圆周角和圆心角的关系(一)

圆周角圆心角关系
圆周角和圆心角的关系
（一）定义
1. 圆周角：指圆的弧形轨迹沿着单位圆上某点旋转的路径轨迹水平方
向的转角，量度单位是弧度，它与普通角相比拥有更高的精度。

2. 圆心角：指两个线段（线段A和线段B）与其中一个（以下简称A）所共享的端点，A的直角顶点定义的角。

它的量度单位也是弧度。

（二）关系
1. 两种角的关系被称为帕斯卡定理：圆周角和圆心角之和为两线段所
围成的平行四边形的角的三倍。

2. 圆周角的具体值可以通过求线段A、B与圆上的一个点之间的距离，和线段A、B的距离来确定，最终得出：圆周角=(线段A、B的距离－
圆上点到线段A、B的距离)／2。

3. 若圆心角有定值，则可以通过圆周角得知圆上点到线段A、B的距离：圆上点到线段A、B的距离=线段A、B的距离－2*圆周角。

（三）应用
1. 圆周角和圆心角的关系最常见的应用就是用圆周角计算圆周上物体运动的路程。

2. 天文学中圆周角和圆心角的关系也有很多，例如行星运行轨迹和太阳系其他星系的位置等都是以圆周角和圆心角之间的关系来建立的。

3. 圆周角和圆心角在数学中也有很多应用，例如：确定三角形内某点的坐标，以及求山形线、圆锥线和圆柱曲线等的方法等。

中宁二中教案第____课时总第____课时
补充说明：
一、学生知识状况分析
学生的知识技能基础：学生在上一节的内容中已掌握了圆心角的定义及圆心角的性质。

掌握了在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。

初步了解研究图形的方法，如折叠、轴对称、旋转、证明等。

学生的活动经验基础：在以前的数学学习中学生已经经历了很多合作学习的过程，具有了一定的合作学习的经验，具备了一定的合作与交流的能力。

二、教学任务分析
本节共分2个课时，这是第1课时，主要研究圆周角和圆心角的关系（圆周角定理）。

图1 （1） （2） （3） （4） （5） （7） （6） （8）§3.3、圆周角和圆心角的关系（一）教学目标：1、 理解圆周角的概念；掌握圆周角和圆心角之间的关系，并会运用它进行有关的证明和运算.2、经历探索圆周角和圆心角关系的过程，培养学生观察、分析、猜想、归纳和逻辑推理的能力；通过渗透分类讨论、归纳等数学思想方法，培养学生的探究意识和探索新知识的能力.3、在经历探索圆周角和圆心角关系的过程中，感受探索的艰辛与喜悦，体验数学活动充满着探索与创造，激发学生的学习欲望.教学重点与难点：重点是：理解圆周角的概念；掌握圆周角与圆心角之间的关系定理.难点是：圆周角和圆心角关系定理的证明.教学方法：引导发现法.在老师的启发引导下，学生经过观察、操作、猜测、推理论证、发现、归纳等方法，探究出新知.教学手段：多媒体PPT 课件使用教材的构思：本节课对教材内容进行了重新加工，以学生熟悉的圆心角引入圆周角，学习新概念，并比较它们的异同.在探究圆周角和圆心角关系定理时，以“问题串”形式，教师创设问题情境，层层推进教学，使学生经历观察、操作、猜想、讨论、推理、归纳等数学活动，最后得到新知，并获得一些学习数学学习的方法.同时，课堂练习的设计力求符合不同层次学生的心理特点，通过练习，让不同层次学生体会到本节课是学有所得的，真正体现“使不同的人在数学上得到不同的发展”的新课程理念.教学流程：一、 创设问题，引入新课：（说明：由学生熟悉的知识，以问题形式引出课题，回顾旧知的同时明确新知，激发学生的学习热情，引导学生充分体会新旧知识间的联系.）问题1：什么是圆心角？如图1：哪个是圆心角？圆心角有什么主要特征？学生回顾概念，根据概念分辨图形，进一步理解圆心角的主要特征.问题2：图1（2）的角有什么主要特征？他与圆心角有什么联系和区别？学生观察、比较、发现，并尝试归纳总结.师引导生观察角的顶点、角的两边与圆的位置关系，然后师生共同归纳总结（学生口述，教师板书内容）.ABC O图3 图2问题3：按照“顶点在圆上，两边都和圆相交”的条件画图，能画出多少个这样的角？ 学生画图、发现，并与同桌交流，得到结论：无数多个.师：这无数多个具有共同特征的角，就是圆周角.圆周角和我们前面所学的圆心角之间有什么关系呢？就让我们一起走进今天的课堂.（引入新课，板书课题）二、讲授新课，探究新知：（一）、圆周角定义：板书：顶点在圆上，两边都和圆相交的角叫做圆周角.师引导生强调圆周角的两个特征：1)顶点在圆上；2）两边在圆内的部分是圆的两条弦，即两边都和圆相交，两者缺一不可，并与圆心角区别.学生理解概念，并找出圆周角与圆心角的异同点.巩固练习：图1中还有圆周角吗？学生观察、分析.中下游生口答，并分析其他图为什么不是圆周角.当遇到问题时，其他学生补充.（通过此过程，让学生再次强化理解有关概念.）（二）、探究圆周角和圆心角之间的关系：问题4：小组交流：在你们所画的图中，圆周角和圆心有几种位置关系？学生在小组内交流、汇总，并在全班交流，补充.师投影展示学生所发现的几中位置关系，并让其他小组补充.师：通过画图，我们知道：以圆上任意一点为顶点的圆周角有无数多个，但它们与圆心的位置关系只有三种，如图2： （1） 圆心在圆周角的一边上,（2） 圆心在圆周角的内部, （3） 圆心在圆周角的外部.问题5：在同一个圆中，任意的圆周角和圆心角有什么大小关系？师引导生画图发现.学生画图、观察、测量、发现：它们之间不一定存在某种特殊的关系.如图3：问题6：如果圆周角和圆心角都对同一圆中的一条弧，如图4：在⊙O 中，∠A 、∠BOC 都对着弧BC ，那么这两个角存在着怎样的关系呢？学生画图、测量、比较、发现、猜想.再试一试，并在小组内交流，归纳总结，最后在全班交流. 师引导生完成，师生共同补充归纳得出结论：（师板书） 命题：一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半.师：对于从有限次试验中得出的命题，能当做定理吗？学生:不能.需要用学过的定义和定理对得出的结论的各种情况，进行严密的推理论证后才能做为定理来用。

圆周角和圆心角的关系（第8周第一课时）学习目标:1、理解圆周角的概念,掌握圆周角的两个特征、定理的内容及简单应用；2、学习重点:圆周角的概念和圆周角定理3、学习难点:圆周角定理的证明中由“特殊到一般”的数学思想方法和完全归纳法的数学思想． 学习过程:（一）复习填空，导入新知：顶点在圆心的角叫________,圆心角的度数_______它所对弧的度数。

（二）学生探究，教师引领：1、圆周角定义： 。

圆周角必须具备两个条件：①顶点在________，②两边_________（缺一不可） 2、下列图形中的角是不是圆周角？3、动手探索如图是一个圆柱形的海洋馆的横截面示意图,人们可以通过其中的圆弧形玻璃窗 观看窗内的海洋动物,同学甲站在圆心O 的位置，同学乙站在正对着玻璃窗的靠墙的位置C ，同学丙、丁分别站在其他靠墙的位置D 和E 问题1：同学乙、丙、丁三人的视角(∠ACB 、ADB 和 ∠AEB 有什么特点?它们大小之间有什么关系？问题2：同学甲的视角∠AOB的视角与乙、丙、丁三人的视角相同吗？他们有什么关系呢？① 分别量一下 所对的圆周角∠ACB 、∠ADB 和∠AEB 的度数,比较一下，再改变圆周角的位置，圆周角的度数有没有变化？你有什么发现？ ∠ACB=________、∠ADB=_______、∠AEB=_______② 再量出图中 所对的圆周角和圆心角的度数，比较一下，你有什么发现？ 用量角器量一量∠A0B=______, 4、归纳圆周角定理在_____或____中，同弧或等弧所对的______相等．都等于这条弧所对的圆心角的____． 5、圆周角定理的推论半圆（或______）所对的圆周角是_______; 90°的圆周角所对的弦是__________．乙三、学生展示，教师点评（先完成课本86第1题）(1)、下列图形中，哪些图形中的圆心角∠BOC 和圆周角∠A 是同对一条弧。

(2)．如图1，∠1、∠2、∠3、∠4中相等的角有____________(3)、如图2，圆中角X 的度数为______________.(4)、如图3，在⊙O中，∠BOC=50°，则∠BAC=____________。

北师大版数学九年级下册3.4《圆周角和圆心角的关系》教案1一. 教材分析北师大版数学九年级下册 3.4《圆周角和圆心角的关系》是本节课的主要内容。

通过本节课的学习，让学生理解圆周角和圆心角的关系，掌握圆周角定理，并能运用圆周角定理解决实际问题。

教材通过引入圆周角和圆心角的概念，引导学生探究它们之间的关系，从而发现圆周角定理。

二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经学习了圆的基本概念，如圆的半径、直径等，对圆有一定的认识。

但学生对圆周角和圆心角的概念可能比较陌生，需要通过实例和探究活动来理解和掌握。

此外，学生需要具备一定的观察和推理能力，通过观察图形和逻辑推理来发现圆周角定理。

三. 教学目标1.知识与技能目标：让学生掌握圆周角定理，能运用圆周角定理解决实际问题。

2.过程与方法目标：通过观察、操作、推理等过程，培养学生的观察能力和推理能力。

3.情感态度与价值观目标：让学生体验数学学习的乐趣，培养学生的探究精神和合作意识。

四. 教学重难点1.教学重点：圆周角定理的掌握和运用。

2.教学难点：圆周角定理的证明和理解。

五. 教学方法1.情境教学法：通过引入实际问题，激发学生的学习兴趣，引导学生主动探究。

2.问题驱动法：通过提出问题，引导学生观察、思考和推理，培养学生的问题解决能力。

3.合作学习法：引导学生分组讨论和合作，培养学生的团队合作意识和交流能力。

六. 教学准备1.教学PPT：制作相关的教学PPT，展示圆周角和圆心角的图形和实例。

2.教学素材：准备一些相关的实例和习题，用于引导学生进行探究和练习。

3.教学工具：准备圆规、直尺等绘图工具，方便学生进行绘图和操作。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过展示一些实际问题，如自行车轮子的转动、钟表的指针运动等，引导学生观察和思考这些现象与圆周角和圆心角的关系。

2.呈现（10分钟）呈现圆周角和圆心角的定义，引导学生理解它们的概念。

通过PPT展示一些实例，让学生观察和思考圆周角和圆心角之间的关系。

教学过程：一、设计情景，引入新课师：在上周我们班和九二班旳足球友谊赛中，咱们班以二比三险胜，现在说起来还有些小兴奋呢，大家和记不记得这三个球都是谁进旳？ 生：是王程、李明亮、李柄桦．师：感谢他们给我们班带来旳胜利，现在有这样旳一个游戏是他们三个人参与旳． 课件出示：如果他们三人进展一射门游戏，过球门A 、C 画了一个圆，在球门B 、D 、E 旳位置射任意球〔直线射〕，仅从教学旳角度考虑，请问站在那个位置射球最有利？生：D ．课时第三章第三节第1课时 课 题课 型新授课时 间 2021年2月28日 周四节 次第四节授 课 人教学 目标 旳概念,掌握圆周角旳两个特征、定理旳内容及简单应用． 旳关系．旳证明，进一步体会思考问题旳全面性和合理性． 旳运用，渗透转化旳数学思想．5.学会以特殊情况为根底，通过转化来解决一般问题旳方法，体会分类旳数学思想． 重点 圆周角旳概念和圆周角定理难点 圆周角定理旳证明中由“一般到特殊〞旳数学思想方法和完全归纳法旳数学思想 教法 学法 类比教学法、启发式教学法、合作探究法、直观教学法 课前准备 多媒体课件、几何画板、圆规、三角尺师：为什么呢？生：因为角度大．师：你说旳角度是这旳什么呢？可不可以到黑板上给同学们指一下．生：〔边指边说〕连接AD、CD形成旳∠ADC．师：同学们都是这样认为旳吗？生表达意见．师：我看有好多同学都是想选D，那我们带着这个问题来学习今天旳内容：圆周角和圆心角旳关系〔板书课题〕，学完以后我们再来看终究应该怎样选择．设计意图：由生活实践来创设情境，让学生感受数学与生活旳联系．将实际问题数学化，让学生从一些简单旳实例中，不断体会从现实世界中寻求数学模型、建立数学关系旳方法．引导学生对图形旳观察、发现激发学生旳好奇心和求知欲，并在运用数学知识解答问题旳活动中获取成功旳体验，建立学生旳自信心．二、师生互动，探究新知〔一〕圆周角旳定义师：大家还记得什么叫做圆心角吗？生：顶点在圆心上旳角叫做圆心角．师：这个图中旳∠AOB就是一个圆心角，那我把它旳圆心拖到圆周上C点旳位置，看一下这个角有什么特点？生：这个角旳顶点在圆周上，并且角旳两边都和圆相交．师：他观察出了这个角旳特征，那同学们能不能仿照圆心角旳名字给它起一个名字？生：圆周角．师：是根据什么而定旳？或者说什么叫做圆周角呢？生：顶点在圆心上，且角旳两边分别与圆还有另一个交点旳角，叫做圆周角．师：对，这就是我们要来掌握旳另一种角．板书：圆周角．设计意图：采用类比教学法，通过圆心角定义让学生得出圆周角定义，培养学生旳观察能力、归纳能力．师：我们来看一组图片，这里五个角哪些是圆周角？为什么？A B C D E生1：A不是，因为它旳顶点不在圆周上．生2：B不是，因为它旳顶点不在圆周上．生3：C是．生4：D不是，角旳两边分别与圆没有另一个交点．生5：E不是，角旳一条边和圆没有另一个交点．师：那我们判断一个角是不是圆周角时要把握什么？生：先看这个角旳圆心在不在圆周上，再看角旳两边与圆还有没有另一个交点．师：说旳很好，我们再来看这道题目：课件出示：2.判断以下命题是否正确．〔1〕圆周角旳顶点一定在圆上．〔〕〔2〕顶点在圆上旳角叫做圆周角．〔〕〔3〕圆周角旳两边都和圆相交．〔〕〔4〕两边都和圆相交旳角是圆周角．〔〕学生判断并说明理由．生1：〔1〕正确．生2：〔2〕错误．还要看角旳两边是否和圆还有另外一个交点．生3：〔3〕正确．生4：〔4〕错误．还有看这个角旳顶点是否在圆上．师：这道题目比拟简单，下面我们来看谁能在最短旳时间内找出图中所有旳圆周角．课件出示：以下两个圆中，各有几个圆周角？生1：∠CAD，∠BAD，∠BAC师：你是怎样找旳？生：我先在圆上找顶点，在确定角．师：第二幅图呢？生：∠CAB，∠ABD，∠ABC，∠DBC，∠BCA，∠BCD，∠ACD和∠CDB共8个圆周角．设计意图：通过练习加深对圆周角定义旳理解．师：非常好，不重与不漏．我们在学习了圆周角旳定义以后再来看看刚刚旳问题．〔课件出示图3-13〕球员射中球门旳难易程度与他所处旳位置B对球门AC旳张角〔∠ABC〕有关．当球员在B、D、E处射门时，他所处旳位置队球门AC分别形成三个张角∠ABC，∠ADC，∠AEC，我们首先把这个问题转化成数学模型．这三个角有什么特征？生：这三个角都是圆周角．师：还有呢？生：它们都对着AC．师：那这三个角谁大谁小？生大胆猜测：一样大．师：为什么？生有些茫然．师：我们上节课学习了圆心角旳有关知识，那么我们旳这个问题是不是能转化成圆周角和圆心角旳关系，然后再来说明这三个角旳大小呢？这是我们这节课要研究旳主要内容．〔二〕探究活动一．师：下面请各个组进展探究活动一，拿出探究活动纸：学生开场探究活动，教师进展巡视指导．师：现在我们请每一个小组派一位组员上来，我们汇总一下结果．各个小组利用实物投影仪进展汇报，教师引导学生进展汇总，最后分为三类：教师利用几何画板固定∠AOC旳位置，拖动点B使其落在不同旳位置上，是同学们再次形象旳并且连续性旳认识上面旳问题．师：如图①O点在∠ABC旳一条边上；拖动O点如图②，O点在∠ABC旳内部；继续拖动如图③，O点在∠ABC旳外部．所以我们把圆周角和圆心角旳位置关系分为三种，我们在分类时一定要做到不重不漏．下面我们进展探究二．①A②③设计意图：引导学生发现问题、提出问题、分析问题、并能解决问题．展示旳设计：教师利用几何画板从动态旳角度进展演示，目旳是用运动变化旳观点来研究问题，在运动变化旳过程中寻求不变旳关系．〔三〕探究二师：我们要研究一条弧所对旳圆周角∠ABC与它所对旳圆心角∠AOC旳大小关系．我们先来看一下用电脑测量出来旳这两个角是什么关系？找一位学生利用电脑上旳几何画板软件进展操作：每拖动一次B点旳位置就测量一次圆周角和圆心角．A师：同学们计算一下∠AOC与∠ABC旳大小有什么关系？生：两倍关系．师感谢学生旳操作，然后利用几何画板改变AC旳位置引导学生发现，∠AOC依然是∠ABC旳两倍．师：那现在同学们能不能猜测一下同一条弧所对旳圆周角和圆心角旳大小关系呢？．生：一条弧所对旳圆周角等于它所对旳圆角心旳12师板书结论．设计意图：让学生亲自动手，利用度量工具〔几何画板〕进展猜测、实验、探究，得出结论．激发学生旳求职欲望，调动学生学习旳积极性．师：刚刚我们是通过观察、猜测得到了一条弧所对旳圆周角和圆心角旳大小关系，下面我们就来尝试证明一下，看看哪个小组能最快旳把这三种情况旳证明旳出来．学生利用探究纸进展小组探究，师巡视指导，抽时间将这三组图画在黑板上以方便随后旳展示．师：好，先停一下．下面我们将小组已经探究旳结果来展示一下．我们从那一幅图开场？生：第一幅图．师：谁来说一下？生1：如图〔1〕，圆心在∠ABC旳边上∵∠AOC是△ABO旳外角，∴∠AOC=∠B+∠A∵OA=OB∴∠A=∠B∴∠AOC=2∠B即∠ABC=12∠AOC师：那第二幅图谁来说一下？生2：如图，连接BO并延长交圆于D点，那么将这幅图转化成图〔1〕旳形式．由〔1〕可知，∠ABD=12∠AOD∠CBD=12∠COD∴∠ABC=∠ABD+∠CBD=12〔∠AOD +∠COD〕=12∠AOC师：我刚刚发现，很多组旳同学在探究第三幅图旳时候被卡住了，那第三幅图形是不是也可以通过做一些辅助线转化成第一幅图旳形式呢？再给同学们两分钟旳时间快速旳思考一下．小组讨论，教师巡视并作出适时适当旳指导．师：现在谁来说一下第三种情况你们是怎样证明旳？生3：还是连接BO并延长交圆于D点，我们就可以得到两组根本图形：∠ABD和∠AOD；∠CBD和∠COD．由〔1〕可知∠ABD=12∠AOD∠CBD=12∠COD∴∠ABC=∠ABD-∠CBD=1 2〔∠AOD -∠COD〕ABCOD=1∠AOC2师：在证明旳过程中，我们把第二种和第三种情况通过添加辅助线把它们转化成第一种情况，这就运用了我们数学中化归思想，同时在这道题旳证明中我们也应用了分类讨论旳方法以及完全归纳旳证明方法．对于这个定理“一条弧所对旳圆周角等于它所对旳圆心角旳一半．〞我们也可以这样理解：一条弧所对旳圆心角等于它所对旳圆周角旳二倍；圆周角旳度数等于它所对旳弧旳度数旳一半．设计意图：让学生对所发现旳结论进展证明，培养学生严谨旳治学态度．学生通过合作探索学会运用分类讨论旳数学思想研究问题，培养学生思维旳深刻性．同时让学生学会一种分析问题、解决问题旳方式方法：从特殊到一般．学会用化归思想将问题转化，体验数学建模思想．同时也解决了难点、突出了重点．(四)解决问题师：现在让我们再回到到个问题上〔多媒体出示画面〕，在B、D、E这三个点上，在那个点上射门是最有利旳呢？生：一样旳．师：为什么？生：因为∠ABC、∠ADC、∠AEC所对旳弧都是AC，AC所对旳圆心角旳度数是固定旳，这三个角旳度数等于这个角度数旳一半，所以这三个角旳度数是相等旳．师：从而我们就能得到这样旳结论：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对旳圆周角相等．(五)联系实生活实际师：在生活中还有那些运用圆周角旳实例，有没有同学想出来啊？只要我们善于观察就会发现我们旳生活中处处有数学．比方〔课件出示〕：我们有团圆吧，团徽、团旗中有没有圆周角啊？生：有．师：还有许多歌剧院、大剧院旳座位排列都是呈圆弧状旳，这是为什么呢？生：这样可以保证在同排旳观众视角是一样旳．师：非常好．〔学生鼓掌〕设计意图：通过回归生活实践，将数学知识与现实生活相联系起来，让学生在解决实际问题中获得成功旳体验．三、稳固应用，开拓创新师：现在请同学们看大屏幕，快速旳完成这两道题．多媒体出示：1、如图1，在⊙O中，∠BOC=50°，那么∠A= ．2、如图2，A,B,C,D是⊙O上旳四点，且∠BCD=100°，那么∠BOD= °，∠BAD= °．图1 图2学生完成后，教师安排学生到大屏幕前讲解自己旳做法．设计意图：练习层层推进，难易结合，考察学生对定理旳理解和运用，使学生很好地进展知识旳迁移，让学生在练习中加深对本节知识旳理解．教师通过练习及时发现问题，评价教学效果．四、课堂小结师：刚刚同学们旳表现都非常好．现在我们请一位同学来谈一谈这节课旳收获．；在同圆或等圆中，同弧或等弧所对旳生：一条弧所对旳圆周角等于它所对旳圆角心旳12圆周角相等．师：还有要补充旳吗？生：一条弧所对旳圆心角等于它所对旳圆周角旳二倍；圆周角旳度数等于它所对旳弧旳度数旳一半．师：我们这节课学习了圆周角定理以及圆周角定理旳推论，在圆周角定理旳证明中，运用了数学中分类讨论和化归旳思想以及完全归纳旳证明方法．设计意图：小结使学生归纳、梳理总结本节课旳知识、技能、方法，将本节课所学知识与以前所学知识进展严密联接，有利于培养学生数学思想、数学方法、数学能力和对数学旳积极情感．五、课堂检测1、⊙O旳弦AB等于半径，那么弦AB所对旳圆周角一定是〔〕．〔A〕30°〔B〕150°〔C〕30°或150°〔D〕60°2、△ABC 中，∠B ＝90°，以BC 为直径作圆交AC 于E ，假设BC =12，AB =123 ，那么BE 旳度数为〔 〕．〔A 〕60° 〔B 〕80° 〔C 〕100° 〔D 〕120° 3、一条弦分圆为1：4两局部，求这弦所对旳圆周角旳度数？ 4、AB 为⊙O 旳直径，AC 和AD 为弦，AB =2，AC =2，AD =1，求∠CAD 旳度数． 六、布置作业作业题：课本112页，数学理解，第2、3题．思考题：在航海时，船长常常通过测定角度来确定是否遇到暗礁，你知道其中旳微妙吗？设计意图：课后作业是对课堂所学知识旳检验，是让学生稳固、提高、开展，同时关注不同层次学生对所学内容旳理解和掌握．师：最后再送给同学们一句话：要养成用数学旳语言去说明道理，用数学旳思维去解读世界旳习惯． 下课．七、板书设计§旳关系〔一〕一、圆周角定义顶点在圆心上，且角旳两边分别与圆还有另一个交点旳角，叫做圆心角．二、圆周角定理一条弧所对旳圆周角等于它所对旳圆心角旳一半． (1) (2) (3)设计意图：让本节课旳学习内容及重难点一目了然．教学反思：收获：研究圆周角和圆心角旳关系，应该说，学生解决这一问题是有一定难度旳，尽管如此，教学时仍应给学生留有时间和空间，让他们进展思考．让学生经历观察、想象、推理、操作、描述、交流等过程，多种角度直观体验数学模型，而这也正符合本章学习旳主要目标． 问题：在探究一中，学生画图表示圆周角和圆心角旳关系旳位置关系时，有一个小组是这样画旳：我说这也属于“圆心角旳顶点在圆周角旳内部〞，当时就有一些同学不认可，或者说是不能BA AO C A BCO D很好地理解，我当时对这个问题没有重视一带而过了，现在想想这说明同学们对优角和优弧旳概念还是很陌生，不能灵活旳加以应用．改良：这对圆周角定理完成证明后，可以把上面这幅图在呈现出来，让同学们来验证一下．。

第4节圆周角和圆心角的关系1.经历探索圆周角和圆心角及其所对弧的关系的过程.2.理解圆周角的概念,了解并证明圆周角定理及其推论.3.理解圆的内接四边形的性质.1.经历探索圆周角和圆心角及其所对弧的关系的过程,培养学生观察、分析、猜想、归纳和逻辑推理的能力.2.通过渗透分类讨论、归纳等数学思想方法,培养学生的探究意识和探索新知识的能力.在经历探索圆周角和圆心角关系的过程中,感受探索的艰辛与喜悦,体验数学活动充满着探索与创造,激发学生的学习欲望.【重点】1.掌握圆周角定理及其证明过程.2.运用圆周角定理及其推论解决相关问题.3.圆的内接四边形的性质及其应用.【难点】1.圆周角定理的证明过程.2.体会分类讨论、归纳等数学思想方法的应用.第1课时圆周角定理及其推论11.理解圆周角的概念,掌握圆周角和圆心角之间的关系(圆周角定理)及其推论1,并会运用它们进行有关的证明和运算.2.理解并掌握圆周角和圆心角之间的关系(圆周角定理)的证明方法.经历探索圆周角和圆心角的关系的过程,学会以特殊情况为基础,通过转化来解决一般性问题的方法,渗透分类的数学思想.通过观察、猜想、验证、推理,培养学生探索数学问题的能力和方法.【重点】掌握圆周角的概念、圆周角定理及推论1及其证明过程.【难点】了解圆周角与圆心的三种位置关系,用化归思想合情推理验证圆周角定理.【教师准备】多媒体课件.【学生准备】1.复习三角形外角的知识和圆的基础知识.2.圆规和直尺.导入一:课件出示:如图所示,有一只小蚂蚁从C点出发,沿着圆周的方向逆时针爬行,在爬行的过程中,蚂蚁所在的点B与点A,C所组成的∠ABC的度数会发生变化吗?若∠AOC=60°,那么∠ABC的度数可能是多少?学生猜测:∠ABC的度数应该不会发生变化,∠ABC的度数可能是30°.【问题】∠ABC是什么角?圆心角∠AOC和∠ABC之间有什么样的关系?[设计意图]通过活泼的小蚂蚁的运动,让学生初步感知圆周角的基本概念以及圆周角与圆心角的关系,使学生对本节课的探究任务一目了然.导入二:课件出示:同学们,你们喜欢踢足球吗?看了2014年巴西世界杯和2015年加拿大女足世界杯了吗?(投影展示世界杯的精彩片段)【问题】请同学们想一想,球员射中球门的难易与什么有关?【学生活动】学生思考后积极回答,学生的答案可能会五花八门.【引导】射门球员与两个门柱组成的角度会决定球员射中球门的难易程度,相信学完本节课的知识你就可以解决这个问题了.[设计意图]由学生熟知的世界杯为引子,创设问题情境,吸引学生的注意,激发学生的学习兴趣.复习所学过的圆心角,并且引出要学习的圆周角,引导学生在观察图形的基础上进行独立思考,然后再进行合作交流,最后达成共识.课件出示:如图所示,球员射中球门的难易程度与他所处的位置B对球门AC的张角(∠ABC)有关.当球员分别站在B,D,E的位置上射门时,哪个位置进球的可能性大?【学生活动】学生思考后并猜测,可能会有大部分的学生认为在D处进球的可能性大,也有学生认为一样大.【教师活动】教师对于学生的回答,暂时不做评论,教师出示动画效果的视频进行演示,继续引导学生思考下面的问题.【问题】图中的三个角∠ABC,∠ADC,∠AEC,以前见过这种类型的角吗?它们有什么共同特征?【学生活动】生观察后,与同伴交流,代表小结三个角的共同特征:(1)角的顶点在圆上;(2)角在圆的内部;(3)角的两边都与圆相交.【教师点评】我们把具有这样特征的角称为圆周角.圆周角的概念:顶点在圆上,两边分别与圆还有另一个交点,像这样的角,叫做圆周角.【教师强调】理解圆周角的概念的两个特征:(1)角的顶点在圆上;(2)角的两边都与圆相交.[过渡语]同学们了解了圆周角的概念,通过下面的题目,来检测一下同学们对圆周角概念的理解程度.判断下列图中的角是否是圆周角,并说明理由.【学生活动】先让学生观察思考,独立判断,基础差的学生回答,并说明是与不是的理由.[设计意图]让学生学好基础知识、基本概念,识别其内容反映出来的数学思想和方法,培养学生的基本技能及分析问题和解决问题的能力,使学生通过自己的观察与探索,发现、理解并掌握圆周角的定义.课件出示:【做一做】如图所示,∠AOB=80°.问题1请你画出几个所对的圆周角,这几个圆周角有什么关系吗?请与同伴进行交流.教师引导学生动手操作并思考下面的问题:1.你所画出的圆周角的度数之间有什么关系?你是怎么得到这个结论的?2.你能画出多少个圆周角?【师生活动】要求学生动手操作,师巡视,发现学生出现的问题,及时纠正.学生独立完成并与同伴进行交流后,代表发言.1.使用量角器进行测量可得所对的圆周角的度数都相等.2.可以画出无数个相等的圆周角.问题2这些圆周角与圆心角∠AOB的大小有什么关系?你是怎么发现的?与同伴进行交流.【师生活动】学生继续进行操作,师参与其中.【学生活动】学生独立完成并与同伴进行交流后,代表发言.利用量角器得出所对的圆周角都等于40°,都等于所对的圆心角80°的一半.【议一议】如果改变图中的∠AOB的度数,上面的结论还成立吗?【活动方式】分组探究,分别以∠AOB的度数为30°,90°,120°和150°为例,分四组练习,得出结论.再结合各组的结论,总结出圆周角与圆心角之间的关系.【学生活动】学生在小组内交流、汇总,并在全班交流、补充.【教师归纳】圆周角与圆心的位置关系只有三种:(1)圆心在圆周角的一边上(如图(1)所示);(2)圆心在圆周角的内部(如图(2)所示);(3)圆心在圆周角的外部(如图(3)所示).【教师活动】要求学生独立写出已知和求证,并利用图(1)进行证明.教师引导学生思考下面的问题:1.△AOC是什么三角形?2.∠AOB与△AOC有什么关系?代表展示:如图(1)所示,∠ACB是所对的圆周角,∠AOB是所对的圆心角.求证∠C=·∠AOB.证明:圆心O在∠C的一条边上,如图(1)所示.∵∠AOB是△AOC的外角,∴∠AOB=∠A+∠C.∵OA=OC,∴∠A=∠C.∴∠AOB=2∠C,即∠C=∠AOB.【做一做】请你完成其他两种情况的证明.教师引导学生思考下面的问题:1.证明圆周角定理的主要思路是什么?2.我们用推理论证的方法得到了第一种情况结论是成立的.对于第二、三种情况都可以转化成圆心在圆周角的一边上的情况去处理.如何进行转化呢?【师生活动】学生分组讨论,师要参与其中,对有困难的小组进行指点.代表发言:1.主要是利用等腰三角形的外角的知识进行证明.2.可以通过作直径的方法进行转化.【活动方式】分成四组解答,第一、三组利用图(2)进行证明,第二、四组利用图(3)进行证明.【学生活动】学生讨论后,理清了思路,独立解答.找2名学生代表板演展示.【教师活动】师利用多媒体出示证明过程,规范学生的证明步骤.证明:圆心O在圆周角的内部(如图所示).在☉O中作直径CD,由前面的结论可知∠ACD=∠AOD,∠BCD=∠BOD,∴∠ACD+∠BCD=∠AOD+∠BOD.即∠ACB=∠AOB.证明:圆心O在圆周角的外部(如图所示).在☉O中作直径CD,由前面的结论可知∠ACD=∠AOD,∠BCD=∠BOD,∴∠ACD-∠BCD=∠AOD-∠BOD.即∠ACB=∠AOB.[设计意图]通过测量和推理证明两种方式得出圆周角的判定定理,加深了学生对于圆周角定【想一想】在射门游戏中,当球员在B,D,E处射门时,所形成的三个张角∠ABC,∠ADC,∠AEC的大小有什么关系?你能用圆周角定理证明你的结论吗?学生分析:如图所示,因为∠ABC,∠ADC,∠AEC都是同一条所对的圆周角,根据圆周角定理,它们都等于所对的圆心角∠AOC度数的一半,所以这三个角都相等.【问题】根据上述探究的结论,以及三个圆周角的共性,你还能得出什么样的结论?【师生总结】圆周角定理推论1:同弧或等弧所对的圆周角相等.【想一想】你现在知道球员在哪个位置把球射进球门的可能性大了吗?学生统一了想法:因为∠ABC=∠ADC=∠AEC,所以球员在B,D,E处把球射进球门的可能性是一样大的.[设计意图]利用情境题及时巩固新知,使每个学生都有收获,感受成功的喜悦,充分肯定探索活动的意义,提高学生的积极性和主观能动性.[知识拓展]在同一个圆中,同弦所对的圆周角可能相等也可能互补.如图所示.【教师强调】(1)“同弧”指“同一个圆”.(2)“等弧”指“在同圆或等圆中”.(3)“同弧或等弧”不能改为“同弦或等弦”.1.圆周角的概念.2.圆周角定理.3.圆周角定理的证明方法.4.圆周角定理的推论1.1.(2014·温州中考)如图所示,已知A,B,C在☉O上,为优弧,下列选项中与∠AOB相等的是()A.2∠CB.4∠BC.4∠AD.∠B+∠C解析:由圆周角定理可得∠AOB=2∠C.故选A.2.如图所示,在☉O中,AC∥OB,∠BAO=25°,则∠BOC的度数为()A.25°B.50°C.60°D.80°解析:∵OA=OB,∴∠B=∠BAO=25°,∵AC∥OB,∴∠BAC=∠B=25°,∴∠BOC=2∠BAC=50°.故选B.3.如图所示,☉O的直径CD⊥AB,∠AOC=50°,则∠CDB的大小为.解析:由垂径定理,得=,∴∠CDB=·∠AOC=25°.故填25°.4.如图所示,☉O是△ABC的外接圆,点D为上一点,∠ABC=∠BDC=60°,AC=3cm,求△ABC的周长.解:∵=,∴∠BDC=∠BAC.∵∠ABC=∠BDC=60°,∴∠ABC=∠BAC=60°,∴∠ACB=60°.∴△ABC为等边三角形.∵AC=3cm,∴△ABC的周长为3×3=9(cm).第1课时1.圆周角的概念:顶点在圆上,两边分别与圆还有另一个交点的角.2.圆周角定理:圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半.3.圆周角定理的推论1:同弧或等弧所对的圆周角相等.一、教材作业【必做题】1.教材第80页随堂练习第1,2题.2.教材第80页习题3.4第1,2,3题.【选做题】教材第81页习题3.4第4题.二、课后作业【基础巩固】1.(2014·山西中考)如图所示,☉O是△ABC的外接圆,连接OA,OB,∠OBA=50°,则∠C的度数为()A.30°B.40°C.50°D.80°2.(2014·株洲中考)如图所示,点A,B,C都在圆O上,如果∠AOB+∠ACB=84°,那么∠ACB的大小是.3.如图所示,边长为1的小正方形网格中,☉O的圆心在格点上,则∠AED的余弦值是.【能力提升】4.(2014·齐齐哈尔中考)如图所示,在☉O中,OD⊥BC,∠BOD=60°,则∠CAD的度数等于()A.15°B.20°C.25°D.30°5.如图所示,点E是的中点,点A在☉O上,AE交BC于D.求证BE2=AE·DE.6.如图所示,A,B,C,D是☉O上的四点,AB=AC,AD交BC于点E,AE=2,ED=4,求AB的长.7.如图所示,在半径为5cm的☉O中,直径AB与弦CD相交于点P,∠CAB=50°,∠APD=80°.(1)求∠ABD的大小;(2)求弦BD的长.【拓展探究】8.(2015·安徽中考)在☉O中,直径AB=6,BC是弦,∠ABC=30°,点P在BC上,点Q在☉O上,且OP⊥PQ.(1)如图(1)所示,当PQ∥AB时,求PQ的长度;(2)如图(2)所示,当点P在BC上移动时,求PQ长的最大值.【答案与解析】1.B(解析:∵OA=OB,∠OBA=50°,∴∠OAB=∠OBA=50°,∴∠AOB=180°-50°×2=80°,∴∠C=∠AOB=40°.故选B.)2.28°(解析:∵∠AOB=2∠ACB,∠AOB+∠ACB=84°,∴3∠ACB=84°,∴∠ACB=28°.故填28°.)3.(解析:∵∠AED与∠ABC都对应,∴∠AED=∠ABC,在Rt△ABC中,AB=2,AC=1,根据勾股定理得BC=,则cos∠AED=cos∠ABC==.)4.D(解析:∵在☉O中,OD⊥BC,∴=,∴∠CAD=∠BOD=×60°=30°.故选D.)5.证明:∵点E是的中点,∴=.∴∠BAE=∠CBE,∵∠E=∠E(公共角),∴△BDE∽△ABE,∴BE∶AE=DE∶BE,∴BE2=AE·DE.6.解:∵在☉O中,AB=AC,∴弧AB=弧AC.∴∠ABC=∠D.又∠BAE=∠DAB,∴△ABE∽△ADB.∴=,即AB2=AE·AD=2×6=12.∴AB=2.7.解:(1)∵∠APD是△APC的外角,∠CAB=50°,∠APD=80°,∴∠C=80°-50°=30°,∴∠ABD=∠C=30°.(2)如图所示,过点O作OE⊥BD于点E,则BD=2BE,由(1)知∠ABD=30°,OB=5cm,∴BE=OB·cos30°=3×=(cm),∴BD=2BE=2×=3(cm).8.解:(1)连接OQ,如图(1)所示,∵PQ∥AB,OP⊥PQ,∴OP⊥AB,在Rt△OBP中,∵tan B=,∴OP=3tan30°=,在Rt△OPQ中,∵OP=,OQ=3,∴PQ==.(2)连接OQ,如图(2)所示,在Rt△OPQ中,PQ==,∴当OP的长最小时,PQ的长最大,此时OP⊥BC,则OP=OB=,∴PQ长的最大值为=.本节课教学设计上,一是注重了创设情境,激发学生学习的兴趣、主动性和求知欲望,为下一步教学的顺利展开开个好头;二是注重了引导学生经历探索、验证、论证、应用数学新知的过程,鼓励学生用动手实践、自主探究、合作交流的学习方法进行学习,使学生在数学活动中深刻地理解知识和掌握由特殊到一般的认知方法.探索并证明圆周角和圆心角的关系,学生解决起来是有一定难度的,教学时可以给学生留出充足的时间和空间,让他们进行思考、交流.学生在经历画图、猜想、推理、交流、严格证明等过程后,自己得出了结论,收到了预期的效果.在学生证明圆周角定理时由于引导效果不好,导致有些学生解决问题还有困难,不知如何入手.今后在教学中多训练学生的思维能力,再放手,采取结对子帮扶,充分发挥小组长的示范作用.练习(教材第80页)1.解:∠A=∠BOC=×50°=25°.2.解:∠BDC=∠BAC.相等的角还有:∠ADB=∠ACB,∠DBA=∠DCA,∠CAD=∠CBD.习题3.4(教材第80页)1.解:∠ACB=2∠BAC.∵∠ACB=∠AOB,∠BAC=∠BOC,且∠AOB=2∠BOC,∴∠ACB=2∠BAC.2.解:∵∠C=100°,∴∠BOD(大于180°的)=200°,∴∠BOD(小于180°的)=160°,∴∠A=∠BOD=×160°=80°.3.解:尽量保证同排的人视角相同.4.解:当船位于安全区域时,∠α小于“危险角”.对于圆周角的概念的得出,可以通过对情境题的仔细观察就可以直接得出圆周角的概念,而定理的探索,则需要通过动手操作,利用量角器测量的方法得出圆周角与圆心角之间的关系.对于圆周角定理的证明遵循“由特殊到一般”的方法,对于三种可能性的证明则可以利用“转化”的思想方法进行解决.。

《圆周角与圆心角的关系》说课稿今天我说课的内容是北师大版九年级数学（下册）第三章第三节《圆周角和圆心角的关系》的第一课时。

下面从教材分析、教学方法、学法指导、教学过程、板书设计等五个方面逐一阐述我的设计意图。

一、教材分析1、教材的地位和作用本节课是在学生掌握了圆的有关性质和圆心角概念的基础上进行的，是前面学过的三角形内角和定理的推论和等腰三角形性质的延续，又是下一节课学习圆周角定理的推论的理论依据,还能充分渗透分类讨论的数学思想和方法。

本节课储备的知识，在推理、论证和计算中应用广泛，并且它在研究圆和其他图形中起着桥梁和纽带作用，是本章重点内容之一。

2、教学目标根据课程标准要求，结合学生现有认知水平和本节课教学内容确定以下目标：（1）知识与技能：掌握圆周角的概念及圆周角与圆心角的关系。

体会用类比的方法探索新知，学会以特殊情况为依托，通过转化来解决一般性问题，了解分情况证明数学命题的思想方法。

并能熟练地应用"圆周角与圆心角的关系"进行论证和计算。

（2）过程与方法：经历圆周角定理的探索、证明、应用的过程，养成自主探究、合作交流的学习习惯，体会类比、分类的数学思想方法。

（3）情感态度与价值观：让学生在主动探索、合作交流的过程，获得成功的愉悦，体验实现价值后的快乐，锻炼锲而不舍的意志。

3、教学重、难点根据新课程理念“经历过程带给学生的能力，比具体的结果更重要”。

结合教材内容，本节课的重点是：经历探索“圆周角与圆心角的关系”的过程，理解掌握“圆周角与圆心角的关系”。

难点是：了解圆心与圆周角的三种位置关系，用化归思想合情推理验证“圆周角与圆心角的关系”二、教学方法根据本节课的教学目标、教材内容以及学生的认知特点，教学上采用“探究式”的教学方法。

教师着眼于引导，学生着重于探索。

意在帮助学生通过直观情景观察和自己动手实验，从自己的实践中获取知识，并通过讨论、练习来深化对知识的理解。

本节课采用了多媒体辅助教学，一方面能够直观、生动地反映图形，增加课堂的容量；另一方面有利于突出重点、突破难点，更好地提高课堂效率。

圆周角和圆心角的关系（1）(说课稿)3.3 圆周角和圆心角的关系一、教材分析（一）教学内容今天我说课的内容是义务教育课程标准北师大版实验教科书九年级（下）第三章《圆》第3节《圆周角和圆心角的关系》第一课时||。

（二）地位和作用本节课是学生在掌握圆心角的概念以及圆心角、弧、弦的关系的基础上进行学习的||，既是前面圆有关性质的延续||，又是下一节课证明圆周角定理推论的理论依据||。

本节课所渗透的学习内容和学习方法||，在学生今后的学习中应用广泛||，是本章重点内容之一||。

（三）教学目标根据新课程标准的要求以及九年级学生的认知结构与心理特征||，我从以下三方面确定教学目标：知识与技能——理解圆周角的概念和圆周角定理以及证明||。

过程与方法——经历探索圆周角与圆心角的关系的过程||，体会分类、归纳、转化的数学思想方法||。

情感态度与价值观——在推理证明的过程中获得正确的学习方法；在合作交流中培养团结协作的精神；在自主探究中体会成功的喜悦||。

（四）教学重点和难点根据新课程的理念||，经历过程带给学习的能力||，比具体的结果更重要||，结合本课内容||，我认为本节课的教学重点是：经历探索“圆周角与圆心角的关系”的过程||，理解掌握圆周角定理||，难点是：利用化归思想推导证明圆周角定理||。

二、教法学法分析（一）教学方法根据新课程理念的要求||，教师应该是数学学习的组织者、引导者与合作者||，结合本节课的内容及学生的实际情况||，在教法上我主要采用“探究合作||，启发引导”的方法||，同时以多媒体演示为辅助||，使学习的主要内容不是教师直接传授给学生||，而是以问题的形式不断呈现出来||，由学生自己去发现||，然后内化为自己知识结构的一部分||，这样既能唤起学生学习的欲望||，又调动学生学习的积极性和主动性||。

（二）学生学法在学法上||，学生主要采用动手实践、自主探索与合作交流相结合的学习方法||，在教师的引导下从直观感知上升到理性思考||，从自己的实践中获取知识||。

3.4 圆周角和圆心角的关系 第1课时 圆周角和圆心角的关系1．理解圆周角的概念，掌握圆周角的两个特征、定理的内容及简单应用；(重点) 2．能运用圆周角定理及其推论进行简单的证明计算．(难点)一、情境导入在以下图中，当球员在B, D, E 处射门时，他所处的位置对球门AC 分别形成三个张角∠ABC, ∠ADC ，∠AEC .这三个角的大小有什么关系？二、合作探究探究点：圆周角定理及其推论【类型一】 利用圆周角定理求角的度数如图，CD 是⊙O 的直径，过点D的弦DE 平行于半径OA ，假设∠D 的度数是50°，那么∠C 的度数是( )A ．25°B ．30°C ．40°D ．50°解析：∵OA ∥DE ，∠D ＝50°，∴∠AOD ＝50°.∵∠C ＝12∠AOD ，∴∠C ＝12×50°＝25°.应选A.方法总结：解决问题的关键是熟练掌握圆周角定理． 变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练〞第2题【类型二】 利用圆周角定理的推论求角的度数如图，在⊙O 中，AB ︵＝AC ︵，∠A＝30°，那么∠B ＝( )A ．150°B ．75°C ．60°D ．15°解析：因为AB ︵＝AC ︵，根据“同弧或等弧所对的圆周角相等〞得到∠B ＝∠C ，因为∠A ＋∠B ＋∠C ＝180°，所以∠A ＋2∠B ＝180°，又因为∠A ＝30°，所以30°＋2∠B ＝180°，解得∠B ＝75°.应选B.方法总结：解题的关键是掌握在同圆或等圆中，相等的两条弧所对的圆周角也相等．注意方程思想的应用．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练〞第8题【类型三】 圆周角定理与垂径定理的综合如以下图，AB 是⊙O 的一条弦，OD ⊥AB ，垂足为点C ，交⊙O 于点D ，E 在⊙O 上．(1)∠AOD ＝52°，求∠DEB 的度数； (2)假设AC ＝7，CD ＝1，求⊙O 的半径．解析：(1)由OD ⊥AB ，根据垂径定理的推论可求得AD ︵＝BD ︵，再由圆周角定理及其推论求∠DEB 的度数；(2)首先设⊙O 的半径为x ，然后由勾股定理得到方程解答．解：(1)∵AB 是⊙O 的一条弦，OD ⊥AB ，∴AD ︵＝BD ︵，∴∠DEB ＝12∠AOD ＝12×52°＝26°；(2)设⊙O 的半径为x ，那么OC ＝OD －CD ＝x －1.∵OC 2＋AC 2＝OA 2，∴(x －1)2＋(7)2＝x 2，解得x ＝4，∴⊙O 的半径为4.方法总结：此题综合考查了圆周角定理及其推论、垂径定理以及勾股定理．注意掌握数形结合思想与方程思想的应用． 变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练〞第3题【类型四】 圆周角定理的推论与圆心角、弧、弦之间的关系的综合如图，△ABC 内接于⊙O ，AB ＝AC ，点D 在弧AB 上，连接CD 交AB 于点E ，点B 是CD ︵的中点，求证：∠B ＝∠BEC .解析：由点B 是CD ︵的中点，得∠BCE ＝∠BAC ，即可得∠BEC ＝∠ACB ，然后由等腰三角形的性质，证得结论．证明：∵B 是CD ︵的中点，∴BC ︵＝BD ︵，∴∠BCE ＝∠BAC .∵∠BEC ＝180°－∠B －∠BCE ，∠ACB ＝180°－∠BAC －∠B ，∴∠BEC ＝∠ACB .∵AB ＝AC ，∴∠B ＝∠ACB ，∴∠B ＝∠BEC .方法总结：此题考查了圆周角定理的推论以及等腰三角形的性质．解答时一定要结合图形．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后稳固提升〞第7题【类型五】 圆周角定理的推论与三角形知识的综合如图，A 、P 、B 、C 是⊙O 上四点，且∠APC ＝∠CPB ＝60°.连接AB 、BC 、AC .(1)试判断△ABC 的形状，并给予证明；(2)求证：CP ＝BP ＋AP .解析：(1)利用圆周角定理可得∠BAC ＝∠CPB ，∠ABC ＝∠APC ，而∠APC ＝∠CPB ＝60°，所以∠BAC ＝∠ABC ＝60°，从而可判断△ABC 的形状；(2)在PC 上截取PD ＝AP ，那么△APD 是等边三角形，然后证明△APB ≌△ADC ，证明BP ＝CD ，即可证得．(1)解：△ABC 是等边三角形．证明如下：在⊙O 中，∵∠BAC 与∠CPB 是BC ︵所对的圆周角，∠ABC 与∠APC 是AC ︵所对的圆周角，∴∠BAC ＝∠CPB ，∠ABC ＝∠APC .又∵∠APC ＝∠CPB ＝60°，∴∠ABC ＝∠BAC ＝60°，∴△ABC 为等边三角形；(2)证明：在PC 上截取PD ＝AP ，连接AD .又∵∠APC ＝60°，∴△APD 是等边三角形，∴AD ＝AP ＝PD ，∠ADP ＝60°，即∠ADC ＝120°.又∵∠APB ＝∠APC ＋∠BPC ＝120°，∴∠ADC ＝∠APB .在△APB 和△ADC 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠APB ＝∠ADC ，∠ABP ＝∠ACD ，AP ＝AD ，∴△APB≌△ADC (AAS)，∴BP ＝CD .又∵PD ＝AP ，∴CP ＝BP ＋AP .方法总结：此题考查了圆周角定理的理论以及三角形的全等的判定与性质，正确作出辅助线是解决问题的关键． 【类型六】 圆周角定理的推论与相似三角形的综合如图，点E 是BC ︵的中点，点A 在⊙O 上，AE 交BC 于D .求证：BE 2＝AE ·DE .解析：点E 是BC ︵的中点，根据圆周角定理的推论可得∠BAE ＝∠CBE ，可证得△BDE ∽△ABE ，然后由相似三角形的对应边成比例得结论．证明：∵点E 是BC ︵的中点，即BE ︵＝CE ︵，∴∠BAE ＝∠角)，∴△BDE ∽△DE ∶BE ，∴BE 2＝AE 方法总结：角形的问题常常考虑此定理．三、板书设计圆周角和圆心角的关系1．圆周角的概念2．圆周角定理3．圆周角定理的推论本节课的重点是圆周角与圆心角的关系，难点是应用所学知识灵活解题．在本节课的教学中，学生对圆周角的概念和“同弧所对的圆周角相等〞这一性质较容易掌握，理解起来问题也不大，而对圆周角与圆心角的关系理解起来那么相对困难，因此在教学过程中要着重引导学生对这一知识的探索与理解．还有些学生在应用知识解决问题的过程中往往会忽略同弧的问题，在教学过程中要对此予以足够的强调，借助多媒体加以突出.第2课 伟大的历史转折1 教学分析【教学目标】教学重点：中共十一届三中全会教学难点：中共十一届三中全会在政治上、思想上、组织上的转变以及历史意义2教学过程一、导入新课“文化大革命〞时期，我国教育遭到了很大破坏，高考中断了十年。

圆周角与圆心角圆周角和圆心角是圆的两个重要角度概念。

在几何学中，圆是一个由一条曲线围成的形状，其每一点与中心点的距离相等。

圆周角和圆心角是与圆相关的两种角度测量方式。

一. 圆周角圆周角是指圆上的一小部分所对应的角度。

可以想象圆周角是由圆的弧所围成的角度。

圆周角的度数范围是0度到360度，它是以圆心为顶点的角度。

二. 圆心角圆心角是以圆心为顶点的角度，它的两条边分别是两条射线，一条从圆心指向圆上的一点，另一条则是从圆心指向圆上的另一点。

圆心角可以被认为是由圆周角所围成的角度。

圆心角的度数范围是0度到360度。

三. 圆周角和圆心角的关系圆周角和圆心角之间存在以下关系：1. 当两个角度互为半周角时，即一个角度的度数是180度，另一个角度的度数是360度，它们所对应的弧长长度相等。

2. 当一个角度等于90度时，它所对应的弧长长度是1/4圆周的长度。

3. 当一个角度等于30度时，它所对应的弧长长度是1/12圆周的长度。

四. 应用举例1. 圆周角和圆心角在测量弧长和曲线长度方面有广泛应用。

通过测量圆心角的大小，可以计算出弧长的长度。

2. 圆周角和圆心角也被用于计算扇形的面积。

扇形的面积可以通过圆心角的度数来计算，面积等于圆周角所对应的弧长与半径的乘积再除以2。

结论：圆周角和圆心角是与圆相关的两个重要角度概念。

圆周角是由圆的弧所围成的角度，度数范围为0度到360度。

圆心角以圆心为顶点，度数范围也为0度到360度。

圆周角和圆心角之间有一定的关系，可以通过它们的度数计算弧长和扇形的面积。

在几何学中，理解圆周角和圆心角的概念对于解决与圆相关的问题非常重要。

圆周角与圆心角的关系(1、2)一、弧与圆心角的关系当∠AOB= 1o 时， 则 1o= 360（） ，而此时AB的度数=360（）∴二、圆心角与圆周角的关系 1、圆周角的定义一个角的顶点在 ，角的两边 ，叫圆周角 练习：判断下列图形是否是圆周角2、圆周角与圆心角的关系圆周角与圆心角的关系：圆周角与弧的度数的关系：在等圆或同圆中，弧、圆周角、圆心角的关系：1、等弧所对的圆周角、圆心角 ；2、同弧所对的圆心角直径所对的圆周角是 ，90o 圆周角所对的弦是 1、已知圆中一条弧所对圆周角为75°，则这条弧的度数是 ________ 2、圆周角是24°，则它所对的弧是___________． 三、练习：1、在下列图形中找出相等的角D2、如图，已知圆心角∠BOC=100°,则圆周角∠BAC 的度数是2题 3题 4题3、如图，AB 是⊙O 的直径， BC=BD ，∠A=25°，则∠BOD= 。

4、如图，点A 、B 、C 、D 是圆O 上四点，且点D 是弧AB 的中点，CD 交OB 于E ，∠AOB=100°，∠OBC=55°，则∠OEC=__________度.5、如图,等边三角形ABC 的三个顶点都在⊙O 上,D 是 AC 上任一点(不与A 、C 重合),则∠ADC 的度数是________.5题7题8题6、在⊙O 中，∠AOB=72°则弦AB 所对的圆周角是 。

6.1已知⊙O 中的弦AB 长等于半径，求弦AB 所对的圆周角和圆心角的度数．7、如图AB 为直径，∠BED ＝40°则∠ACD ＝______．8、如图OA 、OB 是⊙O 的半径，∠AOB ＝40°，∠OBC ＝50°， 则∠ACB ＝______∠OAC ＝______． 9、如图,A 、B 、C 、D 四点都在⊙O 上,AD 是⊙O 的直径,且AD=6cm,若∠ABC= ∠CAD,求弦AC10、如图,AB 为半圆O 的直径,弦AD 、BC 相交于点P ,若CD=3,AB=4,求tan ∠BPD 的值.C11、如图，⊙C 过原点，且与两坐标轴分别交于点A 、点B ，点A 的坐标为（0，3），M 是第三象限内上一点，∠BMO=120°，则⊙C 的半径长为12、如图，已知AB 为⊙O 的直径，∠CAB=30°，则∠D 的度数为13、如图，直径为10的⊙A 经过点C （0，5）和点O （0，0），B 是y 轴右侧⊙A 优弧上一点，则∠OBC 的余弦值为13、1如图，O 为原点，点A 的坐标为（3，0），点B 的坐标为（0，4），⊙D 过A 、B 、O 三点，点C 为上一点（不与O 、A 两点重合），则cosC 的值为14、如图，已知⊙O 的半径为1，锐角△ABC 内接于⊙O ，BD ⊥AC 于点D ，OM ⊥AB 于点M ，则sin ∠CBD 的值等于OBABO。