离散数学39偏序关系

离散数学中的偏序关系是一个核心概念，它描述了集合中元素之间的一种特定关系。

与等价关系和全序关系不同，偏序关系允许集合中的元素之间只有部分元素之间存在比较关系，而不是全部元素之间都有比较关系。

偏序关系是一种二元关系，通常表示为集合上的一个小于或等于的符号（≤）。

这种关系满足两个基本性质：自反性和传递性。

自反性意味着集合中的每一个元素都小于或等于自己；传递性则意味着如果元素a小于或等于元素b，元素b小于或等于元素c，那么可以推出元素a小于或等于元素c。

偏序关系的一个重要特点是它允许集合中存在不可比较的元素对。

也就是说，对于某些元素a和b，我们不能确定a小于b，也不能确定b小于a。

这种不可比较性使得偏序关系比全序关系更加灵活和实用。

偏序关系在实际应用中有广泛的应用。

例如，在计算机科学中，偏序关系可以用于描述程序的执行顺序、任务之间的依赖关系等。

在数据结构中，偏序关系可以用于定义优先队列、堆等数据结构，从而实现对元素的快速排序和检索。

此外，偏序关系还与数学中的其他概念密切相关，如格、有向无环图等。

通过偏序关系，我们可以对集合中的元素进行排序、分类和比较，从而更好地理解和分析问题的本质。

总之，离散数学中的偏序关系是一种重要的二元关系，它描述了集合中元素之间的部分比较关系。

偏序关系具有自反性、传递性和不可比较性等特点，广泛应用于计算机科学、数据结构、数学等领域。

通过偏序关系的研究和应用，我们可以更好地理解和解决实际问题。

离散数学中的关系
离散数学中的关系指的是集合之间元素的联系或对应关系。

这种关系可以描述为有序对的集合，其中每个有序对都由一对元素组成。

在离散数学中常见的关系包括等价关系、偏序关系、全序关系等。

等价关系是一种自反、对称和传递的关系，即元素之间具有相等的性质。

例如，集合中两个元素的相等关系就是一种等价关系。

偏序关系是一种自反、反对称和传递的关系，即对元素之间存在一种偏序或排序关系。

例如，在集合中，可以通过元素之间的比较来确定它们的顺序关系。

全序关系是一种偏序关系，它不仅是自反、反对称和传递的，还具有完备性，即对于集合中任意两个元素，它们之间必定存在一种顺序关系。

离散数学中还有其他类型的关系，如函数关系、包含关系等。

函数关系是一种特殊的关系，它对于集合中的每个元素，都存在唯一的映射元素。

包含关系则描述了两个集合之间的包含或包含于关系。

通过对这些关系的研究和分析，可以帮助理解和解决离散数学中的问题。

同时，关系的性质和特征也为其他学科如计算机科学、逻辑学等提供了基础。

题目：输入n，求1~n 中的满足整除关系的因子。

再根据盖住关系的原理求盖住关系。

最后判断是否为有补格。

任意输入一个整数作为n 值。

程序代码#include <iostream>#include <cstring>#include <cstdio>#include <string>using namespace std;int count = 0; //从0 开始计数int n; //正整数int factors[100]; //存因子int matrixs[100][100] = {0}; //初始化为0//计算正整数n 的因子void factor(){cout << "The factors of " << n << " are: " << endl;for(int i = 1; i <= n/2; ++i){ //到n/2 结束就行if(n % i == 0){factors[count++] = i;cout << i << ",";}}factors[count] = n; //n 自己也是因子cout << n << endl;}//盖住关系void cover(){//关系矩阵初始化for(int i = 0; i <= count; ++i){for(int j = 0; j <= count; ++j){if(factors[j] % factors[i] == 0){ //如果满足整除关系，就设为1matrixs[i][j] = 1;}}}//开始判断for(int i = 0; i <= count; ++i){for(int j = 0; j <= count; ++j){for(int k = 0; k <= count; ++k){matrixs[k][k] = 0; //先去掉自反性if(matrixs[i][j] && matrixs[j][k]){matrixs[i][k] = 0; //再去掉传递性}}}}cout << "The cover is: {";for(int i = 0; i <= count; ++i){for(int j = 0; j <= count; ++j){if(matrixs[i][j]){ //除去前面去掉的，其他就满足盖住关系了cout << " <" << factors[i] << "," << factors[j] << ">";}}}cout << " }" << endl;}//求最大公约数int gcd(int x, int y){int m;//辗转相除法while(m != 0){m = x % y;x = y;y = m;}return x;}//判断有补格void complemented_lattice(){bool flag;int Gcd, Lcm;for(int i = 1; i < count; i++){flag = false;for(int j = 1; j < count; j++){if(i == j)continue;Gcd = gcd(factors[i], factors[j]); //最大公约数，即最大下界Lcm = factors[i] / Gcd * factors[j]; //最小公倍数，即最小上界if(Gcd == factors[0] && Lcm == factors[count]) //最大下界为1，最小上界为n{flag = true;break;}if(!flag){cout << "This is not complemented lattice!" << endl;return;}}}cout << "This is complemented lattice!" << endl;return;}int main(){cout << "Please input a positive integer: ";cin >> n;cout << endl;factor();cout << endl;cover();cout << endl;complemented_lattice();cout << endl;return 0;}实验结果测试数据一n：25因子为：1，5，25。

偏序关系一、偏序关系和哈斯图1、定义3-12.1 若集合A上的二元关系R是自反的、反对称的和传递的，则称R是A的偏序关系，记作≼.设≼为偏序关系，如果<x,y>∈≼，则记作x≼y，读作“小于或等于”。

.序偶<A, ≼>称为偏序集合.（Partially Ordered Relations）注意：这里的“小于或等于”不是指数的大小，而是在偏序关系中的顺序性.x“小于或等于”y的含义是：依照这个序，x排在y的前边或者x就是y.根据不同偏序的定义，对序有着不同的解释.例如整除关系是偏序关系， 3 ≼ 6的含义是3整除6.大于或等于关系也是偏序关系，针对这个关系写5≼4是说大于或等于4,关系≼中5排在4的前边，也就是5比4大.注：和空关系都是A上的偏序关系， 1. 集合A上的恒等关系IA但全域关系E一般不是A上的偏序关系.A2. 实数域上的小于等于关系（大于等于关系），自然数域上的整除关系，集合的包含关系等都是偏序关系.定义设R为非空集合A上的偏序关系，定义(1) ∀x, y∈A, x ≺ y当且仅当 x ≼ y且x≠y;(2) ∀x, y∈A, x 与 y 可比当且仅当 x ≼ y 或 y ≼ x.注：在具有偏序关系的集合A中任二元素 x 和 y 之间必有下列四种情形之一：x ≺ y ，y ≺ x ，x=y ，x 与 y 不可比.例设A={1, 2, 3}(1) ≼是A上的整除关系，则：1 ≺ 2, 1 ≺ 3, 1＝1, 2＝2, 3＝3，2 和3 不可比；(2) ≼是 A 上的大于等于关系，则: 2 ≺ 1, 3 ≺ 1, 3 ≺ 2,1＝1, 2＝2，3＝3.2、定义3-12.2 在偏序集<A , ≼ >中，如果x,y∈A ， x ≼y，x ≠ y，且没有其他元素z满足x≼ z、z ≼y，则称元素y盖住元素 x.并且把所有具备盖住性质的续偶集合记作COV A，COV A={<x,y>| y盖住x }.例1A为正整数m＝12的因子的集合，并设≼为整除关系，求COV A.二、哈斯图（偏序集合图，Hasse Diagram）1、对于给定的偏序集<A，≼ > ，它的盖住关系是唯一的，所以可以用哈斯图表示偏序集合图.哈斯图作图规则：(1)用小圆圈代表元素.(2) 如果 X ≼ Y，且X ≠ Y，则将代表Y的小圆圈画在代表X的小圆圈之上.(3) 如果<X,Y> ∈COV A,则在X与Y之间用直线连接.2、哈斯图举例例2 画出偏序集A= {1,2,3,4,5,6,7,8,9}，≼为整除关系的哈斯图.例3 A={a,b,c}， 画出 <ρ(A), ⊆> 的哈斯图。

偏序关系的定义
偏序关系是指在一个集合中，存在一种关系，使得其中的某些元素可以被比较大小，而另一些元素则不能。

这种关系被称为偏序关系，也叫部分序关系。

偏序关系的性质
偏序关系具有以下性质：
1. 反自反性：对于任意元素a，a不与自己存在偏序关系。

2. 反对称性：如果a与b存在偏序关系，且b与a也存在偏序关系，则a=b。

3. 传递性：如果a与b存在偏序关系，b与c也存在偏序关系，则a与c也存在偏序关系。

4. 非对称性：如果a与b存在偏序关系，那么b与a不存在偏序关系。

偏序关系的应用
偏序关系在实际生活中有很多应用，例如：
1. 排序：偏序关系可以用来对一组数据进行排序，例如对学生成绩进行排名。

2. 选择：偏序关系可以用来进行选择，例如在购物时选择商品。

3. 比较：偏序关系可以用来比较两个事物的大小，例如比较两个人的身高。

4. 筛选：偏序关系可以用来筛选出符合条件的元素，例如筛选出符合要求的员工。

总结
偏序关系是一种重要的数学概念，在实际生活中有很多应用。

了解偏序关系的定义和性质，可以帮助我们更好地理解和应用它。