2022年暑期“八升九”数学《《勾股定理》知识综合》自主巩固练习卷

2022年春北师大版九年级数学中考一轮复习《勾股定理》综合提升训练（附答案）1．勾股定理是人类最伟大的科学发明之一．如图1，以直角三角形ABC的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两张正方形纸片按图2的方式放置在最大的正方形内，三个阴影部分面积分别记为S1，S2，S3，若已知S1＝2，S2＝5，S3＝8，则两个较小正方形纸片的重叠部分（四边形DEFG）的面积为（）A．7B．10C．13D．152．如图△ABC中，高AD与中线CE相交于点F，AD＝CE＝8，FD＝2，则AB的值为（）A．2B．6C．10D．3．如图，四个全等的直角三角形与中间的小正方形EFGH拼成了一个大正方形ABCD，连结AC，交BE于点P，若正方形ABCD的面积为28，AE+BE＝7．则S△CFP﹣S△AEP的值是（）A．3.5B．4.5C．5D．5.54．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，AB＝5，D为AB边上一动点，连接CD，△ACD与△A′CD关于直线CD轴对称，连接BA′，则BA′的最小值为（）A．B．1C．D．5．下列三角形是直角三角形的是（）A．B．C．D．6．在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，若a2＝b2+c2，则（）A．∠A＝90°B．∠B＝90°C．∠C＝90°D．∠C＝∠A+∠B 7．如果正整数a、b、c满足等式a2+b2＝c2，那么正整数a、b、c叫做勾股数，某同学将自己探究勾股数的过程列成下表，观察表中每列数的规律，可知x+y的值为（）A．47B．62C．79D．988．如图，一棵大树在一次强台风中于离地面5米处折断倒下，树干顶部在离根部12米处，则这棵大树的高度为（）A．13B．17C．18D．259．为了打造“绿洲”，计划在市内一块如图所示的三角形空地上种植某种草皮，已知AB＝10米，BC＝15米，∠B＝150°，这种草皮每平方米售价2a元，则购买这种草皮需（）元．A．75a B．50a C．a D．150a10．国庆节期间，重庆南开中学用彩灯带装饰了艺术楼大厅的所有圆柱形柱子．为了美观，每根柱子的彩灯带需要从A点沿柱子表面缠绕两周到其正上方的B点，如图所示，若每根柱子的底面周长均为2米，高均为3米，则每根柱子所用彩灯带的最短长度为（）A．米B．米C．米D．5米11．在Rt△ABC中，AC＝3，BC＝4，点P是斜边AB上一点，若△P AC是等腰三角形，则线段AP的长可能为．12．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线，已知AC＝2，BC＝2，则△ACD的周长等于．13．“赵爽弦图”巧妙的利用面积关系证明了勾股定理．如图所示的“赵爽弦图”，△ABH，△BCG，△CDF和△DAE是四个全等的直角三角形，四边形ABCD和EFGH都是正方形，若AB＝10，EF＝2，则AH＝．14．已知，直角三角形的两条边长为5和12，则它的斜边长为．15．在△ABC中，三边长分别为8、15、17，那么△ABC的面积为．16．三角形的三边长为a，b，c，且满足（a+b）2＝c2+2ab，则这个三角形是．17．如图所示，已知△ABC中，CD⊥AB于D，AC ＝4，BC＝3，DB＝．（1）求CD的长；（2）求AD的长；（3）求证：△ABC是直角三角形．18．我们新定义一种三角形：两边的平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫可爱三角形．（1）①根据“可爱三角形”的定义，请判断：等边三角形一定是可爱三角形，是否正确．并填空（填“正确”或“不正确”）；②若三角形的三边长分别是4、2、，则该三角形（是或不是）可爱三角形；（2）①若等腰三角形是可爱三角形，并且有一边长为，则周长为；②若Rt△ABC是可爱三角形，且一条直角边长为，则斜边长为．19．如图，其中△ABH、△BCG、△CDF和△DAE是四个全等的直角三角形，四边形ABCD 和EFGH都是正方形，根据这个图形的面积关系，可以证明勾股定理．设AD＝c，DE＝a，AE＝b，取c＝20，b﹣a＝4．（1）填空：正方形EFGH的面积为，四个直角三角形的面积和为．（2）求a+b的值．20．定义：如图，点M，N把线段AB分割成AM，MN，NB，若以AM，MN，NB为边的三角形是一个直角三角形，则称点M，N是线段AB的勾股分割点．（1）已知M，N把线段AB分割成AM，MN，NB，若AM＝2.5，MN＝6.5，BN＝6，则点M，N是线段AB的勾股分割点吗？请说明理由．（2）已知点M，N是线段AB的勾股分割点，且AM为直角边，若AB＝14，AM＝4，求BN的长．21．如图，在△ABC中．D是AB边的中点，DE⊥AB于点D，交AC于点E，且AE2﹣CE2＝BC2，（1）试说明：∠C＝90°；（2）若DE＝6，BD＝8，求CE的长．22．如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，CD＝5，DA＝5．（1）求△BCD的面积；（2）求BD的长．23．课堂上学习了勾股定理后，知道“勾三、股四、弦五”．王老师给出一组数让学生观察：3、4、5；5、12、13；7、24、25；9、40、41；…，学生发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过，于是王老师提出以下问题让学生解决．（1）请你根据上述的规律写出下一组勾股数：11、、．（2）若第一个数用字母a（a为奇数，且a≥3）表示，那么后两个数用含a的代数式分别怎么表示？小明发现每组第二个数有这样的规律4＝，12＝，24＝…，于是他很快用含a的代数式表示了第二数为，则用含a的代数式表示第三个数为．（3）用所学知识证明（2）中用字母a表示的三个数是勾股数？24．如图，某中学有一块四边形的空地ABCD，学校计划在空地上种植草皮，经测量∠A＝90°，AB＝3m，BC＝12m，CD＝13m，DA＝4m，若每平方米草皮需要200元，问学校需要投入多少资金买草皮？25．一个13m长的梯子AB，斜靠在一竖直的墙AO上，这时的AO距离12m，如果梯子的顶端A沿墙下滑4m，那么梯子底端B也外移4m吗？为什么？参考答案1．解：设直角三角形的斜边长为a，较长直角边为c，较短直角边为b，由勾股定理得，a2＝c2+b2，∴a2﹣c2﹣b2＝0，∴S阴影＝a2﹣c2﹣（b2﹣S四边形DEFG）＝a2﹣c2﹣b2+S四边形DEFG＝S四边形DEFG ∴S四边形DEFG＝S1+S2+S3＝2+5+8＝15，故选：D．2．解：如图，作EH⊥AD于H．∵BD⊥AD，EH⊥AD，∴EH∥BD，∵AE＝EB，∴AH＝DH＝4，∵DF＝2，∴FH＝2，∵，EC＝8，∴EF＝4，FC＝4，∴EH＝，∵AE＝EB，AH＝DH，∴BD＝2EH＝4，在Rt△ABD中，AB＝．故选：D．3．解：∵正方形ABCD的面积为28，∴AB2＝28，设AE＝x，∵AE+BE＝7，∴BE＝7﹣x，Rt△AEB中，由勾股定理得：AE2+BE2＝AB2，∴x2+（7﹣x）2＝28，∴2x2﹣14x＝﹣21，∵AH⊥BE，BE⊥CF，∴AH∥CF，∴∠EAP＝∠GCM，∵“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形EFGH拼成的一个大正方形ABCD，∴△AEB≌△CGD，∴AE＝CG，∴△AEP≌△CGM（ASA），∴S△AEP＝S△CGM，EP＝MG，∴S△CFP﹣S△AEP＝S△CFP﹣S△CGM＝S梯形FPMG＝（NG+PF）•FG＝EF•FG＝S正方形EHGF，∵S矩形EHGF＝S正方形ABCD﹣4S△AEB＝28﹣4×x•（7﹣x）＝28﹣2x（7﹣x）＝28﹣21＝7，则S△CFP﹣S△AEP的值是3.5；故选：A．4．解：由折叠可得，A'C＝AC＝3，∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，AB＝5，∴BC＝＝4，∵A'B+A'C≥BC，∴A'B≥BC﹣A'C＝4﹣3＝1，∴A'B的最小值为1，故选：B．5．解：由勾股定理的逆定理得，因为D能满足（）2+（）2＝（2）2，所以D 是直角三角形．故选：D．6．解：∵∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，a2＝b2+c2，∴∠A＝90°，∵∠A+∠B+∠C＝180°，∴∠B+∠C＝90°＝∠A，故选：A．7．解：由题可得，3＝22﹣1，4＝2×2，5＝22+1，……∴a＝n2﹣1，b＝2n，c＝n2+1，∴当c＝n2+1＝65时，n＝8，∴x＝63，y＝16，∴x+y＝79，故选：C．8．解：由勾股定理得，BC＝＝13（m）．则大树折断前的高度为：13+5＝18（m）．故选：C．9．解：如图，作BA边的高CD，设与AB的延长线交于点D，∵∠ABC＝150°，∴∠DBC＝30°，∵CD⊥BD，BC＝15米，∴CD＝7.5米，∵AB＝10米，∴S△ABC＝AB×CD＝×10×7.5＝37.5（平方米），∵每平方米售价2a元，∴购买这种草皮至少为37.5×2a＝75a（元），故选：A．10．解：将圆柱表面切开展开呈长方形，则彩灯带长为2个长方形的对角线长，∵圆柱高3米，底面周长2米，∴AC2＝22+1.52＝6.25，∴AC＝2.5（米），∴每根柱子所用彩灯带的最短长度为5m．故选：D．11．解：若△P AC是等腰三角形，①P A＝AC＝3，②AP＝PC时，P为AB的中点，AP＝，③PC＝AC时，过C作CD⊥AB于D，则AP＝2AD＝2AC•cos A＝2×3×＝，综上所述，AP的长为3，2.5或，故答案为：3，2.5或．12．解：∵∠ACB＝90°，AC＝2，BC＝2，∴AB＝4，∵CD是斜边AB上的中线，∴AD＝DC＝2，∴△ACD的周长＝2+2+2＝，故答案为：4+2．13．解：∵AB＝10，EF＝2，∴大正方形的面积是100，小正方形的面积是4，∴四个直角三角形面积和为100﹣4＝96，设AE为a，DE为b，即4×ab＝96，∴2ab＝96，a2+b2＝100，∴（a+b）2＝a2+b2+2ab＝100+96＝196，∴a+b＝14，∵a﹣b＝2，解得：a＝8，b＝6，∴AE＝8，AH＝DE＝6，∴AH＝8﹣2＝6．故答案为：6．14．解：当12是直角边时，斜边长＝＝13．故它的斜边长为13或12．故答案为：13或12．15．解：∵82+152＝172，∴△ABC是直角三角形，∴△ABC的面积是：×8×15＝60，故答案为：60．16．解：∵（a+b）2＝c2+2ab，∴a2+2ab+b2﹣c2＝2ab，∴a2+b2＝c2，∴三角形是直角三角形．故答案为直角三角形．17．（1）解：在Rt△BCD中，DC＝＝＝；（2）解：在Rt△CDA中AD＝＝＝；（3）证明：∵BC2＝9，AC2＝16，（BD+AD）2＝25，∴BC2+AC2＝AB2，∴△ABC是直角三角形．18．解：（1）①设等边三角形的边长为a，∵a2+a2＝2a2，∴等边三角形一定是可爱三角形，故答案为：正确；②∵42+（2）2＝40，2×（2）2＝40，∴42+（2）2＝2×（2）2，∴该三角形是可爱三角形，故答案为：是；（2）①设等腰三角形的两个相等边长为x，∵等腰三角形是可爱三角形，∴x2+x2＝2x2，∴这个等腰三角形为等边三角形，∴周长为：3×＝，故答案为：；②设Rt△ABC的两直角边分别为：a、b，斜边为：c，则a2+b2＝c2③，∴等腰直角三角形不是可爱三角形，∵Rt△ABC是可爱三角形，设b＞a，∴a2+c2＝2b2④，由③④得：b＝a，c＝a，∴a：b：c＝1：：，∴当a＝2时，c＝2×＝2，当b＝2时，c＝＝2，故答案为：2或2．19．解：（1）∵HE＝b﹣a＝4，∴S正方形EFGH＝HE2＝16，∵AD＝c＝20，∴S正方形ABCD＝AD2＝400，∴四个直角三角形的面积和＝S正方形ABCD﹣S正方形EFGH＝400﹣16＝384，故答案为：16；384；（2）由（1）可知四个直角三角形的面积和为384，∴4×ab＝384，解得2ab＝384，∵a2+b2＝c2＝400，∴（a+b）2＝a2+b2+2ab＝400+384＝784．∴a+b＝28（负值舍去）．20．解：（1）点M、N是线段AB的勾股分割点．理由如下：∵AM2+BN2＝2.52+62＝42.25，MN2＝6.52＝42.25，∴AM2+NB2＝MN2，∴AM、MN、NB为边的三角形是一个直角三角形，∴点M、N是线段AB的勾股分割点；（2）设BN＝x，则MN＝14﹣AM﹣BN＝10﹣x，①当MN为最大线段时，依题意MN2＝AM2+NB2，即（10﹣x）2＝x2+16，解得x＝4.2；②当BN为最大线段时，依题意BN2＝AM2+MN2．即x2＝16+（10﹣x）2，解得x＝5.8．综上所述，BN＝4.2或5.8．21．解：（1）如图所示，连接BE，∵D是AB边的中点，DE⊥AB于点D，∴DE垂直平分AB，∴AE＝BE，又∵AE2﹣CE2＝BC2，∴BE2﹣CE2＝BC2，∴△BCE是直角三角形，且∠C＝90°；（2）Rt△BDE中，BE＝＝＝10，∴AE＝10，设CE＝x，则AC＝10+x，而AB＝2BD＝16，Rt△ABC中，BC2＝AB2﹣AC2＝162﹣（10+x）2，Rt△BCE中，BC2＝EB2﹣EC2＝102﹣x2，∴162﹣（10+x）2＝102﹣x2，解得x＝2.8，∴CE＝2.8．22．解：（1）作DM⊥BC，交BC延长线于M，如图所示：则∠M＝90°，∴∠DCM+∠CDM＝90°，∵∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，∴AC2＝AB2+BC2＝25，∴AC＝5，∵AD＝5，CD＝5，∴AC2+CD2＝AD2，∴△ACD是直角三角形，∠ACD＝90°，∴∠ACB+∠DCM＝90°，∴∠ACB＝∠CDM，∵∠ABC＝∠M＝90°，在△ABC和△CMD中∴△ABC≌△CMD（AAS），∴CM＝AB＝3，DM＝BC＝4，∴△BCD的面积＝，（2）∵CM＝3，BC＝4，∴BM＝BC+CM＝7，∴BD＝．23．解：（1）∵3、4、5；5、12、13；7、24、25；9、40、41；…，∴11，60，61；故答案为：60，61；（2）第一个数用字母a（a为奇数，且a≥3）表示，第二数为；则用含a的代数式表示第三个数为；故答案为：；（3）∵a2+（）2＝，（）2＝，∴a2+（）2＝（）2，又∵a为奇数，且a≥3，∴由a，，三个数组成的数是勾股数．24．解：连接BD，在Rt△ABD中，BD2＝AB2+AD2＝32+42＝52，在△CBD中，CD2＝132，BC2＝122，而122+52＝132，即BC2+BD2＝CD2，∴∠DBC＝90°，S四边形ABCD＝S△BAD+S△DBC＝•AD•AB+DB•BC，＝×4×3+×12×5＝36．所以需费用36×200＝7200（元）．25．解：在Rt△ABO中，根据勾股定理知，BO＝（米），在Rt△COD中，根据勾股定理知，DO＝（米），所以BD＝DO﹣BO＝﹣5（米）．故梯子的底端B外移了﹣5米．。

勾股定理初二练习题及答案勾股定理是初中数学中十分重要的定理之一，它在数学中的应用广泛，是解决直角三角形问题的基础。

下面将为大家提供一些勾股定理的初二练习题及答案，希望能够帮助大家更好地理解和掌握这一概念。

练习题1：已知直角三角形的两个直角边分别为3cm和4cm，求斜边的长度。

解答：根据勾股定理，直角三角形斜边的平方等于两个直角边的平方和。

设斜边长度为x，则根据勾股定理可得：x² = 3² + 4²x² = 9 + 16x² = 25两边同时开方，得到x = 5。

因此，该直角三角形的斜边长度为5cm。

练习题2：已知直角三角形的斜边为10cm，直角边为6cm，求另一个直角边的长度。

解答：根据勾股定理，直角三角形斜边的平方等于两个直角边的平方和。

设另一个直角边长度为x，则根据勾股定理可得：10² = x² + 6²100 = x² + 36x² = 100 - 36x² = 64两边同时开方，得到x = 8。

因此，该直角三角形的另一个直角边长度为8cm。

练习题3：一个直角三角形的斜边长度为13cm，另一个直角边的长度为5cm，求第二个直角边的长度。

解答：根据勾股定理，直角三角形斜边的平方等于两个直角边的平方和。

设第二个直角边长度为x，则根据勾股定理可得：13² = 5² + x²169 = 25 + x²x² = 169 - 25x² = 144两边同时开方，得到x = 12。

因此，该直角三角形的第二个直角边长度为12cm。

通过以上练习题，我们可以看到勾股定理的运用。

只需要知道其中两个量，即可求解第三个量。

这是数学中的一种非常有用的定理，能够帮助我们解决许多实际问题。

总结起来，勾股定理可以用公式表示为：斜边² = 直角边₁² + 直角边₂²其中，斜边表示直角三角形的斜边，直角边₁和直角边₂分别表示直角三角形的两个直角边。

中考数学复习《勾股定理》专项提升训练(附答案)学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________一、选择题1.已知一个直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是( )A.25B.14C.7D.7或252.勾股定理是“人类最伟大的十个科学发现之一”.我国对勾股定理的证明是由汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，他用来证明勾股定理的图案被称为“赵爽弦图”.2002年在北京召开的国际数学大会选它作为会徽.下列图案中是“赵爽弦图”的是( )3.等腰三角形的腰长为10，底长为12，则其底边上的高为( )A.13B.8C.12D.104.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AC＝2，则AB＝( )A.4B.233C.433D.335.适合下列条件的△ABC中，∠A，∠B，∠C是三个内角，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，直角三角形的个数是( )①a＝7，b＝24，C＝25；②a＝1.5，b＝2，c＝7.5；③∠A：∠B：∠C＝1：2：3; ④a＝1，b＝2，c＝ 3.A.1个B.2个C.3个D.4个6.若△ABC的三边分别为5、12、13，则△ABC的面积是( )A.30B.40C.50D.607.一架250cm的梯子，斜靠在竖直的墙上，梯脚距墙终端70cm，如果梯子顶端沿着墙下滑40cm，那么梯脚将向外侧滑动( )A.40cmB.80cmC.90cmD.150cm8.如图，长方形OABC的边OA长为2，边AB长为1，OA在数轴上，以原点O为圆心，对角线OB的长为半径画弧，交正半轴于一点，则这个点表示的实数是( )A.2.5B.2 2C. 3D. 59.如图，在△ACB中，有一点P在AC上移动，若AB＝AC＝5，BC＝6，则AP＋BP＋CP的最小值为( )A.4.8B.8C.8.8D.9.810.如图，铁路MN和公路PQ在点O处交汇，∠QON＝30°.公路PQ上A处距O点240米.如果火车行驶时，周围200米以内会受到噪音的影响.那么火车在铁路MN上沿ON方向以72千米/时的速度行驶时，A处受噪音影响的时间为( )A.12秒B.16秒C.20秒D.30秒.二、填空题11.在△ABC中，三边长分别为8、15、17，那么△ABC的面积为．12.已知a，b，c是△ABC的三边长，且满足关系式(a2－c2－b2)2＋∣c﹣b∣＝0，则△ABC的形状为_______________.13.已知等腰直角三角形的面积为2，则它的周长为.(结果保留根号)14.如图，从点A(0，2)发出的一束光，经x轴反射，过点B(5，3)，则这束光从点A到点B所经过的路径的长为 .15.如图，点M，N把线段AB分割成AM，MN和BN，若以AM，MN，BN为边的三角形是一个直角三角形，则称点M，N是线段AB的勾股分割点．若AM＝3，MN＝5，则BN 的长为____________．16.如图，已知等边三角形ABC的边长是2，以BC边上的高AB1为边作等边三角形，得到第二个等边三角形AB1C1；再以等边三角形AB1C1的B1C1边上的高AB2为边作等边三角形，得到第三个等边三角形AB2C2；再以等边三角形AB2C2的B2C2边上的高AB3为边作等边三角形，得到第四个等边三角形AB3C3……记△B1CB2的面积为S1，△B2C1B3的面积为S2，△B3C2B4的面积为S3……则Sn＝ .三、作图题17.在如图所示的5×5的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，按下列要求画图或填空；(1)画一条线段AB使它的另一端点B落在格点上(即小正方形的顶点)，且AB＝22；(2)以(1)中的AB为边画一个等腰△ABC，使点C落在格点上，且另两边的长都是无理数；(3)△ABC的周长为，面积为．四、解答题18.如图，已知∠ADC＝90°，AD＝8，CD＝6，AB＝26，BC＝24．(1)证明：△ABC是直角三角形．(2)请求图中阴影部分的面积．19.如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，∠B＝60°，∠C＝45°.(1)求∠BAC的度数.(2)若AC＝2，求AD的长.20.如图，在△ABC中，点O是AC边上的一点.过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于F.(1)求证：EO＝FO；(2)若CE＝4，CF＝3，你还能得到那些结论？21.在杭州西湖风景游船处，如图，在离水面高度为5m的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子BC的长为13m，此人以0.5m/s的速度收绳.10s后船移动到点D的位置，问船向岸边移动了多少m？(假设绳子是直的，结果保留根号)22.某菜农要修建一个塑料大棚，如图所示，若棚宽a＝4m，高b＝3m，长d＝40m。

2022年暑期“八升九”数学自主巩固练习卷17.1 勾股定理一．选择题1．如图，在△ABD中，∠D＝90°，CD＝3，AD＝4，∠ACD＝2∠B，则BD的长是（）A．5 B．6 C．7 D．82．如图，三角形是直角三角形，四边形是正方形，已知正方形A的面积是64，正方形B的面积是100，则半圆C的面积是（）A．4.5πB．9πC．36 D．18π3．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，B，C均在网格的格点上，CD⊥AB于点D，则CD的长为（）A．2 B．C．D．24．如图，将一块直角三角板的直角边AB贴在直线l上，∠CAB＝30°，以点A为圆心，斜边AC长为半径向右画弧，交直线l于点D．若BC＝1，则BD的长为（）A．B．C．D．5．直角三角形的两边长分别为6和10，那么它的第三边的长度为（）A．8 B．10 C．8或2D．10或26．如图，在四边形ABDE中，AB∥DE，AB⊥BD，点C是边BD上一点，BC＝DE＝a，CD ＝AB＝b，AC＝CE＝c．下列结论：①△ABC≌△CDE；②∠ACE＝90°；③四边形ABDE 的面积是；④；⑤该图可以验证勾股定理．其中正确的结论个数是（）A．5 B．4 C．3 D．2二．填空题7．如图，该图形是由直角三角形和正方形构成，其中最大正方形的边长为7，则正方形A、B、C、D的面积之和为．8．若一个等腰三角形的腰长为10，底边长为12，则其底边上的高为．9．直角三角形的一直角边长4cm，斜边长5cm，则其斜边上的高是cm．10．如图，四边形ABCD，连接BD，AB⊥AD，CE⊥BD，AB＝CE，BD＝CD．若AD＝5，CD ＝7，则BE＝．11．如图所示的是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，此图是由四个全等的直角三角形拼接而成，若AB＝13，BE＝5，则HF的长为．12．如图，《九章算术》中有这样一道古题：今有一竖直着的木柱，在木柱的上端系有绳索，绳索从木柱的上端顺木柱下垂后堆在地面的部分有三尺（绳索比木柱长3尺），牵着绳索退行，在距木柱底部8尺（BC＝8）处时而绳索用尽，则木柱长为尺．三．解答题13．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝20，BC＝15，CD⊥AB于点D．求：（1）CD的长；（2）BD的长．14．如图，在Rt△AOB和Rt△COD中，AB＝CD＝25，OB＝7，AC＝4．（1）求OC的长；（2）求BD的长．15．湖的两岸有A，B两棵景观树，数学兴趣小组设计实验测量两棵景观树之间的距离，他们在与AB垂直的BC方向上取点C，测得BC＝30米，AC＝50米．求：（1）两棵景观树之间的距离；（2）点B到直线AC的距离．16．如图，方格纸中小正方形的边长为1，△ABC的三个顶点都在小正方形的顶点处．（1）求AB的长；（2）求点C到AB边距离．17．森林火灾是一种常见的自然灾害，危害很大，随着中国科技、经济的不断发展，开始应用飞机洒水的方式扑灭火源．如图，有一台救火飞机沿东西方向AB，由点A飞向点B，已知点C为其中一个着火点，且点C与直线AB上两点A，B的距离分别为600m和800m，又AB＝1000m，飞机中心周围500m以内可以受到洒水影响．（1）着火点C受洒水影响吗？为什么？（2）若飞机的速度为10m/s，要想扑灭着火点C估计需要13秒，请你通过计算判断着火点C能否被扑灭？18．如图①，美丽的弦图，蕴含着四个全等的直角三角形．（1）弦图中包含了一大，一小两个正方形，已知每个直角三角形较长的直角边为a．较短的直角边为b，斜边长为c，结合图①，试验证勾股定理；（2）如图②，将这四个直角三角形紧密地拼接，形成飞镖状，已知外围轮廓（粗线）的周长为24，OC＝3，求该飞镖状图案的面积；（3）如图③，将八个全等的直角三角形紧密地拼接，记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1、S2、S3，若S1+S2+S3＝16，则S2＝．。

【巩固练习】 一.选择题1. 在△ABC 中，若1,2,122+==-=n c n b n a ，则△ABC 是（ ）A. 锐角三角形B. 钝角三角形C. 等腰三角形D. 直角三角形2. 如图，每个小正方形的边长为1，A 、B 、C 是小正方形的顶点，则∠ABC 的度数为（ ） A ．90° B ．60° C ．45° D ．30°3．在下列说法中是错误的（ ） ￥A ．在△ABC 中，∠C ＝∠A 一∠B ，则△ABC 为直角三角形．B ．在△ABC 中，若∠A ：∠B ：∠C ＝5：2：3，则△ABC 为直角三角形． C ．在△ABC 中，若35a c =，45b c =，则△ABC 为直角三角形． D ．在△ABC 中，若a ：b ：c ＝2：2：4，则△ABC 为直角三角形．4．如图，一牧童在A 处牧马，牧童家在B 处，A 、B 处距河岸的距离AC 、BD 的长分别为500m 和700m ，且C 、D 两地的距离为500m ，天黑前牧童从A 点将马牵引到河边去饮水后，再赶回家，那么牧童至少要走（ ）A ． ?2900mB ． 1200mC ． 1300mD ． 1700m5. 直角三角形的两条直角边长为a ，b ，斜边上的高为h ，则下列各式中总能成立的是（ ） %A ．ab =h 2B ．a 2+b 2=h 2C ．111a b h += D ．222111a b h+= 6．如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，CD ⊥AB 于点D ，AB ＝13，CD ＝6，则(AC ＋BC)2等于( )7. 已知三角形的三边长为a b c 、、，由下列条件能构成直角三角形的是（ ） A.()()2222221,4,1a m b m c m =-==+B.()()222221,4,1a m b m c m =-==+ C.()()222221,2,1a m b m c m =-==+|D.()()2222221,2,1a m b m c m =-==+8. 勾股定理是几何中的一个重要定理．在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载．如图1是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理．图2是由图1放入矩形内得到的，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，点D ，E ，F ，G ，H ，I 都在矩形KLMJ 的边上，则矩形KLMJ 的面积为（ ）A ． 90B ． 100!C ．110 D ． 121二.填空题9. 如图，AB ＝5，AC ＝3，BC 边上的中线AD ＝2，则△ABC 的面积为______．/10．如图所示，有一块直角三角形纸片，两直角边AB ＝6，BC ＝8，将直角边AB 折叠使它落在斜边AC 上，折痕为AD ，则BD ＝______．11．已知：△ABC 中，AB ＝15，AC ＝13，BC 边上的高AD ＝12，BC ＝_______．12．如图，E 是边长为4cm 的正方形ABCD 的边AB 上一点，且AE=1cm ，P 为对角线BD 上的任意一点，则AP+EP 的最小值是 cm ．13．如图，长方体的底面边长分别为1cm 和2cm，高为4cm，点P在边BC上，且BP=14 BC．如果用一根细线从点A开始经过3个侧面缠绕一圈到达点P，那么所用细线最短需要cm．14．一个正方体物体沿斜坡向下滑动，其截面如图所示．正方形DEFH的边长为1米，∠B=90°，BC=4米，AC=8米，当正方形DEFH运动到什么位置时，即当AE=米时，有DC2=AE2+BC2．:15. 已知长方形OABC，点A、C的坐标分别为OA=10，OC=4，点D是OA的中点，点P在BC边上运动，当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，CP的长为________．16. 如图所示，在△ABC中，AB＝5，AC＝13，BC边上的中线AD＝6，∠BAD＝________.三.解答题17.如图所示，已知D、E、F分别是△ABC中BC、AB、AC边上的点，且AE＝AF，BE＝BD，CF＝CD，AB＝4，AC＝3，32BDCD，求：△ABC的面积．》18．如图等腰△ABC的底边长为8cm，腰长为5cm，一个动点P在底边上从B向C以s的速度移动，请你探究，当P运动几秒时，P点与顶点A的连线PA与腰垂直．19. 有一块直角三角形纸片，两直角边AC ＝6cm，BC ＝8cm, ①如图1，现将纸片沿直线AD折叠，使直角边AC落在斜边AB上，且与AB重合, 则CD ＝_________.图1 图2】②如图2，若将直角∠C沿MN折叠，使点C落在AB中点H上，点M、N分别在AC、BC 上，则2AM、2BN与2MN之间有怎样的数量关系并证明你的结论.20. 如图1，四根长度一定．．．．的木条，其中AB＝6cm，CD＝15cm，将这四根木条用小钉绞合在一起，构成一个四边形ABCD（在A、B、C、D四点处是可以活动的）.现固定AB边不动，转动这个四边形，使它的形状改变，在转动的过程中有以下两个特殊位置.位置一：当点D在BA的延长线上时，点C在线段AD上（如图2）；位置二：当点C在AB的延长线上时，∠C＝90°．（1）在图2中，若设BC的长为x，请用x的代数式表示AD的长；（2）在图3中画出位置二的准确．．图形；（各木条长度需符合题目要求）（3）利用图2、图3求图1的四边形ABCD中，BC、AD边的长．）ABHMNAC B(D【答案与解析】 一.选择题1.【答案】D ；【解析】因为()()2222221111c a n n n n -=++-+-+＝422n b =，所以222c a b -=，222a b c +=，由勾股定理的逆定理可知：△ABC 是直角三角形．2.【答案】C ； ？【解析】连接AC ，计算AC 2＝BC 2＝5,AB 2＝10,根据勾股定理的逆定理，△ABC 是等腰直角三角形，∴∠ABC ＝45°. 3.【答案】D ；【解析】D 选项222224+≠，故不是直角三角形.4.【答案】C ；【解析】作A 点关于河岸的对称点A′，连接BA′交河岸与P ，则PB+PA=PB+PA′=BA′最短，如图，BB′=BD+DB′=1200，B′A′=500，BA′=1300（m ）．5.【答案】D ； (【解析】解：根据直角三角形的面积可以导出：abc h=．再结合勾股定理：a 2+b 2=c 2．进行等量代换，得a 2+b 2=222a b h ．两边同除以a 2b 2，得222111a b h +=．6．【答案】B ；【解析】()222222AC BC AC BC AC BC AB AB CD +=++⋅=+⋅＝169＋2×13×6＝325.7.【答案】B ；【解析】()()22141m m m -+=+.8.【答案】C ；【解析】如图，延长AB 交KF 于点O ，延长AC 交GM 于点P ，所以，四边形AOLP 是正方形，边长AO=AB+AC=3+4=7，所以，KL=3+7=10，LM=4+7=11，因此，长方形KLMJ 的面积为10×11=110．故选C ．—二.填空题 9．【答案】6；【解析】延长AD 到E ，使DE ＝AD ，连结BE ，可得△ABE 为直角三角形． 10．【答案】3；【解析】设点B 落在AC 上的E 点处，设BD ＝x ，则DE ＝BD ＝x ，AE ＝AB ＝6，CE ＝4，CD ＝8－x ，在Rt △CDE 中根据勾股定理列方程． 11.【答案】14或4；【解析】当△ABC 是锐角三角形时，BC ＝9＋5＝14；当△ABC 是钝角三角形时，BC ＝9－5＝4. 12．【答案】5 }【解析】作E 点关于直线BD 的对称点E′，连接AE′，则线段AE′的长即为AP+EP 的最小值5.13．【答案】5【解析】∵长方体的底面边长分别为1cm 和2cm ，高为4cm ，点P 在边BC 上，且BP=14BC ，∴AC=4cm ，PC=34BC=3cm ，根据两点之间线段最短，AP=5.14．【答案】4916【解析】连接CD ，假设AE=x ，可得EC=8﹣x ．∵DE=1，∴DC 2=DE 2+EC 2=1+（8﹣x ）2，AE 2+BC 2=x 2+16，∵DC 2=AE 2+BC 2，∴1+（8﹣x ）2=x 2+16，x =4916. 15.【答案】3，2， 8； :【解析】以O 为等腰三角形的顶点，作等腰三角形1OPD ，因为1OP ＝5，114PH OC ==，所以由勾股定理求得13OH =，所以13CP =，同理，以D 为等腰三角形的顶点，可求出232,8CP CP ==.如图所示.16．【答案】90°；【解析】延长AD 到M ，使DM ＝AD ，易得△ABD ≌△MCD ．∴ CM ＝AB ＝5 AM ＝2AD ＝12在△ACM 中22251213+= 即222CM AM AC +=∴∠AMC ＝∠BAD=90°三.解答题 17.【解析】 解：∵32BD CD =，设BD ＝3x ，则CD ＝2x ，由AE ＝AF ，BE ＝BD ，CF ＝CD ， ^即AF ＝3－2x ，AE ＝4－3x ，PHNMCBA ∴ 3－2x ＝4－3x ，解得x ＝1．∴ BC ＝3x ＋2x ＝5 又∵ 222345+=，即222AC AB BC += ∴ △ABC 是直角三角形，∠A ＝90°． ∴ 1143622ABC S AB AC ==⨯⨯=△ 18．【解析】解：如图，作AD ⊥BC ，交BC 于点D ， ∵BC=8cm ， 《∴BD=CD=BC=4cm ， ∴AD=3，分两种情况：当点P 运动t 秒后有PA ⊥AC 时， ∵AP 2=PD 2+AD 2=PC 2﹣AC 2，∴PD 2+AD 2=PC 2﹣AC 2，∴PD 2+32=（PD+4）2﹣52∴PD=， ∴BP=4﹣==， ∴t=7秒，当点P 运动t 秒后有PA ⊥AB 时，同理可证得PD=， ~∴BP=4+==， ∴t=25秒，∴点P 运动的时间为7秒或25秒．19. 【解析】 解：①3；② 2AM ＋2BN ＝2MN证明：过点B 作BP ∥AC 交MH 延长线于点P ，连接NP ， .∴∠A ＝∠PBH在△AMH 和△BPH 中 ∠A ＝∠PBH AH ＝BH∠AHM ＝∠BHP ∴△AMH ≌△BPH ∴AM ＝BP ，MH ＝PH 又∵NH ⊥MP 。

勾股定理的逆定理巩固练习【基础练习】一.选择题1. 下列各组数据中的三个数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是 （ ）A ．，，B ．1，，C ．6，7，8D ．2，3，42.下列各命题的逆命题成立的是（）A. 全等三角形的对应角相等B. 如果两个数相等，那么它们的绝对值相等C ．两直线平行，同位角相等 D.如果两个角都是 45°，那么这两个角相等. 3.下列线段不能组成直角三角形的是( )． 10. 在△ABC 中，若其三条边的长度分别为 9、12、15，则以两个这样的三角形所拼成的四边形的面积是 ．11. 若一个三角形的三边之比为 5： 12： 13， 且周长为 60 cm ， 则它的面积为 ．12. 如图，AB ＝5，AC ＝3，BC 边上的中线 AD ＝2，则△ABC 的面积为 ．A. a = 6, b = 8, c = 10B. a = 1, b = 2, c =C. a = 5 , b = 1, c = 34 4D. a = 2, b = 3, c =三.解答题13. 已知：如图，四边形 ABCD 中，AB⊥BC，AB ＝1，BC ＝2，CD ＝2，AD ＝3，求4. 下面各选项给出的是三角形中各边的长度的平方比，其中不是直角三角形的是A.1∶1∶2B.1∶3∶4C.9∶25∶26D.25∶144∶1695. 已知三角形的三边长为 n 、n +1、m (其中 m 2 = 2n +1)，则此三角形()． A.一定是等边三角形 B.一定是等腰三角形 C.一定是直角三角形D.形状无法确定四边形 ABCD 的面积．6. 三角形的三边长分别为个三角形是（ ）a 2+ b 2、 2ab 、 a 2 - b 2（ a 、b 都是正整数），则这14．如图，四边形 ABCD 中，AB=20，BC=15，CD=7，AD=24，∠B=90°，求证： ∠A+∠C=180°．A ．直角三角形B ． 钝角三角形C ．锐角三角形D ．不能确定二.填空题7. 若一个三角形的三边长分别为 6，8，10，则这个三角形中最短边上的高为 ．8. 观察下面几组勾股数，并寻找规律：①4，3，5；②6，8，10；③8，15，17；④10，24，26；请你根据规律写出第⑤组勾股数是 ．9. 已知 x - 5 + y - 3 + Z - 4 = 0 ,则由此 x ，y ，z 为边的三角形是 三角形.3632 215．在 B 港有甲、乙两艘渔船，若甲船沿北偏东60°方向以每小时 8 海里的速度前进，乙船沿南偏东某个角度以每小时 15 海里的速度前进，2 小时后，甲船到M 岛，乙船到 P 岛，两岛相距 34 海里，你知道乙船是沿哪个方向航行的吗?【提高练习】一.选择题1.下列几组数中不能作为直角三角形三边长度的是A．a=7，b=24，c=25 B．a=1.5，b=2，c=2.5C．D．a=15，b=8，c=172.下列三角形中，不是直角三角形的是（）A.三个内角之比为5∶6∶1B. 一边上的中线等于这一边的一半C.三边之长为20、21、29D. 三边之比为1.5 : 2 : 33.下列命题中，不正确的是（）A.三个角的度数之比为 1:3:4 的三角形是直角三角形；B.三边之比为1: :2 的三角形是直角三角形；C.三个角的度数之比为 1:2:2 的三角形是直角三角形；D.三边之比为: :2 的三角形是直角三角形.4.如图，在单位正方形组成的网格图中标有AB、CD、EF、GH 四条线段，其中能构成一个直角三角形三边的线段是（）A．CD、EF、GH B．AB、EF、GH C．AB、CF、EF D．GH、AB、CD5.五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将他们摆成两个直角三角形，其中正确的是（）6.a ,b ,c 为直角三角形的三边，且c 为斜边， h 为斜边上的高，下列说法：三.解答题13．已知 a 、b 、c 是△ABC 的三边，且 a 2c 2 - b 2c 2 = a 4 - b 4 ，试判断三角形的形① a 2 , b 2 , c 2 能组成一个三角形② a , b ,能组成三角形状．③c + h , a + b , h 能组成直角三角形 ④ 1 a , 1 , b 1能组成直角三角形 h其中正确结论的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4二.填空题7．若△ABC 中， (b - a )(b + a ) = c 2 ，则∠B＝.8. 如图，正方形网格中，每个小正方形的边长为 1，则网格上的△ABC 是三角形．9. 若一个三角形的三边长分别为 1、 a 、8(其中 a 为正整数)，则以 a - 2 、 a 、a + 2 为边的三角形的面积为 ． 10. △ABC 的两边 a ，b 分别为 5，12，另一边c 为奇数，且 a + b + c 是 3 的倍数，则c 应为 ，此三角形为 ．11. 如果三角形的三边 a ，b ，c 满足 a 2+b 2+c 2+50=6a+8b+10c ，则三角形为三角形．14．如图所示，在正方形 ABCD 中，M 为 AB 的中点，N 为 AD 上的一点，且 AN=AD ， 试猜测△CMN 是什么三角形，请证明你的结论．（提示：正方形的四条边都相等，四个角都是直角）12. 如果线段 a ，b ，c 能组成一个直角三角形，那么三角形.(填“能”或“不能”).a ,b ,c 2 2 2组成直角c15.在等边△ABC内有一点 P，已知 PA=3，PB=4，PC=5.现将△APB绕A 点逆时针旋转60°，使P 点到达 Q 点，连 PQ，猜想△PQC的形状，并论证你的猜想.12 + 22 5 (5)2 5 5 11【基础答案与解析】一.选择题1. 【答案】B ；【解析】解：A 、（ ）2+（ ）2≠（）2，不能构成直角三角形，故错误；B 、12+（ ）2=（ ）2，能构成直角三角形，故正确；C 、62+72≠82，不能构成直角三角形，故错误；D 、22+32≠42，不能构成直角三角形，故错误． 故选：B ．2. 【答案】C ；3. 【答案】D ；【解析】 22 + ( 6)2 ≠ 32.4. 【答案】C ；5. 【答案】C ；【解析】 n 2 + m 2 = (n +1)2, n 2 + 2n +1 = (n +1)2，满足勾股定理的逆定理.6. 【答案】A ；【解析】(a 2 - b 2 )2 + (2ab )2= (a 2 + b 2 )2 ，满足勾股定理的逆定理. 二.填空题7. 【答案】8；【解析】三角形是直角三角形，最短边上的高为另一条直角边 8.8.【答案】12，35，37；【解析】解：观察前 4 组数据的规律可知：第一个数是 2（n+1）；第二个是：n（n+2）；第三个数是：（n+1）2+1．所以第⑤组勾股数是 12，35，37． 故答案为：12，35，37．9. 【答案】直角； 10. 【答案】108；【解析】△ABC 是直角三角形.11. 【答案】120；【解析】这个三角形是直角三角形，设三边长为5x ;12x ;13x ，则5x +12x +13x = 30x = 60 ，解得 x = 2 ，它的面积为15x ⋅12x = 1⨯ 60 ⨯ 4 = 120 . 2 212. 【答案】6；【解析】延长 AD 到 E ，使 DE ＝AD ，连结 BE ，可得△ABE 为 Rt△． 三.解答题13. 【解析】解：连接 AC ，在 Rt△ABC 中，AC ＝ = ；因为 + 22 = 32 ，即 AC 2 + DC 2 = AD 2所以△ACD 为直角三角形.四边形 ABCD 的面积为 S △A BC + S △A CD = 2 ⨯ 2 ⨯1+ 2⨯ 2 ⨯ = 1+ .14. 【解析】证明：连接 AC ．∵AB=20，BC=15，∠B=90°， ∴由勾股定理，得AC 2=202+152=625． 又 CD=7，AD=24， ∴CD 2+AD 2=625， ∴AC 2=CD 2+AD 2， ∴∠D=90°．∴∠A+∠C=360°﹣180°=180°．b c 6.【答案】C ；【解析】因为 a 2 + b 2 = c 2 ，两边之和等于第三边，故 a 2 , b 2 , c 2 不能组成一个三角形，①错误；因为 + > ，所以 a , b ,能组成三角15. 【解析】解：由题意：BM ＝2×8＝16，BP ＝2×15＝30，MP ＝34因为162 + 302 = 256 + 900 = 1156 = 342形，②正确；因为 ab = ch ，所以 a 2 + 2ab + b 2 + h 2 = c 2 + 2ch + h 2 ， 即(a + b )2+ h 2 = (c + h )2，③ 正确 ； 因 为⎛ 1 ⎫2⎛ 1 ⎫2a 2 +b 2c 2c 2 ⎛ 1 ⎫2所以△BMP 满足勾股定理的逆定理，△BMP 为直角三角形.a ⎪ +b ⎪ = = = = a 2b 2 a 2b 2c 2h 2 h⎪ ，所以④正确.因为甲船沿北偏东 60°方向航行，则乙船沿南偏东 30°方向航行.⎝ ⎭ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭【提高答案与解析】一.选择题1. 【答案】C ；【解析】解：A 、满足勾股定理：72+242=252，故 A 选项不符合题意；B 、满足勾股定理：1.52+22=2.52，故 B 选项不符合题意；C 、不满足勾股定理，不是勾股数，故 C 选项符合题意；D 、满足勾股定理：152+82=172，故 D 选项不符合题意． 故选：C ．2. 【答案】D ；【解析】D 选项不满足勾股定理的逆定理.3. 【答案】C ；【解析】度数之比为 1:2:2，则三角形内角分别为 36°：72°：72°. 4. 【答案】B ；二.填空题7. 【答案】90°；【解析】由题意b 2 = a 2 + c 2 ，所以∠B=90°.8. 【答案】直角；【解析】 AB 2 =13， BC 2 =52， AC 2 =65，所以 AB 2 + BC 2 = AC 2 .9. 【答案】24； 【解析】∵7＜ a ＜9，∴ a ＝8．10. 【答案】13；直角三角形； 【解析】7＜ c ＜17. 1. 【答案】直角；【解析】解：∵a 2+b 2+c 2+50=6a+8b+10c∴a 2+b 2+c 2﹣6a ﹣8b ﹣10c+50=0【解析】 AB 2 = 8, CD 2 = 20, EF 2 = 5, GH 2 = 13, 以这三条线段能构成直角三角形.5.【答案】C ；【解析】72 + 242 = 252，152 + 202 = 252 .AB 2 + EF 2 = GH 2 ，所 即 a 2﹣6a+9+b 2﹣8b+16+c 2﹣10c+25=0 ∴（a ﹣3）2+（b ﹣4）2+（c ﹣5）2=0 ∴a=3，b=4，c=5∵a 2+b 2=c 2∴三角形为直角三角形．12. 【答案】能；a c【解析】设c 为斜边，则 a 2 + b 2 = c 2 ，两边同乘以 1 ，得 1 a 2 + 1 b 2 = 1c 2 ， 又因为 PC=5， PQ 2 + CQ 2 = PC 2即( a )2 2+ ( b )2 2= ( c)2 .24 4 4 4所以△PQC 是直角三角形.三.解答题 13. 【解析】解：因为 a 2c 2 - b 2c 2 = a 4 - b 4 ，所以c 2 (a 2 - b 2) = (a 2 + b 2 )(a 2 - b 2 )(a 2 - b 2 )(a 2 + b 2 - c 2 ) = 0所以 a 2 = b 2 或 a 2 + b 2 = c 2 ，此三角形为等腰三角形或直角三角形. 14. 【解析】解：△CMN 是直角三角形．理由如下：设正方形 ABCD 的边长为 4a ，则 AB=BC=CD=AD=4a ． ∵M 是 AB 的中点， ∴AM=BM=2a．∵AN=AD ，AD=4a ， ∴AN=a，DN=3a ．∵在 Rt△AMN 中，满足 AM 2+AN 2=MN 2，且 AM=2a ，AN=a ， ∴MN=a ． 同理可得：MC=a ，NC=5a ．∵MN 2+MC 2=（ a ）2+（a ）2=25a 2，NC 2=（5a ）2=25a 2， ∴MN 2+MC 2=NC 2，∴△CMN 是直角三角形． 15. 【解析】 解：因为△APB 绕 A 点逆时针旋转 60°得到△AQC，所以△APB≌△AQC，∠PAQ=60°，所以 AP=AQ=PQ=3，BP=CQ=4，。

勾股定理全章复习与巩固（基础）巩固练习一.选择题1．如图，一棵大树被台风刮断，若树在离地面3m处折断，树顶端落在离树底部4m处，则树折断之前高( )A.5mB.7mC.8mD.10m2．如图，从台阶的下端点B到上端点A的直线距离为( )A.21012 B.3C.586 D.53.下列命题中是假命题的是（）A.三个内角的度数之比为1：3：4的三角形是直角三角形；B.三个内角的度数之比为1：3：2的三角形是直角三角形；C.三边长度之比1：3：2的三角形是直角三角形；D.三边长度之比2：2：2的三角形是直角三角形；4. 如图所示，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，点E、F是中线AD上的两点，则图中阴影部分的面积是（）．A．6 B．12 C．24 D．305．下列三角形中，是直角三角形的是( )A.三角形的三边满足关系a b c+= B.三角形的三边比为1∶2∶3C.三角形的一边等于另一边的一半D.三角形的三边为9，40，416．某市在旧城改造中，计划在市内一块如图所示的三角形空地上种植草皮以美化环境，已知这种草皮每平方米售价a元，则购买这种草皮至少需要( )A.450a元B.225a元C.150a元D.300a元7.（2018•江阴市模拟）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=12，BC=5．分别以AB、AC、BC为边在AB的同侧作正方形ABDE、ACFG、BCIH，四块阴影部分的面积分别为S1、S2、S3、S4．则S1+S2+S3+S4等于（）A.90B.60C.169D.1448. 已知，如图长方形ABCD中，AB＝3cm，AD＝9cm，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则△ABE的面积为（）A.32cmcm D.122cm B.42cm C.62二.填空题9．若一个三角形的三边长分别为6，8，10，则这个三角形中最短边上的高为______．10．若等边三角形的边长为2，则它的面积为______．11．如图，B，C是河岸边两点，A是对岸岸边一点，测得∠ABC＝45°，∠ACB＝45°，BC＝60米，则点A到岸边BC 的距离是______米．12.下列命题中，其逆．命题成立的是______________．（只填写序号）①同旁内角互补，两直线平行；②如果两个角是直角，那么它们相等；③如果两个实数相等，那么它们的平方相等；④如果三角形的三边长a b c、、满足222+=，那么这个三a b c角形是直角三角形．13.（2018•杭州模拟）如图，圆柱形容器中，高为120cm，底面周长为100cm，在容器内壁离容器底部40cm的点B 处有一蚊子，此时一只壁虎正好在容器外壁，离容器上沿40cm与蚊子相对的点A处，则壁虎捕捉蚊子的最短距离为cm．（容器厚度忽略不计）14．在直角三角形中，一条直角边为11cm，另两边是两个连续自然数，则此直角三角形的周长为______．15.如图所示的图形中，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若涂黑的四个小正方形的面积的和是102cm，则其中最大的正方形的边长为______cm．16．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝1，取斜边的中点，向斜边做垂线，画出一个新的等腰直角三角形，如此继续下去，直到所画直角三角形的斜边与△ABC的BC边重叠为止，此时这个三角形的斜边长为__________．三.解答题17.若直角三角形两直角边的比是3：4，斜边长是20，求此三角形的面积.18．（2018春•安次区校级月考）甲乙两船从位于南北走向的海岸线上的港口A同时出发，甲以每小时30海里的速度向北偏东35°方向航行，乙船以每小时40海里的速度向另一方向航行，2小时后，甲船到C岛，乙船到达B岛，B、C两岛相距100海里，判断乙船所走方向，说明理由．19．如图，△ABC中，∠A＝90°，AC＝20，AB＝10，延长AB到D，使CD＋DB＝AC＋AB，求BD的长．20.如图，四边形ABCD是边长为9的正方形纸片，B'为CD边上的点，CB'＝3．将纸片沿某条直线折叠，使点B落在点B '处，点A 的对应点为A '，折痕分别与AD ，BC 边交于点M ，N ．求BN 的长.【答案与解析】 一.选择题 1.【答案】C ；【解析】树高为3358=+=.2.【答案】A ；=3.【答案】B ； 4.【答案】A ；【解析】由题意BEF CEF S S =△△，∴ 13462ABD S S ==⨯⨯=△阴影．5.【答案】D ；6.【答案】C ；【解析】作高，求得高为15 m ，所以面积为120151502⨯⨯=2m .7.【答案】A ；【解析】解：过D 作BM 的垂线交BM 于N ，∵图中S 2=S Rt △DOI ，S △BOC =S △MND ，∴S2+S4=S Rt△ABC．可证明Rt△AGE≌Rt△ABC，Rt△DNB≌Rt△BHD，∴S1+S2+S3+S4=S1+S3+（S2+S4），=Rt△ABC的面积+Rt△ABC的面积+Rt△ABC的面积=Rt△ABC的面积×3=12×5÷2×3=90．故选：A．8.【答案】C；【解析】设AE＝x，则DE＝BE＝9－x，在Rt△ABE中，. 二.填空题9．【答案】8；10．；⨯=2211.【答案】30；12.【答案】①④；【解析】①的逆命题“两直线平行，同旁内角互补”显然正确；②的逆命题“如果两个角相等，那么它们是直角”很明显是错误的；③的逆命题“如果两个实数的平方相等，那么这两个实数相等”，两个实数可以互为相反数，所以该命题不正确；④的逆命题“如果三角形是直角三角形，那么三角形的三边长a b c、、满足222+=”也是a b c正确的，这是勾股定理的内容.13.【答案】130；【解析】解：如图，将容器侧面展开，作A关于EC的对称点A′，连接A′B交EC于F，则A′B即为最短距离．∵高为120cm，底面周长为100cm，在容器内壁离容器底部40cm的点B处有一蚊子，此时一只壁虎正好在容器外壁，离容器上沿40cm与蚊子相对的点A处，∴A′D=50cm，BD=120cm，∴在直角△A′DB中，A′B===130（cm）．故答案是：130．14．【答案】132cm ；【解析】由题意()222111n n +=+，解得60n =，所以周长为11＋60＋61＝132. 15.【答案】【解析】根据勾股定理，四个小正方形的面积和等于最大正方形的面积. 16.【答案】81；三.解答题 17.【解析】解：设此直角三角形两直角边分别是3x ，4x ，由勾股定理得： ()()2223420x x +=化简得：216x =∴直角三角形的面积为： 21346962x x x ⨯⨯==.18．【解析】解：由题意得：甲2小时的路程=30×2=60海里，乙2小时的路程=40×2=80海里，∵602+802=1002， ∴∠BAC=90°，∵C 岛在A 北偏东35°方向， ∴B 岛在A 北偏西55°方向． ∴乙船所走方向是北偏西55°方向．19．【解析】解：设BD ＝x ，则CD ＝30－x ．在Rt △ACD 中根据勾股定理列出()222(30)1020x x -=++， 解得x ＝5． 所以BD ＝5. 20. 【解析】解：点A 与点A '，点B 与点B '分别关于直线MN 对称， ∴AM A M '=，BN B N '=． 设BN B N x '==，则9CN x =-． ∵ 正方形ABCD ， ∴ o 90C ∠=． ∴ 222CN B C B N ''+=．∵ C B '＝3， ∴ 222(9)3x x -+=．解得5x =．∴5BN .。

2022年暑期“八升九”数学自主巩固练习卷19.1 函数一．选择题1．每张电影票售价为10元，某日共售出x张，票房收入为y元，在这个问题中，变量是（）A．10 B．10和x C．x D．x和y2．刘师傅到加油站加油，如图是所用的加油机上的某一时刻数据显示牌，则其中的常量是（）A．金额B．单价C．数量D．金额和数量3．下列图形中的曲线不表示函数的是（）A．B．C．D．4．函数y＝的自变量x的取值范围是（）A．x≠3B．x≥3C．x≥﹣1且x≠3D．x≥﹣15．某城市市区人口x万人，市区绿地面积50万平方米，平均每人拥有绿地y平方米，则y与x之间的函数表达式为（）A．y＝x+50 B．y＝50x C．y＝D．y＝6．弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧的长度y（cm）与所挂的物体的质量x（kg）间有下面的关系：x0 1 2 3 4 5y10 10.5 11 11.5 12 12.5 下列说法不正确的是（）A．x与y都是变量，且x是自变量B．所挂物体质量为4kg时，弹簧长度为12cm C．弹簧不挂重物时的长度为0cm D．物体质量每增加1kg，弹簧长度y增加0.5cm 二．填空题7．变量x，y有如下关系：①y＝3x2；②y2＝8x．其中y是x的函数的是．（填序号）8．函数的自变量x的取值范围是．9．如果用总长为60m的篱笆围成一个长方形场地，设长方形的面积为S（m2），周长为p（m），一边长为a（m），那么在S，p，a中是变量的是．10．弹簧原长（不挂物体）15cm，弹簧总长L（cm）与物体质量x（kg）的关系如表所示：弹簧总长L（cm）16 17 18 19 20重物质量x（kg）0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 当物体质量为5kg（在弹性限度内）时，弹簧的总长是cm．11．某油箱容量为60升的汽车，加满汽油后行驶了100千米时，油箱中的汽油大约消耗了12升，如果加满汽油后汽车行驶的路程为x（千米），油箱中剩余油量为y（升），则y与x 之间的关系式是．12．火车匀速通过隧道时，火车在隧道内的长度y（米）与火车行驶时间x（秒）之间的关系用图象描述如图所示，有下列结论：①火车的长度为120米；②火车的速度为30米/秒；③火车整体都在隧道内的时间为25秒；④隧道长度为800米．其中正确的结论．（填序号）三．解答题13．有一个容积为350L的水池，现用10台抽水机从蓄满水的池中同时抽水．已知每台抽水机每小时可抽水10L．（1）抽水1小时后，池中还有水L；（2）在这一变化过程中哪些是变量，哪些是常量？14．星期五小颖放学步行从学校回家，当她走了一段路后，想起要去买彩笔做画报，于是原路返回到刚经过的文具用品店．买到彩笔后继续往家走．如图是她离家的距离与所用时间的关系示意图，请根据图中提供的信息回答下列问题：（1）自变量是，因变量是；（2）小颖家与学校的距离是米；（3）小颖本次从学校回家的整个过程中，走的路程是多少米？（4）买到彩笔后，小颖从文具用品店回到家步行的速度是多少米/分？15．小亮想了解一根弹簧的长度是如何随所挂物体质量的变化而变化的，他把这根弹簧的上端固定，在其下端悬挂物体，如表是小亮测得的弹簧的长度y与所挂物体质量x的几组对应值．所挂物体质量x/kg0 1 2 3 4 5弹簧长度y/cm18 22 26 30 34 38 （1）由表格可知，弹簧不挂物体时的长度为cm；（2）请直接写出y与x的关系式；（3）当弹簧长度为50cm（在弹簧承受范围内）时，求所挂重物的质量．（写出求解过程）16．如图所示，梯形ABCD上底的长是xcm，下底长BC＝30cm，高DE＝16cm．（1）梯形面积y（cm2）与上底长xcm之间的关系式是什么？（2）当x每增加1cm时，y如何变化？（3）当x＝0时，y等于什么？此时y表示的是什么？。

勾股定理（提高）【巩固练习】 一．选择题1．如图，△ABC 中，D 为AB 中点，E 在AC 上，且BE ⊥AC ．若DE=10，AE=16，则BE 的长度为（ ）A ．10B ．11C ．12D ．132. （2016•漳州）如图，△ABC 中，AB=AC=5,BC=8，D 是线段BC 上的动点（不含端点B 、C ）.若线段AD 长为正整数，则点D 的个数共有（ ）A ．5个B ．4个C ．3个D ．2个3．如图，长方形AOBC 中，AO=8，BD=3，若将矩形沿直线AD 折叠，则顶点C 恰好落在边OB 上E 处，那么图中阴影部分的面积为（ ）A.30 B ．32 C ．34 D ．164．如图，已知△ABC 中，∠ABC ＝90°,AB ＝BC ，三角形的顶点在相互平行的三条直线1l ，2l ，3l 上，且1l ，2l 之间的距离为2 , 2l ，3l 之间的距离为3 ,则2AC 的值是（ ）A ．68B ．20C ．32D ．475．在△ABC 中，AB ＝15，AC ＝13，高AD ＝12,则△ABC 的周长为（ ） A ．42 B ．32 C ．42或32 D ．37或336．（2015•烟台）如图，正方形ABCD的边长为2，其面积标记为S1，以CD为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为S2，…按照此规律继续下去，则S2015的值为（）A．201222⎛⎫⎪⎪⎝⎭B．201322⎛⎫⎪⎪⎝⎭C．201212⎛⎫⎪⎝⎭D．201312⎛⎫⎪⎝⎭二．填空题7．若一个直角三角形的两边长分别为12和5，则此三角形的第三边的平方为______．8．将一根长为15cm的很细的木棒置于底面直径为5cm，高为12cm的圆柱形杯中，木棒露在杯子外面的部分长度x的范围是．9．如图，在55⨯的正方形网格中，以AB为边画直角△ABC，使点C在格点上，这样的点C 共个．10．（2016•黄冈校级自助招生）如图，它是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形．如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形较短的直角边长为a，较长的直角边长为b，那么（a+b）2的值是_________ ．11．已知长方形ABCD，AB＝3cm，AD＝4cm，过对角线BD的中点O做BD的垂直平分线EF，分别交AD、BC于点E、F，则AE的长为_______________．12．（2015春•召陵区期中）如图，在四边形ABCD中，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，∠B=90°，那么四边形ABCD的面积是．三．解答题13．（2015•青岛模拟）如图，∠MON=90°，矩形ABCD的顶点A、B分别在边OM，ON上，当B在边ON上运动时，A随之在边OM上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB=2，BC=1，求运动过程中，点D到点O的最大距离．14．现有10个边长为1的正方形，排列形式如左下图, 请把它们分割后拼接成一个新的正方形．要求：在左下图中用实线画出分割线, 并在右下图的正方形网格图（图中每个小正方形的边长均为1）中用实线画出拼接成的新正方形．15．由于过度采伐森林和破坏植被，我国部分地区频频遭受沙尘暴的侵袭．近日，A城气象局测得沙尘暴中心在A城的正西方向240km的B处，以每时12km的速度向北偏东60°方向移动，距沙尘暴中心150km的范围为受影响区域．（1）A城是否受到这次沙尘暴的影响？为什么？（2）若A城受这次沙尘暴影响，那么遭受影响的时间有多长？【答案与解析】一．选择题1. 【答案】C【解析】∵BE⊥AC，∴△AEB是直角三角形，∵D为AB中点，DE=10，∴AB=20，∵AE=16，222144BE AB AE =-=,所以BE=12.2. 【答案】C 【解析】过点A 作AE ⊥BC,则由勾股定理得AE=3，点D 是线段BC 上的动点（不含端点B 、C ）.所以3≤AD ＜5，AD=3或4，共有3个符合条件的点. 3．【答案】A 【解析】由题意CD ＝DE ＝5，BE ＝4，设OE ＝x ，AE ＝AC ＝4x +，所以()22284x x +=+，6x =，阴影部分面积为1168433022⨯⨯+⨯⨯=．4．【答案】A【解析】如图，分别作CD ⊥3l 交2l 于点E ，作AF ⊥3l ，则可证△AFB ≌△BDC ，则AF ＝3＝BD, BF ＝CD ＝2＋3＝5，∴DF ＝5＋3＝8＝AE ，在直角△AEC 中，勾股定理得2228+2=68AC =．5．【答案】C【解析】高在△ABC 内部，第三边长为14；高在△ABC 外部，第三边长为4，故选C ． 6．【答案】C【解析】解：根据题意：第一个正方形的边长为2；第二个正方形的边长为：；第三个正方形的边长为：，…第n 个正方形的边长是，所以S 2015的值是（）2012，故选C. 二．填空题 7．【答案】169或119；【解析】没有指明这两边为直角边，所以要分类讨论，12也可能是斜边． 8．【答案】2cm≤x≤3cm；【解析】由题意可知BC=5cm ，AC=12cm ，AB=13cm ．当木棒垂直于底面时露在杯子外面的部分长度最长为，15-AC=15-12=3cm ，当木棒与AB 重合时露在杯子外面的部分长度最短为15-AB=15-13=2cm.9．【答案】8；【解析】如图所示：有8个点满足要求．10．【答案】25；【解析】根据题意，结合勾股定理a 2+b 2=13，四个三角形的面积=4×ab=13﹣1，∴2ab=12，联立解得：（a+b ）2=13+12=25． 11．【答案】78cm ； 【解析】连接BE ，设AE ＝x ，BE ＝DE ＝4x -，则()22234x x +=-，78x =． 12．【答案】36.【解析】解：∵∠ABC=90°，AB=3，BC=4，∴AC===5，在△ACD 中，AC 2+CD 2=25+144=169=AD 2， ∴△ACD 是直角三角形， ∴S 四边形ABCD =AB •BC+AC •CD =×3×4+×5×12 =36．故答案是：36．三．解答题 13．【解析】解：如图，取AB 的中点E ，连接OE 、DE 、OD ，∵OD≤OE+DE ，∴当O 、D 、E 三点共线时，点D 到点O 的距离最大， 此时，∵AB=2，BC=1，∴OE=AE=AB=1， DE===，∴OD 的最大值为：+1．14．【解析】 解：如图所示：15．【解析】解：（1）过点A 作AC ⊥BM ，垂足为C ，在Rt △ABC 中，由题意可知∠CBA=30°，∴AC=12AB=12×240=120， ∵AC=120＜150，∴A 城将受这次沙尘暴的影响.（2）设点E ，F 是以A 为圆心，150km 为半径的圆与MB 的交点，连接AE ，AF ， 由题意得,222221501208100CE AE AC =-=-=，CE=90 ∴EF=2CE=2×90=180 180÷12=15（小时）∴A 城受沙尘暴影响的时间为15小时.。