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P025解斜三角形及其应用错解分析

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解斜三角形及其应用错解分析
解斜三角形及某应用问题难度大、综合性强、解题有一定的技巧，学生在解题时，经常因为审题不细、考虑不周、方法不当等原因而错解题目。

下面就学生在解题中出现的错误分类辨析如下，供大家参考。

一、已知条件弱用
例1. 在不等边△ABC 中，a 为最大边，如果a b c 222<+，求A 的取值范围。

错解：∵a b c b c a 2222220<++->，∴。

则 c o s A b c a
bc
=
+->2
2
2
20，由于cosA 在（0°，180°）上为减函数
且cos 90090°，∴°=<A
又∵A 为△ABC 的内角，∴0°＜A ＜90°。

辨析：错因是审题不细，已知条件弱用。

题设是a 为最大边，而错解中只把a 看做是三角形的普通一条边，造成解题错误。

正解：由上面的解法，可得A ＜90°。

又∵a 为最大边，∴A ＞60°。

因此得A 的取值范围是（60°，90°）。

二、三角变化生疏 例2. 在△ABC 中，若
a b
A B
22
=
tan tan ，试判断△ABC 的形状。

错解：由正弦定理，得sin sin tan tan 22
A B
A B
=
即
sin sin sin cos cos sin sin sin 2
2
00A
B
A A B
B A B =
>>·
，∵， ∴，即sin cos sin cos sin sin A A B B A B ==22。

∴2A ＝2B ，即A ＝B 。

故△ABC 是等腰三角形。

辨析：由sin sin 22A B =，得2A ＝2B 。

这是三角变换中常见的错误，原因是不熟悉三角函数的性质，三角变换生疏。

正解：同上得sin sin 22A B =，∴2A ＝22k B π+ 或222A k B k Z =+-∈ππ()。

∵000<<<<==A b k A B ππ，，∴，则或A B =-π
2。

故△ABC 为等腰三角形或直角三角形。

三、方法不当
例3. 在△ABC 中，A ＝60°，b ＝1，S ABC △=3，求
a b c
A B C ++++sin sin sin 的值。

错解：∵A ＝60°，b ＝1，S ABC △=3，又S A B C
△=12
bc A sin ， ∴312
=
c sin 60°，解得c ＝4。

由余弦定理，得
a b c bc A =+-=
+-22
2116860cos cos °
=
13
又由正弦定理，得sin sin C B ==
639
3239
，。

∴
a b c A B C
++++=
+++
+
sin sin sin 1314323239
639。

辨析：如此复杂的算式，计算困难。

其原因是公式不熟、方法不当造成的。

正解：由已知可得c a ==413，。

由正弦定理，得
21360239
3
R a A
==
=
sin sin °。

∴
a b c A B C
R ++++==s i n s i n s i n 22393。

四、忽视制约条件
例4. 在△ABC 中，c =+62，C ＝30°，求a ＋b 的最大值。

错解：∵C ＝30°，∴A ＋B ＝150°，B ＝150°－A 。

由正弦定理，得a A
b
A sin sin()
sin =
-=
+
15062
30°°
∴a A =+262()s i n ，
b A =+
-262150()sin()°
又∵sin sin()A A ≤-≤11501，° ∴a b +≤+
++
=+
262262462()()()。

故a b +的最大值为462()+。

辨析：错因是未弄清A 与150°－A 之间的关系。

这里A 与150°－A 是相互制约的，不是相互独立的两个量，sinA 与sin(150°－A)不能同时取最大值1，因此所得的结果也是错误的。

正解：∵C ＝30°，∴A ＋B ＝150°，B ＝150°－A 。

由正弦定理，得
a A
b
A sin sin()
sin =
-=
+
15062
30°°
因此a b A A +=+
+-262150()[sin sin()]°
=+
-=+
+-=+-≤+262757546262
4
7584375843
()sin cos()()
cos()
()cos()·°°·°°A A A
∴a ＋b 的最大值为843+。

五、未挖掘隐含条件
例5. 在△ABC 中，已知a ＝2，b ＝22，C ＝15°，求A 。

错解：由余弦定理，得 c a b ab 2
2
2
215=+-cos °
=+-+=-48222262
4
843
×××
∴c =-62。

又由正弦定理，得sin sin A a C c
==12
而018030150°°，∴＝°或°<<=A A A 。

辨析：由题意b a >，∴B A >。

因此A ＝150°是不可能的。

错因是没有认真审题，未利用隐含条件。

在解题时，要善于应用题中的条件，特别是隐含条件，全面细致地分析问题，避免错误发生。

正解：同上c A b a =
-
=
>6212
，，∵sin ，
∴，且°°，∴°B A A A ><<=018030。

六、用错逻辑连结词
例6. 在△ABC 中，αβcos cos A b =，判断△ABC 的形状。

错解：在△ABC 中，∵a A b B cos cos =，由正弦定理 得22R A A R B B sin cos sin cos =
∴sin sin 222222180A B A B A B ==+=，∴且° ∴A ＝B 且A ＋B ＝90°
故△ABC 为等腰直角三角形。

辨析：对三角公式不熟，不理解逻辑连结词“或”、“且”的意义，导致结论错误。

正解：在△ABC 中，∵a A b B cos cos =，由正弦定理， 得2222R A A R B B A B sin cos sin cos sin sin ==，∴。

∴2A ＝2B 或2A ＋2B ＝180°， ∴A ＝B 或A ＋B ＝90°。

故△ABC 为等腰三角形或直角三角形。

七、解题不完整
例7. 若a ，b ，c 是三角形的三边长，证明长为a b c ，，的三条线段能构成锐角三
角形。

错解：不妨设0<≤≤a b c ，只要考虑最大边的对角θ为锐角即可。

c o s ()()()
θ
=+-=
+-a b c a
b
a b c ab
2
2
2
22。

由于a ，b ，c 是三角形的三边长，根据三角形三边关系，有a b c +>，即cos θ>0。

∴长为a b c ，，
的三条线段能构成锐角三角形。

辨析：三条线段构成锐角三角形，要满足两个条件：①三条边满足三角形边长关系；②
最长线段的对角是锐角。

显然错解只验证了第二个条件，而缺少第一个条件。

正解：由错解可得cos θ>0
又∵a b c a b c a b c
a b c
+-=
+-++
++
()()
=+-
++
=
+-
++
+
++
>()
a b c
a b c
a b c
a b c
ab
a b c
22
即长为a b c
，，的三条线段能构成锐角三角形。

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初中数学_2.5 解直角三角形的应用教学设计学情分析教材分析课后反思

初中数学_2.5 解直角三角形的应用教学设计学情分析教材分析课后反思

学习目标 1、熟练掌握特殊角的三角函数值的计算； 2.能运用两种模型解决实际问题，提高用模型思想解决实际问题的能力。

重点 难点 重点：合理构造直角三角形、解直角三角形实际应用。

难点：如何读懂题意对实际应用题进行建立方程解题。

学 案 内 容 师生活动 课前预学一、知识储备 1.在Rt △ABC 中已知∠C ＝90°，∠B ＝30°，AC ＝1.则∠A ＝ ，AB ＝ ，BC ＝ 。

2.在Rt △ABC 中已知∠C ＝90°，∠B ＝45°，AC ＝1.则∠A ＝ ，BC ＝ ，AB ＝ 。

二、基础自测 3800x x +-= 330x x -=（3 1.73≈，x 保留一位小数）课内助学一、基本图形：中间型 计算：1.已知AD ⊥BC,∠B ＝30°，∠C ＝45°，AD ＝1求图中其它线段的长。

生：独立完成应课前预学。

师：讲授本节课在中考中的地位。

师：点拨结果要注意分母有理化师生一起研究中间型特点初三数学学案（020）课题：2.5解直角三角形的应用（1）（复习）主编： 审核：思考：其它条件不变，将AD的长换成AB、AC、BD、CD可以吗？2、已知AD⊥BC,∠B＝30°，∠C＝45°，BC＝1553，求线段AD 的长。

感受中考：1.（15东营）4月26日，2015黄河口（东营）国际马拉松比赛拉开帷幕，中央电视台体育频道用直升机航拍技术全程直播．如图，在直升机的镜头下，观测马拉松景观大道A处的俯角为，B处的俯角为．如果此时直升机镜头C处的高度CD为200米，点A、D、B在同一直线上，则AB两点的距离是米．2.（15临沂）小强从自己家的阳台上，看一栋楼顶部的仰角为30°，看这栋楼底部的俯角为60°，小强家与这栋楼的水平距离为42m，这栋楼有多高？（结果保留根号）3.（16菏泽）南沙群岛是我国固有领土，现在我南海渔民要在南沙某海岛附近进行捕鱼作业，当渔船航行至B处时，测得该岛位于正北方向20（1+）海里的C处，为了防止某国海巡警干扰，就请求我A处的鱼监船前往C处护航，已知C位于A处的北偏东45°方向上，A位于B的北偏西30°的方向上,求A、C之间的距离。

解斜三角形及应用举例

解斜三角形及应用举例


得到的三角形的最大面积为( B )
A 8 5cm2
B 6 10cm2
C 3 55cm2
D 20cm2
3、(湖南16)如图,D是直角ABC斜边BC上的 A
一点，AB=AD，设CAD= , ABC= ,
（1）证明sin+cos2 =0;
（2）若AC= 3DC，求的值. B
D
C
五、归纳总结
1、边边关系：任意两边之和大于第三边，任意 两边之差小于第三边；
1 2
ac sin B
1 bc sin 2
A
(3)
S
abc 4R
(4) S p( p a)( p b)( p c)
( p 1 (a b c）) 2(5)SFra bibliotek1 2
r(a
b
c)
(r为ABC内切圆半径)
二、课堂热身
1、在ABC中，sin A : sin B : sin C＝2：3 : 4
则ABC=(
)(结果用反三角表示）
解：由已知可设sin A＝2k； sin B＝3k； sinC＝4k；
a 4Rk; b 6Rk; c 8Rk;
a2 c2 b2 16 64 36 11
cos B
2ac
2 4 8 16
即ABC=arccos 11 16
2、已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都是akm, 灯塔A在观察站C的北偏东20o ,灯塔B在观察站C的
六、课外作业
作业 1 :(全国):已知ABC中，B=450，AC 10, cos C 2 5 5
（1）求BC边的长； （2）记AB的中点为D,求中线CD的长。 2:P95 1 ~ 7.
2、边角关系：等边对等角，大边对大角，小边对小角；
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高一数学下章《解斜三角形》解析及答案巩固基础一、自主梳理a b c1•正弦定理：si nA = si n B = si n C =2R，其中R是三角形外接圆半径.,2 2 2b c a2.余弦定理：a2=b2+c2-2bccosA,b2=a2+c 2-2accosB,cosA= 2bc1 丄］____________________ a b c3.S A ABC= 2 absinC= 2 bcsinA= 2 acsinB,S△= ■ S(S a)(S b)(S c) =Sr(S= 2 ,r 为内切abc圆半径)=4R (R为外接圆半径).4. 在三角形中大边对大角，反之亦然.5. 射影定理：a=bcosC+ccosB,b=acosC+ccosA,c=acosB+bcosA.6. 三角形内角的诱导公式C A B(1) si n(A+B)=si nC,cos(A+B)=-cosC,ta nC=-ta n(A+B),cos 2 =si n 2,C A Bsin 2 =cos 2 .....在厶ABC 中，熟记并会证明tanA+tanB+tanC=tanA tanB tanC;(2) A、B、C成等差数列的充要条件是B=60°(3) A ABC是正三角形的充要条件是A、B、C成等差数列且a、b、c成等比数列.7. 解三角形常见的四种类型a b c(1) 已知两角A、B与一边a,由A+B+C=180及sin A = sin B = sinC，可求出角C,再求b、c.(2) 已知两边b、c与其夹角A，由a2=b2+c2-2bccosA，求出a,再由余弦定理，求出角B、C.(3) 已知三边a 、b 、c ,由余弦定理可求出角 A 、B 、C.a b(4) 已知两边a 、b 及其中一边的对角 A ，由正弦定理sinA = sinB ，求出另一边b 的对角B ,a c a b由C=n -(A+B)，求出c ,再由sin A = sinC 求出C ,而通过sin A = sin B 求B 时，可能出一解，两9•三角形的分类或形状判断的思路，主要从边或角两方面入手二、点击双基1 •在△ ABC 中，A=60° , a=4 - 3 3,b=4 2，则 B 等于()A.45。

解斜三角形的应用PPT优秀课件(1)

解斜三角形的应用PPT优秀课件(1)


C
BC/sin60 =10/sin45 BC=10sin60 /sin45
60° A
75°
答： 5 6 海里
B
解斜三 基本概念和公式 角形
练习1.如图,一艘船以32海里/时的速度向 正北航行,在A处看灯塔S在船的北偏东200, 30分钟后航行到B处,在B处看灯塔S在船的 北偏东650方向上,求灯塔S和B处的距离. （保留到0.1海里）
航向和赶上遇险渔船所需
A
的最短时间，能否营救成
功？
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
解斜三
解三角形的应用.
解角：形设所需时间为t小时，在点B处
相 遇 （ 如 图 ） 在 △ ABC 中 ，
ACB = 120, AC = 10, AB = 21t,
BC = 9t 由 余 弦 定 理 ： (21t)2 = 102 + (9t)2 2×10×9t×cos120 整理得： 36t2 9t 10 = 0
94.对一个适度工作的人而言，快乐来自于工作，有如花朵结果前拥有彩色的花瓣。――[约翰·拉斯金] 95.没有比时间更容易浪费的,同时没有比时间更珍贵的了，因为没有时间我们几乎无法做任何事。――[威廉·班] 96.人生真正的欢欣，就是在于你自认正在为一个伟大目标运用自己；而不是源于独自发光.自私渺小的忧烦躯壳，只知抱怨世界无法带给你快乐。――[萧伯纳]
91.要及时把握梦想，因为梦想一死，生命就如一只羽翼受创的小鸟，无法飞翔。――[兰斯顿·休斯] 92.生活的艺术较像角力的艺术，而较不像跳舞的艺术；最重要的是：站稳脚步，为无法预见的攻击做准备。――[玛科斯·奥雷利阿斯] 93.在安详静谧的大自然里，确实还有些使人烦恼.怀疑.感到压迫的事。请你看看蔚蓝的天空和闪烁的星星吧!你的心将会平静下来。[约翰·纳森·爱德瓦兹]