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初三数学圆周角和圆心角的关系试题1.已知,如图,∠BAC的对角∠BAD=100°,则∠BOC=_______度.【答案】160°【解析】由∠BAD=100°可得∠BAC的度数，再根据圆周角定理即可求得结果.∵∠BAD=100°∴∠BAC=80°∴∠BOC=160°.【考点】邻补角定理，圆周角定理点评：本题是圆周角定理的基础应用题，在中考中比较常见，一般以选择题、填空题形式出现，属于基础题，难度不大.2.如图,AB是⊙O的直径, ,∠A=25°,则∠BOD的度数为________.【答案】50°【解析】圆周角定理：同弧或等弧所对的圆周角相等，均等于所对圆心角的一半.∵,∠A=25°∴∠BOD=50°.【考点】圆周角定理点评：本题是圆周角定理的基础应用题，在中考中比较常见，一般以选择题、填空题形式出现，属于基础题，难度不大.3.如图,AB是半圆O的直径,AC="AD,OC=2,∠CAB=30°," 则点O到CD的距离OE=____.【答案】【解析】由AC=AD，∠CAB=30°可得∠CDO的度数，即可得到∠EOD、∠COE的度数，判断出△COE的形状再结合勾股定理即可求得结果.∵AC=AD，∠CAB=30°，OA=OC∴∠CDO=75°，∠COD=60°∴∠EOD=15°∴∠COE=45°∴△COE为等腰直角三角形∵OC=2∴OE=.【考点】三角形内角和定理，勾股定理点评：特殊三角形的性质的应用是初中数学平面图形中极为重要的知识点，与各个知识点结合极为容易，是中考中的热点，在各种题型中均有出现，需多加关注.4.如图,A、B、C、D四个点在同一个圆上,四边形ABCD的对角线把四个内角分成的八个角中,相等的角有( )A.2对B.3对C.4对D.5对【答案】C【解析】圆周角定理：同弧或等弧所对的圆周角相等，均等于所对圆心角的一半.相等的角有∠ADB=∠ACB，∠BAC=∠BDC，∠CAD=∠CBD，∠ACD=∠ABC4对，故选C.【考点】圆周角定理点评：本题是圆周角定理的基础应用题，在中考中比较常见，一般以选择题、填空题形式出现，属于基础题，难度不大.5.如图,D是弧AC的中点,则图中与∠ABD相等的角的个数是( )A．4个B．3个C．2个D．1个【答案】B【解析】圆周角定理：同弧或等弧所对的圆周角相等，均等于所对圆心角的一半.∵D是弧AC的中点∴∠ABD=∠ACD=∠CBD=∠CAD故选B.【考点】圆周角定理点评：本题是圆周角定理的基础应用题，在中考中比较常见，一般以选择题、填空题形式出现，属于基础题，难度不大.6.如图, ,则∠A+∠B等于( )A．100°B．80°C．50°D．40°【答案】C【解析】连接CO并延长交圆于点D，根据圆周角定理即可得到结果.连接CO并延长交圆于点D由图可得∠A+∠B=∠AOD+∠BOD=∠AOB=50°故选C.【考点】圆周角定理点评：辅助线问题是初中数学学习中的难点，能否根据具体情况正确作出恰当的辅助线往往能够体现一个学生对图形的理解能力，因而这类问题在中考中比较常见，在各种题型中均有出现，一般难度较大，需多加关注.7.在半径为R的圆中有一条长度为R的弦,则该弦所对的圆周角的度数是( )A．30°B．30°或150°C．60°D．60°或120°【答案】B【解析】根据圆的性质可得这条弦与半径围成的三角形为等边三角形，再根据圆周角定理即可求得结果.由题意得这条弦与半径围成的三角形为等边三角形则该弦所对的圆周角的度数是30°或150°故选B.【考点】圆周角定理点评：特殊三角形的性质的应用是初中数学平面图形中极为重要的知识点，与各个知识点结合极为容易，是中考中的热点，在各种题型中均有出现，需多加关注.8.如图,⊙O的直径AB=8cm,∠CBD=30°,求弦DC的长.【答案】4cm【解析】连接OC、OD，根据圆周角定理可得∠COD=60°，即可得到△COD是等边三角形，根据等边三角形的性质即可求得结果.连接OC、OD,则OC=OD=4cm,∠COD=60°,故△COD是等边三角形,从而CD=4cm.【考点】圆周角定理，等边三角形的判定和性质点评：辅助线问题是初中数学学习中的难点，能否根据具体情况正确作出恰当的辅助线往往能够体现一个学生对图形的理解能力，因而这类问题在中考中比较常见，在各种题型中均有出现，一般难度较大，需多加关注.9.如图,AB为半圆O的直径,弦AD、BC相交于点P,若CD=3,AB=4,求tan∠BPD的值【答案】【解析】连接BD, 根据圆周角定理可得∠ADB=90°，证得△PCD ∽△PAB,根据相似三角形的性质结合余弦的定义可得∠BPD的余弦值，再结合勾股定理即可求得结果.连接BD,∵AB是直径,∴∠ADB=90°.∵∠C=∠A,∠D=∠B,∴△PCD ∽△PAB,∴.在Rt△PBD中,cos∠BPD==,设PD=3x,PB=4x,则BD=,∴tan∠BPD=.【考点】圆周角定理，相似三角形的判定和性质，勾股定理，三角函数点评：本题综合性强，知识点较多，因而这类问题在中考中比较常见，在各种题型中均有出现，一般难度较大，需多加关注.10.在足球比赛场上,甲、乙两名队员互相配合向对方球门MN进攻.当甲带球部到A点时,乙随后冲到B点,如图所示,此时甲是自己直接射门好,还是迅速将球回传给乙,让乙射门好呢?为什么?(不考虑其他因素)【答案】让乙射门较好【解析】根据圆周角定理结合三角形外角的性质分析即可得到结论.迅速回传乙,让乙射门较好,在不考虑其他因素的情况下, 如果两个点到球门的距离相差不大,要确定较好的射门位置,关键看这两个点各自对球门MN的张角的大小,当张角越大时,射中的机会就越大,如图所示,则∠A<MCN=∠B,即∠B>∠A, 从而B处对MN的张角较大,在B处射门射中的机会大些.【考点】圆周角定理，三角形外角的性质点评：本题是圆周角定理的基础应用题，在中考中比较常见，一般以选择题、填空题形式出现，属于基础题，难度不大.。
巧妙运用圆周角和圆心角的关系圆周角和圆心角是圆中两类极其重要的角,它们之间有下列关系:一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.巧妙运用上述关系,可以解决与圆中的角有关的许多问题.一、由圆心角求圆周角例1 如图1,量角器外缘边上有A,P,Q 三点,它们所表示的读数分别是 180, 70,30,则∠PAQ 的大小为( )A.10°B.20°C.30°D.40° 解析:量角器上的读数就是相应圆心角的度数.为此设量角器的中心(即半圆的圆心)为O,连接OP,OQ,则圆心角∠POQ= 70- 30= 40.∴∠PAQ =21∠POQ= 20.故选B.. 温馨提示:本题求得圆心角的度数后,直接运用圆周角和圆心角的关系定理即可求解.二、由圆周角求圆心角例 2 如图2，⊙O 中OA BC ⊥，25CDA ∠=，则AOB ∠的度数为 ． 解析:连接OC.∵OA BC ⊥,∴C A B A =,∴AOB ∠=∠AOC.∵25CDA ∠= ,∴∠AOC=2∠CDA=50°.∴ AOB ∠=50°.故填50°. 温馨提示:本题运用了圆周角和圆心角关系的另一种表述方式: 一条弧所对的圆心角等于它所对的圆周角的2倍.三、由圆周角求圆周角例3 如图3，AB 是⊙O 的直径，CD 是⊙O 的弦，连接AC AD ，，若35CAB ∠= ，则ADC ∠的度数为 .解析:连接BC.∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB=90°,∴∠ABC= 90°-∠CAB=90°-35°=55°.因为ADC ∠和∠ABC 是C A所对的两个圆图2D 图3周角.∴ADC =∠ABC =55°. 故填55°.温馨提示:本题运用了圆周角和圆心角关系定理的推论:同弧所对的圆周角相等.当然，本题也可连接OC ，运用圆周角和圆心角关系定理求解，请同学们自己试一试.四、 解决实际问题例4 如图4,有一圆形展厅，在其圆形边缘上的点A 处安装了一台监视器,它的监控角度是65 .为了监控整个展厅,最少需在圆形边缘上共安装．．．这样的监视器 台. 解析:监控整个展厅,就是要监控的范围能覆盖整个圆,而360°的圆心角恰好能覆盖整个圆.∵∠A=65°,∴与∠A 所对同一条弧的圆心角度数为65°×2=130°.而130°×2<360°, 130°×3>360°,∴最少需要安装3台监控器才能监控整个展厅. 温馨提示:本题运用圆周角和圆心角的关系巧妙转化,让看似困难的问题简洁求解.图4。
xx学校xx学年xx学期xx试卷姓名:_____________ 年级:____________ 学号:______________题型选择题填空题简答题xx题xx题xx题总分得分一、xx题评卷人得分（每空xx 分，共xx分）试题1:在同圆中，同弦所对的圆周角 ( )A．相等 B．互补 C．相等或互补 D．互余试题2:如图3－63所示，A，B，C，D在同一个圆上，四边形ABCD的两条对角线把四个内角分成的8个角中，相等的角共有 ( )A．2对 B．3对 C．4对D．5对试题3:如图3－64所示，⊙O的半径为5，弦AB＝，C是圆上一点，则∠ACB的度数是．试题4:如图，四边形 ABCD内接于⊙O，若∠BOD=100°，则∠DAB的度数为（）A．50° B．80° C．100° D．130°试题5:如图是中国共产主义青年团团旗上的图案，点A、B、C、D、E五等分圆，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数是（） A．180° B．15 0° C．135° D．120°试题6:下列命题中，正确的命题个数是（）①顶点在圆周上的角是圆周角；②圆周角度数等于圆心角度数的一半；③900的圆周角所对的弦是直径；④圆周角相等，则它们所对的弧也相等。
A、1个B、2个C、3个D、4个试题7:如图3－65所示，在⊙O中，∠AOB＝100°，C为优弧ACB的中点，则∠CAB＝．试题8:如图3－66所示，AB为⊙O的直径，AB＝6，∠CAD＝30°，则弦DC＝．试题9:如图3－67所示，AB是⊙O的直径，∠BOC＝120°，CD⊥AB，求∠ABD的度数．试题10:如图，已知AB是⊙O的直径，AD ∥ OC弧AD的度数为80°，则∠BOC=_________ 试题11:如图，⊙O内接四边形ABCD中，AB=CD则图中和∠1相等的角有______。
3.4 圆周角和圆心角的关系第1课时 圆周角定理及其推论1基础题知识点1 圆周角的概念1.下列四个图中，∠x 是圆周角的是(C)A B C D知识点2 圆周角定理2.(2018·衢州)如图，点A ，B ，C 在⊙O 上，∠ACB＝35°，则∠AOB 的度数是(B)A .75°B .70°C .65°D .35°3.如图，已知CD 是⊙O 的直径，过点D 的弦DE 平行于半径OA.若∠D 的度数是50°，则∠C 的度数是(A)A .25°B .30°C .40°D .50°4.(2019·兰州)如图，在⊙O 中，AB ︵＝BC ︵，点D 在⊙O 上，∠CDB＝25°，则∠AOB＝(B)A .45°B .50°C .55°D .60°5.(2018·广东)同圆中，已知弧AB 所对的圆心角是100°，则弧AB 所对的圆周角是50°.6.如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，∠AOB＝70°，AB ＝AC ，则∠ABC＝35°.知识点3 圆周角定理的推论17.(教材P80练习T2变式)(2019·柳州)如图，在⊙O 中与∠1一定相等的角是(A)A .∠2B .∠3C .∠4D .∠58.(2019·哈尔滨)如图，⊙O 中，弦AB ，CD 相交于点P ，∠A＝42°，∠APD＝77°，则∠B 的大小是(B)A .43°B .35°C .34°D .44°9.如图，⊙O 的直径AB 过弦CD 的中点E.若∠C＝25°，则∠D＝65°.10.如图，已知A ，B ，C ，D 是⊙O 上的四个点，AB ＝BC ，BD 交AC 于点E ，连接CD ，AD.求证：DB 平分∠ADC.证明：∵AB＝BC ，∴AB ︵＝BC ︵.∴∠A DB ＝∠BDC.∴DB 平分∠ADC.易错点 忽略弦所对的圆周角不唯一而致错11.在直径为4的⊙O 中，弦AB ＝23，点C 是圆上不同于A ，B 的点，那么∠ACB 的度数为60°或120°.中档题12.(2018·菏泽)如图，在⊙O 中，OC ⊥AB ，∠ADC＝32°，则∠OBA 等于(D)A .64°B .58°C .32°D .26°13.(2019·泰安)如图，点A ，B ，C 是⊙O 上的三点，且四边形ABCO 是平行四边形，OF⊥OC 交圆O于点F ，则∠BAF 等于(B)A .12.5°B .15°C .20°D .22.5°14.(2019·贵港)如图，A ，B ，C ，D 是⊙O 上的四个点，B 是AC ︵的中点，M 是半径OD 上任意一点.若∠BDC＝40°，则∠AMB 的度数不可能是(D)A .45°B .60°C .75°D .85°15.(2018·泰安)如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，∠A＝45°，BC ＝4，则⊙O 的直径为16.如图，AB 是⊙O 的一条弦，OD⊥AB，垂足为点C ，交⊙O 于点D ，点E 在⊙O 上.(1)若∠AOD＝52°，求∠DEB 的度数；(2)若OC ＝3，OA ＝6，求tan∠DEB 的值.解：(1)连接OB.∵OD⊥A B ，∴AD ︵＝BD ︵.∴∠BOD＝∠AOD＝52°.∴∠DEB＝12∠BOD＝26°. (2)∵OD⊥AB，OC ＝3，OA ＝6，∴OC＝12OA ，即∠OAC＝30°.∴∠AOC＝60°.∴∠DEB＝12∠AOC＝30°. ∴tan∠DEB＝33. 17.如图，在⊙O 中，AB ＝AC ，∠CBD＝30°，∠BCD＝20°，试求∠BAC 的度数.解：连接OB ，OC ，OD.∵∠BOD＝2∠BCD，∠COD＝2∠CBD，∠CBD＝30°，∠BCD＝20°，∴∠COD＝60°，∠BOD＝40°.∴∠BOC＝100°， ∠BAC＝12∠BOC＝50°. 综合题18.如图，四边形ABCD 内接于⊙O，点E 在对角线AC 上，EC ＝BC ＝DC.(1)若∠CBD＝39°，求∠BAD 的度数；(2)求证：∠1＝∠2.解：(1)∵BC＝DC ，∴BC ︵＝DC ︵.∴∠BAC＝∠CAD＝∠CBD.∵∠CBD＝39°，∴∠BAC＝∠CAD＝39°.∴∠BAD＝∠BAC＋∠DAC＝78°.(2)证明：∵EC＝BC ，∴∠CBE＝∠CEB.∵∠CBE＝∠1＋∠CBD，∠CEB＝∠2＋∠BAC，∴∠1＋∠CBD＝∠2＋∠BAC.又∵∠BAC＝∠CBD，∴∠1＝∠2.第2课时圆周角定理的推论2，3基础题知识点1 圆周角定理的推论21.如图，已知AB是△ABC外接圆的直径，∠A＝35°，则∠B的度数是(C)A.35°B.45°C.55°D.65°2.(教材P83练习T2变式)从下列直角三角板与圆弧的位置关系中，可判断圆弧为半圆的是(B)3.(2018·南充)如图，BC是⊙O的直径，点A是⊙O上的一点，∠OAC＝32°，则∠B的度数是(A)A.58°B.60°C.64°D.68°4.如图，把直角三角板的直角顶点O放在破损玻璃镜的圆周上，两直角边与圆弧分别交于点M，N，量得OM＝8 cm，ON＝6 cm，则该圆玻璃镜的半径是(B)A.10 cmB.5 cmC.6 cmD.10 cm5.如图，A，D是⊙O上的两个点，BC是直径.若∠D＝32°，则∠OAC＝(B)A.64°B.58°C.72°D.55°6.如图，在半径为5 cm的⊙O中，AB为直径，∠ACD＝30°，求弦BD的长.解：∵AB为直径，∴∠ADB＝90°.又∵∠ABD＝∠ACD＝30°，∴BD＝AB·cos∠ABD＝10×32＝53(cm).知识点2 圆周角定理的推论37.圆内接四边形ABCD中，已知∠A＝70°，则∠C＝(D)A.20°B.30°C.70°D.110°8.如图，四边形ABCD是圆内接四边形，E是BC延长线上一点.若∠BAD＝105°，则∠DCE的大小是(B)A.115°B.105°C.100°D.95°9.(2018·邵阳)如图所示，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∠BCD＝120°，则∠BOD的大小是(B)A.80°B.120°C.100°D.90°10.(2019·淮安)如图，在圆内接四边形ABCD中，若∠A，∠B，∠C的度数之比为4∶3∶5，则∠D 的度数是120°.易错点对圆内接四边形的概念理解不清导致错误11.如图，在⊙O中，点A，B，C在⊙O上，且∠ACB＝110°，则∠α＝140°.中档题12.如图，CD是⊙O的直径，已知∠1＝30°，则∠2＝(C)A.30°B.45°C.60°D.70°13.(2019·牡丹江)如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB经过圆心，∠B＝3∠BAC，则∠ADC等于(B)A.100°B.112.5°C.120°D.135°14.(2018·白银)如图，⊙A过点O(0，0)，C(3，0)，D(0，1)，点B是x轴下方⊙A上的一点，连接BO，BD，则∠OBD的度数是(B)A.15°B.30°C.45°D.60°15.如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠B＝50°，∠ACD＝25°，∠BAD＝65°.求证：(1)AD＝CD；(2)AB是⊙O的直径.证明：(1)∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠D＝180°－∠B＝130°.∵∠ACD＝25°，∴∠DAC＝180°－∠D－∠ACD＝180°－130°－25°＝25°.∴∠DAC＝∠ACD.∴AD＝CD.(2)∵∠BAC＝∠BAD－∠DAC＝65°－25°＝40°，∠B＝50°，∴∠ACB＝180°－∠B－∠BAC＝180°－50°－40°＝90°.∴AB是⊙O的直径.16.(2018·宜昌)如图，在△ABC中，AB＝AC.以AB为直径的半圆交AC于点D，交BC于点E.延长AE至点F ，使EF ＝AE ，连接FB ，FC.(1)求证：四边形ABFC 是菱形；(2)若AD ＝7，BE ＝2，求半圆和菱形ABFC 的面积.解：(1)证明：∵AB 为半圆的直径，∴∠AEB＝90°，∵AB＝AC ，∴CE＝BE ，又∵EF＝AE ，∴四边形ABFC 是平行四边形.又∵AB＝AC(或∠AEB＝90°)，∴平行四边形ABFC 是菱形.(2)连接BD.∵AD＝7，BE ＝CE ＝2，设CD ＝x ，则AB ＝AC ＝7＋x.∵AB 为半圆的直径，∴∠ADB＝90°，∴AB 2－AD 2＝CB 2－CD 2.∴(7＋x)2－72＝42－x 2.∴x 1＝1或x 2＝－8(舍去).∴AB＝8.∴S 半圆＝12×π×42＝8π. ∴BD＝15.∴S 菱形ABFC ＝815.综合题17.如图，在△ABC 中，∠C＝60°，以AB 为直径的半圆O 分别交AC ，BC 于点D ，E ，已知⊙O 的半径为2 3.(1)求证：△CDE∽△CBA；(2)求DE 的长.解：(1)证明：∵四边形ABED 为⊙O 的内接四边形，∴∠A＋∠BED＝180°.又∵∠BED＋∠CED＝180°，∴∠CED＝∠A. 又∵∠C＝∠C，∴△CDE∽△CBA.(2)连接AE.由(1)得DE BA ＝CE CA， ∵AB 为⊙O 的直径，⊙O 的半径为23， ∴∠AEB＝∠AEC＝90°，AB ＝4 3.在Rt△AEC 中，∵∠C＝60°，∴∠CAE＝30°. ∴DE BA ＝CE CA ＝12，即DE ＝2 3.。
圆周角和圆心角的关系中考题目Document serial number【NL89WT-NY98YT-NC8CB-NNUUT-NUT108】圆周角和圆心角的关系-----中考链接能力提升题一．选择题（共12小题）1．（2013?自贡）如图，在平面直角坐标系中，⊙A经过原点O，并且分别与x轴、y轴交于B、C两点，已知B（8，0），C（0，6），则⊙A的半径为（）A． 3 B．4 C．5 D．82．（2013珠海）如图，ABCD的顶点A、B、D在⊙O上，顶点C在⊙O的直径BE上，∠ADC=54°，连接AE，则∠AEB的度数为（）A．36°B．46°C．27°D．63°3．（2013?湛江）如图，AB是⊙O的直径，∠AOC=110°，则∠D=（）A．25°B．35°C．55°D．70°4．（2013?宜昌）如图，DC 是⊙O直径，弦AB⊥CD于F，连接BC，DB，则下列结论错误的是（）A．B．AF=BF C．OF=CF D．∠DBC=90°5．（2013?绥化）如图，点A，B，C，D为⊙O上的四个点，AC平分∠BAD，AC交BD于点E，CE=4，CD=6，则AE的长为（）A． 4 B．5 C．6 D．76．（2013?苏州）如图，AB是半圆的直径，点D是的中点，∠ABC=50°，则∠DAB等于（）A．55°B．60°C．65°D．70°7．（2013?日照）如图，在△ABC中，以BC为直径的圆分别交边AC、AB于D、E两点，连接BD、DE．若BD平分∠ABC，则下列结论不一定成立的是（）A．BD⊥AC B．AC2=2AB?AEC．△ADE是等腰三角形D．BC=2AD8．（2013?南宁）如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点E，且AE=CD=8，∠BAC=∠BOD，则⊙O的半径为（）A． 4B．5 C．4 D．39．（2013?济南）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，AB=10，AC=6，OD⊥BC，垂足是D，则BD的长为（）A． 2 B．3 C．4 D．610．（2013?临沂）如图，在⊙O中，∠CBO=45°，∠CAO=15°，则∠AOB的度数是（）A．75°B．60°C．45°D．30°11．（2013?红河州）如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，弦BD平分∠ABC，则下列结论错误的是（）A． AD=DC B．C．∠ADB=∠ACB D．∠DAB=∠CBA12．（2013?黑龙江）如图，△ABC内接于⊙O，AB=BC，∠ABC=120°，AD为⊙O的直径，AD=6，那么AB的值为（）A． 3 B．2C．3D．2二．填空题（共6小题）13．（2013?淄博）如图，AB是⊙O的直径，，AB=5，BD=4，则sin∠ECB=_________ ．14．（2013?黔西南州）如图所示⊙O中，已知∠BAC=∠CDA=20°，则∠ABO的度数为_________ ．15．（2013?盘锦）如图，⊙O直径AB=8，∠CBD=30°，则CD= _________ ．16．（2013?常州）如图，△ABC内接于⊙O，∠BAC=120°，AB=AC，BD为⊙O的直径，AD=6，则DC= _________ ．17．（2012?徐州）如图，已知AB是⊙O的直径，CD是弦，且CD⊥AB，AC=8，BC=6．则sin∠ABD=_________ ．18．（2012?泰安）如图，在半径为5的⊙O中，弦AB=6，点C是优弧上一点（不与A，B重合），则cosC的值为_________ ．三．解答题（共4小题）19．（2013?武汉）如图，已知△ABC是⊙O的内接三角形，AB=AC，点P是的中点，连接PA，PB，PC．（1）如图①，若∠BPC=60°．求证：AC=AP；（2）如图②，若sin∠BPC=，求tan∠PAB的值．20．（2013?温州）如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，延长BC至点D，使DC=CB，延长DA与⊙O的另一个交点为E，连接AC，CE．（1）求证：∠B=∠D；（2）若AB=4，BC﹣AC=2，求CE的长．21．（2013?哈尔滨）如图，在△ABC中，以BC为直径作半圆O，交AB于点D，交AC于点E，AD=AE．（1）求证：AB=AC（2）若BD=4，BO=2，求AD的长．22．（2012?大庆）如图△ABC中，BC=3，以BC为直径的⊙O交AC于点D，若D是AC中点，∠ABC=120°．（1）求∠ACB的大小；（2）求点A到直线BC的距离．参考答案一．选择题（共12小题）1． C2． A．3． B．4． C．5． B．6． C．7． D．8． B．9． C．10． B．11． D．12． A．二．填空题（共6小题）13．．14．50°．15． 4．16． 2．17．．18．．三．解答题（共4小题）19．解：（1）∵∠BPC=60°，∴∠BAC=60°，∵AB=AC，∴△ABC为等边三角形，∴∠ACB=∠ABC=60°，∴∠APC=∠ABC=60°，而点P是的中点，∴∠ACP=∠ACB=30°，∴∠PAC=90°，∴tan∠PCA==tan30°=，∴AC=PA；（2）过A点作AD⊥BC交BC于D，连结OP交AB于E，如图，∵AB=AC，∴AD平分BC，∴点O在AD上，连结OB，则∠BOD=∠BAC，∵∠BPC=∠BAC，∴sin∠BOD=sin∠BPC==，设OB=25x，则BD=24x，∴OD==7x，在Rt△ABD中，AD=25x+7x=32x，BD=24x，∴AB==40x，∵点P是的中点，∴OP 垂直平分AB，∴AE=AB=20x，∠AEP=∠AEO=90°，在Rt△AEO中，OE==15x，∴PE=OP﹣OE=25x﹣15x=10x，在Rt△APE中，tan∠PAE===，即tan∠PAB的值为．20．（1）证明：∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴AC⊥BC，又∵DC=CB，∴AD=AB，∴∠B=∠D；（2）解：设BC=x，则AC=x﹣2，在Rt△ABC中，AC2+BC2=AB2，∴（x﹣2）2+x2=42，解得：x1=1+，x2=1﹣（舍去），∵∠B=∠E，∠B=∠D，∴∠D=∠E，∴CD=CE，∵CD=CB，∴CE=CB=1+．21．解：（1）连接BE，CD，∵BC是半圆O的直径，∴∠BDC=∠BEC=90°，∴∠ADC=∠AEB=90°，在Rt△ABE和Rt△ACD中，∵，∴△ABE≌△ACD，∴AB=AC．（2）∵BO=2，∴BC=4，在Rt△BDC中，CD==8，设AD=x，则AC=AB=x+4，在Rt△ADC中，82+x2=（x+4）2，解得：x=6．即AD=6．22．解：（1）连接BD，∵以BC为直径的⊙O交AC于点D，∴∠BDC=90°，∵D是AC中点，∴BD是AC的垂直平分线，∴AB=BC，∴∠A=∠C，∵∠ABC=120°，∴∠A=∠C=30°，即∠ACB=30°；（2）过点A作AE⊥BC于点E，∵BC=3，∠ACB=30°，∠BDC=90°，∴cos30°==，∴CD=，∵AD=CD，∴AC=3，∵在Rt△AEC中，∠ACE=30°，∴AE=×3=．。
课题名称3.3 圆周角和圆心角的关系（2）教学目标:(一)知识目标1、掌握圆周角定理几个推论的内容．2、会熟练运用推论解决问题．(二)能力目标1、培养学生观察、分析及理解问题的能力．2、在学生自主探索推论的过程中，经历猜想、推理、验证等环节，获得正确的学习方式．(三)情感与价值观培养学生的探索精神和解决问题的能力.教学重点:圆周角定理几个推论的应用.教学难点:理解几个推论的”题设”和”结论”．教学方法:指导探索法.教学过程:一、回顾交流，拓展延伸：1、圆周角定理：_____________________________________。
2、观察下图，∠ABC，∠ADC，和∠AEC有什么共同特征？它们的大小有什么关系？为什么？结论：_____________________________________3、如下图，BC是⊙O的直径，它所对的圆周角是锐角、直角，还是钝角?你是如何判断的?结论：_____________________________________4、如下图，圆周角∠BAC=90°，弦BC经过圆心O吗？为什么？结论：_____________________________________二、例题讲解，知识应用：例1、如图示，AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到C，使AC=AB，BD与CD的大小有什么关系?为什么?解：（例2题图）例2、船在航行过程中，船长常常通过测定角度来确定是否会遇到暗礁，如下图，A、B表示灯塔，暗礁分布在经过A、B两点的一个圆形区域内，C表示一个危险临界点，∠ACB就是“危险角”．当船与两个灯塔的夹角大于“危险角”时，就有可能触礁；当船与两个灯塔的夹角小于“危险角”时，就能避免触礁．(1)当船与两个灯塔的夹角∠α大于“危险角”时，船位于哪个区域?为什么?(2)当船与两个灯塔的夹角∠α小于“危险角”时，船位于哪个区域?为什么?三、随堂练习：1、为什么有些电影院的座位排列（横排）呈圆弧形？说一说这种设计的合理性。
3·3圆周角和圆心角的关系1.圆周角定义：圆周角(angle in a circular segment)：顶点在圆上，并且角的两边和圆相交的角．两个特征：(1)角的顶点在圆上；(2)两边在圆内的部分是圆的两条弦．2．圆周角定理：同弧所对的圆周角相等，所对的圆周角都等于它所对的圆心角的一半．注意：(1)定理的条件是同一条弧所对的圆周角和圆心角，结论是圆周角等于圆心角的一半．(2)不能丢掉“一条弧所对的”而简单说成“圆周角等于圆心角的一半”．在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等．注意：(1)“同弧”指“同一个圆”．(2)“等弧”指“在同圆或等圆中”．(3)“同弧或等弧”不能改为“同弦或等弦”．3．直径所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．注意：这一推论应用非常广泛，一般地，如果题目的已知条件中有直径时，往往作出直径上的圆周角——直角：如果需要直角或证明垂直时，往往作出直径即可解决问题．4.反证法：注意：用反证法证明命题的一般步骤：(1)假设命题的结论不成立；(2)从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾．(3)山矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确．5.圆内角与圆外角：我们把顶点在圆内(两边自然和圆相交)的角叫圆内角(如图1．顶点在圆外并且两边都和圆相交的角叫圆外角(如图2)．定理：圆内角的度数，等于它所对弧的度数与它的对顶角所对弧的度数之和的一半．圆外角的度数，等于它的两边所夹两条弧的度数的差的一半．1.已知：⊙O 中，所对的圆周角是∠ABC ，圆心角是∠AOC ．求证：∠ABC ＝12AOC ． 【解析】证明：∠AOC 是△ABO 的外角，∴∠AOC ＝∠ABO ＋∠BAO ．∵OA ＝OB ，∴∠ABO ＝∠BAO ． ∴∠AOC ＝2∠ABO ．即∠ABC ＝12∠AOC ．如果∠ABC 的两边都不经过圆心(如下图)，那么结果怎样？特殊情况会给我们什么启发吗？你能将下图中的两种情况分别转化成上图中的情况去解决吗？如图(1)，点O 在∠ABC 内部时，只要作出直径BD ，将这个角转化为上述情况的两个角的和即可证出．由刚才的结论可知：∠ABD ＝12∠AOD ，∠CBD ＝12∠COD ， ∴∠ABD ＋∠CBD ＝12(∠AOD ＋∠COD)，即∠ABC ＝12∠AOC ．在图(2)中，当点O 在∠ABC 外部时，仍然是作出直径BD ，将这个角转化成上述情形的两个角的差即可．由前面的结果，有 ∠ABD ＝12∠AOD ，∠CBD ＝12∠COD ．∴∠ABD －∠CBD ＝12(∠AOD －∠COD)，即∠ABC＝12∠AOC．2.如图示，AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到C，使AC=AB，BD与CD的大小有什么关系?为什么?[分析]由于AB是⊙O的直径，故连接AD．由推论直径所对的圆周角是直角，便可得AD⊥BC，又因为△ABC中，AC＝AB，所以由等腰三角形的二线合一，可证得BD=CD．【解析】BD=CD．理由是：连结AD．∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°．即AD⊥BC．又∵AC＝AB,∴BD＝CD．3．为什么有些电影院的坐位排列(横排)呈圆弧形？说一说这种设计的合理性．【解析】有些电影院的坐位排列呈圆弧形，这样设计的理由是尽量保证同排的观众视角相等．4．如下图，哪个角与∠BAC相等?【解析】∠BDC＝∠BAC．5. 如下图，⊙O的直径AB＝10 cm，C为⊙O上的一点，∠ABC＝30°，求AC的长．【解析】∵AB为⊙O的直径．∴ACB=90°．又∵∠ABC=30°， ∴AC=21AB=21×10=5(cm)． 6．小明想用直角尺检查某些工件是否恰好为半圆形，根据下图，你能判断哪个是半圆形?为什么?【解析】图(2)是半圆形、理由是：90°的圆周角所对的弦是直径．7.船在航行过程中，船长常常通过测定角度来确定是否会遇到暗礁，如下图，A 、B 表示灯塔，暗礁分布在经过A 、B 两点的一个圆形区域内，C 表示一个危险临界点，∠ACB 就是“危险角”．当船与两个灯塔的夹角大于“危险角”时，就有可能触礁；当船与两个灯塔的夹角小于“危险角”时，就能避免触礁．(1)当船与两个灯塔的夹角∠α大于“危险角”时，船位于哪个区域?为什么? (2)当船与两个灯塔的夹角∠α小于“危险角”时，船位于哪个区域?为什么? 分析：这是一个有实际背景的问题，由题意可知：“危险角” ∠ACB 实际上就是圆周角，船P 与两个灯塔的夹角为∠α，P 有可能在⊙O 外，P 有可能在⊙O 内，当∠α＞∠C 时，船位于暗礁区域内；当∠α＜∠C 时，船位于暗礁区域外，我们可采用反证法进行论证． 【解析】(1)当船与两个灯塔的夹角∠α大于“危险角” ∠C 时，船位于暗礁区域内(即⊙O 内)，理由是：连结BE ，假设船在(⊙O 上，则有∠α=∠C ，这与∠α＞∠C 矛盾，所以船不可能在⊙O 上；假设船在⊙O 外，则有∠α＜∠AEB ，即∠α＜∠C ，这与∠α＞∠C 矛盾，所以船不可能在⊙O 外．因此．船只能位于⊙O 内．(2)当船与两个灯塔的夹角∠α小于“危险角”∠C时，船位于暗礁区域外(即⊙O 外)．理由是：假设船在⊙O上，则有∠α＝∠C，这与∠α<∠C矛盾，所以船不可能在⊙O上；假设船在⊙O内，则有∠α>∠AEB，即∠α>∠C．这与∠α<∠C矛盾，所以船不可能在⊙O内，因此，船只能位于⊙O外．8.如图，已知在⊙O中，直径AB为10cm，弦AC为6cm，∠ACB的平分线交⊙O于D．求BC、AD和BD的长．分析：由AB为直径，知∠ACB=90°，又AC、AB已知，可由勾股定理求BC．又∠ADB=90°，AD=DB，由勾股定理可求AD、BD．【解析】∵AB为直径，∴∠ACB=∠ADB=90°，又∵AB＝10cm，AC＝6cm，又∵CD是∠ACB的平分线，∠ACD=∠DCB，∴AD=DB．在 Rt∠ADB中，9.已知AB是⊙O的直径，AE是弦，C是的中点，CD⊥AB于D，交AE于F，CB交AE于G．求证：CF=FG．分析：如图7—107，要证CF=FG，只需证∠FCG=∠FGC．由已知，∠FCG与∠B互余．如果连结AC，∠ACB=90°．∠FGC与∠CAG互余．【解析】证明：连结AC，∵AB为直径，∴∠ACB=90°，∠FGC=90°-∠CAE．又∵CD⊥AB于D，∠FCG=90°-∠B，∴∠FGC=∠FCG．因此，CF=FG．10.如图，AB 是⊙O 的直径.(1)若OD ∥AC ，的大小有什么关系？为什么？(2)把(1)中的条件和结论交换一下，还能成立吗？说明理由. 【解析】(1)=延长DO 交⊙O 于E . ∵AC∥OD , ∴=. ∵∠1=∠2, ∴=. ∴=.(2)仍成立，延长DO 交⊙O 于点E ，连结AD . ∵=，=, ∴=. ∴∠3=∠D . ∴AC ∥OD .11.如图，⊙O 上三点A 、B 、C ，AB =AC ，∠ABC 的平分线交⊙O 于点E ，∠ACB 的平分线交⊙O 于点F ，BE 和CF 相交于点D ，四边形AFDE 是菱形吗？验证你的结论.【解析】四边形AFDE 是菱形.证明：∵∠ABC=∠ACB, ∠ABE=∠EBC=∠ACF=∠FCB. 又∠FAB ，∠FCB 是同弧上的圆周角, ∴∠FAB=∠FCB ，同理∠EAC=∠EBC. 有∠FAB=∠ABE=∠EAC=∠ACF.∴AF ∥ED ，AE ∥FD 且AF=AE. ∴四边形AFDE 是菱形.12.如图是一大型圆形工件被埋在土里而露出地表的部分.为推测它的半径，小亮同学谈了他的做法：先量取弦AB 的长，再量中点到AB 的距离CD 的长，就能求出这个圆形工件的半径.你认为他的做法合理吗？如不合理，说明理由；如合理，请你给出具体的数值，.BDCABD【解析】小亮的做法合理.取AB=8 m ，CD=2 m, 设圆形工件半径为r, ∴r 2=(r －2)2+42. 得r=5(m).13.如图，现需测量一井盖(圆形)的直径，但只有一把角尺(尺的两边互相垂直，一边有刻度，且两边长度都长于井盖的半径)，请配合图形，用文字说明测量方案，写出测量的步骤.(要求写出两种测量方案)【解析】方案1：使角尺顶点在圆上，角尺两边与圆两交点连接就是圆的直径，用刻度尺量出直径.方案2：任画圆的一条弦，用尺量出弦的中点，利用角尺过弦中点做弦的垂线，垂线与圆的两交点间的线段为圆的直径.14.如图，在⊙O 中，AB 是直径，CD 是弦，AB ⊥CD . (1)P 是上一点(不与C 、D 重合)，求证：∠CPD =∠COB .(2)点P ′在劣弧CD 上(不与C 、D 重合)时，∠CP′D 与∠COB 有什么数量关系？请证明你的结论.【解析】(1)证明：连结OD, ∵AB 是直径，AB ⊥CD, ∴=.∴∠COB=∠DOB=21∠COD. 又∵∠CPD=21∠COD, ∴∠CPD=∠COB. (2)∠CP ′D 与∠COB 的数量关系是：∠CP ′D+∠COB=180°.证明：∵∠CPD+∠CP ′D=180°，∠COB=∠CPD, ∴∠CP ′D+∠COB=180°15.(9分)已知，如图20，AB 是⊙O 的直径,C 是⊙O 上一点,连接AC,过点C 作直线CD ⊥AB 于D(AD<DB),点E 是DB 上任意一点(点D 、B 除外)，直线CE 交⊙O 于点F,连接AF 与直线CD 交于点G.(1)求证：AC 2=AG ·AF ;(2)若点E 是AD (点A 除外)上任意一点，上述结论是否仍然成立？若成立，请画出图形并给予证明；若不成立，请说明理由.B【解析】(1)证明：连接CB ，∵AB 是直径，CD ⊥AB , ∴∠ACB =∠ADC =90°. ∴Rt △CAD ∽Rt △BAC . ∴得∠ACD =∠ABC . ∵∠ABC =∠AFC , ∴∠ACD =∠AFC . ∴△ACG ∽△ACF . ∴ACAF AG AC . ∴AC 2=AG ·AF . (2)当点E 是AD (点A 除外)上任意一点，上述结论仍成立 ①当点E 与点D 重合时，F 与G 重合, 有AG =AF ，∵CD ⊥AB ，∴=, AC =AF . ∴AC 2=AG ·AF .②当点E 与点D 不重合时(不含点A )时，证明类似①.。
(教案)圆周角与圆心角、弧的关系一、知识讲解：1．圆周角与圆心角的的概念：顶点在圆上，同时两边都和圆相交的角叫做圆周角。
2．在同圆或等圆中，假如两条弦，两条弧，两个圆心角中有一组量相等，那么它们所对应的其它各组量都分别相等。
3．一条弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半。
4．直径所对的圆周角是90度，90度的圆周角所对的弦是直径。
5．圆的内接四边形对角之和是180度。
6．弧的度数确实是圆心角的度数。
解题思路：1．已知圆周角，能够利用圆周角求出圆心角2．已知圆心角，能够利用圆心角求出圆周角3．已知直径和弧度，能够求出圆周角与圆心角1.圆周角与圆心角的定义顶点在圆上，同时两边都和圆相交的角叫做圆周角。
注意圆周角定义的两个差不多特点：(1)顶点在圆上；(2)两边都和圆相交。
二、教学内容【1】圆心角：顶点在圆心的角。
利用两个错误的图形来强调圆周角定义的两个差不多特点：练习：判断下列各图形中的是不是圆周角，并说明理由．【2】明白得圆周角定理的证明一条弧所对的圆周角的度数等于这条弧所对的圆心角度数的一半。
已知：⊙O中，弧BC所对的圆周角是∠BAC，圆心角是∠BOC，求证：∠BAC= 1/2∠BOC.分析：通过图形的演示指导学生进一步去查找圆心O与∠BAC的关系本题有三种情形：（1）圆心O在∠BAC的一边上 O（2）圆心O在∠BAC的内部（3）圆心O在∠BAC的外部 B D C●假如圆心O在∠BAC的边AB上,只要利用三角形内角和定理的推论和等腰三角形的性质即可证明●假如圆心O在∠BAC的内部或外部,那么只要作出直径AD,将那个角转化为上述情形的两个角的和或差即可证明:圆心O在∠BAC的一条边上 AOA=OC==>∠C=∠BAC∠BOC=∠BAC+∠C O==>∠BAC=1/2∠BOC. B C【3】圆周角与圆心角的关系（1）．在同圆或等圆中，假如两条弦，两条弧，两个圆心角中有一组量相等，那么它们所对应的其它各组量都分别相等。
北师大版九年级下册 3.4 圆周角与圆心角的关系中考试题精选（含答案）一．选择题（共20小题）1．（2019•营口）如图，BC是⊙O的直径，A，D是⊙O上的两点，连接AB，AD，BD，若∠ADB＝70°，则∠ABC的度数是（）A．20°B．70°C．30°D．90°2．（2019•陕西）如图，AB是⊙O的直径，EF，EB是⊙O的弦，且EF＝EB，EF与AB交于点C，连接OF，若∠AOF＝40°，则∠F的度数是（）A．20°B．35°C．40°D．55°3．（2019•沈阳）如图，AB是⊙O的直径，点C和点D是⊙O上位于直径AB两侧的点，连接AC，AD，BD，CD，若⊙O的半径是13，BD＝24，则sin∠ACD的值是（）A．B．C．D．4．（2019•广元）如图，AB，AC分别是⊙O的直径和弦，OD⊥AC于点D，连接BD，BC，且AB＝10，AC＝8，则BD的长为（）A．2B．4 C．2D．4.8 5．（2019•吉林）如图，在⊙O中，所对的圆周角∠ACB＝50°，若P为上一点，∠AOP＝55°，则∠POB的度数为（）A．30°B．45°C．55°D．60°6．（2019•柳州）如图，A，B，C，D是⊙O上的点，则图中与∠A相等的角是（）A．∠B B．∠C C．∠DEB D．∠D 7．（2019•镇江）如图，四边形ABCD是半圆的内接四边形，AB是直径，＝．若∠C ＝110°，则∠ABC的度数等于（）A．55°B．60°C．65°D．70°8．（2019•十堰）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AE⊥CB交CB的延长线于点E，若BA 平分∠DBE，AD＝5，CE＝，则AE＝（）A．3 B．3C．4D．2 9．（2019•贵港）如图，AD是⊙O的直径，＝，若∠AOB＝40°，则圆周角∠BPC的度数是（）A．40°B．50°C．60°D．70°10．（2019•宜昌）如图，点A，B，C均在⊙O上，当∠OBC＝40°时，∠A的度数是（）A．50°B．55°C．60°D．65°11．（2019•眉山）如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足是点E，∠CAO＝22.5°，OC ＝6，则CD的长为（）A．6B．3C．6 D．12 12．（2019•安顺）如图，半径为3的⊙A经过原点O和点C（0，2），B是y轴左侧⊙A优弧上一点，则tan∠OBC为（）A．B．2C．D．13．（2019•襄阳）如图，AD是⊙O的直径，BC是弦，四边形OBCD是平行四边形，AC与OB相交于点P，下列结论错误的是（）A．AP＝2OP B．CD＝2OP C．OB⊥AC D．AC平分OB 14．（2019•兰州）如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠A＝40°，则∠C＝（）A．110°B．120°C．135°D．140°15．（2019•天水）如图，四边形ABCD是菱形，⊙O经过点A、C、D，与BC相交于点E，连接AC、AE．若∠D＝80°，则∠EAC的度数为（）A．20°B．25°C．30°D．35°16．（2019•威海）如图，⊙P与x轴交于点A（﹣5，0），B（1，0），与y轴的正半轴交于点C．若∠ACB＝60°，则点C的纵坐标为（）A．+B．2+C．4D．2+2 17．（2019•菏泽）如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的两点，且BC平分∠ABD，AD 分别与BC，OC相交于点E，F，则下列结论不一定成立的是（）A．OC∥BD B．AD⊥OC C．△CEF≌△BED D．AF＝FD 18．（2019•聊城）如图，BC是半圆O的直径，D，E是上两点，连接BD，CE并延长交于点A，连接OD，OE．如果∠A＝70°，那么∠DOE的度数为（）A．35°B．38°C．40°D．42°19．（2019•白银）如图，点A，B，S在圆上，若弦AB的长度等于圆半径的倍，则∠ASB 的度数是（）A．22.5°B．30°C．45°D．60°20．（2019•潍坊）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为直径，AD＝CD，过点D作DE⊥AB于点E，连接AC交DE于点F．若sin∠CAB＝，DF＝5，则BC的长为（）A．8 B．10 C．12 D．16二．填空题（共20小题）21．（2019•辽阳）如图，A，B，C，D是⊙O上的四点，且点B是的中点，BD交OC于点E，∠AOC＝100°，∠OCD＝35°，那么∠OED＝．22．（2019•娄底）如图，C、D两点在以AB为直径的圆上，AB＝2，∠ACD＝30°，则AD ＝．23．（2019•常州）如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上的两点，∠AOC＝120°，则∠CDB＝°．24．（2019•东营）如图，AC是⊙O的弦，AC＝5，点B是⊙O上的一个动点，且∠ABC＝45°，若点M、N分别是AC、BC的中点，则MN的最大值是．25．（2019•宜宾）如图，⊙O的两条相交弦AC、BD，∠ACB＝∠CDB＝60°，AC＝2，则⊙O的面积是．26．（2019•连云港）如图，点A、B、C在⊙O上，BC＝6，∠BAC＝30°，则⊙O的半径为．27．（2019•台州）如图，AC是圆内接四边形ABCD的一条对角线，点D关于AC的对称点E在边BC上，连接AE．若∠ABC＝64°，则∠BAE的度数为．28．（2019•株洲）如图所示，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，且OC⊥AB，过点C的弦CD与线段OB相交于点E，满足∠AEC＝65°，连接AD，则∠BAD＝度．29．（2019•盐城）如图，点A、B、C、D、E在⊙O上，且为50°，则∠E+∠C＝°．30．（2019•凉山州）如图所示，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于H，∠A＝30°，CD＝2，则⊙O的半径是．31．（2019•湖州）已知一条弧所对的圆周角的度数是15°，则它所对的圆心角的度数是．32．（2018•朝阳）如图，点A，B，C在⊙O上，AC∥OB，∠BAO＝20°，则∠BOC的度数为．33．（2018•辽阳）如图，AB是半圆O的直径，E是半圆上一点，且OE⊥AB，点C为的中点，则∠A＝°．34．（2018•黑龙江）如图，AC为⊙O的直径，点B在圆上，OD⊥AC交⊙O于点D，连接BD，∠BDO＝15°，则∠ACB＝．35．（2018•镇江）如图，AD为△ABC的外接圆⊙O的直径，若∠BAD＝50°，则∠ACB ＝°．36．（2018•北京）如图，点A，B，C，D在⊙O上，＝，∠CAD＝30°，∠ACD＝50°，则∠ADB＝．37．（2018•东莞市）同圆中，已知所对的圆心角是100°，则所对的圆周角是．38．（2018•杭州）如图，AB是⊙O的直径，点C是半径OA的中点，过点C作DE⊥AB，交⊙O于D，E两点，过点D作直径DF，连结AF，则∠DF A＝．39．（2018•无锡）如图，点A、B、C都在⊙O上，OC⊥OB，点A在劣弧上，且OA＝AB，则∠ABC＝．40．（2018•青海）如图，A、B、C是⊙O上的三个点，若∠AOC＝110°，则∠ABC＝．三．解答题（共10小题）41．（2019•南通）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝1，以边AC上一点O为圆心，OA为半径的⊙O经过点B．（1）求⊙O的半径；（2）点P为劣弧AB中点，作PQ⊥AC，垂足为Q，求OQ的长；（3）在（2）的条件下，连接PC，求tan∠PCA的值．42．如图，在⊙O中，B是⊙O上的一点，∠ABC＝120°，弦AC＝2，弦BM平分∠ABC 交AC于点D，连接MA，MC．（1）求⊙O半径的长；（2）求证：AB+BC＝BM．43．（2019•南京）如图，⊙O的弦AB、CD的延长线相交于点P，且AB＝CD．求证：P A ＝PC．44．（2018•鞍山）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC与BD为对角线，∠BCA＝∠BAD，过点A作AE∥BC交CD的延长线于点E．（1）求证：EC＝AC．（2）若cos∠ADB＝，BC＝10，求DE的长．45．（2018•宜昌）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的圆交AC于点D，交BC于点E，延长AE至点F，使EF＝AE，连接FB，FC．（1）求证：四边形ABFC是菱形；（2）若AD＝7，BE＝2，求半圆和菱形ABFC的面积．46．（2018•无锡）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB＝17，CD＝10，∠A＝90°，cos B ＝，求AD的长．47．（2017•济南）如图，AB是⊙O的直径，∠ACD＝25°，求∠BAD的度数．48．（2016•温州）如图，在△ABC中，∠C＝90°，D是BC边上一点，以DB为直径的⊙O 经过AB的中点E，交AD的延长线于点F，连结EF．（1）求证：∠1＝∠F．（2）若sin B＝，EF＝2，求CD的长．49．（2016•宁夏）已知△ABC，以AB为直径的⊙O分别交AC于D，BC于E，连接ED，若ED＝EC．（1）求证：AB＝AC；（2）若AB＝4，BC＝2，求CD的长．50．（2016•株洲）已知AB是半径为1的圆O直径，C是圆上一点，D是BC延长线上一点，过点D的直线交AC于E点，且△AEF为等边三角形（1）求证：△DFB是等腰三角形；（2）若DA＝AF，求证：CF⊥AB．3.4 圆周角与圆心角的关系参考答案与试题解析一．选择题（共20小题）1．（2019•营口）如图，BC是⊙O的直径，A，D是⊙O上的两点，连接AB，AD，BD，若∠ADB＝70°，则∠ABC的度数是（）A．20°B．70°C．30°D．90°解：连接AC，如图，∵BC是⊙O的直径，∴∠BAC＝90°，∵∠ACB＝∠ADB＝70°，∴∠ABC＝90°﹣70°＝20°．故答案为20°．故选A．2．（2019•陕西）如图，AB是⊙O的直径，EF，EB是⊙O的弦，且EF＝EB，EF与AB交于点C，连接OF，若∠AOF＝40°，则∠F的度数是（）A．20°B．35°C．40°D．55°解：连接FB．∵∠AOF＝40°，∴∠FOB＝180°﹣40°＝140°，∴∠FEB＝∠FOB＝70°∵EF＝EB∴∠EFB＝∠EBF＝55°，∵FO＝BO，∴∠OFB＝∠OBF＝20°，∴∠EFO＝∠EBO，∠EFO＝∠EFB﹣∠OFB＝35°，故选B．3．（2019•沈阳）如图，AB是⊙O的直径，点C和点D是⊙O上位于直径AB两侧的点，连接AC，AD，BD，CD，若⊙O的半径是13，BD＝24，则sin∠ACD的值是（）A．B．C．D．解：∵AB是直径，∴∠ADB＝90°，∵⊙O的半径是13，∴AB＝2×13＝26，由勾股定理得AD＝10，∴sin∠B＝＝＝，∵∠ACD＝∠B，∴sin∠ACD＝sin∠B＝，故选D．4．（2019•广元）如图，AB，AC分别是⊙O的直径和弦，OD⊥AC于点D，连接BD，BC，且AB＝10，AC＝8，则BD的长为（）A．2B．4 C．2D．4.8解：∵AB为直径，∴∠ACB＝90°，∴BC＝＝＝6，∵OD⊥AC，∴CD＝AD＝AC＝4，在Rt△CBD中，BD＝＝2．故选C．5．（2019•吉林）如图，在⊙O中，所对的圆周角∠ACB＝50°，若P为上一点，∠AOP＝55°，则∠POB的度数为（）A．30°B．45°C．55°D．60°解：∵∠ACB＝50°，∴∠AOB＝2∠ACB＝100°，∵∠AOP＝55°，∴∠POB＝45°，故选B．6．（2019•柳州）如图，A，B，C，D是⊙O上的点，则图中与∠A相等的角是（）A．∠B B．∠C C．∠DEB D．∠D解：∵∠A与∠D都是所对的圆周角，∴∠D＝∠A．故选D．7．（2019•镇江）如图，四边形ABCD是半圆的内接四边形，AB是直径，＝．若∠C ＝110°，则∠ABC的度数等于（）A．55°B．60°C．65°D．70°解：连接AC，∵四边形ABCD是半圆的内接四边形，∴∠DAB＝180°﹣∠C＝70°，∵＝，∴∠CAB＝∠DAB＝35°，∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∴∠ABC＝90°﹣∠CAB＝55°，故选A．8．（2019•十堰）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AE⊥CB交CB的延长线于点E，若BA 平分∠DBE，AD＝5，CE＝，则AE＝（）A．3 B．3C．4D．2解：连接AC，如图，∵BA平分∠DBE，∴∠1＝∠2，∵∠1＝∠CDA，∠2＝∠3，∴∠3＝∠CDA，∴AC＝AD＝5，∵AE⊥CB，∴∠AEC＝90°，∴AE＝＝＝2．故选D．9．（2019•贵港）如图，AD是⊙O的直径，＝，若∠AOB＝40°，则圆周角∠BPC的度数是（）A．40°B．50°C．60°D．70°解：∵＝，∠AOB＝40°，∴∠COD＝∠AOB＝40°，∵∠AOB+∠BOC+∠COD＝180°，∴∠BOC＝100°，∴∠BPC＝∠BOC＝50°，故选B．10．（2019•宜昌）如图，点A，B，C均在⊙O上，当∠OBC＝40°时，∠A的度数是（）A．50°B．55°C．60°D．65°解：∵OB＝OC，∴∠OCB＝∠OBC＝40°，∴∠BOC＝180°﹣40°﹣40°＝100°，∴∠A＝∠BOC＝50°．故选A．11．（2019•眉山）如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足是点E，∠CAO＝22.5°，OC ＝6，则CD的长为（）A．6B．3C．6 D．12解：∵CD⊥AB，∴CE＝DE，∵∠BOC＝2∠A＝2×22.5°＝45°，∴△OCE为等腰直角三角形，∴CE＝OC＝×6＝3，∴CD＝2CE＝6．故选A．12．（2019•安顺）如图，半径为3的⊙A经过原点O和点C（0，2），B是y轴左侧⊙A优弧上一点，则tan∠OBC为（）A．B．2C．D．解：作直径CD，在Rt△OCD中，CD＝6，OC＝2，则OD＝＝4，tan∠CDO＝＝，由圆周角定理得，∠OBC＝∠CDO，则tan∠OBC＝，故选D．13．（2019•襄阳）如图，AD是⊙O的直径，BC是弦，四边形OBCD是平行四边形，AC与OB相交于点P，下列结论错误的是（）A．AP＝2OP B．CD＝2OP C．OB⊥AC D．AC平分OB 解：∵AD为直径，∴∠ACD＝90°，∵四边形OBCD为平行四边形，∴CD∥OB，CD＝OB，在Rt△ACD中，sin A＝＝，∴∠A＝30°，在Rt△AOP中，AP＝OP，所以A选项的结论错误；∵OP∥CD，CD⊥AC，∴OP⊥AC，所以C选项的结论正确；∴AP＝CP，∴OP为△ACD的中位线，∴CD＝2OP，所以B选项的结论正确；∴OB＝2OP，∴AC平分OB，所以D选项的结论正确．故选A．14．（2019•兰州）如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠A＝40°，则∠C＝（）A．110°B．120°C．135°D．140°解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠C+∠A＝180°，∴∠C＝180°﹣40°＝140°．故选D．15．（2019•天水）如图，四边形ABCD是菱形，⊙O经过点A、C、D，与BC相交于点E，连接AC、AE．若∠D＝80°，则∠EAC的度数为（）A．20°B．25°C．30°D．35°解：∵四边形ABCD是菱形，∠D＝80°，∴∠ACB＝∠DCB＝（180°﹣∠D）＝50°，∵四边形AECD是圆内接四边形，∴∠AEB＝∠D＝80°，∴∠EAC＝∠AEB﹣∠ACE＝30°，故选C．16．（2019•威海）如图，⊙P与x轴交于点A（﹣5，0），B（1，0），与y轴的正半轴交于点C．若∠ACB＝60°，则点C的纵坐标为（）A．+B．2+C．4D．2+2解：连接P A，PB，PC，过P作PD⊥AB于D，PE⊥OC于E，∵∠ACB＝60°，∴∠APB＝120°，∵P A＝PB，∴∠P AB＝∠PBA＝30°，∵A（﹣5，0），B（1，0），∴AB＝6，∴AD＝BD＝3，∴PD＝，P A＝PB＝PC＝2，∵PD⊥AB，PE⊥OC，∠AOC＝90°，∴四边形PEOD是矩形，∴OE＝PD＝，PE＝OD＝2，∴CE＝＝＝2，∴OC＝CE+OE＝2+，∴点C的纵坐标为2+，故选B．17．（2019•菏泽）如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的两点，且BC平分∠ABD，AD 分别与BC，OC相交于点E，F，则下列结论不一定成立的是（）A．OC∥BD B．AD⊥OC C．△CEF≌△BED D．AF＝FD解：∵AB是⊙O的直径，BC平分∠ABD，∴∠ADB＝90°，∠OBC＝∠DBC，∴AD⊥BD，∵OB＝OC，∴∠OCB＝∠OBC，∴∠DBC＝∠OCB，∴OC∥BD，选项A成立；∴AD⊥OC，选项B成立；∴AF＝FD，选项D成立；∵△CEF和△BED中，没有相等的边，∴△CEF与△BED不全等，选项C不成立；故选C．18．（2019•聊城）如图，BC是半圆O的直径，D，E是上两点，连接BD，CE并延长交于点A，连接OD，OE．如果∠A＝70°，那么∠DOE的度数为（）A．35°B．38°C．40°D．42°解：连接CD，如图所示：∵BC是半圆O的直径，∴∠BDC＝90°，∴∠ADC＝90°，∴∠ACD＝90°﹣∠A＝20°，∴∠DOE＝2∠ACD＝40°，故选C．19．（2019•白银）如图，点A，B，S在圆上，若弦AB的长度等于圆半径的倍，则∠ASB 的度数是（）A．22.5°B．30°C．45°D．60°解：设圆心为O，连接OA、OB，如图，∵弦AB的长度等于圆半径的倍，即AB＝OA，∴OA2+OB2＝AB2，∴△OAB为等腰直角三角形，∠AOB＝90°，∴∠ASB＝∠AOB＝45°．故选C．20．（2019•潍坊）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为直径，AD＝CD，过点D作DE⊥AB于点E，连接AC交DE于点F．若sin∠CAB＝，DF＝5，则BC的长为（）A．8 B．10 C．12 D．16解：连接BD，如图，∵AB为直径，∴∠ADB＝∠ACB＝90°，∵AD＝CD，∴∠DAC＝∠DCA，而∠DCA＝∠ABD，∴∠DAC＝∠ABD，∵DE⊥AB，∴∠ABD+∠BDE＝90°，而∠ADE+∠BDE＝90°，∴∠ABD＝∠ADE，∴∠ADE＝∠DAC，∴FD＝F A＝5，在Rt△AEF中，∵sin∠CAB＝＝，∴EF＝3，∴AE＝＝4，DE＝5+3＝8，∵∠ADE＝∠DBE，∠AED＝∠BED，∴△ADE∽△DBE，∴DE：BE＝AE：DE，即8：BE＝4：8，∴BE＝16，∴AB＝4+16＝20，在Rt△ABC中，∵sin∠CAB＝＝，∴BC＝20×＝12．故选C．二．填空题（共20小题）21．（2019•辽阳）如图，A，B，C，D是⊙O上的四点，且点B是的中点，BD交OC于点E，∠AOC＝100°，∠OCD＝35°，那么∠OED＝60°．解：连接OB．∵＝，∴∠AOB＝∠BOC＝50°，∴∠BDC＝∠BOC＝25°，∵∠OED＝∠ECD+∠CDB，∠ECD＝35°，∴∠OED＝60°，故答案为60°．22．（2019•娄底）如图，C、D两点在以AB为直径的圆上，AB＝2，∠ACD＝30°，则AD ＝1．解：∵AB为直径，∴∠ADB＝90°，∵∠B＝∠ACD＝30°，∴AD＝AB＝×2＝1．故答案为1．23．（2019•常州）如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上的两点，∠AOC＝120°，则∠CDB＝30°．解：∵∠BOC＝180°﹣∠AOC＝180°﹣120°＝60°，∴∠CDB＝∠BOC＝30°．故答案为30．24．（2019•东营）如图，AC是⊙O的弦，AC＝5，点B是⊙O上的一个动点，且∠ABC＝45°，若点M、N分别是AC、BC的中点，则MN的最大值是．解：∵点M，N分别是BC，AC的中点，∴MN＝AB，∴当AB取得最大值时，MN就取得最大值，当AB是直径时，AB最大，连接AO并延长交⊙O于点B′，连接CB′，∵AB′是⊙O的直径，∴∠ACB′＝90°．∵∠ABC＝45°，AC＝5，∴∠AB′C＝45°，∴AB′＝＝＝5，∴MN最大＝．故答案为．25．（2019•宜宾）如图，⊙O的两条相交弦AC、BD，∠ACB＝∠CDB＝60°，AC＝2，则⊙O的面积是4π．解：∵∠A＝∠BDC，而∠ACB＝∠CDB＝60°，∴∠A＝∠ACB＝60°，∴△ACB为等边三角形，∵AC＝2，∴圆的半径为2，∴⊙O的面积是4π，故答案为4π．26．（2019•连云港）如图，点A、B、C在⊙O上，BC＝6，∠BAC＝30°，则⊙O的半径为6．解：∵∠BOC＝2∠BAC＝60°，又OB＝OC，∴△BOC是等边三角形∴OB＝BC＝6，故答案为6．27．（2019•台州）如图，AC是圆内接四边形ABCD的一条对角线，点D关于AC的对称点E在边BC上，连接AE．若∠ABC＝64°，则∠BAE的度数为52°．解：∵圆内接四边形ABCD，∴∠D＝180°﹣∠ABC＝116°，∵点D关于AC的对称点E在边BC上，∴∠D＝∠AEC＝116°，∴∠BAE＝116°﹣64°＝52°．故答案为52°．28．（2019•株洲）如图所示，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，且OC⊥AB，过点C的弦CD与线段OB相交于点E，满足∠AEC＝65°，连接AD，则∠BAD＝20度．解：连接OD，如图：∵OC⊥AB，∴∠COE＝90°，∵∠AEC＝65°，∴∠OCE＝90°﹣65°＝25°，∵OC＝OD，∴∠ODC＝∠OCE＝25°，∴∠DOC＝180°﹣25°﹣25°＝130°，∴∠BOD＝∠DOC﹣∠COE＝40°，∴∠BAD＝∠BOD＝20°，故答案为20．29．（2019•盐城）如图，点A、B、C、D、E在⊙O上，且为50°，则∠E+∠C＝155°．解：连接EA，∵为50°，∴∠BEA＝25°，∵四边形DCAE为⊙O的内接四边形，∴∠DEA+∠C＝180°，∴∠DEB+∠C＝180°﹣25°＝155°，故答案为155．30．（2019•凉山州）如图所示，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于H，∠A＝30°，CD＝2，则⊙O的半径是2．解：连接BC，如图所示：∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于H，∴∠ACB＝90°，CH＝DH＝CD＝，∵∠A＝30°，∴AC＝2CH＝2，在Rt△ABC中，∠A＝30°，∴AC＝BC＝2，AB＝2BC，∴BC＝2，AB＝4，∴OA＝2，即⊙O的半径是2；故答案为2．31．（2019•湖州）已知一条弧所对的圆周角的度数是15°，则它所对的圆心角的度数是30°．解：∵一条弧所对的圆周角的度数是15°，∴它所对的圆心角的度数为2×15°＝30°．故答案为30°．32．（2018•朝阳）如图，点A，B，C在⊙O上，AC∥OB，∠BAO＝20°，则∠BOC的度数为40°．解：∵OA＝OB，∴∠BAO＝∠B＝20°，∵AC∥OB，∴∠CAB＝∠B＝20°，∴∠OAC＝40°，∵OA＝OC，∴∠C＝∠OAC＝40°，∴∠BOC＝∠C＝40°，故答案为40°．33．（2018•辽阳）如图，AB是半圆O的直径，E是半圆上一点，且OE⊥AB，点C为的中点，则∠A＝22.5°．解：连接OC，∵OE⊥AB，∴∠EOB＝90°，∵点C为的中点，∴∠BOC＝45°，∵OA＝OC，∴∠A＝∠ACO＝×45°＝22.5°，故答案为22.5°．34．（2018•黑龙江）如图，AC为⊙O的直径，点B在圆上，OD⊥AC交⊙O于点D，连接BD，∠BDO＝15°，则∠ACB＝60°．解：连接DC，∵AC为⊙O的直径，OD⊥AC，∴∠DOC＝90°，∠ABC＝90°，∵OD＝OC，∴∠ODC＝45°，∵∠BDO＝15°，∴∠BDC＝30°，∴∠A＝30°，∴∠ACB＝60°，故答案为60°．35．（2018•镇江）如图，AD为△ABC的外接圆⊙O的直径，若∠BAD＝50°，则∠ACB＝40°．解：连接BD，如图，∵AD为△ABC的外接圆⊙O的直径，∴∠ABD＝90°，∴∠D＝90°﹣∠BAD＝90°﹣50°＝40°，∴∠ACB＝∠D＝40°．故答案为40．36．（2018•北京）如图，点A，B，C，D在⊙O上，＝，∠CAD＝30°，∠ACD＝50°，则∠ADB＝70°．解：∵＝，∠CAD＝30°，∴∠CAD＝∠CAB＝30°，∴∠DBC＝∠DAC＝30°，∵∠ACD＝50°，∴∠ABD＝50°，∴∠ACB＝∠ADB＝180°﹣∠CAB﹣∠ABC＝180°﹣50°﹣30°﹣30°＝70°．故答案为70°．37．（2018•东莞市）同圆中，已知所对的圆心角是100°，则所对的圆周角是50°．解：弧AB所对的圆心角是100°，则弧AB所对的圆周角为50°．故答案为50°．38．（2018•杭州）如图，AB是⊙O的直径，点C是半径OA的中点，过点C作DE⊥AB，交⊙O于D，E两点，过点D作直径DF，连结AF，则∠DF A＝30°．解：∵点C是半径OA的中点，∴OC＝OD，∵DE⊥AB，∴∠CDO＝30°，∴∠DOA＝60°，∴∠DF A＝30°，故答案为30°39．（2018•无锡）如图，点A、B、C都在⊙O上，OC⊥OB，点A在劣弧上，且OA＝AB，则∠ABC＝15°．解：∵OA＝OB，OA＝AB，∴OA＝OB＝AB，即△OAB是等边三角形，∴∠AOB＝60°，∵OC⊥OB，∴∠COB＝90°，∴∠COA＝90°﹣60°＝30°，∴∠ABC＝15°，故答案为15°40．（2018•青海）如图，A、B、C是⊙O上的三个点，若∠AOC＝110°，则∠ABC＝125°．解：如图，在优弧AC上取点D，连接AD，CD，∵∠AOC＝100°，∴∠ADC＝∠AOC＝55°，∴∠ABC＝180°﹣∠ADC＝125°．故答案为125°．三．解答题（共10小题）41．（2019•南通）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝1，以边AC上一点O为圆心，OA为半径的⊙O经过点B．（1）求⊙O的半径；（2）点P为劣弧AB中点，作PQ⊥AC，垂足为Q，求OQ的长；（3）在（2）的条件下，连接PC，求tan∠PCA的值．解：（1）作OH⊥AB于H．在Rt△ACB中，∵∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝1，∴AB＝2BC＝2，∵OH⊥AB，∴AH＝HB＝1，∴OA＝AH÷cos30°＝．（2）如图2中，连接OP，P A．设OP交AB于H．∵＝，∴OP⊥AB，∴∠AHO＝90°，∵∠OAH＝30°，∴∠AOP＝60°，∵OA＝OP，∴△AOP是等边三角形，∵PQ⊥OA，∴OQ＝QA＝OA＝．（3）连接PC．在Rt△ABC中，AC＝BC＝，∵AQ＝QO＝AO＝．∴QC＝AC﹣AQ＝﹣＝，∵△AOP是等边三角形，PQ⊥OA，∴PQ＝1，∴tan∠ACP＝＝＝．42．如图，在⊙O中，B是⊙O上的一点，∠ABC＝120°，弦AC＝2，弦BM平分∠ABC 交AC于点D，连接MA，MC．（1）求⊙O半径的长；（2）求证：AB+BC＝BM．解：（1）连接OA、OC，过O作OH⊥AC于点H，如图1，∵∠ABC＝120°，∴∠AMC＝180°﹣∠ABC＝60°，∴∠AOC＝2∠AMC＝120°，∴∠AOH＝∠AOC＝60°，∵AH＝AC＝，∴OA＝，故⊙O的半径为2．（2）证明：在BM上截取BE＝BC，连接CE，如图2，∵∠MBC＝60°，BE＝BC，∴△EBC是等边三角形，∴CE＝CB＝BE，∠BCE＝60°，∴∠BCD+∠DCE＝60°，∵∠ACM＝60°，∴∠ECM+∠DCE＝60°，∴∠ECM＝∠BCD，∵∠ABC＝120°，BM平分∠ABC，∴∠ABM＝∠CBM＝60°，∴∠CAM＝∠CBM＝60°，∠ACM＝∠ABM＝60°，∴△ACM是等边三角形，∴AC＝CM，∴△ACB≌△MCE，∴AB＝ME，∵ME+EB＝BM，∴AB+BC＝BM．43．（2019•南京）如图，⊙O的弦AB、CD的延长线相交于点P，且AB＝CD．求证：P A ＝PC．证明：连接AC，∵AB＝CD，∴＝，∴+＝+，即＝，∴∠C＝∠A，∴P A＝PC．44．（2018•鞍山）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC与BD为对角线，∠BCA＝∠BAD，过点A作AE∥BC交CD的延长线于点E．（1）求证：EC＝AC．（2）若cos∠ADB＝，BC＝10，求DE的长．（1）证明：∵BC∥AE，∴∠ACB＝∠EAC，∵∠ACB＝∠BAD，∴∠EAC＝∠BAD，∴∠EAD＝∠CAB，∵∠ADE+∠ADC＝180°，∠ADC+∠ABC＝180°，∴∠ADE＝∠ABC，∵∠EAD+∠ADE+∠E＝180°，∠BAC+∠ABC+∠ACB＝180°，∴∠E＝∠ACB＝∠EAC，∴CE＝CA．（2）解：设AE交⊙O于M，连接DM，作MH⊥DE于H．∵∠EAD＝∠CAB，∴＝，∴DM＝BC＝10，∵∠MDE+∠MDC＝180°，∠MDC+∠MAC＝180°，∴∠MDE＝∠CAM，∵∠E＝∠CAE，∴∠E＝∠MDE，∴MD＝ME＝10，∵MH⊥DE，∴EH＝DH，∵∠ADB＝∠ACB＝∠BAD＝∠E，∴cos∠E＝＝，∴EH＝4，∴DE＝2EH＝8．45．（2018•宜昌）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的圆交AC于点D，交BC于点E，延长AE至点F，使EF＝AE，连接FB，FC．（1）求证：四边形ABFC是菱形；（2）若AD＝7，BE＝2，求半圆和菱形ABFC的面积．（1）证明：∵AB是直径，∴∠AEB＝90°，∴AE⊥BC，∵AB＝AC，∴BE＝CE，∵AE＝EF，∴四边形ABFC是平行四边形，∵AC＝AB，∴四边形ABFC是菱形．（2）设CD＝x．连接BD．∵AB是直径，∴∠ADB＝∠BDC＝90°，∴AB2﹣AD2＝CB2﹣CD2，∴（7+x）2﹣72＝42﹣x2，解得x＝1或﹣8（舍弃）∴AC＝8，BD＝＝，∴S菱形ABFC＝8．∴S半圆＝•π•42＝8π．46．（2018•无锡）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB＝17，CD＝10，∠A＝90°，cos B ＝，求AD的长．解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∠A＝90°，∴∠C＝180°﹣∠A＝90°，∠ABC+∠ADC＝180°．作AE⊥BC于E，DF⊥AE于F，则CDFE是矩形，EF＝CD＝10．在Rt△AEB中，∵∠AEB＝90°，AB＝17，cos∠ABC＝，∴BE＝AB•cos∠ABE＝，∴AE＝＝，∴AF＝AE﹣EF＝﹣10＝．∵∠ABC+∠ADC＝180°，∠CDF＝90°，∴∠ABC+∠ADF＝90°，∵cos∠ABC＝，∴sin∠ADF＝cos∠ABC＝．在Rt△ADF中，∵∠AFD＝90°，sin∠ADF＝，∴AD＝＝＝6．47．（2017•济南）如图，AB是⊙O的直径，∠ACD＝25°，求∠BAD的度数．解：∵AB为⊙O直径∴∠ADB＝90°∵相同的弧所对应的圆周角相等，且∠ACD＝25°∴∠B＝25°∴∠BAD＝90°﹣∠B＝65°．48．（2016•温州）如图，在△ABC中，∠C＝90°，D是BC边上一点，以DB为直径的⊙O 经过AB的中点E，交AD的延长线于点F，连结EF．（1）求证：∠1＝∠F．（2）若sin B＝，EF＝2，求CD的长．解：（1）证明：连接DE，∵BD是⊙O的直径，∴∠DEB＝90°，∵E是AB的中点，∴DA＝DB，∵∠B＝∠F，∴∠1＝∠F；（2）∵∠1＝∠F，∴AE＝EF＝2，∴AB＝2AE＝4，在Rt△ABC中，AC＝AB•sin B＝4，∴BC＝＝8，设CD＝x，则AD＝BD＝8﹣x，∵AC2+CD2＝AD2，即42+x2＝（8﹣x）2，∴x＝3，即CD＝3．49．（2016•宁夏）已知△ABC，以AB为直径的⊙O分别交AC于D，BC于E，连接ED，若ED＝EC．（1）求证：AB＝AC；（2）若AB＝4，BC＝2，求CD的长．（1）证明：∵ED＝EC，∴∠EDC＝∠C，∵∠EDC＝∠B，（∵∠EDC+∠ADE＝180°，∠B+∠ADE＝180°，∴∠EDC＝∠B）∴∠B＝∠C，（2）方法一：解：连接AE，∵AB为直径，∴AE⊥BC，由（1）知AB＝AC，∴BE＝CE＝BC＝，∵△CDE∽△CBA，∴，∴CE•CB＝CD•CA，AC＝AB＝4，∴•2＝4CD，∴CD＝．方法二：解：连接BD，∵AB为直径，∴BD⊥AC，设CD＝a，由（1）知AC＝AB＝4，则AD＝4﹣a，在Rt△ABD中，由勾股定理可得BD2＝AB2﹣AD2＝42﹣（4﹣a）2在Rt△CBD中，由勾股定理可得BD2＝BC2﹣CD2＝（2）2﹣a2∴42﹣（4﹣a）2＝（2）2﹣a2整理得a＝，即：CD＝．50．（2016•株洲）已知AB是半径为1的圆O直径，C是圆上一点，D是BC延长线上一点，过点D的直线交AC于E点，且△AEF为等边三角形（1）求证：△DFB是等腰三角形；（2）若DA＝AF，求证：CF⊥AB．解：（1）∵AB是⊙O直径，∴∠ACB＝90°，∵△AEF为等边三角形，∴∠CAB＝∠EF A＝60°∴∠B＝30°，∵∠EF A＝∠B+∠FDB，∴∠B＝∠FDB＝30°，∴△DFB是等腰三角形；（2）过点A作AM⊥DF于点M，设AF＝2a，∵△AEF是等边三角形，∴FM＝EM＝a，AM＝a，在Rt△DAM中，AD＝AF＝2a，AM＝，∴DM＝5a，∴DF＝BF＝6a，∴AB＝AF+BF＝8a，在Rt△ABC中，∠B＝30°，∠ACB＝90°，∴AC＝4a，∵AE＝EF＝AF＝2a，∴CE＝AC﹣AE＝2a，∴∠ECF＝∠EFC，∵∠AEF＝∠ECF+∠EFC＝60°，∴∠CFE＝30°，∴∠AFC＝∠AFE+∠EFC＝60°+30°＝90°，∴CF⊥AB．。
圆周角和圆心角的关系
-----中考链接能力提升题
一．选择题（共12小题）
1．（2013•自贡）如图，在平面直角坐标系中，⊙A经过原点O，并且分别与x轴、y轴交于B、C两点，已知B（8，0），C（0，6），则⊙A的半径为（）
A．3 B．4C．5D．8
2．（2013•珠海）如图，▱ABCD的顶点A、B、D在⊙O上，顶点C在⊙O的直径BE上，∠ADC=54°，连接AE，则∠AEB的度数为（）
A．36°B．46°C．27°D．63°
3．（2013•湛江）如图，AB是⊙O的直径，∠AOC=110°，则∠D=（）
A．25°B．35°C．55°D．70°
4．（2013•宜昌）如图，DC 是⊙O直径，弦AB⊥CD于F，连接BC，DB，则下列结论错误的是（）
A．B．A F=BF C．O F=CF D．∠DBC=90°
5．（2013•绥化）如图，点A，B，C，D为⊙O上的四个点，AC平分∠BAD，AC交BD于点E，CE=4，CD=6，则AE的长为（）
A．4 B．5C．6D．7
6．（2013•苏州）如图，AB是半圆的直径，点D是的中点，∠ABC=50°，则∠DAB等于（）
A．55°B．60°C．65°D．70°
7．（2013•日照）如图，在△ABC中，以BC为直径的圆分别交边AC、AB于D、E两点，连接BD、DE．若BD平分∠ABC，则下列结论不一定成立的是（）
A．BD⊥AC B．A C2=2AB•AE
C．△ADE是等腰三角形D．B C=2AD
8．（2013•南宁）如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点E，且AE=CD=8，∠BAC=∠BOD，则⊙O的半径为（）
A．4B．5C．4D．3
9．（2013•济南）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，AB=10，AC=6，OD⊥BC，垂足是D，则BD的长为（）
A．2 B．3C．4D．6
10．（2013•临沂）如图，在⊙O中，∠CBO=45°，∠CAO=15°，则∠AOB的度数是（）
A．75°B．60°C．45°D．30°
11．（2013•红河州）如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，弦BD平分∠ABC，则下列结论错误的是（）
A．AD=DC B．C．∠ADB=∠ACB D．∠DAB=∠CBA
12．（2013•黑龙江）如图，△ABC内接于⊙O，AB=BC，∠ABC=120°，AD为⊙O的直径，AD=6，那么AB的值为（）
A．3 B．2C．3D．2
二．填空题（共6小题）
13．（2013•淄博）如图，AB是⊙O的直径，，AB=5，BD=4，则sin∠ECB=
_________．
14．（2013•黔西南州）如图所示⊙O中，已知∠BAC=∠CDA=20°，则∠ABO的度数为
_________．
15．（2013•盘锦）如图，⊙O直径AB=8，∠CBD=30°，则CD=_________．
16．（2013•常州）如图，△ABC内接于⊙O，∠BAC=120°，AB=AC，BD为⊙O的直径，AD=6，则DC=_________．
17．（2012•徐州）如图，已知AB是⊙O的直径，CD是弦，且CD⊥AB，AC=8，BC=6．则sin∠ABD=_________．
18．（2012•泰安）如图，在半径为5的⊙O中，弦AB=6，点C是优弧上一点（不与A，
B重合），则cosC的值为_________．
三．解答题（共4小题）
19．（2013•武汉）如图，已知△ABC是⊙O的内接三角形，AB=AC，点P是的中点，连
接PA，PB，PC．
（1）如图①，若∠BPC=60°．求证：AC=AP；
（2）如图②，若sin∠BPC=，求tan∠PAB的值．
20．（2013•温州）如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，延长BC至点D，使DC=CB，延长DA与⊙O的另一个交点为E，连接AC，CE．
（1）求证：∠B=∠D；
（2）若AB=4，BC﹣AC=2，求CE的长．
21．（2013•哈尔滨）如图，在△ABC中，以BC为直径作半圆O，交AB于点D，交AC于点E，AD=AE．
（1）求证：AB=AC
（2）若BD=4，BO=2，求AD的长．
22．（2012•大庆）如图△ABC中，BC=3，以BC为直径的⊙O交AC于点D，若D是AC 中点，∠ABC=120°．
（1）求∠ACB的大小；
（2）求点A到直线BC的距离．
参考答案
一．选择题（共12小题）
1．C2．A．3．B．4．C．5．B．6．C．7．D．8．B．9．C．10．B．11．D．12．A．二．填空题（共6小题）
13．．14．50°．15．4．16．2．17．．18．．
三．解答题（共4小题）
19．解：（1）∵∠BPC=60°，∴∠BAC=60°，∵AB=AC，∴△ABC为等边三角形，
∴∠ACB=∠ABC=60°，∴∠APC=∠ABC=60°，而点P是的中点，∴∠ACP=∠ACB=30°，∴∠PAC=90°，∴tan∠PCA==tan30°=，∴AC=PA；
（2）过A点作AD⊥BC交BC于D，连结OP交AB于E，如图，
∵AB=AC，∴AD平分BC，∴点O在AD上，连结OB，则∠BOD=∠BAC，∵∠BPC=∠BAC，∴sin∠BOD=sin∠BPC==，设OB=25x，则BD=24x，∴OD==7x，在
Rt△ABD中，AD=25x+7x=32x，BD=24x，∴AB==40x，∵点P是的中点，∴OP垂直平分AB，∴AE=AB=20x，∠AEP=∠AEO=90°，在Rt△AEO中，
OE==15x，∴PE=OP﹣OE=25x﹣15x=10x，在Rt△APE中，
tan∠PAE===，即tan∠PAB的值为．
20．（1）证明：∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴AC⊥BC，又∵DC=CB，∴AD=AB，∴∠B=∠D；
（2）解：设BC=x，则AC=x﹣2，在Rt△ABC中，AC2+BC2=AB2，∴（x﹣2）2+x2=42，解得：x1=1+，x2=1﹣（舍去），∵∠B=∠E，∠B=∠D，∴∠D=∠E，∴CD=CE，∵CD=CB，∴CE=CB=1+．
21．解：（1）连接BE，CD，∵BC是半圆O的直径，∴∠BDC=∠BEC=90°，
∴∠ADC=∠AEB=90°，在Rt△ABE和Rt△ACD中，∵，∴△ABE≌△ACD，∴AB=AC．
（2）∵BO=2，∴BC=4，在Rt△BDC中，CD==8，设AD=x，则
AC=AB=x+4，在Rt△ADC中，82+x2=（x+4）2，解得：x=6．即AD=6．
22．解：（1）连接BD，
∵以BC为直径的⊙O交AC于点D，∴∠BDC=90°，∵D是AC中点，∴BD是AC的垂直平分线，∴AB=BC，∴∠A=∠C，∵∠ABC=120°，∴∠A=∠C=30°，即∠ACB=30°；
（2）过点A作AE⊥BC于点E，∵BC=3，∠ACB=30°，∠BDC=90°，∴cos30°==，∴CD=，∵AD=CD，∴AC=3，∵在Rt△AEC中，∠ACE=30°，∴AE=×3=．。
