长沙一中2023届高三月考试卷五数学

长沙市一中2024届高三月考试卷(四)学满分：150分得 分一、选择题(本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四 个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.已知集合M={0,1,2},N={x|x=2a,a ∈M}, 则集合M∩N 等于A.{0}B.{0,1}C.{1,2}D.{0,2}2.已知平面向量AB=(-1,2), 则与AB 方向相同的单位向量是3.第19届亚运会正在杭州举行，运动员甲就近选择 A 餐厅或者B 餐厅就 餐，第一天随机地选择一餐厅用餐，如果第一天去A 餐厅，那么第二天 去A 餐厅的概率为0.7;如果第一天去B 餐厅，那么第二天去A 餐厅的 概率为0.5,运动员甲第二天去A 餐厅用餐的概率为 A.0.75 B.0.6 C.0.55 D.0.45部分图象如图所示，下列说法不正确的是 A. 函数y=f(x) 的图象关于点)对称B. 函 数 y=f(x) 的图象关于直线 对称C. 函数y=f(x) 单调递减D.该图象向右平移个单位可得y=2sin 2x 的图象5.若与y 轴相切的圆C 与直线 也相切，且圆C 经过点P(2,√ 3),则圆C 的半径为A.1B. 或 D.16.若函数f(x)= a ⁴+b¹(a>0,b>0,a≠1,b ≠1)是偶函数，则的最小值为数 时量：120分钟密 封 线 内 不 要 答 题班 级 姓 名学 校学 号C7. 已知函数f(x)=kx, ,g(x)=e*, 若f(x),g(x) 图象上分别存在点M,N 关于直线y=x 对称，则实数k 的取值范围为C.8.如图，在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 是正方形，AP=AB=4, 侧棱PA⊥ 底面ABCD,T 是CD的中点，Q 是△PAC 内的动点，TQ⊥BP,则 Q 的轨迹长为A.√2B.√3C.2√2D.2√3二、选择题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分)9. “杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列，中国南宋数学家杨辉在1261年所著的《详解九章算法》一书中就有出现，比欧洲早393年发现.如图所示，在“杨辉三角”中，除每行两边的数都是1外，其余每个数都是其“肩第0行第1行第2行第3行第4行第5行第n行II 2 11 3 3 11 4 6 4 11 5 10 10 5 1上”的两个数之和，例如第4行的6为第3行中两个3的和.则下列命题中正确的是A. 由“在相邻两行中，除1以外的每个数都等于它肩上的两个数字之和”猜想C+1=C;-¹+CB.由“第n 行所有数之和为2””猜想：C +C,+C? 十…十C,=2”C. 第20行中，第10个数最大D.第15行中，第7个数与第8个数的比为7:910.设等比数列{an}的公比为q, 其前n 项和为S,, 前n 项积为T,, 且a₁>1,a₆a₇>1, ,则下列结论正确的是A.0<q<1B.0<a₇ag<1C.S, 的最大值为S₇D.T, 的最大值为T₆11.如图，等边三角形ABC 的边长为4 ,E 为边AB 的中点，ED⊥AC 于D. 将△ADE 沿DE翻折至△A₁DE 的位置，连接A₁C. 那么在翻C折过程中，下列说法当中正确的是A.DELA₁C数学试题(一中版)第2页(共8页)C. 存在某个位置，使A₁E⊥BED. 在线段A₁C上，存在点M 满,使BM 为定值12. 已知双曲线C:x²—y²=2, 点M 为双曲线右支上的一个动点，过点M分别作两条渐近线的垂线，垂足分别为A,B 两点，则下列说法正确的是A. 双曲线的离心率为√2B.存在点M, 使得四边形OAMB 为正方形C.直线AB,OM 的斜率之积为2D. 存在点M, 使得 |MA|+|MB|=√3三、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分)13.已知角θ的终边过点A(4,a), 且,则tan θ=14.已知圆台的上、下底面直径分别为2和4,高为1,则该圆台外接球的表面积为15.设F为抛物线y=8x的焦点，A,B,C为该抛物线上不同的三点，若FA+FB+FC=OF,O 为坐标原点，则|FA|+|FBl+|FCl=16.函数f(x)=sin 2xcos²x的值域为四、解答题(本大题共6个小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17. (本小题满分10分)在平面四边形ABCD 中，,∠ADC,BC=4.(1)若△ABC 的面积为2 √3,求AC;(2)若AD=3√3, ,求tan ∠ACD.某电视台为了解不同性别的观众对同一档电视节目的评价情况，随机选取了100名观看该档节目的观众对这档电视节目进行评价，已知被选取的观众中“男性”与“女性”的人数之比为9:11,评价结果分为“喜欢”和“不喜欢”,并将部分评价结果整理如下表所示.评价性别喜欢不喜欢合计男性15女性合计50 100(1)根据所给数据，完成上面的2×2列联表；依据α=0.005的独立性检验，能否认为性别因素与评价结果有关系?(2)电视台计划拓展男性观众市场，现从参与评价的男性中，按比例分层抽样的方法选取3人，进行节目“建言”征集奖励活动，其中评价结果为“不喜欢”的观众“建言”被采用的概率为,评价结果为“喜欢”的观众“建言”被采用的概率为“建言”被采用奖励100元，“建言”不被采用奖励50元，记3人获得的总奖金为X, 求X 的分布列及数学期望.α0.010 0.005 0.001Xa 6.635 7.879 10.828事已知等差数列{an}的前n 项和为S,,a₁=-5,a₂为整数，且S,≥S₃(1)求{an}的通项公式；(2)设数列{b,}满足b,=(-1)"a,an+1, 且数列{b,}前 n 项和为Tn,若T,≥tn²对n∈N”恒成立，求实数t的取值范围.如图，已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁ 的棱长为B 2.M,N 分别为B₁D₁与C₁D 上的点，且MNL B₁D₁,MN⊥C₁D,(1)求证：MN//A₁C,(2)求平面B₁DM 与平面DMN 的夹角的余弦值.已知经过点)的椭圆C₁ 的上焦点与抛物线C₂:x²=2py(p>0) 焦点重合，过椭圆C₁上一动点Q 作抛物线C₂的两条切线，切点分别为A,B.(1)求C₁和C₂的方程；(2)当Q 在椭圆C₁位于x 轴下方的曲线上运动时，试求△QAB 面积的最大值.(1)若k=2, 判断函数f(x)的单调性，并说明理由；(2)若x>1 时，f(x)>0 恒成立.(i)求实数k 的取值范围；。

长沙市一中201X 届高三月考试卷(五)数 学(理科)时量：120分钟 满分：150分(考试范围：集合、逻辑、算法、函数、导数、三角函数、平面向量与复数、数列、推理与应用、不等式、不等式证明、计数原理、二项式定理、概率)本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共6页。

时量120分钟。

满分150分。

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合A ＝{－2,0,1}，集合B ＝{x ||x |<a 且x ∈Z }，则满足A B 的实数a 可以取的一个值是( )A.3B.2C.1D.02.若(1－2x )4＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4，则|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋|a 4|的值为( ) A.1 B.16 C.81 D.413.如图，设D 是图中边长分别为2和4的矩形区域，E 是D 内位于函数y ＝x 2图象下方的区域(阴影部分)，向D 内随机抛掷30个点，则落在E 内的点的个数约为( )A.15B.20C.5D.104.已知命题p ：“a ＝1是x >0，x ＋ax ≥2的充分必要条件”，命题q ：“x 0∈R ，x 20＋x 0－2>0”，则下列命题正确的是( )A.命题“p ∧q ”是真命题B.命题“p ∧(┐q )”是真命题C.命题“(┐p )∧q ”是真命题D.命题“(┐p )∧(┐q )”是真命题5.已知cos(π6－α)＝33，则sin(5π6－2α)的值为( )A.13B.－13C.23D.－236.已知函数f (x )＝ 2a (x ≥2) 则f (log 45)等于(B)f(x+2)(x<2)， A.2 5 B.4 5 C.3 5 D. 5x-y+2≥07.已知实数x ，y 满足线性约束条件 x+y-4≥0 ，目标函数z ＝y －ax (a ∈R )，若z 取最大2x-y-5≤0值时的唯一最优解是(1,3)，则实数a 的取值范围是( ) A.(0,1) B.(－1,0) C.(1，＋∞) D.(－∞，－1)8.形如45132这样的数称为“波浪数”，即十位数字，千位数字均比它们各自相邻的数字大，则由1、2、3、4、5可构成的数字不重复的五位“波浪数”的概率为( )A.16B.320C.11120D.215二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上.9.幂函数f(x)＝x α(α为常数)的图象经过(3，3)，则f(x)的解析式是 . 10.函数f(x)＝e x ln x －1的零点个数是 个.11.按下图所示的程序框图运算：若输出k ＝2，则输入x 的取值范围是 .12.数列{a n }满足：a 1＝2，a n ＝1－1a n －1(n ＝2,3,4，…)，则a 12＝ .13.已知函数f (x )＝|x －2|，若a ≠0，且a ，b ∈R ，都有不等式|a ＋b |＋|a －b |≥|a |·f (x )成立，则实数x 的取值范围是 .14.在△ABC 中有如下结论：“若点M 为△ABC 的重心，则MA ＋MB ＋MC ＝0”，设a ，b ，c 分别为△ABC 的内角A ，B ，C 的对边，点M 为△ABC 的重心.如果a MA ＋b MB ＋33c MC ＝0，则内角A 的大小为 ；若a ＝3，则△ABC 的面积为 . 15.给定集合A ＝{a 1，a 2，a 3，…，a n }(n ∈N ，n ≥3)，定义a i ＋a j (1≤i <j ≤n ，i ，j ∈N )中所有不同值的个数为集合A 两元素和的容量，用L (A )表示，若A ＝{2,4,6,8}，则L (A )＝ ；若数列{a n }是等差数列，设集合A ＝{a 1， a 2，a 3，…，a m }(其中m ∈N *，m 为常数)，则L (A )关于m 的表达式为 .三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16.(本小题满分12分)若盒中装有同一型号的灯泡共12只，其中有9只合格品，3只次品.(1)某工人师傅有放回地连续从该盒中取灯泡3次，每次取一只灯泡，求2次取到次品的概率；(2)某工人师傅用该盒中的灯泡去更换会议室的一只已坏灯泡，每次从中取一灯泡，若是正品则用它更换已坏灯泡，若是次品则将其报废(不再放回原盒中)，求成功更换会议室的已坏灯泡前取出的次品灯泡只数X 的分布列和数学期望.17.(本小题满分12分)已知函数f(x)＝2sin ωx·cos (ωx ＋π6)＋12(ω>0)的最小正周期为4π.(1)求正实数ω的值；(2)在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且满足2b cos A ＝a cos C ＋c cos A ，求f(A)的值.18.(本小题满分12分)已知数列{a n}的前三项与数列{b n}的前三项对应相等，且a1＋2a2＋22a3＋…＋2n－1a n＝8n对任意的n∈N*都成立，数列{b n＋1－b n}是等差数列.(1)求数列{a n}与{b n}的通项公式；(2)是否存在k∈N*，使得b k－a k∈(0,1)？请说明理由.19.(本小题满分13分)某化工厂生产某种产品，每件产品的生产成本是3元，根据市场调查，预计每件产品的出厂价为x元(7≤x≤10)时，一年的产量为(11－x)2万件；若该企业所生产的产品全部销售，则称该企业正常生产；但为了保护环境，用于污染治理的费用与产量成正比，比例系数为常数a(1≤a≤3).(1)求该企业正常生产一年的利润L(x)与出厂价x的函数关系式；(2)当每件产品的出厂价定为多少元时，企业一年的利润最大，并求最大利润.20.(本小题满分13分)设函数y＝f(x)的定义域为(0，＋∞)，且在(0，＋∞)上单调递增，若对任意x，y∈(0，＋∞)都有：f(xy)＝f(x)＋f(y)成立，数列{a n}满足：a1＝f(1)＋1，f(12a n＋1－12a n)＋f(12a n＋1＋12a n)＝0.设S n＝a21a22＋a22a23＋a23a24＋…＋a2n－1a2n＋a2n a2n＋1.(1)求数列{a n}的通项公式，并求S n关于n的表达式；(2)设函数g(x)对任意x、y都有：g(x＋y)＝g(x)＋g(y)＋2xy，若g(1)＝1，正项数列{b n}满足：b2n＝g(12n)，T n为数列{b n}的前n项和，试比较4S n与T n的大小.21.(本小题满分13分)定义F (x ，y )＝(1＋x )y ，其中x ，y ∈(0，＋∞).(1)令函数f (x )＝F (1，log 2(x 3＋ax 2＋bx ＋1))，其图象为曲线C ，若存在实数b 使得曲线C 在x 0(－4<x 0<－1)处有斜率为－8的切线，求实数a 的取值范围；(2)令函数g (x )＝F (1，log 2[(ln x －1)e x ＋x ])，是否存在实数x 0∈[1，e]，使曲线y ＝g (x )在点x ＝x 0处的切线与y 轴垂直？若存在，求出x 0的值；若不存在，请说明理由.(3)当x ，y ∈N ，且x <y 时，求证：F (x ，y )>F (y ，x ).数 学(理科) 答 案一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.选择题答题卡二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上.9. f(x)＝x 12 .10. 1 个. 11. (28,57] .12. －1 . 13 [0,4] . 14934. .15 2m －3 .三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16.(本小题满分12分)解：(1)每次取到一只次品的概率P 1＝C 13C 112＝14，则有放回连续取3次，其中2次取得次品的概率P ＝C 23(14)2·(1－14)＝964.(5分) (2)依题知X 的可能取值为0、1、2、3.(6分) 且P(X ＝0)＝912＝34，P(X ＝1)＝312×911＝944，P(X ＝2)＝312×211×910＝9220，P(X ＝3)＝312×211×110×99＝1220.(8分)则X 的分布列如下表：(10分)EX ＝0×34＋1×944＋2×9220＋3×1220＝310.(12分)17.(本小题满分12分)解：(1)∵f(x)＝2sin ωx(cos ωx·cos π6－sin ωx·sin π6)＋12(2分)＝3sin ωx cos ωx －sin 2ωx ＋12＝32sin 2ωx －12(1－cos 2ωx)＋12＝sin (2ωx ＋π6).(5分) 又f(x)的最小正周期T ＝2π2ω＝4π，则ω＝14.(6分)(2)由2b cos A ＝a cos C ＋c cos A 及正弦定理可得2sin B cos A ＝sin A cos C ＋sin C cos A ＝sin (A＋C).又A ＋B ＋C ＝π，则2sin B cos A ＝sin B.(8分)而sin B≠0，则cos A ＝12.又A ∈(0，π)，故A ＝π3.(10分)由(1)f(x)＝sin (x 2＋π6)，从而f(A)＝sin (π3×12＋π6)＝sin π3＝32.(12分)18.(本小题满分12分)解：(1)已知a 1＋2a 2＋22a 3＋…＋2n －1a n ＝8n (n ∈N *).①n ≥2时，a 1＋2a 2＋22a 3＋…＋2n －2a n －1＝8(n －1)(n ∈N *).②①－②得2n －1a n ＝8，解得a n ＝24－n ，在①中令n ＝1，可得a 1＝8＝24－1，所以a n ＝24－n (n ∈N *).(4分)由题意b 1＝8，b 2＝4，b 3＝2，所以b 2－b 1＝－4，b 3－b 2＝－2， ∴数列{b n ＋1－b n }的公差为－2－(－4)＝2， ∴b n ＋1－b n ＝－4＋(n －1)×2＝2n －6，b n ＝b 1＋(b 2－b 1)＋(b 3－b 2)＋…＋(b n －b n －1)＝8＋(－4)＋(－2)＋…＋(2n －8)＝n 2－7n ＋14(n ∈N *).(8分)(2)b k －a k ＝k 2－7k ＋14－24－k ，当k ≥4时，f (k )＝(k －72)2＋74－24－k 单调递增，且f (4)＝1，所以k ≥4时，f (k )＝k 2－7k ＋14－24－k ≥1.又f (1)＝f (2)＝f (3)＝0，所以，不存在k ∈N *，使得b k －a k ∈(0,1).(12分)19.(本小题满分13分)解：(1)依题意，L (x )＝(x －3)(11－x )2－a (11－x )2＝(x －3－a )(11－x )2，x ∈[7,10].(4分) (2)因为L ′(x )＝(11－x )2－2(x －3－a )(11－x )＝(11－x )(11－x －2x ＋6＋2a )＝(11－x )(17＋2a －3x ). 由L ′(x )＝0，得x ＝[7,10]或x ＝17＋2a3.(6分)因为1≤a ≤3，所以193≤17＋2a 3≤233.①当193≤17＋2a3≤7，即1≤a ≤2时，L ′(x )在[7,10]上恒为负，则L (x )在[7,10]上为减函数，所以[L (x )]max ＝L (7)＝16(4－a ).(9分)②当7<17＋2a 3≤233，即2<a ≤3时，[L (x )]max ＝L (17＋2a 3)＝427(8－a )3.(12分)即当1≤a ≤2时，则每件产品出厂价为7元时，年利润最大，为16(4－a )万元.当2<a ≤3时，则每件产品出厂价为17＋2a 3元时，年利润最大，为427(8－a )3万元.(13分)20.(本小题满分13分)解：(1)当x ，y ∈(0，＋∞)时，有f (xy )＝f (x )＋f (y )，令x ＝y ＝1得f (1)＝2f (1)，得f (1)＝0，所以a 1＝f (1)＋1＝1.(1分) 因为f (12a n ＋1－12a n )＋f (12a n ＋1＋12a n )＝0，所以f (14a 2n ＋1－14a 2n)＝0＝f (1).又因为y ＝f (x )在(0，＋∞)上是单调增函数，所以14a 2n ＋1－14a 2n ＝1，即1a 2n ＋1－1a 2n ＝4，(3分)所以数列{1a 2n }是以1为首项，4为公差的等差数列，所以1a 2n ＝4n －3，所以a n ＝14n －3 .∵a 2n a 2n ＋1＝1(4n －3)(4n ＋1)＝14[14n －3－14n ＋1]， ∴S n ＝14[11－15＋15－19＋…＋14n －3－14n ＋1]＝14[1－14n ＋1].(5分)(2)由于任意x ，y ∈R 都有g (x ＋y )＝g (x )＋g (y )＋2xy ，则g (2x )＝2g (x )＋2x 2， ∴g (1)＝2g (12)＋2·(12)2＝2[2g (14)＋2·(14)2]＋12＝22g (14)＋122＋12＝22[2g (123)＋2·(123)2]＋122＋12＝23g (123)＋123＋122＋12＝…＝2n g (12n )＋12n ＋12n －1＋12n －2＋…＋122＋12＝1，∴g (12n )＝122n ，即b 2n ＝122n . 又b n >0，∴b n ＝12n ，(9分)∴T n ＝12＋122＋…＋12n ＝1－12n ，又4S n ＝1－14n ＋1.当n ＝1,2,3,4时，4n ＋1>2n ，∴4S n >T n ；(10分)当n ≥5时，2n ＝C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C n －1n ＋C nn>1＋2n ＋2n (n －1)2＝1＋n 2＋n . 而n 2＋n ＋1－(4n ＋1)＝n 2－3n ＝n (n －3)>0，故4S n <T n .(13分)(用数学归纳法证明参照计分)21.(本小题满分13分)解：(1)f (x )＝F (1，log 2(x 3＋ax 2＋bx ＋1))＝x 3＋ax 2＋bx ＋1，设曲线C 在x 0(－4<x 0<－1)处有斜率为－8的切线，又由题设知log 2(x 3＋ax 2＋bx ＋1)>0，f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，3x 20+2ax 0+b=-8 ①∴存在实数b 使得 -4<x 0<-1 ② 有解，(3分)x 30+ax 20+bx 0>0 ③由①得b ＝－8－3x 0－2ax 0，代入③得－2x 20－ax 0－8<0， ∴由 2x 20+ax 0+8>0 有解，-4< x 0<-1得2×(－4)2＋a ×(－4)＋8>0或2×(－1)2＋a ×(－1)＋8>0， ∴a <10或a <10，∴a <10.(5分) (2)∵g (x )＝(ln x －1)e x ＋x ，∴g ′(x )＝(ln x －1)′e x＋(ln x －1)(e x)′＋1＝e x x ＋(ln x －1)e x ＋1＝(1x＋ln x －1)e x ＋1.(6分)设h (x )＝1x ＋ln x －1.则h ′(x )＝－1x 2＋1x ＝x －1x 2，当x ∈[1，e]时，h ′(x )≥0.h (x )为增函数，因此h (x )在区间[1，e]上的最小值为ln1＝0，即1x ＋ln x －1≥0.当x 0∈[1，e]时，e x 0>0，1x 0＋ln x 0－1≥0，∴g ′(x 0)＝(1x 0＋ln x 0－1)e x 0＋1≥1>0.(8分)曲线y ＝g (x )在点x ＝x 0处的切线与y 轴垂直等价于方程g ′(x 0)＝0有实数解. 而g ′(x 0)>0，即方程g ′(x 0)＝0无实数解.故不存在实数x 0∈[1，e]，使曲线y ＝g (x )在点x ＝x 0处的切线与y 轴垂直.(9分) (3)证明：令h (x )＝ln(1＋x )x ，x ≥1，由h ′(x )＝x1＋x －ln(1＋x )x 2，又令p (x )＝x1＋x －ln(1＋x )，x ≥0，∴p ′(x )＝1(1＋x )2－11＋x ＝－x (1＋x )2≤0， ∴p (x )在[0，＋∞)上单调递减， ∴当x >0时，有p (x )<p (0)＝0， ∴当x ≥1时，有h ′(x )<0，∴h (x )在[1，＋∞)上单调递减，(11分) ∴当1≤x <y 时，有ln(1＋x )x >ln(1＋y )y，∴y ln(1＋x )>x ln(1＋y )，∴(1＋x )y >(1＋y )x ，∴当x ，y ∈N ，且x <y 时，F (x ，y )>F (y ，x ).(13分)。

湖南省长沙市第一中学高三数学第五次月考 理 新人教A 版【会员独享】时量：120分钟 满分：150分(考试范围：集合、逻辑、算法、函数、导数、三角函数、平面向量与复数、数列、推理与应用、不等式、不等式证明、计数原理、二项式定理、概率)本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共6页。

时量120分钟。

满分150分。

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合A ＝{－2,0,1}，集合B ＝{x ||x |<a 且x ∈Z }，则满足A B 的实数a 可以取的一个值是( )A.3B.2C.1D.02.若(1－2x )4＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4，则|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋|a 4|的值为( ) A.1 B.16 C.81 D.413.如图，设D 是图中边长分别为2和4的矩形区域，E 是D 内位于函数y ＝x 2图象下方的区域(阴影部分)，向D 内随机抛掷30个点，则落在E 内的点的个数约为( )A.15B.20C.5D.104.已知命题p ：“a ＝1是x >0，x ＋a x ≥2的充分必要条件”，命题q ：“x 0∈R ，x 20＋x 0－2>0”，则下列命题正确的是( )A.命题“p ∧q ”是真命题B.命题“p ∧(┐q )”是真命题C.命题“(┐p )∧q ”是真命题D.命题“(┐p )∧(┐q )”是真命题5.已知cos(π6－α)＝33，则sin(5π6－2α)的值为( )A.13B.－13C.23D.－236.已知函数f (x )＝ 2a (x ≥2) 则f (log 45)等于(B)f(x+2)(x<2)， A.2 5 B.4 5 C.3 5 D. 5x-y+2≥07.已知实数x ，y 满足线性约束条件 x+y-4≥0 ，目标函数z ＝y －ax (a ∈R )，若z 取最大2x-y-5≤0值时的唯一最优解是(1,3)，则实数a 的取值范围是( ) A.(0,1) B.(－1,0) C.(1，＋∞) D.(－∞，－1)8.形如45132这样的数称为“波浪数”，即十位数字，千位数字均比它们各自相邻的数字大，则由1、2、3、4、5可构成的数字不重复的五位“波浪数”的概率为( )A.16B.320C.11120D.215二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上.9.幂函数f(x)＝x α(α为常数)的图象经过(3，3)，则f(x)的解析式是 . 10.函数f(x)＝e x ln x －1的零点个数是 个.11.按下图所示的程序框图运算：若输出k ＝2，则输入x 的取值范围是 .12.数列{a n }满足：a 1＝2，a n ＝1－1a n －1(n ＝2,3,4，…)，则a 12＝ .13.已知函数f (x )＝|x －2|，若a ≠0，且a ，b ∈R ，都有不等式|a ＋b |＋|a －b |≥|a |·f (x )成立，则实数x 的取值范围是 .14.在△ABC 中有如下结论：“若点M 为△ABC 的重心，则MA ＋MB ＋MC ＝0”，设a ，b ，c 分别为△ABC 的内角A ，B ，C 的对边，点M 为△ABC 的重心.如果a MA ＋b MB ＋33c MC ＝0，则内角A 的大小为 ；若a ＝3，则△ABC 的面积为 . 15.给定集合A ＝{a 1，a 2，a 3，…，a n }(n ∈N ，n ≥3)，定义a i ＋a j (1≤i <j ≤n ，i ，j ∈N )中所有不同值的个数为集合A 两元素和的容量，用L (A )表示，若A ＝{2,4,6,8}，则L (A )＝ ；若数列{a n }是等差数列，设集合A ＝{a 1， a 2，a 3，…，a m }(其中m ∈N *，m 为常数)，则L (A )关于m 的表达式为 .三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16.(本小题满分12分)若盒中装有同一型号的灯泡共12只，其中有9只合格品，3只次品.(1)某工人师傅有放回地连续从该盒中取灯泡3次，每次取一只灯泡，求2次取到次品的概率；(2)某工人师傅用该盒中的灯泡去更换会议室的一只已坏灯泡，每次从中取一灯泡，若是正品则用它更换已坏灯泡，若是次品则将其报废(不再放回原盒中)，求成功更换会议室的已坏灯泡前取出的次品灯泡只数X 的分布列和数学期望.17.(本小题满分12分)已知函数f(x)＝2sin ωx·cos (ωx ＋π6)＋12(ω>0)的最小正周期为4π.(1)求正实数ω的值；(2)在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且满足2b cos A ＝a cos C ＋c cos A ，求f(A)的值.18.(本小题满分12分)已知数列{a n}的前三项与数列{b n}的前三项对应相等，且a1＋2a2＋22a3＋…＋2n－1a n＝8n 对任意的n∈N*都成立，数列{b n＋1－b n}是等差数列.(1)求数列{a n}与{b n}的通项公式；(2)是否存在k∈N*，使得b k－a k∈(0,1)？请说明理由.19.(本小题满分13分)某化工厂生产某种产品，每件产品的生产成本是3元，根据市场调查，预计每件产品的出厂价为x元(7≤x≤10)时，一年的产量为(11－x)2万件；若该企业所生产的产品全部销售，则称该企业正常生产；但为了保护环境，用于污染治理的费用与产量成正比，比例系数为常数a(1≤a≤3).(1)求该企业正常生产一年的利润L(x)与出厂价x的函数关系式；(2)当每件产品的出厂价定为多少元时，企业一年的利润最大，并求最大利润.20.(本小题满分13分)设函数y＝f(x)的定义域为(0，＋∞)，且在(0，＋∞)上单调递增，若对任意x，y∈(0，＋∞)都有：f(xy)＝f(x)＋f(y)成立，数列{a n}满足：a1＝f(1)＋1，f(12a n＋1－12a n)＋f(12a n＋1＋12a n)＝0.设S n＝a21a22＋a22a23＋a23a24＋…＋a2n－1a2n＋a2n a2n＋1.(1)求数列{a n}的通项公式，并求S n关于n的表达式；(2)设函数g(x)对任意x、y都有：g(x＋y)＝g(x)＋g(y)＋2xy，若g(1)＝1，正项数列{b n}满足：b2n＝g(12n)，T n为数列{b n}的前n项和，试比较4S n与T n的大小.21.(本小题满分13分)定义F (x ，y )＝(1＋x )y ，其中x ，y ∈(0，＋∞).(1)令函数f (x )＝F (1，log 2(x 3＋ax 2＋bx ＋1))，其图象为曲线C ，若存在实数b 使得曲线C 在x 0(－4<x 0<－1)处有斜率为－8的切线，求实数a 的取值范围；(2)令函数g (x )＝F (1，log 2[(ln x －1)e x ＋x ])，是否存在实数x 0∈[1，e]，使曲线y ＝g (x )在点x ＝x 0处的切线与y 轴垂直？若存在，求出x 0的值；若不存在，请说明理由.(3)当x ，y ∈N ，且x <y 时，求证：F (x ，y )>F (y ，x ).数 学(理科) 答 案一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合A ＝{－2,0,1}，集合B ＝{x ||x |<a 且x ∈Z }，则满足A B 的实数a 可以取的一个值是(A)A.3B.2C.1D.02.若(1－2x )4＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4，则|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋|a 4|的值为(C) A.1 B.16 C.81 D.413.如图，设D 是图中边长分别为2和4的矩形区域，E 是D 内位于函数y ＝x 2图象下方的区域(阴影部分)，向D 内随机抛掷30个点，则落在E 内的点的个数约为(D)A.15B.20C.5D.104.已知命题p ：“a ＝1是x >0，x ＋a x ≥2的充分必要条件”，命题q ：“x 0∈R ，x 20＋x 0－2>0”，则下列命题正确的是(C)A.命题“p ∧q ”是真命题B.命题“p ∧(┐q )”是真命题C.命题“(┐p )∧q ”是真命题D.命题“(┐p )∧(┐q )”是真命题5.已知cos(π6－α)＝33，则sin(5π6－2α)的值为(B)A.13B.－13C.23D.－236.已知函数f (x )＝ 2a (x ≥2) 则f (log 45)等于(B)f(x+2)(x<2)， A.2 5 B.4 5 C.3 5 D. 5解：∵1<log 45<2，∴f (log 45)＝f (log 45＋2)＝f (log 480)＝2log 480＝4 5.x-y+2≥07.已知实数x ，y 满足线性约束条件 x+y-4≥0 ，目标函数z ＝y －ax (a ∈R )，若z 取最大2x-y-5≤0值时的唯一最优解是(1,3)，则实数a 的取值范围是(C) A.(0,1) B.(－1,0) C.(1，＋∞) D.(－∞，－1)解：约束条件对应的平面区域如下图，而直线x ＋y －4＝0与x －y ＋2＝0交于点A (1,3)，此时取最大值，故a >1.8.形如45132这样的数称为“波浪数”，即十位数字，千位数字均比它们各自相邻的数字大，则由1、2、3、4、5可构成的数字不重复的五位“波浪数”的概率为(D)A.16B.320C.11120D.215解：当十位与千位是4或5时，共有波浪数为A 22A 33＝12个.当千位是5，十位是3时，万位只能是4，此时共有2个波浪数.当千位是3，十位是5时，末位只能是4.此时共有2个波浪数.故所求概率P ＝12＋2＋2A 55＝215.选择题答题卡题 号 1 2 3 4 5 6 7 8 答 案ACDCBBCD二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上.9.幂函数f(x)＝x α(α为常数)的图象经过(3，3)，则f(x)的解析式是 f(x)＝x 12 .10.函数f(x)＝e x ln x －1的零点个数是 1 个.11.按下图所示的程序框图运算：若输出k ＝2，则输入x 的取值范围是 (28,57] .解：当输出k ＝2时，应满足 2x+1≤115，解得28<x ≤57.2(2x+1)+1>11512.数列{a n }满足：a 1＝2，a n ＝1－1a n －1(n ＝2,3,4，…)，则a 12＝ －1 .解：由已知a 1＝2，a 2＝1－1a 1＝12，a 3＝1－1a 2＝－1，a 4＝1－1a 3＝2，可知{a n }是周期为3的周期数列，则a 12＝a 3×4＝a 3＝－1.13.已知函数f (x )＝|x －2|，若a ≠0，且a ，b ∈R ，都有不等式|a ＋b |＋|a －b |≥|a |·f (x )成立，则实数x 的取值范围是 [0,4] .解：|a ＋b |＋|a －b |≥|a |·f (x )及a ≠0得f (x )≤|a ＋b |＋|a －b ||a |恒成立，而|a ＋b |＋|a －b ||a |≥|a ＋b ＋a －b ||a |＝2，则f (x )≤2，从而|x －2|≤2，解得0≤x ≤4.14.在△ABC 中有如下结论：“若点M 为△ABC 的重心，则MA ＋MB ＋MC ＝0”，设a ，b ，c 分别为△ABC 的内角A ，B ，C 的对边，点M 为△ABC 的重心.如果a MA ＋b MB ＋33c MC ＝0，则内角A 的大小为 π6 ；若a ＝3，则△ABC 的面积为 934 . 解：由a MA ＋b MB ＋33c MC ＝a MA ＋b MB ＋33c (－MA －MB )＝(a －33c )MA ＋(b －33c )MB ＝0. 又MA 与MB 不共线，则a ＝33c ＝b ，由余弦定理可求得cos A ＝32，故A ＝π6. 又S △＝12bc sin A ＝12×3×33×12＝934.15.给定集合A ＝{a 1，a 2，a 3，…，a n }(n ∈N ，n ≥3)，定义a i ＋a j (1≤i <j ≤n ，i ，j ∈N )中所有不同值的个数为集合A 两元素和的容量，用L (A )表示，若A ＝{2,4,6,8}，则L (A )＝ 5 ；若数列{a n }是等差数列，设集合A ＝{a 1，a 2，a 3，…，a m }(其中m ∈N *，m 为常数)，则L (A )关于m 的表达式为 2m －3 .解：①∵2＋4＝6,2＋6＝8,2＋8＝10,4＋6＝10,4＋8＝12,6＋8＝14，∴L (A )＝5.②不妨设数列{a n }是递增等差数列可知a 1<a 2<a 3<…<a m ，则a 1＋a 2<a 1＋a 3<…<a 1＋a m <a 2＋a m <…<a m －1＋a m ，故a i ＋a j (1≤i <j ≤m )中至少有2m －3个不同的数.又据等差数列的性质：当i ＋j ≤m 时，a i ＋a j ＝a 1＋a i ＋j －1； 当i ＋j >m 时，a i ＋a j ＝a i ＋j －m ＋a m ，因此每个和a i ＋a j (1≤i <j ≤m )等于a 1＋a k (2≤k ≤m )中一个， 或者等于a l ＋a m (2≤l ≤m －1)中的一个.故L (A )＝2m －3.三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16.(本小题满分12分)若盒中装有同一型号的灯泡共12只，其中有9只合格品，3只次品.(1)某工人师傅有放回地连续从该盒中取灯泡3次，每次取一只灯泡，求2次取到次品的概率；(2)某工人师傅用该盒中的灯泡去更换会议室的一只已坏灯泡，每次从中取一灯泡，若是正品则用它更换已坏灯泡，若是次品则将其报废(不再放回原盒中)，求成功更换会议室的已坏灯泡前取出的次品灯泡只数X 的分布列和数学期望.解：(1)每次取到一只次品的概率P 1＝C 13C 112＝14，则有放回连续取3次，其中2次取得次品的概率P ＝C 23(14)2·(1－14)＝964.(5分) (2)依题知X 的可能取值为0、1、2、3.(6分) 且P(X ＝0)＝912＝34，P(X ＝1)＝312×911＝944，P(X ＝2)＝312×211×910＝9220，P(X ＝3)＝312×211×110×99＝1220.(8分)则X 的分布列如下表：(10分)EX ＝0×34＋1×944＋2×9220＋3×1220＝310.(12分)17.(本小题满分12分)已知函数f(x)＝2sin ωx·cos (ωx ＋π6)＋12(ω>0)的最小正周期为4π.(1)求正实数ω的值；(2)在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且满足2b cos A ＝a cos C ＋c cos A ，求f(A)的值.解：(1)∵f(x)＝2sin ωx(cos ωx·cos π6－sin ωx·sin π6)＋12(2分)＝3sin ωx cos ωx －sin 2ωx ＋12＝32sin 2ωx －12(1－cos 2ωx)＋12＝sin (2ωx ＋π6).(5分)又f(x)的最小正周期T ＝2π2ω＝4π，则ω＝14.(6分)(2)由2b cos A ＝a cos C ＋c cos A 及正弦定理可得2sin B cos A ＝sin A cos C ＋sin C cos A ＝sin (A ＋C).又A ＋B ＋C ＝π，则2sin B cos A ＝sin B.(8分)而sin B≠0，则cos A ＝12.又A ∈(0，π)，故A ＝π3.(10分)由(1)f(x)＝sin (x 2＋π6)，从而f(A)＝sin (π3×12＋π6)＝sin π3＝32.(12分)18.(本小题满分12分)已知数列{a n }的前三项与数列{b n }的前三项对应相等，且a 1＋2a 2＋22a 3＋…＋2n －1a n ＝8n对任意的n ∈N *都成立，数列{b n ＋1－b n }是等差数列.(1)求数列{a n }与{b n }的通项公式；(2)是否存在k ∈N *，使得b k －a k ∈(0,1)？请说明理由.解：(1)已知a 1＋2a 2＋22a 3＋…＋2n －1a n ＝8n (n ∈N *).① n ≥2时，a 1＋2a 2＋22a 3＋…＋2n －2a n －1＝8(n －1)(n ∈N *).②①－②得2n －1a n ＝8，解得a n ＝24－n ，在①中令n ＝1，可得a 1＝8＝24－1， 所以a n ＝24－n (n ∈N *).(4分)由题意b 1＝8，b 2＝4，b 3＝2，所以b 2－b 1＝－4，b 3－b 2＝－2， ∴数列{b n ＋1－b n }的公差为－2－(－4)＝2， ∴b n ＋1－b n ＝－4＋(n －1)×2＝2n －6， b n ＝b 1＋(b 2－b 1)＋(b 3－b 2)＋…＋(b n －b n －1)＝8＋(－4)＋(－2)＋…＋(2n －8)＝n 2－7n ＋14(n ∈N *).(8分)(2)b k －a k ＝k 2－7k ＋14－24－k ，当k ≥4时，f (k )＝(k －72)2＋74－24－k 单调递增，且f (4)＝1，所以k ≥4时，f (k )＝k 2－7k ＋14－24－k ≥1.又f (1)＝f (2)＝f (3)＝0，所以，不存在k ∈N *，使得b k －a k ∈(0,1).(12分)19.(本小题满分13分)某化工厂生产某种产品，每件产品的生产成本是3元，根据市场调查，预计每件产品的出厂价为x 元(7≤x ≤10)时，一年的产量为(11－x )2万件；若该企业所生产的产品全部销售，则称该企业正常生产；但为了保护环境，用于污染治理的费用与产量成正比，比例系数为常数a (1≤a ≤3).(1)求该企业正常生产一年的利润L (x )与出厂价x 的函数关系式；(2)当每件产品的出厂价定为多少元时，企业一年的利润最大，并求最大利润.解：(1)依题意，L (x )＝(x －3)(11－x )2－a (11－x )2＝(x －3－a )(11－x )2，x ∈[7,10].(4分) (2)因为L ′(x )＝(11－x )2－2(x －3－a )(11－x )＝(11－x )(11－x －2x ＋6＋2a ) ＝(11－x )(17＋2a －3x ). 由L ′(x )＝0，得x ＝11[7,10]或x ＝17＋2a3.(6分)因为1≤a ≤3，所以193≤17＋2a 3≤233.①当193≤17＋2a3≤7，即1≤a ≤2时，L ′(x )在[7,10]上恒为负，则L (x )在[7,10]上为减函数，所以[L (x )]max ＝L (7)＝16(4－a ).(9分)②当7<17＋2a 3≤233，即2<a ≤3时，[L (x )]max ＝L (17＋2a 3)＝427(8－a )3.(12分)即当1≤a ≤2时，则每件产品出厂价为7元时，年利润最大，为16(4－a )万元.当2<a ≤3时，则每件产品出厂价为17＋2a 3元时，年利润最大，为427(8－a )3万元.(13分)20.(本小题满分13分)设函数y ＝f (x )的定义域为(0，＋∞)，且在(0，＋∞)上单调递增，若对任意x ，y ∈(0，＋∞)都有：f (xy )＝f (x )＋f (y )成立，数列{a n }满足：a 1＝f (1)＋1，f (12a n ＋1－12a n )＋f (12a n ＋1＋12a n)＝0.设S n ＝a 21a 22＋a 22a 23＋a 23a 24＋…＋a 2n －1a 2n ＋a 2n a 2n ＋1.(1)求数列{a n }的通项公式，并求S n 关于n 的表达式；(2)设函数g (x )对任意x 、y 都有：g (x ＋y )＝g (x )＋g (y )＋2xy ，若g (1)＝1，正项数列{b n }满足：b 2n ＝g (12n )，T n 为数列{b n }的前n 项和，试比较4S n 与T n 的大小. 解：(1)当x ，y ∈(0，＋∞)时，有f (xy )＝f (x )＋f (y )，令x ＝y ＝1得f (1)＝2f (1)，得f (1)＝0，所以a 1＝f (1)＋1＝1.(1分) 因为f (12a n ＋1－12a n )＋f (12a n ＋1＋12a n )＝0，所以f (14a 2n ＋1－14a 2n)＝0＝f (1).又因为y ＝f (x )在(0，＋∞)上是单调增函数，所以14a 2n ＋1－14a 2n ＝1，即1a 2n ＋1－1a 2n ＝4，(3分)所以数列{1a 2n }是以1为首项，4为公差的等差数列，所以1a 2n ＝4n －3，所以a n ＝14n －3 . ∵a 2n a 2n ＋1＝1(4n －3)(4n ＋1)＝14[14n －3－14n ＋1]， ∴S n ＝14[11－15＋15－19＋…＋14n －3－14n ＋1]＝14[1－14n ＋1].(5分)(2)由于任意x ，y ∈R 都有g (x ＋y )＝g (x )＋g (y )＋2xy ，则g (2x )＝2g (x )＋2x 2， ∴g (1)＝2g (12)＋2·(12)2＝2[2g (14)＋2·(14)2]＋12＝22g (14)＋122＋12＝22[2g (123)＋2·(123)2]＋122＋12＝23g (123)＋123＋122＋12＝…＝2n g (12n )＋12n ＋12n －1＋12n －2＋…＋122＋12＝1，∴g (12n )＝122n ，即b 2n ＝122n . 又b n >0，∴b n ＝12n ，(9分)∴T n ＝12＋122＋…＋12n ＝1－12n ，又4S n ＝1－14n ＋1.当n ＝1,2,3,4时，4n ＋1>2n ，∴4S n >T n ；(10分)当n ≥5时，2n ＝C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C n －1n ＋C n n>1＋2n ＋2n (n －1)2＝1＋n 2＋n . 而n 2＋n ＋1－(4n ＋1)＝n 2－3n ＝n (n －3)>0，故4S n <T n .(13分) (用数学归纳法证明参照计分)21.(本小题满分13分)定义F (x ，y )＝(1＋x )y ，其中x ，y ∈(0，＋∞).(1)令函数f (x )＝F (1，log 2(x 3＋ax 2＋bx ＋1))，其图象为曲线C ，若存在实数b 使得曲线C 在x 0(－4<x 0<－1)处有斜率为－8的切线，求实数a 的取值范围；(2)令函数g (x )＝F (1，log 2[(ln x －1)e x ＋x ])，是否存在实数x 0∈[1，e]，使曲线y ＝g (x )在点x ＝x 0处的切线与y 轴垂直？若存在，求出x 0的值；若不存在，请说明理由.(3)当x ，y ∈N ，且x <y 时，求证：F (x ，y )>F (y ，x ).解：(1)f (x )＝F (1，log 2(x 3＋ax 2＋bx ＋1))＝x 3＋ax 2＋bx ＋1，设曲线C 在x 0(－4<x 0<－1)处有斜率为－8的切线，又由题设知log 2(x 3＋ax 2＋bx ＋1)>0，f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，3x 20+2ax 0+b=-8 ①∴存在实数b 使得 -4<x 0<-1 ② 有解，(3分)x 30+ax 20+bx 0>0 ③由①得b ＝－8－3x 20－2ax 0，代入③得－2x 20－ax 0－8<0， ∴由 2x 20+ax 0+8>0 有解，-4< x 0<-1得2×(－4)2＋a ×(－4)＋8>0或2×(－1)2＋a ×(－1)＋8>0， ∴a <10或a <10，∴a <10.(5分)(2)∵g (x )＝(ln x －1)e x ＋x ，∴g ′(x )＝(ln x －1)′e x ＋(ln x －1)(e x )′＋1＝e x x ＋(ln x －1)e x ＋1＝(1x ＋ln x －1)e x ＋1.(6分)设h (x )＝1x ＋ln x －1.则h ′(x )＝－1x 2＋1x ＝x －1x 2，当x ∈[1，e]时，h ′(x )≥0.h (x )为增函数，因此h (x )在区间[1，e]上的最小值为ln1＝0，即1x ＋ln x －1≥0.当x 0∈[1，e]时，e x 0>0，1x 0＋ln x 0－1≥0，∴g ′(x 0)＝(1x 0＋ln x 0－1)e x 0＋1≥1>0.(8分)曲线y ＝g (x )在点x ＝x 0处的切线与y 轴垂直等价于方程g ′(x 0)＝0有实数解. 而g ′(x 0)>0，即方程g ′(x 0)＝0无实数解.故不存在实数x 0∈[1，e]，使曲线y ＝g (x )在点x ＝x 0处的切线与y 轴垂直.(9分)(3)证明：令h (x )＝ln(1＋x )x ，x ≥1，由h ′(x )＝x1＋x －ln(1＋x )x 2，又令p (x )＝x1＋x －ln(1＋x )，x ≥0，∴p ′(x )＝1(1＋x )2－11＋x ＝－x(1＋x )2≤0，∴p (x )在[0，＋∞)上单调递减，∴当x >0时，有p (x )<p (0)＝0，∴当x ≥1时，有h ′(x )<0，∴h (x )在[1，＋∞)上单调递减，(11分)∴当1≤x <y 时，有ln(1＋x )x >ln(1＋y )y ，∴y ln(1＋x )>x ln(1＋y )，∴(1＋x )y >(1＋y )x ，∴当x ，y ∈N ，且x <y 时，F (x ，y )>F (y ，x ).(13分)。

一、单选题二、多选题1. 已知函数，若时，在处取得最大值，则实数a 的取值范围是（ ）A．B．C．D．2. 已知四棱锥，底面为矩形，点在平面上的射影为的中点.若，，，则四棱锥的表面积等于（）A．B．C．D．3.在等比数列中，，，则（ ）A．B．C．D ．114. 若复数z 满足，则（ ）A．B ．1C．D ．25. 某种产品的广告支出与销售额（单位：万元）之间有下表关系，与的线性回归方程为，当广告支出6万元时，随机误差的效应即离差（真实值减去预报值）为（ ）．245683040607080A ．1.6B ．8.4C ．11.6D ．7.46.已知向量，，若，则（ ）A．B．C．D．7. 已知一个几何体的三视图如图所示，俯视图为等腰三角形，则该几何体的体积为（）A．B．C ．2D．8. 已知椭圆的左、右焦点分别为，过且与轴垂直的直线交椭圆于两点，直线与椭圆的另一个交点为，若，则椭圆的离心率为（ ）A．B．C．D．湖南省长沙市长郡中学、长沙一中、雅礼中学、湖南师大附中2023届高三下学期5月“一起考”数学湖南省长沙市长郡中学、长沙一中、雅礼中学、湖南师大附中2023届高三下学期5月“一起考”数学三、填空题9. 已知双曲线（，）的上、下焦点分别为、，过点且与一条渐近线垂直的直线l 与C 的上支交于点P ，垂足为A，且，O 为坐标原点，则（ ）A ．双曲线C的渐近线方程为B ．双曲线C的离心率为C ．三角形的面积为D ．直线l 被以为直径的圆截得的弦长为10. 如图是2010-2019年这十年我国硕士研究生报考人数统计图，则下列说法正确的是（）A ．2010年以来我国硕士研究生报考人数逐年增多B ．这十年中硕士研究生报考人数的极差超过150万人C ．这十年中，2019年硕士研究生报考人数增速最快D ．这十年中硕士研究生报考人数增速最快的三年分别是2019年，2018年，2017年11. 如图，在三棱锥中，⊥，，D 为AB 的中点，且为等边三角形，，，则下列判断正确的是（）A ．平面SBCB ．平面⊥平面SAC C．D．12. 将函数的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的，再将所得图象向右平移是个单位长度后得到函数的图象，则下列说法正确的是（ ）A ．函数是奇函数B ．函数的一个对称中心是C ．若，则D ．函数的一个对称中心是13.设复数，满足，，则__________．14. 在中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知，则________；若，，点P 是的中点，点M ，N 分别在线段，上，，，则的面积为________.15. 海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象潮汐．一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐．通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近码四、解答题头：卸货后，在落潮时返回海洋．下表是某港口某天的时刻与水深关系的预报，我们想选用一个函数来近似描述这一天港口的水深与时间之间的关系，该函数的表达式为__________________________．已知一条货船的吃水深度（船底与水面的距离）为4米，安全条例规定至少要有2.25米的安全间隙（船底与洋底的距离），则该船可以在此港口停留卸货的时间最长为_____________小时（保留整数）．时刻水深m时刻水深m时刻水深m0：00 5.09：18 2.518：36 5.03：067.512：24 5.021：42 2.56：125.015：307.524：004.016. （本小题满分１2分）　已知ABC 的三个顶点的直角坐标分别为A(3,4)、B(0,0)、Ｃ(c,0) （１） 若c=5，求sin ∠A 的值；（２） 若∠A 为钝角，求c 的取值范围；17. 已知椭圆Γ：的左､右焦点分别为，，点在Γ上，动直线l 交Γ于B ，C 两点，且与y 轴交于点D .当直线l 经过点时，四边形的周长为8.(1)求Γ的标准方程；(2)若是的垂心，求.18. 生产甲乙两种元件，其质量按检测指标划分为：指标大于或者等于82为正品，小于82为次品，现随机抽取这两种元件各100件进行检测，检测结果统计如下：测试指标，，，，，元件甲81240328元件乙71840296（Ⅰ）试分别估计元件甲，乙为正品的概率；（Ⅱ）生产一件元件甲，若是正品可盈利40元，若是次品则亏损5元；生产一件元件乙，若是正品可盈利50元，若是次品则亏损10元．在（Ⅰ）的 前提下（1）记为生产1件甲和1件乙所得的总利润，求随机变量的分布列和数学期望；（2）求生产5件元件乙所获得的利润不少于140元的概率．19. 已知点，动点到直线的距离与动点到点的距离之比为.（1）求动点的轨迹的方程；（2）过点作任一直线交曲线于，两点，过点作的垂线交直线于点，求证：平分线段.20. 黄河鲤是我国华北地区的主要淡水养殖品种之一，其鳞片金黄、体形梭长，尤以色泽鲜丽、肉质细嫩、气味清香而著称．为研究黄河鲤早期生长发育的规律，丰富黄河鲤早期养殖经验，某院校研究小组以当地某水产养殖基地的黄河鲤仔鱼为研究对象，从出卵开始持续观察20天，试验期间，每天固定时段从试验水体中随机取出同批次9尾黄河鲤仔鱼测量体长，取其均值作为第天的观测值（单位：），其中，．根据以往的统计资料，该组数据可以用Logistic 曲线拟合模型或Logistic 非线性回归模型进行统计分析，其中a ，b ，u 为参数．基于这两个模型，绘制得到如下的散点图和残差图：(1)你认为哪个模型的拟合效果更好？分别结合散点图和残差图进行说明：(2)假定，且黄河鲤仔鱼的体长与天数具有很强的相关关系．现对数据进行初步处理，得到如下统计量的值：，，，，，，其中，，根据（1）的判断结果及给定数据，求关于的经验回归方程，并预测第22天时仔鱼的体长（结果精确到小数点后2位）．附：对于一组数据，，…，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，；参考数据：．21. 第24届冬季奥林匹克运动会（The XXIV Olympic Winter Games），即2022年北京冬季奥运会，是由中国举办的国际性奥林匹克赛事，于2022年2月4日开幕，2月20日闭幕．2022年北京冬季奥运会共设7个大项，15个分项，109个小项．北京赛区承办所有的冰上项目，延庆赛区承办雪车、雪橇及高山滑雪项目，张家口赛区承办除雪车、雪橇及高山滑雪之外的所有雪上项目．为调查学生对冬季奥运会项目的了解情况，某中学进行了一次抽样调查，统计得到以下列联表．了解不了解合计男生60200女生110200合计(1)完成列联表，并判断有超过多大的把握认为该校学生对冬季奥运会项目的了解情况与性别有关；(2)为弄清学生不了解冬季奥运会项目的原因，按照性别采用分层抽样的方法、从样本中不了解冬季奥运会项目的学生中随机抽取5人，再从这5人中抽取2人进行面对面交流，求“男、女生各抽到一名”的概率．附表：0.0250.0100.0050.0015.0246.6357.87910.828附：．。

2025届长沙市一中高三数学上学期11月考试卷时量：120分钟满分：150分一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.若复数z 满足1i34i z +=-，则z =（）A.5B.25C.5D.22.已知数列{}n a 的前n 项和22n S n n =-，则345a a a ++等于（）A.12B.15C.18D.213.抛物线24y x =的焦点坐标为（）A .(1,0)B.(1,0)-C.1(0,)16-D.1(0,164.如图是函数()sin y x ωϕ=+的部分图象，则函数的解析式可为（）A.πsin 23y x ⎛⎫=-⎪⎝⎭B.πsin 3y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭C.πsin 26y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ D.5πcos 26y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭5.1903年，火箭专家、航天之父康斯坦丁・齐奥尔科夫斯基就提出单级火箭在不考虑空气阻力和地球引力的理想情况下的最大速度v 满足公式：1201lnm m v v m +=，其中12,m m 分别为火箭结构质量和推进剂的质量，0v 是发动机的喷气速度.已知某单级火箭结构质量是推进剂质量的2倍，火箭的最大速度为8km /s ，则火箭发动机的喷气速度为（）（参考数据：ln20.7≈，ln3 1.1,ln4 1.4≈≈）A.10km /sB.20km /sC.80km /s 3D.40km /s6.若83cos 5αβ+=，63sin 5αβ=，则()cos αβ+的值为（）A.54-B.4C.4-D.47.如图，一个质点从原点O 出发，每隔一秒随机向左或向右移动一个单位长度，向左的概率为23，向右的概率为13，共移动4次，则该质点共两次到达1的位置的概率为（）A.427B.827C.29D.498.设n S 为数列的前n 项和，若121++=+n n a a n ，且存在*N k ∈，1210k k S S +==，则1a 的取值集合为（）A.{}20,21-B.{}20,20-C.{}29,11- D.{}20,19-二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，至少有两项是符合题目要求，若全部选对得6分，部分选对得部分分，选错或不选得0分）9.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点E ，F 分别为1AD ，DB 的中点，则下列说法正确的是（）A.直线EF 与11D B 为异面直线B.直线1D E 与1DC 所成的角为60oC.1D F AD⊥ D.//EF 平面11CDD C 10.已知P 是圆22:4O x y +=上的动点，直线1:cos sin 4l x y θθ+=与2:sin cos 1l x y θθ-=交于点Q ，则（）A .12l l ⊥ B.直线1l 与圆O 相切C.直线2l 与圆O 截得弦长为D.OQ 11.已知三次函数()32f x ax bx cx d =+++有三个不同的零点1x ，2x ，()3123x x x x <<，函数()()1g x f x =-也有三个零点1t ，2t ，()3123t t t t <<，则（）A.23b ac>B.若1x ，2x ，3x 成等差数列，则23b x a=-C.1313x x t t +<+D.222222123123x x x t t t ++=++三、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分）12.已知随机变量X 服从二项分布(),B n p ，若()3E X =，()2D X =，则n =_____.13.已知平面向量a ，b 满足2a = ，1= b ，且b 在a上的投影向量为14a - ，则ab + 为______.14.如图，已知四面体ABCD 的体积为32，E ，F 分别为AB ，BC 的中点，G ，H 分别在CD ，AD 上，且G ，H 是靠近D 点的四等分点，则多面体EFGHBD 的体积为_____.四、解答题（本大题共5个小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15.设ABC V 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin cos 0a B A =.（1）求A ；（2）若sin sin 2sin B C A +=，且ABC V a 的值.16.设()()221ln 2f x x ax x x =++，a ∈R .（1）若0a =，求()f x 在1x =处的切线方程；（2）若a ∈R ，试讨论()f x 的单调性.17.已知四棱锥P ABCD -，底面ABCD 为菱形，,PD PB H =为PC 上的点，过AH 的平面分别交,PB PD 于点,M N ，且BD ∥平面AMHN ．（1）证明：MN PC ⊥；（2）当H 为PC 的中点，,PA PC PA ==与平面ABCD 所成的角为60︒，求平面PAM 与平面AMN 所成的锐二面角的余弦值．18.已知双曲线22:13y x Γ-=的左、右焦点为1F ，2F ，过2F 的直线l 与双曲线Γ交于A ，B 两点.（1）若AB x ⊥轴，求线段AB 的长；（2）若直线l 与双曲线的左、右两支相交，且直线1AF 交y 轴于点M ，直线1BF 交y 轴于点N .（i ）若11F AB F MN S S = ，求直线l 的方程；（ii ）若1F ，2F 恒在以MN 为直径的圆内部，求直线l 的斜率的取值范围.19.已知{}n a 是各项均为正整数的无穷递增数列，对于*k ∈N ，设集合{}*k i B i a k =∈<N ∣，设k b 为集合k B 中的元素个数，当k B =∅时，规定0k b =.（1）若2n a n =，求1b ，2b ，17b 的值；（2）若2n n a =，设n b 的前n 项和为n S ，求12n S +；（3）若数列{}n b 是等差数列，求数列{}n a 的通项公式.。

高三月考试卷（五）理 科 数 学命题：长沙市一中高三数学备课组时量：120分钟 满分：150分一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的）1．设b a ,是非零向量，则“||||b a b a -=+”是“b a ⊥”的 （ ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件2．函数122)(log 1)(+-=+=x x g x x f 与在同一直角坐标系下的图象大致是 （ ）3．如图，平面内的两条相交直线1OP 和2OP 将该平面分割成四个部分I 、II 、III 、Ⅳ（不包含边界）。

设21n m +=，且点P 落在第III 部分，则实数m ，n 满足 （ ）A ．00n ＞m ＞，B ．00n ＜m ＞，C ．00n ＞m ＜，D ．00n ＜m ＜，4．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点P 在线段AD 1上运动，则异面直线CP 与BA 1所成的角θ的取值范围是 （ ） A ．]2,0(πB ． )2,0(πC ． ]3,0(πD ． ]4,0(π5．若动圆的圆心在的抛物线y x 122=上，且与直线t+3=0相切，则此圆恒过定点 （ ）A ．（0，－3）B ．（0，3）C ．（0，2）D ．（0，6）6．各项均为正数的等比数列}{n a 的前n 项和为n S ，若14,23==n n S S ，则n S 4等于 （ ） A ．16B ．26C ．30D ．807．已知函数x x f ωsin )(=在[0，4π]上单调递增，且在这个区间上的最大值为23，则实数ω 的一个值可以是 （ ） A ．32B ．34 C ．38 D ．310 8．能够使圆014222=++-+y x y x 恰有两个点到直线02=++c y x 距离等于1的c 的 一个值为 （ ） A ．5B ．53C ．2D ．39．已知函数⎩⎨⎧>-≤-=-)0()1()0(12)(x x f x x f x ，若方程a x x f +=)(有且只有两个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是 （ ） A ．]0,(-∞ B ．]1,(-∞ C ．]1,0[D ．[)+∞,010．设M 是ABC ∆内一点，且32=⋅，BAC ∠=30°.定义),,()(p n m M f =，其中p n m 、、分别是ABC ∆，MCA ∆，MAB ∆的面积.若),,21()(y x P f =，则yx 41+的最小值是 （ ）A ．18B ．16D ．9D ．8选择题答题卡二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填写在答题卷中对应题号的横线上） 11．已知的值是则)4tan(,53)sin(),,2(ππππα+=-∈a a . 12．不等式01||2<--x x 的解集是 .13．已知2)21(,105302-+⎪⎩⎪⎨⎧≥≥+-≤-y x y y x y x 则的最大值是 8 。

长沙市一中201X 届高三月考试卷(五)数 学(文科)(考试范围：集合、逻辑用语、函数、导数、三角函数、 平面向量与复数、数列、不等式、概率统计、立体几何)本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共6页。

时量120分钟。

满分150分。

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知命题p ：“x ∈R ，x 2＋1>0”；命题q ：“x ∈R ，sin x ＝2”则下列判断正确的是 ( )A.p 或q 为真，非p 为真B. p 或q 为真，非p 为假C.p 且q 为真， 非p 为真D.p 且q 为真，非p 为假 2.要得到一个奇函数，只需将函数f (x )＝sin(x －π3)的图象( )A.向右平移π6个单位B.向右平移π3个单位C.向左平移π6个单位D.向左平移π3个单位3.函数f (x )＝2x －3x的零点所在区间为 ( )A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)4.甲乙两位同学在高三的5次月考中数学成绩统计如茎叶图所示，若甲乙两人的平均成绩分别是x 甲，x 乙，则下列判断正确的是 ( )A. x 甲>x 乙， 且乙比甲成绩稳定B. x 甲>x 乙，且甲比乙成绩稳定C.x 甲<x 乙， 且乙比甲成绩稳定D.x 甲<x 乙， 且甲比乙成绩稳定5.如右图是一个简单空间几何体的三视图，其主视图与左视图都是边长为2的正三角形，其俯视图轮廓为正方形，则其体积是 ( )A.36B.4 3C.433D.836.设α、β为两个不同的平面，m 、n 为两条不同的直线，则以下判断不正确．．．的是 ( )A.若α∥β，m ⊥α，则m ⊥βB.若m ⊥α，n ⊥α，则m ∥nC.若α⊥β，α∩β＝n ，m α，m ⊥n ，则m ⊥βD.若m α，n α，m ∥β，n ∥β，则α∥β7.下列图象中有一个是函数f (x )＝13x 3＋ax 2＋(a 2－1)x ＋1(a ∈R ，a ≠0)的导函数f ′(x )的图象，则f (－1)＝( )A.13B.－13C.53D.－538.已知正项等比数列{a n }满足：a 7＝a 6＋2a 5，若存在两项a m ，a n 使得a m a n ＝4a 1，则1m ＋4n的最小值为( ) A.32 B.53 C.256D.不存在 选择题答题卡二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上.9.函数y ＝2－x ＋log 3(1＋x)的定义域为 .10.学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况，抽取了一个容量为100的样本，其频率分布直方图如图所示，则据此估计支出在[50,60)元的同学的概率为.11.在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知B ＝π3，a ＝3，c ＝2，则△ABC 的面积为______.12.若向量a 、b 满足a ＋b ＝(2，－1)，a ＝(1,2)，则向量a 与b 的夹角等于 . 13.如图，在正方体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，异面直线BD 与B ′C 所成角为 ；直线A ′C与平面ABCD 所成角的正弦值为 .x-y ≥014.满足约束条件 x+y ≤2 的点P (x ，y )所在区域的面积等于 .x+2y ≥215.若函数y ＝f (x )(x ∈D )同时满足下列条件：(1)f (x )在D 内为单调函数；(2)f (x )的值域为D 的子集，则称此函数为D 内的“保值函数”.已知函数f (x )＝a x ＋b －3ln a，g (x )＝ax 2＋b .①当a ＝2时，f (x )＝a x ＋b －3ln a 是[0，＋∞)内的“保值函数”，则b 的最小值为 ；②当－1≤a ≤1，且a ≠0，－1≤b ≤1时，g (x )＝ax 2＋b 是[0,1]内的“保值函数”的概率为 .三、解答题：本大题共6小题，共75分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16. (本小题满分12分)已知sin(π－α)＝45，α∈(0，π2).(1)求sin2α－cos 2α2的值；(2)求函数f (x )＝56cos αsin2x －12cos2x 的单调递增区间.17. (本小题满分12分)为了更好的开展社团活动，丰富同学们的课余生活，现用分层抽样的方法从“模拟联合国”， “街舞”， “动漫”，“话剧”四个社团中抽取若干人组成校社团指导小组，有关数据见下表(单位：人)(1)求a ，b ，c 的值；(2)若从“动漫”与“话剧”社团已抽取的人中选2人担任指导小组组长，求这2人分别来自这两个社团的概率.18. (本小题满分12分)如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是边长为a 的正方形，E 、F 分别为PC 、BD 的中点，侧面PAD ⊥底面ABCD ，且PA ＝PD ＝22AD. (1)求证：EF ∥平面PAD ； (2)求证：PA ⊥平面PCD.19. (本小题满分13分)某造船公司年造船量最多20艘，已知造船x 艘的产值函数为R (x )＝3700x ＋45x 2－10x 3(单位：万元)，成本函数为C (x )＝460x ＋500(单位：万元).(1)求利润函数p (x )；(提示：利润＝产值－成本)(2)问年造船量安排多少艘时，可使公司造船的年利润最大？(3)在经济学中，定义函数f (x )的边际函数Mf (x )＝f (x ＋1)－f (x ).求边际利润函数Mp (x )，并求Mp (x )单调递减时x 的取值范围；试说明Mp (x )单调递减在本题中的实际意义是什么？(参考公式：(a ＋b )3＝a 3＋3a 2b ＋3ab 2＋b 3)20.(本小题满分13分)已知点列B 1(1，b 1)，B 2(2，b 2)，…，B n (n ，b n )，…(n ∈N )顺次为抛物线y ＝14x 2上的点，过点B n (n ，b n )作抛物线y ＝14x 2的切线交x 轴于点A n (a n,0)，点C n (c n,0)在x 轴上，且点A n ，B n ，C n 构成以点B n 为顶点的等腰三角形.(1)求数列{a n }，{c n }的通项公式；(2)是否存在n 使等腰三角形A n B n C n 为直角三角形，若有，请求出n ；若没有，请说明理由.(3)设数列{1a n ·(32＋c n )}的前n 项和为S n ，求证：23≤S n <43.21.(本小题满分13分)已知函数f (x )＝x (x －a )(x －b )，点A (s ，f (s ))，B (t ，f (t )).(1)若a ＝0，b ＝3，函数f (x )在(t ，t ＋3)上既能取到极大值，又能取到极小值，求t 的取值范围；(2)当a ＝0时，f (x )x ＋ln x ＋1≥0对任意的x ∈[12，＋∞)恒成立，求b 的取值范围；(3)若0<a <b ，函数f (x )在x ＝s 和x ＝t 处取得极值，且a ＋b <23，O 是坐标原点，证明：直线OA 与直线OB 不可能垂直.数 学(文科)答案 选择题答题卡二、.9. (－1,2] .10. 0.30 11. 32 .12. 135° . 13 33 .14. 13 .15.① 2 ；②14. 三、解答题：本大题共6小题，共75分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16. (本小题满分12分)解：(1)∵sin(π－α)＝45，∴sin α＝45，又∵α∈(0，π2)，∴cos α＝35， (2分)∴sin2α－cos 2α2＝2sin αcos α－1＋cos α2＝2×45×35－1＋352＝425，(6分)(2)f (x )＝56×35sin2x －12cos2x ＝22sin(2x －π4)，(9分)令2k π－π2≤2x －π4≤2k π＋π2，得k π－π8≤x ≤k π＋3π8，k ∈Z .(11分)∴函数f (x )的单调递增区间为[k π－π8，k π＋3π8]，k ∈Z .(12分)17. (本小题满分12分)解：(1)由表可知抽取比例为16，故a ＝4，b ＝24，c ＝2. (4分)(2)设“动漫”4人分别为：A 1，A 2，A 3，A 4；“话剧”2人分别为：B 1，B 2.则从中任选2人的所有基本事件为：(A 1，A 2)，(A 1，A 3)，(A 1，A 4)，(A 2，A 3)，(A 2，A 4)，(A 3，A 4)，(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 3，B 1)，(A 3，B 2)，(A 4，B 1)，(A 4，B 2)， (B 1，B 2)共15个， (8分)其中2人分别来自这两个社团的基本事件为：(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 3，B 1)，(A 3，B 2)，(A 4，B 1)，(A 4，B 2)共8个， (10分)所以这2人分别来自这两个社团的概率P ＝815. (12分)18. (本小题满分12分)解：(1)证明：连结AC ，则F 是AC 的中点，E 为PC 的中点 故在△CPA 中， EF//PA ， (3分) 且平面PAD ，平面PAD ，∴EF ∥平面PAD. (6分)(2)证明：因为平面PAD ⊥平面ABCD ， 平面PAD∩平面ABCD ＝AD ， 又CD ⊥AD ，所以，CD ⊥平面PAD ，∴CD ⊥PA ， (9分) 又PA ＝PD ＝22AD ，所以△PAD 是等腰直角三角形， 且∠APD ＝π2， 即P A ⊥PD ， (11分)又CD ∩PD ＝D ， ∴P A ⊥平面PCD . (12分)19. (本小题满分13分)解：(1)p (x )＝R (x )－C (x )＝3700x ＋45x 2－10x 3－460x －500 ＝－10x 3＋45x 2＋3240x －500，(x ∈N ，1≤x ≤20) (3分)(2)p ′(x )＝－30x 2＋90x ＋3240＝－30(x －12)(x ＋9)， (6分)∴当0<x <12时，p ′(x )＞0，当x ＜12时，p ′(x )＜0.∴x ＝12时，p (x )有最大值. 即年造船量安排12 艘时，可使公司造船的年利润最大. (8分) (3)∵Mp (x )＝p (x ＋1)－p (x )＝－10(x ＋1)3＋45(x ＋1)2＋3240(x ＋1)－500－(－10x 3＋45x 2＋3240x －500) ＝－30x 2＋60x ＋3275＝－30(x －1)2＋3305，(x ∈N *,1≤x ≤19)所以，当x ≥1时，Mp (x )单调递减，x 的取值范围为[1,19]，且x ∈N . (11分) Mp (x )是减函数的实际意义：随着产量的增加，每艘船的利润在减少.(13分)20.(本小题满分13分)解：(1)∵y ＝14x 2，∴y ′＝x 2， y ′|x ＝n ＝n 2， 则点B n (n ，b n )作抛物线y ＝14x 2的切线方程为：y －n 24＝n 2(x －n )，令y ＝0，则x ＝n 2，即a n ＝n2；(3分)∵点A n ，B n ，C n 构成以点B n 为顶点的等腰三角形，则：a n ＋c n ＝2n ，∴c n ＝2n －a n ＝3n 2(5分)(2)若等腰三角形A n B n C n 为直角三角形，则|A n C n |＝2b nn ＝n 22n ＝2，∴存在n ＝ 2，使等腰三角形A 2B 2C 2为直角三角形 (9分)(3)∵1a n ·(32＋c n )＝1n 2(32＋3n 2)＝134n (n ＋1)＝43(1n －1n ＋1)(11分) ∴S n ＝43(1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1)＝43(1－1n ＋1)<43又1－1n ＋1随n 的增大而增大，∴当n ＝1时S n 的最小值为：43(1－11＋1)＝23，∴23≤S n <43(13分)21.(本小题满分13分)解：(1)当a ＝0，b ＝3时f (x )＝x 3－3x 2，∴f ′(x )＝3x 2－6x ，∴f (x )在(－∞，0)和(2，＋∞)上递增，在(0,2)上递减， (2分) 所以f (x )在0和2处分别达到极大和极小，由已知有t <0且t ＋3>2，因而t 的取值范围是(－1,0). (4分) (2)当a ＝0时，f (x )x ＋ln x ＋1≥0即x 2－bx ＋ln x ＋1≥0可化为x ＋ln x x ＋1x ≥b ，记g (x )＝x ＋ln x x ＋1x (x ≥12)，则g ′(x )＝1＋1－ln x x 2－1x 2＝x 2－ln xx 2.(6分)记m (x )＝x 2－ln x ，则m ′(x )＝2x －1x ，∴m (x )在(12，22)上递减，在(22，＋∞)上递增.∴m (x )≥m (22)＝12－ln 22>0 从而g ′(x )>0，∴g (x )在[12，＋∞)上递增因此g (x )min ＝g (12)＝52－2ln2≥b ，故b ≤52－2ln2. (9分)(3)假设OA ⊥OB ，即OA ·OB ＝(s ，f (s ))·(t ，f (t ))＝st ＋f (s )f (t )＝0 故(s －a )(s －b )(t －a )(t －b )＝－1，[st －(s ＋t )a ＋a 2][st －(s ＋t )b ＋b 2]＝－1 由s ，t 为f ′(x )＝0的两根可得，s ＋t ＝23(a ＋b )，st ＝ab3，(0<a <b )从而有ab (a －b )2＝9 (11分) (a ＋b )2＝(a －b )2＋4ab ＝9ab＋4ab ≥236＝12即a ＋b ≥23，这与a ＋b <23矛盾.故直线OA 与直线OB 不可能垂直. (13分)。

长沙市一中-高三第五次月考理科数学一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共50分）1．设全集U = R ，集合M = {x | x ＞1}，N = { x | | x |＞1}，则下列关系正确的是（ ）A ．M = PB ．M NC ．N MD ．(CUM)∩N = φ【答案】B2．等差数列{}n a 中，若a 1 + a 2 + a 3 + a 4 + a 5 = 20，则a 3 = （ ）A ．4B ．5C ．6D ．7【解析】由等差数列的性质将已知等式化为5a 3 = 20，∴a 3 = 4，∴选A ． 3．已知向量a = (3，4)，b = (sin α，cos α)，若a ∥b ，则tan α= （ ）A ．34B ．–34C ．43D ．–43【答案】A4．若函数f (x ) = 122log x 的值域是[– 1，1]，则f – 1 (x )的值域是（ ）A ．[– 1，1]B ．22] C ．[12，2]D ．（–∞，2]∪[2，+∞）【解析】即求原函数的定义域，由– 1≤122log x ≤12⇒≤x 2B ． 5．已知两条不同轴直线l 1和l 2及平面α，则直线l 1∥l 2的一个充分条件是（ ）A ．l 1∥α且l 2∥αB ．l 1、l 2和平面α所成角相等C ．l 1∥α且l 2 αD ．l 1⊥α且l 2⊥α【答案】D6．若点P 到定点（0，10）与到定直线y =185的距离之比是53，则点P 的轨迹方程是（ ） A ．221926x y +=B ．221926y x +=C ．2213664x y -=D ．2213664y x -=⊂≠⊂≠ ⊂≠【解析】根据双曲线的定义知，P 点的轨迹是焦点在y 轴上的双曲线，∴选D ． 7．若A 、B 、C 为△ABC 的三个内角，且A ＜B ＜C (C ≠2π)则下列结论中正确的是（ A ） A ．sin A ＜sin CB ．cot A ＜cot CC ．tan A ＜tan CD ．cos A ＜cos C【解析】∵A ＜C ∴a ＜c ∴sin sin C cA a=＞1 ∴sin C ＞sin A ． 8．设A 、B 、C 、D 是空间四个不同的点，在下列命题中，不正确的是（ ）A ．若AC 与BD 共面，则AD 与BC 共面B ．若AC 与BD 是异面直线，则AD 与BC 是异面直线 C ．若AB = AC ，DB = DC ，则AD = BC D ．若AB = AC ，DB = DC ，则AD ⊥BC【解析】A 、B 都正确，在D 中，取BC 中点M ，易证BC ⊥平面AMD ， ∴BC ⊥AB ，∴选C ．9．设a ＞0，b ＞0，且a 2 + b 2 = a + b ，则a + b 的最大值是（ ）A ．12 B ．14C ．2D ．1 【解析】C ∵2ab ≤2()2a b + ∴a + b = a 2 + b 2 = (a + b )2 – 2ab ≥ (a + b )2 –2()2a b +即 (a + b )2 ≤ 2 (a + b ) 又a ＞0，b ＞0 ∴a + b ＞0 ∴a + b ≤2 ∴选C ． 10．在棱长为2的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，O 是底面ABCD的中心，M 、N 分别是棱DD 1、D 1C 1的中点，则直线OM （ ）A ．与AC 、MN 均垂直相交B ．与AC 垂直，与MN 不垂直 C ．与MN 垂直，与AC 不垂直D ．与MN ，AC 均不垂直【解析】由三垂定理可证OM ⊥AC ，由勾股定理逆定理可证OM ⊥MN ，∴选A ． 二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11．若直线ax + y – 1 = 0与直线4x + (a – 5) y – 2 = 0垂直，则实数a 的值等于 1 ．【解析】由已知4a + 1×(a – 5) = 0 ∴a = 1． 12．设函数f (x ) = a –|x | (a ＞0且a ≠1)若f (2) = 4，则a =12，f (–2)与f (1)的大小关系是 f (–2) ＞f A BCDA B CDD 1C 1B 1A 1M N O·· ·(1) ．【解析】由f (2) = a –2 = 4，解得a = 12，∴f (x ) = 2|x | ∴f (–2) = 4＞2 = f (1)． 13．不查表求值2cos10sin 20cos 20︒-︒︒3．【解析】原式 =2cos(3020)sin 203cos 203cos 20︒-︒-︒︒==︒14．已知空间四边形ABCD 中，AB = CD = 3，E 、F 分别为BC 、AD 上的点，且12BE AF EC FD ==，EF 7AB 和CD 所成的角的大小是 60° ．【解析】作FH ∥AB 交BD 于H ，则12BH AF HD FD ==，∴HF DHAB BD=， ∴HF = 23AB = 2，在△HEF 中1cos 2EHF ∠=-，∴∠EHF 的补角60°为AB 、CD 所成角．15．对任意x ∈R ，若关于x 的不等式ax 2 – |x + 1| + 2a ≥0恒成立，则实数a 的取值范围是31[)++∞．【解析】原不等式化为a ≥2|1|2x x ++恒成立，令f (x ) = 2|1|2x x ++则a ≥max ()f x 令t = x + 1则，f (x ) = g (t ) =2||23t t t -+①当t = 0时，g (0) = 0；②当t ＞0时，max31()(3)g t g +== ③当t ＜0时，max 31()(3)g t g -=-=，∴max ()f x =max 31()g t +=，∴a 31+． 三、解答题（本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16．（本小题满分12分）已知函数f (x ) = a (22sin sin 2xx +) + b ． （1）当a = 1时，求f (x )的单调递减区间；（2）当a ＜0时，f (x )在[0，π]上的值域是[2，3]，求a ，b 的值． 【解析】（1）当a = 1时， f (x ) = 22sin sin 2x x ++ b = sin cos 12)14x x b x b π-++=-++……2分 由2k π+32242x k ππππ≤-≤+得372244k x k ππππ+≤≤+，∴f (x )的递减区间是[372,244k k ππππ++]（k ∈Z ）．……5分 A F DE· ·（2）f (x 2sin()4a x ab π-++，∵x ∈[0，π]，∴3444x πππ-≤-≤，∴2sin()14x π≤-≤……8分 ∵a ＜02()a a b f x b ++≤≤ ∵f (x ) 的值域是[2，3]2 + a + b = 2且b = 3 ∴a = 12b = 3．……10分 17．（本小题满分12分）如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC = 90°，AB = a ， AD = 3a ，且∠ADC = arc sin5P A ⊥平面ABCD ，P A = a ． （1）求二面角P —CD —A 的大小； （2）求点D 到平面PBC 的距离．【解析】（1）作AG ⊥CD 于G ，连结PG ∵P A ⊥底面BCDA ，∴PG ⊥CD (三垂线定理)∴∠PGA 是二面角P —CD —A 的平面角．……2分 ∵AG = AD sin ∠ADC 35a ，tan ∠PGA = PAAG 5∴∠PGA = arc tan53．即所求二面角的大小为arc tan 53．……6分 （2）∵AD ∥BC ∴AD ∥面PBC ．∴AD 上任意一点到平面PBC 的距离，就是点D 到平面PBC 的距离．作AH ⊥PB 于H ．∵P A ⊥面BCDA ∴P A ⊥BC 又∵BC ⊥AB ∴BC ⊥平面P AB ∴BC ⊥AH ． ∵PB ∩BC = B ∴AH ⊥平面PBC ．即AH 为A 到平面PBC 的距离．……10分 ∵△P AB 为等腰直角三角形．∴AH =22a ． ∴点D 到平面PBC 2a ．……12分 BCD PAB CD GPHA18．（本小题满分12分）已知抛物线顶点在原点，焦点F 是圆x 2 + y 2 – 4x + 3 = 0的圆心． （1）求抛物线的标准方程；（2）若存在过圆心F 的直线l 与抛物线及圆顺次交于A 、B 、C 、D ，且使|AB |、2|BC |、|CD |成等差数列；求直线l 的方程．【解析】∵圆方程化为(x – 2)2 + y 2 = 1，∴圆心F （2，0）（1）∵抛物线顶点在原点、焦点为（2，0），……1分 ∴抛物线标准方程为y 2 = 8x ．……3分（2）依题意： |AB | + |CD | = 4|BC | = 8，|AD | = |AB | + |BC | + |CD | = 8 + 2 = 10．① 当l 的斜率不存在时，l ⊥x 轴，此时|AD | = 2p = 8，不合题意；……5分②当l 的斜率存在时，设l 的方程为y = k (x – 2)，A (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，由2(2)8y k x y x=-⎧⎨=⎩消y 得2222(48)4k x k x k -++= 0 ……8分∴x 1 + x 2 = 2248k k +由抛物线的定义知|AD | = |AF | + |DF | = x 1 + x 2 + p =2248k k ++ 4 = 28k+ 8∴28k + 8 = 10解得k = ±2．∴l 的方程为y = ±2（x – 2）．……12分 19．（本小题满分13分）用一块长为a ，宽为b (a ＞b )的矩形木块，在二面角为θ (0＜θ＜π)的墙角处围出一个直三棱柱的储物仓(使木板垂直于地面，两边与墙面贴紧，另一边与地面贴紧)，试问怎样围才能使储物仓的容积最大？并求出这个最大值．【解析】（1）若使矩形木板长边贴紧地面，即AB = CD = a ，AD = BC = b ，设P A = x ，PB = y ，则a 2 = x 2 + y 2 – 2xy cos θ≥2xy – 2xy cos θ．∴xy ≤22(1cos )a θ- (当且仅当x = y 时取等号) ．……5分yxDABC F Ol· ABCD QPθ这时容积V 1 = (12xy sin θ)·b ≤2sin 4(1cos )a b θθ- = 14a 2b cot 2θ．……8分（2）若使矩形木板短边贴紧地面，则同理可得xy ≤22(1cos )b θ-．这时容积V 2 = (12xysin θ)·a ≤14ab 2 cot 2θ ∵a ＞b ＞0，cot 2θ＞0 ∴V 1＞V 2．……12分 【答案】当矩形木板的长边紧贴地面，且所围储物仓的底面是以a 为底的等腰三角形时，储物仓的容积最大，最大值为14a 2b cot 2θ．……13分 20．（本小题13分）已知数列{a n }的前n 项和S n = 2a n – 3×2n + 4 (n ∈N *) （1）求数列{a n }的通项公式a n ；（2）设T n 为数列{S n – 4}的前n 项和，试比较T n 与14的大小． 【解析】（1）由a 1 = S 1 = 2a 1 – 3×2 + 4得a 1 = 2，……1分由已知，得S n + 1 – S n = 2 (a n + 1 – a n ) – (2n + 1 – 2n ) 即a n + 1 = 2a n + 3×2n 两边同除以2n + 1得113222n n n n a a ++=+即113222n n n n a a ++-= ∴数列{2n na }是以12a = 1为首项，32为公差的等差数列．……4分 ∴2n na = 1 + (n – 1) ×32 即a n = (32n – 12)2n ，n ∈N *．……6分 （2）∵S n – 4 = 2a n – 3×2n = (3n – 4)·2n ．∴T n = –1×2 + 2·22 + 5·23 + …+ (3n – 4)·2n ① 2T n = –1×22 + 2×23 + … + (3n – 7)·2n + (3n – 4)·2n + 1 ② ① – ②得 –T n = –2 + 3(22 + 23 + …+2n ) – (3n – 4)·2n + 1= –2 + 3×212(21)21n --- – (3n – 4)·2n + 1 = –14 + (14 – 6n )·2n ……10分∴T n = 14 – (14 – 6n )·2n ．∵当n = 1，2时，14 – 6n ＞0 ∴T n ＜14．当n ≥3时，14 – 6n ＞0 ∴T n ＞14．……13分21．已知椭圆C ：22221x y a b+=(a ＞b ＞0)的左准线恰为抛物线E ：y 2 = 16x 的准线，直线l ：x + 2y – 4 = 0与椭圆相切． （1）求椭圆C 的方程；（2）如果椭圆C 的左顶点为A ，右焦点为F ，过F 的直线与椭圆C 交于P 、Q 两点，直线AP 、AQ 与椭圆C 的右准线分别交于N 、M 两点，求证：四边形MNPQ 的对角线的交点是定点．【解析】（1）由题知抛物线y 2 = 16x 的准线方程为x = – 4，这也是椭圆的左准线方程． 设椭圆22221x y a b +=的右焦点为F (c ，0)，其中c =22a b -，则24a c =，即a 2 = 4c ．①由2222240,1,x y x y ab +-=⎧⎪⎨+=⎪⎩消去x ，得22222411616()10y y a b a a +-+-=．由于直线x + 2y – 4 = 0与椭圆C 相切，所以 2222222221641164116()4()(1)4()0a a b a a b a b ∆=--+-=+-=． 即4b 2 + a 2 – 16 = 0，所以4(a 2 – c 2) + a 2 – 16 = 0， 整理得5a 2 –4c 2 – 16 = 0． ②将①代入②得5×4c – 4c 2 – 16 = 0，即c 2 – 5c + 4 = 0，解得c = 1或4． 由于c ＜a ＜24a c =． 所以c = 1．所以a 2 = 4，b 2 = 3．所以椭圆C 的方程为22143x y +=．……5分（2）由（1）知，A (–2，0)，F (1，0)，椭圆的右准线方程为x = 4．根据椭圆的对称性，当直线PQ ⊥x 轴时，四边形MNPQ 是等腰梯形，对角线PM 、QN 的交点在x 轴上．此时，直线PQ 的方程为x = 1． 由221,431,x y x ⎧+=⎪⎨⎪=⎩得3,21.y x ⎧=±⎪⎨⎪=⎩ 不妨取P (1，32)，Q (1，–32)， 故直线AP 的方程为y =1(2)2x +， 将x = 4代入，得N (4，3)，所以直线QN 的方程为33322141y x ++=--． 令y = 0，得x = 2，即直线QN 与x 轴的交点为R (2，0)， 此点恰为椭圆的右顶点．……8分下面只要证明，在一般情况下Q 、N 、R 三点共线即可．设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，N (4，y 3)，M (4，y 4)，直线PQ 的方程为x = my + 1．由221,431,x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩消去x 得2213()04324m my y ++-=．所以121222324,114343m y y y y m m +=-=-++．因为A (–2，0)，P (x 1，y 1)，N (4，y 3)三点共线， 所以11(2,)AP x y =+与3(42,)AN y =+共线， 所以(x 1 + 2)y 3 = 6y 1，即y 3 =11116623y y x my =++． 由于23222(4,),(2,)QN x y y QR x y =--=--，所以22322322(4)()()(2)(2)2x y y y x y x y -----=--=322(12)2y my y +-- =112122211646()(1)233y my y y y my y my my -+⋅--=++ =2213142(46)03114343m m my m m -⋅+⋅=+++． 所以QN 、QR 共线，即Q 、N 、R 三点共线．、……12分 同理可证，P 、M 、R 三点共线．所以，四边形MNPQ 的对角线的交点是定点，此定点恰为椭圆的右顶点．……13分。

3)(1,]0-．下列命题中，为真命题的是（，使得0e xM4M N4N25414满 20PB PC PA ++=，现将一粒黄豆随机撒在△2112e 的取值范围是（C ．1(9,+∞][,)1+∞．已知向量,a b 满足||2a =，()3a b a -=-，则向量b 在a 方向上的投影为)0,0()ax x e a b b=->>的图象在处的切线与圆x218100中，sin (a b =co )s C ，sin sin (cos B C +0,π(C ∈又cos sin B B =0,π()B ∈又π4B =又∵BDC S =△ABDC =四边形2B，(3,)5∥又HF AC则(1,,0),(0,,1),11,(BQ t EQ t AF =-=-=-设平面BQE 的法向量为(,,)n x y z =，则由0n BQ =，且0n EQ =，得，则(,1,)n t t =，∥平面BEQ ，则须(,1,n AF t t =上存在一点1(0,3Q 的法向量为(,n x y =，则由10n AB =，且10n AE =，得，则(1,1,1)n =11153333113339,n n ++<>=为锐二面角，所以其余弦值为533331211211(MA MBy y kx k x x ++==+MA ⊥MB ，即MD ⊥ME ．2211121111111|||1||1||22||k MA MB k k k k k +=++-=得22480()1k x k x +-=．121|4)|)k +．湖南省长沙一中高三上学期月考数学试卷（理科）（五）解析1．【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，结合共轭复数的概念得答案．【解答】解：由（3-4i）z=1+2i，得=，∴．2．【分析】分别求出A与B中不等式的解集确定出A与B，找出两集合的交集即可．【解答】解：由A中不等式变形得：（x+1）（x+3）≥0，解得：x≥-1或x≤-3，即A=（-∞，-3]∪[-1，+∞），由B中不等式变形得：2x<1=20，即x<0，∴B=（-∞，0），则A∩B=（-∞，-3]∪[-1，0），3．【分析】根据指数函数的性质，可判断A；求出的范围，可判断B；举出反例x=2，可判断C；写出原命题的否定，可判断D．【解答】解：恒成立，故A错误；，故B错误；当x=2时，2x=x2，故C错误；若命题p：∃x0∈R，使得，则￢p：∀x0∈R，都有x2-x+1≥0，则D正确；4．【分析】在△ABC中，“A<B<C”⇔a<b<c，再利用正弦定理、同角三角函数基本关系式、倍角公式即可得出．【解答】解：在△ABC中，“A<B<C”⇔a<b<c⇔sinA<sinB<sinC⇔sin2A<sin2B<sin2C⇔1-2sin2A>1-2sin2B>1-2sin2C⇔“cos2A>cos2B>cos2C”．∴在△ABC中，“A<B<C”是“cos2A>cos2B>cos2C”的充要条件．5．【分析】由题意以及框图的作用，直接推断空白框内应填入的表达式．【解答】解：由题意以及程序框图可知，用模拟方法估计圆周率π的程序框图，M是圆周内的点的次数，当i大于2000时，圆周内的点的次数为4M，总试验次数为2000，所以要求的概率，所以空白框内应填入的表达式是P=．6．【分析】由题意，函数y=f（t）=ae nt满足f（5）=a，解出n=ln．再根据f（k）=a，建立关于k的指数方程，由对数恒成立化简整理，即可解出k的值，由m=k-5即可得到．【解答】解：∵5min后甲桶和乙桶的水量相等，∴函数y=f（t）=ae nt，满足f（5）=ae5n= a可得n=ln，因此，当kmin后甲桶中的水只有升，即f（k）=a，即ln•k=ln，即为ln•k=2ln，解之得k=10，经过了k-5=5分钟，即m=5．7．【分析】利用函数的奇偶性以及三角函数的诱导公式化简，然后回代验证求解即可．【解答】解：函数f（x）=是偶函数，x=0时，sinα=cosβ，…①可得sin（x+α）=cos（-x+β）=sin（x+-β），…②，选项代入验证，所以C正确．8．【分析】根据三视图得出空间几何体是镶嵌在正方体中的四棱锥O-ABCD，正方体的棱长为2，A，D为棱的中点，利用球的几何性质求解即可．【解答】解：根据三视图得出：该几何体是镶嵌在正方体中的四棱锥O-ABCD，正方体的棱长为2，A，D为棱的中点根据几何体可以判断：球心应该在过A，D的平行于底面的中截面上，设球心到截面BCO的距离为x，则到AD的距离为：2-x，∴R2=x2+（）2，R2=12+（2-x）2，解得出：x=，R=，该多面体外接球的表面积为：4πR2=π，9．【分析】本题考查的知识点是几何概型的意义，关键是绘制满足条件的图形，数形结合找出满足条件的△APC的面积大小与△ABC面积的大小之间的关系，再根据几何概型的计算公式进行求解．【解答】解：如图示，取BC的中点为D，连接PA，PB，PC，则，又P点满足，故有，可得三点A，P，D共线且，即P点为A，D的中点时满足，此时S△APC=S△ABC故黄豆落在△APC内的概率为，10．【分析】可先画出x、y满足的平面区域，而为可行域内的点与原点连线的斜率，求出的范围；进一步用换元法求出u的范围即可．【解答】解：作出x，y满足的可行域，可得可行域内的点与原点连线的斜率的取值范围是，即，令，则，又在上单调递增，得．11．【分析】设椭圆和双曲线的半焦距为c，|PF1|=m，|PF2|=n，（m>n），由条件可得m=10，n=2c，再由椭圆和双曲线的定义可得a1=5+c，a2=5-c，（c<5），运用三角形的三边关系求得c 的范围，再由离心率公式，计算即可得到所求范围．【解答】解：设椭圆和双曲线的半焦距为c，|PF1|=m，|PF2|=n，（m>n），由于△PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形．若|PF1|=10，即有m=10，n=2c，由椭圆的定义可得m+n=2a1，由双曲线的定义可得m-n=2a2，即有a1=5+c，a2=5-c，（c<5），再由三角形的两边之和大于第三边，可得2c+2c>10，可得c>，即有<c<5．由离心率公式可得e1•e2===，由于1<<4，则有>．则e1•e2的取值范围为（，+∞）．12．【分析】利用换元法设m=f（x），将方程转化为关于m的一元二次方程，利用根的分布建立不等式关系进行求即可．【解答】解：设m=f（x），作出函数f（x）的图象如图：则m≥1时，m=f（x）有两个根，当m<1时，m=f（x）有1个根，若关于x的方程f2（x）+f（x）+t=0有三个不同的实根，则等价为m2+m+t=0有2个不同的实根，且m≥1或m<1，当m=1时，t=-2，此时由m2+m-2=0得m=1或m=-2，满足f（x）=1有两个根，f（x）=-2有1个根，满足条件当m≠1时，设h（m）=m2+m+t，则h（1）<0即可，即1+1+t<0，则t<-2，综上t≤-2，13．【分析】根据题意，先求出n的值，再求出展开式中的常数项是什么值即可．【解答】解：∵n=10sinxdx=-10cosx=-10（cos-cos0）=10，∴展开式中通项T r+1=••=（-1）r••，令5-=0，解得r=6，∴展开式中的常数项为T6+1=（-1）6•==210．14．【分析】根据平面向量的数量积运算性质计算，得出cos<>，再代入投影公式计算．【解答】解：∵=4，（）=-=-3，∴=1，∴cos<>==，∴在方向上的投影为||cos<>=．15．【分析】求导数，求出切线方程，利用切线与圆x2+y2=1相切，可得a2+b2=1，利用基本不等式，可求a+b的最大值．【解答】解：求导数，可得f′（x）=-令x=0，则f′（0）=-又f（0）=-，则切线方程为y+=-，即ax+by+1=0∵切线与圆x2+y2=1相切，∴=1∴a2+b2=1∵a>0，b>0∴2（a2+b2）≥（a+b）2∴a+b≤∴a+b的最大值是．16．【分析】对任意n∈N*，，可得=，可得：-=-，于是=-=3-．由，a2<1，a3<1，a4>1，可得n≥4时，∈（0，1），即可得出．【解答】解：∵对任意n∈N*，，∴=，可得：-=-，∴=---…-=-=3-．∵a 2==，a 3==，a 4==>1，∴n ≥4时，∈（0，1），∴3-∈（2，3）．∴的整数部分是2．（Ⅱ）由已知利用余弦定理可得BC 2=12+22-2×1×2×cosD=5-4cosD ，由已知及（Ⅰ）可知，利用三角形面积公式可求S△ABC，S△BDC，从而可求，根据正弦函数的性质即可得解四边形ABDC 面积的最大值．中，sin (a b =)C ，… sin cos C C +0,π(C ∈又cos sin B B =0,π()B ∈又π4B =．又∵BDC S =△ABDC =四边形4418995%100km/h （Ⅱ）根据样本估计总体的思想，从高速公路上行驶的大量家用轿车中随机抽取1辆，驾驶员为男性且车速超过100km/h 的车辆的概率，X 可取值是0，1，2，3，，求出概率得到分布列，然后求解期望即可． 2\(3,)5B ，又HF AC ∥∴EF ⊥平面（Ⅱ）以则(1,,0),(0,,1),11,(BQ t EQ t AF =-=-=-设平面BQE 的法向量为(,,)n x y z =，则由0n BQ =，且0n EQ =，得，则(,1,)n t t =，∥平面BEQ ，则须(,1,n AF t t =上存在一点1(0,3Q 的法向量为(,n x y =，则由10n AB =，且10n AE =，得，则(1,1,1)n =111553333113339,n n ++<>=21211211(MA MBy y kx k x x ++==+MA ⊥MB ，即MD ⊥ME ．2211121111111|||1||1||22||k MA MB k k k k k +=++-=得22480()1k x k x +-=． 121|4)|)k +．21．【分析】（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（2）求出g （x ）的导数，构造函数u （x ）=xe x-2m ，求出M ，N 的表达式，构造函数h （x ）=xlnx+-（ln2+1）-1，根据函数的单调性证出结论．222m x -．【分析】（）利用极坐标与直角坐标的方程互化的方法，可得圆的直角坐标方程；（2）将代入z=x+y得z=-t，又直线l过C（-1，），圆C的半径是2，可得结论．π。

长沙市一中高三月考试卷(五)数 学(理科)长沙市一中高三理科数学备课组组稿 命题人：蒋楚辉 审题人：胡雪文时量：1 满分：150分(考试范围：集合、逻辑、算法、函数、导数、三角函数、平面向量与复数、数列、推理与应用、不等式、不等式证明、计数原理、二项式定理、概率)本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共6页。

时量1。

满分150分。

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合A ＝{－2,0,1}，集合B ＝{x ||x |<a 且x ∈Z }，则满足A B 的实数a 可以取的一个值是( )A.3B.2C.1D.02.若(1－2x )4＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4，则|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋|a 4|的值为( ) A.1 B.16 C.81 D.413.如图，设D 是图中边长分别为2和4的矩形区域，E 是D 内位于函数y ＝x 2图象下方的区域(阴影部分)，向D 内随机抛掷30个点，则落在E 内的点的个数约为( )A.15B.C.5D.104.已知命题p ：“a ＝1是x >0，x ＋ax ≥2的充分必要条件”，命题q ：“x 0∈R ，x 20＋x 0－2>0”，则下列命题正确的是( )A.命题“p ∧q ”是真命题B.命题“p ∧(┐q )”是真命题C.命题“(┐p )∧q ”是真命题D.命题“(┐p )∧(┐q )”是真命题5.已知cos(π6－α)＝33，则sin(5π6－2α)的值为( )A.13B.－13C.23D.－236.已知函数f (x )＝ 2a (x ≥2) 则f (log 45)等于(B)f(x+2)(x<2)， A.2 5 B.4 5 C.3 5 D. 5x-y+2≥07.已知实数x ，y 满足线性约束条件 x+y-4≥0 ，目标函数z ＝y －ax (a ∈R )，若z 取最大2x-y-5≤0值时的唯一最优解是(1,3)，则实数a 的取值范围是( ) A.(0,1) B.(－1,0) C.(1，＋∞) D.(－∞，－1)8.形如45132这样的数称为“波浪数”，即十位数字，千位数字均比它们各自相邻的数字大，则由1、2、3、4、5可构成的数字不重复的五位“波浪数”的概率为( )A.16B.320C.11120D.215二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上.9.幂函数f(x)＝x α(α为常数)的图象经过(3，3)，则f(x)的解析式是 . 10.函数f(x)＝e x ln x －1的零点个数是 个.11.按下图所示的程序框图运算：若输出k ＝2，则输入x 的取值范围是 .12.数列{a n }满足：a 1＝2，a n ＝1－1a n －1(n ＝2,3,4，…)，则a 12＝ .13.已知函数f (x )＝|x －2|，若a ≠0，且a ，b ∈R ，都有不等式|a ＋b |＋|a －b |≥|a |·f (x )成立，则实数x 的取值范围是 .14.在△ABC 中有如下结论：“若点M 为△ABC 的重心，则MA ＋MB ＋MC ＝0”，设a ，b ，c 分别为△ABC 的内角A ，B ，C 的对边，点M 为△ABC 的重心.如果a MA ＋b MB ＋33c MC ＝0，则内角A 的大小为 ；若a ＝3，则△ABC 的面积为 . 15.给定集合A ＝{a 1，a 2，a 3，…，a n }(n ∈N ，n ≥3)，定义a i ＋a j (1≤i <j ≤n ，i ，j ∈N )中所有不同值的个数为集合A 两元素和的容量，用L (A )表示，若A ＝{2,4,6,8}，则L (A )＝ ；若数列{a n }是等差数列，设集合A ＝{a 1， a 2，a 3，…，a m }(其中m ∈N *，m 为常数)，则L (A )关于m 的表达式为 .三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16.(本小题满分12分)若盒中装有同一型号的灯泡共12只，其中有9只合格品，3只次品.(1)某工人师傅有放回地连续从该盒中取灯泡3次，每次取一只灯泡，求2次取到次品的概率；(2)某工人师傅用该盒中的灯泡去更换会议室的一只已坏灯泡，每次从中取一灯泡，若是正品则用它更换已坏灯泡，若是次品则将其报废(不再放回原盒中)，求成功更换会议室的已坏灯泡前取出的次品灯泡只数X 的分布列和数学期望.17.(本小题满分12分)已知函数f(x)＝2sin ωx·cos (ωx ＋π6)＋12(ω>0)的最小正周期为4π.(1)求正实数ω的值；(2)在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且满足2b cos A ＝a cos C ＋c cos A ，求f(A)的值.18.(本小题满分12分)已知数列{a n}的前三项与数列{b n}的前三项对应相等，且a1＋2a2＋22a3＋…＋2n－1a n＝8n对任意的n∈N*都成立，数列{b n＋1－b n}是等差数列.(1)求数列{a n}与{b n}的通项公式；(2)是否存在k∈N*，使得b k－a k∈(0,1)？请说明理由.19.(本小题满分13分)某化工厂生产某种产品，每件产品的生产成本是3元，根据市场调查，预计每件产品的出厂价为x元(7≤x≤10)时，一年的产量为(11－x)2万件；若该企业所生产的产品全部销售，则称该企业正常生产；但为了保护环境，用于污染治理的费用与产量成正比，比例系数为常数a(1≤a≤3).(1)求该企业正常生产一年的利润L(x)与出厂价x的函数关系式；(2)当每件产品的出厂价定为多少元时，企业一年的利润最大，并求最大利润.本小题满分13分)设函数y＝f(x)的定义域为(0，＋∞)，且在(0，＋∞)上单调递增，若对任意x，y∈(0，＋∞)都有：f(xy)＝f(x)＋f(y)成立，数列{a n}满足：a1＝f(1)＋1，f(12a n＋1－12a n)＋f(12a n＋1＋12a n)＝0.设S n＝a21a22＋a22a23＋a23a24＋…＋a2n－1a2n＋a2n a2n＋1.(1)求数列{a n}的通项公式，并求S n关于n的表达式；(2)设函数g(x)对任意x、y都有：g(x＋y)＝g(x)＋g(y)＋2xy，若g(1)＝1，正项数列{b n}满足：b2n＝g(12n)，T n为数列{b n}的前n项和，试比较4S n与T n的大小.21.(本小题满分13分)定义F (x ，y )＝(1＋x )y ，其中x ，y ∈(0，＋∞).(1)令函数f (x )＝F (1，log 2(x 3＋ax 2＋bx ＋1))，其图象为曲线C ，若存在实数b 使得曲线C 在x 0(－4<x 0<－1)处有斜率为－8的切线，求实数a 的取值范围；(2)令函数g (x )＝F (1，log 2[(ln x －1)e x ＋x ])，是否存在实数x 0∈[1，e]，使曲线y ＝g (x )在点x ＝x 0处的切线与y 轴垂直？若存在，求出x 0的值；若不存在，请说明理由.(3)当x ，y ∈N ，且x <y 时，求证：F (x ，y )>F (y ，x ).数 学(理科) 答 案一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合A ＝{－2,0,1}，集合B ＝{x ||x |<a 且x ∈Z }，则满足A B 的实数a 可以取的一个值是(A)A.3B.2C.1D.02.若(1－2x )4＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4，则|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋|a 4|的值为(C) A.1 B.16 C.81 D.413.如图，设D 是图中边长分别为2和4的矩形区域，E 是D 内位于函数y ＝x 2图象下方的区域(阴影部分)，向D 内随机抛掷30个点，则落在E 内的点的个数约为(D)A.15B.C.5D.104.已知命题p ：“a ＝1是x >0，x ＋ax ≥2的充分必要条件”，命题q ：“x 0∈R ，x 20＋x 0－2>0”，则下列命题正确的是(C)A.命题“p ∧q ”是真命题B.命题“p ∧(┐q )”是真命题C.命题“(┐p )∧q ”是真命题D.命题“(┐p )∧(┐q )”是真命题5.已知cos(π6－α)＝33，则sin(5π6－2α)的值为(B)A.13B.－13C.23D.－236.已知函数f (x )＝ 2a (x ≥2) 则f (log 45)等于(B)f(x+2)(x<2)，A.2 5B.4 5C.3 5D. 5解：∵1<log 45<2，∴f (log 45)＝f (log 45＋2)＝f (log 480)＝2log 480＝4 5.x-y+2≥07.已知实数x ，y 满足线性约束条件 x+y-4≥0 ，目标函数z ＝y －ax (a ∈R )，若z 取最大2x-y-5≤0值时的唯一最优解是(1,3)，则实数a 的取值范围是(C) A.(0,1) B.(－1,0) C.(1，＋∞) D.(－∞，－1) 解：约束条件对应的平面区域如下图，而直线x ＋y －4＝0与x －y ＋2＝0交于点A (1,3)，此时取最大值，故a >1.8.形如45132这样的数称为“波浪数”，即十位数字，千位数字均比它们各自相邻的数字大，则由1、2、3、4、5可构成的数字不重复的五位“波浪数”的概率为(D)A.16B.320C.11120D.215解：当十位与千位是4或5时，共有波浪数为A 22A 33＝12个.当千位是5，十位是3时，万位只能是4，此时共有2个波浪数.当千位是3，十位是5时，末位只能是4.此时共有2个波浪数.故所求概率P ＝12＋2＋2A 55＝215.选择题答题卡二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上.9.幂函数f(x)＝x α(α为常数)的图象经过(3，3)，则f(x)的解析式是 f(x)＝x 12 .10.函数f(x)＝e x ln x －1的零点个数是 1 个.11.按下图所示的程序框图运算：若输出k ＝2，则输入x 的取值范围是 (28,57] .解：当输出k ＝2时，应满足 2x+1≤115，解得28<x ≤57.2(2x+1)+1>11512.数列{a n }满足：a 1＝2，a n ＝1－1a n －1(n ＝2,3,4，…)，则a 12＝ －1 .解：由已知a 1＝2，a 2＝1－1a 1＝12，a 3＝1－1a 2＝－1，a 4＝1－1a 3＝2，可知{a n }是周期为3的周期数列，则a 12＝a 3×4＝a 3＝－1.13.已知函数f (x )＝|x －2|，若a ≠0，且a ，b ∈R ，都有不等式|a ＋b |＋|a －b |≥|a |·f (x )成立，则实数x 的取值范围是 [0,4] .解：|a ＋b |＋|a －b |≥|a |·f (x )及a ≠0得f (x )≤|a ＋b |＋|a －b ||a |恒成立，而|a ＋b |＋|a －b ||a |≥|a ＋b ＋a －b ||a |＝2，则f (x )≤2，从而|x －2|≤2，解得0≤x ≤4.14.在△ABC 中有如下结论：“若点M 为△ABC 的重心，则MA ＋MB ＋MC ＝0”，设a ，b ，c 分别为△ABC 的内角A ，B ，C 的对边，点M 为△ABC 的重心.如果a MA ＋b MB ＋33c MC ＝0，则内角A 的大小为 π6 ；若a ＝3，则△ABC 的面积为 934 . 解：由a MA ＋b MB ＋33c MC ＝a MA ＋b MB ＋33c (－MA －MB )＝(a －33c )MA ＋(b －33c )MB ＝0. 又MA 与MB 不共线，则a ＝33c ＝b ，由余弦定理可求得cos A ＝32，故A ＝π6. 又S △＝12bc sin A ＝12×3×33×12＝934.15.给定集合A ＝{a 1，a 2，a 3，…，a n }(n ∈N ，n ≥3)，定义a i ＋a j (1≤i <j ≤n ，i ，j ∈N )中所有不同值的个数为集合A 两元素和的容量，用L (A )表示，若A ＝{2,4,6,8}，则L (A )＝ 5 ；若数列{a n }是等差数列，设集合A ＝{a 1，a 2，a 3，…，a m }(其中m ∈N *，m 为常数)，则L (A )关于m 的表达式为 2m －3 .解：①∵2＋4＝6,2＋6＝8,2＋8＝10,4＋6＝10,4＋8＝12,6＋8＝14，∴L (A )＝5. ②不妨设数列{a n }是递增等差数列可知a 1<a 2<a 3<…<a m ，则a 1＋a 2<a 1＋a 3<…<a 1＋a m <a 2＋a m <…<a m －1＋a m ，故a i ＋a j (1≤i <j ≤m )中至少有2m －3个不同的数.又据等差数列的性质：当i ＋j ≤m 时，a i ＋a j ＝a 1＋a i ＋j －1； 当i ＋j >m 时，a i ＋a j ＝a i ＋j －m ＋a m ，因此每个和a i ＋a j (1≤i <j ≤m )等于a 1＋a k (2≤k ≤m )中一个， 或者等于a l ＋a m (2≤l ≤m －1)中的一个.故L (A )＝2m －3.三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16.(本小题满分12分)若盒中装有同一型号的灯泡共12只，其中有9只合格品，3只次品.(1)某工人师傅有放回地连续从该盒中取灯泡3次，每次取一只灯泡，求2次取到次品的概率；(2)某工人师傅用该盒中的灯泡去更换会议室的一只已坏灯泡，每次从中取一灯泡，若是正品则用它更换已坏灯泡，若是次品则将其报废(不再放回原盒中)，求成功更换会议室的已坏灯泡前取出的次品灯泡只数X 的分布列和数学期望.解：(1)每次取到一只次品的概率P 1＝C 13C 112＝14，则有放回连续取3次，其中2次取得次品的概率P ＝C 23(14)2·(1－14)＝964.(5分) (2)依题知X 的可能取值为0、1、2、3.(6分) 且P(X ＝0)＝912＝34，P(X ＝1)＝312×911＝944，P(X ＝2)＝312×211×910＝9220，P(X ＝3)＝312×211×110×99＝1220.(8分)则X 的分布列如下表：(10分)EX ＝0×34＋1×944＋2×9220＋3×1220＝310.(12分)17.(本小题满分12分)已知函数f(x)＝2sin ωx·cos (ωx ＋π6)＋12(ω>0)的最小正周期为4π.(1)求正实数ω的值；(2)在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且满足2b cos A ＝a cos C ＋c cos A ，求f(A)的值.解：(1)∵f(x)＝2sin ωx(cos ωx·cos π6－sin ωx·sin π6)＋12(2分)＝3sin ωx cos ωx －sin 2ωx ＋12＝32sin 2ωx －12(1－cos 2ωx)＋12＝sin (2ωx ＋π6).(5分) 又f(x)的最小正周期T ＝2π2ω＝4π，则ω＝14.(6分)(2)由2b cos A ＝a cos C ＋c cos A 及正弦定理可得2sin B cos A ＝sin A cos C ＋sin C cos A ＝sin (A＋C).又A ＋B ＋C ＝π，则2sin B cos A ＝sin B.(8分)而sin B≠0，则cos A ＝12.又A ∈(0，π)，故A ＝π3.(10分)由(1)f(x)＝sin (x 2＋π6)，从而f(A)＝sin (π3×12＋π6)＝sin π3＝32.(12分)18.(本小题满分12分)已知数列{a n }的前三项与数列{b n }的前三项对应相等，且a 1＋2a 2＋22a 3＋…＋2n －1a n ＝8n 对任意的n ∈N *都成立，数列{b n ＋1－b n }是等差数列.(1)求数列{a n }与{b n }的通项公式；(2)是否存在k ∈N *，使得b k －a k ∈(0,1)？请说明理由.解：(1)已知a 1＋2a 2＋22a 3＋…＋2n －1a n ＝8n (n ∈N *).①n ≥2时，a 1＋2a 2＋22a 3＋…＋2n －2a n －1＝8(n －1)(n ∈N *).②①－②得2n －1a n ＝8，解得a n ＝24－n ，在①中令n ＝1，可得a 1＝8＝24－1，所以a n ＝24－n (n ∈N *).(4分)由题意b 1＝8，b 2＝4，b 3＝2，所以b 2－b 1＝－4，b 3－b 2＝－2， ∴数列{b n ＋1－b n }的公差为－2－(－4)＝2， ∴b n ＋1－b n ＝－4＋(n －1)×2＝2n －6，b n ＝b 1＋(b 2－b 1)＋(b 3－b 2)＋…＋(b n －b n －1)＝8＋(－4)＋(－2)＋…＋(2n －8)＝n 2－7n ＋14(n ∈N *).(8分)(2)b k －a k ＝k 2－7k ＋14－24－k ，当k ≥4时，f (k )＝(k －72)2＋74－24－k 单调递增，且f (4)＝1，所以k ≥4时，f (k )＝k 2－7k ＋14－24－k ≥1.又f (1)＝f (2)＝f (3)＝0，所以，不存在k ∈N *，使得b k －a k ∈(0,1).(12分)19.(本小题满分13分)某化工厂生产某种产品，每件产品的生产成本是3元，根据市场调查，预计每件产品的出厂价为x 元(7≤x ≤10)时，一年的产量为(11－x )2万件；若该企业所生产的产品全部销售，则称该企业正常生产；但为了保护环境，用于污染治理的费用与产量成正比，比例系数为常数a (1≤a ≤3).(1)求该企业正常生产一年的利润L (x )与出厂价x 的函数关系式；(2)当每件产品的出厂价定为多少元时，企业一年的利润最大，并求最大利润.解：(1)依题意，L (x )＝(x －3)(11－x )2－a (11－x )2＝(x －3－a )(11－x )2，x ∈[7,10].(4分) (2)因为L ′(x )＝(11－x )2－2(x －3－a )(11－x )＝(11－x )(11－x －2x ＋6＋2a ) ＝(11－x )(17＋2a －3x ).由L ′(x )＝0，得x ＝或x ＝17＋2a 3.(6分)因为1≤a ≤3，所以193≤17＋2a 3≤233.①当193≤17＋2a3≤7，即1≤a ≤2时，L ′(x )在[7,10]上恒为负，则L (x )在[7,10]上为减函数，所以[L (x )]max ＝L (7)＝16(4－a ).(9分)②当7<17＋2a 3≤233，即2<a ≤3时，[L (x )]max ＝L (17＋2a 3)＝427(8－a )3.(12分)即当1≤a ≤2时，则每件产品出厂价为7元时，年利润最大，为16(4－a )万元.当2<a ≤3时，则每件产品出厂价为17＋2a 3元时，年利润最大，为427(8－a )3万元.(13分)本小题满分13分)设函数y ＝f (x )的定义域为(0，＋∞)，且在(0，＋∞)上单调递增，若对任意x ，y ∈(0，＋∞)都有：f (xy )＝f (x )＋f (y )成立，数列{a n }满足：a 1＝f (1)＋1，f (12a n ＋1－12a n )＋f (12a n ＋1＋12a n)＝0.设S n ＝a 21a 22＋a 22a 23＋a 23a 24＋…＋a 2n －1a 2n ＋a 2n a 2n ＋1.(1)求数列{a n }的通项公式，并求S n 关于n 的表达式；(2)设函数g (x )对任意x 、y 都有：g (x ＋y )＝g (x )＋g (y )＋2xy ，若g (1)＝1，正项数列{b n }满足：b 2n ＝g (12n )，T n 为数列{b n }的前n 项和，试比较4S n 与T n 的大小. 解：(1)当x ，y ∈(0，＋∞)时，有f (xy )＝f (x )＋f (y )，令x ＝y ＝1得f (1)＝2f (1)，得f (1)＝0，所以a 1＝f (1)＋1＝1.(1分) 因为f (12a n ＋1－12a n )＋f (12a n ＋1＋12a n )＝0，所以f (14a 2n ＋1－14a 2n)＝0＝f (1).又因为y ＝f (x )在(0，＋∞)上是单调增函数，所以14a 2n ＋1－14a 2n ＝1，即1a 2n ＋1－1a 2n＝4，(3分)所以数列{1a 2n }是以1为首项，4为公差的等差数列，所以1a 2n ＝4n －3，所以a n ＝14n －3 .∵a 2n a 2n ＋1＝1(4n －3)(4n ＋1)＝14[14n －3－14n ＋1]， ∴S n ＝14[11－15＋15－19＋…＋14n －3－14n ＋1]＝14[1－14n ＋1].(5分)(2)由于任意x ，y ∈R 都有g (x ＋y )＝g (x )＋g (y )＋2xy ，则g (2x )＝2g (x )＋2x 2， ∴g (1)＝2g (12)＋2·(12)2＝2[2g (14)＋2·(14)2]＋12＝22g (14)＋122＋12＝22[2g (123)＋2·(123)2]＋122＋12＝23g (123)＋123＋122＋12＝…＝2n g (12n )＋12n ＋12n －1＋12n －2＋…＋122＋12＝1，∴g (12n )＝122n ，即b 2n＝122n . 又b n >0，∴b n ＝12n ，(9分)∴T n ＝12＋122＋…＋12n ＝1－12n ，又4S n ＝1－14n ＋1.当n ＝1,2,3,4时，4n ＋1>2n ，∴4S n >T n ；(10分)当n ≥5时，2n ＝C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C n －1n ＋C nn>1＋2n ＋2n (n －1)2＝1＋n 2＋n . 而n 2＋n ＋1－(4n ＋1)＝n 2－3n ＝n (n －3)>0，故4S n <T n .(13分) (用数学归纳法证明参照计分)21.(本小题满分13分)定义F (x ，y )＝(1＋x )y ，其中x ，y ∈(0，＋∞).(1)令函数f (x )＝F (1，log 2(x 3＋ax 2＋bx ＋1))，其图象为曲线C ，若存在实数b 使得曲线C 在x 0(－4<x 0<－1)处有斜率为－8的切线，求实数a 的取值范围；(2)令函数g (x )＝F (1，log 2[(ln x －1)e x ＋x ])，是否存在实数x 0∈[1，e]，使曲线y ＝g (x )在点x ＝x 0处的切线与y 轴垂直？若存在，求出x 0的值；若不存在，请说明理由.(3)当x ，y ∈N ，且x <y 时，求证：F (x ，y )>F (y ，x ).解：(1)f (x )＝F (1，log 2(x 3＋ax 2＋bx ＋1))＝x 3＋ax 2＋bx ＋1，设曲线C 在x 0(－4<x 0<－1)处有斜率为－8的切线，又由题设知log 2(x 3＋ax 2＋bx ＋1)>0，f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，3xax 0+b=-8 ①∴存在实数b 使得 -4<x ② 有解，(3分)x 30+axx 0>0 ③由①得b ＝－8－3x 20－2ax 0，代入③得－2x 20－ax 0－8<0， ∴由 2xx 0+8>0 有解，-4< x得2×(－4)2＋a ×(－4)＋8>0或2×(－1)2＋a ×(－1)＋8>0， ∴a <10或a <10，∴a <10.(5分) (2)∵g (x )＝(ln x －1)e x ＋x ，∴g ′(x )＝(ln x －1)′e x＋(ln x －1)(e x)′＋1＝e x x ＋(ln x －1)e x ＋1＝(1x＋ln x －1)e x ＋1.(6分)设h (x )＝1x ＋ln x －1.则h ′(x )＝－1x 2＋1x ＝x －1x 2，当x ∈[1，e]时，h ′(x )≥0.h (x )为增函数，因此h (x )在区间[1，e]上的最小值为ln1＝0，即1x ＋ln x －1≥0.当x 0∈[1，e]时，e x 0>0，1x 0＋ln x 0－1≥0，∴g ′(x 0)＝(1x 0＋ln x 0－1)e x 0＋1≥1>0.(8分)曲线y ＝g (x )在点x ＝x 0处的切线与y 轴垂直等价于方程g ′(x 0)＝0有实数解. 而g ′(x 0)>0，即方程g ′(x 0)＝0无实数解.故不存在实数x 0∈[1，e]，使曲线y ＝g (x )在点x ＝x 0处的切线与y 轴垂直.(9分) (3)证明：令h (x )＝ln(1＋x )x ，x ≥1，由h ′(x )＝x1＋x －ln(1＋x )x 2，又令p (x )＝x1＋x －ln(1＋x )，x ≥0，∴p ′(x )＝1(1＋x )2－11＋x ＝－x (1＋x )2≤0， ∴p (x )在[0，＋∞)上单调递减， ∴当x >0时，有p (x )<p (0)＝0， ∴当x ≥1时，有h ′(x )<0，∴h (x )在[1，＋∞)上单调递减，(11分) ∴当1≤x <y 时，有ln(1＋x )x >ln(1＋y )y，∴y ln(1＋x )>x ln(1＋y )，∴(1＋x )y >(1＋y )x ，∴当x ，y ∈N ，且x <y 时，F (x ，y )>F (y ，x ).(13分)。

湖南省长沙市长郡中学、长沙一中、雅礼中学、湖南师大附中2023届高三下学期5月“一起考”数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________二、多选题9．如图，在平面直角坐标系中，以原点O 为圆心的圆与x 轴正半轴交于点()1,0A ．已知点()11,B x y 在圆O 上，点T 的坐标是()00,sin x x ，则下列说法中正确的是（ ）四、解答题∴GA GC =，又∵GN 为公共边，∴Rt Rt GNA GNC V V ≌，∴AN CN =，N 为AC 的中点，又∵M 为BC 的中点，∴MN 为CBA △的中位线，MN P AB ，又∵MN Ë平面ABD ，AB Ì平面ABD ，∴MN P 平面ABD ．又∵MN GN N =I ，MN Ì平面MNG ，GN Ì平面MNG ，∴平面MNG P 平面ABD ，又∵MG Ì平面MNG ，∴MG P 平面ABD ．方法二:延长CG ，交AD 于点K ，连接AG ，BK ,∵BG ^平面ACD ，GA Ì平面ACD ，GC Ì平面ACD ，∴BG ^GA ，BG ^GC ，又∵BA BC =，BG 为公共边，∴Rt Rt BGA BGC V V ≌，∴GA GC =，又∵DA AC ^，∴ACK V 是KAC Ð为直角，CK 为斜边的直角三角形，∴GC GK =，即G 为CK 的中点，又∵M 为BC 的中点，∴MG 为CBK V 的中位线，MG P BK ，∵BK Ì平面ABD ，MG Ë平面ABD ，所以MG P 平面ABD ．（2）过点A 作AF BG ∥，以A 为原点，AC ，AD ，AF 所在直线分别为x 轴,y 轴,z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系．因此(0)0p =是()p x 的最小值，即()0p x ³，所以e 1x x ³+恒成立，所以()()e 11ax h x ax x g x -=³-+³-+³．综上，1a ³．【点睛】思路点睛：用导数研究不等式()0f x ³恒成立问题，常常是利用导数求得()f x 的最小值，再由最小值不小于0得参数范围，也可以利用特殊值求得参数的范围（必要条件），然后证明这个范围对所有自变量x 都成立（充分条件），从而得出结论．。

湖南省部分学校2023届高三下学期5月联数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________二、单选题三、未知3．已知某班共有学生46人，该班语文老师为了了解学生每天阅读课外书籍的时长情况，决定利用随机数表法从全班学生中抽取10人进行调查．将46名学生按01，02，…，46进行编号．现提供随机数表的第7行至第9行：84 42 17 53 3157 24 55 06 8877 04 74 47 6721 76 33 50 2583 92 12 06 7663 01 63 78 5916 95 56 57 1998 10 50 71 7512 86 73 58 0744 39 52 38 7933 21 12 34 2978 64 56 07 8252 42 07 44 3815 51 00 13 4299 66 02 79 54若从表中第7行第41列开始向右依次读取2个数据，每行结束后，下一行依然向右读数，则得到的第8个样本编号是（）A．07 B．12 C．39 D．44六、多选题七、未知八、多选题11．在三棱锥-P ABC 中，PA ⊥平面ABC ，AB AC =，90BAC ∠=︒，且6A B P A +=，九、填空题13．已知函数()222f x x ax =++，若()1f x +是偶函数，则=a ______．十、未知22垂足为N ，若15MN NF =u u u u r u u u r，则双曲线E 的离心率是______．十二、未知18．在ABC V 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且5cos214cos 7B B -=． (1)求sin B 的值；(2)若5a =，2c =，D 是线段AC 上的一点，求BD 的最小值．十三、解答题十四、未知值范围．。

长沙市一中2021届高三月考试卷(五)数 学(文科)(考试范围：集合、逻辑用语、函数、导数、三角函数、 平面向量与复数、数列、不等式、概率统计、立体几何)本试题卷包括选择题、填空题和解答题三局部，共6页。

时量120分钟。

总分值150分。

一、选择题：本大题共8小题，每题5分，共40分.在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的.p ：“x ∈R ，x 2＋1>0”；命题q ：“x ∈R ，sin x ＝2”那么以下判断正确的选项是 ( )A.p 或q 为真，非p 为真B. p 或q 为真，非p 为假C.p 且q 为真， 非p 为真D.p 且q 为真，非p 为假 2.要得到一个奇函数，只需将函数f (x )＝sin(x －π3)的图象( )π6个单位 π3个单位 π6个单位 π3个单位 f (x )＝2x －3x的零点所在区间为 ( )A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)4.甲乙两位同学在高三的5次月考中数学成绩统计如茎叶图所示，假设甲乙两人的平均成绩分别是x 甲，x 乙，那么以下判断正确的选项是 ( )A. x 甲>x 乙， 且乙比甲成绩稳定B. x 甲>x 乙，且甲比乙成绩稳定C.x 甲<x 乙， 且乙比甲成绩稳定D.x 甲<x 乙， 且甲比乙成绩稳定5.如右图是一个简单空间几何体的三视图，其主视图与左视图都是边长为2的正三角形，其俯视图轮廓为正方形，那么其体积是 ( )A.363 C.433 D.83α、β为两个不同的平面，m 、n 为两条不同的直线，那么以下判断不正确的选项是．．．．．．． ( )α∥β，m ⊥α，那么m ⊥β m ⊥α，n ⊥α，那么m ∥nα⊥β，α∩β＝n ，m α，m ⊥n ，那么m ⊥β m α，n α，m ∥β，n ∥β，那么α∥βf (x )＝13x 3＋ax 2＋(a 2－1)x ＋1(a ∈R ，a ≠0)的导函数f ′(x )的图象，那么f (－1)＝( )A.13B.－13C.53D.－538.正项等比数列{a n }满足：a 7＝a 6＋2a 5，假设存在两项a m ，a n 使得a m a n ＝4a 1，那么1m ＋4n 的最小值为( )A.32B.53C.256选择题答题卡二、填空题：本大题共7小题，每题5分，共35分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上.＝2－x ＋log 3(1＋x)的定义域为 .，抽取了一个容量为100的样本，其频率分布直方图如以下列图，那么据此估计支出在[50,60)元的同学的概率为.11.在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，B ＝π3，a ＝3，c ＝2，那么△ABC 的面积为______.a 、b 满足a ＋b ＝(2，－1)，a ＝(1,2)，那么向量a 与b 的夹角等于 .13.如图，在正方体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，异面直线BD 与B ′C 所成角为 ；直线A ′C 与平面ABCD 所成角的正弦值为 .x-y ≥0x+y ≤2 的点P (x ，y )所在区域的面积等于 .x+2y ≥2y ＝f (x )(x ∈D )同时满足以下条件：(1)f (x )在D 内为单调函数；(2)f (x )的值域为D 的子集，那么称此函数为D 内的“保值函数〞.函数f (x )＝a x ＋b －3ln a，g (x )＝ax 2＋b .①当a ＝2时，f (x )＝a x ＋b －3ln a 是[0，＋∞)内的“保值函数〞，那么b 的最小值为 ；②当－1≤a ≤1，且a ≠0，－1≤b ≤1时，g (x )＝ax 2＋b 是[0,1]内的“保值函数〞的概率为 .三、解答题：本大题共6小题，共75分. 解容许写出文字说明，证明过程或演算步骤.16. (本小题总分值12分) sin(π－α)＝45，α∈(0，π2).(1)求sin2α－cos 2α2的值；(2)求函数f (x )＝56cos αsin2x －12cos2x 的单调递增区间.17. (本小题总分值12分)为了更好的开展社团活动，丰富同学们的课余生活，现用分层抽样的方法从“模拟联合国〞， “街舞〞， “动漫〞，“话剧〞四个社团中抽取假设干人组成校社团指导小组，有关数据见下表(单位：人)社团 相关人数 抽取人数模拟联合国 24 a 街舞 18 3 动漫 b 4 话剧12c(1)求a ，b ，c(2)假设从“动漫〞与“话剧〞社团已抽取的人中选2人担任指导小组组长，求这2人分别来自这两个社团的概率.18. (本小题总分值12分)如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是边长为a 的正方形，E 、F 分别为PC 、BD 的中点，侧面PAD ⊥底面ABCD ，且PA ＝PD ＝22AD. (1)求证：EF ∥平面PAD ； (2)求证：PA ⊥平面PCD.19. (本小题总分值13分)某造船公司年造船量最多20艘，造船x 艘的产值函数为R (x )＝3700x ＋45x 2－10x 3(单位：万元)，本钱函数为C (x )＝460x ＋500(单位：万元).(1)求利润函数p (x )；(提示：利润＝产值－本钱)(2)问年造船量安排多少艘时，可使公司造船的年利润最大？(3)在经济学中，定义函数f (x )的边际函数Mf (x )＝f (x ＋1)－f (x ).求边际利润函数Mp (x )，并求Mp (x )单调递减时x 的取值范围；试说明Mp (x )单调递减在此题中的实际意义是什么？(参考公式：(a ＋b )3＝a 3＋3a 2b ＋3ab 2＋b 3)20.(本小题总分值13分)点列B 1(1，b 1)，B 2(2，b 2)，…，B n (n ，b n )，…(n ∈N )顺次为抛物线y ＝14x 2上的点，过点B n (n ，b n )作抛物线y ＝14x 2的切线交x 轴于点A n (a n,0)，点C n (c n,0)在x 轴上，且点A n ，B n ，C n构成以点B n 为顶点的等腰三角形.(1)求数列{a n }，{c n }的通项公式；(2)是否存在n 使等腰三角形A n B n C n 为直角三角形，假设有，请求出n ；假设没有，请说明理由.(3)设数列{1a n ·(32＋c n )}的前n 项和为S n ，求证：23≤S n <43.21.(本小题总分值13分)函数f (x )＝x (x －a )(x －b )，点A (s ，f (s ))，B (t ，f (t )).(1)假设a ＝0，b ＝3，函数f (x )在(t ，t ＋3)上既能取到极大值，又能取到极小值，求t 的取值范围；(2)当a ＝0时，f (x )x ＋ln x ＋1≥0对任意的x ∈[12，＋∞)恒成立，求b 的取值范围；(3)假设0<a <b ，函数f (x )在x ＝s 和x ＝t 处取得极值，且a ＋b <23，O 是坐标原点，证明：直线OA 与直线OB 不可能垂直.数 学(文科)答案一、选择题：本大题共8小题，每题5分，共40分.在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的.p ：“x ∈R ，x 2＋1>0”；命题q ：“x ∈R ，sin x ＝2”那么以下判断正确的选项是 (B)A.p 或q 为真，非p 为真B. p 或q 为真，非p 为假C.p 且q 为真， 非p 为真D.p 且q 为真，非p 为假 2.要得到一个奇函数，只需将函数f (x )＝sin(x －π3)的图象(D)π6个单位 π3个单位 π6个单位 π3个单位 f (x )＝2x －3x的零点所在区间为 (B)A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)4.甲乙两位同学在高三的5次月考中数学成绩统计如茎叶图所示，假设甲乙两人的平均成绩分别是x 甲，x 乙，那么以下判断正确的选项是 (C)A. x 甲>x 乙， 且乙比甲成绩稳定B. x 甲>x 乙，且甲比乙成绩稳定C.x 甲<x 乙， 且乙比甲成绩稳定D.x 甲<x 乙， 且甲比乙成绩稳定5.如右图是一个简单空间几何体的三视图，其主视图与左视图都是边长为2的正三角形，其俯视图轮廓为正方形，那么其体积是(C) A.363 C.433 D.83α、β为两个不同的平面，m 、n 为两条不同的直线，那么以下判断不正确的选项是．．．．．．． (D)α∥β，m ⊥α，那么m ⊥β m ⊥α，n ⊥α，那么m ∥nα⊥β，α∩β＝n ，m α，m ⊥n ，那么m ⊥β m α，n α，m ∥β，n ∥β，那么α∥βf (x )＝13x 3＋ax 2＋(a 2－1)x ＋1(a ∈R ，a ≠0)的导函数f ′(x )的图象，那么f (－1)＝(B)A.13B.－13C.53D.－538.正项等比数列{a n }满足：a 7＝a 6＋2a 5，假设存在两项a m ，a n 使得a m a n ＝4a 1，那么1m ＋4n 的最小值为(A)A.32B.53C.256选择题答题卡题 号 1 2 3 4 5 6 7 8 答 案BDBCCDBA二、填空题：本大题共7小题，每题5分，共35分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上.＝2－x ＋log 3(1＋x)的定义域为 (－1,2] .，抽取了一个容量为100的样本，其频率分布直方图如以下列图，那么据此估计支出在[50,60)元的同学的概率为.11.在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，B ＝π3，a ＝3，c ＝2，那么△ABC 的面积为 32.a 、b 满足a ＋b ＝(2，－1)，a ＝(1,2)，那么向量a 与b 的夹角等于 135° .13.如图，在正方体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，异面直线BD 与B ′C 所成角为 π3 ；直线A ′C 与平面ABCD 所成角的正弦值为33.x-y ≥0x+y ≤2 的点P (x ，y )所在区域的面积等于 13.x+2y ≥2y ＝f (x )(x ∈D )同时满足以下条件：(1)f (x )在D 内为单调函数；(2)f (x )的值域为D 的子集，那么称此函数为D 内的“保值函数〞.函数f (x )＝a x ＋b －3ln a，g (x )＝ax 2＋b .①当a ＝2时，f (x )＝a x ＋b －3ln a 是[0，＋∞)内的“保值函数〞，那么b 的最小值为 2 ；②当－1≤a ≤1，且a ≠0，－1≤b ≤1时，g (x )＝ax 2＋b 是[0,1]内的“保值函数〞的概率为 14. 三、解答题：本大题共6小题，共75分. 解容许写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16. (本小题总分值12分) sin(π－α)＝45，α∈(0，π2).(1)求sin2α－cos 2α2的值；(2)求函数f (x )＝56cos αsin2x －12cos2x 的单调递增区间.解：(1)∵sin(π－α)＝45，∴sin α＝45，又∵α∈(0，π2)，∴cos α＝35， (2分)∴sin2α－cos 2α2＝2sin αcos α－1＋cos α2＝2×45×35－1＋352＝425，(6分)(2)f (x )＝56×35sin2x －12cos2x ＝22sin(2x －π4)，(9分)令2k π－π2≤2x －π4≤2k π＋π2，得k π－π8≤x ≤k π＋3π8，k ∈Z .(11分)∴函数f (x )的单调递增区间为[k π－π8，k π＋3π8]，k ∈Z .(12分)17. (本小题总分值12分)为了更好的开展社团活动，丰富同学们的课余生活，现用分层抽样的方法从“模拟联合国〞， “街舞〞， “动漫〞，“话剧〞四个社团中抽取假设干人组成校社团指导小组，有关数据见下表(单位：人)社团 相关人数 抽取人数模拟联合国 24 a 街舞 18 3 动漫 b 4 话剧12c(1)求a ，b ，c 的值；(2)假设从“动漫〞与“话剧〞社团已抽取的人中选2人担任指导小组组长，求这2人分别来自这两个社团的概率.解：(1)由表可知抽取比例为16，故a ＝4，b ＝24，c ＝2. (4分)(2)设“动漫〞4人分别为：A 1，A 2，A 3，A 4；“话剧〞2人分别为：B 1，B 2.那么从中任选2人的所有根本领件为：(A 1，A 2)，(A 1，A 3)，(A 1，A 4)，(A 2，A 3)，(A 2，A 4)，(A 3，A 4)，(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 3，B 1)，(A 3，B 2)，(A 4，B 1)，(A 4，B 2)， (B 1，B 2)共15个， (8分)其中2人分别来自这两个社团的根本领件为：(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 3，B 1)，(A 3，B 2)，(A 4，B 1)，(A 4，B 2)共8个， (10分) 所以这2人分别来自这两个社团的概率P ＝815. (12分)18. (本小题总分值12分)如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是边长为a 的正方形，E 、F 分别为PC 、BD 的中点，侧面PAD ⊥底面ABCD ，且PA ＝PD ＝22AD. (1)求证：EF ∥平面PAD ；(2)求证：PA⊥平面PCD.解：(1)证明：连结AC，那么F是AC的中点，E为PC的中点故在△CPA中，EF//PA，(3分)且PA平面PAD，EF平面PAD，∴EF∥平面PAD. (6分)(2)证明：因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，又CD⊥AD，所以，CD⊥平面PAD，∴CD⊥PA，(9分)又PA＝PD＝22AD，所以△PAD是等腰直角三角形，，即P A⊥PD，(11分)且∠APD＝π2又CD∩PD＝D，∴P A⊥平面PCD. (12分)19. (本小题总分值13分)某造船公司年造船量最多20艘，造船x艘的产值函数为R(x)＝3700x＋45x2－10x3(单位：万元)，本钱函数为C(x)＝460x＋500(单位：万元).(1)求利润函数p(x)；(提示：利润＝产值－本钱)(2)问年造船量安排多少艘时，可使公司造船的年利润最大？(3)在经济学中，定义函数f(x)的边际函数Mf(x)＝f(x＋1)－f(x).求边际利润函数Mp(x)，并求Mp(x)单调递减时x的取值范围；试说明Mp(x)单调递减在此题中的实际意义是什么？(参考公式：(a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3)解：(1)p(x)＝R(x)－C(x)＝3700x＋45x2－10x3－460x－500＝－10x3＋45x2＋3240x－500，(x∈N，1≤x≤20) (3分)(2)p′(x)＝－30x2＋90x＋3240＝－30(x－12)(x＋9)，(6分)∴当0<x<12时，p′(x)＞0，当x＜12时，p′(x)＜0.∴x＝12时，p(x)有最大值.即年造船量安排12 艘时，可使公司造船的年利润最大. (8分)(3)∵Mp(x)＝p(x＋1)－p(x)＝－10(x＋1)3＋45(x＋1)2＋3240(x＋1)－500－(－10x3＋45x2＋3240x－500)＝－30x2＋60x＋3275＝－30(x－1)2＋3305，(x∈N*,1≤x≤19)所以，当x ≥1时，Mp (x )单调递减，x 的取值范围为[1,19]，且x ∈N . (11分) Mp (x )是减函数的实际意义：随着产量的增加，每艘船的利润在减少.(13分)20.(本小题总分值13分)点列B 1(1，b 1)，B 2(2，b 2)，…，B n (n ，b n )，…(n ∈N )顺次为抛物线y ＝14x 2上的点，过点B n (n ，b n )作抛物线y ＝14x 2的切线交x 轴于点A n (a n,0)，点C n (c n,0)在x 轴上，且点A n ，B n ，C n构成以点B n 为顶点的等腰三角形.(1)求数列{a n }，{c n }的通项公式；(2)是否存在n 使等腰三角形A n B n C n 为直角三角形，假设有，请求出n ；假设没有，请说明理由.(3)设数列{1a n ·(32＋c n )}的前n 项和为S n ，求证：23≤S n <43.解：(1)∵y ＝14x 2，∴y ′＝x 2， y ′|x ＝n ＝n 2， 那么点B n (n ，b n )作抛物线y ＝14x 2的切线方程为：y －n 24＝n 2(x －n )，令y ＝0，那么x ＝n 2，即a n ＝n2；(3分)∵点A n ，B n ，C n 构成以点B n 为顶点的等腰三角形，那么：a n ＋c n ＝2n ，∴c n ＝2n －a n ＝3n 2 (5分)(2)假设等腰三角形A n B n C n 为直角三角形，那么|A n C n |＝2b nn ＝n 22n ＝2，∴存在n ＝ 2，使等腰三角形A 2B 2C 2为直角三角形 (9分)(3)∵1a n ·(32＋c n )＝1n 2(32＋3n 2)＝134n (n ＋1)＝43(1n －1n ＋1)(11分)∴S n ＝43(1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1)＝43(1－1n ＋1)<43又1－1n ＋1随n 的增大而增大，∴当n ＝1时S n 的最小值为：43(1－11＋1)＝23，∴23≤S n <43(13分)21.(本小题总分值13分)函数f (x )＝x (x －a )(x －b )，点A (s ，f (s ))，B (t ，f (t )).(1)假设a ＝0，b ＝3，函数f (x )在(t ，t ＋3)上既能取到极大值，又能取到极小值，求t 的取值范围；(2)当a ＝0时，f (x )x ＋ln x ＋1≥0对任意的x ∈[12，＋∞)恒成立，求b 的取值范围； (3)假设0<a <b ，函数f (x )在x ＝s 和x ＝t 处取得极值，且a ＋b <23，O 是坐标原点，证明：直线OA 与直线OB 不可能垂直.解：(1)当a ＝0，b ＝3时f (x )＝x 3－3x 2，∴f ′(x )＝3x 2－6x ，∴f (x )在(－∞，0)和(2，＋∞)上递增，在(0,2)上递减， (2分)所以f (x )在0和2处分别到达极大和极小，由有t <0且t ＋3>2，因而t 的取值范围是(－1,0). (4分)(2)当a ＝0时，f (x )x＋ln x ＋1≥0即x 2－bx ＋ln x ＋1≥0 可化为x ＋ln x x ＋1x ≥b ，记g (x )＝x ＋ln x x ＋1x (x ≥12)， 那么g ′(x )＝1＋1－ln x x 2－1x 2＝x 2－ln x x 2.(6分) 记m (x )＝x 2－ln x ，那么m ′(x )＝2x －1x， ∴m (x )在(12，22)上递减，在(22，＋∞)上递增. ∴m (x )≥m (22)＝12－ln 22>0 从而g ′(x )>0，∴g (x )在[12，＋∞)上递增 因此g (x )min ＝g (12)＝52－2ln2≥b ，故b ≤52－2ln2. (9分) (3)假设OA ⊥OB ，即OA ·OB ＝(s ，f (s ))·(t ，f (t ))＝st ＋f (s )f (t )＝0故(s －a )(s －b )(t －a )(t －b )＝－1，[st －(s ＋t )a ＋a 2][st －(s ＋t )b ＋b 2]＝－1由s ，t 为f ′(x )＝0的两根可得，s ＋t ＝23(a ＋b )，st ＝ab 3，(0<a <b ) 从而有ab (a －b )2＝9 (11分)(a ＋b )2＝(a －b )2＋4ab ＝9ab＋4ab ≥236＝12 即a ＋b ≥23，这与a ＋b <23矛盾.故直线OA 与直线OB 不可能垂直. (13分)。

长沙市一中2023届高三月考试卷五数学(文)一、选择题（本题共15小题，每小题5分，共75分）1.已知集合A={1,2,3,4}，下列集合的元素个数正确的是()A.B={1,2，3，4，5}B.B={1，2，4}C.B={2，4，6}D.B={5，6，7，8}2.已知x＞－2，下列判断正确的是()A.x＞－1B.x≤0C.x≥1D.x≥23.若全集U={1,2,3,4,5},A={1,2,3},B={3,4,5},则(A∩B)′=()A.{1,2,3,4,5}B.{1,2}C.{4,5}D.{3}4.用酒精灯点燃某容器中的液体，液体燃烧产生的气体聚集在容器上部形成蓬松的白色烟雾，这种气体是()A.氧气B.水蒸汽C.氯化氢D.氦气5.已知y＞－2，则不等式|y|＞－2的解集为()A.(－∞，－2]B.[－2，2]C.[－2，＋∞)D.(－2，2)二、填空题（本题共5小题，每小题5分，共25分）6.已知抛物线y＝x2减去8x加上16的焦点为F(?,0)，则?=____________。

7.三个正数a,b,c，满足9a＋3b＋c＝12，则最小值为____________。

8. 已知log2a＝2，则log2a2＝____________。

9. 已知等比数列{an}中，第5项是81，则第3项的值为____________10. 已知 tan B＝－－－－－－，则cos B＝____________三、解答题（本题共5小题，每小题20分，共100分）11.已知定点O（0，0）及动点A（t，t＋1），设向量OA的长为r。

湖南省长沙2023-2024高三上学期第三次月考数学试题A. 2B. 3C. 4D. 510—5a i2．巳知复数z=. （i 为虚数单位）的实部与虚部之和为4，则在复平1—2i面内乏对应的点位于A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．若平面向量a,b满足al =2, lbl =3, l a +bl =4，则cos<a,b 〉=时量：120分钟满分：150分得分：一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的l ．设集合A ={xENlx 2—14x —15<0},B ={xl ✓了二fEQ}，则AnB中的元素个数为1 1 1 A.— 4B.— 3C .——44. "sin 20>0且cos 0<0”是“0为第三象限角”的A ．充要条件B ．必要不充分条件C ．充分不必要条件A. lo g 2 (2x+ 1)—1 C. lo g 2x —1 1_3DD ．既不充分也不必要条件5．将函数y =lo g 2(2x+2)的图象向下平移1个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到函数g (x)的图象，则g (x)=B. lo g 2(2x+ 1) + 1 D . lo g 江6.若（2x —1)10=ao +a 1 (x —1)+az (x —1)三…＋a 10(x —1)10，则a 1+2az+…＋l O a 10 =A. 310B. 310—1C. 20X39D. 10X397．焦点为F的抛物线C:y 2 =2p x(p >O )的对称轴与准线交千点A ，点B 在抛物线C上且在第一象限，在D.AB F 中，3sin 乙A F B =4sin 乙FA B,则直线B F 的斜率为A｀4-3凡 C.1立2D8.已知等比数列{a n }单调递增，且a1,a2,a3—]成等差数列，则当al1取最小值时，集合A ={a n Ia n EN勹中的元素之和为A. 36B. 42C . 54D. 61二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．抽取S市某届马拉松比赛前5000名的部分跑者成绩绘制如下频数分布表（单位：分钟）：分组I [150,200) I [200,250) I [250,300) I [300,350) I [350,400) I [400,450)频数I20601601408040则下列选项正确的是A 估计总体中成绩落在[150,400)分钟内的选手人数为4500B 这组数据平均数的估计值为307分钟C 这组数据第62百分位数的估计值为325分钟D 在由以上数据绘制的频率分布直方图中，各组长方形的高度之和为0.0210已知曲线C 的方程为—十义4 =1Cm<4且m#-0),A,B 分别为C 与xm 轴的左、右交点，P 为C 上任意一点（不与A ,B重合），则A 若m ＝—]，则C为双曲线，且渐近线方程为y ＝土2x B.若P 点坐标为(l,n)，则C为焦点在x 轴上的椭圆C .若点F 的坐标为（八二记0)，线段PF与x轴垂直，则IPF|＝覃D.若直线PA,P B 的斜率分别为如，如，则k心＝—罕11如图，已知正四棱台ABCD—A 1从C 1队的上、下底面边长分别为2和4，侧棱长为石，点E为棱AD的中点，点P在侧面BCC1从内运动（包含边界），且EP与平面BCC1B 1所成角的正切值为2战，则A.CP 长度的最小值为2迈—1B 存在点P ，使得EP _l P C C 存在点P，使得AP//EC1D 棱长为1.5的正方体可以在此空心棱台容器内部任意转动12定义在R上的函数f(x)满足f(3—x)—JC3+x)=4x ，函数JC 2x +D 的图象关千(0,2)对称，则f)BA.8是f(x )的一个周期B. f(2)=4C .f(x)的图象关千(1,2)对称D. f(2025)＝—4046选择题答题卡题号111 2 1 3 1 4 1 5 1 6 1 7 1 8 1 9 1 10 1 ll I 12 1得分答案三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．若圆(x—a)三(y—1)2=4和圆x2+y2=l恰有三条公切线，则实数a14．若3q气.3飞彦3，则当入取得最小值时，q=15.已知正D,ABC的边长为2，点P为D,ABC所在平面内的动点，且PC= 1，则P A•PB的取值范围为））16．在三棱台ABC—A1B1C1中，AB_l_AC,BC= 6,A1凡＝A1C1=4凇，AA1=5立，平面BB1C1C上平面ABC，则该三棱台外接球的体积为四、解答题：本题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17.(10分）巳知D,ABC是边长为2的等边三角形，点0是D,ABC内一点，乙AOB=f,乙BOC＝气，求cos乙BCO和OA.18.(12分）已知{a n }是等比数列，满足a1=2，且a2,a 3 + 2, a4成等差数列，数列1 ｛仇｝满足b1+-1,-b产L ,, 1 ——b 3+…十—仇＝2n (nE N*). 3 n(1)求也｝和｛如的通项公式；(2)设C n =（—l)n(a n —仇），求数列{e n }的前2n 项和S2n •19.(12分） C如图所示，已知三棱柱AB C—儿B1Ci的所有棱长均为1.(1)从下面叩＠＠中选择两个作为条件，证明另一个成立；祁心B1C= "'-if;＠乙A1B1C为直角；＠平面AB C_l平面ABB1A1.2'(2)设点P是棱BB1上一点．在(1)中条件都成立的情况下，试确定点P的位置，使得直线CP与平面ACC1儿所成的角最大．20(12分）某种植物感染病毒y极易死亡，当地生物研究所为此研发出了一种抗病毒y的制剂．现对20株感染了病毒y的该植株样本进行喷雾试验测试药效．测试结果分“植株死亡”和“植株存活”两个结果进行统计，并对植株吸收制剂的址（单位：毫克）进行统计．规定植株吸收在6毫克及以上为＂足量“，否则为“不足量”．现对该20株植株样本进行统计，其中“植株存活”的13株，对制剂吸收量统计得下表．巳知＂植株存活“但“制剂吸收不足量”的植株共1株．编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10吸收量6 8 3 8 9 5 6 6 2 7（毫克）编号11 12 13 14 15 16 17 18 19 20吸收晕7 5 10 6 7 8 8 4 6 9（毫克）(1)补全列联表中的空缺部分，依据a=O01的独立性检验，能否认为“植株的存活”与“制剂吸收足最“有关？吸收足屈吸收不足凰合计植株存活 1植株死亡合计20(2)现假设该植物感染病毒y后的存活B数为随机变量X(X可取任意正整数）．研究人员统计大量数据后发现：对于任意的kEN*，存活日数为C k+l)的样本在存活日数超过k的样本里的数歉占比与存活B数为1的样本在全体样本中的数鼠占比相同，均等于01，这种现象被称为“儿何分布的无记忆性”．试推导P(X=k)(kEN*)的表达式，并求该植物感染病毒y后存活B数的期望E(X)的值．附：x三n(ad—bc)2(a+b) (c+d) (a+c) (b+d) ，其中n=a+b+c+d；当n足够大时，nX O g n::::::::o.勹X a 6. 6350.0057. 8790.00110. 82821.(12分）2 2已知F是椭圆C：兰＋义＝l(a>b>O)的右焦点，0为坐标原点，T为a z'b z点椭圆上任意一点，I TFI的最大值为3心�TOF面积的最大值为—.2(1)求椭圆C的标准方程；(2)点P是y轴正半轴上的一点，过点F和点P的直线l与椭圆C交于M,N两点．求、|P Ml+IPNIIPFI 的取值范围．22.(12分）设函数J(x)=m x勹C x+De—x，其中mER.(1)讨论f(x)的单调性；(2)若f(x)存在两个极值点，设极大值点为a,b为f(x)的零点，求证：a—b::ln 2.高三数学参考答案题号I 1 答案IB2c3-A4A5-D6-c7A三10 BD11 A BC12 CD一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.B 【解析】由题设，A ={xEN|—l<x<15},B ={xl J:;千丁EQ}，则AnB ={0,3,8}，故AnB中的元素个数为3，选B .2. C 【解析】z =10—5ai (10-5ai) (1 +2i) 1—2i(1—2i) (1 +2i) =2+2a+(4—a)i ，其实部和虚部之和等于(2+2a)+(4—a)=6+a =4，解得a =—2,从而z =—2+6i,乏=—2—6i ，故在复平面内乏对应的点位于笫三象限，选C.3.A【解析】衵a+bl =4两边平方得a 2+2a • b ＋廿＝16，又al =2, l bl =3，故a 2=4，b 2=9，代入得a•b ＝立．因此cos(a,b〉=a • bal•lbl 2X 34，选A4.A【解析】充分性．由cos e<o可知穴＋2k 冗<e<3穴+2kTI,kEZ，又由sin 20>0⇒sin e<o可知2k亢＋示<0<2亢＋2k11:,kEZ,综上，计2k 穴＜庐亨＋2kTI,kEZ，即0为笫三象限角．必要性：若0为第三象限角，则cos e<o且sin 20>0.所以“cos e <o且sin 20>0”是“0为笫三象限角”的充要条件．故选：A．5.D【解析】将函数y =log 2(2x+2)的图象向下平移l个单位长度，得到y =log 2(2x+2)—l ，再向右平移1个单位长度，得到函数g(x)的图象，则g(x)=log 2[2(x —1)＋2]—l =log 22x —1=1+logzx —l =logzx,故选D.6. C 【解析】对原式两边求导可得：l 0(2x —1)9X 2=a1 +2a 2 (x —l)＋…+lOa10 (x —1)9，令x =2，则20X39 =a1 +2a 2+…十lOa10，故选C.7.A【解析】过B 作准线的垂线，垂足为H，作x轴的垂线，垂足为E，则由抛物线的定义可得IBFI = IBH ，由3sin乙AFB =疗B E 4sin乙FAB ，在＾ABF中由正弦定理可知：ABl =-¾-IBFI =-¾-IBHI 'IAHI =� I BH|，设BF 的倾斜角为a，则sin a =�=BF A H石职＝了，ta n a = ｀，故选A8.D 【解析】由a1,a 2,a3—1成等差数列，得2a 2=a1+a3—1，即2a1q =a1+a矿—1，整理得a 1=(q —1)2，故也）为正项数列，又因为等比数列{a n }单调递增，说明其公比q >l.于是a11=—立二了．设f (q )=--!b > 1)'!iltl f ) =�矿(q —1)—q 5＝立包汇五）(q —1) q —l (q >l)，则/(q )=(q —1)2 (q —1)2 ，所以当q E(1,1)时，卢q )<O,f (q )单调递减，当q E(f ,+=)时，卢q )>O,f (q )单调递增，故当q=：时，a ］］＝广(q )取最小值．于是可求得a1=16,a 2 =20,a3 =25,a飞N'(n多4,nEN*)，所以集合A ={a n 厄EN*｝中的元素之和为16+20+25=61,选D .二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．20+60+ 160+ 140+80 =A 项错误；B 项，平均数的估计值为X (20Xl75+60X225+ 160X275+ 140X 325+80X 375+40X425)=307,B 项正确；C 项，500这组数据中区间[150,300)对应的频率为20+60+160 20+60+ 160+ 140=O. 48，区间[150,350)对应的频率为500 500=O. 76，故这组数据第62百分位数落在区间[300,350)中．设笫62百分位数为x ，则x —300 0.62—0.48 350-300 0. 76-0. 48，解得x =325,C 项正确；在由以上数据绘制的频率分布直方图中，纵坐标为频率／组距，因此各组长方形的高度之和为＝0. 02,D 项正确．50 10.BD 【解析】对于A ，当m ＝—1，双曲线方程为2—4y2=1,b a =2,b =l ，渐近线方程为y ＝士x ＝士x ，故A 错误；a2 1,n 对于B,P 点坐标为(1,n)，则十＝1,4'm 4 4解得m =-¾n 2心m <4且m#-0,:.o<-¾n 2<4,3 3所以，曲线C为焦点在x轴上的椭圆，故B正确；对于C，点F的坐标为(《4二五，0),线段PF 与x 轴垂直，则X p =《i 二五，IPFI = IYP I,P 为C 上任意一点，则勹勹:f =4;m+:二1—�+;:=1，则lypl =m 1ml 2．当m>O ，则IPFI=�，当m<O,IPF|=— 2 2对于D ，由题意，A （—2,0),B(2,0)，设P(s,t ),，故C 错误；4片t t t 2 t 2m P 为C 上任意一点，则十＝1，得g —4=—,．.．如•k 2 =----"--; •＝ ＝ ＝— ．故D正确．4m m s —2 s+2 s2'—4 4廿4m故选BD.11.A 瓦【解析】对于A ，由题意得，点P 的轨迹是以B1C1为直径的半圆，故CP 长度的最小值为2立B1C1的中点F ，则EF上面BCC1压，若CP_l_FP （即CP 与以B1C1为直径的半圆相切时），CP上面EFP ，故EP _l_PC ，所以存在点P ，使得EP_l_PC ，故B 正确；对于C ，点P 与点凡重合时，AP//EC1，故C 正确；对于D ，若正方体在此容器内部可以任意转3戎动，则正方体的外接球可以放进容器，棱长为1.5的正方体的外接球直径为，此棱台可放入的最大球的直径为战，小于正方2 体外接球直径，故不可以在此空心棱台容器内部任意转动，所以D不正确．12.CD 【解析】对A ：由题设条件得JC3+x)+2(3+x)=f(3—x)+2(3—x),令g(x)=f(x)+2x ，有g(3+x)=g(3—x)，则g(x)的图象关于直线x =3对称，因为J(l-2x)+J(l +2x)=4，有J(l-2x)+2(1-2x)+J(1+2x)+20+2x)=8,即g(l —2x)+g (l +2x) =8，则g(x)的图象关于(1,4)对称．所以g(x)+g(2—x)=8，又g(3+x)=g(3—x),所以g(4+x)=g(2-x)，所以g(x)+g(4+x)=8,所以g(4+x)+g(8+x)=8，所以g(x+8)= g(x),所以8为g(x)的一个周期，即f(x+8)+2(x+8)=f(x)+2x,则f(x+B)=f(x)—16. A 不正确；对B ：由上知g(x)图象关于(1,4)对称，x =3对称，则令g(x)= sin(f x —f)+4符合题意，而f(2)=g(2)—4-=/=-4.B 不正确；对C ：因为f(2x+l)关于(0,2)对称，有f(—2x+D+f(2x+D =4,则f(x)的图象关于(1,2)对称．C 符合题意；对D ：因为g(x)图象关于(1,4)对称，所以g(1)=4,故g(2025)= g(8X253+ 1) = g(l) =4，有/(2025)＝—4046.D 符合题意．故选CD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13．士2立【解析】两圆恰有三条公切线当且仅当两圆外切，因此｀f于1=2+1，得到a ＝士2心；．14. l og3 3 (3•+3-3于【解析】依题意入�3叹3—3q )，且3q >0，而3q (3—3•)�2 4'3 3当且仅当3q=，即q =log3时等号成立．2 2 ））15. [3—2心l.3+2心］【解析】由已知点P 的轨迹是以C 为圆心，1为半径的圆．取线段AB 的中点M ，则PA.PB=PM 2— —— 14AB 2））:.P A • PBE[3—2点，3+2岛］．500亢16. 【解析】分别取BC,B ,C ,的中点0心，则Q)上平面ABC ，且外接球球心M在直线001上，由题意，A0=3,A心＝4，m =✓AAl —(A心—A0)2=7.设MA =r,MO,=x,若球心在线段001上，则产＝9+(7—x)气产＝42+x 2，得x =3,r =5;若球心不在线段001上，则户＝9+C7+x)2，产＝42+x气无正数解．4六r 500六所以外接球体积为V =＝ 四、解答题：本题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.【解析】如图，设乙B C O =B ，由于0十乙CBO =冗—乙BOC =，且乙ABO十乙CBO =，故乙ABO =B.·…..n B O S1:穴,（6分）A ／二.............................................................................................................................. (2分）于是在Rt,6,.0A B中，OB =ABcos0=2cos 0. ····································································· 在,6,.0BC中，由正弦定理得＝ 2cos 0 2心即＝ ，于是tan0=sin e 矗2.(4分）而BE(o,f)，故cos乙BCO=cos 0='2,_汀．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（8分）OA =ABsin 0=2XJ 汀2m 7=7·......................................................................................................... (10分）其他做法可酌情给分．18.【解析】(1)设数列{a n 的公比为q ，则由条件得2(a3+2)=a 2+a4,又a 1=2，则2(2矿＋2)=2q+2矿，则4（矿＋1)=2q(l＋矿），因为1+q 2>0,解得q =2,故a n =2"............................................................................................................................ (3分）对于｛如，当n =l时，b 1=2,1 1 当n�2时，由b 1+—b 2+—b3++—b n=2n(nEN*)得2 3b 1＋产＋长＋十二产－I =2(n —1)，所以仇＝2(n �2),可得b n =2n ，且b 1=2也适合，故仇＝2n(nEN*),所以a n =2",仇＝2n.······························································································································ (6分）(2)因e n =（—1)n (a n —仇），由(1)得S 2n =c 1+c 2++C 2n =—a 1 +b 1 +a厂伈—+a 2n —b 2n =（—a 1 +a 2—+a 2n)+(b 1—b 2+—妇）—2[1—(—2)2n J 1—(—2) +n x (—2)2=—(1—22n )—2n31 =�x 22n +1-2n 2 ——.．．．．．．．．．．．．.．．.．．.．.．．．．．．.．.．．..．.．．.．．．.．．．．...．.．.．．．．．．.．.．．..．．．．．．．．．．．.．．.．.．．．.．．．．．．．．.．...．．．..．．.．..．．．．..．（12分）33'1队【解析】(1)如图，设点D 是AB 的中点，连接CD,B 1D.Ci若选少＠：由于L.ABC 是等边三角形，故AB_l_CD.由乙A 1B 心为直角，故A 1B 1_l_B 1C ；又AB//A 1B!，故AB_l_B 1C.于是AB_l_平面B 1CD,所以AB_l_B 1D.........................................................................(2分）因为BB 1=l,BD =➔，所以B 1D=《了二（：了＝q.A屈屈又B 1C =Y-;f ,CD =，因此B 1C 2=B 1U +C厅，故乙B 1DC =90°,即B 1D _l_CD .…......…......…......………………...…(4分）2 2又凡D_l_AB ，故B 1D_l_平面ABC ，而B 1D亡平面ABB 1Ai ，所以平面ABC_l_平面ABB 1Ai.………………………………（5分）若选叩＠：由于^ABC 是等边三角形，故AB_l_CD.数学参考答案—3又平面ABC上平面ABB 1A 1,CD亡平面ABC，平面ABcn平面ABB 1A 1=AB，故CD_l_平面ABB 1A 1.…………………(2分）而B心亡平面ABB心，故CD _l_B心，即L'__B 1DC = 90°，所以B 1D =《压6二m =《勹）2—（享）二享．1 又BB 1=l,BD =，故BB1=B 1厅＋BD 2,所以乙BDB 1=90°,即AB _l_B 1D.……......…......…......………...……...…(4分）2结合AB_l_CD，可得AB_l_平面B 1CD，因此AB_l_B 1C.又AB/IA ]凡，故A 1B 1l_B 1C,即乙A 1凡C 为直角．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（5分）若选＠＠：由于'6,.ABC是等边三角形，故AB_l_CD.由乙A 1B 1C为直角，故A 1B 1l_B 1C；又ABII A 1凡，故AB_l_B 1C.于是AB_l_平面B 1CD,所以AB_l_B 1D.······································································································ (2分）又因为平面ABC上平面ABB 1A 1,B 1D亡平面ABB 1A 1，平面ABC门平面ABB 1A 1=AB，所以B 1Dl_平面ABC.又CD亡平面ABC,所以B 1Dl_CD,即乙凡DC =90°.····················································································(4分）因为BB 1=l,BD =➔，所以B 1D=《／二（：『勹．又CD =:，故B 1C =』订汇百了飞门）二(`2/(2)以D为坐标原点建立如图空间直角坐标系．.....................................................................(5分）于是A (o ,½,o ),B (o ,—尸），e （享0,0),B 1(0,0，享）点P是棱BB 1上一点，可设可＝入国＋（1飞）茄＝（o ，—1(1—入），岛订，o <芯］，于是可＝可＋X2 2>DP=（— 点1屈2'2 (1入），2入）．.............................................................................. (7分）气\）豆＝（｀』，o ），忒＝画＝（o ,½,1)设m是平面ACC 1A 1的法向量．｛AC •m =O, —可取m =(l，点，—1)..........................................................................................................(9分）AA 1 • m =O,—�m•CP 由此得cos(m,CP〉=—沪m l • I C P I—勹—｀门）—`石·Jt勹(]—矿＋扣2战.............................. (11分）易·✓盓—入＋2.1—可见当入＝时，cos(m,CP〉取最大值，此时直线CP与平面ACC 1A 1所成的角最大，故点P是棱BB 1上靠近B的四等分点．4 ...................................................................................................................................................... (12分）2队【解析】(1)填写列联表如下：植株存活植株死亡合计吸收足量12 吸收不足量1 合计1334 715 520 ......................................................................................................................................................... (1分）x2零假设为Ho:“植株的存活”与“制剂吸收足量“无关联．根据列联表中的数据，经计算得到：20X (12X4—3X1)2 13X 7X15X5"""'5. 934<6. 635,依据a =O.01的独立性检验，没有充分证据推断几不成立，因此可以认为几成立，即认为“植株的存活“与“制剂吸收足量“无关．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（4分）(2)由题意得P(X =l)=P(X =k+lI X >k)=0.1.P(X =k+l)又P(X =k+lI X >k)=，故P(X =k+l)=O.lP(X>k).P(X >k)把k换成K —l，则P(X =k)=O . lP(X>k —1).................................................................................................(3分）P(X =k+l)两式相减，得P(X =k)—P(X =k+l)=O.IP(X =k)，即＝0. 9(k�2)．又P(X =2)=0.1P(X>l)=0.1X (l —P(X =k)P(X =l))=O. 9P(X =l)，故�=0.9对任意kEN ＊都成立，从而{P(X =k)｝是首项为o .1，公比为o .9的等比数列，因此P(X =k)=O.lXO.gk-l_..................................................................................................................(8分）数学参考答案—4由定义可知E (X)=P(X =l)+2P(X =2)+3P(X =3)＋…+kP(X =k)＋…，k k k而I;i P(X =i)=O.lI:iXO. g H ，下面先求I:iXO.gH.k1=1 i =1 i =1 I:iXO. g H =lXO.9° +zxo. 91+…+（K —1) X O. g k -2 +kXO. g k -l ,t 1ko. 9I:ixo. 9H =IXo. 91 +zxo. 92+…＋(k —1) X O. 9k -l +k X O. 9k ,1 1作差得o.II:iXO.9H =I +o. 91 +o. 92+…+Q. 9k -l —kXO. 9k t llX(l —0.9k )1—0. 9—kX0.9k =lO —(k+lO)XO. g k _所以I;iP(X =i)=O.l I:iXO. g ,-i =10—kXO. g k—10X0.9k ,当K足够大时，kXO.g k """o, 1oxo. g k """o ，故I:iP(X =i)"""lO，可认为E (X)=lO.································································································································· (12分）a+c =3,a =Z,21【解析】(1)由题意有』；bc =：，解得｛b =战，a z =b 2+c 2'c =l,22X所以椭圆的方程为十义＝1................................................................................................................ (5分）4 3(2)由题意可知直线l斜率k 存在且k<O,设直线l方程为y =k(x —1)'代入椭圆方程为(3+4K勹正—k 五十4k 2—12=0，显然Ll>O恒成立，设M (x 1心1),N(x z ,y 2),k 24k 2—12则X1+x 2 =�,X1X 2 =3+4妒3+4k 2'过点M ,N 分别作y轴的垂线，垂足分别为M',N'，设原点为0,则IPM l +IPN围M'l +INN'�=�=lx1l +lx 2I ,............................................. (7分）心当点P 在椭圆外时，—k >欢仁所以K <—忒趴此时lx 1l +lx z l =x1+x 2=�=妒3+4妒3'k 2+4 .x3 —(了);...........................................................................(9分）因为k 2>3，所以4<-;",+4<5，所以X1I + I X 2 I E (�'2) ; k2 ＠当点P 在椭圆内时，o ＜—k ＜战，所以—矗<k<O,则IXt I + I X 2 I = I X 1—m =✓m +x 2)2—4x心2=(k 2) 2—4(4K 2—12)12汇3+4妒3+4K 2= 3+4K 2,设/忙于丁＝t，则k 2=t 2—l，且1<t<2,12t 12所以lx 1l +lx 2I =�=4广—11' 4t ——1 因为函数y =4t —在(1,2)上单调递增，所以4t —1E (3,＇15t t 2) 所以IXt I + I X 2 I E(t,4),当点P是椭圆的上顶点时，—k ＝点，则k =—点，此时lx 1l +lx z l =x1+x 2=� ＝立3+4妒5'|PM|＋|PN综上，的取值范围为[t,4)................................................................................................. (12分）|PF| 5'22.【解析】(1)由/(x)=2mx +—X X=�(2m e x —1). (X).1ee叩m,.,;;;o时，由2me —l<O，令f (x)=O ，解得x =O,所以x<O时，f (x)>O,J(x)在(—oo ,0)单调递增；(1分）x>O 时，f (x)<O,则J(x)在(0,十oo )单调递减；..........................................................................................(2分）(Z)m>O 时，由f '（x)＝于（产卢），(i )m =』时，因为x(e —l)�O ,则/(x)彦O ,f(x)在(—oo ,十oo )单调递增；．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（3分）数学参考答案— 51 Cii)mE (0,）时，/(x)=O，解得x =O 或x =n tr;;_>O,2m所以xE(—oo,0)LJ (l n 1 2m '+OO)时，心＞O,f (x)在(—oo,0),(l n 1 2m ' +OO)单调递增；xE (O,l n1 m )时，/(x)<O,f (x)单调递减；．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（分）1Ciii)mE (1，十OO)时，由x =n tr;;_<O,2m所以xE(—OO ,l n 1) u (0，十oo)时，/(x)>O,f (x)在（ 1 2m —oo ,l n tr;;_),(0，十oo)单调递增，xE(l n1 2m ,o )时，/(x)<O,f (x)单调递减；．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（5分）综上m冬0时，f (x)的单调递增区间为(—oo,0)，单调递减区间为（0，十oo);mE(o, 1 2)时，(x)的单调递增区间为(—oo,0)和(l n 1 2m ') 1 ＋OO ，单调递减区间为(O,l n tr;;_);2ml' 1m =时，f (x)的单调递增区间为(—OO ，十oo); mE(1'+=)时，(x)的单调递增区间为(—OO ,l n1)和（0，十oo)，单调递减区间为(l n tr;;_,o);........ ….. ． （6分）2m(2)根据题意结合(1)可知mE(o 1 1'2)u(2,＋OO)时，(x)存在两个极值点，由b为(x)的零点，则mb气b+1 b +1=O,则－m廿＝＜o,故bE(-oo,一1),...................................................b b (7分）若mE(o ,-½)，由(1)可知a =O,则a —b >O —(—l )=l >l n 2;........................................................................ (8分）若mE(1,＋叶，则a =n 心故｛宁＋呻＝o,..m =—;+}，即1=—b十1a ＝卢，化简三m =21a ,2a b 飞＇故－2a -b ＝几＝（b 十1)＋ （b 丘－2�-2✓(—b —1)(－b一-2=-(b+l<O),.......................................(10分）1 当且仅当－b -1=，即b =-2时等号成立，即a -b >,-b -1故a —b 泗l n 2,当且仅当{b =—2，时取等号，综上，a —眕n 2恒成立．...............................................................(12分）m =4数学参考答案— 6。

长沙市2024届高三月考试卷（五）数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}2,3,4A =，{}230B x x x t =-+=.若{}2A B = ，则A B = （）A.{}2,3,4B.{}1,2,3,4C.{}1,2,3,4- D.{}2,3,4,52.已知复数()23i 1i z a =-++（R a ∈）在复平面内对应的点在坐标轴上，则z 的值不可能是（）A.3B.154C.4D.53.函数()x f x a a =-（0a >，且1a ≠）的图象可能是（）A. B.C. D.4.已知α，β，γ是空间中三个不同的平面，m ，n 是空间中两条不同的直线，则下列结论错误的是（）A.若m α⊥，n β⊥，m n ⊥，则αβ⊥ B.若m α⊥，n β⊥，//αβ，则//m nC.若//αβ，//βγ，则//αγD.若//m α，//n β，//m n ，则//αβ5.已知数列{}n a 中，n a n nλ=+，则“02nλ<<是数列{}n a 是递增数列”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件6.假设一水渠的横截面曲线是抛物线形，如图所示，它的渠口宽AB 为2m ，渠深OC 为1.5m ，水面EF 距AB为0.5m ，则截面图中水面宽EF 的长度约为（） 1.414≈ 1.732≈ 2.449≈）A.0.816mB.1.33mC.1.50mD.1.63m7.函数()sin cos f x a x b x ωω=+（0a >，0b >，0ω>）的一个对称中心为,06π⎛⎫- ⎪⎝⎭，且()f x '的一条对称轴为3x π=，当ω取得最小值时，ba=（）A. B.33 C. D.33-8.已知()()()12ln 1x x x x x --<<-对()1,2x ∀∈恒成立，且x 越接近于1，它们的值也越接近.如，取54x =时，有35ln 52ln 21616<-<，计算可得：1.5735ln 5 1.6985<<.则ln 5的近似值为（）（附：ln 20.693≈，23840.025125≈，23660.023125≈）A.1.60B.1.61C.1.62D.1.63二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9.某学校高一年级学生有900人，其中男生500人，女生400人，为了获得该校高一全体学生的身高信息，按男生、女生进行分层，通过分层随机抽样的方法，在各层中按比例分配样本，总样本是为180，经计算得到男生样本的均值为170，方差为19，女生样本的均值为161，方差为28，则下列说法中正确的是（）A.男生样本容是为100 B.抽取的样本的均值为165.5C.抽取的样本的均值为166D.抽取的样本的方差为4310.下列说法正确的是（）A.经过点()2,3且在两坐标轴上截距相等的直线只有一条B.经过点()2,3且与原点距离等于1的直线有两条C.过点()2,3且与圆()()22214x y -+-=相切的直线只有一条D.过点()2,3且与圆()()22214x y -+-=相切的圆只有一个11.四棱锥P ABCD -的底面为正方形，PA 与底面垂直，2PA =，1AB =，动点M 在线段PC 上，则（）A.不存在点M ，使得AC BM ⊥B.MB MD +的最小值为303C.四棱锥P ABCD -的外接球表面积为6πD.点M 到直线AB 的距离的最小值为25512.将数列{}n a 中的所有项排成如下数阵：1a 234a a a 56789a a a a a …已知从第2行开始每一行比上一行多两项，第1列数1a ，2a ，5a ，…成等差数列，且22a =，108a =，从第2行起，每一行中的数按从左到右的顺序均构成以2为公比的等比数列，则（）A.11a =-B.26a 位于第5行第9列C.()21344n n a n -=-⋅D.若80n a =，则n a 位于第3行第5列或第8行第3列三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知函数()f x 是奇函数，且()()0,,0,x f x g x x ≥=<⎪⎩则()8g -的值为______14.向量a ，b ，c 在正方形网格（每个小正方形的边长为1）中的位置如图所示，若向量b c λ+ 与a共线，则a b λ- 与c夹角的余弦值为______15.设061263012612m m m m x a x a x a x a x x ⎛⎫-=++++ ⎪⎝⎭ ，则6i i m ==∑______16.已知M 为椭圆：22221x y a b +=（0a b >>）上一点，1F ，2F 为左、右焦点，设12MF F α∠=，21MF F β∠=，若cos2cos 22αβαβ-+=，则该椭圆的离心率e =______四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.全民健身创精彩，健康成长蟩未来.为此某校每年定期开展体育艺术节活动，活动期间举办乒乓球比赛.假设甲乙两人进行一场比赛，在每一局比赛中，都不会出现平局，甲获胜的概率为p （01p <<）.（1）若比赛采用五局三胜制，且0.5p =，则求甲在第一局失利的情况下，反败为胜的概率；（2）若比赛有两种赛制，五局三胜制和三局两胜制，且12p >，试分析哪种赛制下甲获胜的概率更大？并说明理由.18.在ABC △中，3AB =，2AC =，D 为BC 边上一点，且AD 平分BAC ∠.（1）若3BC =，求ADCD；（2）若11cos 14A =，求线段AD 的长.19.如图，点C 在以AB 为直径的圆O 上，PA 垂直于圆O 所在平面，G 为AOC △的重心.（1）求证：平面OPG ⊥平面PAC ；（2）若1PA AC ==，2AB =，求二面角A OP G --的余弦值.20.设数列{}n a 满足：对任意正整数n ，有1123242n n a a a a n -++++= .（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若抽去数列{}n a 中的第1项，第4项，第7项，…，第32n -项，余下的项顺序不变，组成一个新数列{}n c ，记数列{}n c 的前n 项和为n T .已知对于任意的正整数n ，221n n T T λ+≥恒成立，求λ的最大值.21.已知函数()1ln f x a x x x=-+（R a ∈）.（1）是否存在实数a ，使得1x =为函数()f x 的极小值点.若存在，求a 的值；若不存在，请说明理由；（2）若()f x 图象上总存在关于点()1,0对称的两点，求a 的取值范围.22.已知双曲线C 的虚轴长为2，其中一条渐近线方程为12y x =.且M ，N 分别是双曲线的左、右顶点.（1）求双曲线C 的方程；（2）设过点()4,0G 的动直线l 交双曲线C 右支于A ，B 两点，若直线AM ，BN 的斜率分别为1k ，2k .（1）试探究1k 与2k 的比值12k k 是否为定值.若是定值，求出这个定值；若不是定值，请说明理由；（2）设ANG α∠=，BNG β∠=，02πβ<<，若1tan 7θ=，αβθ=-（02πθ<<），求BGN △的面积.长沙市一中2024届高三月考试卷（五）数学试卷答案1.【答案】B【解析】因为2是方程230x x t -+=的解，将2x =代入方程，得2t =，所以2320x x -+=的解为1x =或2x =，所以{}1,2B =，{}1,2,3,4A B = ，故选B.2.【答案】C【解析】复数()()223i 1i 421i z a a a =-++=-+-，z 在复平面内对应的点在坐标轴上，则240a -=或210a -=，解得2a =或2a =-或12a =，即3i z =或5i z =-或154z =.3i z =时，3z =；5i z =-时，5z =；154z =时，154z =，4z =不可能，故选C 3.【答案】C【解析】因为函数()x f x a a =-（0a >，且1a ≠），当1a >时，xy a =是增函数，并且恒过定点()0,1，又因为()x f x a a =-的图象在xy a =的基础上向下平移超过1个单位长度，故D 错误，C 正确；当01a <<时，xy a =是减函数，并且恒过定点()0,1，又()x f x a a =-的图象在xy a =的基础上向下平移了不到1个单位长度，故A ，B 错误，故选C.4.【答案】D【解析】对于A ，若m α⊥，n β⊥，m n ⊥，则αβ⊥，故A 正确；对于B ，若m α⊥，n β⊥，//αβ，则//m n ，故B 正确；对于C ，若//αβ，//βγ，则//αγ，故C 正确；对于D ，若//m α，//n β，//m n ，则α，β平行或相交，故D 错误，故选D.5.【答案】A【解析】充分性：()()2111111n n n n a a n n n n n n n n λλλλ++-⎛⎫-=++-+=-= ⎪+++⎝⎭.因为()2f n n n λ=+-的对称轴为直线12n =-，所以()f n 在[)1,+∞单调递增，所以()f n 的最小值为()12f λ=-.因为02λ<<，所以()()120f n f λ≥=->，所以10n n a a +->，即数列{}n a 是递增数列，所以“02λ<<”是“数列{}n a 是递增数列”的充分条件.必要性：显然，当0λ=时，n a n =为递增数列，所以“02λ<<”是“数列{}n a 是递增数列”的不必要条件.综上，“02λ<<”是“数列{}n a 是递增数列”的充分不必要条件，故选A.6.【答案】D【解析】以O 为原点，OC 为y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，设抛物线的标准方程为22x py=（0p >），由题意可得()1,1.5B ，代入22x py =得13p =，得13p =，故抛物线的标准方程为223x y =，设()00,F x y （00x >，00y >），则0 1.50.51y =-=，则2022133x =⨯=，060.8163x ==≈，所以截面图中水面宽EF 的长度约为0.8162 1.63m ⨯≈，故选D.7.【答案】A【解析】由题得()()sin cos sin f x a x b x A x ωωωϕ=+=+，其中tan 0b a ϕ=>，0,2πϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，由题意知，16k πωϕπ⎛⎫⋅-+= ⎪⎝⎭，又因为()()cos f x A x ωωϕ'=+，所以23k πωϕπ⋅+=，两式相减得()212k k ππω⋅=-，min 2ω∴=，此时3πϕ=.所以tan baϕ==，故选A.8.【答案】B 【解析】取128125x =，可得312231287ln 23ln 5125125125125⋅<-<⋅，计算可得1.6087ln 5 1.6093<<，故选B.9.【答案】ACD【解析】因为男生样本量=男生人数÷全体学生数×总样本量500180100900=⨯=，故A 正确；样本均值100801701611661008010080m n x y m n m n ω=+=⨯+⨯=++++，故C 正确，B 错误；样本方差：()(){}22222121s m s x n s y m n ωω⎡⎤⎡⎤=+-++-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦+()(){}22110019170166802816116643180⎡⎤⎡⎤=⨯+-+⨯+-=⎣⎦⎣⎦，故D 正确.故选ACD.10.【答案】BC【解析】对于A 中，当直线过点()2,3和原点时，此时直线方程为32y x =，满足题意：当直线过点()2,3，且斜率1k =-时，可得直线方程为50x y +-=，满足题意，所以经过点()2,3且在两坐标轴上截距相等的直线有两条，所以A 不正确；对于B 中，当直线的斜率不存在时，此时直线方程为2x =，不满足题意；当直线的斜率存在时，设直线方程为()32y k x -=-，即230kx y k --+=1=，整理得231280k k -+=，因为()2124380∆=--⨯⨯>，所以经过点()2,3且与原点距离等于1的直线有两条，所以B 正确；对于C 中，因为点()2,3满足方程()()22214x y -+-=，所以点()2,3在圆上，所以过点()2,3且与圆()()22214x y -+-=相切的直线只有一条，所以C 正确；对于D 中，因为点()2,3在圆()()22214x y -+-=上，根据圆与圆的位置关系，可得过点()2,3且与圆()()22214x y -+-=相切的圆有无数个，所以D 错误，故选BC.11.【答案】BCD【解析】对于A ，连接BD ，且AC BD O = ，如图（1）所示，当M 在PC 中点时，因为点O 为AC 的中点，所以//OM PA ，因为PA ⊥平面ABCD ，所以OM ⊥平面ABCD ，又因为AC ⊂平面ABCD ，所以OM AC ⊥，因为ABCD 为正方形，所以AC BD ⊥.又因为BD OM O = ，且BD ，OM ⊂平面BDM ，所以AC ⊥平面BDM ，因为BM ⊂平面BDM ，所以AC BM ⊥，所以A 错误；对于B ，将PBC △和PCD △所在的平面，沿着PC 展开在一个平面上，如图（2）所示，则MB MD +的最小值为BD ，直角PBC △斜边PC，即6，所以MB MD +的最小值为3，所以B 正确；对于C ，易知四棱锥P ABCD -的外接球直径为PC ，半径1622R PC ===，表面积246S R ππ==，所以C 正确；对于D ，点M 到直线AB 的距离的最小值即为异面直线PC 与AB 的距离，因为//AB CD ，且AB ⊄平面PCD ，CD ⊂平面PCD ，所以//AB 平面PCD ，所以直线AB 到平面PCD 的距离等于点A 到平面PCD 的距离，过点A 作AE PD ⊥，由CD ⊥平面PAD ，AE ⊂平面PAD ，所以AE CD ⊥，因为PD CD D = ，且PD ，CD ⊂平面PCD ，所以AE ⊥平面PCD ，所以点A 到平面PCD 的距离，即为AE 的长，如图（3）所示，在Rt PAD △中，2PA =，1AD =，可得PD =，所以5AE =，即直线AB 到平面PCD 的距离等于5，所以D 正确，故选BCD.图（1）图（2）图（3）图（4）12.【答案】AC【解析】由已知第1列数1a ，2a ，5a ，…成等差数列，且22a =，108a =.设第1列数所组成的等差数列公差为d ，则10282322a a d --===，所以121a a d =-=-，选项A 正确；第1行共有1项，第2行共有3项，第3行共有5项，…，第n 行共有21n -项，所以前1行共有21项，前2行共有22项，前3行共有23项，…，前5行共有25项，所以26a 位于第6行第1列，故选项B 错误；第1列数所组成的等差数列第n 行的第1项为：()()1134n d n -+-=-，且每一行中的数按从左到右的顺序均构成以2为公比的等比数列，所以第n 行的数构成以34n -为首项，公比为2的等比数列，所以()()2221342344n n n a n n --=-⋅=-⋅，故选项C 正确；因为第1列数组成等差数列，则第m 行第n 列数：()134280n m n a m -⋅=-⋅=，即160342nm -=（m ，*N n ∈），28m ∴=，1n =；8m =，3n =；3m =，5n =，故选项D 错误.故选AC.13.【答案】4-【解析】()()884g f -=-==-.14.【答案】255【解析】建立如图所示平面直角坐标系，则()1,1a = ，()0,1b =- ，()2,1c = ，()2,1b c λλλ+=-，因为向量b c λ+ 与a 共线，有211λλλ=-⇒=-，则()1,0a b λ-= ，所以1a b λ-=，c =- ，则)()25cos ,5a b c a b c a b cλλλ-⋅-==-⋅.15.【答案】42【解析】6312x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式的通项为()61841621k k kk k T C x --+=⋅⋅-，N k ∈，06k ≤≤，所以()666184187442i i k k m k k ====-=⨯-=∑∑∑.16.【答案】12【解析】先证明：sin sin sin sin 2sin cos 222222αβαβαβαβαβαβαβ+-+-+-⎛⎫⎛⎫+=++-=⎪⎪⎝⎭⎝⎭.由cos2cos 22αβαβ-+=两边同时乘以sin 2αβ+可得：sin cos 2sin cos 2222αβαβαβαβ+-++=，即()sin sin 2sin αβαβ+=+.设1MF m =，2MF n =，122F F c =，则2m n a +=.在12MF F △中，由正弦定理可得()2sin sin sin n m c αβαβ==+，所以()2sin sin sin m n cαβαβ+=++.所以该椭圆离心率()sin 221e 2sin sin 2c c a m n αβαβ+====++.17.【解析】（1）A 表示甲在第一局失利，B 表示甲获得了比赛胜利，则()()()()()()()32233111543116P AB p p p C p p pP B A p p P A p-+--===-=-.（2）在五局三胜制中甲获胜的概率为：()()()232222321341161510p p C p p p C p p p p p p =+-+-=-+.在三局两胜制中甲获胜的概率为：()2122322132p p C p p p p =+-=-.于是()()()()()232232322126151032325413121p p p pp p p p p p p p p p -=-+--=-+-=--.9分当12p >时，120p p ->，故采用5局3胜制下甲获胜的概率更大.18.【解析】设BAD CAD θ∠=∠=（0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭）.（1）因为AD 平分BAC ∠，3AB BC ==，故2C BAC θ∠=∠=.在ADC △中，由正弦定理知：sin sin 22cos sin sin AD ACD CD DAC θθθ∠===∠，又由余弦定理有2222223231cos 2cos 22323CA CB BA C CA CB θ+-+-====⋅⨯⨯，又21cos 22cos 13θθ==-，所以6cos 3θ=.即262cos 3AD CD θ==.（2）由11cos 14A =，得11cos 214θ=，则cos 14θ=.又由()11sin 2sin 22ABC ABD ACD S AB AC S S AB AC AD θθ=⋅=+=+△△△，得()sin 212cos sin 57AB AC AD AB AC θθθ⋅===+.19.【解析】（1）如图，延长OG 交AC 于点M .因为G 为AOC △的重心，所以M 为AC 的中点.因为O 为AB 的中点，所以//OM BC .因为AB 是圆O 的直径，所以BC AC ⊥，所以OM AC ⊥.因为PA ⊥平面ABC ，OM ⊂平面ABC ，所以PA OM ⊥.又PA ⊂平面PAC ，AC ⊂平面PAC ，PA AC A = ，所以OM ⊥平面PAC .即OG ⊥平面PAC .又OG ⊂平面OPG ，所以平面OPG ⊥平面PAC.（2）以点C 为原点，CB ，CA ，AP方向分别为x ，y ，z 轴正方向建立空间直角坐标系C xyz -，则()0,0,0C ，()0,1,0A，)B，31,022O ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，()0,1,1P ，10,,02M ⎛⎫⎪⎝⎭，则3,0,02OM ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，1,,122OP ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭ .设平面OPM 的一个法向量为(),,n x y z = ，则0,2310,22n OM x n OP x y z ⎧⋅=-=⎪⎪⎨⎪⋅=-++=⎪⎩ 令1z =，得()0,2,1n =-.过点C 作CH AB ⊥于点H ，由PA ⊥平面ABC ，易得CH PA ⊥，又PA AB A = ，所以CH ⊥平面PAB ，即CH为平面PAO 的一个法向量.在Rt ABC △中，由2AB AC =，得30ABC ∠=︒，则60HCB ∠=︒，122CH CB ==.所以3cos 4H x CH HCB =∠=，3sin 4H y CH HCB =∠=，所以33,,044CH ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭.设二面角A OP G --的大小为θ，则15cos 5CH n CH nθ⋅==⋅.故所求二面角A OP G --的余弦值为155.20.【解析】（1）当1n =时，由题意得11a =.当2n ≥时，()()()12123123224224211n n n n a a a a a a a a n n ---++++-++++=--= ，得121n n a -=，即112n n a -⎛⎫= ⎪⎝⎭.经验证可知11a =也满足上式，所以{}n a 的通项公式为112n n a -⎛⎫= ⎪⎝⎭.（2）数列{}n c 为：12，212⎛⎫ ⎪⎝⎭，412⎛⎫ ⎪⎝⎭，512⎛⎫ ⎪⎝⎭，712⎛⎫ ⎪⎝⎭，812⎛⎫ ⎪⎝⎭，1012⎛⎫ ⎪⎝⎭，1112⎛⎫⎪⎝⎭，…所以奇数项是以12为首项，18为公比的等比数列，偶数项是以212⎛⎫⎪⎝⎭为首项，18为公比的等比数列.()()21221321242n n n n T c c c c c c c c c -=+++=+++++++ 2143225311111112828111111112222221188n nn n --⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫--⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎡⎤⎡⎤⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎣⎦⎣⎦=+++++++=+⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦-- 661778n⎛⎫=- ⎪⎝⎭.2122166111651778287148nnnn n n T T c ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=-+=- ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭.22111212128418551112512588nnn nn T T +⎛⎫-⨯ ⎪⎝⎭==-⎛⎫⎛⎫-⨯-⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，显然221n n T T +是关于n 的增函数，所以2211213n n T T +≥.所以λ的最大值为1213.21.【解析】（1）由题意，得函数()f x 的定义域为()0,+∞，且()222111a x ax f x x x x -+-'=--=.若1x =为函数()f x 的极值点，则()10f '=，2a =.此时()()22221210x x x f x x x ---+-'==≤，函数()f x 在()0,+∞上单调递减.故1x =不是函数()f x 的极值点，所以不存在a 满足条件.（2）由题意可知()()20f x f x +-=在()0,1x ∈上有解，所以()()11ln ln 2202a x x a x x x x ⎡⎤⎡⎤-++---+=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦在()0,1x ∈上有解.该方程化简得()222ln 2202a x x x x-+-=-.令()220,1t x x =-∈，得2ln 20a t t +-=，所以问题等价于方程2ln 20a t t +-=在()0,1t ∈上有解.令()2ln 2h t a t t =+-，()0,1t ∈，有()2222a at h t t t t -'=-=.当2a ≤时，()h t 在()0,1单调递减，又()10h =，所以()h t 在()0,1上无零点，不成立.当2a >时，()h t 在20,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在2,1a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，且()10h =.所以有20h a ⎛⎫< ⎪⎝⎭，()222211ln 222ln 20h a a a a a a a a ⎛⎫=+-=-+-> ⎪⎝⎭.故()h t 在20,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上有一个零点，在2,1a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上没有零点.综上，当2a >时，()f x 图象上总存在一对关于点()1,0对称的两点.22.【解析】（1）由题意可设双曲线C ：22221x y a b -=，则22,1,2b b a =⎧⎪⎨=⎪⎩解得2a =，1b =，所以双曲线C 的方程为2214x y -=.（2）（i ）设()11,A x y ，()22,B x y ，直线AB 的方程为4x ty =+.由224,1,4x ty x y =+⎧⎪⎨-=⎪⎩消元得()2248120t y ty -++=.则2t ≠±，2161920t ∆=+>，且1221228,412,4t y y t y y t ⎧+=-⎪⎪-⎨⎪=⎪-⎩()()1121112121221221122222222662y y ty k x y x ty y y y k x y y ty ty y y x ++-+∴==⨯==+++-()2222212122122222212164222214441212636644t t ty y ty y y y y t t t t t ty y y y y t t ----++----====-+++--；（ii ）由（i ）知，213k k =-，设直线AN 的斜率为3k ，则1113111224y y k k x x ⋅=⋅=+-，所以2334k k ⋅=-.即3tan 4tan αβ=，由αβθ=-可得()tan tan αβθ=-，化简得：1tan 3714tan 1tan 7βββ-=+，解得：3tan 4β=-（舍），tan 1β=.所以直线BN 的方程为2x y =-+.。

2024届高三月考试卷（五）数学（答案在最后）注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号､座位号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一､选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.若i 为虚数单位，则()()2i 1i +-的虚部为（）A.iB.1C.i- D.-12.若集合{}2log 1,{1}A xx B x x =<=∣∣ ，则A B ⋃=R ð（）A.{01}x x <<∣B.{12}xx -<<∣C.{10xx -<<∣或02}x << D.{2}xx <∣3.已知不共线的两个非零向量,a b ，则“a b + 与a b - 所成角为锐角”是“a b > ”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件4.要得到函数()πcos 23g x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象，可以将函数()πsin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象（）A.向右平移π3个单位长度 B.向左平移π3个单位长度C.向右平移π6个单位长度D.向左平移π6个单位长度5.已知()()4223,0,,0,x x x f x g x x ⎧-->⎪=⎨<⎪⎩若()f x 为()(),00,∞∞-⋃+上的奇函数，()0(0)g a a =<，则a =（）A.62±B.32-C.62-D.-16.已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左､右顶点分别为12,,A A F 为C 的右焦点，C 的离心率为2，若P为C 右支上一点，2PF FA ⊥，记12π02A PA ∠θθ⎛⎫=<< ⎪⎝⎭，则tan θ=（）A.12B.1C. D.27.已知二面角l αβ--的平面角为π0,,,,,,2A B C l D l AB l AB θθαβ⎛⎫<<∈∈∈∈⊥ ⎪⎝⎭与平面β所成角为π3.记ACD 的面积为1,S BCD 的面积为2S ，则12S S 的取值范围为（）A.1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭B.12⎡⎢⎣C.2⎣D.,12⎫⎪⎪⎣⎭8.在长郡中学文体活动时间，举办高三年级绳子打结计时赛，现有()*5n ∈N根绳子，共有10个绳头，每个绳头只打一次结，且每个结仅含两个绳头，所有绳头打结完毕视为结束.则这5根绳子恰好能围成一个圈的概率为（）A.64315 B.256315 C.32315 D.128315二､多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）9.下列关于概率统计说法中正确的是（）A.两个变量,x y 的相关系数为r ，则r 越小，x 与y 之间的相关性越弱B.设随机变量()2,1N ξ~，若(3)p p ξ>=，则1(12)2p p ξ<<=-C.在回归分析中，2R 为0.89的模型比2R 为0.98的模型拟合得更好D.某人解答10个问题，答对题数为(),10,0.8X X B ~，则()8E X =10.已知等比数列{}n a 的公比为(0)q q >，前n 项积为n T ，若768T T T >>，则（）A.01q <<B.1q >C.13141T T >> D.14151T T >>11.已知定义在R 上的函数()f x 满足()()()22024f x f x f ++=，且()21f x +是奇函数，则（）A.()f x 的图象关于点()1,0对称B.()()04f f =C.()21f =D.若1122f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则10011 02i if i =⎛⎫-= ⎪⎝⎭∑12.,D E 是ABC 边BC 上的点，其中,3BAD CAE BC ∠∠==，且13BD BE CD CE ⋅=⋅.则ABC 面积的可能取值为（） A.934 B.332C. D.732三､填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）13.5(12)x +的展开式中4x 的系数是__________.（用数字作答）.14.函数()sin 2f x x x x =++的图象在π2x =处的切线与坐标轴所围成的图形的面积为__________.15.四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是平行四边形，点,E F 分别为,PC AD 的中点，平面BEF 将四棱锥P ABCD -分成两部分的体积分别为12,V V ，且满足12V V >，则12V V =__________.16.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左､右焦点分别为12,F F ，离心率为e ，点P 在椭圆上，连接1PF 并延长交C 于点Q ，连接2QF ，若存在点P 使2PQ QF =成立，则2e 的取值范围为__________.四､解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分10分）已知数列{}n a 是等差数列，其前n 项和为n S ，且247213,49a a S +==.（1）求{}n a 的通项公式；（2）设2n an n b a =+，求数列{}n b 的前n 项和n T .18.（本小题满分12分）如图，在三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面,1,ABC PA AB BC PC ====.（1）求证：BC ⊥平面PAB ；（2）求二面角A PC B --的大小.19.（本小题满分12分）在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且)cos a bC C =+.（1）求B ；（2）已知BC D =为边AB 上的一点，若π1,2BD ACD ∠==，求AC 的长.20.（本小题满分12分）已知函数()()sin e xxf x x =∈R .（1）求()f x 的单调区间；（2）若对于任意的()π0,,2x f x kx ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立，求实数k 的取值范围.21.（本小题满分12分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 为x 轴正半轴上的一个动点.以F 为焦点､O 为顶点作抛物线2:2(0)C y px p =>.设P 为第一象限内抛物线C 上的一点，Q 为x 轴负半轴上一点，设(),0(0)Q a a ->，使得PQ 为抛物线C 的切线，且2PQ =.圆12C C ､均与直线OP 切于点P ，且均与x 轴相切.（1）试求出,a p 之间的关系；（2）是否存在点F ，使圆1C 与2C 的面积之和取到最小值.若存在，求出点F 的坐标；若不存在，请说明理由.22.（本小题满分12分）现有一种不断分裂的细胞X ，每个时间周期T 内分裂一次，一个X 细胞每次分裂能生成一个或两个新的X 细胞，每次分裂后原X 细胞消失，设每次分裂成一个新X 细胞的概率为p ，分裂成两个新X 细胞的概率为1p -；新细胞在下一个周期T 内可以继续分裂，每个细胞间相互独立.设有一个初始的X 细胞，在第一个周期T 中开始分裂，其中1,12p ⎛⎫∈⎪⎝⎭.（1）设2T 结束后，X 细胞的数量为ξ，求ξ的分布列和数学期望；（2）设()*nT n ∈N 结束后，X 细胞数量为m 的概率为()mP n .（i ）求()2P n ；（ii ）证明：()32827P n p <.2024届高三月考试卷（五）数学参考答案1.D【解析】因为()()2i 1i 22i i 13i +-=-++=-，故选D.2.B 【解析】不等式2log 1x <解得02x <<，则{02}A xx =<<∣，{1},{1}{11},{12}B x x B xx x x A B x x ==<=-<<∴⋃=-<<R R∣∣∣∣ 痧，故选B.3.C 【解析】因为,a b不共线，可知a b +与a b -不共线，则a b + 与a b - 所成角为锐角等价于()()0a b a b +⋅-> ，即22a b > ，即a b > ，所以“a b + 与a b - 所成角为锐角”是“a b > ”的充分必要条件.故选C.4.B 【解析】()()π5π5πsin2,sin 2sin212612f x x g x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，5πππ12123-=，故选B.5.C 【解析】由题意可得当0a <时，()()0f a g a ==，因为()f x 为()(),00,∞∞-⋃+上的奇函数，所以()()f a f a =--，所以()()()()4222230,1230g a f a a a a a =--=-++=+-=，所以21a =-（舍去），或232a =，因为0a <，所以62a =-.故选C.6.A【解析】设C 的焦距为2c ，点()00,P x y ，由C 的离心率为2可知2,c a b ==，因为2PF FA ⊥，所以0x c =，将()0,P c y 代入C 的方程得220221y ca b-=，即0y =，所以()2133tan 3,tan 1PA F PA F c a c a ∠∠====---，故()21311tan tan 1312PA F PA F θ∠∠-=-==+⨯.故选A.7.C 【解析】作AE CD ⊥，垂足为E ，连接BE ，因为AB l ⊥，即,,,AB CD AE AB A AE AB ⊥⋂=⊂平面AEB ，故CD ⊥平面,AEB BE ⊂平面AEB ，故CD BE ⊥，又CD ⊂平面β，故平面AEB ⊥平面β，平面AEB ⋂平面BE β=，则AB 在平面β内的射影在直线BE 上，则ABE ∠为AB 与平面β所成角，即π3ABE ∠=，由于,AE CD CD BE ⊥⊥，故AEB ∠为二面角l αβ--的平面角，即π02AEB ∠θθ⎛⎫=<<⎪⎝⎭，121212AE CD S AE S BE BE CD ⨯==⨯，在ABE 中，sin sin sin AE BE ABABE BAE AEB∠∠∠==，则sin 31sin 2sin AE ABE BE BAE BAE∠∠∠==⋅，而π02θ<<，则π2ππ33BAE ∠θθ=--=-，则π2π1,,sin ,1632BAE BAE ∠∠⎛⎫⎛⎤∈∴∈⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦，故sin 313sin 2sin 2AE ABE BE BAE BAE ∠∠∠==⋅∈⎣，故选C.8.D 【解析】不妨令绳头编号为1,2,3,4,,2n ，可以与绳头1打结形成一个圆的绳头除了1，2外有22n -种可能，假设绳头1与绳头3打结，那么相当于对剩下1n -根绳子进行打结，令()*n n ∈N根绳子打结后可成圆的种数为n a ，那么经过一次打结后，剩下1n -根绳子打结后可成圆的种数为1n a -，由此可得，()122,2n n a n a n -=- ，所以()1212122,24,,2n n n n a a an n a a a ---=-=-= ，所以()()()112224221!n n a n n n a -=-⨯-⨯⨯=⋅- ，显然11a =，故()121!n n a n -=⋅-；另一方面，对2n 个绳头进行任意2个绳头打结，总共有()()()222222224222122212!C C C C ;!2!2!n n n n n n n n n N n n n --⋅-⋅-⋅⋅⋅===⋅⋅ 所以()()()()12121!2!1!2!2!2!n n n n n n n a P n N n n --⋅-⋅-===⋅.所以当5n =时，128315P =，故选D .二､多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）9.BD【解析】对于A ，两个变量,x y 的相关系数为,r r 越小，x 与y 之间的相关性越弱，故A 错误；对于B ，随机变量ξ服从正态分布()2,1N ，由正态分布概念知，若(3)P p ξ>=，则1(12)(23)(2)(3)2P P P P p ξξξξ<<=<<=>->=-，故B 正确；对于C ，在回归分析中，2R 越接近于1，模型的拟合效果越好，2R ∴为0.98的模型比2R 为0.89的模型拟合的更好，故C 错误；对于D ，某人在10次答题中，答对题数为(),10,0.8X X B ~，则数学期望()100.88E X =⨯=，故D 正确.故选BD.10.AC 【解析】因为等比数列{}n a 的公比为(0)q q >且768T T T >>，则6123456156123456110T a a a a a a a q a q ++++===>，所以78778661,1T Ta a a T T =>=<，又因为27870a a a q =>，则278701a a a <<<，所以7810a a >>>，从而10a >，故对任意的*11,0n n n a a q-∈=>N ，由7870a a a q >=>可得01q <<，A 对B 错；()7131312137141214781,1T a a a a T a a a a a ==>==< ，即13141T T >>，C 对D 错.故选AC.11.ABD【解析】A 选项，由题意知，()()2121f x f x -+=-+，则()()110f x f x -+++=，所以()f x 图象的对称中心为()1,0,A 正确；B 选项，()()()()()()22024,422024f x f x f f x f x f ++=+++=，两式相减得()()4f x f x +=，所以()()40f f =，B 正确；C 选项，由B 选项可得，()f x 的周期为4，又20244506=⨯，故()()()()220240f x f x f f ++==，令0x =得，()()()200f f f +=，得()20f =，所以C 错误；D 选项，因为()()110f x f x -+++=，令1x =得，()()020f f +=，又()20f =，故()00f =，()()110f x f x -+++=中，令12x =得，311222f f ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由()()20f x f x ++=，得511731,222222f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-=-= ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，又()f x 的周期为4，则()()()()()135714144244344444122222n f n n f n n f n n f n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++++++++=+⨯+⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()()()()()()11114243444142434402222n n n n n n n ⎛⎫⎛⎫⎡⎤+⨯-++⨯-++⨯=⨯+-+-+++= ⎪ ⎪⎣⎦⎝⎭⎝⎭，所以10011 02i if i =⎛⎫-= ⎪⎝⎭∑，D 正确.故选AB D.12.AB 【解析】由面积公式可得：1sin sin 21sin sin 2ABD ADC AD AB BADS BD AB BADS CD AC CAD AD AC CAD ∠∠∠∠⨯⨯⨯⨯===⨯⨯⨯⨯ ，1sin sin 21sin sin 2ABE AEC AE AB BAES BE AB BAES CE AC CAEAE AC CAE ∠∠∠∠⨯⨯⨯⨯===⨯⨯⨯⨯ ，因为BAD CAE ∠∠=，故CAD BAE ∠∠=，由13BD BE CD CE ⋅=⋅可得sin sin 1sin sin 3AB BAD AB BAE AC CAD AC CAE ∠∠∠∠⨯⨯⨯=⨯⨯，即AB AC =建立如图所示的平面直角坐标系，则()()0,0,3,0B C ，设(),A x y ，=，整理得到：2232724x y ⎛⎫++= ⎪⎝⎭，即点A 的轨迹是以3,02⎛⎫-⎪⎝⎭为圆心，332为半径的圆，故ABC 的BC 边上的高的最大值为2，故其面积的最大值为4.故选AB .三､填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）13.80【解析】5(12)x +的通项为155C (2)2C rrrr rr T x x +==，令4r =，得5(12)x +的展开式中4x 的系数是4452C 80=.14.1【解析】由题意可得()sin cos 1f x x x x =++'，则ππ2,π222f f '⎛⎫⎛⎫==+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故()f x 的图象在π2x =处的切线方程为()ππ222y x ⎛⎫-+=- ⎪⎝⎭，即22y x =+.令0x =，得2y =；令0y =，得1x =-，则所求图形的面积为12112⨯⨯=.15.75【解析】如图，延长,BF CD 交于点G ，连接GE 交PD 于点M ，因为底面ABCD 为平行四边形，所以FDG 与FAB 全等，且FDG 与BCG 相似，相似比为12，设FDG 的面积为S ，则四边形BCDF 的面积为3S ，设点P 到底面ABCD 的距离为h ，则1113322E BCDF V S h Sh -=⨯⨯=，又因为E 为PC 的中点，所以1122E DFM C DFM G DFM V V V ---==，而111,3326E DFG E DFG G DFM E DFM E DFM V S h Sh V V V V -----=⨯==+=，所以118E DFM V Sh -=，所以259MECBFD E BCDF E DFM V V V V Sh --==+=，所以121574399P ABCD V V V S h Sh Sh -=-=⨯⨯-=，所以1275V V =.16.)11,1⎡-⎣【解析】设11,QF m PF n ==，则22QF a m =-.显然当P 靠近右顶点时，2PQ QF >，所以存在点P 使2PQ QF =等价于()22min 0,22PQ QF PQ QF m n a --=+- ，在12PF F 中由余弦定理得22221121122cos PF PF F F PF F F θ=+-⋅⋅，即222(2)422cos a n n c n c θ-=+-⋅⋅，解得2cos b n a c θ=-，同理可得2cos b m a c θ=+，所以2112a m n b +=，所以()(2223112223222b b b n m m n m n a m n a m n a +⎛⎫⎛⎫+=++=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，所以22min (21)(22)22b m n a a a+-=-，当且仅当n =时等号成立.由22(21)202b a a-得2212b a -，所以2111e -< .四､解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.）17.【解析】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，又247213,49a a S +==，所以()1112313,76749,2a d a d d a ⎧+++=⎪⎨⨯+=⎪⎩解得11,2a d ==，所以{}n a 的通项公式()()1112121n a a n d n n =+-=+-=-.（2）由（1）知212212n a n n n b a n -=+=-+，所以()()()()3521123123252212n n n T b b b b n -=++++=+++++++-+ ()()()()2135212214121221352122222143nn n n n n n +-⨯-+--=++++-+++++=++- .18.【解析】（1）因为PA ⊥平面,ABC BC ⊂平面ABC ，所以PA BC ⊥，同理PA AB ⊥，所以PAB 为直角三角形，又因为222,1,3PB PA AB BC PC =+===，所以222PB BC PC +=，则PBC 为直角三角形，故BC PB ⊥，又因为,BC PA PA PB P ⊥⋂=，所以BC ⊥平面PAB .（2）由（1）知BC ⊥平面PAB ，又AB ⊂平面PAB ，则BC AB ⊥，以A 为原点，AB 为x 轴，过A 且与BC 平行的直线为y 轴，AP 为z轴，建立空间直角坐标系，如图，则()()()()0,0,0,0,0,1,1,1,0,1,0,0A P C B ，所以()()()()0,0,1,1,1,0,0,1,0,1,1,1AP AC BC PC ====- ，设平面PAC 的法向量为()111,,m x y z =，则0,0,m AP m AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 即1110,0,z x y =⎧⎨+=⎩令11x =，则11y =-，所以()1,1,0m =- ，设平面PBC 的法向量为()222,,n x y z =，则0,0,n BC n PC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 即22220,0,y x y z =⎧⎨+-=⎩令21x =，则21z =，所以()1,0,1n = ，所以1cos ,||||2m n m n m n ⋅〈〉== ，又因为二面角A PC B --为锐二面角，所以二面角A PC B --的大小为π3.19.【解析】（1）)cos a b C C =+ ，根据正弦定理得，)sin sin cos A BC C =+，即sin cos cos sin sin sin cos B C B C B C B C +=+，cos sin sin B C B C ∴=，因为sin 0C >，cos B B ∴=，所以3tan 3B =，()π0,π,6B B ∈∴= .（2）π1,6BC BD B ===，根据余弦定理得2222cos 112217,2CD BC BD BC BD B CD =+-⋅⋅=+-⨯⨯=∴=.ππ,sin sin cos 22BDC A BDC A A ∠∠∠∠⎛⎫=+∴=+= ⎪⎝⎭ .在BDC中，由正弦定理知，,1sin sin cos 2BC CD BDC B A ∠∠=∴=，21π27cos ,0,,sin 727A A A ⎛⎫∴=∈∴= ⎪⎝⎭，sin 2321tan ,cos 32A CD A AC A AC ∴===∴=.20.【解析】（1）()πcos sin 4e e x x x x x f x '⎛⎫+ ⎪-⎝⎭==，令()0f x '>，则πcos 04x ⎛⎫+> ⎪⎝⎭，即()πππ2π2π242k x k k -<+<+∈Z ，解得()f x 的递增区间为()3ππ2π,2π44k k k ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭Z ；令()0f x '<，则πcos 04x ⎛⎫+< ⎪⎝⎭，即()ππ3π2π2π242k x k k +<+<+∈Z ，解得()f x 的递减区间为()π5π2π,2π44k k k ⎛⎫++∈ ⎪⎝⎭Z .所以，()f x 的递增区间为()3ππ2π,2π44k k k ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭Z ，递减区间为()π5π2π,2π44k k k ⎛⎫++∈ ⎪⎝⎭Z .（2）因为对于任意的()π0,,2x f x kx ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦ 恒成立，所以sin e x x kx 对于任意的π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立，当0x =时，k ∈R ；当π0,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，sin e x x k x ，令()sin π,0,e 2x x g x x x ⎛⎤=∈ ⎥⎝⎦，所以()2cos sin sin ex x x x x x g x x -'-=.令()πcos sin sin ,0,2h x x x x x x x ⎛⎤=--∈ ⎥⎝⎦，所以()sin sin cos 0h x x x x x x '=---<在π0,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦上恒成立，所以()h x 在π0,2⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递减，所以()()00h x h <=，即()0g x '<在π0,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦上恒成立所以()g x 在π0,2⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递减，所以min π2π2()2πe g x g ⎛⎫== ⎪⎝⎭，所以π22πe k .综上，实数k 的取值范围为π22,πe ∞⎛⎤ ⎥- ⎥⎝⎦.21.【解析】（1）由条件抛物线2:2(0)C y px p =>，点(),0(0)Q a a ->，设:(0)PQ l x my a m =->，将其与抛物线C 的方程联立，消去x 得2220y pmy pa -+=.①因为PQ 与抛物线C 切于点P ，所以方程①的判别式为22Δ4420p m pa =-⨯=，解得m =.进而，点(P a .故0P PQ =-==由2PQ =，则2424a pa +=.②（2）设圆12C C ､的圆心分别为()()111222,,,O x y O x y .注意到，OP 与圆12C C ､均切于点P ，故12OP O O ⊥.设圆12C C ､与x 轴分别切于,M N ，如图所示：则12,OO OO 分别为POM PON ∠∠､的角平分线，故112212,,90O M O P O N O P O OO ∠===，易知21OPO O PO ∽，则12O POPOP O P =，2222121212||2P P y y O M O N O P O P OP x y a pa =⋅=⋅==+=+.结合式②有2212243y y a pa a =+=-.③由12,,O P O 三点共线得111112222222P P O P O M y pa y y y y y PO O N y pa y --====--，化简可得12122y y y y pa +=.④令2212T y y =+，于是，圆12C C ､的面积之和为πT .根据题意，仅需考虑T 取最小值的情形，根据③､④知()()()()()2222222212121212224324422432432441a a T y y y y y y y y a a pa a a --=+-=⋅-=---=--.令21t a =-，由()()23111144420,0,34234234t t t a pa t T t t t t t++=-=>>==++⋅+=+ .当且仅当33t =时，上式等号成立.此时，1113a t =-=-.结合式（2）得213121333313p a t t a -====---.故点F 的坐标为133⎛⎫⎪⎪-⎭.22.【解析】（1）2个T 结束后，ξ的取值可能为1,2,3,4，其中()21P p ξ==，()()()23211P p p p p p p ξ==-+-=-，()()()()12331C 12(1),4(1)nP p p p p p P p ξξ==-⨯⨯⨯-=-==-，所以ξ分布列为ξ1234P 2p 3p p -22(1)p p -3(1)p -()()232321232(1)4(1)44E p p p p p p p p ξ⎡⎤=⨯+⨯-+⨯-+⨯-=-+⎣⎦.（2）（i ）()2P n 表示分裂nT 结束后共有2个细胞的概率，则必在某一个周期结束后分裂成2个X 细胞.不妨设在第kT 时分裂为2个X 细胞，之后一直有2个X 细胞，此事件概率()()()12212,11n k k n k k P p p p p p ----=⨯-⨯=-⨯，所以2122,12,22,1()(1)n n k n k P n P P P p p --==+++=-⋅∑ ()2111(1)1n n k n n k p p pp p ---==-=⋅-∑.（ii ）()3P n 代表分裂nT 后有3个细胞的概率，设细胞X 在kT 后分裂为2个新的X 细胞，这两个X 细胞在剩下的()n k T -中，其中一个分裂为2个X 细胞，一个保持一直分裂为1个X 细胞，此事件的概率()()()()11113,221C 121k n k k n k n k n k k P p p p P n k p p p p p -------=⋅-⋅⋅-=⋅-⋅⋅⋅⋅-，得()()223223,2121n k n k k P p p p p p p ----=⋅-⋅-⋅-⋅，2232233,13,23,11()2(1)2(1)n n n k n k n k k P n P P P pp p p p p ----===+++=⋅-⋅-⋅-⋅∑∑ ()()()()()1122112111n n nn n n p p p p p p p p p p --⋅-⋅-⋅-⋅-==++，其中()1,1,0,12n p p ⎛⎫∈∈ ⎪⎝⎭.令()()()()()()()32221211,11n x p x x x x x x p P n p p p p ⋅-⋅-⋅-⋅-==<++，记()()()()2(1),113f x x x f x x x =-=--'，令()0f x '=，得13x =.当()()10,,0,3x f x f x ⎛⎫∈> ⎪⎝'⎭单调递增；当()()1,1,0,3x f x f x ⎛⎫∈< ⎪⎝'⎭单调递减.故()max 14[]327f x f ⎛⎫== ⎪⎝⎭，。

湖南省长沙2022-2023高三下学期3月考数学试题时量：120分钟满分：150分得分一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合A ={x E Zlx<2},B ={xlx 2—2x —3<0}，则A门B =A. {—l,0,1,2}B. {0,1}c.{—1,0,l}D.｛—2,0,l}2.已知复数z在复平面内对应的点的坐标为(—1,2)，则．＝l +iA.—f +f i 3 1.B.————12 2c. 3 3. —歹—歹l1 I3 • D .—十—l 2'23．青花瓷，又称白地青花瓷，常简称青花，是中国瓷器的主流品种之一．如图，这是景德镇青花瓷瓶，现往该青花瓷瓶中匀速注水，则水的高度y与时间x的函数图象大致是A}==二二e/D/－x4．若（2x —3)5=a 。

+a1(x —1) +a 2 (x —1)开a 3(x —1)3 +a 4 (x —1)4+ a 5 (x —1)5，则a。

＋a 2+a 4=A.244 B.1c.—120D.—1215.若a E (o ,f ),�言a=i，则cos (a +{)=岛＿2A 迈＿2B1_2c D. 16．如图，在平行四边形ABCD 中，E 是BC 的中点，召�=2FD ,DE与B F )）)相交千0．若AD =2,AO• (3 AD —2AB)＝—7，则AB 的长为A.2 D FA BB. 3 CEC. 4D. 57．某人造地球卫星的运行轨道是以地心为一个焦点的椭圆，其轨道的离心率为e ，设地球半径为R，该卫星近地点离地面的距离为r，则该卫星远地点离地面的距离为A. C. l +e, 2e r+ R1—e 1—e l+e r+ 2e R 1-e ''l+eB. D. l+ee r+ R 1—e 1—e 1—e r+ eR l+e 'I l+e8．已知正方体ABCD —A'B'C'订的棱长为3,E 为棱AB 上的靠近点B 的三等分点，点P 在侧面CC'D'D 上运动，当平面B'EP与平面ABCD和平面CC'D'D所成的角相等时，则D'P 的最小值为A. 3顶 B. 3顶10 C.9顶10D.7顶10二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．）9．下列说法，其中正确的是A ．对千独立性检验，x 2的值越大，说明两事件相关程度越大B ．若随机变最�,...__,N(l ,B2),P（衮5)=0.75，则P（衮—3)=0.25C ．若随机变量X,...__,B (9,½)，则D(2X十1)=5D ．在回归分析中，对一组给定的样本数据Cx1,y1),(x 口Y2)，…，（X n 心n )而言，若残差平方和越大，则模型的拟合效果越好10．如图，正四棱锥E —ABCD 的底面边长与侧棱长均为a，正三棱锥F —ADE 的棱长均为a，则A.E Fl_BC B ．正四棱锥E —ABCD 的内切球半径为(1——a 迈2)\、、、、、、n ,',ABC.E,F,A,B四点共面D．平面F A D/／平面B EC11.已知函数f(x)=sin Ix I+ I s in x I+cos Ix I+ I c os x I，下列四个选项正确的是A. y= f(x)是偶函数B. y= f(x)是周期函数C. y= J(x)在停＋2krc,叶2k亢),kEN上为减函数D.y=f(x)的最大值为2迈lln xi12．已知关千x的方程＝a有且仅有两解X1,Xz，且X1＜立，则exA.函数y=a e x与y=l nx的图象有唯一公共点B.x江2<11C—<X1 <1, 1<x2<2. 21 1D存在唯一a=a。