偏序关系

9.6偏序关系9.6偏序关系(Partial Order)偏序(Partial Order)定义:偏序(Partial order)：定义在A上的集合R是偏序关系iff(当且仅当)其具有以下性质:1. ⾃反性(reflexive)2. 反对称性(antisymmetric)3. 传递性(transtive)NOTE: R记作≼，注意这⾥的≼不必是指⼀般意义上的“⼩于或等于”,若有x≼y，我们也说x排在y前⾯（x precedes y).偏序集(Partially ordered set)/(或简写为poset): 集合A及定义在其上的偏序关系R⼀起称为偏序集，记作(A, R)，A中的元素也称为偏序集中的元素.线序/全序(Linear Order)如果(A, ≤)是⼀个偏序集(poset)，那么对于其中的元素a和b,1. a≤b 或者 b≤a,那么称为可⽐的(Comparable)2. 即不存在a≤b，也不存在b≤a,那么称为不可⽐的(Imcomparable)如果偏序集A中每对元素(every pair of elements)都是可⽐的，那么我们就称A是线序集合(linearly ordered set)或全序集合(totally ordered set),称偏序关系R为线序或全序关系(linear order). 我们也称A为链(chain).良序集(Well-ordered set)定义:设集合(S,≤)为⼀全序集，≤是其全序关系，若对任意的S的⾮空⼦集，在其序下都有最⼩元素，则称≤为良序关系，(S,≤)为良序集。

拟序(Quasiorder)定义:定义在A上的关系R是拟序关系iff其具有以下关系1. 反⾃反性(irreflexive)2. 传递性(transitive)NOTE:满⾜反对称性的拟序关系就称为偏序关系乘积偏序(Product Partial Order)如果(A, ≤)和(B, ≤)都是偏序集，那么他们的笛卡尔积也是个偏序集，其偏序关系≤被定义为:如果在A中有a ≤ a'，在B中有b ≤ b'，那么(a, b) ≤ (a', b')词典顺序(Lexicographic Order)对于⼀个乘积偏序，(a, b) ＜ (a', b')在a ＜ a'(或a == a'并且b ＜ b')时成⽴那么我们称其为词典顺序(Lexicographic Order)或字典序(“dictionary” order)哈斯图(Hasse Diagram)哈斯图是有限集A上的偏序图，并且:删除了所有的⾃环(self-cycles)消除了由传递性⽣成的边⾃底向上的制图设(S, ≤)是⼀个poset. 若x＜y且不存在元素z∈S，使得x＜z＜y，则称y∈S覆盖x∈S.⽽y覆盖x的有序对(x, y)的集合也称为(S, ≤)的覆盖关系.可以看出，(S, ≤)的哈斯图的边与其覆盖关系是⼀⼀对应的.同构(Isomorphism)对应原理(Principle of Correspondence)两个有限同构偏序集必定具有相同的Hasse图.拓扑排序(Topological Sorting)极⼤元(maximal element)和极⼩元(minimal element)定义:偏序集中的⼀个元素称为极⼤(⼩)元，当它不⼩(⼤)于这个偏序集中的任何其他元素, 利⽤哈斯图很容易判别它们就是图中的"顶"("底")元素极⼤(⼩)元⼀定存在，且可能是不唯⼀的最⼤元(greatest element)和最⼩元(least element)定义:如果在偏序集中存在⼀个元素⼤(⼩)于任何其他的元素，那么称这样的元素为最⼤(⼩)元最⼤(⼩)元可能不存在，若存在则唯⼀最⼩上界(least upper bound)和最⼤上界(greatest lower bound)定义:如果存在⼀个元素u(l)∈S，使得对于偏序集(S, ≤)的⼦集A中的所有元素a，有a≼u(l≼a)，那么称u(l)为A的⼀个上(下)界，如果u(l)是所有上(下)界中最⼩(⼤)的，就叫最⼩上界(LUB)(最⼤下界(GLB))上界的最⼩元就叫最⼩上界；下界的最⼤元叫最⼤下界(Topological Sorting)定义:对⼀个有向⽆环图DAG(Directed Acyclic Graph)G进⾏拓扑排序，是将G中所有顶点排成⼀个线性序列，使得图中任意⼀对顶点u 和v，若边<u,v>∈E(G)，则u在线性序列中出现在v之前。

离散数学偏序关系第9讲定义9.1设R为非空集合A上的关系, 如果R是自反的、反对称的和传递的, 则称R为A上的偏序关系。

简称偏序, 记作≼。

设≼为偏序关系。

如果<x,y > ∈ ≼, 则记作x≼y, 读作“x小于等于y”。

意即：依据这个序，x排在y的前面或x就是y。

定义9.2设R是非空集合A上的偏序关系，定义(1) ∀x,y∈ A, x与y可比⇔x ≼y ∨ y ≼x。

(2)∀x,y∈ A, x ≺y ⇔x ≼y ∧ x≠y。

其中x≺y读作“x小于y”。

由上面定义可知，在具有偏序关系≼的集合A中任取两个元素x和y，可能有下述几种情况发生：x与y不可比；x≺y；y≺x；x=y。

定义9.3集合A和A上的偏序关系≼一起叫做偏序集，记作<A, ≼>。

利用偏序关系的自反性，反对称性和传递性可以简化一个偏序关系的关系图，得到偏序集的哈斯图。

我们需要下面覆盖的定义。

定义9.4设<A, ≼> 是偏序集， x,y∈ A ，如果x≺y且不存在z ∈ A使得x≺z≺y ，则称y覆盖x。

例子例9.1<A,≼>是偏序集,其中A＝{1,2,3,4,5}, ≼是整除关系。

解: 对任意x∈A都有1≼x,所以1和1,2,3,4,5都是可比的,但是2不能整除3,3也不能整除2,所以2和3是不可比的。

对于1和2来说,1≺2,并且不存在z∈A使得1整除z并且z整除2,所以,2覆盖1。

同样,4覆盖2,但4不覆盖1,因为有1≺2≺4成立。

如果x与y不可比,则一定不会有x覆盖y或y覆盖x。

哈斯图——关系图的简化哈斯图的画法1在关系图中去掉所有的自环。

2若y覆盖x，则保留从x到y的边，其它的边全去掉。

3若y覆盖x，将x放在下方，y放在上方，去掉边上的方向。

这一点是能做到的，因为偏序关系的关系图中无有向圈。

例子画出<{1,2,…,12},R 整除>和<P({a,b,c}), R >的哈斯图.例9.2179361211510248<{1,2,…,12},R 整除>{a}{b}{c}{b,c}{a,c}{a,b,c}{a,b}∅<P({a,b,c}), R >⊆⊆基本概念定义9.5设<A,≼>为偏序集,B ⊆A .①y∈B, y是B 的最小元: 若∀x(x∈B→y ≼x)成立。

4.6偏序关系偏序关系：同时具有自反、反对称和传递性4.6 偏序关系定义4.21设R为非空集合A上的一个二元关系，如果R是自反的、反对称的和传递的，则称R为A上的偏序关系，记作≤。

设≤是偏序关系，若<x, y>∈≤，则记作x≤y，读作x“小于或等于”y。

集合A与A上的偏序关系≤一起组成的有序对<A, ≤>叫做偏序集。

如以下关系都是偏序关系：（1）非空集合A上的恒等关系I A。

（2）实数集R上的“≤”、“≥”关系。

4.6 偏序关系定义4.22设<A, ≤>为偏序集，定义（1）∀x, y∈A，x < y ⇔x ≤ y ∧x≠y，x<y读作x“小于”y，这里所说的“小于”是指在偏序中x排在y的前边。

（2）∀x, y∈A，x与y可比⇔x ≤y ∨y ≤x例如，<A, ≤>是偏序集，其中A＝{1, 2, 3, 4, 5}，是A上的整除关系，则有（1）1<2<4，1<3等。

（2）1=1，2=2，3=3等。

（3）2与3是不可比的。

4.6 偏序关系Sed ut perspiciatis unde omnis.68%设<A, ≤>为偏序集，若∀x, y ∈A ，x 与y 都是可比的，则称≤为A 上的全序关系（或线序关系）。

且称<A, ≤ >为全序集。

例如，集合A = {1, 2, 3, 4, 5}上的（1）“小于等于”关系是全序关系，因为任何两个数总是可比大小的。

（2）“整除关系”不是全序关系，因为2与3是不可比的。

定义4.234.6 偏序关系定义4.24设<A, ≤ >为偏序集，对于任意的x, y∈A，如果x < y并且不存在z∈A使得x<z<y，则称y盖住x。

作为集合A上的一个二元关系，盖住关系COV A可表示为：COV A={<x, y> | x, y∈A∧y盖住x}根据定义4.24，∀<x, y>，<x, y>∈COV A⇔y盖住x⇒x ≤ y⇔<x, y>∈ ≤所以COV A ⊆≤。

●定义：集合S上的关系R，如果它是自反的，反对称的和传递的，就称为偏序。

集合S与偏序R一起叫做偏序集，记做(S, R)●例子：●1、整数集合上的“大于或等于”关系●2、正整数集合上的整除关系●3、集合S的幂集合上的包含关系●符号：●通常用≼表示偏序关系,读作“小于等于”●<x,y>∈R ⇔ xRy ⇔ x≼y●使用这个记号是由于“小于或等于”关系是偏序关系的范例。

●“严格小于”: x≺y ⇔ x≼y ∧x≠y●当a与b是偏序关系（S, ≤）的元素时，不一定有a ≤b或b ≤a。

●定义2：偏序集（S, ≤）的元素a和b叫做可比的，如果a ≤b或b ≤a。

当a和b是S的元素且没有a ≤b，也没有b ≤a，则称a和b是不可比的。

●极大元素：偏序集的一个元素，它不小于这个偏序集的任何其他元素●极小元素：偏序集的一个元素，它不大于这个偏序集的任何其他元素●最大元素：偏序集的一个元素，它大于这个偏序集的所有其他元素●最小元素：偏序集的一个元素，它小于这个偏序集的所有其他元素设<S,≼>为偏序集, A⊆S, u,l∈A●上界(upper bound):u是A的上界⇔∀x( x∈A → x≼u )●下界(lower bound):l是A的下界⇔∀x( x∈A → l≼x )●例：<S,|>, S={1,2,3,4,5,6,9,10,15}●A1={1,2,3}, A2={3,5,15}, A3=S.●A1的上界是{6}, A1的下界是{1}●A2的上界是{15}, A2的下界是{1}●A3的上界集合的最小上界：集合的一个上界，它小于所有其他的上界●集合的最大下界：集合的一个下界，它大于所有其他的下界是{}, A3的下界I A R R∩I A=R=R R∩R-1 I A R R R最小元与极小元是不一样的。

最小元是B中最小的元素，它与B中其它元素都可比；而极小元不一定与B中元素可比，只要没有比它小的元素，它就是极小元。

fldr是一个在离散数学中常见的概念，通常指的是一个偏序关系（Partial Order Relation）。

在离散数学中，偏序关系是一种特殊的关系，它满足部分有序性（即关系中的任意两个元素至少有一个是另一个的子集）。

fldr的应用范围非常广泛，可以用于描述许多现实世界中的概念和结构。

首先，让我们了解一下偏序关系的基本概念。

在偏序关系中，元素之间存在一种层次关系，即一个元素可以位于另一个元素的上方或下方。

这种关系通常用箭头表示，其中上方元素用实线表示，下方元素用虚线表示。

偏序关系是一种弱化的有序关系，因为它只考虑了元素之间的相对位置，而没有考虑它们之间的完全有序性。

对于fldr这个概念，我们可以将其解释为一种特定的偏序关系，其中"d"元素可以被视为"f"元素的父元素或子元素，"r"元素则处于这两个元素之间。

因此，"fldr"表示的是一个由元素"f"、"d"和"r"组成的有序集合，其中"d"和"f"之间的元素都是"r"，且"r"既不是"f"的父元素也不是"d"的子元素。

fldr在离散数学中有许多应用。

首先，它可以用于描述一些现实世界中的概念和结构，例如家族、等级体系等。

在某些问题中，我们需要对这些结构进行排序或分类，这时fldr就非常有用。

例如，我们可以使用fldr来描述一个人从孩子到成年人的成长过程，或者描述一种物质的组成元素和化学成分的关系。

另外，fldr在证明逻辑推理、公理系统等逻辑结构中也发挥着重要作用。

例如，在某些公理系统中，我们需要对某些对象进行排序或分类，这时fldr就可以作为一种有效的工具来帮助我们进行推理和证明。

除此之外，fldr还可以用于解决一些组合优化问题。

偏序关系课程思政
偏序关系是一种特殊的关系，它在一定程度上代表了人们对某个
事物的偏好或者倾向。

在课程思政中，我们需要了解偏序关系的概念、特点和形成原因，同时也要深入思考它对我们日常生活、价值观和社
会环境的影响。

首先，偏序关系是针对一组元素而言的。

这些元素之间不一定要
满足相互比较的条件，只需要满足可以对它们进行排序的要求即可。

例如，我们可以对不同的音乐类型进行排序，将它们按照我们自己的
喜好排序，制定我们个人的音乐播放列表。

这样，我们就可以在众多
音乐风格中选择我们最喜欢的类型，并将它们放在前面。

其次，偏序关系的形成原因有很多。

有些是受到文化、教育、家
庭背景的影响，有些是因为个人倾向和经验的积累，甚至一些因素是
难以用语言来表达的。

因此，我们需要从多个维度去理解偏序关系，
通过观察和分析不仅可以更好地认识自我，还能帮助我们更好地了解
他人。

偏序关系对我们的影响非常深刻。

无论是在日常生活中还是在社
会环境中，我们无时无刻不在做出各种偏好或取向的选择。

这些选择
反映了我们的心理、情感和认知特点。

它们不仅会影响我们个人的生
活质量，还会对社会环境产生重要的影响。

最后，我们需要注意到，偏序关系也不是绝对的。

它们会随着时
间和经验的积累而发生变化，因此我们需要保持开放的心态，认真对
待每一个人和事物。

以这种方式来认知偏序关系，可以帮助我们更好地理解自己、他人和社会，也能够更好地应对我们生活和工作中的各种挑战。

偏序关系一、偏序关系和哈斯图1、定义3-12.1 若集合A上的二元关系R是自反的、反对称的和传递的，则称R是A的偏序关系，记作≼.设≼为偏序关系，如果<x,y>∈≼，则记作x≼y，读作“小于或等于”。

.序偶<A, ≼>称为偏序集合.（Partially Ordered Relations）注意：这里的“小于或等于”不是指数的大小，而是在偏序关系中的顺序性.x“小于或等于”y的含义是：依照这个序，x排在y的前边或者x就是y.根据不同偏序的定义，对序有着不同的解释.例如整除关系是偏序关系， 3 ≼ 6的含义是3整除6.大于或等于关系也是偏序关系，针对这个关系写5≼4是说大于或等于4,关系≼中5排在4的前边，也就是5比4大.注：和空关系都是A上的偏序关系， 1. 集合A上的恒等关系IA但全域关系E一般不是A上的偏序关系.A2. 实数域上的小于等于关系（大于等于关系），自然数域上的整除关系，集合的包含关系等都是偏序关系.定义设R为非空集合A上的偏序关系，定义(1) ∀x, y∈A, x ≺ y当且仅当 x ≼ y且x≠y;(2) ∀x, y∈A, x 与 y 可比当且仅当 x ≼ y 或 y ≼ x.注：在具有偏序关系的集合A中任二元素 x 和 y 之间必有下列四种情形之一：x ≺ y ，y ≺ x ，x=y ，x 与 y 不可比.例设A={1, 2, 3}(1) ≼是A上的整除关系，则：1 ≺ 2, 1 ≺ 3, 1＝1, 2＝2, 3＝3，2 和3 不可比；(2) ≼是 A 上的大于等于关系，则: 2 ≺ 1, 3 ≺ 1, 3 ≺ 2,1＝1, 2＝2，3＝3.2、定义3-12.2 在偏序集<A , ≼ >中，如果x,y∈A ， x ≼y，x ≠ y，且没有其他元素z满足x≼ z、z ≼y，则称元素y盖住元素 x.并且把所有具备盖住性质的续偶集合记作COV A，COV A={<x,y>| y盖住x }.例1A为正整数m＝12的因子的集合，并设≼为整除关系，求COV A.二、哈斯图（偏序集合图，Hasse Diagram）1、对于给定的偏序集<A，≼ > ，它的盖住关系是唯一的，所以可以用哈斯图表示偏序集合图.哈斯图作图规则：(1)用小圆圈代表元素.(2) 如果 X ≼ Y，且X ≠ Y，则将代表Y的小圆圈画在代表X的小圆圈之上.(3) 如果<X,Y> ∈COV A,则在X与Y之间用直线连接.2、哈斯图举例例2 画出偏序集A= {1,2,3,4,5,6,7,8,9}，≼为整除关系的哈斯图.例3 A={a,b,c}， 画出 <ρ(A), ⊆> 的哈斯图。

偏序关系的定义
偏序关系是指在一个集合中，存在一种关系，使得其中的某些元素可以被比较大小，而另一些元素则不能。

这种关系被称为偏序关系，也叫部分序关系。

偏序关系的性质
偏序关系具有以下性质：
1. 反自反性：对于任意元素a，a不与自己存在偏序关系。

2. 反对称性：如果a与b存在偏序关系，且b与a也存在偏序关系，则a=b。

3. 传递性：如果a与b存在偏序关系，b与c也存在偏序关系，则a与c也存在偏序关系。

4. 非对称性：如果a与b存在偏序关系，那么b与a不存在偏序关系。

偏序关系的应用
偏序关系在实际生活中有很多应用，例如：
1. 排序：偏序关系可以用来对一组数据进行排序，例如对学生成绩进行排名。

2. 选择：偏序关系可以用来进行选择，例如在购物时选择商品。

3. 比较：偏序关系可以用来比较两个事物的大小，例如比较两个人的身高。

4. 筛选：偏序关系可以用来筛选出符合条件的元素，例如筛选出符合要求的员工。

总结
偏序关系是一种重要的数学概念，在实际生活中有很多应用。

了解偏序关系的定义和性质，可以帮助我们更好地理解和应用它。