高中数学选修1-2(人教B版)第三章数系的扩充与复数的导入3.1知识点总结含同步练习题及答案

高中数学必修＋选修知识点归纳新课标人教B版高中数学B版必修一第一章集合1．1集合与集合的表示方法1．2集合之间的关系与运算第二章函数2．1函数2．2一次函数和二次函数2．3函数的应用Ⅰ2．4函数与方程第三章基本初等函数Ⅰ3．1指数与指数函数3．2对数与对数函数3．3幂函数3．4函数的应用Ⅱ高中数学B版必修二第一章立体几何初步1．1空间几何体1．2点、线、面之间的位置关系第二章平面解析几何初步2．1平面真角坐标系中的基本公式2．2直线方程2．3圆的方程2．4空间直角坐标系高中数学B版必修三第一章算法初步1．1算法与程序框图1．2基本算法语句1．3中国古代数学中的算法案例第二章统计2．1随机抽样2．2用样本估计总体2．3变量的相关性第三章概率3．1随机现象3．2古典概型3．3随机数的含义与应用3．4概率的应用高中数学B版必修四第一章基本初等函Ⅱ1．1任意角的概念与弧度制1．2任意角的三角函数1．3三角函数的图象与性质第二章平面向量2．1向量的线性运算2．2向量的分解与向量的坐标运算2．3平面向量的数量积2．4向量的应用第三章三角恒等变换3．1和角公式3．2倍角公式和半角公式3．3三角函数的积化和差与和差化积高中数学B版必修五第一章解直角三角形1．1正弦定理和余弦定理1．2应用举例第二章数列2．1数列2．2等差数列2．3等比数列第三章不等式3．1不等关系与不等式3．2均值不等式3．3一元二次不等式及其解法3．4不等式的实际应用3．5二元一次不等式组与简单线性规划问题高中数学B版选修1－1文科第一章常用逻辑用语1．1命题与量词1．2基本逻辑联结词1．3充分条件、必要条件与命题的四种形式第二章圆锥曲线与方程2．1椭圆2．2双曲线第三章导数及其应用3．1导数3．2导数的运算3．3导数的应用高中数学B版选修1－2文科第一章统计案例第二章推理与证明第三章数系的扩充与复数的引入第四章框图高中数学B版选修2－1理科1.2基本逻辑联结词1.3充分条件、必要条件与命题的四种形式2.1曲线与方程2.2椭圆2.3双曲线2.4抛物线高中数学B版选修2－2理科第一章导数及其应用1.1导数1.2导数的运算1.3导数的应用1.4定积分与微积分基本定理第二章推理与证明2.1合情推理与演绎推理2.2直接证明与间接证明2.3数学归纳法第三章数系的扩充与复数3.1数系的扩充与复数的概念3.2复数的运算高中数学B版选修2－3理科第一章计数原理1.1基本计数原理1.2排列与组合1.3二项式定理第二章概率2.1离散型随机变量及其分布列2.2条件概率与事件的独立性2.3随机变量的数字特征2.4正态分布第三章统计案例3.1独立性检验3.2回归分析高中数学B版选修4－1几何证明选讲第一讲相似三角形的判定及有关性质一平行线等分线段定理二平行线分线段成比例定理三相似三角形的判定及性质1．相似三角形的判定2．相似三角形的性质四直角三角形的射影定理第二讲直线与圆的位置关系一圆周角定理二圆内接四边形的性质与判定定理三圆的切线的性质及判定定理四弦切角的性质五与圆有关的比例线段第三讲圆锥曲线性质的探讨一平行射影二平面与圆柱面的截线三平面与圆锥面的截线高中数学B版选修4－4坐标系与参数方程第一章坐标系1.1直角坐标系平面上的压缩变换2极坐标系1.3曲线的极坐标方程1.4圆的极坐标方程1.5柱坐标系和球坐标系第二章参数方程2.1曲线的参数方程2.2直线和圆的参数方程2.3圆锥曲线的参数方程高中数学B版选修4－5不等式选讲第一章不等式的基本性质和证明的基本方法1．1不等式的基本性质和一元二次不等式的解法1．2基本不等式1．3绝对值不等式的解法1．4绝对值的三角不等式1．5不等式证明的基本方法第二章柯西不等式与排序不等式及其应用2．1柯西不等式2．2排序不等式2．3平均值不等式选学2．4最大值与最小值问题;优化的数学模型第三章数学归纳法与贝努利不等式3.1数学归纳法原理3.2用数学归纳法证明不等式;贝努利不等式。

人教版高中数学选修1-2知识点梳理重点题型（常考知识点）巩固练习复数的概念与运算【学习目标】1．理解复数的有关概念：虚数单位i 、虚数、纯虚数、复数、实部、虚部等。

2．理解复数相等的充要条件。

3. 理解复数的几何意义，会用复平面内的点和向量来表示复数。

4. 会进行复数的加、减运算，理解复数加、减运算的几何意义。

5. 会进行复数乘法和除法运算。

【要点梳理】知识点一：复数的基本概念1.虚数单位i数i 叫做虚数单位，它的平方等于1-，即21i =-。

要点诠释：①i 是－1的一个平方根，即方程21x =-的一个根，方程21x =-的另一个根是i -；②i 可与实数进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立。

2. 复数的概念形如a bi +（,a b R ∈）的数叫复数，记作：z a bi =+（,a b R ∈）；其中：a 叫复数的实部，b 叫复数的虚部，i 是虚数单位。

全体复数所成的集合叫做复数集，用字母C 表示。

要点诠释：复数定义中，,a b R ∈容易忽视，但却是列方程求复数的重要依据.3.复数的分类对于复数z a bi =+（,a b R ∈）若b=0,则a+bi 为实数，若b≠0,则a+bi 为虚数，若a=0且b≠0，则a+bi 为纯虚数。

分类如下：用集合表示如下图：4.复数集与其它数集之间的关系 N Z Q R C （其中N 为自然数集，Z 为整数集，Q 为有理数集，R 为实数集，C 为复数集。

） 知识点二：复数相等的充要条件两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等.即：特别地：00a bi a b +=⇔==.要点诠释：① 一个复数一旦实部、虚部确定，那么这个复数就唯一确定；反之一样.② 根据复数a+bi 与c+di 相等的定义，可知在a=c ，b=d 两式中，只要有一个不成立，那么就有a+bi≠c+di （a ，b ，c ，d ∈R ）．③ 一般地，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小. 如果两个复数都是实数，就可以比较大 小；也只有当两个复数全是实数时才能比较大小.④ 复数相等的充要条件提供了将复数问题化归为实数问题来解决的途径，这也是本章常用的方法， 简称为“复数问题实数化”．知识点三、复数的加减运算1.复数的加法、减法运算法则：设1z a bi =+，2z c di =+（,,,a b c d R ∈），我们规定： 12()()()()z z a bi c di a c b d i +=+++=+++21()()z z c a d b i -=-+-要点诠释：（1）复数加法中的规定是实部与实部相加，虚部与虚部相加，减法同样。

板书设计：
[教学反馈]
学生对于如何进行数系的扩充有了一定的认识，大体理解复数的分类，复数相等的充要
条件，课本作业的完成情况较好，但部分同学对于逻辑连结词“或”、“且”的理解不到位，
一是不知该使用或还是且，二是或与且的连结不知如何得到结果。

【教学反思】
这节课我们学习了虚数单位i及它的两条性质，复数的定义、实部、虚部及有关分类问题，复数相等的充要条件，复平面等等.基本思想是：利用复数的概念，联系以前学过的实数的性质，对复数的知识有较完整的认识，以及利用转化的思想将复数问题转化为实数问题复数的概念如果单纯地讲解或介绍会显得较为枯燥无味，学生不易接受，教学时，我们采用讲解或体验已学过的数集的扩充的历史，让学生体会到数集的扩充是生产实践的需要，也是数学学科自身发展的需要；介绍数的概念的发展过程，使学生对数的形成、发展的历史和规律，各种数集中之间的关系有着比较清晰、完整的认识.从而让学生积极主动地建构虚数的概念、复数的概念、复数的分类。

3.1.1 数系的扩充与复数的概念教学要求: 理解数系的扩充是与生活密切相关的，明白复数及其相关概念。

教学重点：复数及其相关概念，能区分虚数与纯虚数，明白各数系的关系。

教学难点：复数及其相关概念的理解教学过程：一、复习准备：1. 提问：N 、Z 、Q 、R 分别代表什么？它们的如何发展得来的？（让学生感受数系的发展与生活是密切相关的）2．判断下列方程在实数集中的解的个数（引导学生回顾根的个数与∆的关系）：（1）2340x x --= （2）2450x x ++= （3）2210x x ++= （4）210x +=3. 人类总是想使自己遇到的一切都能有合理的解释，不想得到“无解”的答案。

讨论：若给方程210x +=一个解i ，则这个解i 要满足什么条件？i 是否在实数集中？实数a 与i 相乘、相加的结果应如何？二、讲授新课：1. 教学复数的概念：①定义复数：形如a bi +的数叫做复数，通常记为z a bi =+（复数的代数形式），其中i 叫虚数单位，a 叫实部，b 叫虚部，数集{}|,C a bi a b R =+∈叫做复数集。

出示例1：下列数是否是复数，试找出它们各自的实部和虚部。

23,84,83,6,,29,7,0i i i i i i +-+--规定：a bi c di a c +=+⇔=且b=d ，强调：两复数不能比较大小，只有等与不等。

②讨论：复数的代数形式中规定,a b R ∈，,a b 取何值时，它为实数？数集与实数集有何关系？③定义虚数：,(0)a bi b +≠叫做虚数，,(0)bi b ≠叫做纯虚数。

④ 数集的关系：0,0)0)0,0)Z a a ⎧⎪≠≠⎧⎨≠⎨⎪≠=⎩⎩实数 (b=0)复数一般虚数(b 虚数 (b 纯虚数(b 上述例1中，根据定义判断哪些是实数、虚数、纯虚数？2.出示例题2：（引导学生根据实数、虚数、纯虚数的定义去分析讨论）练习：已知复数a bi +与3(4)k i +-相等，且a bi +的实部、虚部分别是方程2430x x --=的两根，试求：,,a b k 的值。

庖丁巧解牛知识·巧学一、虚数单位i在实数集R 中添加新数i,规定i 2=-1,其中i 叫做虚数单位;虚数单位可与实数进行四则运算,且原有的加法运算和乘法运算仍然成立.深化升华 由于i 与实数进行四则运算,且对加法、乘法的运算仍然成立,从而这些结果都可以写成a+bi(a 、b ∈R )的形式,再注意到实数a 和数i,也可以看作是a+bi(a 、b ∈R )的这样的数的特殊形式,所以实数系经过扩充后得到的新数集应该是C ={a+bi|a 、b ∈R }.二、复数的概念我们把集合C ={a+bi|a 、b ∈R }中的数,即形如a+bi(a 、b ∈R )的数叫做复数.其中i 叫做虚数单位.全体复数所构成的集合C 叫做复数集.复数通常用字母z 来表示,即z=a+bi(a 、b ∈R ),这一表示形式叫做复数的代数形式.其中a 与b 分别叫做复数z 的实部与虚部.对于复数a+bi,当且仅当b=0时,它是实数;当且仅当a=b=0时,它是实数0;当b≠0时,叫做虚数;当a=0且b≠0时,叫做纯虚数.复数的分类:复数a+bi(a 、b ∈R )⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧≠≠≠=≠=)0,0()0,0()0()0(b a b a b b 非纯虚数纯虚数虚数实数深化升华 (1)实数集R 和虚数集都是复数集C 的真子集,且R ∪{虚数集}=C ,R ∩{虚数集}=∅;(2)z=a+bi(a 、b ∈R )的虚部是b,而不是bi;(3)实数也是复数,但是复数不一定是实数,它可能是虚数.三、复数相等的条件在复数集C ={a+bi|a 、b ∈R }中任取两个数a+bi,c+di(a 、b 、c 、d ∈R ),我们规定:a+bi 与c+di 相等的充要条件是a=c 且b=d.根据两个复数相等的定义知,在a=c 且b=d 两式中,如果有一个不成立,那么a+bi≠c+di.如果两个复数都是实数,则可以比较大小;否则不能比较大小.复数相等的充要条件是把复数问题转化为实数问题的重要依据,是复数问题实数化这一重要数学思想方法的体现.四、复数的向量表示及几何意义根据复数相等的定义,复数z=a+bi 被一个有序实数对(a,b)所唯一确定,而每一个有序实数对(a,b),在平面直角坐标系中又唯一确定一点Z(a,b)(或一个向量OZ).这就是说,每一个复数,对应着平面直角坐标系中唯一的一个点(或一个向量);反过来,平面直角坐标系中每一个点(或每一个向量),也对应着唯一的一个有序实数对.这样我们通过有序实数对,可以建立复数z=a+bi 和点Z(a,b)(或向量OZ )之间的一一对应关系.点Z(a,b)或向量OZ 是复数z 的几何表示(如图).复数z=a+bi −−−→←一一对应有序实数对(a,b) −−−→←一一对应点Z(a,b).建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面.在复平面内,x 轴叫做实轴,y 轴叫做虚轴.x 轴的单位是1,y 轴的单位是i.设OZ =a+bi,则向量OZ 的长度叫做复数a+bi 的模,记作|a+bi|.由向量长度的计算公式得|a+bi|=22b a +.如果两个复数的实部相等,而虚部互为相反数,则这两个复数叫做互为共轭复数.复数z 的共轭复数用z 表示.即当z=a+bi 时,z =a-bi.当复数z=a+bi 的虚部b=0时,有z=z ,也就是说任一实数的共轭复数仍是它本身.显然,在复平面内,表示两个共轭复数的点关于实轴对称(如图),并且它们的模相等.知识拓展 互为共轭复数的常用性质:(1)z+z =2a,z-z =2bi;(2)复数z ∈R ⇔z=z ;(3)z ∈｛纯虚数｝⇔z+z=0且z≠0.问题·探究问题1 含有参数形式的复数何时表示实数、虚数、纯虚数？导思:此类问题涉及到复数的分类及概念,在理解的基础上注意它们的联系与区别,以此作为判断它们为实数、虚数、纯虚数的条件.探究:注意到:复数z=a+bi 当且仅当b≠0时为虚数;当且仅当b=0时为实数,当且仅当a=0,b≠0为纯虚数;当且仅当a=0,b=0时为0.下面以3m+9+(m 2+5m+6)i 为例说明,m 为何值时表示实数、虚数、纯虚数?若表示实数,则m 2+5m+6=0(即虚部必须为零);若表示虚数,则m 2+5m+6≠0(即虚部不能为零);若表示纯虚数,则3m+9=0且m 2+5m+6≠0(即实部必须为零,虚部不能为零).问题2 两个复数相等的充要条件是什么？应用时应特别注意什么问题？导思:因为复数可以用向量来表示,所以可以结合向量相等来理解.在向量坐标表示中,两个向量要相等则对应坐标要相等.探究:两个复数相等的充要条件是实部与虚部分别相等.在两个复数相等的充要条件中,注意前提条件是a 、b 、c 、d ∈R ,即当a 、b 、c 、d ∈R 时, a+bi=c+di ⇔⎩⎨⎧==.,d b c a 但忽略条件后,则不能成立,因此解决复数相等问题,一定要把复数的实部与虚部分离出来,再利用复数相等的充要条件,化复数问题为实数问题.问题3 为什么两个复数不全是实数就不能比较大小？导思:因为复数可以用向量来表示,所以可以结合向量来理解.探究:因为复数与向量是一一对应的,向量是既有大小又有方向的,因此两个复数不全是实数就不能比较大小,即两个复数能比较大小的充要条件是它们的虚部为零.典题·热题例1如果用C 、R 和I 分别表示复数集、实数集和纯虚数集,其中C 为全集,那么有( )A.C =R ∪IB.R ∩I =｛0｝C.R =C ∩ID.R ∩I =∅ 思路解析:复数系的构成是复数z=a+bi(a 、b ∈R ).⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧≠=≠=)0()0()0()0(a a b b 非纯虚数纯虚数虚数实数 由此不难判断正确答案为D.答案:D例2设m ∈R ,复数z=(2+i)m 2-3(1+i)m-2(1-i).(1)若z 为实数,则m=_________________;(2)若z 为纯虚数,则m=_________________.思路解析:本题主要考查复数为实数和纯虚数的充要条件,分别为b=0与a=0,b≠0.解:(1)z=(2+i)m 2-3(1+i)m-2(1-i)=(2m 2-3m-2)+(m 2-3m+2)i.由题意知:m 2-3m+2=0,即m=1或m=2时,z 是实数.(2)依题意⎪⎩⎪⎨⎧≠+-=--.023,023222m m m m 解得m=-21,所以当m=-21时,z 是纯虚数. 答案:(1)1或2 (2)-21 方法归纳 注意此处空半格对于本题复数用非标准形式给出,应先化成标准形式a+bi 的形式,使复数问题实数化,这是解复数问题的基本思想,也是化归思想的重要表现.复数为纯虚数的充要条件是a=0且b≠0二者缺一不可.例3(2005北京春季高考,理1)i-2的共轭复数是( )A.2+iB.2-iC.-2+iD.-2-i思路解析:本题考查复数及共轭复数的概念,应首先分清谁为虚部,谁为实部;次之,互为共轭的复数实部相等,虚部互为相反数.答案:D例4当实数m 为何值时,复数(m 2-8m+15)+(m 2+3m-28)i 在复平面中的对应点,(1)位于第四象限;(2)位于x 轴的负半轴上.思路解析:复数a+bi(a 、b ∈R )在复平面内的对应点,对于(1)应满足⎩⎨⎧<>,0,0b a 对于(2)应满足⎩⎨⎧=<.0,0b a 解:(1)由已知⎪⎩⎪⎨⎧<-+>+-.0283,015822m m m m ∴⎩⎨⎧<<-><.47,53m m m 或∴-7＜m ＜3. (2)由已知⎪⎩⎪⎨⎧=-+<+-.0283,015822m m m m 解之,得m=4. 例5如果复数z 满足|z+i|+|z-i|=2,那么|z+i+1|的最小值是 ( )A.1B.2C.2D.5思路解析:由复数模的几何意义知|z+i|+|z-i|=2表示复平面上以点A(0,1)、B(0,-1)为端点的线段AB 上的点,从而|z+i+1|=|z-(-1-i)|表示线段AB 上的点Ｚ到点C(-1,-1)的距离.∴|z+i+1|的最小值为|BC|=1.答案:A例6已知复数z 1=i(1-i)3,(1)求|z 1|;(2)若|z|=1,求|z-z 1|的最大值.思路解析:(1)求模应求出复数的实部与虚部再利用|a+bi|=22b a +得出;(2)是考查复数几何意义的应用.解:(1)z 1=i(1-i)3=i(-2i)(1-i)=2(1-i),∴|z 1|=222222=+.(2)|z|=1可看成半径为1圆心为(0,0)的圆,而z 1可看成在坐标系中的点(2,-2), ∴|z-z 1|的最大值可以看成点(2,-2)到圆上点距离的最大值,由图可知|z-z 1|max =22+1.变式方法:|z|=1,∴设z=cosθ+isinθ,|z-z 1|=|cosθ+isinθ-2+2i|=)4sin(249)2(sin )2(cos 22πθθθ--=++-. 当sin(θ-4π)=-1时,|z-z 1|2取得最大值249+. 从而得到|z-z 1|的最大值为122+.方法归纳 注意此处空半格在设复数的过程中常设为z=a+bi(a 、b ∈R );在有关的解决轨迹问题中常设z=x+yi 从而与解析几何联系起来;当复数的模为1时也可以设为z=cosθ+isinθ用三角函数解决相关最值等.例7(2005上海春季高考)证明:在复数范围内,方程|z|2+(1-i)z -(1+i)z=ii +-255(i 为虚数单位)无解.思路解析:将已知条件化简后再由复数相等来解.解:原方程化简为|z|2+(1-i)z -(1+i)z=1-3i.设z=x+yi(x 、y ∈R ),代入上述方程得x 2+y 2-2xi-2yi=1-3i. ∴⎩⎨⎧=+=+)2.(322)1(,122y x y x将②代入①,整理得8x2-12x+5=0.∵Δ=-16＜0,∴方程f(x)无实数解.∴原方程在复数范围内无解.方法归纳注意此处空半格复数相等是解决复数问题常用的方法,这是一个将复数问题实数化的过程,转化后再用实数范围内的相关方法来解.。

《数系的扩充和复数的概念》疑难点拨一、复数的有关概念(1)我们把集合{},C a bi a b R =+∈中的数，即形如(),a bi a b R +∈的数叫做复数,其中i 叫做虚数单位.全体复数所成的集合C 叫做复数集.(2)复数通常用字母z 表示,即(),z a bi a b R =+∈，这一表示形式叫做复数的代数形式.其中a 与b 分别叫做复数z 的实部与虚部.(3)对于虚数单位i :①它的平方等于-1，即21i =-.②实数可以与虚数单位i 进行四则运算，在进行四则运算时，原有的加法、乘法运算律仍成立.③复数(),z a bi a b R =+∈的虚部为b ，而不是bi .例1(★☆☆)(1)(1i +的实部与虚部分别是（ ）A.B.1+C.0,1+D.(0,1i(2)以3i -3-的实部为虚部的复 数是 （ ）A.33i -B.3i +C.解题导引 审题→复数的概念→复数实部与虚部→结果 二、复数的分类复数通常用字母z 表示，即(),z a bi a b R =+∈，这一表示形式叫做复数的代数形式.1.我们遇到复数时，通常将其化成(),a bi a b R +∈的形式，进而求解.2.设(),z a bi a b R =+∈，则(1)当且仅当0b =时,z 为实数；(2)当且仅当0a b ==时，z 为实数0；(3)当0b ≠时,z 为虚数；(4)当0a =且0b ≠时,z 为纯虚数；(5)当0a ≠且0b ≠时,z 为非纯虚数.即复数z 为()()()()0,0,00.b a b a =⎧⎪⎪=⎧⎨⎪≠⎨⎪≠⎪⎪⎩⎩实数纯虚数虚数非纯虚数 3.复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系如下图.例2(★★☆)当m 为何实数时，复数()2262153m m z m m i m --=+--+是： (1)实数？(2)虚数？(3)纯虚数？解题导引 当一个复数是实数时，其虚部必须为零；当一个复数是虚数时，其虚部必不为零；当一个复数是纯虚数时，其实部必须为零，且虚部不为零.三、复数相等 在复数集{},C a bi a b R =+∈中任取两个数(),,,a bi c di a b c d R ++∈、，我们规定:a bi +与c di +相等的充要条件是a c =且b d =.这就是说，两个复数相等的充要条件是它们的实部和虚部分别相等.一般地，两个复数只能说它们相等或者不相等，而不能比较它们的大小,只有当两个复数都是实数时，才能比较它们的大小.运用两复数相等的充要条件时,首先要把“左右两边的复数写成代数形式，即分离实部与虚部，然后列出方程（组）求解.例3(★★☆)已知()()()32753x y x y i x y i ++-=-+,求实数,x y 的值.解题导引 先找出两个复数的实部与虚部，再利用复数相等的充要条件求出,x y 的值.例4(★★☆)已知()22620x y x y i +-+--=，求实数,x y 的值.解题导引 利用两复数相等的充要条件求解.参考答案例1.答案：(1)C (2)A解析：(1)(1i可以看成是(01i +,所以其实部与虚部分别为0,1+.故选C.(2)3i -3,3-的实部为3-，∴所求复数为33i -.故选A.导师点睛 解答这类题目的关键是理解实部与虚部的概念，注意实部、虚部都是实数.例2.答案：见解析解析：复数z 的实部为()()2236,33m m m m m m +---=++ 虚部为()()221535.m m m m --=+-(1)要使z 是实数，必须有()()350,30,m m m +-=⎧⎪⎨+≠⎪⎩解得5m =.故当5m =时，z 是实数.(2)要使z 是虚数，必须有()()350m m +-≠，解得3m ≠-且5m ≠.故当3m ≠-且5m ≠时，z 是虚数.(3)要使z 是纯虚数，必须有()()()()230,3350,m m m m m +-⎧=⎪+⎨⎪+-≠⎩解得3m =或 2.m =-故当3m =或2m =-时，z 是纯虚数.例3.答案：见解析解析：,x y 是实数，∴由两个复数相等的充要条件可得375,23,x y x y x y +=-⎧⎨-=⎩解得9,43.2x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 例4.答案：见解析解析：由题意可得2260,20,x y x y ⎧+-=⎪⎨--=⎪⎩①②由②得2x y =+，将2x y =+代人①得2210y y +-=，解得1211y y =-=-1211x x ∴==即11x y ⎧=+⎪⎨=-+⎪⎩或11x y ⎧=⎪⎨=-⎪⎩导师点睛 利用()0,0a bi a b R a b +=∈⇔==列方程组求解.。