第12章 定义与证明小结与思考小结与思考2

高二数学十二章知识点归纳总结高二数学是学习数理知识的一个重要阶段，其中数学十二章是一个关键的知识点集合。

在这个章节中，我们将学习到各种各样的数学概念和技巧，包括函数、极限、导数、积分等。

本文将对高二数学十二章的知识点进行归纳总结。

一、函数与方程函数是数学中一个基础而重要的概念，我们学习了函数的定义、定义域、值域、解析式等。

在这一章节中，我们还将学习到一元二次方程、一元二次不等式、函数的图像等相关知识。

掌握这些知识将有助于我们理解数学中的其他概念和技巧。

二、数列与数学归纳法数列是由一系列按照一定规律排列的数所组成的序列，而数学归纳法则是一种证明数学命题的重要方法。

在这一章节中，我们将学习到数列的性质、通项公式、求和公式等，同时也要掌握数学归纳法的应用。

三、排列与组合排列与组合是数学中与选择和安排有关的问题，这些问题在生活中经常遇到。

在这一章节中，我们将学习到排列、组合的定义、性质，以及相关的计数原理和应用。

四、概率与统计概率与统计主要研究随机事件的发生可能性以及收集、分类、整理和解释数据的方法。

在这一章节中，我们将学习到事件的概率、条件概率、排列组合概率等，同时也要掌握统计的基本概念和方法。

五、三角函数三角函数是数学中一个重要的分支，它研究角和三角形之间的关系。

在这一章节中，我们将学习到正弦、余弦、正切等三角函数的定义、性质，以及相关的恒等式和解题方法。

六、指数与对数指数与对数是数学中用来表示幂次运算和反运算的概念。

在这一章节中，我们将学习到指数运算、对数运算的基本性质，以及指数方程和对数方程的解法。

七、数域与线性方程组数域是指数域上的运算公理的集合，在这一章节中，我们将学习到实数域、有理数域、复数域等的定义、性质，以及线性方程组的解法和应用。

八、几何向量与圆几何向量是表示平面或空间上的方向和大小的对象，圆则是平面几何中的一个基本图形。

在这一章节中，我们将学习到向量的定义、性质，以及圆的定义、性质和相关的解题方法。

八年级数学第十二章知识点总结八年级数学第十二章是一个较难的章节，本文将对这一章的知识点进行总结，以便广大学生更好地掌握这些知识，提高数学成绩。

一、整式的加减整式的加减是本章的重点内容，需要掌握以下几个知识点：1. 同类项的概念：同类项是指具有相同代数式（包括字母和次数）的代数式，例如2x、3x等是同类项。

2. 整式的加减法原则：将同类项合并，系数相加减，并注意化简的步骤。

3. 带括号的整式的加减：先将括号中的整式按照同类项的原则进行合并，再按照整式的加减法原则进行运算，最后再化简。

二、一元二次方程一元二次方程也是本章的难点，需要掌握以下几个知识点：1. 一元二次方程的概念：形如ax²+bx+c=0（其中a≠0）的代数式称为一元二次方程。

2. 解一元二次方程的方法：可以用因式分解法、配方法、公式法等方法解一元二次方程。

3. 一元二次方程实际应用：在实际生活中，一元二次方程可以用来解决一些实际问题，例如小明买了5元一袋的糖果，但他只有16元，他最多能买几袋糖果等等。

三、立体几何图形立体几何图形也是需要掌握的知识点，需要掌握以下几个知识点：1. 立体图形的分类：立体图形主要有以下几类：点、线、面、体，分别对应零维、一维、二维、三维。

2. 立体几何图形的基本概念：包括各种图形的面积、体积、表面积等重要概念。

3. 立体几何图形的应用：在实际生活中，立体几何图形也有很多应用，例如建筑、工程等。

四、概率概率是本章的最后一个重点内容，需要掌握以下几个知识点：1. 随机事件的概念：任何有多种可能结果的事件都称为随机事件。

2. 概率的概念：概率是指某一随机事件在总事件中出现的可能性大小。

3. 概率的计算方法：概率的计算方法主要有古典概型、几何概型、统计概型等方法。

以上是八年级数学第十二章的主要知识点，需要同学们认真学习并反复练习，才能真正掌握这些知识，提高数学成绩。

初二数学第十二章总结第十二章是初二数学中的最后一章，主要内容是三角函数。

这一章的学习对于初二学生来说可能相对较难，但只要我们掌握好基本的概念和公式，就能够应对各种题目，提高数学的综合运用能力。

首先，我们学习了角度的概念。

角度是由两条射线所围成的空间部分，可以用角度的度量来表示。

角度的度量方式有度和弧度两种，主要的转换公式是：1弧度=180度，π弧度=180度。

掌握了角度的度量方式之后，我们还学习了求解角度大小的方法。

接着，我们开始学习正弦、余弦和正切的定义及其基本性质。

正弦、余弦和正切是三角函数的三个基本函数，它们在数学和物理的各个领域有着广泛的应用，如振动、波动、电磁波等。

我们要熟练掌握它们的定义及其求解、运算的方法，能够灵活地运用到各种题目中。

在学习正弦、余弦和正切的基础上，我们又学习了三角函数的诱导公式与和差公式。

诱导公式是根据内角和定理和外角和定理得到的，在解决一些复杂的三角函数题目时非常有用。

而和差公式则是将两个角的三角函数的和与差与这两个角的三角函数之间的关系进行了总结和归纳，通过这些公式的应用，我们可以简化计算过程，提高解题的效率。

在三角函数的学习过程中，我们还研究了三角函数在单位圆上的几何解释。

通过绘制单位圆，并将角放在单位圆上，我们可以直观地理解三角函数的意义，而不仅仅停留在公式的记忆上。

最后，我们还学习了解三角函数的周期性与奇偶性。

周期性是指三角函数在某个基本区间内的取值与该区间的长度有关，而奇偶性则是指在某个基本区间内，三角函数关于坐标轴对称。

这些性质可以帮助我们更好地理解和掌握三角函数的性质和变化规律。

总的来说，初二数学第十二章的学习内容较为复杂，但只要我们掌握好基本的概念和公式，通过大量的练习和实际应用，相信我们一定能够在三角函数的学习中取得较好的成绩。

通过这章的学习，我们不仅仅可以提高数学水平，更能够培养逻辑思维和解决问题的能力，为进一步学习高中数学打下坚实的基础。

因此，在接下来的学习中，我们要持续努力，加强对这些知识点的巩固和应用，为自己的数学学习之路打下坚实的基石。

第十二章全等三角形小结教学反思三角形教学反思在日常学习、工作或生活中，大家总少不了接触作文或者范文吧，通过文章可以把我们那些零零散散的思想，聚集在一块。

范文怎么写才能发挥它最大的作用呢？这里我整理了一些优秀的范文，盼望对大家有所关心，下面我们就来了解一下吧。

第十二章全等三角形小结教学反思篇一在其次阶段，探究三角形的三条边之间的重要关系过程中，由于是再现课，同学的乐观性不是很高，由于他们已经知道了结果，再加上我对这种状况的'处理阅历有限，所以在突破重难点时不够深刻。

今日这节课，让我更加深刻地熟悉到一堂真正胜利的数学课堂，过程才是最重要的。

数学教学内容是数学基础学问和数学思想方法的有机结合，在今日的数学课上，加上是再现课的缘由，孩子一味地利用“三角形两边之和大于第三边”来回答问题，而对于这句话的理解却很模糊，甚至消失错误，这说明他们对是如何得出这句结论的过程并没有深刻理解，这也反映了同学往往只留意对数学学问的学习和运用，而忽视了连结这些学问的观点及由此产生的解决问题的方法与策略。

只注意结果而不注意数学学习过程的这种学习模式，不是一时半会养成的，这是孩子在常年的学习中形成的一种错误学习模式。

我现在带的是一班级数学，在遇到解决实际问题的题目时，许多孩子上来就列算式，只要看到数字，要么就加要么就减，这是一种很危急的信号，假如这种学习持续下去，最终的结果就是孩子只会“做”题目，不会论述、思索、讨论问题。

因此我盼望自己在将来的教学中更加注意在数学课堂中渗透数学思想方法的教育，让同学在学到数学学问的同时也学到数学思想方法，在以后的生活，工作中都可以随时随地用它们去解决问题，在培育智力的同时也培育了孩子观看、分析、综合概括、语言组织表达等力量，这也将更促进我们素养教育的开展。

第十二章全等三角形小结教学反思篇二全等三角形第一课时，这节课比较简洁，我采纳了先学后教的教学策略。

教学过程大致是：首先，同学自学。

其次，老师多媒体展现教材上的图案以及制作的一些图案，引导同学识图，检测同学自我建构全等三角形概念的状况。

备课笔记备课时间：20 19 年 4 月 27 日课题第12章小结与思考课型复习课教学设想教学目标1.回顾定义、命题、逆命题、证明、推理、公理、定理、的含义，会用推理的方法证明一个命题是真命题，会举反例说明一个命题是假命题；2.体会通过合情推理探索数学结论，运用演绎推理加以证明的过程，发展合情推理与演绎推理的能力；3.知道证明要合乎逻辑，初步会综合法证明的格式；4.在运用数学表达和解决问题的过程中，认识数学具有抽象、严谨和应用广泛的特点，体会数学的价值．重点如何有条理的将本章知识点与平面图形中的知识融合起来解决问题.难点如何在合情推理的基础上发展学生演绎推理的能力．教学准备多媒体课件、直尺、数学课本教学过程一次备课三次备课【预学展示知识梳理】学生展示课前梳理的知识结构，并与同学交流，其他同学作补充.【学生活动】小组内交流自己绘制的知识思维导图，并相互补充，得出本组内的知识结构，之后在上台展示，组间再补充.【教师活动】观察各小组活动，并指导部分小组，并回答学生觉得模糊的知识结构.【设计意图】使学生在相互交流中熟练本章知识点，并完成教学目标.【由基本事实出发，可以证明很多命题，可参考课本P164】【基础练习提升认知】1．请你举出学过的4个真命题；2．请你举出2个假命题，并举反例说明；3.请你举出一对互逆命题，并判断它们是真命题还是假命题；4．证明：两条平行线被第三条直线所截，一对内错角的平分线互相平行；5．已知：如图，在△ABC中，∠A＝∠ABC，直线EF分别交△ABC的边AB、AC和CB的延长线于点D、E、F．求证：∠F+∠FEC＝2∠A．【学生活动】学生独立完成，之后交流，展示.【教师活动】强调各题目的注意事项，归纳综合推理的思路和方法. 【设计意图】让学生熟练掌握本章的基础知识，使学生能用平行和三角形中的相关定理或推论合乎逻辑的思考和利用综合法的证明格式解决问题.教学过程【灵活运用提升能力】6．已知：如图，点B、E分别在AC、DF上，AF分别交BD、CE于点M、N，有以下几个事项：①∠1＝∠2；②∠A＝∠F；③∠C＝∠D．请用其中的两个事项作为条件，另一个事项作为结论，构造一个真命题，并加以证明．••7．画∠A，在∠A的两边分别取点B，点C，在∠A的内部取一点P，连接PB，PC．探索∠BPC与∠A，∠B，∠C之间的数量关系，并证明你的结论．【学生活动】学生独立思考并书写规范的证明过程.【教师活动】第7题可带领学生一起先分析思路.【设计意图】通过难度适宜的证明，引导学生逐步掌握分析问题、运用【本题再次强调利用三段论证法来证明】。

九年级上册知识点第12章第12章知识点总结本章是九年级上册的最后一章，主要总结了本册中所学的知识点。

通过学习本章内容，我们可以回顾并巩固这一学期所学的知识，为下学期的学习做好准备。

一、数学知识点总结在本学期的数学学习中，我们主要学习了以下知识点：1. 分式分式是一个整体与部分的数学表示法，由分子和分母组成。

我们学习了分式的运算规则、简化法则以及分式方程的解法。

2. 二次根式二次根式是指形如√a的表达式，我们学习了二次根式的性质、运算法则以及与一次根式之间的转化关系。

3. 代数式代数式是由数字、字母和运算符号组成的表达式。

我们学习了代数式的展开与因式分解等运算法则，以及解代数方程和不等式的方法。

4. 几何图形我们学习了平面图形和立体图形的性质，包括正方形、长方形、三角形、圆等平面图形的特点，以及长方体、正方体、圆柱体等立体图形的性质和计算方法。

二、物理知识点总结在本学期的物理学习中，我们学习了以下知识点：1. 力和压强我们了解了力的概念和力的计量单位，学习了力的平衡和合成力的原理。

同时，我们还学习了压强的概念和计算方法。

2. 电和磁我们学习了电荷的概念和性质，了解了静电场和电流的概念。

同时，我们还学习了磁场的性质，如磁力线和磁场的作用。

3. 光和声我们学习了光的传播规律，包括光的直线传播和反射、折射现象。

同时，我们还学习了声音的传播规律，包括声音的反射和衍射等现象。

三、化学知识点总结在本学期的化学学习中，我们学习了以下知识点：1. 物质的分类我们了解了物质的分类，包括元素、化合物和混合物的特点和区别。

同时，我们还学习了常见物质的分类和性质。

2. 化学式和化学方程式我们学习了化学式和化学方程式的表示法和计算方法，可以通过化学式和方程式的运用来解决相关问题。

3. 酸碱中和我们了解了酸碱中和反应的概念和原理，学习了酸碱中和反应的化学方程式及其应用。

四、生物知识点总结在本学期的生物学习中，我们学习了以下知识点：1. 细胞结构我们了解了细胞的基本结构，包括细胞膜、细胞质、细胞核等的组成和功能。

本章知识解决方案☆ ⒈本章体系建构定义：对名称或术语的含义进行描述或做出规定．命题： 一件事情的语句．真命题：如果条件成立，那么结论 ．分类：假命题：条件成立，结论 ．证明：根据已知的真命题，确定某个命题 的过程．证明的依据：公理、已学过的定理及定理的推论、定义、等式性质、不等式性质等．证明的步骤：①根据题意，画出 ；②根据命题的条件、结论，写出 、 ； ③写出证明过程． 三角形内角和定理：三角形的内角和等于 ． 推论：三角形的外角等于和它 的两个内角的和． 重要真命题：①垂直于同一直线的两条直线 ．②平行于同一直线的两直线 ；③直角三角形的两个锐角互余．命题间的特殊关系—逆命题：如果两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的 ，第一个命题的结论又是第二个命题的 ，那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个命题是另一个命题的逆命题．每个命题都有逆命题 ．反例：举出符合条件但命题结论 的例子来说明命题是假命题的例子． 原命题与逆命题的真假判断：原命题是真命题，其逆命题未必是真命题；原命题是假命题，其逆命题未必是假命题；．答案：判断；成立； 不成立；真实性；图形；已知；求证；180°； 不相邻；平行；平行；结论；条件；不成立；☆⒉知识清单及方法技巧点拨个命题真命题的过程．条件和结论之间的联系，为这两个铺路架桥．（6）三角形内角和定理三角形的内角和等于180°．如图，∠A＋∠B＋∠C=180°．用来求三角形的内角度数和做证明其它真命题的依据．（7）三角形内角和定理的推论三角形的内角等于和它不相邻的两个外角的和．如图∠ACD是△ABC的外角，那么∠ACD=∠A＋∠B．三角形的外角是沟通三角形内角和外角的桥梁，为三角形内角、外角的计算和证明保驾护航．（8）平行线的传递性平行于同一直线的两直线平行．如图，若AB∥EF，CD∥EF，则AB∥CD．作为判定两直线平行的一个重要依据．（9）垂直于同一直线的性质垂直于同一直线的两直线平行．如图，若AB⊥EF，CD∥AB，则EF∥CD．作为判定两直线平行的一个重要依据．（10）直角三角形的性质直角三角形两锐角互为余角．如图，Rt△ABC中，若∠C=90°，则∠A＋∠B=180°作为直角三角形内角计算和证明互为余角的依据．（11）逆命题如果两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个命题是另一个命题的逆命题．命题“同位角相等”的逆命题是相等的两角是同位角．每个命题都有逆命题，写逆命题的方法只要交换原命题的条件和结论即可．写逆命题也是构造新命题的一个方法．注意原命题的正确性与逆命题的正确性无必然联系．反例举出符合条件但命题结论不成立的例子来说明这个命题是假命题的例子．命题“若4a=，则4a=”的反例：4a=-时，满足反例是用来证明一个命题是假命题的有力证据．☆⒊解题思路、方法及技巧应用①假命题变真命题的方法【例1】“若a＞b，那么ac＞bc”是真命题还是假命题，如果是假命题举一个反例并添适当的条件使它成为真命题．分析：根据不等式的性质，两边乘以大于0的数，不等号方向不变，乘以小于0的数不等号方向改变，反例可让两边乘以小于0的数，加条件就是c＞0．解：假命题，如：2＞1，但2×（－1）＜1×（－1），如果增加条件：“c＞0”，命题为真命题．方法点拨：适当修改命题的条件，把假命题变为真命题，要求对假命题的条件和结论仔细加以分析，弄清命题不成立的实质，才能找到修改的方法．②真假命题的判断技巧（4）若a•b=0，则a=0；（5）两直线平行，同旁内角互补．在上述语句中，属于真命题的是（填序号）．分析：分析是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案．解：（1）真命题，符合平行线的传递性；（2）真命题，是定理；（3）假命题，相等的角是可以是对顶角，还可能是其它角；（4）假命题，若a•b=0，则a=0或b=0；（5）真命题，符合平行线的性质．故答案为⑴⑵⑸．方法点拨：主要考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．③利用转化思想进行证明题的思路探索求证：DF//AC，DE//AF．图12-x-1分析：由已知∠BDE=∠CAF再结合角平分线的定义及等式性质可得∠BDF=∠BAC，从而可证DF//AC；由已知∠BDE=∠CAF再结角平分线定义可得∠BAF=∠BDE，从而DE//AF．证明：∵DE平分∠BDF，AF平分∠BAC（已知）∴∠BDF=2∠BDE，∠BAC=2∠CAF（角平分线定义）∵∠BDE=∠CAF（已知）∴∠BDF=∠BAC（等量代换）∴DF//AC（同位角相等，两直线平行）∵AF平分∠BAC（已知）∴∠BAF=∠CAF（角平分线定义）∵∠BDE=∠CAF（已知）∴∠BAF=∠BDE（等量代换）∴DE//AF（同位角相等，两直线平行）．方法点拨：证明题的思路分析通常从已知入手，结合要证明的结论找出它们的联系，有时要进行灵活变通，进行适当的代换．等角的证明可以通过两组或三组等角结合等式性质、等量代换等进行变形，有时也可利用余角或补角的性质来证等角．④辅助线的添加技巧辅助线是沟通已知与待求证的结论之间的桥梁，适当地添加辅助线可以化难为易、简化证明过程．辅助线的添加不是没有规律的，如何根据题目的已知条件结合学过的性质、定理等与结论联系的蛛丝马迹，找到最佳的添加辅助线方案，这是值得我们思考和研究的问题．熟练添加辅助线来证明几何题是长时间几何证明的经验积累，但也有一些技巧需要我们了解的，如平行线的问题中过拐点添加平行线构造新的平行线、连结或延长线段构造同位角、内错角、三角形等．求证：∠P AB＋∠APC＋∠PCD=360°图12-x-2分析：本题是已知平行线证明三个角的和为360°问题，联想平行线的性质，我们可以过拐点P添加AB的平行线构造同旁内角，把要证明的结论转化为两组同旁内角互补来证明，也可以连接AC构造同旁内角，把要证明的结论转化为同旁内角互补加三角形内角和来证明．证明：（方法一）过P作PQ∥AB．∵PQ∥AB（辅助线作法），又∵AB∥CD（已知），∴PQ∥CD （平行于同一直线的两直线平行），∴∠PCD＋∠QPC=180°（两直线平行，同旁内角互补），∵PQ∥AB（辅助线作法），∴∠BAP＋∠APQ=180°（两直线平行，同旁内角互补），∴∠BAP＋∠APQ＋∠PCD＋∠QPC=360°（等式性质），∴∠P AB＋∠APC＋∠PCD=360°（等量代换）．（方法二）连接AC，∵AB∥CD（已知），∴∠BAC＋∠ACD=180°（两直线平行，同旁内角互补），∵∠APC＋∠P AC＋∠PCA=180°（三角形内角和等于180°），∴∠P AB＋∠APC＋∠PCD=360°（等量代换）．方法点拨：添加辅助线的目的是为定理、性质创造条件，把已知的条件与要证明的结论之间架设一座桥梁，以达沟通思路、简化证明的目的．。

《第12章小结与思考》教学设计师：我们还知道，命题有两种，一种是真命题，一种是假命题。

真命题是指条件成立，结论也成立的命题，而假命题是指条件成立，但结论不成立的命题。

你知道如何判断一个命题是假命题吗？请你判断下列命题的真假, 如果是假命题，请尝试举出反例：(1)若则.(2)钝角大于它的补角. (3)两个锐角的和是钝角.(4)如果两个数是正数，那么这两个数的和也是正数. 师：在刚刚同学们举出的一些反例中，我们注意到，举反例有着特殊的要求，它是一个符合命题的条件，但命题的结论不成立的例子。

我们在研究命题时，还有这样一组特殊的命题，如果把一个命题的条件和结论互换，就组成了这个命题的逆命题，所以每个命题都有逆命题。

请你指出下列命题的条件和结论，并说出其逆命题：(1)如果两个角的补角相等，那么这两个角相等. (2)对顶角相等.(3)直角三角形的两个锐角互余. 二、合作交流师：以上是我们复习的第一个知识点，接下来，我们一起来看第二个知识点：证明，我们主要复习平行线的判定与性质、三角形内角和定理及其推论的有关证明。

例1：如图1,点A 、B 、C 、D 在一条直线上,填写下列空格:∵EC ∥FD (已知)∴∠F=∠ ( )又∵∠F=∠E (已知)∴ ∠ = ∠E ( ) ∴ AE ∥BF ( )分组成，命题都可以改写成“如果……那么……”的形式 举反例先判断命题的真假，再举出反例回忆互逆命题构成，注意逆命题与原命题之间的区别，明确一对互逆命题的真假不一定相同先说出命题的条件和结论，再说出逆命题，强化互逆命题的结构特征审题、独立思考，个别学生起立回答，完成填空，并说明理由ABCDE F⌒1师：在我们证明这道题目的过程中，我们运用了一对互逆命题，大家一起来说一下。

两直线平行，是图形（两条直线）特殊的“位置关系”，内错角相等是角的“数量关系”，所以我们经常会利用平行线来构造角的数量关系。

下面请你们讨论交流下面一道题目，并在你的学案上写好证明过程：1.如图2，已知AD是∠BAC的平分线，GE∥AD, GE交AB于点F，交CA延长线于点G,（1）求证：∠AFG=∠G.师：观察图形，∠AFG与∠G没有直接联系，能否通过题目中已知的一些条件进行转化？角平分线与平行线又能给我们提供哪些信息？(2)若将上例中结论“∠AFG=∠G”与条件“AD是∠BAC的平分线”互换，你得到的新命题是什么？是否成立?(3)若将上例中结论“∠AFG=∠G”与条件“GE∥AD”互换，得到什么新命题？还成立吗?师：我们在解决第三小问时，运用了三角形内角和定理及其推论。