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人教版《数学》九年级上册第21章第3节第2课时《一元二次方程与美丽的图形》教学设计单位:姓名：时间：【教学内容解析】：本节课的内容，是在学生学习了应用一元一次方程与二元一次方程组来解决实际问题的基础上，通过学习“文化中感受美--探索中领悟美—交流中拓展美—练习中品味美—小节中收获美—作业中延续美”的过程，进一步讨论如何建立和利用一元二次方程模型来解决实际问题，并且在数量关系的复杂程度上又有了新的发展.课标要求：能根据具体问题中的数量关系列出方程，体会方程是刻画现实世界数量关系的有效模型，根据具体问题的实际意义，检验方程的解是否合理.本节内容的设置，正是《新课程标准》在知识点上呈螺旋上升趋势的具体体现，是用方程模型解决实际问题的发展，也为下一章学习二次函数的应用打下基础.【教学目标设置】：知识与能力：1、掌握面积法建立一元二次方程的数学模型，并运用它解决问题.2、掌握通过利用图形移动，用化“零散为整体”的方法解决面积问题.3、能根据具体问题的实际意义，检验结果是否合理.过程与方法：1、经历探索列一元二次方程解决面积问题的过程.2、体验通过移动变化分析面积问题的方法.3、发展学生应用数学的意识.4、体会转化的数学思想.情感态度和价值观：让学生体会一元二次方程是刻画现实世界的一个有效地数学模型，感受和应用数学之美，感悟数学来源于生活，服务于生活；同时培养学生自我探索的兴趣和能力.教学重点：运用一元二次方程探索和解决面积问题.教学难点：利用图形移动化“零散为整体”，利用面积公式建立一元二次方程模型.【学生学情分析】：学生已经知道的：在学习一元一次方程及其应用和二元一次方程组、分式方程及其应用时，学生就已经经历了“问题情境—建立方程模型—解决问题”这一数学化过程，而且学生已经学会了解一元二次方程.学生能够自己解决的：初三学生的思维应该说已经具有一定的水平，对于矩形面积公式也能较灵活的应用，对于简单的有关面积的实际问题也能够通过寻找其中的数量关系来解决.学生需要教师指导的：学生对于面积问题的分析，图形的转化，根的取舍等需要通过学生的自主学习及教师的适时点拨、提升，总结.特别是利用转化的数学思想将图形“化零散为整体”的方法及用“割补法“求面积的方法需要教师及时的点拨、强调和总结.在教学过程中，教师还应从学生的积极性入手，挖掘学生的主动性和合作性，同时注意分层施教，增强学生克服困难的决心。

《切线长定理》（义务教育课程标准华师大版九年级下册第二十七章第2节第一课时）一、教学内容解析➢教材内容本节内容是华师版九年级数学下册第二十七章《圆》第2节，学习切线长定理及其简单应用，着重研究切线长定理的证明．➢教学重点切线长定理➢地位作用本节课的内容是切线长定理，它是在学生已经学习了切线的定义、判定和性质的基础上，继续对切线的性质的研究，是直线与圆位置关系的重点内容，是在垂径定理之后对圆的对称性又一次的认识．体现了图形的认识、图形的变换、图形的证明的有机结合，它既是前面知识的延伸，也是后面学习的基础，又是今后证明线段相等、角相等、弧相等、线段成比例等的重要工具，因此，本节内容具有承前启后的重要地位．通过对切线长定理的猜想和证明，有助于培养学生严密的演绎推理能力和思维能力．深入剖析基本图形，体现了数形结合的数学思想，进一步发展学生数学建模能力．二、教学目标解析1．理解切线长的概念；2．掌握切线长定理，并能初步运用；3．通过对切线长定理的猜想和证明，培养学生严密的演绎推理能力和思维能力；4．学生在经历观察、猜想、验证、证明、剖析、应用、归纳切线长定理活动中，通过相互间的合作与交流，进一步培养学生合作交流的意识和数学建模能力，同时培养学生的动手操作能力和体会数形结合的数学思想，培养学生的发散思维及创新意识．三、教学问题诊断分析➢学生学情分析1.知识基础在本节课前，学生已学习轴对称图形，线段垂直平分线性质与判定，三角形全等、相似三角形的判定与性质，特殊四边形的判定与性质，勾股定理等相关知识．在本章《圆》又学习了切线的定义、判定与性质，圆的对称性．学生已具备学习本节课的知识基础．2.认知水平学生活动经验基础：在相关知识的学习过程中，学生已经经历了利用轴对称图形的性质证明垂径定理的经验，和尺规作图等动手操作能力，经历了对数学问题进行观察、猜测、实验、归纳、验证等活动过程．同时在以前的数学学习中学生已经经历了很多合作学习的过程，具有了一定的合作学习的经验，具备了一定的动手实践、自主探索与合作交流的能力．➢教学难点切线长定理的探究并证明．➢突破难点的策略通过情景创设，激发兴趣．设置层层深入的问题，用巧妙的语言调动学生积极思考，采用不断追问的方式，逐步引向深入，培养学生严密的思维习惯．鼓励学生动手操作，合作交流，经历探索过程，得出结论．通过归纳小结和方法提炼环节，让学生内化本节课的知识和方法，从而突破难点．四、教学策略分析➢教材处理1．将本节内容细分为两课时教材把切线长定理及三角形内切圆合为一课时，探究内容和问题设计稍显单薄．为了丰富教学内容，体现深入探索切线长定理的重要性，在教学设计时将其分为两个课时，本节课是第一课时，只研究切线长定理探索证明过程．2．保留课本探究，改编课后练习教学设计中保留了课本中“根据实例，由特殊到一般，运用动态的变换方法，通过合情推理，发现图形的性质，然后通过演绎推理证明这一性质”的探究内容，为了加深对切线长定理的理解，使学生学会发现、分析、解决问题，培养学生正确应用所学的能力，我还对教材课后练习进行了挖掘，将教材上第56页习题27.2的第9题进行了改编，放在切线长定理的证明之后，作为对新知识的简单应用．3．补充拓展延伸由于我班学生普遍数学基础较扎实，接受新知的能力较强，因此补充了拓展延伸，提出开放性问题，探索切线长性质，品尝发现所带来的快乐，满足学生的学习需求，培养学生思维的完整性和深刻性．➢教学方法根据本节课的教学目标、教材内容以及初三学生已基本形成逻辑推理的思维能力．若利用形象直观的教具和生动的几何画板，则可以辅助学生抽象思维的进一步形成，所以教学上采用直观演示实验以及猜想论证法，然后加以引导、启发学生，让学生经历观察、画图、猜想、论证以及讨论、分析、演示相结合的教学过程，意在帮助学生通过自己动手实验、分析归纳，从自己的实践中获取知识，并通过讨论来加深对知识的理解．➢学习方法新课改的精神在于以学生的发展为本，把学习的主动权还给学生，倡导积极主动，勇于探索的学习方法，因此，本节课主要采取动手实践、自主探索与合作交流的学习方式，通过让学生猜想、论证、应用，建构起自己的知识结构，使学生成为学习的主人．➢教具准备教材、多媒体课件、实物投影仪、圆规、三角板等．充分利用现代信息技术，学生通过形象直观的感觉，加深对知识的理性认识．•O五、教学过程教学内容与教师活动学生活动设计意图与说明（一）创设情境 引入新课欣赏生活中的图片，并提出问题 问题1：照片中有哪些几何图形？问题2：过圆外一点作已知圆的切线，可以作出几条？学生欣赏图片，思考、反馈，体会生活中的几何图形，并大胆说出自己的看法．从生活中的实例引入新课，体现数学源于生活，吸引学生的注意力，激发学生的兴趣，唤起他们的好奇心与求知欲，同时对过圆外一点可以画圆的两条切线形成初步的感性认识．（二）合作学习 探究新知活动一 画一画问题1：在圆外任找一点P 并画出⊙O 的两条切线？在实际应用中，我们根据需要，经常求到点P 与切点间的距离，因此，需要给出一个定义．（一）切线长1．定义：圆的切线上某一点与切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长．2．切线与切线长的区别切线是一条与圆相切的直线，不能度量. 切线长是线段的长，可以度量．（1）学生利用三角板，应用切线的判定画出切线． （2）学生独立思考，感知概念，充分理解切线长定义，正确区分切线和切线长．学生通过亲自动手作图，不仅巩固了上节课学习的切线的画法，还身临其境地感受切线的定义，从而引出切线长的概念，并将切线与切线长两个定义加以区分，加深对切线长概念的理解，渗透了从具体到抽象的数学思想方法，为切线长定理的探究打下基础．活动二折一折问题2：若将这个图形沿直线OP翻折，你能发现什么结论？猜想：P A____PB，∠APO_____∠BPO．问题3：过圆外任意一点作圆的两条切线都有这样的结论吗？利用几何画板分别变动圆外点P 的位置及圆的大小，观察线段P A与P B，∠APO 与∠BPO是否相等？验证发现结论，引导学生归纳结论.学生通过动手翻折，以及利用几何画板展示，观察P A与PB、∠APO与∠BPO的大小关系，对线段长度、角度大小等问题进行多角度观察思考，寻找不同的解决问题的方法．全班互动交流，展示探究成果．学生通过翻折、观察P A与PB，∠APO与∠BPO之间的关系，进而发现、猜想切线长定理，并用自己的语言表达出来．这样的设计渗透了从特殊到一般的数学思想，发挥了学生的主体作用，培养学生类比迁移能力及探索问题的能力，使学生在相互欣赏、争辩、互助中得到提高；几何画板的使用让静止的图形运动起来，使问题变得更加生动形象．问题4：同学们：试用文字语言叙述刚才的结论？（二）切线长定理过圆外一点所画的圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分这两条切线的夹角.剖析定理：（1）指出定理的题设和结论；（2）结合图形，用符号语言表示定理：若P A、PB分别与⊙O相切于点A、B，则P A=PB，∠APO=∠BPO．（1）通过观察，猜想，同桌相互交流，归纳出结论．（2）学生指出切线长定理的题设和结论．此环节让学生熟练掌握定理的三种数学语言（文字语言、符号语言、图形语言）的表示以及相互转化．活动三证一证问题5：请证明你所发现的结论．切线长定理证明的教学方式是学生自主探索与合作交流相结合，首先采取多种方式进行探索，等学生猜想出结论后，再明确告知学生，仅凭照片观察、作图度量、折叠展示、动态演示，并不足以说明论的正确性，还需通过严格的证明来确保结论的正确性，同时激励学生寻找证明猜想的途径．问题6：证明命题的步骤有哪些？第一步：分清命题的题设、结论；第二步：画图；第三步：结合图形，写出已知，求证．已知：如图，P A、PB是⊙O的两条切线，切点分别为A、B．求证：P A=PB ,∠OP A=∠OPB．第四步：写出证明过程．学生独立思考，写出其证明过程，再投影其过程．让学生在探究的过程中体验数学活动充满着探索性和创造性，感受证明的必要性，证明过程的严谨性以及结论的确定性，使学生的直观操作与逻辑推理有机的整合到一起．可以看出，设置探究性的问题，可以引导学生理解已知与未知、简单与复杂、特殊与一般在定条件下可以转化的数学思想方法，培养学生把未知转化为已知，把复杂问题转化为简单问题，把一般问题转化为特殊问题的能力．（三）应用拓展，体验成功.已知：如图，AC是⊙O的直径，P A、PB是⊙O的两条切线，切点分别为A、B．求：（1）问题1由学生独立思考，回答问题，问题2由同桌交流，展示方法．本题让学生学会运用切线长定理来解决线段、角的问题，加深对切线长定理的理解，使学生学会发现、分析、解决问题，培养学生正(1) 若OP=10，⊙O的半径为6，则P A=______，PB=______．(2) 若OA=4, OP=8，则∠APO =______，∠APB=______，∠CAB=______．.问题7：在上图中连接AB，不难发现∠APO=∠CAB，这个结论是否具有一般性?（2）学生在问题导下深入思考，进入探究拓展．确应用所学的能力．问题7通过看似巧合的两角相等，把研究的对象从特殊引向一般，引导学生把握其内在规律，激发学生的探究欲望，自然地完成本节课难点的突破．活动四探一探（拓展延伸）如图，P是圆外一点，P A、PB是圆的两条切线，A、B是切点，我们知道AP=BP，∠APO=∠BPO．问题8：若添加辅助线，你还可以推出哪些结论？（1）____________________________；（2）____________________________；（3）____________________________；（4）____________________________；（5）____________________________．所以问题7中∠APO=∠CAB，具有一般性．（1）让学生通过添加辅助线，小组合作，共同探究发现OP垂直平分弦AB，进而得到弧相等，弦相等，角相等、三角形全等、相似等结论．（2）学生动手操作，小组合作交流，学生交流感知多种方案，生生互动找全方案，优化列举法，互相补充完善方案，并在组内交流，最后展示其成果，并说明理由．此处教师提出开放性问题，不仅能有效的提高学生的学习热情，培养学生自主学习的能力，还有利于培养学生的合作能力和创新精神，有十分重要的意义，为以后解决相关的几何问题提供了思路的方向．在本段的教学中，教师注意突出性质的探究过程,重视学生主体地位的落实，让学生通过自主学习，合作探究，经历观察、猜想、分析、验证、交流等基本数学活动，探索切线长性质，从而品尝了发现所带来的快乐，培养学生思维的完整性和深刻性．PABCO（四）梳理小结盘点收获课堂小结时，让学生畅所欲言，让学生谈谈这节课的收获是什么．教师进行补充，总结，为下节课做好铺垫．教师引导学生总结：a．知识价值：切线长定理；b．模型化思想：证明命题的基本步骤及数学建模能力（基本图形）；c．数学思维及思想方法：从具体到抽象，从直观、合情推理到严密逻辑推理的思维过程，使学生体会数学发展的过程及数形结合的数学思想，从特殊到一般、分类与整合等．学生从数学知识、思想方法等方面进行全面总结．通过小结为学生创造交流的空间，引导学生参与总结，调动学生的积极性，反思自己学习过程，让学生形成知识网络，完善认知结构。