云南师大附中高三下学期高考适应性月考卷理科数学(七)(word版,含解析)

2020届云南师大附中高三下学期高考适应性月考卷(理科)数学（七）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分,共60分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.体育节到来，多数同学都会参加至少一个运动项目.设集合U={甲班全体同学},集合A= {参加跳高的甲班同学},集合B= {参加跳远的甲班同学},则()U A B ⋂ð)表示的是A.既参加跳高又参加跳远的甲班同学B.既不参加跳高也不参加跳远的甲班同学C.参加跳高或跳远的甲班同学D.不同时参加跳高和跳远的甲班同学2.已知复数13,z i =-+则28z= .13A i -+.13B i -- .13C i +.13D i - 3.已知平面向量,,a b r r 命题“||2||a b =r r ”是“|2||2|a b a b +=-r r r”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.某工厂为了对40个零件进行抽样调查,将其编号为00, 01, 38, 39.现要从中选出5个，利用下面的随机数表,从第一行第3列开始，由左至右依次读取,则选出来的第5个零件编号是A.36B.16C.11D.145.朱世杰是元代著名的数学家,有“中世纪世界最伟大的数学家”之称.其著作《四元玉鉴》是一部成就辉煌的数学名著,受到数学史研究者的高度评价.《四元玉鉴》下卷“杂范类会”中第一问为: "今有沈香立圆球一只，径十寸,今从顶截周八寸四分,问厚几何?"大意为现有一个直径为10的球,从上面截一小部分,截面圆周长为8.4,问被截取部分几何体的高为多少.已知朱世杰是以圆周率为3来计算，则《四元玉鉴》中此题答案为(注:24.823.04=)A.0.2B.0.4C.0.6D.0.86.函数25()x xx f x e e -=+的图象大致为7.已知抛物线22(0)y px p =>的准线与椭圆22194x y +=相交的弦长为3,则p= A.1 B.2 C.3 D.48.在正四面体A-BCD 中, E. F 分别为AB, CD 的中点,则下列命题不正确的是 A. EF ⊥ABB. EF ⊥CDC.EF 与AC 所成角为4πD.EF 与BD 所成角为3π 9. 已知数列{}n a 满足∀1*1233,3.n n na a a n n -+++∈=L N 则n a 的前n 项和n s = 133.2n A +-31.2n B -2.2C n n +2.4D n n +10. 如图1,已知在算法中“\”和“mod”分别表示取商和取余数.为了验证三位数卡普雷卡尔“数字黑洞”( 即输入一个无重复数字的三位数，经过如图的有限次的重排求差计算，结果都为495).小明输入x=325，则输出的i=A.3B.4C.5D.611. 已知函数2()sin ,f x x x x =-若0,23(log 3),(log 0.2),a f b f ==c=3(0.2),f 则A. a>b>cB. b>a>cC. c>b>aD. c>a>b12.双曲线定位法是通过测定待定点到至少三个已知点的两个距离差所进行的一种无线电定位通过船(待定点)接收到三个发射台的电磁波的时间差计算出距离差,两个距离差即可形成两条位置双曲线,两者相交便可确定船位我们来看一种简单的“特殊”状况:如图2所示,已知三个发射台分别为A, B. C 且刚好三点共线，已知AB=34海里，AC=20海里.现以AB 的中点为原点, AB 所在直线为x 轴建系.现根据船P 接收到C 点与A 点发出的电磁波的时间差计算出距离差,得知船P 在双曲线22(27)13664x y --=的左支上，若船P 上接到A 台发射的电磁波比B 台电磁波早185.2μs(已知电磁波在空气中的传播速度约为0.3km/μs.1海里=1.852km),则点P 的坐标(单位:海里)为A.903211 (,)7± B.135322(,)7±32.(17,)3C± D. (45,162)±二、填空题(本大题共4小题，每小题5分,共20分)13. 曲线2(1)lny x x=+在(1, 0)处的切线方程为_____14. 已知x, y满足315,212,,x yx yxy+≤⎧⎪+≤⎪⎨∈⎪⎪∈⎩NN,则z=3x+2y的最大值为____15.作家马伯庸小说《长安十二时辰》中,靖安司通过长安城内的望楼传递信息.同名改编电视剧中，望楼传递信息的方式有一种如下:如图3所示，在九宫格中,每个小方格可以在白色和紫色(此处以阴影代表紫色)之间变换，从而一共可以有512种不同的颜色组合,即代表512种不同的信息.现要求每一-行,每一列上至多有一个紫色小方格(如图所示即满足要求).则一共可以传递___种信息. (用数字作答)16.已知ω>14，函数()sin()4f x xωπ=+在区间(π, 2π)上单调.1(,1].4ω∈①②f(x)在区间(π, 2π)上单调递减;③f(x)在区间(0, π)上有零点;④f(x) 在区间(0, π)上的最大值一定为1.以上四个结论，其中正确结论的编号是____三、解答题(共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)17. （本小题满分12分）华为手机作为全球手机销量第二位，一直深受消费者喜欢。

云南师大附中2012届高考适应性月考卷（七）理科数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．参考公式： 如果事件A 、B 互斥，那么)()()(B P A P B A P +=+如果事件A 、B 相互独立，那么)()()(B P A P B A P ⋅=⋅如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率：()(1)k k n kn n P k C P P -=-球是表面积公式24R S π=其中R 表示球的半径 球的体积公式334R V π=其中R 表示球的半径 第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}1,2,3,4A =，1,2B y y x x A ⎧⎫==∈⎨⎬⎩⎭，则A B ＝ A ．{}1,3B ．{}1,2C ．{}2,4D ．{}1,2,3,42．某市进行一次高三数学质量抽样检测，考试后统计所有考生的数学成绩服从分布，已知数学成绩平均分为90分，60分以下的人数占5％，则数学成绩在90至120分之间的考生人数所占百分比约为A ．10％B ．15％C ．30％D ．45％ 3．若函数()sin cos (0)f x x x ωωω=+>的最小正周期为π，则它的图像的一人对称中心为A ．,08π⎛⎫-⎪⎝⎭B ．,08π⎛⎫⎪⎝⎭ C ．(0,0)D ．,04π⎛⎫-⎪⎝⎭4．已知程序框图如图1所示，将输出的a 的值依次记为12,,,n a a a ，其中*n N ∈且2010n ≤，那么数列{}n a 的通项公式为A ．123n n a -=⋅B ．31n n a =-C ．31n a n =-D ．21(3)2n a n n =+ 5．一个几何体的三视图如图2所示，则这个几何体的体积等于A ．4B ．6C ．8D ．126．下列函数中，在()(1,1-内有零点且单调递增的是A ．12log y x =B ．21x y =-C ．212y x =-D ．3y x =-7．下表提供了某厂节能降耗技术改造后在生产A 产品过程中记录的产品x （吨）与相应的生产能耗y （吨）的几组对应数据，根据表中提供的数据，求出y 关于x 的线性回归方程为 0.7y x b =+，那么b 的值为A ．4.5B ．3.5C ．3.15D ．0.358．已知4cos 5α=-，且(,)2παπ∈，则tan 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭等于 A ．17-B ．7-C ．17D ．79．设O 为坐标原点，点(1,1)A ，若点(,)B x y 满足2222101212x y x y x y ⎧+--+≥⎪≤≤⎨⎪≤≤⎩，则OA OB ⋅ 取得最大值时，点B 的个数是A ．1B ．2C ．3D ．无数10．若曲线12y x-=在点12(,)a a -处的切线与两个坐标围成的三角形的面积为18，则a ＝A ．64B ．32C ．16D ．811．设1F 、2F 分别为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点．若在双曲线右支上存在点P ，正（主）视图侧（左）视图正（主）视图满足112||||PF F F =，且2F 到直线1PF 的距离等于双曲线实轴长，则该双曲线的渐近线方程为A ．340x y ±=B ．350x y ±=C ．430x y ±=D ．540x y ±=12．设函数的集合211()log (),0,,1;1,0,122P f x x a b a b ⎧⎫==++=-=-⎨⎬⎩⎭，平面上点的集合11(,),0,,1;1,0,122Q x y x y ⎧⎫==-=-⎨⎬⎩⎭，则在同一直角坐标系中，P 中函数()f x 的图像恰好经过Q 中两个点的函数的个数是A ．4B ．6C ．8D ．10第Ⅱ卷（非选择题共90分）注意事项：用钢笔或圆珠笔直接答在答题卡上．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上．13．在△ABC 中，3A π∠=，3BC =，AB =，则C ∠＝ ．14．已知抛物线24y x =的焦点为F ，准线与x 轴的交点为M ，N 为抛物线上的一点，且满足|||NF MN =，则NMF ∠＝ ． 15．二项式(2)nx +的展开式中，前三项的系数依次为等差数列，则展开式的第8项的系数为 ．（用数字表示）16．设A 、B 、C 、D 是半径为2的球面上的四个不同点，且满足0AB AC ⋅= ，0AD AC ⋅=，0AB AD ⋅=，用1S 、2S 、3S 分别表示△ABC 、△ACD 、△ABD 的面积，则123S S S ++的最大值是 ．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和222n S n n =-，数列{}n b 的前n 项和3n n T b =-．（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； （2）设1143n n n c a b =⋅，求数列{}n c 的前n 项和n R 的表达式． 18．（本小题满分12分）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，底面△ABC 为等腰直角三角形，B ∠＝90°，D 为棱1BB 上一点，且平面1DAC ⊥平面11AAC C ．（1）求证：D 点为棱1BB 的中点；（2）若二面角1A A D C --的平面角为60°，求1AA AB． 19．（本小题满分12分）甲、乙、丙、丁4名同学被随机地分到A 、B 、C 三个社区参加社会实践，要求每个社区至少有一名同学． （1）求甲、乙两人都被分到A 社区的概率； （2）求甲、乙两人不在同一个社区的概率；（3）设随机变量ξ为四名同学中到A 社区的人数，求ξ的分布列和期望()E ξ的值．20．（本小题满分12分）已知椭圆M 的对称轴为坐标轴，且抛物线2x =-的焦点是椭圆M的一个焦点，又点(1A 在椭圆M 上． （1）求椭圆M 的方程；（2）已知直线l的方向向量为，若直线l 与椭圆M 交于B 、C 两点，求△ABC 的面积的最大值．21．（本小题满分12分）已知函数2()ln f x x ax x =+-，a R ∈． （1）若函数()f x 在[]1,2上是减函数，求实数a 的值取值范围； （2）令2()()g x f x x=-，是否存在实数a ，当(]0,x e ∈（e 是自然对数的底数）时，函数()g x 的最小值是3？若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由．A 1B 1C 1DABC请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时请写清题号． 22．（本小题满分10分）【选修4－1：几何选讲】如图4，AB 是圆O 的直径，C 是半径OB 的中点，D 是OB 延长线上一点，且BD OB =，直线MD 与圆O 相交于点M 、T （不与A 、B 重合），DN 与圆O 相切于点N ，连结MC 、MB 、OT ．（1）求证：DT DM DO DC ⋅=⋅；（2）若60DOT ∠=，试求BMC ∠的大小．23．（本小题满分10分）【选修4－4：坐标系与参数方程】 已知曲线14cos :3sin x t C y t =-+⎧⎨=+⎩（t 为参数），28cos :3sin x C y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）．（1）化1C ，2C 的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线； （2）若1C 上的点P 对应的参数为2t π=，Q 为2C 上的动点，求PQ 的中点M 到直线332:2x tC y t =+⎧⎨=-+⎩（t 为参数）距离的最小值． 24．（本小题满分10分）【选修4－5：不等式选讲】 设函数()|1|||f x x x a =-+-． （1）若1a =-，解不等式()3f x ≥；（2）如果x R ∀∈，()2f x ≥，求a 的取值范围．数学试题参考答案一、选择题，本题考查基础知识，基本概念和基本运算能力二、填空题．本题考查基础知识,基本概念和基本运算技巧13．14．15．16．三、解答题17．。

云南师范大学附属中学2022届高三适应性月考卷（七）文综政治试题一、选择题(本大题共35小题，每小题4分,共140分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目1.近年来，“用工荒”“用工贵”问题一直困扰着劳动密集型企业，让“机器换人”势在必行，从制造业到服务业，用机器人或者智能化设备代替人工劳作使用覆盖率越来越高。

与此同时，我国机器人产业也得到快速发展，2022年上半年，全国工业机器人累计产量73849.1套，同比增长23.9%。

这反映的道理是①科技的进步推动企业产品升级换代②消费对生产发展具有重要反作用③价格变动影响生产要素的调节投入④机器人能够创造更高的商品价值A. ①②B. ①④C. ②③D. ②④【答案】C【解析】【详解】①选项错误，题目中没有涉及到产品升级换代。

④选项错误，商品的价值量是由生产该商品的社会必要劳动时间来决定的。

题目中，“用工荒”“用工贵”问题一直困扰着劳动密集型企业，让“机器换人”势在必行，表明了价格变动影响生产要素的调节投入，③入选。

随着劳动密集型企业对机器人的需求的增加，我国机器人产业也得到快速发展，这表明了消费对生产发展具有重要反作用，②选项入选。

选C。

【点睛】全面理解价格变动对生产的影响:(1)价格变动调节产量，这是从企业生产的角度讲的。

要深刻理解“价格、利润、生产、供求”之间的相互关系。

即价格上涨→获利增加→生产扩大→增加产量→供过于求↑↓供不应求←减少产量←生产缩小←获利减少←价格下跌(2)价格变动调节生产要素的投入，这是从资源配置的角度讲的，其目的是降低生产成本。

(3)价格变动对生产者的影响，实际上是价值规律起作用的结果。

价格变动会调节生产者主动扩大或缩小商品生产规模，从而实现社会资源在国民经济各部门的合理配置。

但应注意：市场调节不是万能的，有它的弱点和缺陷，单纯的市场调节，往往会造成社会资源的浪费，因此国家要搞好宏观调控。

2.《公》第十七条规定:公司必领保护职工的合法权益，依法与职工签订劳动合同，参加社会保险，加强劳动保护,实现安全生产。

2020-2021学年云南师大附中高三（下）适应性数学试卷（理科）（七）1.已知复数是虚数单位，则A. B. C. D.2.已知集合，，则集合的真子集个数是A. 2B. 1C. 4D. 33.某单位有管理人员、业务人员、后勤人员共m人，其中业务人员有120人，现采用分层抽样的方法从管理人员、业务人员、后勤人员中抽取部分职工了解他们的健康状况，若抽取的管理人员有6人，且抽取的管理人员与业务人员的比为1：4，抽取的后勤人员比业务人员少20人，则m的值为A. 170B. 180C. 150D. 1604.已知，是定义在R上的偶函数和奇函数，若，则A. 5B.C. 3D.5.命题p：存在实数a，使得对任意实数x，恒成立；命题q：，为奇函数，则下列命题是真命题的是A. B. C. D.6.若，，且成等比数列，则点在平面直角坐标系内的轨迹位于A. 第三象限B. 第四象限C. 第一象限D. 第二象限7.方程有4个不等的实根，且组成一个公差为1的等差数列，则mn的值为A. B. C. D.8.已知函数的图象上相邻两个最值点间的距离为5，且过点，则要得到函数的图象，只需将函数的图象A. 向右平移1个单位B. 向左平移1个单位C. 向右平移个单位D. 向左平移个单位9.“干支纪年法”是中国历法上自古以来使用的纪年方法，甲、乙、丙、丁、戊、已、庚、辛、壬、癸被称为“十天干”，子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、西、戌、亥叫做“十二地支”.“天干”以“甲”字开始，“地支”以“子”字开始，两者按干支顺序相配，组成了干支纪年法，其相配顺序为：甲子、乙丑、丙寅、…癸酉、甲戌、乙亥、丙子、…、癸未、甲申、乙西、丙戌、…、癸巳、…共得到60个组合，周而复始，循环记录已知1894年是“干支纪年法”中的甲午年，那么2021年是“干支纪年法”中的A. 庚子年B. 辛丑年C. 乙亥年D. 戊成年10.在正方体中，三棱锥的内切球的表面积为，则正方体外接球的体积为A. B. C. D.11.已知函数，当且时，方程的根的个数是A. 7B. 6C. 9D. 812.已知双曲线C：，若直线l：与双曲线C的右支交于不同的两点M，N，且M，N都在以为圆心的圆上，则m的取值范围是A. B.C. D.13.若实数x，y满足，则不等式组表示的平面区域的面积为______14.已知点O为坐标原点，抛物线与过焦点的直线交于A，B两点，则等于______ .15.已知的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，若把其展开式中所有的项重新排列，则有理项互不相邻的概率为______ .16.设函数，若曲线存在点，使得成立，则实数a的取值范围是______ .17.的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设求角B；若，且的面积等于，求的值.18.支付宝为人们的生活带来许多便利，为了了解支付宝在某市的使用情况，某公司随机抽取了100名支付宝用户进行调查，得到如表数据：每周使用支付宝次数123456及以上40岁及以下人数334873040岁以上人数4566420合计7810141150如果认为每周使用支付宝超过3次的用户“喜欢使用支付宝”，完成下面列联表，并判断能否在犯错误概率不超过的前提下，认为是否“喜欢使用支付宝”与年龄有关？不喜欢使用支付宝喜欢使用支付宝合计40岁及以下人数40岁以上人数合计每周使用支付宝6次及以上的用户称为“支付宝达人”，视频率为概率，在该市所有“支付宝达人”中，随机抽取3名用户.①求抽取的3名用户中，既有40岁及以下“支付宝达人”又有40岁以上“支付宝达人”的概率；②为了鼓励40岁以上用户使用支付宝，对抽出的40岁以上“支付宝达人”每人奖励500元，记奖励总金额为单位：元，求X的数学期望.附：，其中19.如图，在四棱锥中，底面ABCD是直角梯形，且，，平面ABCD，，，求证：平面平面PCD；若直线PC与平面PAB所成角的正弦值为，求线段PD的长.20.已知抛物线上一点到焦点F的距离是求抛物线的方程；过点F任作直线l交抛物线于A，B两点，交直线于点C，N是AB的中点，求的值.21.已知函数当时，函数的极小值为5，求正数b的值；若，，且当时，不等式在区间上有解，求实数a的取值范围.22.在极坐标系中，曲线C的极坐标方程为，以极点O为原点，极轴为x轴正半轴建立平面直角坐标系.直线l的参数方程为为参数求曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；若为平面直角坐标系中的一点，Q为C上的动点，求PQ的中点M到直线l的距离的最大值.23.已知函数着对任意的，恒成立，求实数a的取值范围；若，，求证：答案和解析【答案】1. C2. D3. A4. D5. C6. D7. C8. A9. B10. B11. D12. B13. 414.15.16.17. 解：因为，由正弦定理得，显然，所以，所以，因为所以，所以，由于，解得：，又，利用余弦定理，可得：，解得：，所以18. 解：补充完整的列联表如下，不喜欢使用支付宝喜欢使用支付宝合计40岁及以下人数104555 40岁以上人数153045合计2575100所以，故不能在犯错误概率不超过的前提下，认为是否“喜欢使用支付宝”与年龄有关．①样本中，该市“支付宝达人”的总人数为人，记A为事件“抽取的3名用户中，既有40岁及以下支付宝达人又有40岁以上支付宝达人”，则②抽到40岁以上“支付宝达人”的概率为，随机变量X的可能取值为0，500，1000，1500，所以，，，，所以19. 证明：因为四边形ABCD为直角梯形，，，所以，过点D作交BC于点E，则，，且，所以，则，所以，故，又因为平面ABCD，平面ABCD，所以，又，PD，平面PCD，所以平面PCD，又平面PBD，所以平面平面PCD；解：以D为坐标原点，分别以DE，AD，DP为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系如图所示，设，则，，，，故，设平面PAB的法向量为，则，即，取，则，所以，设直线PC与平面PAB所成的角为，则，解得或，故线段PD的长为或20. 解：把代入，得，则，又点到焦点F的距离是4，，解得抛物线方程为；设点A，B，N，F在准线上的投影分别为，，，H，设直线AB的方程为，代入，得，设，，则，，在中，令，得，即，21. 解：当时，，，令，得，，所以在，上，，单调递增，在上单调递减，所以在上取得极小值，，解得因为，所以，，，由题意可得当时，不等式在区间上有解，所以只需当时，在区间上最大值，，令，，，①当时，即时，，所以，在上单调递增，所以，解得，所以，②当时，即时，函数由两个零点，，，又，所以，所以，所以在上，在上单调递增，所以，解得，所以，综上，a的取值范围为22. 解：曲线C的极坐标方程为，整理得，根据，转换为直角坐标方程为，转换为直线l的参数方程为为参数转换为直角坐标方程为由中圆转换为参数方程为为参数，所以设，由于PQ的中点为M，则，所以点M到直线l的距离，当时，23. 解：若对任意的，恒成立，即为对任意的恒成立，可得或，即或对任意的恒成立，由，可得；由，可得，所以实数a的取值范围为；证明：由，，可得，，即有，又，所以，则【解析】1. 解：，则，故选：根据复数的运算法则和共轭复数的定义即可求出．本题考查了复数的运算法则和共轭复数的定义，属于基础题．2. 解：，，，的真子集的个数是：故选：可求出集合B，然后进行交集的运算求出，从而可得出的真子集的个数．本题考查了描述法和列举法的定义，交集及其运算，集合真子集个数的计算公式，考查了计算能力，属于基础题．3. 解：抽取的管理人员有6人，且抽取的管理人员与业务人员的比为1：4，抽取的后勤人员比业务人员少20人，故抽取的业务人员有人，抽取的后勤人员有人，根据分层抽样的特点可得：，故，故选：先求出各层的人数，再结合分层抽样的特点即可求解结论．本题主要考查分层抽样的应用，根据条件建立比例公式是解决本题的关键．4. 解：根据题意，，则，①，又由，是定义在R上的偶函数和奇函数，则，②联立①②可得：，是定义在R上的奇函数，则，故选：根据题意，由函数的解析式以及函数的奇偶性可得、的方程组，解可得的值，结合的奇偶性，分析可得答案．本题考查函数奇偶性的性质以及应用，涉及函数值的计算，属于基础题．5. 解：根据题意，对于p，当时，，p是真命题，对于q，对于，，有，解可得，即函数的定义域为，关于原点对称，，则函数为奇函数，q为真命题，则为真命题，、、为假命题；故选：根据题意，利用诱导公式分析p的真假，利用奇函数的定义分析q的真假，最后利用复合命题真假的判断方法分析可得答案．本题考查复合命题真假的判断，涉及全称命题和特称命题的真假的判断，属于基础题．6. 解：，，且成等比数列，可得，，化简可得：，因为，所以，点在平面直角坐标系内的轨迹位于第四象限．故选：利用等比数列，列出方程，然后求解x，y的范围，即可得到选项．本题考查轨迹方程的求法，轨迹的判断，考查分析问题解决问题的能力，是中档题．7. 解：方程有4个不等的实根，且组成一个公差为1的等差数列，设方程的4个不等的实根为a，，，，，解得，，，解得，，故选：设方程的4个不等的实根为a，，，，由韦达定理得，解得，由此能求出本题考查两数积的运算，考查等差数列的通项公式、韦达定理等基础知识，考查运算求解能力等核心素养，是基础题．8. 解：的最大值为2，最小为，相邻两个最值点坐标之差为5，由勾股定理得，相邻两个最值点的横坐标之差是，，，，又过点，，可得，，或，，，，，，要得到的图象，只需将向右平移1个单位长度．故选：由题意可求周期，利用周期公式求出，又过点，结合范围可求出的值，可得的解析式，再利用函数的图象变换规律，可得结论．本题主要考查由函数的部分图象求解析式，函数的图象变换规律，属于基础题．9. 【分析】本题主要考查了等差数列的通项公式在实际问题中的应用，弄清题意，找出模型是求解问题的关键，属于基础题．根据题意可得，天干是以10为公差的等差数列，地支是以12为公差的等差数列，结合等差数列的通项公式即可求解．【解答】解：根据题意可得，天干是以10为公差的等差数列，地支是以12为公差的等差数列，从1894年到2021年经过127年，且1894年为“甲午”年，以1894年的天干和地支分别为首项，则，则1949年的天干为辛，，则2021年的地支为丑，所以2021年为辛丑年．故选：10. 解：设正方体的棱长为a，则，因为三棱锥的内切球的表面积为，所以三棱锥的内切球的半径为2，设三棱锥的内切球的球心为O，到平面的距离为h，则，即，所以，又因，所以，解得，又因正方体外接球的半径，其体积为故选：设出正方体的边长，然后求出三棱锥的内切球半径，利用，求出h，从而求出a，最后利用正方体的体对角线即为外接球的直径，根据球的体积公式进行求解即可．本题主要考查了三棱锥的内切球与正方体的外接球，同时考查了空间想象能力和运算求解的能力，属于中档题．11. 解：令，，则；令得，在上是减函数，在上是增函数，在上是减函数，在上增．且，，，，；故作函数与在上的图象如下，结合图象可知，两图象在上共有4个交点；又，都是奇函数，且不经过原点，与在上共有8个交点，故且时，方程的根的个数是8个．故选：先对两个函数分析可知，函数与都是奇函数，且是反比例函数，在上是减函数，在上是增函数，在上是减函数，在上是增函数，且，，，，；从而作出函数的图象，由图象求方程的根的个数即可．本题考查了导数的综合应用及函数的图象的性质应用，同时考查了函数的零点与方程的根的关系应用，属于中档题．12. 解：联立方程，消去y整理可得：，设，，线段MN的中点坐标为，则有，解得…①所以，所以，则，因为M，N两点都在以为圆心的同一圆上，所以，即，所以…②由①②可得，解得或，即实数m的取值范围为，故选：联立直线L与双曲线的方程，设出点M，N以及线段MN的中点B的坐标，利用二次项系数不为0和判别式大于0建立不等式关系，然后利用韦达定理以及中点坐标公式求出点B的坐标，再由已知可得AB与MN垂直建立等式关系，进而可以求解．本题考查了直线与双曲线的位置关系的应用，涉及到圆的性质，考查了学生的运算能力，属于中档题．13. 解：由约束条件足作出可行域如图，，，，联立，解得，联立，解得，故答案为：由约束条件作出可行域，进而可得可行域的面积．本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想，是中档题．14. 解：由题意分析可知抛物线的焦点坐标为，且直线AB的斜率不能为零，设AB的方程为：，，，联立，即，，，，故答案为：由题意分析可知该直线的斜率不能为零，设出直线方程，联立直线方程和抛物线方程，即可解决．本题考查了抛物线的性质，直线与抛物线相交，向量的点乘，属于基础题．15. 解：的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，，故它的通项公式为，令为整数，可得，6，故展开式中共有9项，其中有理项有2项，若把其展开式中所有的项重新排列，所有的排列共有种，有理项互相邻的排列共有种，则有理项相邻的概率为，有理项互不相邻的概率为，故答案为：由题意利用二项展开式的通项公式求出有理项，再根据排列数公式，求出有理项相邻的概率，可得有理项互不相邻的概率．本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，排列数公式，概率的求法，属于基础题．16. 解：，当时，取得最大值，当时，取得最小值，即函数的取值范围为，若上存在点，使得成立，则，且，若下面证明，假设，则，不满足，同理假设，则不满足，综上可得：函数的定义域为，等价为，在上有解即平方得，则，设，则，由得，此时函数单调递增，由得，此时函数单调递减，即当时，函数取得极小值，即，当时，，则，则，故答案为：利用函数的单调性可以证明令函数，化为，令，利用导数研究其单调性即可得出．本题考查了函数单调性的应用、利用导数研究函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于难题．17. 先利用边角互化将转化为关于B的方程，求出利用的结论和余弦定理及三角形的面积公式求出结果．本题主要考查正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式在解三角形中的应用，意在考查逻辑推理、数学运算、直观想象等数学核心素养，属于中档题．18. 先补充完整列联表，再由参考公式计算K的观测值，并与附表对照，即可得出结论；①40岁及以下“支付宝达人”有30人，40岁以上“支付宝达人”有20人，再由组合数和古典概型，得解；②抽到40岁以上“支付宝达人”的概率为，随机变量X的可能取值为0，500，1000，1500，先由独立事件的概率公式求得每个X的取值所对应的概率，再根据数学期望的计算方法，得解．本题考查随机变量的数学期望，独立性检验，组合数与古典概型，考查学生对数据的分析与处理能力，属于中档题．19. 利用勾股定理得到，再利用线面垂直的性质定理得到，由线面垂直的判定定理可证得平面PCD，再由面面垂直的判定定理证明即可；建立合适的空间直角坐标系，设，求出所需各点的坐标，求出直线PC的方向向量和平面PAB的法向量，由线面角的计算公式得到关于m的等式关系，求解m 即可得到答案．本题考查了立体几何的综合应用，涉及了线面垂直的判定定理和面面垂直的判定定理的应用，在解决有关空间角问题时，一般会建立合适的空间直角坐标系，将空间角问题转化为空间向量问题进行研究，属于中档题．20. 把M的坐标代入抛物线方程，可得，再由已知结合抛物线的焦半径公式列式求得p，则抛物线方程可求；设点A，B，N，F在准线上的投影分别为，，，H，设直线AB的方程为，代入，利用根与系数的关系结合平行线截线段成比例即可求得的值．本题考查轨迹方程的求法，考查直线与抛物线位置关系的应用，考查化归与转化思想，考查运算求解能力，是中档题．21. 当时，，求导得，令得，，得单调性，极值，进而可得答案．根据题意可得，，，问题可转化为当时，不等式在区间上有解，进而可得答案．本题考查导数的综合应用，极值，参数的取值范围，解题中注意转化思想的应用，属于中档题．22. 直接利用转换关系，把参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换；利用点到直线的距离公式和三角函数的关系式的变换和余弦型函数的性质的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，三角函数关系式的恒等变换，余弦型函数的性质，点到直线的距离公式，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．23. 由题意可得对任意的恒成立，由绝对值的解法和不等式恒成立思想，解不等式，求并集，可得所求范围；运用绝对值不等式的性质和不等式的可加性和传递性，即可得证．本题考查不等式恒成立问题和不等式的证明，考查转化思想和运算能力、推理能力，属于中档题．第21页，共21页。

云南师大附中2013届高考适应性月考卷（七）理科数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．参考公式：样本数据12,,,n x x x 的标准差 s =其中x 为样本平均数 柱体体积公式VSh =其中S 为底面面积，h 为高锥体体积公式13V Sh =其中S 为底面面积，h 为高球的表面积，体积公式24R S π=，334R V π=其中R 为球的半径第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．下列命题中，真命题是A ．,lg 0x R x ∀∈>B ．*2,(2)0x N x ∀∈->C ．,21xx R ∃∈>D ．2,10x R x x ∃∈-+≤2．根据下表中的数据，可以判断函数()2xf x e x =--的一个零点所在区间为(,1)()k k k Z +∈，则k ＝x1-0 1 2 3 x e0.37 1 2.72 7.39 20.09 2x +1 2345A ．2B ．1C ．0D ．-13．已知a 、b 为实数，复数121ii a bi+=++，则 A ．1,3a b ==B ．3,1a b ==C ．31,22a b == D ．13,22a a == 4．将长方体截去一个四棱锥得到的几何体如图1所示，则该几何体的侧视图为A ．B ．C ．D ．5．若抛物线2y ax =的焦点到准线的距离为4，则此抛物线的焦点坐标为A ．(2,0)-B ．(2,0)C ．(2,0)或(2,0)-D ．6．若,42ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，sin 2θ=，则sin θ＝A ．45B ．35C D ．347．执行如图2所示的程序框图，如果输入3x =，那么输出的n 值为A ．5B ．4C ．3D ．28．已知函数()f x =，则12,x x R ∀∈且12x x ≠，有12|()()|f x f x -与12||x x -的大小关系为A ．1212|()()|||f x f x x x -<-B ．1212|()()|||f x f x x x ->-C ．1212|()()|||f x f x x x -=-D ．不能确定9．已知4x π=是函数()sin cos f x a x b x =+的一条对称轴，且()f x 的最大值为()sin g x a x b =+A ．最大值是4，最小值是0B ．最大值是2，最小值是－2C ．最小值不可能是－4D ．最大值可能是010．过双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的左焦点(,0)(0)F c c ->作圆2224a x y +=的切线交双曲线右支于点P ，切点为E ，若1()2OE OF OP =+，则双曲线的离心率为A B ．2C ．2D ．511．已知定义在R 上的函数(),()f x g x 满足()()x f x a g x =，且()()()()f xg x f x g x ''<，(1)(1)5(1)(1)2f f g g -+=-，若数列*()()()f n n N g n ⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭的前n 项和等于6364，则n ＝ A ．7B ．6C ．5D ．412．已知在半径为2的球面上有A 、B 、C 、D 四点，若2AB CD ==，则四面体ABCD 的体积的取值范围是A ．⎛ ⎝⎦B ．⎛ ⎝⎦C ．⎛ ⎝⎦D ．⎛ ⎝⎦第Ⅱ卷（非选择题共90分）注意事项：用钢笔或圆珠笔直接答在答题卡上．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上．13．对于三次函数32()(0)f x ax bx cx d a =+++≠，给出定义：设()f x '是函数()y f x =的导数，()f x ''是()f x '的导数，若方程()0f x ''=有实数解0x ，则称点00(,())x f x 为函数()y f x =的“拐点”．某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”应对对称中心．根据这一发现，则函数32115()33212f x x x x =-+-的对称中心为 ．14．观察下列各式：11x =，23x =，34x =，47x =，511x =，…，则10x ＝ ．15．在△ABC 中，若5AB AC ⋅= ，||4AB AC -=，则△ABC 的面积的最大值为 ．16．若定义在R 上的函数()f x 满足[]22()()2()f m n f m f n +=+，其中,m n R ∈，且(1)0f ≠，则(2013)f ＝ ．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（本小题满分12分）已知△ABC 中，角A 、B 、C 成等差数列，且sin 2sin C A =．（1）求角A 、B 、C ；（2）设数列{}n a 满足2|cos |nn a nC =，前n 项为和n S ，若340n S =，求n 的值．18．（本小题满分12分）一家化妆品公司于今年三八节期间在某社区举行了为期三天的“健康使用化妆品知识讲座”．每位社区居民可以在这三天中的任意一天参加任何一个讨论，也可以放弃任何一个讲座（规定：各个讲座达到预先设定的人数时称为满座）．统计数据表明，各个讲座各天满座的概率如下表：洗发水讲座 洗面奶讲座 护肤霜讲座 活颜营养讲座 面膜使用讲座 3月8日 14 14 14 14 12 3月9日 12 12 12 12 23 3月10日13 13 13 13 23（1）求面膜使用讲座三天都不满座的概率；（2）设3月9日各个讲座满座的数目为ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望． 19．（本小题满分12分）如图3，四棱锥P ABCD -的底面是正方形，PD ⊥底面ABCD ，点E 在棱PB 上． （1）求证：平面AEC ⊥平面PDB ；（2）当PD =且E 为PB 的中点时，求AE 与平面PDB 所成角的正弦值．20．（本小题满分12分）设a 为常数，已知函数2()ln f x x a x =-在区间[]1,2上是增函数，()g x x =-[]0,1上是减函数．（1）设P 为函数()g x 的图像上任意一点，求点P 到直线:6320l x y +-=的距离的最小值； （2）若对任意的(]0,1x ∈且(]0,1m ∈，21()2f x bm m≥-恒成立，求实数b 的取值范围． 21．（本小题满分12分）已知双曲线22197x y -=与椭圆22221(0)x y a b a b +=>>有相同的焦点，点A 、B分别是椭圆的右、右顶点，若椭圆经过点32D ⎛ ⎝⎭． （1）求椭圆的方程；BCPDE（2）已知F 是椭圆的右焦点，以||AF 为直径的圆记为C ，过点D 引圆C 的切线，求此切线的方程；（3）设M 为直线9x =上的点，00(,)N x y 是圆C 上的任意一点，是否存在定点P ，使得||2||MN PN =？若存在，求出定点P 的坐标；若不存在，说明理由．请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时请写清题号． 22．（本小题满分10分）【选修4－1：几何选讲】 如图4，已知I 为锐角△ABC 的内心，且60A ∠=，点D 为内切圆I 与边AC 的切点，过点C 作直线BI 的垂线，垂足为E ． （1）求证：IDE ECI ∠=∠； （2）求IEIC的值． 23．（本小题满分10分）【选修4－4：坐标系与参数方程】 在直角坐标系xOy 中，曲线M 的参数方程为sin cos ,sin 2,x y θθθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数），若以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线N 的极坐标方程为sin 42t πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（其中t 为常数）． （1）若曲线N 与曲线M 只有一个公共点，求t 的取值范围；（2）当2t =-时，求曲线M 上的点与曲线N 上的点的最小距离． 24．（本小题满分10分）【选修4－5：不等式选讲】 已知函数1()( 2.718)x f x e e ex=+≈ ． （1）若[)12,1,x x ∈+∞，12x x ≠，求证：2121()()0f x f x x x ->-；（2）若实数a 满足(||3)(|4|1)f a f a +>-+．试求a 的取值范围．云南师大附中2013届高考适应性月考卷（七）理科数学参考答案及详细解析第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）【解析】1．当0x >时，有2>1x 成立，所以2>1x x ∃∈R ，是真命题，故选C ．2．由表可知(1)=0371<0(0)=12<0f f ---.，，(1)=2.723<0(2)=7.394>0f f --，，(3)=20.095>0f -，故(1)(2)<0=1f f k ∴，，故选B ．3．由题意知1+2i 31+i==+i 1+i 22a b ，因此31==22a b ，，故选C ． 4．根据几何体各个顶点的射影位置确定其侧视图的形状，显然侧视图中长方体的体对角线是一条虚线，故选C ．5．由抛物线的定义得，焦点到准线的距离为42a=，解得8a =±，所以当8a =时，焦点坐标为(20)，；当8a =-时，焦点坐标为(20)-，，故选C ．6．由ππ42θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，得π2π2θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，1cos2,8θ=-3sin 4θ==，故选D ．7．根据框图的流程图逐步进行计算，满足循环体结束的条件，输出的结果为4n =，故选B ． 8．12()()f x f x -==1212x x x x =++≥，所以2212121212()()x x f x f x x x x x --<=-+，故选A ．9．由()sin cos f x a x b x =+的一条对称轴是π4，得π(0)2f f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，即a b =，228a b +=，22a b a b ====-解得或，所以()2sin 2g x x =+或()2sin 2g x x =--，故选D ．10．由1()2OE OF OP =+ 知，E 为线段FP 的中点，设双曲线的右焦点为F '，因为2aOE =，由中位线定理得F P a '=，由双曲线的定义得3FP a =，又222O F E F O E =+，则222322a a c ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，得22104c a =，即2104e =，e ∴=C ．11．由()()()()f x g x f x g x ''<得2()()()()()0()()f x f x g x f x g x g x g x '''⎡⎤-=<⎢⎥⎣⎦，即()()x f x y a g x ==为R 上的减函数，所以01a <<，由(1)(1)5(1)(1)2f f g g -+=-，得152a a -+=，即22520a a -+=，解得2a =或12a =，又01a <<，所以12a =，故()1()2x f x g x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，数列()()()f n n g n ⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭*N 即1()2nn ⎧⎫⎪⎪⎛⎫∈⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭*N ，其前n 项和为11122163126412nn ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦=-=⎪⎝⎭-，整理得11264n ⎛⎫= ⎪⎝⎭，解得6n =，故选B ． 12．设AB ，CD 的中点分别为M ，N ，则球心O 到AB 和CD 的距离是相等的，即OM ON ===OM ，ON 在同一直线上，且AB CD ⊥时，四面体ABCD 的体第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）【解析】13．由32115()33212f x x x x =-+-，得2()3()21()0f x x x f x x f x '''''=-+=-=，，由， 11122x f ⎛⎫== ⎪⎝⎭解得，且，所以此函数的对称中心为112⎛⎫⎪⎝⎭，．14．从第3项起，每一项都是其前两项的和，从而递推出10123x =．15．因为4AB AC BC a -===uu u r uuu r uu u r ，所以22216AB AC AB AC +-⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r ，所以2226AB AC +=u u u r u u u r ，又cos 5AB AC A =uu u r uuu r，即cos 5bc A =，故162ABCS ==△．当且仅当b c ==6．16．在已知等式中，令=0m n =得(0)=0f ，又令0=1m n =，得1(1)=2f ，再令=1n 得2(1)()2[(1)]f m f m f +=+，即1(1)()=2f m f m +-=，亦即{}()f m 是以12为公差的等差数列，且首项也是12，所以()=2m f m =，从而2013(2013)2f =． 三、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由已知得2B A C =+，又πA B C ++=，所以π3B =．又由sin 2sin C A =，得2c a =，所以2222π422cos 33b a a a a a =+-⋅=，所以222c a b =+， 所以ABC △为直角三角形，ππππ2236C A ==-=，．……………………………………（6分） （Ⅱ）n a =0π2cos 2cos22n n nn n nC n ⎧⎪==⎨⎪⎩，为奇数，，为偶数. 所以22+22422124(12)24020202143k k kk k S S k +--==++++++==∈-*N ，L ，由22243403k +-=，得2221024k +=，所以4k =，所以8n =或9n =．………………………………………………………（12分） 18．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）设面膜使用讲座三天都不满座为事件A ，则1221()11123318P A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=---= ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．…………………………………………………（3分）（Ⅱ）ξ的可能值为0，1，2，3，4，5，4121(0)112348P ξ⎛⎫⎛⎫==--= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭； 3414112121(1)C 111223238P ξ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⨯⨯--+-⨯= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭； 22321441121127(2)C 11C 122322324P ξ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⨯⨯--+⨯⨯-⨯=⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭； 32232441121121(3)C 11C 12232233P ξ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⨯⨯--+⨯⨯-⨯= ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭；4334121123(4)1C 12322316P ξ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⨯-+⨯⨯-⨯= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭；4121(5)2324P ξ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭．………………………………………………………………（8分）列表如下：1171318()01234548824316243E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．…………………………（12分） 19．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）∵四边形ABCD 是正方形，∴AC ⊥BD ， ∵PD ⊥底面ABCD ，∴PD ⊥AC ，∴AC ⊥平面PDB ，又AC AEC ⊂平面，∴平面AEC ⊥平面PDB ．………………………………………（6分） （Ⅱ）方法一：如图1，设AC ∩BD =O ，连接OE ，由（Ⅰ）知AC ⊥平面PDB 于O ，∴∠AEO 为AE 与平面PDB 所成的角， ∵O ，E 分别为DB 、PB 的中点，∴OE ∥PD ，且OE =12PD ，又∵PD ⊥底面ABCD ，∴OE ⊥底面ABCD ，OE ⊥AO ，在Rt △AOE 中，由PD ，设AB a =，则OE =，AO ，∴AE =，于是sin AO AEO AE ∠==，即AE 与平面PDB ．…………………………………………（12分） 方法二：如图2，以D 为原点建立空间直角坐标系D −xyz ， 设AB a =，AE 与平面PDB 所成的角为θ，则(00)A a ，，，(0)B a a ，，，(00)C a ，，，(00)P ，，于是22aaE ⎛ ⎝⎭，，所以22aa EA ⎛=- ⎝⎭，，uu r， 且平面PDB 的法向量022a a n ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，，r ，所以22sina an EAn EAθ++⋅===r uu rr uu r即AE与平面PDB．…………………………………………（12分）20．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）∵2()lnf x x a x=-在区间[12]，上是增函数，∴当[12]x∈，时，()20af x xx'=-≥恒成立，即22a x≤恒成立，所以2a≤．又()g x x=-[01]，上是减函数，故当(01]x∈，时，()10g x'=恒成立，即a≥2a≥．综上，2a=．由()g x x=-，得()1g x'=令()12g x'==-，则19x=，而11259939g⎛⎫=-=-⎪⎝⎭，所以()g x的图象上1599P⎛⎫-⎪⎝⎭，处的切线与直线l平行，=．………………………………………（6分）（Ⅱ）因为2()2lnf x x x=-，则22(1)(1)()2(0)x xf x x xx x+-'=-=>，因为当(01]x∈，时，21()2f x bmm-≥恒成立，所以min212[()]bm f xm-≤，因为当(01]x∈，时，()0f x'<，所以()(01]f x x∈在，上是减函数，从而min[()]=(1)1f x f=，所以当(01]m∈，时，2121bmm-≤，即3112bm m+≤恒成立，所以3min 112b m m ⎛⎫+ ⎪⎝⎭≤． 因为311y m m =+在(01]m ∈，上是减函数，所以min 2y =， 从而22b ≤，即1b ≤，故实数b 的取值范围是(1]-∞，．………………………………………………………（12分） 21．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）依题意，2297a b -=+2216a b ⇒=+， 所以椭圆的方程为2222116x y b b +=+，代入D 点坐标，解得2220(15)b b ==-舍去， 由此得236a =，所以椭圆的方程为2213620x y +=．…………………………………………………………（4分）（Ⅱ）由（Ⅰ）知(60)(40)A F -，，，， 故圆C 的方程为22(1)25x y ++=，则由2231252⎛⎫++= ⎪⎝⎭⎝⎭知，点D 在圆C 上，因为02312DCk ==+故所求切线的方程为32y x ⎫=-⎪⎝⎭，即90x -=．…………………………………………………………………………（8分） （Ⅲ）设(9)M t ，，假设存在点()P x y ，满足题意， 则22220000(9)()4[()()]x y t x x y y -+-=-+-，点00()N x y ，在圆C ：22(1)25x y ++=上，2200(1)25x y ∴++=， 化简得22200(128)(28)4()90x x t y y x y t -+-++--=， 因为该式对任意的00x y ，恒成立，则2221280,280,4()90,x t y x y t ⎧-=⎪-=⎨⎪+--=⎩解得3,20,0,x y t ⎧=⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩故存在定点302P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，对于直线9x =上的点(90)M ，及圆C 上的任意一点00()N x y ，使得2MN PN=成立．…………………………………………………………………………（12分）22．（本小题满分10分）【选修4—1：几何证明选讲】（Ⅰ）证明： 圆I 与边AC 相切于点D ，∴ID ⊥AC ． …………………………………………………………………………（2分）又 BE ⊥CE ，∴90IDC IEC ∠=∠=︒，∴I ，E ，D ，C 四点共圆， ………………………………………………………（4分）IDE ECI ∴∠=∠． ……………………………………………………………………（5分） （Ⅱ）解： I 为锐角ABC △的内心，∴12IBC ABC ∠=∠，12ICB ACB ∠=∠，………………………………………………（6分）∴在IEC △中，1122EIC IBC ICB ABC ACB ∠=∠+∠=∠+∠11()(180)22ABC ACB A =∠+∠=︒-∠ 190602A =︒-∠=︒． ……………………………………………………………………（8分）BE ⊥CE ，∴在Rt IEC △中，9030ECI EIC ∠=︒-∠=︒，1sin sin302IE ECI IC ∴=∠=︒=． ……………………………………………………（10分） 23．（本小题满分10分）【选修4—4：坐标系与参数方程】解：（Ⅰ）曲线M 可化为21y x =-，[x ∈， 曲线N 可化为x y t +=， 若曲线M ，N 只有一个公共点，则当直线N过点1)时满足要求，此时1t ，并且向左下方平行运动直到过点(1)之前总是保持只有一个公共点， 当直线N过点(1)时，此时1t =，所以11t <满足要求；再接着从过点(1)开始向左下方平行运动直到相切之前总有两个公共点， 相切时仍然只有一个公共点， 联立21x y t y x +=⎧⎨=-⎩，，得210x x t +--=， 14(1)0t ∆=++=，求得54t =-，综上可求得t的取值范围是11t <或54t =-．…………………………（5分）（Ⅱ）当2t =-时，直线N ：2x y +=-，设M上的点为2000(1)x x x -，， 则曲线M 上的点到直线N的距离为2013x d ⎛⎫++ ⎪==， 当012x =-时取等号，满足0x10分）24．（本小题满分10分）【选修4—5：不等式选讲】（Ⅰ）证明：由2121211221211211()()11()x x f x f x x x x x x x e x x e x x +----==⋅--， 1212[1)x x x x ∈+∞≠ ，，，，12211212211()()1000x x f x f x x x x x x x --∴>>∴>∴>-，，．……………………………………（5分） （Ⅱ）解：由（Ⅰ）可知()f x 在[1)+∞，上为增函数， 31411(3)(41)a a f a f a +>-++>-+ ，≥，且， 341a a ∴+>-+．当0a≤时，34135-+>-+>∴∈∅，得，；a a a当04<<时，341114a+>-+>∴<<，得，；a a a a当4a≥时，341334+>-+>-∴，得，≥，a a a综上所述，实数a的取值范围为1a>．………………………………………………（10分）云南师大附中2013届高考适应性月考卷（七）双向细目表理科数学。

云南师大附中2013届高考适应性月考卷（七） 理科数学参考答案 第Ⅰ卷（选择题，共60分）题号1234567891112答案【解析】 1．当时，有成立，所以是真命题，故选C． 2． ，故，故选B． 3．，因此，故选C． 4．根据几何体各个顶点的射影位置确定其侧视图的形状，显然侧视图中长方体的体对角线是一条虚线，故选C． 5．由抛物线的定义得，焦点到准线的距离为，解得，所以当时，焦点坐标为；当时，焦点坐标为，故选C． 6．由得，，故选D． 7．，故选B． 8．， ， 所以，故选A． 9．由的一条对称轴是，得，即，，，所以或，故选D． 10．知，为线段的中点，设双曲线的右焦点为，因为，由中位线定理得，由双曲线的定义得，又，则，得，即，，故选C． 11．由得，即为R上的减函数，所以，由，得，即，解得或，又，所以，故，数列即，其前项和为，整理得，解得，故选B． 12．设AB，CD的中点分别为M，N，则球心O到AB和CD的距离是相等的，即，当OM，ON在同一直线上，且时，四面体ABCD的体积最大，，故选A． 第Ⅱ卷（非选择题，共90分） 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 题 号答 案【解析】 13．，得 ，所以此函数的对称中心为． 14．． 15．，所以，所以， 又，即， 故． 当且仅当时，上式等号成立，故面积的最大值为6． 16．在已知等式中，令得，又令得，再令得，即，亦即是以为公差的等差数列，且首项也是，所以，从而． 三、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）由已知得，又，所以． 又由，得，所以，所以， 所以为直角三角形，．……………………………………（6分） （Ⅱ）=所以， 由，得， 所以，所以或．………………………………………………………（12分） 18．（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）设面膜使用讲座三天都不满座为事件A， 则．…………………………………………………（3分） （Ⅱ）的可能值为0，1，2，3，4，5； ； ； ； ； ．………………………………………………………………（8分） 列表如下： 012345P．…………………………（12分） 19．（本小题满分12分） ，∴平面AEC⊥平面PDB．………………………………………（6分） （Ⅱ）方法一：如图1，设AC∩BD=O，连接OE， 由（Ⅰ）知AC⊥平面PDB于O， ∴∠AEO为AE与平面PDB所成的角， ∵O，E分别为DB、PB的中点， ∴OE∥PD，且OE=PD， 又∵PD⊥底面ABCD， ∴OE⊥底面ABCD，OE⊥AO， 在Rt△AOE中，由PD=AB， 设，则，， ∴，于是， 即AE与平面PDB所成角的正弦值为．…………………………………………（12分） 方法二：如图2，以D为原点建立空间直角坐标系D?xyz， 设，AEPDB所成的角为， 则，，，， 于是， 所以， 且平面的法向量， 所以， 即AE与平面PDB所成角的正弦值为．…………………………………………（12分） 20．（本小题满分1分）在区间上是增函数， ∴当时，恒成立， 即恒成立，所以． 又在区间上是减函数， 故当时，恒成立，即恒成立，所以． 综上，． 由，得， 令，则， 而，所以的图象上处的切线与直线平行， 所以所求距离的最小值为．………………………………………（6分） （Ⅱ）因为， 则， 因为当时，恒成立， 所以， 因为当时，，所以上是减函数， 从而， 所以当时，，即恒成立， 所以． 因为在上是减函数，所以， 从而，即， 故实数的取值范围是．………………………………………………………（12分） 21．（本小题满分1分）， 所以椭圆的方程为， 代入D点坐标，解得， 由此得， 所以椭圆的方程为．…………………………………………………………（4分） （Ⅱ）由（Ⅰ）知， 故圆的方程为， 则由知，点在圆上， 因为，所以切线的斜率为， 故所求切线的方程为， 即．…………………………………………………………………………（8分） （Ⅲ）设，假设存在点满足题意， 则， 点在圆C：上，， 化简得， 因为该式对任意的恒成立， 则解得 故存在定点对于直线上的点及圆上的任意一点使得成立．…………………………………………………………………………（12分） 22．（本小题满分10分）【选修4—1：几何证明选讲】 （Ⅰ）证明：圆与边相切于点， ⊥． …………………………………………………………………………（2分） 又 ⊥， ， ，，，四点共圆 ． ……………………………………………………………………（5分） （Ⅱ）解：为锐角的内心， ，，………………………………………………（6分） 在中， ． ……………………………………………………………………（8分） ⊥， 在中，， ． ……………………………………………………（10分） 23．（本小题满分10分）【选修4：，， 曲线N可化为， 若曲线M，N只有一个公共点， 则当直线N过点时满足要求，此时， 并且向左下方平行运动直到过点之前总是保持只有一个公共点， 当直线N过点时，此时， 所以满足要求； 再接着从过点开始向左下方平行运动直到相切之前总有两个公共点， 相切时仍然只有一个公共点， 联立 得， ， 求得， 综上可求得t的取值范围是或．…………………………（5分） （Ⅱ）当时，直线N：， 设M上的点为， 则曲线M上的点到直线N的距离为， 当时取等号，满足，所以所求的最小距离为．……………（10分） 24．（本小题满分10分）【选修45：不等式选讲， ．……………………………………（5分） （Ⅱ）解：由（Ⅰ）可知在上为增函数， ， ． 当时，； 当时，； 当时，， 综上所述，实数的取值范围为．………………………………………………（10分） 。

绝密★启用前云南省云南师范大学附属中学2019届高考适应性月考卷高三数学（理）试题考试范围：高考全部内容；考试时间：120分钟；【名师解读】本卷难度中等，符合高考大纲命题要求，梯度设置合理．本卷试题常规，无偏难、怪出现，但其中第12题相对比较新颖，第9、10、11、12、16题突出考查逻辑思维能力与运算能力，同时也注重知识交汇性的考查，如第10题等，解答题重视数学思想方法的考查，如第20题考查分类讨论、构造函数、转化的思想、推理与计算能力，第19题探索性命题、考查了转化思想、推理和空间想象能力．第23题考查了恒成立问题，体现转化思想，本卷适合第一轮复习使用．一、选择题1．已知集合，，则（）A. B. C. D.2．设复数满足，则复数对应的点位于复平面内（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3．命题，，若命题为真命题，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.4．执行如图所示的程序框图，则输出的结果是（）A. 4B. -4C. 5D. -55．已知直线的倾斜角为，直线经过，两点，且直线与垂直，则实数的值为（）A. -2B. -3C. -4D. -56．若的展开式中常数项为，则实数的值为（）A. B. C. -2 D.7．将函数（）的图象向右平移个单位，得取函数的图象，若在上为减函数，则的最大值为（）A. 2B. 3C. 4D. 58．已知某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是（）A. B.C. D.9．已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，，，，，，，则球的表面积为（）A. B. C. D.10．点在椭圆上，是椭圆的两个焦点，，且的三条边，，成等差数列，则此椭圆的离心率是（）A. B. C. D.11．已知函数，，如果对于任意的，都有成立，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.12．已知圆的半径为2，是圆上任意两点，且，是圆的一条直径，若点满足（），则的最小值为（）A. -1B. -2C. -3D. -4二、填空题13．若实数满足不等式组，则的最小值为__________．[KS5UKS5U] 14．设数列的前项和为，且，，则__________．15．已知平面区域，，在区域内随机选取一点，则点恰好取自区域的概率是__________．16．已知函数，若有三个零点，则实数的取值范围是__________．三、解答题17．在中，分别是角的对边，.（1）求角的大小；（2）若，求的面积的最大值.18．为考察高中生的性别与是否喜欢数学课程之间的关系，在某城市的某校高中生中，从男生中随机抽取了70人，从女生中随机抽取了50人，男生中喜欢数学课程的占，女生中喜欢数学课程的占，得到如下列联表.（1）请将列联表补充完整；试判断能否有90%的把握认为喜欢数学课程与否与性别有关；（2）从不喜欢数学课程的学生中采用分层抽样的方法，随机抽取6人，现从6人中随机抽取2人，若所选2名学生中的女生人数为，求的分布列及数学期望.附：，其中.19．如图，四棱锥的底面是平行四边形，底面，，，，.（1）求证：平面平面；（2）是侧棱上一点，记（），是否存在实数，使平面与平面所成的二面角为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.20．已知函数.（1）当时，求函数的单调区间和极值；（2）是否存在实数，使得函数在上的最小值为1？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.21．已知点为圆上一动点，轴于点，若动点满足（其中为非零常数）（1）求动点的轨迹方程；（2）若是一个中心在原点，顶点在坐标轴上且面积为8的正方形，当时，得到动点的轨迹为曲线，过点的直线与曲线相交于两点，当线段的中点落在正方形内（包括边界）时，求直线斜率的取值范围.22．选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，已知直线经过点，倾斜角，在以原点为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线的极坐标方程为.（1）写出直线的参数方程，并把曲线的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）设与曲线相交于两点，求的值.23．选修4-5：不等式选讲设函数.（1）解不等式；（2）若对于，使恒成立，求实数的取值范围.云南省云南师范大学附属中学2019届高三高考适应性月考卷数学（理）试题参考答案1．C【解析】，∴，故选C．2．B【解析】，，对应点为 ,故选B．3．B【解析】对于成立是真命题，∴，即，故选B．4．A【解析】由题意可知输出结果为，故选A．【方法点晴】算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项.5．D【解析】∵，∴，故选D．【方法点晴】已知函数的单调区间，求参，直接表示出函数的单调区间，让已知区间是单调区间的子集；8．A【解析】由三视图知：几何体为四棱锥，且四棱锥的一条侧棱与底面垂直，如图，平面，，，，，经计算，，，，∴，∴，，，，，∴，故选A．9．A【解析】设外接圆半径为，三棱锥外接球半径为，∵，∴，∴，∴，∴，由题意知，平面，则将三棱锥补成三棱柱可得，，∴，故选A．【方法点晴】空间几何体与球接、切问题的求解方法：(1)求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解．(2)若球面上四点构成的三条线段两两互相垂直，且，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，利用求解．【方法点晴】解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于的方程或不等式，再根据的关系消掉得到的关系式，而建立关于的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.11．C【解析】对于任意的，都有成立，等价于在，函数，，在上单调递减，在上单调递增，且，∴．在上，恒成立，等价于恒成立．设，，在上单调递增，在上单调递减，所以，所以，故选C．【方法点晴】函数的双变元问题，任意的，都有成立，等价于在，函数，转化为两侧的函数最值问题，先求出最值好求的一边，，转化为恒成立，再变量分离；13．【解析】画出不等式组表示的可行域知，的最小值为．和相交于一点A，，目标函数最小时即截距最小时，由图像知在A点取得；故结果为14;14．【解析】①，②，①②得：，又∴数列，首项为1，公比为的等比数列，∴．故结果为85；15．【解析】依题意知，平面区域是一个边长为的正方形区域（包括边界），其面积为，，如图2，点恰好取自区域的概率．故结果为；【方法点晴】考查集合概型，和积分，利用面积之比求出概率即可；则，切线的斜率为，则切线方程为，即，∵且，∴，即，则，即，则，∴，∴要使两个函数图象有个交点，则．【方法点晴】对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数范围．从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．17．【解析】试题分析：（1）先根据正弦定理将边角关系转化为角的关系，再根据两角和正弦公式以及诱导公式化简得，最后根据三角形内角范围求角的大小；（2）由余弦定理得，再根据基本不等式得，最后根据面积公式得最大值18．【解析】试题分析：（1）计算K 2的值，根据K 2的值，，可得没有以上的把握认为“性别与喜欢数学课之间有关系”．（2）用样本容量乘以男生所占的比例，可得应抽取的男生数，用样本容量乘以女生所占的比例，可得应抽取的女生数． 试题解析：（Ⅰ）列联表补充如下：[KS5UKS5UKS5U]由题意得，∵，∴没有的把握认为喜欢数学课程与否与性别有关．（Ⅱ）用分层抽样的方法抽取时，抽取比例是，则抽取男生人，抽取女生人，所以的分布列服从参数的超几何分布，的所有可能取值为，其中．由公式可得， ，[KS5UKS5U][KS5UKS5U.KS5U所以的数学期望为．[KS5UKS5U.KS5U19．【解析】（Ⅰ）证明：由已知，得，∵，，试题解析：又，∴．又底面，平面，则，∵平面，平面，且，∴平面．∵平面，∴平面平面．（Ⅱ）解：以为坐标原点，过点作垂直于的直线为轴，所在直线分别为轴，轴建立空间直角坐标系，如图3所示．则，因为在平行四边形中，，则，∴．又，知．设平面的法向量为，则即取，则．设平面的法向量为，则即取，则．若平面与平面所成的二面角为，则，即，化简得，即，解得（舍去）或．于是，存在，使平面与平面所成的二面角为．【方法点晴】本题考查直线与平面平行的判定，考查空间想象能力和思维能力，训练了利用空间向量求解二面角的平面角；20．【解析】试题分析：（1）先求导数，再求导函数零点，列表分析导函数符号变化规律，进而确定单调区间和极值（2）先根据导函数是否变化分类讨论：当时，导函数恒为正，所以最小值为；当时，导函数先负后正，所以最小值为；当时，导函数为负，最小值为，最后根据最小值为1，解对应的值。

理科综合参考答案一、选择题：本题共13小题，每小题6分。

题号 1 2 3 4 5 6 78910111213答案 A D C D B A B C D B A D A 二、选择题：本题共8小题，每小题6分。

在每小题给出的四个选项中，第14～18题只有一项符合题目要求；第19～21题有多项符合题目要求，全部选对的给6分，选对但不全的给3分，有选错的给0分。

题号 1415161718192021答案D A D B D AC BC AD 【解析】1．部分酶的化学本质是RNA，被蛋白酶处理后酶的活性不变，A错误。

酶催化的部分化学反应不需要ATP提供能量，B错误。

胃蛋白酶的最适pH=1.5，D错误。

2．细胞核中DNA复制时，边解旋边复制，A错误。

某双链DNA分子共有m个碱基，其中C 有n个，该DNA第四次复制共需要8(m/2−n)个腺嘌呤脱氧核苷酸，B错误。

脱氧核苷酸在DNA聚合酶的作用下合成与母链互补的子链，C错误。

3．tRNA是以DNA的一条链为模板转录而来，②错误。

终止密码子没有相对应的氨基酸，④错误。

4．抗生素不能诱发细菌产生抗性突变，只起选择作用，A错误。

生物多样性的形成不仅仅是新物种不断形成的过程，也是基因多样性和生态系统多样性不断形成的过程，B错误。

共同进化是指不同物种之间、生物与无机环境之间在相互影响中不断进化和发展的过程，C 错误。

5．血浆中蛋白质含量显著降低会引起血浆渗透压下降，水分大量由血浆进入组织液，B错误。

6．反射过程中，兴奋在神经纤维上进行单向传导，B错误。

神经递质与特异性受体结合后，不会进入突触后神经元，C错误。

抗利尿激素作用于肾小管和集合管，会引起机体产生尿量的变化，D错误。

7．侯氏制碱法是利用在该实验条件下NaHCO3的溶解度小促使反应发生，A正确。

新型陶瓷属于新型无机非金属材料，不属于硅酸盐产品，主要为氮化物、碳化物以及金属氧化物等，B错误。

酶是一种特殊的催化剂，“酒曲”是一种酶，C正确。

理科数学参考答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）【解析】1．因为直线2y =与圆224x y +=相切，所以AB 的元素的个数是1，故选C.2．原命题的条件是“若24x <”，结论为“22x -<<”，则其逆否命题是：若2x ≥或2x -≤，则24x ≥，故选D.3．根据茎叶图可知，甲运动员的平均成绩低于乙运动员的平均成绩，甲的成绩比乙的成绩更集中，因此甲比乙稳定，故选A ．4．A 选项，()f x 的定义域为R ，()e ()e x x f x x f x x --=--=-，，故()f x 为非奇非偶函数；B 选项，()f x 的定义域为[0)+∞，，不关于原点对称，故()f x 为非奇非偶函数；C 选项，()f x 的定义域为R ，22()sin ()sin f x x x f x x x -=--=-，，故()f x 为奇函数；D 选项，()f x 的定义域为(0)(0)-∞+∞，，，()ln ||()ln ||f x x f x x -==，，故()f x 为偶函数，故选C ． 5．由题可知，落入枫叶轮廓中的概率为6031005S P S ===枫叶正方形，所以枫叶的面积近似为223==15135cm 5S P S ⨯=正方形枫叶，故选B ．6．由题得1110242a a ==，解得112a =，故112n n a -=，所以21108910226S S a a -=+=+=，故选A.7．设111222i i z x y z x y =+=+，，则1122()()OA x y OB x y ==，，，，且21z z = 121212212211()ix x y y x y x y x y ++-+，由OA OB ⊥知12120x x y y +=且12x y -210x y ≠，故OA OB ⊥的充要条件是21z z 为纯虚数，故选D. 8．由题得直线1l 与直线2l 之间的距离为5d ==，所以圆心C 在两直线之间．圆心C 到直线1l 的距离为12d ==，则圆心C 到直线2l 的距离为2523d =-=，故22||2437CD =-=A ．9．由ππ4x k -=得ππ4x k k =+∈N ，，故()f x 在[08π]，上的零点从小到大排成首项为π4、公差为π的等差数列．由ππ8π4x k =+≤得07k ≤≤，即该数列共有8项，所以所有零点之和为π878π30π42⨯⨯+⨯=，故选D ． 10．设6AD =，则13AA =，2AB BC CA ===．如图1，通过补体将直线AP 平移至1A R ，则异面直线AP 与1A Q 所成角等于1A R 与1A Q 所成角．由图得2211125A Q A R ==+=，22222QR =+=，则2221(5)(5)(22)1cos 5255QA R +-∠==⨯⨯，故选B ． 11．根据椭圆的标准方程22143x y C +=：知(2020())A B -，，，，设00()P x y ，，则00()Q x y -，，且2200143x y +=，0102y k x =+，0202y k x -=-，所以201220344y k k x -==-．又1112k ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，所以21333442k k ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，，故选C ． 12．由余弦定理可得222222(13)(10)(13)(32)2221321322BC BC BC BC ⎛⎫⎛⎫+-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=-⨯⨯，解得2BC =．故222(10)(32)2cos 210325BAC +-∠==⨯⨯，sin 5BAC ∠=．设ABC △的外接圆半径为r ，由正弦定理可得2sin BC r BAC =∠，故52sin BCr BAC=∠，所以球O 的半径为2232h R r ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，球O 的表面积为24π36πS R ==，故选C.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）题号 13 14 15 16 答案 15331+①③③13．6x x ⎛ ⎝的展开式中，3662166C (1)C kk k k k k k T x x x --+==-，令4k =得45665C 1521T ⨯===⨯． 图114．由题得a 在b 方向上的投影为1||cos 2a a b 〈〉=-，，所以1cos 2a b 〈〉=-，，所以222|2|4414cos 43a b a a b b a b +=++=+〈〉+=，，即|2|3a b +=．故答案为：15．不妨设A B ，分别在第一、第三象限，则260AOF ∠=︒.由12||||2AB F F c ==得2||||OA OF =，且四边形12AF BF 为矩形. 故2AOF △是正三角形，2||AF c=，1||AF =.由双曲线的2c a -=，从而1ce a==，1． 16．()f x 的定义域为R ，由于22sin π(1)sin π(1)()(1)(1)11x xf x f x x x x x --===---+-+，所以()f x 的图象关于12x =对称，故③正确；当102x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时，sin πy x =单调递增且函数值为正数，21y x x =-+单调递减且函数值为正数，故2sin π()1x f x x x =-+在102⎛⎫⎪⎝⎭，上单调递增，故③正确；由于22133sin π11244x x x x ⎛⎫-+=-+ ⎪⎝⎭≤，≥，所以4()3f x ≤，当且仅当12x =时取等号，故③正确；由③知，当且仅当12x =时，()f x 的函数值为43，故()f x 不可能是周期函数，从而()f x 的图象不可能是中心对称图形，故③错误．故答案为：③③③． 三、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分12分）解：（1）由正弦定理得2sin cos sin cos cos sin B A A C A C =+，所以2sin cos sin cos cos sin sin()sin(π)sin B A A C A C A C B B =+=+=-=．又(0π)B ∈，，所以sin 0B ≠，所以1cos 2A =．又(0π)A ∈，， 所以π3A =． …………………………………………………………（6分）（2）若选择①，将a =b B 代入sin sin a b A B =3sin sin 3BB =，即3tan B =，因为0πB <<，所以π6B =，2b =，ππ2C A B =--=． 所以112322322ABC S ab ==⨯=△若选择②，将23a =12b c =代入2222cos b c a bc A +-=得216c =，解得4c =（4c =-舍去），所以2b =．所以113sin 242322ABC S bc A ==⨯⨯=△ …………………………………（12分）18．（本小题满分12分）（1）证明：如图2，取CD 的中点N ，连接MN EN ，． M N ∵，分别是1C D CD ，的中点， 1MN CC ∴∥且112MN CC =．又E ∵是1AA 的中点，11A E CC ∴∥且1112A E CC =．1A E MN ∴∥且1A E MN =．∴四边形1A ENM 是平行四边形．1A M EN ∴∥．又1A M ⊄∵平面CDE ，EN ⊂平面CDE ，1A M ∴∥平面CDE ． …………………………………………………………（6分）（2）解：如图2，建立空间直角坐标系，则(000)(028)(304)(043)C D E F ，，，，，，，，，，，． (028)(304)(043)CD CE CF ===∴，，，，，，，，．设()n x y z =⊥，，平面CDE ，则280340n CD y z n CE x z ⎧=+=⎪⎨=+=⎪⎩，，解得443y z x z =-⎧⎪-⎨=⎪⎩，， 故可取(4123)n =-，，， 图2设直线CF 与平面CDE 所成角为θ， 则22124333sin |cos |534CF n θ⨯-⨯=〈〉==++，，所以直线CF 与平面CDE 所成角的正弦值为35． ……………………………（12分）19．（本小题满分12分）解：（1）记i A 为事件“第i 局乙胜”，i A 为事件“第i 局乙输”， 12345i =，，，，， B 为事件“还需比赛3局比赛才结束且乙班获胜”，则345345B A A A A A A =，故1212114()33333327P B =⨯⨯+⨯⨯=． ……………………………………………（4分）（2）记C 为事件““三局两胜”制下乙班获胜”，D 为事件““五局三胜”制下乙班获胜”，则()P C P =(2局获胜)+P (3局获胜)1121112173333333327=⨯+⨯⨯+⨯⨯=，()P D P=(3局获胜)+P (4局获胜)+P (5局获胜)3313212341121217+C C 3333381⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 由于72117278181=>， 故乙班选择“三局两胜”制对自己获胜更有利． …………………………………（12分）20．（本小题满分12分）解：（1）当0a =时，()(1)e x f x x =-，()e x f x x '=． 当0x <时，()0f x '<；当0x >时，()0f x '>．所以()f x 有极小值(0)1f =-，无极大值． ………………………………………（4分）（2）由题得()e x f x x a '=-，[0+)x ∈∞，．③当0a ≤时，e 0x x >，0a -≥，故()0f x '≥，()f x 在[0+)∞，上单调递增．所以min 3()(0)12f x f a ==--≥，解得23a ≥（舍去）．③当0a >时，(0)0f a '=-<，()(e 1)0a f a a '=->，且()f x '在[0+)∞，上单调递增， 故()f x '在[0+)∞，上有唯一零点0(0)x a ∈，，且00e x a x =． 当0[0)x x ∈，，()0f x '<，()f x 单调递减； 当0()x x ∈+∞，，()0f x '>，()f x 单调递增． 所以0min 0000000013()()(1)e (1)12x a f x f x x ax x ax a x a x x ⎛⎫==--=--=--- ⎪⎝⎭≥， 即001312x x ---≥，解得0122x ≤≤． 又因为00e x a x =22e a ≤． 综上，a的取值范围为22e ⎤⎥⎣⎦． ………………………………………………（12分）21．（本小题满分12分）解：（1）由24x y =得214y x =，12y x '=，则切线斜率为1k =， 故切线方程为12y x -=-，即1y x =-． ……………………………………………（2分）（2）（③）设2004x P x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，0(0)x >，由（1）得切线斜率为012k x =．所以01tan 2PQR x ∠=，且切线为200011()42y x x x x -=-，即200240x x y x --=． 令1y =-得0022x x x =-，即00212x Q x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，． ③当02x =时，tan 1PQR ∠=，π4PQR ∠=； (01)Q -，，π2FQR ∠=，满足2FQR PQR ∠=∠． ③当02x ≠时，020041(1)tan 4202FQ x FQR k x x x --∠===-⎛⎫-- ⎪⎝⎭，022*******tan 2tan 21tan 412x x PQR PQR PQR x x ⨯∠∠===-∠-⎛⎫- ⎪⎝⎭， 所以tan tan 2FQR PQR ∠=∠．因为P 在第一象限，所以2(0π)FQR PQR ∠∠∈，，，故2FQR PQR ∠=∠．综上，2FQR PQR ∠=∠． ……………………………………………………………（6分）（注：其他证法酌情给分，如证明PF QF ⊥．） （③）由（1）得00x >，00002|||2P Q x PQ x x x ⎛⎫=-=--=⎪⎝⎭， 点F到切线的距离为2d ==，所以223000000(4)11116||8221616PQFx S PQ d x x x x ⎛⎫+====++ ⎪⎝⎭△， 令316()8g t t t t=++，0t >，则42222222163816(4)(34)()38t t t t g t t t t t +-+-'=+-==，所以当0t ⎛∈ ⎝⎭，()0g t '<；当t ⎫∈+∞⎪⎪⎝⎭，()0g t '>．故当t =()g t取最小值g =⎝⎭．所以当0x =PQF S △． 故PQF △． ……………………………………………………（12分）（注：其他解法酌情给分）22．（本小题满分10分）【选修4−4：坐标系与参数方程】解：（1）由e e e e t t t t x y --⎧=+⎪⎨=-⎪⎩，，得222222e e 2e e 2t tt tx y --⎧=++⎪⎨=+-⎪⎩，，消去参数t 得224x y -=，又e e 2t t x -=+≥，所以曲线C 的普通方程为224(2)x y x -=≥． 由(3sin 5cos )26ρθθ-=得5cos 3sin 260ρθρθ-+=，所以直线l 的直角坐标方程为53260x y -+=． ……………………………（5分）（2）设点P 的坐标为(e e e e )t t t t --+-，，则点P 到直线l 的距离为8e 2634t t t t t t t d ----+===当2e 8e t t -=，即e 2t =，ln2t =，可以取到上述“=”，此时点P 为5322⎛⎫⎪⎝⎭，．所以曲线C 上的点到直线l …………………………………（10分）23．（本小题满分10分）【选修4−5：不等式选讲】（1）解：由绝对值不等式1212||||||x x x x --≤得121212||||||||x x x x x x ----≤≤， 故111()||()222f x x x a x x a a ⎛⎫=+---+--=-+ ⎪⎝⎭≥， 当且仅当11022x a ⎛⎫⎛⎫++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭≤时取“=”．所以不等式()10f x +≤有解的充要条件是1102a -+≤，解得3122a a -≤或≥． 故实数a 的取值范围为3122⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭，，． …………………………（5分）（2）证明：由题得1111()12222f x x x x x ⎛⎫⎛⎫=+--+--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭≤， 当且仅当12x ≥时取“=”，故max ()1f x =．所以1M =，1m n +=．因为2222(2m p n q mp nq -=++-2(1)(1)220m m p n n q mnp mnq mn =-+-+=--+-≤，所以22(+≤，故 …………………………（10分）其他解法：由柯西不等式得22(()()m n mp nq mp nq =++=+≤，故。