的距离求p ，求两切点所在直线方程，可利用两圆的公共弦所在直线方程的方法进行解答.请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，那么按所做的第一题计分，作答时请写清题号.【题文】22、(本小题10分)[选修4-1：几何证明选讲]如图6，直线AB 经过圆O 上一点C ，且OA=OB,CA=CB,圆O 交直线OB 于E,D. (1)求证：直线AB 是圆O 的切线； (2)假设1tan 2CED ∠=，圆O 的半径为3，求OA 的长. 【知识点】几何证明选讲N1 【答案解析】(1)略； (2)5解析：〔1〕证明：如图4，连接OC ，∵,,OA OB CA CB == ∴OC AB ⊥，∴AB 是⊙O 的切线.〔2〕解：∵ED 是直径，∴90ECD ∠=︒， 在Rt △ECD 中，∵1tan 2CED ∠=, ∴12CD EC =. ∵AB 是⊙O 的切线， ∴BCD E ∠=∠， 又∵CBD EBC ∠=∠，∴ △BCD ∽△BEC , ∴BD BC =CD EC =12，设,BD x =那么2BC x =， 又2BC BD BE =⋅，∴2(2)(6)x x x =⋅+，∴235OA OB BD OD ==+=+=.【思路点拨】证明直线是圆的切线，只需证明圆心到直线的距离等于圆的半径，假设直线与圆有公共点，那么公共点为切点；第二问利用三角形相似解答即可. 【题文】23、(本小题10分)[选修4-4：坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为23252x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ (t 为参数)，在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴)中，圆C 的方程为5ρθ=.(1)求圆C 的圆心到直线l 的距离；(2)设圆C 与直线l 交于点A,B ，假设点P 的坐标为(5，求PA PB +. 【知识点】坐标系与参数方程N3【答案解析】3232解析：〔1〕由25ρθ=，可得22250x y y +-=， 即圆C 的方程为22(5)5x y +=．由23,25,x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 〔t 为参数〕可得直线l 的方程为530x y +=． 所以，圆C 的圆心到直线l 05533222+--=．〔2〕将l 的参数方程代入圆C 的直角坐标方程，得22223522t t ⎛⎫⎛⎫-+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 即23240t t -+=．由于2(32)4420∆=-⨯=>．故可设12t t 、是上述方程的两个实根，所以1212324t t t t ⎧+=⎪⎨⋅=⎪⎩，．又直线l 过点(35)P ，， 故由上式及t 的几何意义得1212||||||||32PA PB t t t t +=+=+=．【思路点拨】一般由参数方程或极坐标方程研究曲线之间的位置关系不方便时，可转化为直角坐标方程进行解答；第二问可利用直线参数的几何意义进行解答.【题文】24、(本小题10分)[选修4-5：不等式选讲]一次函数f(x)=ax －2.(1)解关于x 的不等式()4f x <；(2)假设不等式()3f x ≤对任意的x ∈[0,1]恒成立，求实数a 的范围.【知识点】不等式选讲N4【答案解析】(1) 当0a >时，不等式的解集为26x x a a ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭； 当0a <时，不等式的解集为62x x a a ⎧⎫<<-⎨⎬⎩⎭. (2) 15a -≤≤且a ≠0．解析：〔1〕()4f x <⇔24ax -<⇔424ax -<-<⇔26ax -<<，当0a >时，不等式的解集为26x x a a ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭； 当0a <时，不等式的解集为62x x aa ⎧⎫<<-⎨⎬⎩⎭. 〔2〕()3f x ≤⇔23ax -≤⇔323ax --≤≤⇔15ax -≤≤⇔5,1,ax ax ⎧⎨-⎩≤≥ ∵[0,1]x ∈，∴当x =0时，不等式组恒成立；当x≠0时，不等式组转化为5,1, axax ⎧⎪⎪⎨⎪-⎪⎩≤≥又∵515,1x x--≥≤，所以15a-≤≤且a≠0．【思路点拨】解绝对值不等式的关键是去绝对值，可利用性质、分段讨论等方法，对于不等式恒成立求参数范围问题，通常别离参数转化为函数的最值问题进行解答.。

云南省昆明市云南师范大学附属中学2021届高三上学期第三次高考适应性月考理科综合可能用到的相对原子质量：H-1 B-11 C-12 N-14 O-16 Na-23 Cl-35.5 K-39 I-127 Bi-2091. 化学与生活、科技密切相关，下列叙述正确的是（）A. 飞机上用到的氮化镍是合金B. 过氧乙酸可用于消毒水果、蔬菜和金属器皿C. 从石墨中剥离出的石墨烯薄片能导电，因此石墨烯是电解质D. 用硝酸铵制备医用速冷冰袋是利用了硝酸铵溶于水快速吸热的性质『答案』D『详解』A．飞机上用到的氮化镍是化合物，故A错误；B．过氧乙酸的水溶液显酸性，而酸性溶液会腐蚀金属器皿，则不能用过氧乙酸消毒金属器皿，故B错误；C．石墨是单质，不是电解质，也不是非电解质，故C错误；D．硝酸铵溶于水，溶液温度降低，则可用硝酸铵制备医用速冷冰袋，故D正确；故答案为D。

2. 某有机化工产品R的结构简式如图所示。

下列有关R的说法错误的是（）A. 一定条件下，R可与5 mol H2发生加成反应B. R属于芳香族化合物C R能发生氧化、加成和水解反应D. R分子中所有原子不可能共平面『答案』A『详解』A．由结构简式可知R分子中含有1个苯环、1个碳碳双键能够与H2发生加成反应，而含有的酯基具有独特的稳定性，不能与H2发生加成反应，故在一定条件下，R可与4 mol H2发生加成反应，A错误；B．物质分子中含有苯环，因此属于芳香族化合物，B正确；C ．R 含有酯基，能够发生水解反应；含有碳碳双键和苯环能够加成反应和氧化反应，C 正确；D ．物质结构中含甲基-CH 3，具有甲烷的四面体结构，故分子中不可能所有原子共平面，D 正确；故合理选项是A 。

3. 下列有关实验原理或实验操作(如图)正确的是（ ）A. 可用图①所示装置制氨气B. 可用图②所示装置收集SO 2C. 可用图③所示装置定量测定锌与稀硫酸反应生成氯气的速率D. 可用图④所示装置实现化学反应：2Cu+O 2+4H +=2Cu 2++2H 2O『答案』D『详解』A ．NH 4Cl 加热分解产生NH 3、HCl ，在试管口遇冷二者又重新化合形成NH 4Cl ，因此不能用来制取氨气，应该用加热NH 4Cl 和Ca(OH)2混合物方法制取NH 3，A 错误； B ．SO 2气体的密度比空气大，应该使用向上排空气方法收集，B 错误；C ．二者反应产生的H 2会通过长颈漏斗逸出，应该使用分液漏斗，C 错误；D ．由于Cu 活动性比C 强，有电解质溶液，形成了闭合回路，构成了原电池，Cu 作负极，失去电子变为Cu2+；C 作正极，O 2在正极上得到电子，与溶液中的H +结合形成H 2O ，装置可以实现反应：2Cu+O 2+4H +=2Cu 2++2H 2O 的转化，D 正确；故合理选项是D 。

理科数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小題给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 已知集合(){}22,|2,,A x y xy x y =+≤∈∈N N ，则A 中元素的个数为（ ）A. 4B. 9C. 8D. 6【答案】A 【解析】 【分析】根据题中条件，分别讨论0x =和1x =两种情况，即可得出结果. 【详解】∵222x y +≤，x N ∈，y ∈N ， 当0x =时，0y =，1；当1x =时，0y =，1，所以共有4个元素， 故选：A.【点睛】本题主要考查判断集合中元素的个数，属于基础题型. 2. 若()12z i i +=，则z 的共轭复数的虚部是（ ） A. 1i + B. i -C. －1D. 1i -【答案】C 【解析】 【分析】 由题意得21iz i=+，然后根据复数的运算法则化简计算，然后确定其共轭复数虚部. 【详解】因为()12z i i +=，所以()(2i 2i 1i 1i 1i 1i 1i )()z -===+++-，1z i =-，虚部为1-. 故选：C.【点睛】本题考查复数的相关概念及化简计算，属于基础题.3. 已知随机变量i X 满足()1i i P X p ==，()01,1,2i i P X p i ==-=，若21211p p <<<，则（ ）A. ()()12E X E X < ， ()()12D X D X <B. ()()12E X E X > ， ()()12D X D X <C. ()()12E X E X < ， ()()12D X D X >D. ()()12E X E X > ， ()()12D X D X > 【答案】C 【解析】 【分析】根据题目已知条件写出12,X X 的分布列，取特殊值计算出两者的期望和方差，由此得出正确选项.【详解】依题意可知：由于21211p p <<<，不妨设1223,34p p ==.故121223,,34EX EX EX EX ==<,121223,,916DX DX DX DX ==>，故选C.【点睛】本小题主要考查随机变量分布列期望和方差的计算，考查分析与阅读理解能力，属于中档题.4. 设函数()()311log 2,13,1x x x f x x -⎧+-<=⎨≥⎩，求()()325log 15f f -+=（ ）A. 16B. 8C. 15D. 9【答案】D 【解析】 【分析】直接利用分段函数的关系式和对数的运算的应用求出结果 【详解】33(25)1log [2(25)]1log 27134f -=+--=+=+=；33log 151log 53(log 15)335f -===3(25)(log 15)459f f ∴-+=+=，故选：D.【点睛】本题考查分段函数，对数的运算，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题5. 已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左焦点为F ，若F 到双曲线的一条渐近线的距离为2，则双曲线的方程为（ ）A. 22184x y -=B. 22144x y -=C. 22188x y -=D.22148x y -= 【答案】B 【解析】 【分析】利用焦点到渐近线的距离可解得b ，再根据离心率e =可解得a ，则可得出双曲线的方程.【详解】由题意得(),0F c -，设双曲线的一条渐近线为by x a=，即0bx ay -=，由点到线距2b ==，又2c e ====2a =， 所以双曲线的方程为：22144x y -=.故选：B.【点睛】本题考查双曲线方程的求解，考查双曲线的渐近线、离心率等知识点的运用，较简单.6.已知向量(b →=，向量a →在b →方向上的投影为-4，若a b b λ→→→⎛⎫+⊥ ⎪⎝⎭，则实数λ的值为（ ） A. 3 B.12C.13D.23【答案】B 【解析】 【分析】由(b →=，根据向量模的方法求得b →，再根据a →在b →方向上的投影为-4，求得4a b b →→→=- ，最后根据平面向量垂直的性质，即可求出实数λ的值.【详解】解：由题可知(b →=，则2b →==，∵a →在b →方向上的投影为4-，∴4a bb→→→=- ，则4a b b →→→=- ，又a b b λ→→→⎛⎫+⊥ ⎪⎝⎭，∴0a b b λ→→→⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即20a b b λ→→→+= ，即240b b λ→→-+=，则840λ-+=，解得：12λ=. 故选：B.【点睛】本题考查平面向量数量积的应用，以及向量的模的求法和向量垂直的性质基础知识，考查运算求解能力，属于基础题.7. 在ABC 中，()22sin sin sin sin sin B C A B C -=-，则tan A =（） A.B.12C.13D.【答案】A【解析】 【分析】运用正弦定理化边，再运用余弦定理求角即可得答案.【详解】由已知得222sin sin sin sin sin B C A B C +-=，故由正弦定理得222b c a bc +-=，由余弦定理得2221cos 22b c a A bc +-==， 因为0180A <<︒︒，所以60A =︒，tan 3A =. 故选：A.【点睛】本题考查正余弦定理的应用，属于基础题.8. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的侧面积为（ ）A.3252+B.13C.2512D.12252+【答案】D 【解析】 【分析】根据三视图，还原几何体，再进行几何计算即可得答案.【详解】由三视图知，该几何体的直观图如图所示的四棱锥P ABCD -，四棱锥P ABCD -的高为1，四边形ABCD 是边长为1的正方形， 则111122PCD S =⨯⨯=△，151522PBCS =⨯⨯=， 121222PAB S ⨯==△，121222PAD S ⨯==△， 则四棱锥P ABCD -1225++故选：D.【点睛】本题考查三视图还原几何体的直观图，几何体的侧面积的计算，考查空间思维能力和运算能力，是中档题. 9. 已知α，β为锐角，4tan 3α=，()5cos 5αβ+=-，则tan αβ（ ）A 247-B. 55-C. 211-D. -2【答案】C 【解析】 【分析】根据同角三角函数关系可求得tan()αβ+和tan2α，变形2()αβααβ-=-+，利用两角和差正切公式可求得结果.【详解】因为α，β为锐角，所以(0)παβ+∈，.又因为5cos()αβ+=，所以sin()αβ+= =，因此tan()2αβ+=-.因为4tan 3α=，所以22tan tan 21tan ααα==- 247-，因此，tan 2tan()2tan tan 21tan 2tan()11()[()]ααβαβααβααβ-+-=-+==-++，故选：C.【点睛】本题考查同角三角函数值的求解、两角和差正切公式的应用；关键是能够利用已知角配凑出所求角的形式，从而利用两角和差正切公式来进行求解；易错点是忽略角所处的范围，造成同角三角函数值求解时出现符号错误.属于基础题.10. 已知函数2112()cos(1)1()x x x x a e e x f x --+=-+++--有唯一零点，则a =（ ） A. 1 B. 13-C.13D.12【答案】D 【解析】 【分析】把函数等价转化为偶函数2()(e e )cos 2ttg t t a t -=+++-，利用偶函数性质，()g t 有唯一零点，由(0)0g =得解.【详解】因为21(1)()(1)(ee )cos(1)2x xf x x a x ---=-+++--，令1x t -= 则2()(e e )cos 2ttg t t a t -=+++-， 因为函数()2112(1(s ))co 1x x x x a ee f x x --+=-+++--有唯一零点，所以()g t 也有唯一零点，且()g t 为偶函数，图象关于y 轴对称，由偶函数对称性得(0)0g =，所以2120a +-=，解得12a =， 故选：D.【点睛】本题考查函数零点的情况求参数的值，属于中档题.11. 已知抛物线2:4C x y =的焦点为F ，过点F 作两条互相垂直的直线1l ，2l ，1l 与C 交于P ，Q 两点，2l 与C 交于M ，N 两点，设POQ △的面积为1S ，MON △的面积为2S （O 为坐标原点），则2212S S +的最小值为（ ）A. 10B. 16C. 14D. 12【答案】B 【解析】 【分析】设1l ：1y kx =+与抛物线方程联立后，利用韦达定理可以k 表示出21S 和22S ，再利用基本不等式即可求最小值.【详解】设11()P x y ，，22()Q x y ，，直线1l ：1(0)y kx k =+≠，联立方程241x y y kx ⎧=⎨=+⎩，，消y 得2440x kx --=，因为216160k ∆=+>，所以124x x k +=，124x x =-，所以2||4(1)PQ k ==+， 又原点O 到直线1l的距离为d =，所以21S = 24(1)k +，同理222141S k ⎛⎫=+⎪⎝⎭， 所以22212218416S S k k ⎛⎫+=++⎪⎝⎭≥，当且仅当“1k =±”时取等号， 故2212S S +的最小值为16，故选：B【点睛】圆锥曲线中的最值问题通常需要用韦达定理构建函数关系式，自变量可以使直线的斜率或点的坐标，利用基本不等式或导数求出最值，属于难题.12. 已知3log 4a =，2log 3b =，0.2log 0.09c =，则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A. b a c << B. a b c <<C. a c b <<D. c a b <<【答案】C 【解析】 分析】根据题中条件，由对数函数的性质，确定a ，b ，c 的大致范围，即可得出结果.【详解】因为33log 42log 2a ==，24log 32log 3b ==，0.20.2log 0.092log 0.3c ==，3333320log 2log 8log 93<=<=，422113log 3log 3log 22224=>=， 23340.20.20.223log 0.2log 0.3log 0.234=<<=， 即334log 42log 20,3a ⎛⎫==∈ ⎪⎝⎭，432log 32b =>，0.20.243log 0.092log 0.3,32c ⎛⎫==∈ ⎪⎝⎭， 综上，a c b <<. 故选：C.【点睛】本题主要考查比较对数的大小，熟记对数函数的性质即可，属于基础题型.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13. 已知实数x ，y 满足条件11y x x y x ≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，则2z y x =-的最小值是________.【答案】2- 【解析】 【分析】根据约束条件画出可行域，由目标函数的几何意义，结合图形，即可求出最值.【详解】画出约束条件11y x x y x ≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩表示的平面区域如下，因为2z y x =-可化为2y x z =+，则z 表示直线2y x z =+在y 轴上的截距，由图像可得，当直线2y x z =+过点1,0A 时，在y 轴上的截距最小，即z 最小； 所以min 022=-=-z当目标函数2y x z =+经过点(10)，时，z 取得最小值2-. 故答案为：2-.【点睛】本题主要考查求线性目标函数的最值，利用数形结合的方法求解即可，属于基础题型.14. 在522y x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，3xy 的系数是________.【答案】80- 【解析】 【分析】利用二项展开式的通项公式求解即可.【详解】在522y x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，通项公式为10315(2)r r r rr T C x y -+=-， 令3r =，可得3xy 的系数为80-. 故答案为：80-【点睛】本题考查二项式定理的应用，属于基础题.15. 在三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，AB AC =，π3BAC ∠=，其外接球表面积为16π，则三棱锥P ABC -的体积的最大值为________.【答案】83【解析】 【分析】设ABC 的外心为点O '，外接球的球心为O ，过点O 作OD PA ⊥于点D ，令AB a ，PD DA OO h '===，由222DO DP PO +=得22143a h +=，所以3(4)2P ABC V h h -=-，利用导数求解体积的最大值.【详解】如图所示，令AB a ，PD DA OO h '===，则BO AO ''==3DO =，外接球表面积为16π， 所以半径2r，在Rt PDO △中，222DO DP PO +=，即2234h ⎫+=⎪⎪⎝⎭，即22143a h +=， 得223(4)a h =-，所以体积2113233P ABC ABC V S PA a h -==△ 2333)h h h ==-，令33())f h h h =-(0)h >，23()3)f h h '=-，()f h 在303⎛ ⎝⎭，上单调递增，在233⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递减， 所以233h =P ABC V -的最大值为2383f =⎝⎭. 故答案为：83【点睛】本题考查了三棱锥的体积的计算，考查了利用导数求解最值，考查了学生的直观想象与运算求解能力.16. 已知函数()()()sin 0f x x ωϕω=+>，π2ϕ≤，下述五个结论：①若π5ϕ=，且()f x 在[]0,2π有且仅有5个零点，则()f x 在()0,2π有且仅有3个极大值点；②若π4ϕ=，且()f x在[]0,2π有且仅有4个零点，则()f x 在[]0,2π有且仅有3个极小值点；③若π5ϕ=，且()f x 在[]0,2π有且仅有5个零点，则()f x 在π0,10⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增；④若π4ϕ=，且()f x 在[]0,2π有且仅有4个零点，则ω的范围是1519,88⎡⎫⎪⎢⎣⎭；⑤若()f x 的图象关于π4x =对称，π4x =-为它的一个零点，且在π5π,1836⎛⎫⎪⎝⎭上单调，则ω的最大值为11.其中所有正确结论的编号是________. 【答案】①③④ 【解析】 【分析】 画出()f x 的大致图象，即可判断①②；对于③，由题可得<1229510ω≤，当100πx ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时，55105ππππx ωω<+<+，所以491051002ππππω+<<，故判断③；对于④，由4254ππππω+<≤得ω范围，故可判断④；对于⑤，由题知2()21πT k Z k =∈+，又()f x 在51836ππ⎛⎫⎪⎝⎭，上单调，所以6πT ≥，112k ≤，将5k =，4k =代入验证即可. 【详解】①若π5ϕ=，()f x 在[02]π，上有5个零点，可画出大致图象，由图3可知，()f x 在(02)π，有且仅有3个极大值点，故①正确； ②若π4ϕ=，且()f x 在[02]π，有且仅有4个零点，同样由图可知()f x 在[02]π，有且仅有2个极小值点，故②错误； ③若π5ϕ=，由()f x 在[02]π，上有5个零点，得2429255πππ<ωω≤，即<1229510ω≤，当100πx ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时，55105ππππx ωω<+<+，所以491051002ππππω+<<，所以()f x 在001π⎛⎫ ⎪⎝⎭，上单调递增，故③正确； ④若π4ϕ=，因为02x π≤≤，∴02x πωω≤≤，∴2444πππx πωω++≤≤，因为()f x 在[02]π，有且仅有4个零点，所以4254ππππω+<≤，所以151988ω<≤，所以④正确； ⑤若()f x 的图象关于π4x =对称，π4x =-为它的零点，则224πkT T =+(k Z ∈，T 为周期)， 得2()21πT k Z k =∈+，又()f x 在51836ππ⎛⎫⎪⎝⎭，上单调，所以6πT ≥，112k ≤， 又当5k =时，11ω=，π4ϕ=-，()f x 在51836ππ⎛⎫⎪⎝⎭，上不单调； 当4k =时，9ω=，π4ϕ=，()f x 在51836ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭，上单调，满足题意，故ω的最大值为9，故⑤不正确. 故答案：①③④【点睛】本题考查三角函数的图象与性质，考查函数的零点与极值相关概念，考查了数形结合的思想，考查学生的逻辑推理与运算求解能力.三、解答题（共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17. 已知等比数列{}n a 满足124a a +=，318a a -=，在公差不为0的等差数列{}n b ，中，24b =，且1b ，2b ，4b 成等比数列.（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （2）记1122n n n T a b a b a b =+++，求n T .【答案】（1）13-=n n a ，2n b n =；（2）(21)312n n n T -+=. 【解析】 【分析】（1）设等比数列{}n a 公比为q ，结合条件求出1a 和q ，根据等比数列的通项公式，即可求出数列{}n a 的通项公式；设等差数列{}n b 的公差为d ，结合条件，根据等比中项的性质即可求出1b 和d ，最后根据等差数列的通项公式，即可求出数列{}n b 的通项公式； （2）由于1122n n n T a b a b a b =+++，利用错位相减法进行求和，即可得出结果.【详解】解：（1）设等比数列{}n a 的公比为q ，124a a +=，318a a -=，则1121148a a q a q a +=⎧⎨-=⎩，，得11a =，3q =，所以13-=n n a ， 设等差数列{}n b 的公差为d ，∵24b =，且1b ，2b ，4b 成等比数列，221422()(2)b b b b d b d ∴==-+，2d ∴=，12b =，∴2n b n =.（2）1122n n n T a b a b a b =+++，12112343(2)3(22)3(2)k n n n T k n n ---∴=⨯+⨯++++-+……，① 21332343(2)3(22)3(2)k n n n T k n n -=⨯+⨯++++-+……，②②−①得212122323233(2)n nn T n -=-⨯-⨯-⨯--⨯+…， 即2(21)31nn T n =-+，∴(21)312n n n T -+=. 【点睛】本题考查等差数列和等比数列的通项公式，以及等比中项的性质和利用错位相减法求和，考查化简运算能力.18. 某项科研活动共进行了5次试验，其数据如下表所示：（1）根据表中的数据，运用相关系数进行分析说明，是否可以用线性回归模型拟合y 与x 的关系？并指出是正相关还是负相关（2）求特征量y 关于x 的回归方程，并预测当特征量x 为12时特征量y 的值； （3）设特征量x 满足()2~,X N μσ，其中μ近似为样本平均数x ，2σ近似为样本方差2s ，求()3.813.4P X <<.附：参考公式：相关系数()()niix x y y r -⋅-=∑，()()()121niii nii x x y y b xx ==-⋅-=-∑∑，a ybx =-.1.414≈ 3.2= 1.8≈，若()2~,X Nμσ，则()68.26%P X μσμσ-<<+=，()2295.44%P X μσμσ-<<+=【答案】（1）可以用线性回归模型拟合y 与x 的关系；负相关；（2）ˆ0.5612.92yx =-+；12x =时，ˆ 6.2y =；（3）0.8185.【解析】 【分析】（1）根据题中数据，结合相关系数的公式，求出相关系数，即可判断出结论；（2）根据最小二乘法，求出ˆb，ˆa ，即可得出线性回归方程，从而可得预测值； （3）根据正态分布的对称性，根据题中条件，即可求出结果.【详解】（1）由题意得51135755i i x x ====∑，51145955i i y y ====∑， 5511()()5212510889811757928iii ii i x x y y x y x y ==--=-=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯-⨯⨯=-∑∑，521()50ii x x =-=∑，521()16i i y y =-=∑，因而相关系数21()()0.99(niiii x x y y r y y =--===≈--∑∑ .由于||0.99r ≈很接近1，说明x ，y 线性相关性很强，因而可以用线性回归方程模型拟合y 与x 的关系.由于0r <，故其关系为负相关.（2）由（1）知，121()()28ˆ0.5650()nii i nii x x y y bx x ==---===--∑∑，∴ˆˆ9(0.56)712.92a y bx =-=-⨯-=，则所求的回归方程是ˆ0.5612.92yx =-+. 当特征量x 为12时，可预测特征量ˆ0.561212.92 6.2y=-⨯+=. （3）由（1）知，7x μ==，又由22222221[(27)(57)(87)(97)(117)]105s σ==-+-+-+-+-=，得 3.2σ≈，从而11(3.813.4)()(22)0.818522P X P X P X μσμσμσμσ<<=-<<++-<<+=. 【点睛】本题考查相关系数的计算以及线性相关性的判定，考查最小二乘法求回归方程，根据回归方程进行预测，考查正态分布指定区间的概率，属于常考题型.19. 如图所示，在三棱锥P ABC -中，22AB BC ==，4PA PB PC AC ====，O 为AC 的中点.（1）证明：PO ⊥平面ABC ；（2）若点M 在棱BC 上，且二面角M PA C --为30°，求三棱锥A PMC -的体积. 【答案】（1）证明见详解；（2163. 【解析】 【分析】（1）连接OB ，先证明OP AC ⊥，再证明OP OB ⊥，然后利用线面垂直的判定定理证明PO⊥平面ABC；（2）以O为坐标原点，以OB、OC、OP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系O xyz-，设(,2,0)(02)M a a a-<≤，利用空间向量分别计算平面MPA的法向量n，取平面PAC的法向量(2,0,0)OB=，利用法向量夹角的余弦值为3求解a的值，得出点M 的位置，然后计算三棱锥A PMC-的体积.【详解】（1）证明：因为4AP CP AC===，O为AC的中点，所以OP AC⊥，且23OP=. 如图，连接OB ，因为2AB BC AC==，所以ABC为等腰直角三角形，且OB AC⊥，122OB AC==.则222OP OB PB+=，所以PO OB⊥，由OP OB⊥，OP AC⊥，AC⊂平面ABC，OB⊂平面ABC，且AC OB O=,所以PO⊥平面ABC.（2）如图所示，以O为坐标原点，以OB、OC、OP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系O xyz-.由已知得(0,0,0)O，(2,0,0)B，(0,2,0)A-，(0,2,0)C，(0,0,3)P，(0,2,23)AP=，取平面P AC的法向量(2,0,0)OB=，设(,2,0)(02)M a a a-<≤，则(,4,0)AM a a=-，设平面P AM的法向量为(,,)n x y z=，由0AP n⋅=，0AM n⋅=，得2230(4)0y zax a y⎧+=⎪⎨+-=⎪⎩，，可取(3(4)n a=-3)a a-，，所以22223(4)cos ,23(4)3a OB n a a a -〈〉=-++.由已知可得3|cos ,|2OB 〈〉=n ，所以22223|4|3=23(4)3a a a a --++，解得4a =-(舍去)，43a =， 则1141634233239A PMC P AMC V V --==⨯⨯⨯⨯=，所以三棱锥A PMC -的体积为1639.【点睛】本题考查线面垂直的证明，考查利用空间向量方法解决二面角问题，考查学生的基本运算能力、逻辑推理能力，难度较大. 解决夹角问题时，平面法向量的计算是关键. 20. 已知函数()()2xf x e ax x R -=-∈，()()ln 11g x x =+-.（1）当12a =-时，求函数()f x 的最小值； （2）若0x ≥时，()()0f x g x -+≥，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）1；（2）[1,)-+∞. 【解析】 【分析】 （1）将12a =-代入，然后求导，利用导数分析函数()f x 的单调性并确定其最小值； （2）若0x ≥时，()()0f x g x -+≥，则2ln(1)10xe ax x +++-≥，令()2ln(1)1x h x e ax x =+++-，当1a ≥-时，可证()0h x '≥恒成立，则函数()h x 在区间[0)+∞，上单调递增，则()(0)0h x h ≥=成立；当1a <-时，令1()21x x e a x ϕ=+++， 求导可分析得到()0x ϕ'≥，则()()h x x ϕ'=在区间[0)+∞，上单调递增，由于(0)220a ϕ=+<，则()()0h x x ϕ'==在[0)+∞，上存在零点，设0()0h x '=，则可得函数()h x 在区间0(0,)x 上单调递减，所以0()(0)0h x h <=（舍）.综上可得出a 的取值范围.【详解】（1）当12a =-时，函数的解析式为()x f x e x -=+，则()1xf x e -'=-+， 由()10xf ex -'=-+=，得0x =，当0x <时，()0f x '<，当0x >时，()0f x '>，所以函数在区间(0)+∞，上单调递增，在区间(0)-∞，上单调递减， 函数的最小值为0(0)01f e =+=.（2）若0x ≥时，()()0f x g x -+≥，即2ln(1)10xe ax x +++-≥(*)，令()2ln(1)1xh x e ax x =+++-，则1()21xh x e a x '=+++. ①若1a ≥-，由（1）知1x e x -+≥，即e 1x x -≥-，故e 1x x ≥+，11()2(1)2222011x h x e a x a a a x x '=++≥+++≥=+≥++， ∴函数()h x 在区间[0)+∞，上单调递增，∴()(0)0h x h ≥=，∴（*）式成立； ②若1a <-，令1()21xx e a x ϕ=+++，则2221(1)1()0(1)(1)x xx e x e x x ϕ+-'=-=++≥， ∴函数()ϕx 在区间[0)+∞，上单调递增，由于(0)220a ϕ=+<， 2111(2)212210121212a a e a a a a a aϕ--=++-++=+>---≥，故0(02)x a ∃∈-，，使得0()0x ϕ=，则当00x x <<时，0()()0x x ϕϕ<=，即()0h x '<，∴函数()h x 在区间0(0)x ，上单调递减， ∴0()(0)0h x h <=，即（*）式不恒成立. 综上所述，实数a 的取值范围是[1,)-+∞.【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性及最值，考查根据不等式恒成立问题求解参数的取值范围,难度较大.解答时，分类讨论得出原函数的单调性是解题的核心.21. 已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的离心率为12，且抛物线24y x =的焦点恰好是椭圆C 的一个焦点.（1）求椭圆C 的方程；（2）与圆222x y +=相切的直线:l y kx t =+交椭圆C 于,M N 两点，若椭圆上存在点P 满足()()0OP OM ONμμ=+>，O 为坐标原点，求四边形OMPN 面积的取值范围.【答案】（1）22143x y +=；（2）⎡⎣. 【解析】 【分析】（1）根据离心率和焦点坐标可构造方程求得,,a b c ，进而得到椭圆方程；（2）根据直线与圆相切可求得2t 的范围，将直线与椭圆方程联立可得韦达定理的形式，利用2MON S S μ=△，可将所求面积整理为关于k 的函数，通过求解函数的值域可求得所求面积的取值范围.【详解】（1）设椭圆的焦距为2c ， 离心率为12，∴12c a =，又点()1,0是抛物线和椭圆的焦点， ∴1c =，24a =，2223b a c ∴=-=，∴椭圆C 的方程为22143x y +=.（2）∵直线:l y kx t =+与圆222x y +=相切， ∴原点到直线l的距离为d r ===()2221t k =+，∴22t ≥.设()11M x y ，，()22N x y ，，()00P x y ，，由22143y kx t x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，，消去y 得：()2224384120k x ktx t +++-=，∴122843kt x x k -+=+，212241243t x x k -=+， ∴()121226243t y y k x x t k +=++=+， ∵()OP OM ON μ=+，∴020*******kt x k t y k μμ-⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩， 又P 在椭圆C 上，∴2222864343143kt t k k μμ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭+=，∴μ=设MN 的中点为E ，则()2OP OM ON OE μμ=+=，∴四边形OMPN的面积1222MON S S MN d MN μμ==⋅⋅=△===== 令()2222111143243k f k k k +⎛⎫==- ⎪++⎝⎭， ∵2433k +≥，∴()1132f k ≤<，∴2S ≤<， ∴四边形OMPN 面积的取值范围为⎡⎣.【点睛】本题考查直线与椭圆综合应用问题，涉及到椭圆标准方程的求解、直线与圆位置关系的应用、椭圆中的四边形面积问题的求解；求解面积取值范围的关键是能够将所求面积表示为关于某一变量的函数关系式的形式，利用函数值域的求解方法求得所求的范围，属于较难题. 请考生在第22、23两题中任选一题作答，并用2B 铅笔在答题卡上把所选題目的題号涂黑.注意所做题目的题号必须与所涂题目的題号一致，在答题卡选答区域指定位置答题.如釆多做，则按所攽的第一題计分.22. 在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为1cos 2sin x t y t αα=+⎧⎨=+⎩（t 为参数，0πα≤<），在以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为ρ=（1）求l 的普通方程和C 的直角坐标方程；（2）若曲线C 截直线l 所得线段的中点的直角坐标为()1,2，求直线l 的极坐标方程.【答案】（1）l 的普通方程为1x =或2tan (1)y x α-=-；C 的直角坐标方程为221416x y +=；（2）2cos sin 40ρθρθ+-=【解析】【分析】（1）分π2α=和π2α≠两种情况，即可得出直线的普通方程；根据曲线的极坐标方程，由极坐标与直角坐标的互化公式，即可得出C 的直角坐标方程；（2）将直线的参数方程代入221416x y +=，根据弦中点坐标，求出tan 2α，即可得出直线的直角坐标方程，从而可得到其极坐标方程.【详解】（1）当π2α=时，l 的普通方程为1x =； 当π2α≠时，l 的普通方程为2tan (1)y x α-=-，即(tan )2tan 0x y αα-+-=.由ρ=2222223cos 316x y x ρρθ+=++=， 即221416x y +=. （2）将1cos 2sin x t y t αα=+⎧⎨=+⎩，，代入221416x y +=中，整理得22(13cos )(8cos 4sin )80t t ααα+++-=，依题意得120t t +=，即28cos 4sin 013cos ααα+-=+，即8cos 4sin 0αα+=，得tan 2α， 所以直线l 的斜率为2-，直线l 的一般方程为240x y +-=，则直线l 的极坐标方程为2cos sin 40ρθρθ+-=.【点睛】本题主要考查直角坐标方程与极坐标方程的互化，考查参数方程与普通方程的互化，考查参数下的弦中点问题，属于常考题.23. 设函数()213f x x x =++-的最小值为m ，且()f t m =.（1）求m 及t 的值；（2）若正实数a ，b ，c 满足1a b c m +++=.证明：3≤. 【答案】（1）1,4t m =-=；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）等价变形为分段函数，得函数在(,1)-∞-上单减，(1,3),(3,)-+∞上单增，且是连续函数，求得在1t =-时取得最小值得解.（2）由柯西不等式得证. 【详解】（1）解：由31(1)()5(13)31(3)x x f x x x x x -+≤-⎧⎪=+-<<⎨⎪-≥⎩，，，，，，则函数在(,1)-∞-上单减，(1,3),(3,)-+∞上单增，且是连续函数，所以在1t =-时取得最小值，()14f m -==.（2）证明：因为a ，b ，c 均为正实数，14a b c +++=，由柯西不等式，=≤1a b c ===时，取等号. 【点睛】本题考查绝对值函数的最值求参数及运用柯西不等式证明不等式成立，属于基础题.。

理科数学参考答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案B D D AC C B AD A C D【解析】1．∵222x y +≤，x ∈N ，y ∈N ，当0x =时，0y =，1；当1x =时，0y =，1，所以共有4个元素，故选B ．2．()(2i 2i 1i 1i 1i 1i 1i )()z -===+++-，1i z =-，故选D ． 3．∵11()E p ξ=，22()E p ξ=，∴12()()E E ξξ<，∵111222()(1)()(1)D p p D p p ξξ=-=-，， ∴121212()()()(1)0D D p p p p ξξ-=--->，故选D ．4．3log 15133(25)(log 15)1log [2(25)]31359f f --+=+--+=++=，故选A ．5．由题意得a b =，222144x y b =⇒-=，故选C ． 6．设()a x y =，，∵a 在b 方向上的投影为4-，∴4||a b b =- ，又()a b b λ+⊥，∴()a b b λ+= 0，即0a b b b λ+= ，即24||||0b b λ-+=，解得12λ=，故选C ． 7．由已知得222sin sin sin sin sin B C A B C +-=，故由正弦定理得222b c a bc +-=．由余弦定理得2221cos 22b c a A bc +-==．因为0180A <<︒︒，所以60A =︒，tan 3A =，故选B ． 8．由三视图知，该几何体的直观图如图1所示．平面AED ⊥平面BCDE ，四棱锥A BCDE -的高为1，四边形BCDE 是边长为1的正方形，则111122AED S =⨯⨯=△，ABC ABE S S ==△△ 12122⨯⨯=，15152ACD S =⨯⨯=△，则四棱锥A BCDE -的侧面积为1225++，故选A ． 9．因为α，β为锐角，所以(0π)αβ+∈，．又因为5cos()αβ+=-，所以sin()αβ+= 2251cos ()αβ-+=，因此tan()2αβ+=-．因为4tan 3α=，所以22tan tan 21tan ααα==- 247-，因此，tan 2tan()2tan()tan[2()]1tan 2tan()11ααβαβααβααβ-+-=-+==-++，故选D ． 10．因为21(1)()(1)(e e )cos(1)2x x f x x a x ---=-+++--，且2()(e e )cos 2x x g x x a x -=+++-为偶函数，也有唯一零点图10x =，所以(0)0g =，解得12a =，故选A ． 11．设11()P x y ，，22()Q x y ，，直线1l ：1(0)y kx k =+≠，联立方程241x y y kx ⎧=⎨=+⎩，，消y 得2440x kx --=，因为216160k ∆=+>，所以124x x k +=，124x x =-，所以2||1PQ k =+ 221212()44(1)x x x x k +-=+，又原点O 到直线1l 的距离为21d k =+，所以21S = 24(1)k +，同理222141S k ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以22212218416S S k k ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭≥，当且仅当“1k =±”时取等号，故2212S S +的最小值为16，故选C ．12．因为33log 42log 2a ==，24log 32log 3b ==，0.20.2log 0.092log 0.3c ==，30log 2<= 33332log 8log 93<=，422113log 3log 3log 22224=>=，230.20.22log 0.2log 0.33=<< 340.23log 0.24=，综上，a c b <<，故选D ． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）题号13 14 15 16 答案2- 80- 83①③④ 【解析】13．作出约束条件对应的平面区域，当目标函数2y x z =+经过点(10)，时，z 取得最小值2-．14．在522y x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，通项公式为10315C (2)r r r r r T x y -+=-，令3r =，可得3xy 的系数为80-． 3DO a =. 外接球15．如图2所示，令AB a =，PD DA OO h '===，则BO AO ''==222DO DP PO +=，表面积为16π，所以半径2r =，在Rt △PDO 中，即2234a h ⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭，即22143a h +=，得223(4)a h =-，所以体积2113233P ABC ABC V S PA a h -==△ 2333(4)a h h h ==-，令33()(4)f h h h =- (0)h >，23()(43)f h h '=-，()f h 在230⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，上单调递增，在23⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭，上单调递减，所以23h =时，P ABC V -的最大值为2383f ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭． 16．①若π5ϕ=，()f x 在[02π]，上有5个零点，可画出大致图象，由图3可确；②若π4ϕ=，且知，()f x 在(02π)，有且仅有3个极大值点，故①正()f x 在[02π]，有且仅有4个零点，同样由图可知()f x 在[02π]，有且图2 图3仅有2个极小值点，故②错误；③若π5ϕ=，由()f x 在[02π]，上有5个零点，得24π29π2π<55ωω≤，即1229<510ω≤，当π010x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时，ππππ55105x ωω<+<+，所以ππ49ππ1051002ω+<<，所以()f x 在π010⎛⎫ ⎪⎝⎭，上单调递增，故③正确；④若π4ϕ=，因为02πx ≤≤，∴02πx ωω≤≤，∴πππ2π444x ωω++≤≤，因为()f x 在[02π]，有且仅有4个零点，所以π4π2π5π4ω+<≤，所以151988ω<≤，所以④正确；⑤若()f x 的图象关于π4x =对称，π4x =-为它的零点，则π224kT T =+(k ∈Z ，T 为周期)，得2π()21T k k =∈+Z ，又()f x 在π5π1836⎛⎫ ⎪⎝⎭，上单调，所以π6T ≥，112k ≤，又当5k =时，11ω=，π4ϕ=-，()f x 在π5π1836⎛⎫ ⎪⎝⎭，上不单调；当4k =时，9ω=，π4ϕ=，()f x 在π5π1836⎛⎫ ⎪⎝⎭，上单调，满足题意，故ω的最大值为9，故⑤不正确．三、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（本小题满分12分）解：（1）设{}n a 的公比为q ，则由1121148a a q a q a +=⎧⎨-=⎩，， 得11a =，3q =，所以13n n a -=．设等差数列{}n b 的公差为d ，∵1b ，2b ，4b 成等比数列，221422()(2)2b b b b d b d d ==-+⇒=， ∴2n b n =． ………………………………………………………………（6分）（2）12112343(2)3(22)3(2)k n n n T k n n ---=⨯+⨯++++-+……，①21332343(2)3(22)3(2)k n n n T k n n -=⨯+⨯++++-+……，②②−①得212122323233(2)(21)31n n n n T n n -=-⨯-⨯-⨯--⨯+=-+…， ∴(21)312n n n T -+=． ……………………………………………………（12分）18．（本小题满分12分） 解：（1）由题意得51135755i i x x ====∑，51145955i i y y ====∑， 5511()()5212510889811757928i i i i i i xx y y x y x y ==--=-=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯-⨯⨯=-∑∑， 521()50i i x x =-=∑，521()16i i y y =-=∑，因而相关系数21()()0.99(n i i i i x x y y r y y =--===≈--∑∑ ． 由于||0.99r ≈很接近1，说明x ，y 线性相关性很强，因而可以用线性回归方程模型拟合y 与x 的关系．由于0r <，故其关系为负相关． …………………………………………（4分）（2）由（1）知，121()()28ˆ0.5650()n ii i n i i x x y y b xx ==---===--∑∑， ∴ˆˆ9(0.56)712.92ay bx =-=--⨯=， 则所求的回归方程是ˆ0.5612.92yx =-+. 当特征量x 为12时，可预测特征量ˆ0.561212.92 6.2y=-⨯+=． ………………（8分） （3）由（1）知，7x μ==，又由22222221[(27)(57)(87)(97)(117)]105s σ==-+-+-+-+-=， 得 3.2σ≈，从而11(3.813.4)()(22)0.818522P X P X P X μσμσμσμσ<<=-<<++-<<+=．………………………………………………（12分） 19．（本小题满分12分）（1）证明：因为4AP CP AC ===，O 为AC 的中点，所以OP AC ⊥，且23OP =．如图4，连接OB ，因为2AB BC AC ==， 所以ABC △为等腰直角三角形，且OB AC ⊥，122OB AC ==． 由222OP OB PB +=，知PO OB ⊥，由OP OB ⊥，OP AC ⊥，知PO ⊥平面ABC ． …………………………（5分）（2）解：如图所示，以O 为坐标原点，OB 的方向为x 轴正方向，建立空间直角坐标系O xyz -． 由已知得(000)O ，，，(200)B ，，，(020)A -，，，(020)C ，，， (0023)P ，，，(0223)AP =，，，取平面PAC 的法向量(200)OB =，，，设(20)(02)M a a a -<，，≤，则(40)AM a a =-，，，设平面PAM 的法向量为()x y z =，，n ，由0AP = n ，0AM = n ，图4得20(4)0y ax a y ⎧+=⎪⎨+-=⎪⎩，，可取4)a =-n )a -，，所以cos OB 〈〉=，n ．由已知可得|cos |OB 〈〉=，n ，，解得4a =-(舍去)，43a =，则1144323A PMC P AMC V V --==⨯⨯⨯⨯=，所以三棱锥A PMC - …………………………………（12分）20．（本小题满分12分） 解：（1）当12a =-时，函数的解析式为()e x f x x -=+，则()e 1x f x -'=-+， 由()e 10x x f -'=-+=，得0x =，当0x <时，()0f x '<，当0x >时，()0f x '>， 所以函数在区间(0)+∞，上单调递增，在区间(0)-∞，上单调递减， 函数的最小值为0(0)e 01f =+=． ……………………………………………（5分）（2）若0x ≥时，()()0f x g x -+≥，即e 2ln(1)10x ax x +++-≥(*)， 令()e 2ln(1)1x h x ax x =+++-，则1()e 21x h x a x '=+++． ①若1a -≥，由（1）知e 1x x -+≥，即e 1x x --≥，故e 1x x +≥，111()e 2(1)21)222011x h x a x a a a x x '=++++++=+++≥≥≥ ， ∴函数()h x 在区间[0)+∞，上单调递增，∴()(0)0h x h =≥，∴（*）式成立；②若1a <-，令1()e 21xx a x ϕ=+++，则2221(1)e 1()e 0(1)(1)x x x x x x ϕ+-'=-=++≥， ∴函数()x ϕ在区间[0)+∞，上单调递增，由于(0)220a ϕ=+<， 2111(2)e 212210121212a a a a a a a aϕ--=++-++=+>---≥， 故0(02)x a ∃∈-，，使得0()0x ϕ=，则当00x x <<时，0()()0x x ϕϕ<=，即()0h x '<，∴函数()h x 在区间0(0)x ，上单调递减，∴0()(0)0h x h <=，即（*）式不恒成立．综上所述，实数a 的取值范围是[1)-+∞，．………………………………（12分） 21．（本小题满分12分）解：（1）设椭圆的焦距为2c ，因为离心率为12，∴12c a =， 又点(10)，是抛物线的焦点，∴1c =，24a =，23b =， 所以椭圆C 的方程为22143x y +=． ………………………………………（4分）（2）∵直线l ：y kx t =+与圆222x y +=相切， ∴原点到直线l的距离为d r ==222(1)t k =+，∴22t ≥．设11()M x y ，，22()N x y ，，00()P x y ，， 由22143y kx t x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，，消去y 得222(43)84120k x ktx t +++-=， ∴122843kt x x k -+=+，212241243t x x k -=+， ∴121226()243t y y k x x t k +=++=+， ∵()OP OM ON μ=+， ∴020*******kt x k t y k μμ-⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，， 又P 在椭圆C 上，∴2222864343143kt t k k μμ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭+=，∴μ= 设MN 的中点为E ，则()2OP OM ON OE μμ=+=，∴四边形OMPN 的面积为122||2||2MON S SMN d MN μμμ===△ 2641k =+ 2222241(43)k tk k -+=++ 2222241(43)k t k k -+=++222242(1(4k k k k -=+=+ ， 令2222111()143243k fk k k +⎛⎫==- ⎪++⎝⎭，则∵2433k +≥，∴11()32f k <≤， ∴2S <≤∴四边形OMPN 面积的取值范围为[2． ………………………………（12分）22．（本小题满分10分）【选修4−4：坐标系与参数方程】解：（1）当π2α=时，l 的普通方程为1x =； 当π2α≠时，l 的普通方程为2tan (1)y x α-=-， 即(tan )2tan 0x y αα-+-=．由ρ，得2222223cos 316x y x ρρθ+=++=，即221416x y +=． ………………………………………………………………（5分） （2）将1cos 2sin x t y t αα=+⎧⎨=+⎩，，代入221416x y +=中， 整理得22(13cos )(8cos 4sin )80t t ααα+++-=，依题意得120t t +=，即28cos 4sin 013cos ααα+-=+， 即8cos 4sin 0αα+=，得tan 2α=-，所以直线l 的斜率为2-，直线l 的一般方程为240x y +-=，则直线l 的极坐标方程为2cos sin 40ρθρθ+-=．………………………………………………………………（10分） 23．（本小题满分10分）【选修4−5：不等式选讲】（1）解：由311()513313x x f x x x x x -+-⎧⎪=+-<<⎨⎪-⎩，，，，，≥，≤知1t =-时，4m =．………………………………………………………………（5分）（2）证明：因为a ，b ，c 均为正实数，14a b c +++=，由柯西不等式，=当且仅当1===时，取等号．……………………………………………（10分）a b c。