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公开课课件：复数的乘除法运算

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复数的乘、除运算(上课课件)

复数的乘、除运算(上课课件)
2
2Leabharlann 即：共轭复数乘积的结果是一个实数（3）三者相等 即 z z z z
2
2
x
z2
例题讲解
例2 计算(1＋2i)÷(3－4i).
解:原式 =
+
−
=
+ +
− +
=
−+

=

−

+

.

例 3 在复数范围内解下列方程：
（1） x 2 2 0 ；
3．已知 1＋i 是方程 x2＋bx＋c＝0 的一个根(b，c 为实数)．
(1)求 b，c 的值；
(2)试判断 1－i 是否是方程的根．
D．(－1，＋∞)
解(1)因为1＋i是方程x2＋bx＋c＝0的根，
∴(1＋i)2＋b(1＋i)＋c＝0，即(b＋c)＋(2＋b)i＝0.
∴得∴b＝－2，c＝2.
(2)将方程化为x2－2x＋2＝0，
把1－i代入方程左边x2－2x＋2＝(1－i)2－2(1－i)＋2＝0显然方程成立，
∴1－i也是方程的一个根．
小结
复
数
的
乘
除
1.复数的乘法运算法则
2.复数的除法运算法则
3.复数乘法的运算律
z1z2＋z1z3
z1(z2＋z3)＝________
例题讲解
例1
计算下列各题．
(1)(1－2i)(3＋4i) (－2＋i)；(2)(2－3i)(2＋3i)；(3)（1+i）2 .
解：(1)原式=(11－2i)(-2＋i)＝－20＋15i.
(2)原式=(2－i)(－1＋5i)(3－4i)＋2i＝4－9i2＝4+9＝13.

《4.2.2 复数的乘法与除法》课件-优质公开课-北师大选修1-2精品

《4.2.2 复数的乘法与除法》课件-优质公开课-北师大选修1-2精品
z 来表示. (2)记作：复数z的共轭复数用__
a-bi 例如，若z=a+bi(a,b∈R)，则 z =_____. (3)性质：若z=a+bi，则 zz a 2 b2 z 2 .
2.复数的乘法与除法 (1)运算法则 设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R)，则 (ac-bd)+(ad+bc)i ①z1·z2=(a+bi)·(c+di)= _________________;
4．复数模的主要性质
1 ,即 zz 1 ; z (2)｜z1z2｜=｜z1｜｜z2｜;
(1)若｜z｜=1，则 z
(3)｜ 1｜
z z2
｜z｜ 1 (z2≠0)； ｜z｜ 2
(4)｜z｜=｜ z｜; (5)｜zn｜=｜z｜n； (6)｜｜z1｜-｜z2｜｜≤｜z1±z2｜≤｜z1｜+｜z2｜.
2.理解复数的乘法、除法法则
(1)当复数的虚部为零时,与实数的乘除法法则一致.
(2)实数乘法的交换律、结合律及乘法对加法的分配律在复数
集中仍成立. (3)两个复数的积(商)是唯一确定的复数. (4)可以推广到多个复数进行乘除法运算.
3.复数的除法与实数的除法
复数的除法与实数的除法有所不同,实数的除法可以直接约分 化简,得出结论,但复数的除法因为分母为复数一般不能直接约 分化简.复数的除法的一般做法是,由于两个共轭复数的积是一 个实数,因此,两个复数相除,可以先把它们的商写成分式的形 式,然后把分子分母都乘以分母的共轭复数(注意是分母的共轭 复数),并把结果化简即可.
i
6
2 3i 3 2i 6 13i 6 1 1 i. 13 3 2i 3 2i 2i

7.2.2复数的乘、除运算高一数学课件

7.2.2复数的乘、除运算高一数学课件

2.共轭复数：实部相等，虚部互为相反数的两个复数 叫做互为共轭复数. 复数z=a+bi的共轭复数记作
思考：设z=a+bi (a,b∈R ),那么
另外不难证明:
例 3．在复平面内，复数 z1 ， z2 对应的点分别为1,2，2,1 .
（1）求 z1 z2 的值；
（2）若 z1 是关于 x 的方程 x2 px q 0 的一个根，求实数 p，
复数z=a+bi的共轭复数记作
思考：设z=a+bi (a,b∈R ),那么
另外不难证明:
（2）(a bi)2 a2 2abi b2i2
a2 2abi b2
a2 b2 2abi
（3）(1 2i)(3 4i)(2 i)
练习:
13 1.计算 (2 3i)(2 3i) =
3-i 2.已知 (3 i)z 10 ,则 z
解：因为 2x＋(5－y)i 和 3x－1－(y＋1)i 是共轭复数， 所以25x－＝y＝3xy－＋11，， 解得xy＝＝21.， 所以 z＝1＋2i， z ＝1－2i.
3、复数的除法法则
a bi i (a bi)(c di) c di (c di)(c di)
ac bd (bc ad)i
因为 ，故 D 正确，故选:AD.
z 12023 3
i2023
i
6．已知复数 z 满足 z z 8, z2 的虚部为 8． (1)求复数 z； (2)设 z2, z, z2 z 在复平面上对应的点分别为 A，B，C， 求 AC 的长度．
【详解】（1）设 z a bia,bR ，则 z a bi ，
证明：
（（21））
13(12
2
1 3 2

(上课)复数的乘除运算完整版课件

(上课)复数的乘除运算完整版课件
得 a1,b 3
z1 3i
综上： Z=4,1+ 3i ,1– 3i .
1 9
作业
作业本3.2.2
1 0
证明：设z1=a+bi , z2=c+di (a,b,c,d ∈Ｒ) ，则 | z1∙z2 |=|(ac-bd)+(bc+ad)i| = (ac-bd)2+(bc+ad)2 = a2c2+b2d2+b2c2+a2d2
= (a2+b2)(c2+d2)
= a2+b2 ∙ c2+d2
= | z1 | ∙ | z2 |
z
abi
abi4a(a2bb2)i aa24 ab2(ba24 bb2)i
1
7
z 4R
z
b(1a2 4b2)0
b0或 a2b24 ①
|z 2 | 2 得 |a b 2 i| 2
(a2)2b2 2 ②
1 8
将 b=0代入②得 a=4 或 a=0 ∴ Z=4 或 Z=0 (舍)
将 a2b2 4代入② (a2)24a24,得 a 1
2
例 1 计算 (1-2i)(3+4i)(-2+i) 解：(1-2i)(3+4i)(-2+i) =（11-2i)(-2+i) =-20+15i . 对于任意复数z=a+bi ,有 （a+bi)(a-bi)=a2+b2
即 z ∙z=|z|2=|z|2 .
3 例 2 计算
(1) (43i) (4 3i)(2)(1i)2
解 (1)( 3 4 i )( 3 4 i ) 32 (4i)2 9 ( 16 ) 25

复数的乘法与除法优质课件

复数的乘法与除法优质课件

2．复数的除法运算法则的记忆
复数除法一般先写成分数形式，再把分母实数化，即
分子、分母同乘以分母的共轭复数，若分母为纯虚
数，则只需同乘以i.
3.记住以下结果，可提高运算速度．
(1)(1＋i) ＝2i，(1－i) ＝－2i.
1－ i 1＋ i (2) ＝－i， ＝i. 1＋ i 1－ i
1 (3) ＝－i. i
2
2
3 i 1. （2012 · 新课标全国卷）复数z 的共轭复数是（ D ） 2i
A.2+i
B.2-i
C.-1+i
D.-1-i
2.（2012·山东高考）若复数z满足z(2-i)=11+7i (i为虚数单位)，则z为（ A ） A.3+5i B.3-5i C.-3+5i D.-3-5i
1.复数的乘法法则类似于两个多项式相乘，展开后要把 i2换成－1，并将实部与虚部分别合并.若求几个复数的连 乘积，则可利用交换律和结合律每次两两相乘. 2.复数的除法法则类似于两个根式的除法运算，一般先 将除法运算式写成分数形式，再将分子、分母同乘以分母 的共轭复数，把分母化为实数，分子按乘法法则运算. 3.对复数的乘法、除法运算要求掌握它们的算法，不 要求记忆运算公式.
复数的除法是乘法的逆运算，满足 (c+di)(x+yi)=a+bi (c+di≠0)的复数 x+yi , 叫做复数a+bi除以复数c+di的商，
记作
a bi . c di
a bi (a bi)(c di) c di (c di)(c di)
(ac bd) (bc ad)i c2 d 2
2 2

公开课复数的乘除法运算[人教版选修22]精品PPT课件

公开课复数的乘除法运算[人教版选修22]精品PPT课件

解（ 1）2 （1 3） 2
22
1 3i( 3i)2 42 2
1 3i 22
（ 2）（ ） 2（1 3） 2
22
解
1 3i( 3i)2 42 2
1 3i 22
（ 3 ） 32
解 （ 1 3） （ 2 1 3）
22
22
（ 13）1 （ 3） 1
22
22
小结： 2 （ ，） 2
31 ， ） （ 31
(a+bi)(c-di) =
(c+di)(c-di)
(ac+bd)+(bc-ad)i =
c2+d2
=
ac+bd c2+d2
+
bc-ad c2+d2
i
(c+di ≠0)
因为c+di ≠0 即 c2+d2 ≠0，
所以商
a+bi c+di
是唯一确定的复数.
学习并没有结束，希望继续努力
Thanks for listening, this course is expected to bring you value and help 为方便学习与使用课件内容，课件可以在下载后自由编辑
0i1 i2 i 1
二、复数除法的法则
复数的除法是乘法的逆运算，满足
(c+di)(x+yi)=(a+bi) (c+di≠0)的复数 x+yi , 叫做复数a+bi除以复数c+di的商，
a+bi 记作
c+di
a+bi (a+bi)(c-di)
c+di

复数代数形式的乘除运算 课件


也就是说,“两个复数的平方和为零”是“这两个复数同时为零”的
必要不充分条件.
2.如何理解共轭复数?
剖析:(1)实数a的共轭复数仍是a本身,这是判断一个数是否为实
数的一个法则.
(2)几何特征:两个共轭复数的对应点关于实轴对称;
代数特征:两个共轭复数的虚部互为相反数,实部相等.
(3)一个重要性质.
两个共轭复数z, 的积是一个实数,这个实数等于每一个复数的
复数集中不一定成立.如:
(1)当z∈R时,|z|2=z2;当z∈C时,|z|2∈R而z2∈C,所以|z|2=z2不一定
成立,
但是|z|2=z·.
(2)当z1,z2∈R时, 12 + 22 = 0⇔z1=0,且z2=0;
当z1,z2∈C时, 12 + 22 = 0
1 = 0, 且z2=0,但z1=0,z2=0⇒ 12 + 22 = 0.
+
+
1.如何理解复数代数形式的乘除法运算法则?
剖析:(1)当复数的虚部为零时,复数的乘除法法则与实数的乘除
法法则一致.
(2)实数集中乘法的交换律、结合律及乘法对加法的分配律在复
数集中仍成立.
(3)两个复数的积(商)是唯一确定的复数.
(4)可以推广到多个复数进行乘除法运算.
温馨提示实数集中乘法、乘方的一些重要结论和一些运算法则在
∴B=z1·z1 + z2 · z2 = ( + bi)( − bi) + ( c +
di)·(c-di)=a2+b2+c2+d2,
∴B∈R.
又A = z1 ·z2 + z2 ·z1 = z1 ·z2 + z2 ·z1

7.2.2复数的乘、除运算 课件(共32张PPT)

第七章 §7.2 复数的四则运算
学习目标
XUEXIMUBIAO
1.掌握复数代数形式的乘法和除法运算. 2.理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律. 3.理解共轭复数的概念.
内容索引
NEIRONGSUOYIN
知识梳理 题型探究 随堂演练
1 知识梳理
PART ONE
知识点一 复数的乘法及其运算律
12345
5.若复数z满足(3－4i)z＝4＋3i(i是虚数单位)，则|z|＝___1__. 解析 因为(3－4i)z＝4＋3i， 所以 z＝43＋－34ii＝43＋ －34ii33＋ ＋44ii＝2255i＝i. 则|z|＝1.
12345
课堂小结
KE TANG XIAO JIE
1.复数代数形式的乘除运算 (1)复数代数形式的乘法类似于多项式乘以多项式，复数的乘法满足交换律、结合律 以及乘法对加法的分配律. (2)在进行复数代数形式的除法运算时，通常先将除法写成分式的形式，再把分子、 分母都乘以分母的共轭复数，化简后可得，类似于以前学习的分母有理化. 2.共轭复数的性质可以用来解决一些复数问题. 3.复数问题实数化思想. 复 数 问 题 实 数 化 是 解 决 复 数 问 题 的 基 本 思 想 方 法 ， 其 桥 梁 是 设 复 数 z ＝ a ＋ bi(a ， b∈R)，利用复数相等的充要条件转化.
(1)－4－3i； 解 －24－－i3i＝－24－－i3i－－4＋4＋3i3 i＝－8＋62i5＋4i＋3＝－52＋5 10i＝－15＋25i；
1＋2i2＋31－i
(2)
；
2＋i
解 1＋2i22＋＋i31－i＝－3＋24＋i＋i 3－3i＝2＋i i＝i25－i＝15＋25i.

复数代数形式的乘除运算 课件

点评：在复数范围内解一元二次方程 ax2＋bx＋c＝ 0(a≠0，a，b，c∈R)，将根设为 m＋ni，再利用复数相等 的充要条件解决问题．
题型4 利用in的周期性求解
例4 i是虚数单位，i＋2i2＋3i3＋…＋8i8＝________(用 a＋bi的形式表示，a，b∈R)．
分析：利用 i 的周期性化简求和． 解析：i＋2i2＋3i3＋…＋8i8＝i－2－3i＋4＋5i－6－7i＋8＝4－4i. 答案：4－4i 点评：熟记 i 的周期性，即 in＋in＋1＋in＋2＋in＋3＝0(n∈N*)．记住以 下结果，可提高运算速度：①(1＋i)2＝2i，(1－i)2＝－2i；②11－ ＋ii＝－i， 11＋ －ii＝i；③1i ＝－i.
解析：(1)∵1＋i 是方程 x2＋bx＋c＝0 的一个根， ∴(1＋i)2＋b(1＋i)＋c＝0，即(b＋c)＋(2＋b)i＝0.
∴b2＋＋cb＝＝00，. 得 b＝－2，c＝2. ∴b，c 的值为 b＝－2，c＝2. (2)∵方程为 x2－2x＋2＝0，把 1－i 代入方程左边，得 (1－i)2－2(1－i)＋2＝0，显然方程成立． ∴1－i 是方程的根．
点评：(1)要熟悉复数的一些常用性质如 z z ＝|z|2＝| z |2，z∈R⇔z＝ z 等．
(2)当已知条件出现复数等式时，常设出复数 的代数形式，利用相等复数的充要条件转化为实 数问题求解．
题型3 复数范围内解方程问题 例3 已知1＋i是方程x2＋bx＋c＝0的一个根(b，c为
实数)． (1)求b，c的值； (2)试判断1－i是否是方程的根．
基础 梳理
例：i＋2 的共轭复数是( )
A．2＋i
B．2－i
C．－2＋i
D．－2－i
答案：B

复数代数形式的乘除运算 课件


3＋ (3)2－
23ii＋32－ ＋23ii.
解：(1)(4－i)(6＋2i)－(7－i)(4＋3i) ＝(24＋8i－6i＋2)－(28＋21i－4i＋3) ＝(26＋2i)－(31＋17i)＝－5－15i. (2)(1＋2i)÷(3－i)＝13＋－2ii＝13＋－2ii33＋＋ii
＝3＋i＋6i－2＝1＋7i＝ 1 ＋ 7 i.
＝i－1i4－× 5i0 3＋ 2＝i1－－i2i＝i1＋－1i
＝i11－－ii＝ i.
法二：∵ in＋ in＋ 1＋in＋ 2＋ in＋ 3＝ in(1＋ i＋ i2＋ i3 )＝ 0，
∴原式＝(i＋i2＋i3＋i4)＋(i5＋i6＋i7＋i8)＋…＋(i2 009＋i2 010＋i2 011＋i2 012)＋i2 013＝i2 013＝i4×503＋1＝i.
设 z1＝a ＋bi，z2＝c＋di，(a，b，c，d∈R)，则 z1z2＝(a＋bi)(c＋ di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i，又 z1·z2＝0，所以(ac－bd)＋(ad
＋bc)i＝0，即aacd－＋bbdc＝＝00，， 即aacd＝＝b－d，bc，
① ②
①×d－②×c 得：b＝0 或 c2＋d2＝0，即 b＝0 或 c＝0 且
D．若 z1·z2＝0，则 z1＝0 或 z2＝0
【常见错误】 忽视 z∈C 复数误选 A 或 B，对 C，若改
z＝a＋bi 则 z－ z ＝2bi，易忽略 b＝0 情况而误选．
【解析】 选项 A 不正确，如 z＝i.选项 B 不正确，如 a ＝1，b＝i.选项 C 不正确，如 z＝0 则 z ＝0.选项 D 正确，
复数代数形式的乘除运算
1．复数乘法的运算法则和运算律
(1)复数的乘法法则
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设复数z1=a+bi,z2=c+di,那么：
z1+z2=(a+c)+(b+d)i;
z1-z2=(a-c)+(b-d)i.
即:两个复数相加(减)就是实部与实部,虚部与虚部分
别相加(减).
A
2
二、【新课探究】
1.复数的乘法法则
两个复数的乘法可以按照多
项式的乘法运算来进行，只
是在遇到 i 2 时，要把 i 2 换
两个复数相除较简捷的方法是把它们 的商写成分式的形式，然后把分子与 分母都乘以分母的共轭复数，再把结 果化简
A
16
六、【作业布置】
P61习题3.2 A组
4（4）、 5（4）
A
17
A
4
2.复数运算满足交换律、结合律、分配 律。
••
12
21
（ • ） • • （ • ） 12 3 1 23
• （ ） • • 1 2 3 12 13
A
5
三、【例题讲解】
例1

已知 112i,234i
计算 1•2。
解:
1• 2 （ 1 2 i） (3 4 i)
书少成《天选才功山小修就=有艰1是不-欢2苦百路》分学的第勤迎之劳三习一为动章光，的径+老数灵正，临系感确学来！的，的欢扩百海徒方充分无迎法与之伤+崖复九指少悲数十苦谈导的九空作!引的话入汗舟水！
3.2.2 复数的乘除运算
2020年4月29日星期三
A
1
一、【回顾旧知】
复数加减法的运算法则：
运算法则:
成-1，并把最后的结果写成
ab(a i,b R )的形式。
A
3
设 z1 a b,iz2 c d i
(a ， b ， c ， d R )
则 z 1• z2 （ a b ） (c i d )i
a c a d b ic b2 id
(a c b) d(a d b)ic
显然，两个复数的乘积仍为复数
(ab)2ia22 a bb2i2
a22abb i2
A
11
4【思考探究】 i 的指数变化规律
i1 i,i2 1,i3 i,i4 1
i5 _ i ,_ i6 -_ 1 ,_ i7 _ - i ,_ i8 _ 1 _
你能发现规律吗？有怎样的规律？
i4n 1 , i4n1 i ,
i4n2 1 , i4n3 i
特别地，实数的共轭复数是实数本身。
Z的共轭复数记作Ｚ 思考：若z1 、 z2 ，是共轭复数，那么
（１）在复平面内，它们所对应的点有怎样的 位置关系？
（２） z1 、z2是一个怎样的数？
A
9
两个互为共轭的复数的乘积等于这个复数 （或其共轭复数）模的平方
结论 •： 22
A
10
练习：
求(1i)2
(1i)2
34i6i8i2
112i
A
6
例 2 (1 2 i)3 ( 4 i) (2 i)
解：
A
7
例3 计算:
(3+4i)(3-4i) = 9-16i2
=9+16=25
练习：计算 （ 1） (ab)ia (b)i
a 2 a bai b b 2 ii2
a2 b2
A
8
3、共轭复数的定义
当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时， 这两个复数叫做互为共轭复数。虚部不等于０的 两个共轭复数也叫做共轭虚数。
14
四、【巩固新知】
求 z已1 知z2z1 , z1 3 z2 2i,,zz2 1 •1 z2 ,4 izz1 2
A
15
五、【课堂小结】
复数的乘法法则是：
(a+bi)(c+di)=(ac－bd)+(bc+ad)i.
复数的代数式相乘，可按多项式类似
的办法进行，不必去记公式.
复数的除法法则是：
i(c+di≠0).
A
12
(5)复数的除法法则
先把除式写成分式的形式,再把分子
与分母都乘以分母的共轭复数,化简后
写成代数形式(分母实数化).即
(ab)i(cd)iabi cdi
(ab i)(cd i) (cdi)(cdi)
(acbd )(bcad )i
c2d2
分母实数化
A
13
例4.计算 (12i)(34i)
解:
A