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《现代控制理论基础》ch2第二章线性控制系统的运动分析

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第2章 现代控制理论1PPT课件

第2章 现代控制理论1PPT课件


时不变系统状态转移矩阵Φ tt0或 Φ t是满足如下矩阵微分
方程和初始条件的解,这也是检验一个矩阵是不是状态转移
的条件。
Φ (tt0)AΦ (tt0)或 Φ (t)AΦ (t)
Φቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ(0)I
Φ (0)I
（2.5）
1Φ t在 t0的值 lim ΦtI
t0
(2)Φt对t的导 Φ 数 tA Φ tΦ tA
故可求出其解为：
t
X ( t) ( t) X ( 0 ) o ( t ) B () U d ( 2 .2 b )
式中 (t) eAt 为系统的状态转移矩阵。
对于线性时变系统非齐次状态方程，
X ( t) A ( t) X ( t) B ( t) U ( t) ( 2 3 )
类似可求出其解为
x (0 )e a t tb(u )e a (t )d 0
同样，将方程（2.1）写为 X (t)A(X t)B(U t)
在上式两边左乘eAt ，可得：
e A [X t(t) A(t) X ]d[e AX t(t) ]e A B t (tU )
dt
3
将上式由 0 积分到 t ，得
X ( t) e A X t ( 0 ) te A (t )B () U d (2 .2 a ) o
的解，X(t)=Ф (t, t0)X(0) 。 下面不加证明地给出线性时变系统状态转移矩阵的几个
重要性质： 1、 (t,t)I
2 、 ( t 2 ,t 1 ) ( t 1 ,t 0 ) ( t 2 ,t 0 )
3 、 1 (t,t0) (t0 ,t) 4、当A给定后，(t,t0) 唯一
5、计算时变系统状态转移矩阵的公式
令 x (t) b 0 b 1 t b 2 t2 b iti b iti,t 0
线性控制理论总复习(2012)

线性控制理论总复习(2012)

： x A(t ) x B(t )u y C (t ) x
（1）
线性时变系统的对偶系统的状态空间描述为：
d ： T AT (t ) T C T (t ) T T BT (t ) T
（2）
式中： —协状态, n维行向量； —输出, p维行向量；
如果其状态空间描述具有如下形式
ˆ ˆ ˆ ˆ x Ao x bou
其中：
0 0 0 1 1 ˆ Ao 1 n-1
ˆ ˆ y co x
ˆ co 0 0 1
则称此状态空间描述为能观测规范形。
25
总复习：现代控制理论
2．PBH秩判据
i I A rank n; C
i 1, 2, , n
3．对角线规范型判据
4．约当规范型判据
13
总复习：现代控制理论
3. 对角线规范型判据（※）
当矩阵A的特征值 1 , 2 ,, n 为两两相异时， 线性定常连续系统 x Ax x(0) x0 t0 y Cx
x (t ) L1 X ( s ) L1 (s A) 1[ x0 +B U ( s )]
9
总复习：现代控制理论
第4章 线性系统的可控性与可观测性
一、线性定常连续系统的可控性判据（※） 1．秩判据
rankQc rank B AB An 1 B n
2．PBH秩判据
rank i I A B n
i 1, 2, , n
3．对角线规范型判据 4．约当规范型判据
10
总复习：现代控制理论
3．对角线规范型判据（※）
当矩阵A的特征值 1 , 2 ,, n 为两两相异时， 线性定常连续系统 x(t ) Ax(t ) Bu (t ) x(0) x0 t 0 完全能控的充分必要条件是：其对角线规范型
第二章 现代控制理论基础

第二章 现代控制理论基础


微分方程组可以改写为
di (t ) R uC (t ) u (t ) = i (t ) + dt L L L
duC (t ) 1 = i (t ) dt C
并且写成矩阵形式： 并且写成矩阵形式：
di (t ) R dt L du (t ) = 1 C dt C 1 i (t ) 1 L + L u (t ) 0 uC (t ) 0
0 0 an 1 an 2
则式（2.4）可以写成
x = Ax + Bu
输出方程可写成
y = x1
写成矩阵方程形式为
x1 x y = [1 0 0] 2 = Cx xn
例2.1 设某控制系统的动态特性可用下述微分方程描述
y + 5 + 6 y + 12 y = u y
系统闭环传递函数为
Y ( s) 1 1 = = 3 U ( s ) s( s + 2)( s + 3) + 1 s + 5s 2 + 6s + 1
通过拉普拉斯逆变换,可求得系统运动微分方程为
（2.4）
记
x1 0 x 0 2 x = , A = xn 1 0 xn an 1 0 0 1 0 x1 0 x 0 0 2 , x = , B = 1 xn 1 0 xn 1 a1
输出方程为： 输出方程为：
x1 y = [1 0] x2
[例2] 机械平移系统. 如图为一加速度仪的原理结构图。它可以指示出其 例 壳体相对于惯性空间（如地球）的加速度。
设: xi 为壳体相对于惯性空间的位移; x0 为质量m相对于惯性空间的位移; y= xi - x0 为质量m相对于壳体的位移. 根据牛顿第二定律，系统的运动方程为: xi x0
线性系统部分总复习(2015)

线性系统部分总复习(2015)

2、状态空间描述（内部描述） (1)用状态空间表达式表征；(2)是系统的内部描 述；(3)是对系统的完全描述。
2
总复习：现代控制理论
二、线性定常连续系统状态空间表达式的建立
建立状态空间表达式的方法主要有两种： 1. 根据系统机理建立状态空间表达式 2. 由系统输入输出描述建立状态空间表达式
能控标准型实现 能观测标准型实现
y = Cˆxˆ
中， Cˆ 中与同一特征值的各约当块对应的各子 块的第一列组成的矩阵是列线性无关的。
31
总复习：现代控制理论
四、对偶性
1.对偶系统考：虑连续时间线性时变系统
： x& A(t)x B(t)u y C(t)x
（1）
线性时变系统的对偶系统的状态空间描述为：
d ：
&T AT (t) T CT (t)T T BT (t) T
22
总复习：现代控制理论
1. 秩判据
线性定常系统
x&(t) Ax(t) Bu(t) x(0) x0 t 0
完全能控的充分必要条件是
rankQc rank BMABML MAn1B n
其中: n为矩阵A的维数，Qc BMABML MAn1B 称为系统的能控性判别阵。
注：秩判据是一种方便，应用广泛的判别方法。 23
0
Ac
M 0
0
1 O
1 L
1
n-1
0
bc
M
0
1
则称此状态空间描述为能控规范形。
33
总复习：现代控制理论
约当规范形
状态方程中的 系统矩阵A具 有分块对角形 的形式。
9
总复习：现代控制理论
1) 对角线规范形
现代控制理论第2章 线性系统的运动

现代控制理论第2章 线性系统的运动


定义矩阵向量eAt为状态转移矩阵
于是齐次状态方程的解为:
x(t ) e x(0) e x0
At At
(2 7)
另用拉氏变换法求解齐次微分方程:
x(t ) Ax(t ) sx(s) x(0) Ax(s)
x(s) (sI A) x(0)
1
拉氏反变换后得到齐次状态方程的解:
2. 状态转移矩阵的计算。
a. 直接求取；
b. 拉普拉斯变换；
c. 化矩阵A为对角型或约当型；
d.化矩阵指数 e At
为A的有限项。
（1）线性系统状态转移矩阵的基本性质
1 2 2 1 i i Φ(t ) e I At A t A t (2 9 1) 2! i!
表明 (t ) 具有分段组合的性质。
④ Φ1 (t ) Φ(t ) , Φ1 (t ) Φ(t ) 证：根据性质①和③及逆矩阵定义，有
Φt t Φt Φ t I Φ t t Φ t Φt I
Φ 1 (t ) Φ(t )
At
t0 0
x(t ) (t t0 )x(t0 )
x(t ) (t )x(0)
(2 10)
(2 9)
状态转移矩阵 (t )包含了系统自由运动的全部信息， 完全表征了系统的动态特性,A的状态矩阵唯一。
几点解释：
① 如果t为某给定常数T，那么零输入响应 x(t ) 就是状 态空间中由初始状态 x 0 经线性变换常数阵 (t ) 所致。
（一）齐次状态方程解的一般表达式
x(t ) A(t )x(t ),
x(t0 ) x0 ,
2
t t0
i
b 2t bi t
现代控制理论(第二章)讲解

现代控制理论(第二章)讲解


sI

A 1

s 2
s3
1 1 s 3

(s
1)(s 2

2)
(s 1)(s 2)
1

(s
1)(s s

2)

(s 1)(s 2)
s3
e At

L1

(s

1)( s 2

2)
(s 1)(s 2)
EAST CHINA INSTITUTE OF TECHNOLOgy
第二章 控制系统状态空间表达式的解
2.1 线性定常齐次状态方程的解(自由解) 2.2 矩阵指数函数——状态转移矩阵 2.3 线性定常系统非齐次方程的解 2.4 * 线性时变系统的解 2.5 * 离散时间系统状态方程的解 2.6* 连续时间状态空间表达式的离散化


(s

1)( s 2

2)
(s 1)(s 2)
1
(s

1)( s s

2)

(s 1)(s 2)
eAt L1
sI A 1
2et e2t 2et 2e2t
et e2t

et

2e2t

et

2e2t

例2-6，利用凯莱-哈密顿定理— -----------------自学！ 例2-3与例2-7也请注意自学！
EAST CHINA INSTITUTE OF TECHNOLOgy
2.3 线性定常系统非齐次方程的解
现在讨论线性定常系统在控制作用 方程为非齐次矩阵微分方程：
现代控制理论课件ch2(10级本1)

现代控制理论课件ch2(10级本1)


=
⎡0 ⎢⎣− 2
1⎤ − 3⎥⎦
这是一种由状态转移矩阵求系统矩阵A的有效方法。
7
性质5 x ( t 2 ) = Φ( t 2 − t1 ) x ( t1 ) 这 是 ∵ Φ (t2 − t1 ) x (t1 ) = Φ (t2 )Φ ( − t1 ) x (t1 ) = Φ (t2 ) x (0 )
（2）
A
=
⎢ ⎢
0
−2
0
⎥ ⎥
⎢⎣ 0 0 −3⎥⎦
⎡e−t 0 0 ⎤
Φ (t )
=
e At
=
⎢ ⎢
0
e−2t
0
⎥ ⎥
⎢⎣ 0 0 e−3t ⎥⎦
⎡λ1 1 0 0 ⎤
（3）
A
=
⎢ ⎢ ⎢
0 0
⎢ ⎣
0
λ1
0 0
1
λ1
0
0
⎥ ⎥
0⎥
λ
2
⎥ ⎦
⎡ ⎢
e
λ1t
⎢
eAt = ⎢ 0
te λ1t e λ1t
t 2 e λ1t 2 te λ1t
⎤ 0⎥
⎥ 0⎥
⎢ ⎢
0
0
e λ1t
0
⎥ ⎥
⎢⎣ 0 0
0
e λ2t ⎥⎦
14
方法4 线性变换法求状态转移矩阵
(1) 线性变换的基本概念
对于
⎧ ⎨ ⎩
x y
= =
Ax cx
+
bu
作变换 x = Px P为非奇异(detP=0)线性变换矩阵
我们称这个过程为对系统进行P变换
线性变换的不变性：线性变换前后，系统的传递函数矩阵不变，特征方程
现代控制理论(修改最终版)

现代控制理论(修改最终版)

《现代控制理论基础》课程教学大纲课程编号：课程名称：现代控制理论英文名称： Modern Control Theory课程性质: 考试学时： 42学时（讲授36学时+6学时实验）适用对象: 工业自动化先修课程：自动控制理论，线性代数，工程数学一、编写说明（一）本课程的性质、地位和作用现代控制理论是自动化专业的主干技术基础课，它是在经典控制理论的基础上建立和发展起来的。

本课程是以状态空间理论为核心，对动态系统进行分析和研究。

它不但可以解决单变量线性定常系统，还可以解决多变量、时变、非线性系统的问题。

通过本门课程的学习，使学生掌握线性控制系统的状态空间描述,能够对线性系统的几种模型进行互相转化; 掌握线性控制系统的运动规律及连续系统的离散化;熟悉线性控制系统的能控性与能观测性概念及其判定准则;了解控制系统的李亚普诺夫稳定性理论; 掌握线性控制系统的状态反馈与状态观测器的设计方法。

通过对本课程的学习，要求学生系统地获得现代控制理论的基本知识，切实掌握所涉及的基本概念、基本理论和基本方法，为后继课程的学习奠定良好的理论基础.（二）教学基本要求1. 掌握现代控制理论的基本知识及其分析方法，能够用状态空间表达式来描述系统，并根据系统的微分方程建立其状态空间表达式的方法。

2. 掌握系统特征值的求取方法，掌握线性定常系统非齐次方程的解和线性时变系统的解的求取方法，以及离散时间系统状态方程的两种解法。

3. 掌握能控性、能观性的定义及各自的判别准则。

4.掌握用李雅普诺夫第一法和第二法分析系统的稳定性的方法。

5. 对线性系统理论的新发展有所了解。

6. 为学生进一步的学习打下必要的基础。

（三）课程教学方法与手段以课堂讲授为主，辅以习题、实验等环节。

（四）实践环节通过计算机仿真，主要运用Matlab软件使学生能初步掌握MATLAB工具包，并用它在计算机环境中进行控制‘实验’，对控制系统进行分析与综合，以提高学生的系统分析和综合能力。

现代控制理论 现代控制理论 第二章 线性控制系统的运动分析

现代控制理论 现代控制理论 第二章 线性控制系统的运动分析


cos t sin t = sin t cos t
(2) 拉氏变换法
e =L
At
1
[(sI A) ]
1
& 例：已知 x1 0 1 x1 x = 2 3 x 2 &2
解：
求 φ (t )
1 s 1 s 0 0 sI A = 2 3 = 2 s + 3 0 s
1 s2 1 s 0
1 s 3 1 t 0.5t 2 1 = 0 1 t s2 1 1 0 0 s
G = e AT
1 T 0.5T 2 = 0 1 T 0 0 1
T T Aτ H = ∫ e dτ B = 0 0 0
离散化的方程为：
1 2 T 2 T 0
+ L + β1 z + β 0 N (z ) = bn + n = bn + n 1 z + an1 z + L + a1 z + a0 D( z )
β n1 z
n 1 1
脉冲响应函数
入中间变量 Q( z )
n n1
bn = 0
在
N (z )
D( z ) 的串联分解中，引 ，则有
z Q(z) + an1z Q(z) +L+ a1zQ(z) + a0Q(z) = u(z)
其中
G
= e
AT T A τ
H = ∫ e 0 C = C D = D
例2-12线性定常系统方程为
d τ B
0 & x = 0 0 y = [ 1
将其离散化。
1 0 0 0
0 0 1 x + 0 u 1 0 0 ]x
现代控制理论-第二章-控制系统的状态空间表达式的解

现代控制理论-第二章-控制系统的状态空间表达式的解


t
t2
2、状态转移矩阵的基本性质
(1) Φ(0) I (2) Φ (t) AΦ(t) Φ(t)A Φ (0) A (3) Φ(t1 t2 ) Φ(t1)Φ(t2 ) Φ(t2 )Φ(t1) (4) Φ1(t) Φ(t), Φ1(t) Φ(t) 证明： I Φ(0) Φ(t t) Φ(t)Φ(t) Φ(t)Φ(t) 推论： x(t) Φ(t)x(0) x(0) Φ1(t)x(t) Φ(t)x(t)
3、几个特殊的矩阵指数函数
（1）设A diag[，1,即2 ,A为, 对n ]角阵且具有互异元素时，有
e1t
0
(t)
e2t



0
e
nt

（2）若A能通过非奇异变换为对角阵时，即 P-1AP Λ
Φ(t) PΦ(t)P1
e1t
x1

x2


0 0
1 x1
0

x2

x(t) eAtx(0) I At 1 A2t 2 1 Akt k x(0)

2!
k!

A2

0 0
10 00
1 0 0 0
0 0
A3

直接求解法：根据定义 标准型法求解：对角线标准型和约当标准型 拉氏反变换法
1）根据状态转移矩阵的定义求解：
eAt I At 1 A2t 2 1 Akt k
2!
k!
对所有有限的t值来说，这个无穷级数都是收敛的 。
求出的解不是解析形式，适合于计算机求解。
例：求解系统状态方程的解 解：
《现代控制理论》课程教学大纲

《现代控制理论》课程教学大纲

《现代控制理论》课程教学大纲课程名称：现代控制理论课程类别：任意选修课适用专业：电子信息工程考核方式：考查总学时、学分：24学时1.5学分一、课程性质、教学目标《现代控制理论》是在“古典控制理论”的基础上，基于“线性代数”理论发展起来的一种自动控制系统性能分析与设计的新方法。

它由“古典控制理论”中的对单输入单输出系统的描述过渡到对多输入多输出系统的描述、由“古典控制理论”中对系统的外部性能分析过渡到内部性能分析、由“古典控制理论”中便于手工求解的数学模型过渡到便于计算机求解的数学模型。

为学生后续深造的课程《线性系统理论及应用》、《智能控制系统及应用》的学习打下必要的理论知识和实践基础。

其具体的课程教学目标为：课程教学目标1：掌握控制系统数学模型含义，系统数学模型的类型及相互关系，并能够建立常用线性系统的数学模型。

课程教学目标2：掌握线性控制系统状态方程的求解方法。

课程教学目标3：掌握控制系统的能控性和能观测性判据，并利用判据判断系统的能控性和能观测性。

通过本课程的学习,使学生掌握有关运用状态空间分析法定量和定性分析及综合控制系统的基本理论、基本方法,为学习后续课程打下基础。

三、先修课程高等数学、大学物理、电路分析、模拟电路、数字电路、高频电路、信号与系统、线性代数、自动控制原理。

四、课程教学重、难点教学重点：控制系统数学模型的建立，线性控制系统的运动能控性与能观测性和稳定性分析，线性定常系统的综合；教学难点：线性定常系统的综合。

五、课程教学方法与教学手段教学方法：讲授式教学方法、讨论式教学方法、导学式教学方法；教学手段：多媒体辅助教学。

六、课程教学内容绪论（1学时）1．教学内容(1) 自动控制与控制理论；(2) 控制理论发展简况；(3) 现代控制理论的基本内容；(4) 本课程的基本任务。

2．重、难点提示(1) 重点是控制理论的基本内容、本课程的基本任务；(2) 难点是控制理论的基本内容。

第一章控制系统的数学模型（5学时）1．教学内容(1) 状态空间表达式；(2) 由微分方程求状态空间表达式；(3) 传递函数矩阵；(4) 离散系统的数学描述；(5) 线性变换；(6) 组合系统的数学描述；(7) 利用MATLAB进行模型的转换。

《现代控制理论基础》ch2第二章线性控制系统的运动分析.ppt


式(3)左右两边t的同次幂的系数两两相等得：bk
1 k!
Akb0
（4）
将式(4)代入式(1)，即可得到通解为：
x(t)
(I
At
1 2!
A2t 2
1 k!
Akt k
)x0
e At
x0
（5）
2021/3/12
5
二、拉氏变换求解：
齐次状态方程：x Ax 初始状态为：x(t) |t0 x(0)
两边取拉氏变换得：sX (s) x(0) AX (s)
11
9、当A是约当矩阵时：
A1
0
A
A2
0
An
其中 Ai 是约当块
e A1t
0
则有：e At
e A2t
0
e
Ant
1 0 0 0
[例如]： A 0 2 1 0
0 0 2 1 0 0 0 2
2021/3/12
其中 e Ait 是对应约当
块 Ai 的矩阵指数函数。
12
二、矩阵指数函数的计算：
A 有二种标准形式： 对角线矩阵、约当矩阵
2021/3/12
14
（1）当A的特征值 1, 2,, n 为两两相异时：对角线标准型
2021/3/12
3
[线性定常齐次状态方程的求解方法]：直接求解，拉氏变化求解
一、直接求解：
1、标量齐次微分方程： x ax
满足初始状态 x(t) |t0 x(0) 的解是：x(t) eat x(0)
2、齐次状态方程 x(t) Ax(t) 满足初始状态x(t) |t0 x(0)的解是：x(t) e At x(0) , t 0
设齐次状态方程的解为 x(t) b0 b1t b2t 2 bktk （1）

《现代控制理论》课程教学大纲

《现代控制理论》课程教学大纲学分：3 理论学时：48适合专业：机械制造及自动化课程性质：学位课大纲执笔人：大纲审定人：课程编号：M041001一、说明1.课程的性质、地位和任务《现代控制理论》是机械制造及自动化专业研究生的学位课。

通过本课程的教学，应当使学生了解现代控制理论的体系结构，掌握线性控制系统的状态空间描述、时域分析与离散化等方法，掌握利用状态空间模型分析系统和校正系统及实现最优控制的方法。

2.课程教学基本要求先修课程：《高等数学》、《矩阵理论》、《普通物理》、《电路原理》、《电子技术》、《电机原理及拖动基础》、《自动控制原理》等。

本课程教学应力求使学生掌握现代控制理论的基本概念、系统分析与设计方法，重在提高学生提出问题、分析问题、解决问题的能力和创新意识。

讲授时应及时补充本学科的最新发展成果，使学生了解本学科的重要进展及发展动向。

本课程的教学包括课堂讲授、课外作业和仿真实验等，重点培养学生应用现代控制理论分析和设计控制系统的实际能力。

3.课程教学改革为解决授课学时少授课内容多的矛盾，在有限的教学时间里较好地完成授课任务，授课时应借助多媒体尽量做到突出重点、精讲多练，必要时组织学生进行课堂讨论，调动学生的学习主动性；适当设置一些MATLAB实践课时，提高学生的学习兴趣和拓宽知识面。

二、教学内容绪论（2学时）(1)控制理论的发展(2) 现代控制理论的基本内容学习要求：明确本课程的内容、性质和任务以及学习本课程的意义，了解控制理论的发展概况及现代控制理论的主要特点、内容和研究方法。

第一章控制系统的状态空间数学模型（9学时）(1)状态变量、状态空间表达式(2)系统的一般时域描述化为状态空间描述(3)系统的频域描述化为状态空间描述(4)根据状态变量图列写线性系统的状态空间描述(5)根据系统方框图导出状态空间描述(6)将状态方程化为规范形式学习要求：正确理解线性系统的状态空间数学描述的基本概念，熟练掌握状态空间的表达式，线性变换，线性定常系统状态方程的建立方法。

线性控制系统的运动分析-PPT文档资料58页文档

线性控制系统的运动分析-PPT文档资 料
36、如果我们国家的法律中只有某种 神灵， 而不是 殚精竭 虑将神 灵揉进 宪法， 总体上 来说， 法律就 会更好 。—— 马克·吐 温 37、纲纪废弃之日，便是暴政兴起之 时。—的支持，法律 是丝毫 没有力 量的。 ——菲 力普斯 39、一个判例造出另一个判例，它们 迅速累 聚，进 而变成 法律。 ——朱 尼厄斯
40、人类法律，事物有规律，这是不 容忽视 的。— —爱献 生
31、只有永远躺在泥坑里的人，才不会再掉进坑里。——黑格尔 32、希望的灯一旦熄灭，生活刹那间变成了一片黑暗。——普列姆昌德 33、希望是人生的乳母。——科策布 34、形成天才的决定因素应该是勤奋。——郭沫若 35、学到很多东西的诀窍，就是一下子不要学很多。——洛克

江苏大学线性系统理论(现代控制理论)考试必备--第2章


t0 , t 上为时间
为存在且ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ一。 x (t )
第2章 线性系统的运动分析
江苏大学电气学院
从数学的观点上看，上述条件可能显得过强而可减弱 为如下3个条件： （1）系统矩阵A(t)的各个元 aij (t )在时间区间 t0 , t 上为 绝对可积，即有：
t aij (t ) dt , i, j 1, 2,, n
性质9 e 的相似变换 如果矩阵A的特征值互不相同，并且存在非奇异变换 矩阵P，使得 A PAP 1，由 e At定义可得到：
At
e At Pe At P 1
第2章 线性系统的运动分析
At e 三. 几种典型的矩阵指数函数
江苏大学电气学院
由于矩阵指数函数 e At在计算线性系统的响应起着十分
第2章 线性系统的运动分析
江苏大学电气学院
二. 状态方程解的存在性和惟一性条件
当所选的状态变量不同时，所得状态方程不同，故状 态方程不是唯一的。对任意的初始状态，只有当线性系统 的状态方程的解存在且唯一时，对系统的分析才有意义。 从数学上看，这就要求状态方程中的系数矩阵和输入作用 满足一定的假设，它们是保证状态方程的解存在且唯一所
上式表明，条件（2）和（3）还可进一步合并为要求
B(t)u(t)的各元在时间区间上绝对可积。 对于连续时间线性定常系统，系数矩阵A和B为常数矩 阵且各元为有限值，条件（1）和（2）自然满足，存在惟
一性条件只归结为条件（3）。 在本章随后各节的讨论中，总是假定系统满足上述存 在性和惟一性的条件，并在这一前提下分析系统状态运动 的演化规律。
At e 性质7 积的关系式
d At e Ae At eAt A dt
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i个
i个
[用途]：此性质经常用于计算 e At
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7、如果A是n×n阶对角阵，则 e At 也是n×n阶对角阵：
1
0
如果：
A
diag[1, 2,
, n]
2
0
n
e 1t
0
则有：e At diag[e1t , e2t , , ent ]
e 2t
0
e
nt
[证明]：根据定义证
(P
1
AP)
Ai
i个
i个
推导时可看到： a0 (t) a1(t)i an1(t)in1 eit
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A特征值互异，为: 1, 2, ..., n
eAt n1 (t) An1 n2 (t) An2 ... 1(t) A 0 (t)I
e1t
e At
e2t O
et
2e
2t
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4）用第四种方法－待定系数法求解.
满足初始状态x(t ) |tt0 x(t0 ) 的解是：x(t) eA(tt0 ) x(t0 ) , t t0
其中：e At I
Attk
2!
k!
k0 k!
e At定义为矩阵指数函数，和A一样也是n×n阶方阵
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求解过程：仿标量方程求解 x ax －－标量齐次状态方程
▪ 直接求解法：根据定义 ▪ 拉氏变换求解： ▪ 标准型法求解：对角线标准型和约当标准型－非奇异变换 ▪ 待定系数法： 凯莱－哈密顿（简称C-H）定理
1、根据矩阵指数函数的定义求解：
e At
I At
A2 2!
t2
Ak k!
tk
Ak k!
tk
k0
对所有有限的t值来说，这个无穷级数都是收敛的
求出的解不是解析形式，适合于计算机求解。
u0
x
( A, B)
齐次状态方程的解： x Ax , x(t) |t0 x(0)
2、强迫运动：线性定常系统在控制u作用下的运动，称为强迫
运动。
u
x
( A, B)
非齐次状态方程的解：x Ax Bu, x(t) |tt0 x(t0 )
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第一节 线性定常齐次状态 方程的解
e n t
1k
Ak
2k
O
nk
1 1
1 2
12 22
1 n 2n
n1 1
0 (t )
e1t
n1 2
1 (t )
e2t
n1 n
n 1 (t )
ent
由上式可计算 n1(t), n2 (t), ... 1(t), 0 (t)
2）A的特征值为1 (n重根）
2 1 1 s1 s2
2 2 s1 s2
2et e2t
et e2t
2et 2e2t
et
2e 2 t
1 1
s1 s2
1 s1
2 s2
3）用第三种方法－标准型法求解：
先求特征值：
|
I
A
|
2
1
3
2
3
2
(
1)(
2)
0
得： 1 1, 2 2 ，具有互异特征根，用对角线标准 型法。且A为友矩阵形式。
说明：在证明有关矩阵方程的定理或解决有关矩阵方程 的问题时，凯莱-哈密尔顿定理是非常有用的。
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由定理知：A所有高于(n-1)次幂都可由A的0～(n-1)次幂线性表出。
n1
即： Am mj A j j0
将此式代入 e At 的定义中：
eAt
t m Am m0 m!
2） 求对应于 i的特征向量 vi ，并得到P阵及P的逆阵。
3） 代入上式即可得到矩阵指数函数的值。
即：A det( I A) 0 i (i I A)vi 0 vi P
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（2）当A具有n重特征根 i：约当标准型 约当矩阵A的矩阵指数函数
eit teit
e At
两边取拉氏变换得：sX (s) x(0) AX (s)
整理得：X (s) (sI A)1 x(0) 拉氏反变换得： x(t) L1[( sI A)1]x(0) －－－（6） 与直接求解的结果(5)比较，由解的唯一性得：e At L1[( sI A)1]
[本节小结]：
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[证明]： e At e A e A(t )，令 t，有e At e At e A0 I (e At )1 e At
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4、对于n×n阶方阵A和B：
如果A和B可交换，即A×B= B×A，则 e( AB)t e Ate Bt 如果A和B不可交换，即A×B B×A，则 e( AB)t e Ate Bt
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[线性定常齐次状态方程的求解方法]：直接求解，拉氏变化求解
一、直接求解：
1、标量齐次微分方程： x ax
满足初始状态 x(t) |t0 x(0) 的解是：x(t) eat x(0)
2、齐次状态方程 x&(t) Ax(t) 满足初始状态x(t) |t0 x(0)的解是：x(t) e At x(0) , t 0
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4、待定系数法：将 e At 化为A的有限项多项式来求解： （1）凯莱－哈密顿（以下简称C-H）定理：
设n×n维矩阵A的特征方程为：
f ( ) | I
A |
n
a n1 n1
a1
a0
0
则矩阵A满足其自身的特征方程，即： f ( A) An an1 An1 a1 A a0 I 0
注意求逆
a0 (t)
a1 ( t )
an2 (t )
an1(t )
0 0 0 0 1
0 0 0 1
1
21 12
0 1
1
(n 1)1
1
1 ( n1)!
1 ( n 2 )!
t t
e n1 1t e n2 1t
( n1)(n2) n3
2!
1
n1 n2
1! 1
n1 n
e
nt
推导：利用了A可化为对角阵的矩阵指数函数求法。
e At P1e At P P1(a0 (t)I a1(t) A an1(t) An1)P a0 (t)I a1(t) A an1(t) A n1
注意：
P1Ai P
P 1 AAAP
(P1 AP)(P1A P)
则式(3)针对 1 求导n-1次，补充缺少的n-1个方程。联立求出系数。
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[例]：求以下矩阵A的矩阵指数函数 e Ait
A
0 2
1 3
[解]： 1）用第一种方法－定义求解：(略）
2）用第二种方法－拉氏变换法求解： L(eat ) 1
e At L1 (sI A)1
sa
5、对
e At
有： d (e At ) Ae At e At A
dt
由定义证明
6、如果P是非奇异阵，即 P 1 存在，则必有：
e P1APt P 1e At P 和 e At Pe P P1APt 1
[证明]：根据定义证
[注意]： (P1 AP)(P1AP) (P1 AP ) P 1 AAAP P 1 Ai P
j0
其中：a0(t), a1(t), , an1(t)为t的标量函数，可按A的特征值确定。
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1）A的特征值1, 2 , , n 两两相异时， 注意求逆
a0 (t) a1 (t )
1 1
1 2
12 22
an 1 (t )
1 n
2n
n1 1
n1 2
1
e1t e2t
1 1!
te 1t
n1 1
e 1t
推导：此时只有一个方程：
a0(t) a1(t)1 an1(t)1n1 e1t (3)
缺少n-1个独立方程，对上式求导n-1次(按特征值)，
得到其余n-1个方程
说明：不管特征值互异、还是具有重根，只需要记住式(3)。
特征值互异时，对于每个特征值，直接得到方程(3)；特征值为n重根时，
Qe Q At 1
Q
0
0
0
(
n
1
1)
t n1e !
i
t
Q
1
te i t
e it
其中： Q为使A化为约当标准型的非奇异变换矩阵。
约当标准型法求矩阵指数函数的步骤：
此时的步骤和对角线标准型情况相同：求特征值、特征向量和 变换阵Q。
说明：对于所有重特征值i ，构造约当块，并和非重特征值一 起构成约当矩阵。根据矩阵指数函数的性质8和9，求得e At 。
tm m0 m!
n1
mj A j
j0
n1 j0
A
j
m0
tm m!
mj
并令
j
(t)
m0
tm m!
mj
即可得到如下的结论：
（2）将 e At化为A的有限项多项式来求解
根据C-H定理，可将eAt 化为A的有限项表达式，即封闭形式：
n1
e At aj (t) A j a0 (t)I a1(t) A an1(t) An1
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e At
PeAt P1
e1t P
0
0 e2t
P
1
1 1 1 1