2020年江苏省高二(下)期中数学试卷解析版

南京市2020—2021学年度高二第二学期期中六校联考数学试卷本卷：共150分 考试时间：120分钟一、单选题(本大题共8小题，每小题5分，共40分) 1．设z ＝3－2i ，则在复平面内z 对应的点位于( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．5名同学去听同时举行的3个课外知识讲座，每名同学可自由选择听其中的1个讲座，不同的选择的种数为（ ） A ．60B ．125C ．240D ．2433．已知递增等比数列{a n }的前n 项和为S n ，a 2＝2，S 3＝7，则S 7＝( ) A ．64B ．63C ．127D ．484．3名大学生利用假期到2个山村参加扶贫工作，每名大学生只去1个村，每个村至少1人，则不同的分配方案共有（ ） A ．4种B ．5种C ．6种D ．8种5．已知函数f (x )＝13a 2x 3－32ax 2＋2x ＋1在x ＝1处取得极大值，则a 的值为( )A ．－1或－2B ．1或2C ．1D ．26．甲、乙等5人在9月3号参加了纪念抗日战争胜利70周年阅兵庆典后，在天安门广场排成一排拍照留念，甲和乙必须相邻且都不站在两端的排法有( ) A ．12种B ．24种C ．48种D ．120种7．数学对于一个国家的发展至关重要，发达国家常常把保持数学领先地位作为他们的战略需求.现某大学为提高数学系学生的数学素养，特开设了“古今数学思想”，“世界数学通史”，“几何原本”，“什么是数学”四门选修课程，要求数学系每位同学每学年至多选3门，大一到大三三学年必须将四门选修课程选完，则每位同学的不同选修方式有( ) A ．60种B ．78种C ．84种D ．144种8．定义在R 上的函数f (x )的导函数为f′(x )，若对任意实数x ，有f (x )＞f′(x )，且f (x )＋2022为奇函数，则不等式f (x )＋2022e x ＜0的解集是( ) A ．(－∞，0) B ．(－∞，2022)C ．(0，＋∞)D ．(2022，＋∞)二、多选题(本大题共4小题，每小题5分，共20分。

2019—2020学年度第二学期期中学情调研试题高二数学一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若函数2)(x x f =，则)(x f 在1=x 处的导数为（ ▲ ） A .x 2 B . 2 C .3 D .4 2．设复数z 满足i z i 2)1(=+(其中i 为虚数单位)，则=z （ ▲ ） A .21B .22C .2D .23．下列求导运算正确的是（ ▲ ）A . 2'(2)2x x = B .xxe e =)'(C .xx 1)(ln -=' D .211)1(x x x +='+4．已知函数93)(23-++=x ax x x f 在3-=x 处取得极值，则实数a 的值为（ ▲ ）A .2B .3C .4D .55．已知函数)(x f y =的图象如图所示，则 其导函数)('x f y =的图象可能是（ ▲ ）A .B .C .D .6．已知函数)1('2)(2xf x x f +=，则=)0('f （ ▲ ）A .4-B .4C .2-D .27．若函数x xx f ln 3)(+=在区间)2,(+m m 上是单调减函数，则实数m 的取值范围是（ ▲ ）A .]0,(-∞B .),1[+∞C .)1,0(D .]1,0[8.设)(x f 是定义在R 上的奇函数,0)2(=f ，当0>x 时，有0)()(2<-'xx f x f x 恒成立， 则0)(>xx f 的解集为（ ▲ ） A .),0()0,2(+∞- B .)2,0()0,2( -C .),2()2,(+∞--∞D .)2,0()2,( --∞二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分．每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，不选或有选错的得0分． 9．已知不等式a e x x≥-)2(对任意的R x ∈恒成立， 则满足条件的整数a 的可能值为（ ▲ ）A .4- B.3- C .2- D .1- 10．已知函数2431)(3+-=x x x f ，下列说法中正确的有（ ▲ ） A . 函数)(x f 的极大值为322，极小值为310-B . 当[]4,3∈x 时，函数)(x f 的最大值为322，最小值为310-C . 函数)(x f 的单调减区间为[]2,2-D . 曲线)(x f y =在点)2,0(处的切线方程为24+-=x yy =f (x )（第5题图）11．若函数xx f y ln )(=在),1(+∞上单调递减，则称)(x f 为M 函数． 下列函数中为M 函数的是（ ▲ ）A .1)(=x fB .x x f =)(C .xx f 1)(= D .2)(x x f =12．设函数x x x f ln )(=，xx f x g )()('=，给定下列命题，其中是正确命题的是（ ▲ ） A .不等式0)(>x g 的解集为),1(+∞eB .函数)(x g 在),0(e 单调递增，在),(+∞e 单调递减C .当021>>x x 时，)()()(2212221x f x f x x m ->-恒成立，则1≥m D .若函数2)()(ax x f x F -=有两个极值点，则实数)21,0(∈a三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，（第15题第一空2分，第二空3分）共计20分． 13．函数x x y ln 212-=的单调递减区间为 ▲ ． 14．若函数4)(23+-=ax x x f 在区间]2,0[上不单调，则实数a 的取值范围为 ▲ ．15．已知函数x x f =)(，x a x g ln )(=(R a ∈)，若曲线)(x f y =与曲线)(x g y =相交，且在交点处有相同的切线，则=a ▲ ，切线的方程为 ▲ （直线的方程写成一般式）．16．已知函数 , 若函数()f x 有四个不同的零点，则m 的取值范围为 ▲()3213221(0)3236(0){x x x m x x m x f x +++-≤+->=四、解答题：本大题共6小题，共计70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本小题满分10分）已知复数i m m m z )2()2(-+-=，其中i 为虚数单位．若z 满足下列条件，求实数m 的值： (1)z 为实数； (2)z 为纯虚数；(3)z 在复平面内对应的点在直线x y =上．18．（本小题满分12分）已知函数xe x xf ⋅=)(． (1)求函数)(x f 的单调区间；(2)求函数)(x f 在]1,2[-上的最大值和最小值．已知函数312)2(2131)(23+++-=ax x a x x f （R a ∈）． (1)若函数)(x f 在2=x 处取得极小值1，求实数a 的值；(2)讨论函数)(x f 的单调性．20．（本小题满分12分）如图，已知海岛A 与海岸公路BC 的距离AB 为km 50，B ，C 间的距离为km 350， 从A 到C ，需要先乘船至海岸公路BC 上的登陆点D ，船速为h km /25，再乘汽车至C ， 车速为h km /50．设θ=∠BAD ．(1)用θ表示从海岛A 到C 所用的时间)(θf ，并写出θ的取值范围； (2)登陆点D 应选在何处，能使从A 到C 所用的时间最少？已知函数x mx x x f ln 2)(2+-= (R m ∈)．(1)若)(x f 在其定义域内单调递增，求实数m 的取值范围； (2)若54<<m ，且)(x f 有两个极值点21,x x ，其中21x x <， 求)()(21x f x f -的取值范围． 22．（本小题满分12分）已知函数)(3)(3R a ax x x f ∈-=,()ln g x x =. (1)若0a >，求函数()f x 在[1,2]上的最小值；(2)若不等式()|f x ｜()g x ≥在[1,2]上恒成立 求实数a 的取值范围．2019—2020学年度第二学期期中学情调研试题高二数学（参考答案）一、单项选择题1．B 2．C 3．B 4．D 5．A 6．A 7．D 8．B二、多项选择题9．AB 10．ACD 11．AC 12．ACD三、填空题13．()1,0或写成(]1,0 14．()3,015．2e ，022=+-e ey x 16．511(,)612四、解答题17．解：（1）2=m ……………3分（2）0=m ……………6分 （3）1=m 或2=m …………10分18．解：(1)函数)(x f 的定义域为R'()(1)x x x f x e xe x e =+=+ ………………2分由'()0f x >得1x >-，由'()0f x <得1x <-∴函数)(x f 的增区间为(1,)-+∞，减区间为(,1)-∞- ………………6分 (2) '()(1)xxxf x e xe x e =+=+令0)(='x f 得1-=x列表如下：由上表可知 函数)(x f 在]1,2[-上的最大值为e f =)1(最小值为ef 1)1(-=- ………………12分19．解：(1)∵)(x f 在2=x 时的极小值是1∴1)2(=f ，即13142)2(21231)2(23=+++-=a a f ， 解得1=a ………………2分当1=a 时，3122331)(23++-=x x x x f ，则)2)(1(23)(2--=+-='x x x x x f 令0)(='x f ，解得2,1==x x列表如下：………………4分 (2))2)((2)2()(2--=++-='x a x a x a x x f )(R x ∈ 令0)(='x f ，解得2,==x a x①当2=a 时，有0)(≥'x f ，函数)(x f 在),(+∞-∞上单调递增 ………………6分 ②当2<a 时，列表如下：8分 ③当2>a 时，列表如下：………10分 综上：①当2=a 时，函数)(x f 在),(+∞-∞上单调递增②当2<a 时，函数)(x f 在),(a -∞，),2(+∞上单调递增，在)2,(a 上单调递减 ③当2>a 时，函数)(x f 在)2,(-∞，),(+∞a 上单调递增，在),2(a 上单调递减……………12分20．解：(1)在Rt ABD ∆中，50AB =，BAD θ∠=∴50AD =，50tan BD θ=∴50tan CD θ=∴22sin ()tan 2550cos cos AD CD f θθθθθ-=+=+=+………………4分又tan BAC ∠=∴3BAC π∠=∴θ的取值范围是0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦ ………………6分(2)22cos cos (2sin )(sin )2sin 1'()cos cos f θθθθθθθθ-----==由'()0f θ=得1sin 2θ=又[0,]3πθ∈ ∴6πθ=………………8分∴当06πθ<<时，'()0f θ<；当63ππθ<<时，'()0f θ>∴当6πθ=时，()f θ有极小值，即最小值 ………………10分此时50tan6BD π==答：登陆点D 与Bkm 时，从A 到C 所用的时间最少．……12分 21．解：(1)()f x 的定义域为(0,)+∞∵()f x 在(0,)+∞上单调递增∴2'()20f x x m x=-+≥在(0,)+∞上恒成立即22m x≤+在(0,)+∞上恒成立 ………………2分又224x x +≥=（当且仅当1x =时等号成立）∴4m ≤ ………………4分(2)2222'()2x mx f x x m x x-+=-+=∵()f x 有两个极值点12,x x∴12,x x 为方程2220x mx -+=的两个不相等的实数根由韦达定理得 122mx x += 121x x ⋅= ∵120x x << ∴1201x x <<<又121112()2()(4,5)m x x x x =+=+∈解得1112x << ………………6分 ∴2212111222()()(2ln )(2ln )f x f x x mx x x mx x -=-+--+2212121212222112()2(ln ln )2()()()2(ln ln )x x x x x x x x x x x x =-+--+-=-+-2112114ln x x x =-+ ………………8分 设221()4ln g x x x x =-+(112x <<)，则0)1(2)12(2422)(3223243<--=+--=+--='x x x x x x x x x g ∴()g x 在1(,1)2上为减函数 ………………10分又11115()44ln 4ln 22424g =-+=-， (1)1100g =-+= ∴150()4ln 24g x <<- 即12()()f x f x -的取值范围为1504ln 24⎛⎫- ⎪⎝⎭， ………………12分22.解：（1）)0)()((333)(2>+-=-='a a x a x a x x f ，]2,1[∈x令0)(='x f ，解得a x =（舍负）， ………2分①当1≤a 时，即10≤<a 时，0)(>'x f 恒成立，)(x f 在[1,2]上单调递增，所以a f f 31)1(min -==， ………3分②当21<<a 时，即41<<a 时，)(x f 在),1[a 上单调递减，在]2,(a 上单调递增，所以a a a f f 2)(min -==， ………4分③当2≥a 时，即4≥a 时，0)(<'x f 恒成立，)(x f 在[1,2]上单调递减，所以a f f 68)2(min -==， ………5分综上所述：⎪⎩⎪⎨⎧≥-<<-≤<-=4,6841,210,31a a a a a a a f 最小值………………6分（2）[].0)(2,1恒成立时，当≥∈x g x数学试卷 第 页（共6页） 11 所以 ()()f x g x ≥｜｜ ()()()()f x g x f x g x ⇔≥≤-或……8分① 由()()f x g x ≥在[1,2]上恒成立得33ln x ax x -≥2ln 3x a x x∴≤-……… 设()h x =2ln x x x-则3221ln 2ln 1()2x x x h x x x x -+-'=-= 3210,ln 0()0x x h x '-≥≥∴≥()h x ∴在[1,2]上单调递增min ()(1)1h x h ∴==13≤∴a 13a ∴≤ ……………………………………………………………………10分 ② 由()-()f x g x ≤在[1,2]上恒成立得33ln x ax x -≤-2ln 3+x a x x∴≥ 设()u x =2ln x x x+则3'221ln 21ln ()2x x x u x x x x -+-=+= []0ln 1,022,13>->∈x x x 时， 0)(>'∴x u()u x ∴在[1,2]上单调递增max ln 2()(2)42u x u ∴==+ 22ln 43+≥∴a 62ln 34+≥∴a 综上，所求 a 的取值范围为：⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞+⋃⎥⎦⎤ ⎝⎛∞,62ln 3431-，……………………12分。

期中数学试卷（理科）题号一二总分得分一、填空题（本大题共14小题，共70.0分）1.计算：-=______．2.用反证法证明“a，b∈R，若a3≥b3，则a≥b”时，应假设______．3.已知空间向量=（1，3，2），=（1，0，1），=k-2，=3+4，若∥，则实数k=______．4.已知（i为虚数单位），则复数z的共轭复数是______ ．5.把4封不同的信投入3个不同的信箱，不同的投法种数共有______种．6.已知向量=（3，2，0），=（2，1，2），若（k+）⊥（-），则实数k的值为______．7.若，则x=______．8.用数学归纳法证明1+2+3+…+（2n+1）=（n+1）（2n+1），则当n=k+1时左端应在n=k的基础上加上的项为______．9.已知复数z=（m-2）+（m2-9）i在复平面内对应的点位于第三象限，则实数m的取值范围是______．10.上午4节课，一个教师要上3个班级的课，每个班1节课，都安排在上午，若不能3节连上，这个教师的课有______ 种不同的排法．11.观察下列式子：，，，…，根据以上式子可以猜想：______．12.一份试卷有10个题目，分为A，B两组，每组5题，要求考生选择6题，且每组至少选择2题，则考生有______种不同的选答方法．13.由0，1，2，3，4，5这六个数字，组成无重复数字的四位数中比3042大的数有______个．14.已知数列{a n}满足a1=1，（n∈N*，n≥2），令，类比课本中推导等比数列前n项和公式的方法，可求得= ______ ．二、解答题（本大题共6小题，共90.0分）15.设实部为正数的复数z，满足|z|=，且复数（1+2i）z在复平面上对应的点在第一、三象限的角平分线上．（1）求复数z；（2）若+（m∈R）为纯虚数，求实数m的值．16.4个男同学，3个女同学站成一排．（1）男生甲必须排在正中间，有多少种不同的排法？（2）3个女同学必须排在一起，有多少种不同的排法？（3）任何两个女同学彼此不相邻，有多少种不同的排法？（4）其中甲、乙两名同学之间必须有3人，有多少种不同的排法？17.在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AC=1，∠BAC=90°，且异面直线A1B与B1C1所成的角等于60°，设AA1=a．（1）求a的值；（2）求平面A1BC1与平面B1BC1所成的锐二面角的大小．18.10双互不相同的鞋子混装在一只口袋中，从中任意取出4只，试求各有多少种情况出现以下结果：（1）4只鞋子没有成双的；（2）4只恰好成两双；（3）4只鞋子中有2只成双，另2只不成双．19.如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，底面△ABC为直角三角形，，顶点C1在底面△ABC内的射影是点B，且AC=BC=BC1=3，点T是平面ABC1内一点．（1）若T是△ABC1的重心，求直线A1T与平面ABC1所成角；（2）是否存在点T，使TB1=TC且平面TA1C1⊥平面ACC1A1，若存在，求出线段TC的长度，若不存在，说明理由．20.已知a i＞0（i=1，2，…，n），考查①；②；③．归纳出对a1，a2，…，a n都成立的类似不等式，并用数学归纳法加以证明．答案和解析1.【答案】110【解析】解：-=5×4×3×2-=120-10=110故答案为：110由排列组合数的运算法则，化简即可．本题考查排列组合数的基本运算，属基础题．2.【答案】a＜b【解析】解：反证法证明“a，b∈R，若a3≥b3，则a≥b”时，应假设a＜b．故答案为：a＜b．利用反证法的定义即可得出结论．本题考查了反证法证明的定义、否定的方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3.【答案】-【解析】解：∵空间向量=（1，3，2），=（1，0，1），∴=k-2=（k-2，3k，2k-2），=3+4=（7，9，10），∵∥，∴，解得实数k=-．故答案为：-．利用向量坐标运算法则求出=k-2=（k-2，3k，2k-2），=3+4=（7，9，10），再由∥，能求出实数k的值．本题考查实数值的求法，考查向量坐标运算法则、向量平行的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．4.【答案】-1-i【解析】解：由，得z=i（1+i）=-1+i．所以复数z的共轭复数是-1-i．故答案为-1-i．把给出的等式的分母乘到右边，然后采用单项式乘以多项式化简复数z，则z的共轭复数可求．本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．5.【答案】81【解析】解：每封信都有3种不同的投法由分步计数原理可得，4封信共有3×3×3×3=34=81故答案为81每封信都有3种不同的投法，由分步计数原理可得，4封信共有34种投法本题主要考查了分步计数原理的应用，要注意结论：m个物品放到n个不同的位置的方法有n m，属于基础试题6.【答案】【解析】解：∵k+=（3k+2，2k+1，2），-=（1，1，-2），∵（k+）⊥（-），∴（k+）•（-）=3k+2+2k+1-4=0，解得：k=．故答案为：．由（k+）⊥（-），可得（k+）•（-）=0，即可得出．本题考查了向量垂直与数量积的关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．7.【答案】3或6【解析】解：利用组合数的性质易得若C18x=C183x-6，则：x=3x-6或x+3x-6=18，则x=3或6故答案为：3或6．由组合数公式，由C18x=C183x-6，找到其与x与3x-6的关系，即可得答案．本题考查组合数公式的运用,本题主要考查组合数的性质的运用，属于基础题，须准确记忆公式．8.【答案】（2k+2）+（2k+3）【解析】解：当n=k（k∈N*）时，1+2+3+…+（2k+1）=（k+1）（2k+1），要证n=k+1时，1+2+3+…+（2k+1）+（2k+2）+（2k+3）=（k+2）（2k+3），可得当n=k+1时左端应在n=k的基础上加上的项为（2k+2）+（2k+3），故答案为：（2k+2）+（2k+3）．写出n=k时，假设成立的等式，n=k+1时，要证的等式，作差可得当n=k+1时左端应在n=k的基础上加上的项．本题考查数学归纳法的应用，主要考查由假设到要证的等式间的关系，考查运算能力和推理能力，属于基础题．9.【答案】（-3，2）【解析】解：由题意可得，，解可得，-3＜m＜2．故答案为：（-3，2）直接由已知的复数得到其在复平面内对应点的坐标的正负即可得答案．本题考查了复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．10.【答案】12【解析】解：∵4节课中不能连上3节，∴分两类，第一类，上1，2，4节，有种不同的排法，第二类，上1，3，4节，有种不同的排法，∴共有=6+6=12种不同的排法．故答案为：12.因为不能3节连上，所以必定1，4节上，2，3节中在选一节，所以可分成两类，把每类的方法数求出，再相加即可．本意考查了分类计数原理在排列问题中的应用．11.【答案】【解析】解：观察下列式子：，，，…，可知不等式的左边各式分子是1，分母是自然数的平方和，右边分母与最后一项的分母相同，分子是以3为首项，2为公差的等差数列，故可得故答案为确定不等式的左边各式分子是1，分母是自然数的平方和，右边分母与最后一项的分母相同，分子是以3为首项，2为公差的等差数列，即可求得结论．本题考查归纳推理，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题，12.【答案】200【解析】解：因为每组至少选择2题，所以分三类．第一类：A组选4道，B组选2道，共有C54C52=50种选法．第二类：A组选3道，B组选3道，共有C53C53=100种选法．第三类：A组选2道，B组选4道，共有C52C54=50种选法．所以，共有：50+100+50=200种选法．故答案为：200．可用分类法去解，因为分为A，B两组，每组5题，要求考生选择6题，且每组至少选择2题，所以可分成三类，第一类：A组选4道，B组选2道，第二类：A组选3道，B 组选3道，第三类：A组选2道，B组选4道，把三类的方法数求出再相加即可．本题考查了分类计数原理在排列组合问题中的应用，属于基础题，应该熟练掌握．13.【答案】64【解析】解：根据题意，用间接法分析：若四位数的千位数字为3或4或5，可以在剩下5个数字中任选3个，安排在后面3个数位，有3×A53=180种情况，其中比3042小的数有3012、3014、3015、3021、3024、3025、3041；共有7个，则比3042大的数有72-1-7=64个；故答案为：64根据题意，用间接法分析：先计算首位为3、4、5的四位数的数目，在列举排除其中3042小的数，据此分析可得答案．本题考查排列组合的应用，涉及分类计数原理的应用，可以用间接法分析，属于基础题．14.【答案】2n【解析】解：由T n=a1•2+a2•22+…+a n•2n①得2•T n=a1•22+a2•23+…+a n•2n+1②①+②得：3T n=2a1+22（a1+a2）+23•（a2+a3）+…+2n•（a n-1+a n）+a n•2n+1=2a1+22×++…++a n•2n+1=2+2+2+…+2+2n+1•a n=2n+2n+1•a n．所以3T n-a n•2n+1=2n．故答案为：2n．先对T n=a1•2+a2•22+…+a n•2n两边同乘以2，再相加，求出其和的表达式，整理即可求出3T n-a n•2n+1的表达式．本题主要考查了数列的求和，以及类比推理，是一道比较新颖的好题目，关键点在于对课本中推导等比数列前n项和公式的方法的理解和掌握，属于基础题．15.【答案】解：（1）设Z=a+bi（a，b∈R且a＞0），由得：a2+b2=10①．又复数（1+2i）z=（a-2b）+（2a+b）i在复平面上对应的点在第一、三象限的角平分线上，则a-2b=2a+b，即a=-3b②．由①②联立的方程组得a=3，b=-1；或a=-3，b=1．∵a＞0，∴a=3，b=-1，则Z=3-i．（2）∵为纯虚数，∴，解得m=-5．【解析】（1）设Z=a+bi（a，b∈R且a＞0），由条件可得a2+b2=10①，a=-3b②．由①②联立的方程组得a、b的值，即可得到z的值．（2）根据若+（m∈R）为纯虚数，可得，由此求得m的值．本题主要考查复数的基本概念，两个复数代数形式的乘除法法则的应用，虚数单位i的幂运算性质，属于基础题．16.【答案】解：（1）男生甲位置确定，只要让其余6人全排：；（2）（捆绑法）先让3个女生“捆绑”成一个整体，内部排序有种，然后把女生看成一个整体，与其余的男生排列有，共有（3）先把4个男生排练有种排法，然后把3个女生向5个空档插孔，有=1440（4）先把甲乙排好顺序有种排序，然后从余下的5人中选出3人站在甲乙中间，有种，然后把甲乙及中间的5人看成一个整体，和其余的2人看着3个整体进行排序，有，共有．【解析】（1）男生甲位置确定，只要让其余6人全排（2）（捆绑法）先让3个女生“捆绑”成一个整体，内部排序，然后把女生看成一个整体，与其余的男生排序（3）先把4个男生排列，然后把3个女生向5个空档插孔（4）先把甲乙排好顺序，然后从余下的5人中选出3人站在甲乙中间，然后把甲乙及中间的5人看成一个整体，和其余的2人看着3个整体进行排序本题主要考查了排练中常见方法：特殊元素优先安排法，不相邻元素插孔法，相邻元素捆绑法的应用．17.【答案】解：（1）∵BC∥B1C1，∴∠A1BC就是异面直线A1B与B1C1所成的角，即∠A1BC=60°，（2分）连接A1C，又AB=AC，则A1B=A1C∴△A1BC为等边三角形，（4分）由AB=AC=1，∠BAC=90°，∴；（6分）（2）取A1B的中点E，连接B1E，过E作EF⊥BC1于F，连接B1F，B1E⊥A1B，A1C1⊥B1E⇒B1E⊥平面A1BC1⇒B1E⊥BC1又EF⊥BC1，所以BC1⊥平面B1EF，即B1F⊥BC1，所以∠B1FE就是平面A1BC1与平面B1BC1所成的锐二面角的平面角．（8分）在△B1EF中，∠B1EF=90°，，，∴⇒∠B1FE=60°，（10分）因此平面A1BC1与平面B1BC1所成的锐二面角的大小为60°．【解析】（1）将B1C1平移到BC，∠A1BC就是异面直线A1B与B1C1所成的角，在三角形A1BA内建立等式，解之即可；（2）取A1B的中点E，连接B1E，过E作EF⊥BC1于F，连接B1F，B1E⊥A1B，A1C1⊥B1E ，得到∠B1FE就是平面A1BC1与平面B1BC1所成的锐二面角的平面角，在△B1EF中解出此角即可．本题主要考查了平面与平面之间的位置关系，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．18.【答案】解：（1）先从10双中取出4双，然后再从每双中取出一只，结果就是取出的4只鞋子，任何两只都不能配成1双，根据分布计数原理得：C104×2×2×2×2=3360，（2）4只恰好成两双，从10双中取出2双，故有C102=45，（3）先从10双中取出1双，再从9双中取出2双，然后再从每双中取出一只，结果就是4只鞋子中有2只成双，另2只不成双，根据分布计数原理得：C101×C92×2×2=1440．【解析】本题考查排列、组合及简单计数问题，解题的关键是审清题意，本题考查了推理判断的能力及计数的技巧．（1）先从10双中取出4双，然后再从每双中取出一只，结果就是取出的4只鞋子，任何两只都不能配成1双，根据分布计数原理得，（2）4只恰好成两双，从10双中取出2双，问题得以解决（3）先从10双中取出1双，再从9双中取出2双，然后再从每双中取出一只，结果就是4只鞋子中有2只成双，另2只不成双，根据分布计数原理得．19.【答案】解：如图以CB、CA分别为x，y轴，过C作直线Cz∥BC1，以Cz为z轴建立空间坐标系，则B（3，0，0），C（0，0，0），A（0，3，3），C1（3，0，3），∵=+=（6，0，3），∴B1（6，0，3），∵=+=（3，3，3），∴A1（3，3，3），（1）∵T是△ABC1重心，∴T（2，1，1），∴=（1，2，2），设面ABC1的法向量为=（x，y，z），由=（3，-3，0），及得：令x=1，则=（1，1，0），设直线A1T与平面ABC1所成角为θ，则cosθ===，故θ=，故直线A1T与平面ABC1所成角为．（2）T在面ABC1内，=+=+m+n=（3-3n，3n，3m），即T（3-3n，3n，3m）．由TB1=TC得：（3-3n）2+（3n）2+（3m）2=（3n+3）2+（3n）2+（3m-3）2，即-2m+4n=-1…①设面CAA1C1法向量为=（a，b，c），由=（0，3，0），=（3，0，3）得：，取a=1，则=（1，0，-1），设面TA1C1法向量为=（x，y，z），由=（0，3，0），=（-3n，3n，3m-3），得：取x=m-1，则=（m-1，0，n），由平面TA1C1⊥平面ACC1A1，得：cos＜，＞==0，即m=n+1…②由①②解得，n=，m=，∴存在点T（，，）满足条件，此时TC=．…10分【解析】（1）以CB、CA分别为x，y轴，过C作直线Cz∥BC1，以Cz为z轴建立空间坐标系，求出直线A1T的方向向量和平面ABC1的法向量，代入向量夹角公式，可得直线A1T与平面ABC1所成角；（2）T在面ABC1内，=+=+m+n，由TB1=TC得，-2m+4n=-1…①；求出面CAA1C1法向量和面TA1C1法向量，由平面TA1C1⊥平面ACC1A1，得：m=n+1…②，解方程组求出m，n的值，进而可得TC的长度．本题考查的知识点是平面与平面垂直的性质，二面角的平面角及求法，直线与平面的夹角，其中建立空间直角坐标系，将问题转化为向量夹角问题是解答的关键．20.【答案】结论：（a1+a2+…+a n）（++…+）≥n2证明：①当n=1时，显然成立；②假设当n=k时，不等式成立，即：（a1+a2+…+a k）（++…+）≥k2那么，当n=k+1时，（a1+a2+…+a k+a k+1）（++…++）=（a1+a2+…+a k）（++…+）+a k+1（++…+）+（a1+a2+…+a k）+1≥k2+（+）+（+）+…+（+）+1≥k2+2k+1=（k+1）2即n=k+1时，不等式也成立．由①②知，不等式对任意正整数n成立．【解析】依题意可归纳出：（a1+a2+…+a n）（++…+）≥n2；下面用数学归纳法证明：①当n=1时易证；②假设当n=k时，不等式成立，去证明当n=k+1时，不等式也成立即可，需注意归纳假设的利用与基本不等式的应用．本题考查归纳推理与数学归纳法，着重考查归纳假设的利用与基本不等式的应用，考查推理证明的能力，属于难题．第11页，共11页。

期中数学试卷（理科）题号一二总分得分一、填空题（本大题共14小题，共70.0分）1.命题“∃x∈R，x2+x＞0”的否定是“______ ”．2.若复数z满足：z•（1+i）=2，则|z|=______．3.若f（x）=x3，其导数满足f'（x0）=3，则x0的值为______4.命题“x2-x-2=0”是命题“x=-1”的______条件．5.投掷两个骰子，向上的点数之和为12的概率为______．6.若曲线在点P处的切线平行于直线，则点的坐标为 .7.有3名男生4名女生排成一排，要求男生排在一起，女生也排在一起，有______种不同的排列方法．（用数字作答）8.在数学归纳法的递推性证明中，由假设n=k成立推导n=k+1成立时，f（n）=1+++…+增加的项的个数是______（用k表示）9.若数列{a n}为等差数列，定义b n=，则数列{b n}也为等差数列．类比上述性质，若数列{a n}为等比数列，定义数列{b n}：b n=______，则数列{b n}也为等比数列．10.（1+ax）6的展开式中二项式系数的最大值为______．（用数字作答）11.若函数f（x）=mx2+ln x-2x在定义域内是增函数，则实数m的最小值为______．12.已知函数f（x）=x3+3x对任意的m∈[-2，2]，f（mx-2）+f（x）＜0恒成立，则x∈______．13.已知f（x）是定义在R上的奇函数，f（1）=0，且对任意x＞0都有x•f'（x）-f（x）＞0成立，则不等式x2•f（x）＞0的解集是______．14.设曲线f（x）=（ax-1）•e x在点A（x0，y1）处的切线为l1，g（x）=（1-x）•e-x在点B（x0，y2）处的切线为l2，若存在x0∈[0，]，使得l1⊥l2，则实数a的取值范围是______．二、解答题（本大题共6小题，共72.0分）15.已知命题p：方程x2+mx+1=0有实数根；命题q：方程4x2+4（m-2）x+1=0无实数根，若命题p、q中有且仅有一个为真命题，求实数m的取值范围．16.已知n•C+A=4•C（n≥3，n∈N）．（1）求n的值；（2）求（+）n展开式中的常数项．17.已知数列{a n}满足a1=-，a n=-（n≥2，n∈N*）．（1）求a2、a3、a4；（2）猜想数列通项公式a n，并用数学归纳法给出证明．18.在四棱锥P-ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，∠ADC=90°，AB=AD=PD=1，CD=2．设Q为侧棱PC上一点，=λ．（1）若λ=，证明：PB⊥DQ；（2）试确定λ的值，使得二面角P-BD-Q的大小为45°．19.在盒子里有大小相同，仅颜色不同的乒乓球共10个，其中红球5个，白球3个，蓝球2个．现从中任取出一球确定颜色后放回盒子里，再取下一个球．重复以上操作，最多取3次，过程中如果取出蓝色球则不再取球．求：（1）最多取两次就结束的概率；（2）整个过程中恰好取到2个白球的概率；（3）取球次数的分布列和数学期望．20.已知函数f（x）=mx-a ln x-m，g（x）=，其中m，a均为实数．（1）求g（x）的极值；（2）设m=1，a＜0，若对任意的x1，x2∈[3，4]（x1≠x2），|f（x2）-f（x1）|＜||恒成立，求a的最小值；（3）设a=2，若对任意给定的x0∈（0，e]，在区间（0，e]上总存在t1，t2（t1≠t2），使得f（t1）=f（t2）=g（x0）成立，求m的取值范围．答案和解析1.【答案】∀x∈R，x2+x≤0【解析】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以命题“∃x∈R，x2+x＞0”的否定“∀x∈R ，x2+x≤0”．故答案为：∀x∈R，x2+x≤0．利用特称命题的否定是全称命题，写出结果即可．本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系．2.【答案】【解析】解：因为z•（1+i）=2，故，故，故答案为：．根据复数的基本运算法则进行化简求解即可．本题主要考查复数模长的计算，比较基础．3.【答案】±1【解析】解：根据题意，若f（x）=x3，其导数f'（x）=3x2，若f'（x0）=3，则3x02=3，解可得x0=±1；故答案为：±1．根据题意，求出函数的导数，进而可得若f'（x0）=3，则3x02=3，解可得答案．本题考查导数的计算，注意导数的计算公式，属于基础题．4.【答案】必要不充分【解析】解：解方程x2-x-2=0得x=2或x=-1；所以“x2-x-2=0“推不出“x=-1“；“x=-1“推出“x2-x-2=0”．故命题“x2-x-2=0”是命题“x=-1”的必要不充分条件．故答案为：必要不充分．先解方程x2-x-2=0得x=2或x=-1；由集合{-1}⫋{-1，2}，再根据由集合观点理解充分必要条件的定义，判断即可．本题考查了充分必要条件的定义，一元二次方程的求解，属于基础题．5.【答案】【解析】解：投掷两个骰子，基本事件总数n=6×6=36，向上的点数之和为12包含的基本事件有（6，6），只有一个，∴向上的点数之和为12的概率为P=．故答案为：．基本事件总数n=6×6=36，向上的点数之和为12包含的基本事件有（6，6），只有一个，由此能求出向上的点数之和为12的概率．本题考查概率的求法，考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．6.【答案】（1，0）【解析】解：设切点坐标为（m，m4-m），则f（m）=4m3-1=3，解得：m=1，则点P的坐标为（1，0）.故答案为：（1，0）.先设切点坐标，根据导数的几何意义求出函数f（x）在x=m处的导数，根据切线的斜率等于函数f（x）在x=m处的导数建立等式，解之即可．本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，以及解方程等基础题知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，属于基础题．7.【答案】288【解析】解：由题意得总的排法有（种）．故答案为：288．相邻问题捆绑法．即先将男生、女生各自看成一个“元素”进行排列，然后女生与男生内部再各自全排列．本题是一道常规题，按照计数原理和排列组合的知识求解即可．难度不大．8.【答案】2k【解析】解：当n=k时，f（k）=1+++…+，当n=k+1时，f（k+1）=1+++…++++…+，由f（k+1）-f（k）=++…+，可得需增加的项的个数为2k+1-1-2k+1=2k，故答案为：2k．分别写出n=k时，n=k+1时，f（k），f（k+1）的式子，相减可得所求增加项的个数．本题考查数学归纳法的证明，注意由n=k，等式成立，推得n=k+1也成立，需增加的项的个数，考查运算能力、推理能力，属于基础题．9.【答案】【解析】解：在类比等差数列的性质推理等比数列的性质时，一般的思路有：由加法类比为乘法，由减法类比为除法，由算术平均数类比为几何平均数等，故可以由数列{a n}是等差数列，定义b n=，则数列{b n}也为等差数列；类比推断：若数列{a n}是各项均为正数的等比数列，定义，则数列{b n}也是等比数列．故答案为：．直接由等差数列连续三项的算术平均数类比为等比数列中连续三项的几何平均数得结论．类比推理的一般步骤是：（1）找出两类事物之间的相似性或一致性；（2）用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想），本题是基础题．10.【答案】20【解析】解：展开式中共有7项，根据展开式中间项的二项式系数最大，故第4项的二项式系数最大，故C63=20，故答案为：20．展开式中共有7项，根据展开式中间项的二项式系数最大，故第4项的二项式系数最大，问题得以解决．本题主要考查二项式系数的性质及二项展开式的通项公式是解决二项展开式的特定项问题的工具，属于基础题题．11.【答案】[）．【解析】解：函数的定义域（0，+∞），，由题意可得，≥0在（0，+∞）上恒成立，故-2m，故-2m≤-1，所以m．故答案为：[）．先对函数求导，结合导数与单调性的关系可把原问题转化为≥0在（0，+∞）上恒成立，分离参数后转化为求解函数的范围，结合二次函数的性质可求．本题主要考查了导数与单调性关系的应用，体现了转化思想的应用．12.【答案】（-2，）【解析】【分析】本题考查恒成立问题，函数的奇偶性与单调性的综合应用，考查转化思想，以及学生灵活运用知识解决问题的能力．先利用函数的奇偶性的定义判断出函数的奇偶性，再由导数判断出函数的单调性，利用奇偶性将不等式进行转化，再利用单调性去掉不等式中的符号“f”，转化具体不等式，借助一次函数的性质可得x的不等式组，解出可得答案．【解答】解：由题意得，函数的定义域是R，且f（-x）=（-x）3+3（-x）=-（x3+3x）=-f（x），所以f（x）是奇函数，又f'（x）=3x2+3＞0，所以f（x）在R上单调递增，所以f（mx-2）+f（x）＜0可化为：f（mx-2）＜-f（x）=f（-x），由f（x）递增知：mx-2＜-x，即mx+x-2＜0，则对任意的m∈[-2，2]，f（mx-2）+f（x）＜0恒成立，等价于对任意的m∈[-2，2]，mx+x-2＜0恒成立，所以，解得-2＜x＜，即x的取值范围是（-2，），故答案为：（-2，）．13.【答案】（-1，0）∪（1，+∞）【解析】解：令g（x）=，因为f（x）是定义在R上的奇函数，f（1）=0，故f（-1）=0，所以g（-x）===g（x），即g（x）为定义域上的偶函数；又对任意x＞0都有x•f'（x）-f（x）＞0成立，所以当x＞0时，g′（x）=＞0，即g（x）=在（0，+∞）单调递增，在（-∞，0）单调递减，又f（1）=0，故g（1）=g（-1）=0，于是，当x＞0时，x2•f（x）＞0⇔＞0，即g（x）＞g（1），解得x＞1；当x＜0时，x2•f（x）＞0⇔＜0，即g（x）＜g（-1），解得-1＜x＜0；综上所述，-1＜x＜0或x＞1；故答案为：（-1，0）∪（1，+∞）．构造函数g（x）=，依题意可得g（x）=为偶函数，在（0，+∞）单调递增，在（-∞，0）单调递减，g（1）=g（-1）=0，分x＞0与x＜0两种情况，将不等式x2•f（x）＞0分别转化为x＞0时，g（x）＞g（1），x＜0时，g（x）＜g（-1），从而可解得答案．本题主要考查了利用导数研究函数的单调性及极值，考查等价转化思想、分类讨论思想及函数与方程思想的综合应用，考查运算能力与规范表达能力，属于难题．14.【答案】1≤a≤【解析】解：函数f（x）=（ax-1）e x的导数为f′（x）=（ax+a-1）e x，∴l1的斜率为，函数g（x）=（1-x）e-x的导数为g′（x）=（x-2）e-x，∴l2的斜率为，由题设有k1•k2=-1，从而有（ax0+a-1）•（x0-2）=-1∴a（x02-x0-2）=x0-3．∵存在x0∈[0，]，得到x02-x0-2≠0，∴a=，又a′=，令导数大于0得1＜x0＜5，故a=在（0，1）是减函数，在（1，）上是增函数，∴x0=0时取得最大值为．x0=1时取得最小值为1．∴1≤a≤．故答案为：1≤a≤．根据曲线方程分别求出导函数，把A和B的横坐标x0分别代入到相应的导函数中求出切线l1和切线为l2的斜率，然后根据两条切线互相垂直得到斜率乘积为-1，列出关于等式由存在x0∈[0，]，得到x02-x0-2≠0，从而a=，然后根据在（0，1）是减函数，在（1，）上是增函数，求出其值域即可得到a的取值范围．本题考查学生会利用导数求切线的斜率，会求函数的值域，掌握两直线垂直时斜率的关系，是中档题．15.【答案】解：若方程x2+mx+1=0有实数根，则判别式△=m2-4≥0，解得m≥2或m≤-2，即p：m≥2或m≤-2．若方程4x2+4（m-2）x+1=0无实数根，则判别式△=16（m-2）2-16＜0，解得1＜m＜3，即q：1＜m＜3．因为p、q中有且仅有一个为真命题，则①若p真，q假，则，解得m≥3或m≤-2．②若p假q真，则，解得1＜m＜2．综上实数m的取值范围是m≥3或m≤-2或1＜m＜2．【解析】分别求出命题p，q的等价条件，然后利用p、q中有且仅有一个为真命题，求实数m的取值范围．本题主要考查复合命题的应用，以及一元二次方程根的个数与判别式之间的关系，比较综合．16.【答案】解：（1）因为n•C+A=4•C（n≥3，n∈N）．所以+n（n-1）（n-2）=4×，整理可得，n=4；（2）由（1）可得（+）n=（+）4，则T r+1==，令=0可得r=1，即常数项为T2=8．【解析】（1）结合排列组合数公式展开即可求解；（2）结合二项展开式的通项即可求解．本题主要考查了排列组合数公式的应用及利用二项展开式的通项求解二项展开式的特点项，属于基础试题．17.【答案】解：（1）数列{a n}满足a1=-，a n=-（n≥2，n∈N*）．则a2=-=-=-，a3=-=-．（2）猜想数列通项公式a n=-．用数学归纳法证明：（i）n=1时，a1=-=-成立，（ii）假设n=k∈N*时成立，a k=-．则n=k+1时，a k+1=-=-=-=-．因此n=k+1时，猜想成立．综上可得：数列通项公式a n=-．n∈N*．【解析】（1）数列{a n}满足a1=-，a n=-（n≥2，n∈N*）．可得a2=-，a3=-．（2）猜想数列通项公式a n=-．用数学归纳法证明即可．本题考查了数学归纳法、数列递推关系、猜想归纳方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18.【答案】解：（1）证明：∵四棱锥P-ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，∠ADC=90°，AB=AD=PD=1，CD=2．设Q为侧棱PC上一点，=．∴以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DP为z轴，建立空间直角坐标系，P（0，0，1），B（1，1，0），D（0，0，0），Q（0，，），=（1，1，-1），=（0，），∵=0，∴PB⊥DQ．（2）C（0，2，0），设Q（a，b，c），则（a，b，c-1）=（0，2λ，-λ），∴Q（0，2λ，1-λ），=（0，0，1），=（1，1，0），=（0，2λ，1-λ），设平面BDP的法向量=（x，y，z），则，取x=1，得=（1，-1，0），设平面BDQ的法向量=（a，b，c），，取a=1，得=（1，-1，），∵二面角P-BD-Q的大小为45°．∴cos45°==，由0≤λ≤1，解得．【解析】（1）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明PB⊥DQ．（2）C（0，2，0），设Q（a，b，c），则（a，b，c-1）=（0，2λ，-λ），从而Q（0，2λ，1-λ），求出平面BDP的法向量和平面BDQ的法向量，由此利用二面角P-BD-Q 的大小为45°．利用向量法能求出λ．本题考查线线垂直的证明，考查满足二面角的实数值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．19.【答案】解：（1）由题意知，任取一球，取到红球的概率为=任取一球，取到白球的概率为=任取一球，取到蓝球的概率为=∵如果取出蓝色球则不再取球，∴最多取两次就结束的概率为++=（2）设A={整个过程中恰好取到2个白球}，B i={第i次取到白球}H i={第i次取到红球}L i={第i次取到蓝球}则P（A）=P（B1B2）+P（H1B2B2）+P（B1H2B3）=×++=（3）设取球次数为X，则X的可能取值为1，2，3P（X=1）==P（X=2）=+=P（X=3）==随机变量X的分布列如下X123P 从而E（X）=1×+2×+3×=【解析】（1）先分别求出任取一球，取到每种颜色的球的概率，因为取出蓝色球则不再取球，所以最多取两次就结束有两种情况，第一种，第一次取球，取到蓝球，第二种情况，第一次取球，取到红球或白球，第二次取球，取到蓝球，把两种情况的概率求出，再相加即可．（2）由（1）知任取一球，取到白球的概率为，取到蓝球的概率为，取到红球的概率为，而恰好取到2个白球包括三个互斥事件，即（白，白，非白），（白，红，白），（红，白，白），分别计算它们的概率，最后相加即可（3）设取球次数为X，则X的可能取值为1，2，3，X=1即第一次就抓到蓝球，X=2即第一次不是蓝球，第二次是蓝球，X=3即第一次不是蓝球，第二次不是蓝球；分别计算它们的概率，列出分布列，由期望公式计算X的期望本题考察了古典概型概率的求法，互斥事件有一个发生的概率和相互独立事件同时发生的概率计算，以及离散型随机变量的分布列及其期望的求法20.【答案】解：（1）g′（x）=，令=0，解得x=1，∵e x＞0，∴x∈（-∞，1）时，g′（x）＞0；x∈（1，+∞）时，g′（x）＜0，根据极大值的定义知：g（x）极大值是g（1）=1，无极小值．（2）当m=1，a＜0时，f（x）=x-a ln x-1，所以在[3，4]上f′（x）=＞0，∴f（x）在[3，4]上是增函数．设h（x）==，∴在[3，4]上h′（x）=＞0，∴h（x）在[3，4]上为增函数．设x2＞x1，则|f（x2）-f（x1）|＜||恒成立，变成f（x2）-f（x1）＜-恒成立，即：f（x2）-f（x1）＜h（x2）-h（x1）恒成立，即：f（x2）-h（x2）＜f（x1）-h（x1）．设u（x）=f（x）-h（x）=x-a ln x-1-•，则u（x）在[3，4]上为减函数．∴u′（x）=1--•≤0在[3，4]上恒成立．∴a≥x-e x-1+恒成立．设v（x）=x-e x-1+，∴v′（x）=1-e x-1+=1-e x-1[（+）2+]，∵x∈[3，4]，∴e x-1[（+）2+]≥e2，∴v′（x）＜0，∴v（x）为减函数．∴v（x）在[3，4]上的最大值为v（3）=3-e2．∴a≥）=3-e2，∴a的最小值为：3-e2．（3）由（1）知g（x）在（0，1]上单调递增，在（1，e]单调单调递减，又g（0）=0，g（e）=，∴g（x）的值域是（0，1]．∵f（x）=mx-2ln x-m；∴当m=0时，f（x）=-2ln x，在（0，e]为减函数，由题意知，f（x）在（0，e]不是单调函数；故m=0不合题意；当m≠0时，f′（x）=，由于f（x）在（0，e]上不单调，∴0＜＜e，即m＞；①此时f（x）在（0，）递减，在（，e]递增；∴f（e）≥1，即me-2-m≥1，解得m≥；②∴由①②，得m≥；∵1∈（0，e]，∴f（）≤f（1）=0满足条件．下证存在t∈（0，]使得f（t）≥1；取t=e-m，先证e-m＜证，即证2e m-m＞0；③设w（x）=2e x-x，则w′（x）=2e x-1＞0在[，+∞）时恒成立；∴w（x）在[，+∞）上递增，∴w（x）≥w（）＞0，∴③成立；再证f（e-m）≥1；∵f（e-m）=me-m+m≥m≥＞1，∴m≥时，命题成立．∴m的取值范围是：[，+∞）．【解析】（1）对于第一问非常简单，只需按求解极值的定义求解即可．（2）在所给式子中含绝对值，一般考虑去掉绝对值，x1，x2是任给的两个数，所以可考虑用函数单调性．去掉绝对值之后，注意观察式子，你会发现，只要做适当变形，便可利用函数单调性的定义，得到一个新的函数的单调性，再结合导数求a的范围即可．（3）通过第三问的条件，你会得到f（x）在区间（0，e]不是单调函数的结论，并要求f（x）的值域需包含g（x）的值域便可．接下来就是看怎样让f（x）的值域包含g（x）的值域，即能求出m的范围．本题考查函数的导数的综合应用，函数的极值以及函数的单调性的判断与应用，新函数以及构造法的应用，考查综合分析问题解决问题的能力．。

江苏省苏州市2019-2020学年高二第二学期期中考试数学参考答案一、单项选择题：1-8. DCBBABDD二、多项选择题：9. ABD10. ABC 11. ABD 12. A BD 三、填空题：13.114. (0, 1]15.13302－3 0LM3－2－ fhu －－A 四、解答题：17.解：（I ）由f(x)=x 十臼2十blnx，得f'(x)= 2ax+ 1 ＋互（x > 0). x ...... 1分由曲线Y = f(x ）在点(,f (））处的切线方程为2x-y-2=0,得f'(l)= 1 + 2α＋b = 2/(1)= 1＋α＝ 0 ............... 3分解得α＝－1,b =3. . .............. 4分（即f(x ）＝一泸＋x+3lnx,x E (0十∞），f'(x)=-2x+l 十二（x > 0). …….........5分一2x+l ＋二＞0，解得XE (0，三）…........….6分x2-2x+l ＋三＜0，解得XE (;,+oo ).....………7分X L3同、3所以函数的增区间：（0，一）；减区间：（一，＋∞），............... 8分2 2 3 3 3 当x ＝三时，函数取得极大值，函数的极大值为f （一=3ln一一一...............10分2 2 4 18.解：（I ）除去一定担任语文科代表的女生后，先选后排，共有不同选法cL�1=s4oc 种）．...... 4分(II ）先选后排，但先安排不担任语文科代表的该男生，所以共有不同选法d·cl·A 1=3360（种）．.... 8分。

1月先从除去必须担任科代表，但不担任数学科代表的该男生和一定要担任语文科代表的该女生的6人中选3人有d 种，再安排必须担任科代表，但不担任数学科代表的该男生有d种，其余3人全排列有A�种，所以共有不同选法d·d A �＝360（种）…….......12分（每少写一处数值，扣l分）高二数学参考答案第l 页共4页江苏省苏州市2019-2020学年高二第二学期期中考试。

江苏省苏州市常熟市2019-2020学年高二下学期期中数学试卷注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题1.已知复数1z i =-（其中i 是虛数单位），则复数z 的虛部为（ ） A.1-B.i -C.1D.i2.火车开出车站一段时间内，速度v （单位：m/s ）与行驶时间t （单位：s ）之间的关系是()20.40.6v t t t =+，则火车开出几秒时加速度为2.8m/s 2？（ ）A.32s B.2s C.52s D.73s 3.在正方体1111ABCD A B C D -中，平面1A BD 与平面ABCD 所成二面角的正弦值为（ ）D.134.有6个人排成一排拍照，其中甲和乙相邻，丙和丁不相邻的不同的排法有（ ） A.240种B.144种C.72种D.24种5.若函数()332f x x bx =-+在区间()2,3内单调递增，则实数b 的取值范围是（ ） A.4b ≤B.4b <C.4b ≥D.4b >6.如图，在圆锥PO 的轴截面PAB 中，60APB ∠=︒，有一小球1O 内切于圆锥（球面与圆锥的侧面、底面都相切），设小球1O 的体积为1V ，圆锥PO 的体积为V ，则1:V V 的值为（ ）A.13B.49C.59D.237.若函数()2x x f x ax e =-存在两个不同零点，则实数a 的取值范围是（ ）A.1,e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B.10,e ⎛⎫⎪⎝⎭C.()1,0e ⎧⎫-∞⋃⎨⎬⎩⎭D.()1,00,e ⎧⎫-∞⋃⎨⎬⎩⎭8.从0，1，2，3，…，9中选出三个不同数字组成一个三位数，其中能被3整除的三位数个数为（ ） A.252B.216C.162D.228第II 卷（非选择题）二、填空题（题型注释）9.复数z 满足z i=（其中i 是虛数单位），则复数z 的模等于______. 10.设函数()f x 满足()()2311f x x f x '=++，则()3f 的值为______.11.用红、黄、蓝、绿四种颜色给图中五个区域进行涂色，要求相邻区域所涂颜色不同，共有______种不同的涂色方法.（用数字回答）三、解答题（题型注释）12.已知复数(),z a bi a b R =+∈满足3z i +为实数，2zi-为纯虚数，其中i 是虚数单位. （1）求实数a ，b 的值；（2）若复数()2125z z m m i =++-在复平面内对应的点在第四象限，求实数m 的取值范围.13.已知函数()ln f x ax bx x =+，()f x 在x e =处的切线方程是0x y e +-=，其中e 是自然对数的底数.（1）求实数a ，b 的值； （2）求函数()f x 的极值.14.某班有6名同学报名参加校运会的四个比赛项目，在下列情况下各有多少种不同的报名方法，（用数字回答）（1）每人恰好参加一项，每项人数不限； （2）每项限报一人，且每人至多参加一项；（3）每人限报一项，人人参加，且每个项目均有人参加.15.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，4PA AD ==，2AB =，M 是PD 上一点，且BM PD ⊥.（1）求异面直线PB 与CM 所成角余弦的大小； （2）求点M 到平面PAC 的距离.16.如图，四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，//AB CD ，3AB AC AD ===，4PA CD ==，E 为线段AB 上一点，2AE EB =，M 为PC 的中点.（1）求证：//EM 平面PAD ；（2）求直线AM 与平面PCE 所成角的正弦值. 17.已知()221()ln ,x f x a x x a R x-=-+∈．（Ⅰ）讨论()f x 的单调性；（Ⅱ）当1a =时，证明()3()'2f x f x +＞对于任意的[]1,2x ∈成立．四、新添加的题型）A.若()2211x f x x -=+，则()()2241x f x x '=+ B.若()2x f x e =，则()2x f x e '=C.若()f x =()f x '=D.若()cos 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则()sin 23f x x π⎛⎫'=-- ⎪⎝⎭19.下面四个命题中的真命题为（ ） A.若复数z 满足1R z∈，则z R ∈ B.若复数z 满足2z ∈R ，则z R ∈ C.若复数1z ，2z 满足12z z R ∈，则12z z = D.若复数z R ∈，则z R ∈ 20.以下关于函数()21f x x x=+的说法正确的是（ ） A.函数()f x 在0,上不单调B.函数()f x 在定义域上有唯一零点C.函数()f xD.x =()f x 的一个极值点21.（多选题）如图，在菱形ABCD 中，2AB =，60BAD ∠=，将ABD △沿对角线BD 翻折到PBD △位置，连结PC ，则在翻折过程中，下列说法正确的是（ ）A.PC 与平面BCD 所成的最大角为45B.存在某个位置，使得PB CD ⊥--的大小为90时，PC=C.当二面角P BD CD.存在某个位置，使得B到平面PDC22.已知四面体ABCD的所有棱长均为a，则对棱AB与CD间的距离为______，该四面体的外接球表面积为______.参考答案1.A【解析】1.利用复数的除法运算化简，再得到复数z 的虛部.21i z i =-2(1)1(1)(1)i i i i i --==--+--，则复数z 的虛部为1-. 故选：A 2.B【解析】2.计算()'v t ，根据()'v t 的物理意义，代入() 2.8='v t ，简单计算可得结果. 由题可知：()20.40.6v t t t =+，所以()=0.4+1.2'v t t 则()2.8=0.4+1.22⇒=t t s 所以火车开出2s 时加速度为2.8m/s 2 故选：B 3.C【解析】3.连AC 交BD 于O ，连1A O ，证明BD ⊥平面11AAC C ，从而有1,AC BD AO BD ⊥⊥，1AOA ∠或（补角1A OC ∠）为平面1A BD 与平面ABCD 所成二面角的平面角，在1Rt AOA 中求出11,AO AA 关系， 即可得出结论.连接AC 交BD 于点O ，连1A O ，如下图所示， 因为1AA ⊥平面ABCD ， 所以11,A AA BD AC BD A C A A ⊥⊥=，，BD ⊥平面111,AAC C AO ⊂平面111,AAC C BD AO ⊥， 所以1AOA ∠（或补角1A OC ∠）为平面1A BD 与平面ABCD 的平面角，在△A 1OA 中，设AA 1＝a ，则AO 2=a ，12A O a =，1111sin sin2AAAOC AOAAO∠=∠===所以平面1A BD与平面ABCD.故选：C．4.B【解析】4.甲和乙相邻，捆绑法，丙和丁不相邻用插空法，即先捆甲和乙，再与丙和丁外的两人共“3人”排列，再插空排丙和丁.甲和乙相邻，捆绑在一起有22A种，再与丙和丁外的两人排列有33A种，再排丙和丁有24A种，故共有22A33A24A144=种.故选：B5.A【解析】5.先对函数求导，根据函数在区间()2,3内单调递增，转化为导函数大于等于0，然后分离常数b，根据最值求得b的取值范围.3()32f x x bx=-+，2()33f x x b'=-，∵函数()332f x x bx=-+在区间()2,3内单调递增，∴导函数2()33f x x b'=-0,(2,3)x≥∈恒成立，则2,(2,3)b x x≤∈恒成立，故4b≤.故选：A．6.B【解析】6.采用数形结合，假设小球1O 的半径为r ，圆O 的半径为R，然后计算=r R ，可得R =，然后根据体积公式简单计算，可得结果.如图设小球1O 的半径为r ，圆O 的半径为R 由1△△POB PMO 所以11=PO O MPB OB由60APB ∠=︒，所以tan tan 603=∠==OP R OBP R R2sin2==∠OBPB RAPB所以=r RR =所以3323141,3333πππ==⋅==r R V V R r所以149=V V ， 故选：B 7.C【解析】7.首先能判断出0x=是函数的零点，问题转化为xxa e =有一个非零根，构造函数，研究其图象的走向，从而得出结果.函数()2x x f x ax e =-存在两个不同零点，等价于2x x ax e=有两个不同的解，0x =满足条件，所以xxa e =有一个非零根， 令()x x g x e =，21'()x x xx e xe xg x e e--==， 当1x >时，)'(0g x <，1x <时，'()0g x >，所以()g x 在(,1)-∞上单调递增，在(1,)+∞上单调递减，且当(,1)x ∈-∞时，1()(,)f x e ∈-∞，当(1,)x ∈+∞时，1()(0,)f x e∈， 所以xx a e =有一个非零根时，实数a 的取值范围是()1,0e ⎧⎫-∞⋃⎨⎬⎩⎭， 故选：C. 8.D【解析】8.根据题意将10个数字分成三组:即被3除余1的有1，4，7；被3除余2的有2，5，8；被3整除的有3，6，9，0，若要求所得的三位数被3整除，则可以分类讨论:每组自己全排列，每组各选一个，再利用排列与组合的知识求出个数，进而求出答案.解:将10个数字分成三组，即被3除余1的有{1,4,7}，被3除余2的有{2,5,8}，被3整除的有{3,6,9,0}.若要求所得的三位数被3整除，则可以分类讨论:①三个数字均取自第一组{1,4,7}中，或均取自第二组{2,5,8}中，有33212A =个；②若三个数字均取自第三组{3,6,9,0}，则要考虑取出的数字中有无数字0，共有324318A A -=个；③若三组各取一个数字，第三组中不取0，有11133333162C C C A ⋅⋅⋅=个， ④若三组各取一个数字，第三组中取0，有112332236C C A ⋅⋅⋅=个，这样能被3整除的数共有12+18+162+36228=个. 故选：D.【解析】9.利用复数的运算法则和模的计算公式即可得出结果． ∵3iz i-=， ∴223331131i i i i i z i i --+===---=，∴|z |=10.1【解析】10.先对函数求导，再令1x =，求出'(1)f 的值，代入原函数中，再令3x =可求出(3)f .由()()2311f x x f x '=++，得''()23(1)f x x f =+，令1x =，则''(1)23(1)f f =+，解得'(1)1f =-，所以()231=-+f x x x ，令3x =，则(3)9911f =-+=，解得(3)1f = 故答案为：1 11.240【解析】11.根据分步计数原理与分类计数原理，列出每一步骤及每种情况，计算即可. 从A 开始涂色，A 有4种方法，B 有3种方法， ①若E 与B 涂色相同，则,C D 共有23A 种涂色方法； ②若E 与B 涂色不相同，则E 有2种涂色方法，当,C E 涂色相同时，D 有3种涂色方法；当,C E 涂色不相同时，C 有2种涂法，D 有2种涂色方法.共有()2343432322240A ⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯=种涂色方法.故答案为：240.12.（1）32a =-；3b =-；（2）34m <<【解析】12.（1）根据3z i +为实数，求得3b =-，利用复数的除法运算法则，化简2zi-，利用其为纯虚数，求得32a =-； （2）将所求值代入，确定出()213222z m m i ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭，根据其在复平面内对应的点在第四象限，列出不等式组，求得结果.（1）因为()33z i a b i +=++为实数，所以3b =-，因为()()()()()()32236322225a i i a a i z a i i i i i -+++--===---+为纯虚数， 所以32a =-． （2）332z i =--，332z i =-+，所以()213222z m m i ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭，因为复数1z 在复平面内对应的点在第四象限，所以2320220m m ⎧->⎪⎨⎪-<⎩，解之得34m << 13.（1）11a b =⎧⎨=-⎩；（2）极大值1；()f x 无极小值..【解析】13.（1）计算()f e ，()f e '，根据函数在x e =处的切线方程，简单计算可得结果. （2）根据（1）的结论，可得()ln f x x x x =-，然后利用导数，判断原函数的单调性，找到极值点，最后计算可得结果.（1）由()ln f x ax bx x =+，得()()1ln f x a b x '=++，由()f x 在x e =处的切线方程是0x y e +-=，知切点为(),0e ，斜率为1-，所以()()()021f e a b e f e a b ⎧=+=⎪⎨=+=-'⎪⎩，解之得11a b =⎧⎨=-⎩．（2）()ln f x x x x =-，()ln f x x '=-，令()0f x '=，得1x =，由表可知，当1x =时，f x 取得极大值1；)f x 无极小值. 14.（1）4096种；（2）360种；（3）1560种.【解析】14.（1）根据分步计数原理直接计算可得64，然后可得结果. （2）依据题意，计算46A ，可得结果.（3）先分组，可得22364622+C C C A ，后排列，可得2234646422⎛⎫+ ⎪⎝⎭C C C A A ，简单计算可得结果. （1）每人都可以从这四个项目中选报一项，各有4种不同的选法， 由分步计数原理知共有644096=种．（2）每项限报一人，且每人至多报一项，因此可由项目选人， 第一个项目有6种不同的选法，第二个项目有5种不同的选法， 第三个项目有4种不同的选法，第四个项目有3种不同的选法，由分步计数原理得共有报名方法466543360A =⨯⨯⨯=种．（3）每人限报一项，人人参加，且每个项目均有人参加，因此需将6人分成4组，有2236462215620652C C C A ⨯+=+=种． 每组参加一个项目，由分步计数原理得共有()22346464222045241560C C C A A ⎛⎫+=+⨯= ⎪⎝⎭种． 15.（1；（2.【解析】15.（1）连BD 交AC 于O ，连MO ，根据已知可得BP BD =，得出M 为PD 中点，从而有//OM PB ，OMC ∠（或补角）就为所求的角，分别求出,,OM OC MC ，即可得出结论；或建立空间直角坐标系，确定,,,P B M C 坐标，利用向量夹角公式，也可求解.（2）点M 到平面PAC 的距离等于点D 到平面PAC 距离的一半，由PA ⊥平面ABCD ，过D 做DN AC ⊥于N ，可证DN ⊥平面PAC ，即可求出结论；或求出,PAC ACD △△的面积，用等体积法也可求解；或建立空间直角坐标系，求出平面PAC的法向量，利用空间向量点到面的距离公式亦可求解. （1）连BD 交AC 于O ，连MO ，PA ⊥平面ABCD ，所以,PA AB PA CD ⊥⊥，在Rt PAB中，4,2,PA AB PB ====，又因为底面ABCD 是矩形，所以O 为BD 中点，2,4AB AD ==，所以BD PB ==，因为M 是PD 上一点，且BM PD ⊥， 所以M 为PD 中点，1//,2MO PB MO PB =， 所以OMC ∠（或补角）就为PB 与CM 所成的角， 因为,,PA CD AD CD PAAD A ⊥⊥=所以CD ⊥平面,PAD CD PD ⊥，MC ==，1122MO PB CO AC ====2cos MCOMC MO ∠===所以异面直线PB 与CM所成角余弦值为5； （2）解1：过D 做DN AC ⊥于N ，PA ⊥平面ABCD ， 所以,PA DN PAAC A ⊥=，所以DN ⊥平面PAC ，DN 为点D 到平面PAC 的距离，在Rt ACD △中，CD DA DN AC ⋅==， 又M 是PD 中点，所以点M 到平面PAC． 解2：因为Rt BCE ，PA ⊥平面ABCD ，所以111162443323P ACD ACD V S PA -⎛⎫=⋅=⨯⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭△，在Rt ADC 中，AC ==11422PAC S AC PA =⋅=⨯=△设点D 到平面PAC 的距离为h ，则13D PAC PAC V S h -=⋅=△，由P ACD D PAC V V --=，得1633=，所以h =．又M 是PD 中点，所以点M 到平面PAC ．解法二：分别以AB ，AD ，AP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，（1）()()()()()0,0,0,2,442,0,0,0,4,0,0,0,,0,A P C B D则()2,0,4PB =-，()2,4,4PC =-，()0,4,4PD =-， 设()01PM PD λλ=≤≤，则()0,4,4PM λλ=-， 所以()2,4,44BM PM PB λλ=-=--，由BM PD ⊥，知()0164440BM PD λλ⋅=+--=，所以12λ=，M 为PD 中点， 所以()0,2,2M ，()2,2,2CM =--，cos ,2PBCM PB CM PB CM⋅===．所以异面直线PB 与CM 所成角的余弦值为5． （2）()0,0,4AP =，()2,4,0AC =， 设平面PAC 的法向量为(),,n x y z =，由00AP n AC n ⎧⋅=⎨⋅=⎩，得40240z x y =⎧⎨+=⎩，所以0z =，取2x =，得1y =-，所以()2,1,0n =-是平面PAC 的一个法向量．所以点M 到平面PAC 的距离为22CM n n⋅-==． 16.（1）证明见解析；（2.【解析】16.（1）取PD 中点N ，连接AN ，MN ，证明//EM AN ，再证得//EM 平面PAD ； （2）连接PE ，先证CE AB ⊥，证得CE ⊥面PAB ，再作⊥AF PE 交PE 于F，连接MF ，证得AF ⊥面PEC ，则AMF ∠为直线AM 与平面PCE 所成角，再求出AMF∠的正弦值.（1）证明：取PD 中点N ，连接AN ，MN ，因为M 为PC 的中点，所以//MN CD 且12MN CD =， 又223AE AB ==，4CD =，且//AB CD ，则//MN AE ，且MN AE =， 所以四边形AEMN 为平行四边形，则//EM AN ． 又因为EM ⊄平面PAD ，AN ⊂平面PAD ， 所以//EM 平面PAD ．（2）解：在ACD △中，22291692cos 22343AC CD AD ACD AC CD +-+-∠===⋅⨯⨯，因为//AB CD ，所以2cos 3BAC ∠=， 在ACE △中，22222cos 4922353CE AE AC AE AC BAC =+-⋅⋅∠=+-⨯⨯⨯=， 由222AE CE AC +=，知CE AB ⊥．因为PA ⊥底面ABCD ，CE ⊂底面ABCD ，所以CE PA ⊥， 又PAAB A =，PA ⊂平面PAB ，AB 平面PAB ，所以CE ⊥平面PAB ．在平面PAB 内，过点A 作⊥AF PE ，交PE 于F ，连接FM ， 则CE AF ⊥，又PECE E =，CE ⊂平面PCE ，PE ⊂平面PCE ，所以AF ⊥平面PCE ，所以FM 是AM 在平面PCE 内的射影， 则AMF ∠为直线AM 与平面PCE 所成角．在Rt PAC △中，M 为PC 的中点，所以1522AM PC ===，在Rt PAE 中，由PA AE PE AF ⋅=⋅，得5PA AE AF PE ⋅===，所以sin 25AF AMF AM ∠==所以直线AM 与平面PCE 所成角的正弦值为25． 17.（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）见解析【解析】17.试题（Ⅰ）求()f x 的导函数，对a 进行分类讨论，求()f x 的单调性； （Ⅱ）要证()3()'2f x f x +＞对于任意的[]1,2x ∈成立，即证3()'()2f x f x ->，根据单调性求解. 试题解析： （Ⅰ）的定义域为；223322(2)(1)'()a ax x f x a x x x x--=--+=. 当，时，'()0f x >，单调递增；(1,),'()0x f x ∈+∞<时，单调递减.当时，3(1)22'()()()a x f x x x x a a-=+-. （1），，当或x ∈时，'()0f x >，单调递增；当x ∈时，'()0f x <，单调递减；（2）时，，在x ∈内，'()0f x ≥，单调递增；（3）时，，当或x ∈时，'()0f x >，单调递增；当x ∈时，'()0f x <，单调递减.综上所述， 当时，函数在内单调递增，在内单调递减； 当时，在内单调递增，在内单调递减，在内单调递增； 当时，在内单调递增； 当，在内单调递增，在内单调递减，在内单调递增.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，时，22321122()'()ln (1)x f x f x x x x x x x --=-+---+23312ln 1x x x x x =-++--，，令，.则()'()()()f x f x g x h x -=+， 由1'()0x g x x-=≥可得，当且仅当时取得等号.又24326'()x x h x x--+=， 设，则在x ∈单调递减，因为， 所以在上存在使得时，时，，所以函数()h x 在上单调递增；在上单调递减， 由于，因此，当且仅当取得等号， 所以3()'()(1)(2)2f x f xgh ->+=， 即3()'()2f x f x >+对于任意的恒成立。

期中数学试卷题号一二总分得分一、填空题（本大题共14小题，共70.0分）1.若集合U={1，2，3，4，5}，M={1，2，4}，则∁U M=______．2.已知复数z=2-i（i是虚数单位），则|z|=______．3.若复数z1=1+i，z2=3-i，则z1•z2的虚部为______．4.完成下面的三段论：大前提：互为共轭复数的乘积是实数小前提：x+yi与x-yi是互为共轭复数结论：______．5.用反证法证明命题“如果a＞b，那么＞”时，假设的内容应为______．6.若（x2-1）+（x2+3x+2）i是纯虚数，则实数x的值是______．7.函数f（x）=+的定义域是______．8.“0＜x＜1”是“log2（x+1）＜1”的______条件（填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”）．9.设直线y=x+b是曲线y=ln x（x＞0）的一条切线，则实数b的值为______．10.=______．11.已知△ABC的周长为l，面积为S，则△ABC的内切圆半径为r=．将此结论类比到空间，已知四面体ABCD的表面积为S，体积为V，则四面体ABCD的内切球的半径R=______．12.函数的一个零点在区间（1，2）内，则实数a的取值范围是______．13.第二十九届北京奥运会吉祥物“福娃迎迎”，按如下的方式构造图形，图（1）、（2）、（3）、（4）分别包含1个、5个、13个、25个，第n个图形包含f（n）个“福娃迎迎”，则f（n）-f（n-1）=______．（答案用含n的解析式表示）14.已知函数若，a，b，c，d是互不相同的正数，且f（a）=f（b）=f（c）=f（d），则abcd的取值范围是______．二、解答题（本大题共6小题，共90.0分）15.已知z为复数，z+2i和均为实数，其中i是虚数单位．（Ⅰ）求复数z；（Ⅱ）若复数（z+ai）2在复平面上对应的点在第一象限，求实数a的取值范围．16.已知命题p：函数有两个不同的极值点；命题q：函数在区间是单调减函数若p且为真命题，求实数m的取值范围．17.方程x2-x-m=0在（-1，1）上有解．（1）求满足题意的实数m组成的集合M；（2）设不等式（x-a）（x+a-2）＜0的解集为N，若M⊆N，求a的取值范围．18.已知函数f（x）是定义在（-4，4）上的奇函数，满足f（2）=1，当-4＜x≤0时，有f（x）=．（1）求实数a，b的值；（2）求函数f（x）在区间（0，4）上的解析式，并利用定义证明其在该区间上的单调性；（3）解关于m的不等式f（m2+1）＞1．19.某群体的人均通勤时间,是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时某地上班族S中的成员仅以自驾或公交方式通勤分析显示：当S中的成员自驾时,自驾群体的人均通勤时间为单位：分钟,而公交群体的人均通勤时间不受x影响,恒为40分钟,试根据上述分析结果回答下列问题：当x在什么范围内时,公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间？求该地上班族S的人均通勤时间的表达式；讨论的单调性,并说明其实际意义．20.设函数f（x）=-x2+（a+1）x-ln x（a∈R）．（1）当a=0时，求函数f（x）的极值；（2）当a＞0时，讨论函数f（x）的单调性；（3）若对任意a∈（2，3）及任意x1，x2∈[1，2]，恒有m+ln2＞|f（x1）-f（x2）|成立，求实数m的取值范围．答案和解析1.【答案】{3，5}【解析】【分析】本题考查补集的运算．属于基础题.直接进行补集的运算即可．【解答】解：∵U={1，2，3，4，5}，M={1，2，4}；∴∁U M={3，5}．故答案为：{3，5}．2.【答案】【解析】解：∵复数z=2-i，∴|z|===．故答案为：．根据复数模长的定义直接进行计算即可．本题主要考查复数的长度的计算，比较基础．3.【答案】2【解析】解：∵z1=1+i，z2=3-i，∴z1•z2=（1+i）（3-i）=4+2i，∴z1•z2的虚部为2．故答案为：2．把z1=1+i，z2=3-i代入z1•z2，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．4.【答案】（x+yi）．（x-yi）是实数【解析】解：由演绎推理三段论可得“三段论”推理出一个结论，则这个结论是：““（x+yi）．（x-yi）是实数，故答案为：（x+yi）．（x-yi）是实数．三段论是由两个含有一个共同项的性质判断作前提得出一个新的性质判断为结论的演绎推理．在三段论中，含有大项的前提叫大前提，如本例中的“互为共轭复数的乘积是实数”；含有小项的前提叫小前提，如本例中的“x+yi与x-yi是互为共轭复数”．另外一个是结论．三段论推理是演绎推理中的一种简单判断推理．它包含两个性质判断构成的前提，和一个性质判断构成的结论．一个正确的三段论有仅有三个词项，其中联系大小前提的词项叫中项；出现在大前提中，又在结论中做谓项的词项叫大项；出现在小前提中，又在结论中做主项的词项叫小项．5.【答案】＜或=【解析】解：由于命题“＞”的否定为“＜或=”，故用反证法证明命题“如果a＞b，那么＞”时，应假设＜或=，故答案为：＜或=．用反证法证明数学命题“如果a＞b，那么＞”时，应假设它的否定本题考查用反证法证明数学命题，求一个命题的否定的方法，得到命题“＞”的否定为“＜或=”，是解题的关键．6.【答案】1【解析】解：因为（x2-1）+（x2+3x+2）i是纯虚数，x∈R所以解得：x=1故答案为：1复数为纯虚数时，实部为0，虚部不为0，求解相应的方程与不等式，即可确定x的值．本题考查复数的基本概念，考查计算能力，明确复数为纯虚数时，实部为0，虚部不为0是解题的关键．7.【答案】{x|x＞-2，且x≠2}【解析】解：要使f（x）有意义，则：；∴x＞-2，且x≠2；∴f（x）的定义域为{x|x＞-2，且x≠2}．可看出，要使得函数f（x）有意义，则需满足，解出x的范围即可．考查函数定义域的定义及求法，描述法表示集合的定义．8.【答案】充分不必要【解析】解：∵log2（x+1）＜1=log22，∴，∴-1＜x＜1，∴“0＜x＜1”是“log2（x+1）＜1”的充分不必要条件，故答案为：充分不必要．求出不等式的等价条件，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合充分条件和必要条件的定义以及不等式的性质是解决本题的关键，属基础题．9.【答案】ln2-1【解析】【分析】本小题主要考查直线的方程、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识,考查运算求解能力,属于基础题．欲求实数b的大小，只须求出切线方程即可，故先利用导数求出在切点处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率，最后求出切线方程与已知直线方程对照即可．【解答】解：y′=（ln x）′=，令=得x=2，∴切点为（2，ln2），代入直线方程y=x+b，∴ln2=×2+b，∴b=ln2-1．故答案为：ln2-1.10.【答案】-i【解析】解：∵，∴=i2019=i4×504+3=i3=-i．故答案为：-i．直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础题．11.【答案】【解析】解：设四面体的内切球的球心为O，则球心O到四个面的距离都是R，所以四面体的体积等于以O为顶点，分别以四个面为底面的4个三棱锥体积的和．则四面体的体积为V=（S1+S2+S3+S4）R,∴R=,故答案为：．根据平面与空间之间的类比推理，由点类比点或直线，由直线类比直线或平面，由内切圆类比内切球，由平面图形面积类比立体图形的体积，结合求三角形的面积的方法类比求四面体的体积即可．本题考查类比推理的应用，类比推理是指依据两类数学对象的相似性，将已知的一类数学对象的性质类比迁移到另一类数学对象上去．一般步骤：①找出两类事物之间的相似性或者一致性．②用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（或猜想）．12.【答案】（0，3）【解析】解：由题意可得f（1）f（2）=（0-a）（3-a）＜0，解得：0＜a＜3，故实数a的取值范围是（0，3），故答案为：（0，3）由题意可得f（1）f（2）=（0-a）（3-a）＜0，解不等式求得实数a的取值范围．本题考查函数零点的定义以及函数零点判定定理的应用，属于基础题．13.【答案】【解析】【分析】本题可根据题意及图写出前4个算式的表达式，然后观察规律可得f（n）及f（n-1），即可算出结果．本题主要考查结合图形与题干的理解，先写出前面的简单项，发现规律并归纳f（n）．本题属中档题．【解答】解：由题意及图，可发现规律：f（1）=1，f（2）=1+3+1，f（3）=1+3+5+3+1，f（4）=1+3+5+7+5+3+1，通过已知的这四个算式的规律，可得：f（n）=1+3+…+（2n-3）+（2n-1）+（2n-3）+…+3+1，f（n-1）=1+3+…+（2n-5）+（2n-3）+（2n-5）+…+3+1，通过上面两个算式，可得：f（n）-f（n-1）=（2n-1）+（2n-3）=4（n-1）．故答案为：4（n-1）．14.【答案】（24，25）【解析】解：先画出函数的图象，如图：∵a，b，c，d互不相同，不妨设a＜b＜c＜d．且f（a）=f（b）=f（c）=f（d），而-log4a=log4b，即有log4a+log4b=0，可得ab=1，则abcd=cd，由c+d=10，可得cd＜（）2=25，且cd=c（10-c）=-（c-5）2+25，当c=4时，d=6，cd=24，但此时b，c相等，故abcd的范围为（24，25）．故答案为：（24，25）．画出函数y=f（x）的图象，运用对数函数的图象，结合对数运算性质，可得ab=1，由二次函数的性质可得c+d=10，运用基本不等式和二次函数的性质，即可得到所求范围．本题考查了利用函数图象分析解决问题的能力，以及对数函数图象的特点，注意体会数形结合思想在本题中的运用．15.【答案】解：（Ⅰ）设复数z=a+bi（a，b∈R），由题意，z+2i=a+bi+2i=a+（b+2）i∈R，∴b+2=0，即b=-2．又，∴2b+a=0，即a=-2b=4．∴z=4-2i．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知z=4-2i，∵（z+ai）2=（4-2i+ai）2=[4+（a-2）i]2=16-（a-2）2+8（a-2）i对应的点在复平面的第一象限，∴解得a的取值范围为2＜a＜6．【解析】（I）设出复数的代数形式，整理出z+2i和，根据两个都是实数虚部都等于0，得到复数的代数形式．（II）根据上一问做出的复数的结果，代入复数（z+ai）2，利用复数的加减和乘方运算，写出代数的标准形式，根据复数对应的点在第一象限，写出关于实部大于0和虚部大于0，解不等式组，得到结果．本题考查复数的加减乘除运算，考查复数的代数形式和几何意义，考查复数与复平面上点的对应，考查解决实际问题的能力，是一个综合题．16.【答案】解：p为真时：f′（x）=x2+2x+m△=4-4m＞0∴m＜1q为真时：m≥4∴┐q为真时：m＜4由得：m＜1∴实数m的取值范围为（-∞，1）．【解析】首先，判定命题p和命题q都为真命题时，实数m的取值范围，然后，结合条件p且￢q为真命题，进一步确定实数m的取值范围．本题重点考查了简单命题和复合命题的真假判断，属于中档题，准确理解复合命题的真假判断是解题关键．17.【答案】解：（1）∵x2-x-m=0在（-1，1）上有解．∴x2-x=m在（-1，1）上有解．设f（x）=x2-x=（x-）2-，∵-1＜x＜1，∴最小值为-，最大值为f（-1）=2，即-≤f（x）＜2，即-≤m＜2（2）当a=1时，解集N为空集，不满足题意．当a＞1时，a＞2-a，此时集合N=（2-a，a），若M⊆N则，解得a＞．当a＜1时，a＜2-a，此时集合N=（a，2-a），若M⊆N则，解得a＜-综上，a＞或a＜-．【解析】（1）根据方程有解转化为一元二次函数，求出对应的值域即可（2）结合一元二次不等式的解法求出对应的解集N，结合集合关系进行求解即可本题主要考查集合关系的应用，结合方程与函数之间的关系以及不等式的解法是解决本题的关键．18.【答案】解：（1）由题可知，，解得；（2）由（1）可知当x∈（-4，0）时，，当x∈（0，4）时，-x∈（-4，0），任取x1，x2∈（0，4），且x1＜x2，∵x1，x2∈（0，4），且x1＜x2，则-x1+4＞0，-x2+4＞0，x1-x2＜0，于是f（x1）-f（x2）＜0，∴在x∈（0，4）上单调递增；（3）∵函数f（x）是定义在（-4，4）上的奇函数，且f（x）在x∈（0，4）上单调递增，则f（x）在x∈（-4，4）上单调递增，∴f（m2+1）＞1=f（2）的解为m2+1＞2，解得m＜-1或m＞1，∴不等式的解集为{m|m＜-1或m＞1}．【解析】（1）根据条件可得f（0）=0，f（-2）=-1，解不等式组即可；（2）将a，b的值代入f（x）中，利用定义证明f（x）的单调性即可；（3）根据f（x）的单调性和f（2）=1，可得m2+1＞2，解不等式即可；本题考查了函数的奇偶性和单调性以及不等式的解法，关键是利用定义证明单调性，属基础题．19.【答案】解；（1）由题意知，当30＜x＜100时，f（x）=2x+-90＞40，即x2-65x+900＞0，解得x＜20或x＞45，∴45<x<100,∴x∈（45，100）时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间；（2）当0＜x≤30时，g（x）=30•x%+40（1-x%）=40-；当30＜x＜100时，g（x）=（2x+-90）•x%+40（1-x%）=-x+58；∴g（x）=；y=的对称轴为x=32.5,当x=30时，，=37，所以当0＜x＜32.5时，g（x）单调递减；当32.5＜x＜100时，g（x）单调递增；说明该地上班族S中有小于32.5%的人自驾时，人均通勤时间是递减的；有大于32.5%的人自驾时，人均通勤时间是递增的；当自驾人数为32.5%时，人均通勤时间最少．【解析】本题考查了分段函数的应用问题，也考查了分类讨论与分析问题、解决问题的能力,属于中档题．（1）由题意知求出f（x）＞40时x的取值范围即可；（2）分段求出g（x）的解析式，判断g（x）的单调性，再说明其实际意义．20.【答案】解：（1）由题意得，定义域为（0，+∞），当a=0时，f（x）=x-ln x，∴f′（x）=1-=．由f′（x）＞0⇒x＞1；f′（x）＜0⇒0＜x＜1，∴函数f（x）在区间（0，1）上递减，在（1，+∞）上递增．∴x=1时f（x）有极小值为f（1）=1-ln1=1．（2）a＞0时，f′（x）=-ax+a+1-==．当f′（x）=0时，x=1和x=．①当a=1时，f′（x）=-≤0恒成立，此时f（x）在（0，+∞）上递减；②当＞1即0＜a＜1时，f′（x）＞0⇒1＜x＜；f′（x）＜0⇒0＜x＜1或x＞；∴f（x）在（1，）上递增，在（0，1）和（，+∞）上递减；③当＜1即a＞1时，f′（x）＞0⇒＜x＜1；f′（x）＜0⇒0＜x＜或x＞1；∴f（x）在（，1）上递增，在（0，）和（1，+∞）上递减．（3）由（2）知当a∈（2，3）时，f（x）在区间[1，2]上单调递减，所以|f（x1）-f（x2）|max=f（1）-f（2）=-1+ln2，要使对任意x1，x2∈[1，2]，恒有m+ln2＞|f（x1）-f（x2）|成立则有m+ln2＞|f（x1）-f（x2）|max，第11页，共11页即m +ln2＞-1+ln2对任意a ∈（2，3）成立，亦即m ＞对任意a ∈（2，3）成立，令g （a ）=，则g ′（a ）=＞0对a ∈（2，3）恒成立，所以g （a ）在a ∈（2，3）上单调递增，∴g （a ）＜g （3）=，故m 的取值范围为 m ≥．【解析】（1）由f ′（x ）=1-=．由f ′（x ）＞0⇒x ＞1； f ′（x ）＜0⇒0＜x ＜1，从而函数f （x ）在区间（0，1）上递减，在（1，+∞）上递增．进而x =1时f （x ）有极小值为f （1）=1-ln1=1；（2）a ＞0时，f ′（x ）=．当f ′（x ）=0时，x =1和x =．分别讨论①当a =1时，②当＞1③当＜1的情况，从而得出答案；（3）由（2）知当a ∈（2，3）时，f （x ）在区间[1，2]上单调递减，所以|f （x 1）-f （x 2）|max =f （1）-f （2）=-1+ln2，则有m +ln2＞|f （x 1）-f （x 2）|max ，令g （a ）=，则g ′（a ）=＞0对a ∈（2，3）恒成立，从而求出m 的范围．本题考查了函数的单调性，函数的极值问题，导数的应用，求参数的取值范围，是一道综合题．。

2020-2021学年江苏省无锡一中高二（下）期中数学试卷一、单项选择题（共8小题）.1．已知i是虚数单位，复数的虚部为（）A．B．C．D．2．（3﹣2x）（x+1）5展开式中x3的系数为（）A．﹣15B．﹣10C．10D．153．环保部门为降低某社区在改造过程中产生的扬尘污染，决定对全部街道采取洒水降尘作业．该社区街道的平面结构如图所示（线段代表街道），洒水车随机选择A、B、C、D、E、F中的一点驶入进行作业，则选择的驶入点使洒水车能够不重复地走遍全部街道的概率为（）A．B．C．D．4．为了弘扬我国古代的“六艺文化”，某学校欲利用每周的社团活动课开设“礼”“乐”“射”“御”“书”“数”六门课程，每周开设一门，连续开设六周，若课程“射”不排在第二周，课程“乐”不排在第五周，则所有可能的排法种数为（）A．600种B．504种C．480种D．384种5．我国古代珠算算具，算盘的每个档（挂珠的杆）上有7颗算珠，用梁隔开，梁上面的两颗珠叫“上珠”，下面的5颗叫“下珠”，从一档的7颗算珠中任取3颗，至多含有一颗上珠的概率为（）A．B．C．D．6．复数集中，一个数的平方恰好为这个数的共轭复数的数有（）A．4个B．3个C．2个D．1个7．函数的图象不可能是下列图中的（）A．B．C．D．8．定义在（0，+∞）上的函数y＝f（x），有不等式2f（x）＜xf′（x）＜3f（x）恒成立，其中y＝f′（x）为函数y＝f（x）的导函数，则（）A．4＜＜16B．4＜＜8C．3＜＜4D．2＜＜4二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．下列命题正确的有（）A．若z1，z2互为共轭复数，则z1z2为实数B．若z为复数，|z|2＝z2C．若复数z满足，则|z|＝5D．已知复数z满足|z﹣1|＝|z+1|，则z在复平面内对应的点的轨迹为直线10．已知的二项展开式中二项式系数之和为64，则下列结论正确的是（）A．二项展开式中各项系数之和为36B．二项展开式中二项式系数最大的项为C．二项展开式中无常数项D．二项展开式中系数最大的项为90x311．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x＜0时，f（x）＝e x（x+1），则下列命题正确的是（）A．若f（x）＝a有唯一解，则B．函数f（x）有3个零点C．f（x）＜0的解集为（﹣∞，﹣1）∪（0，1）D．∀x1，x2∈R，都有|f（x1）﹣f（x2）|＜212．对于函数，下列说法正确的是（）A．f（x）在x＝e处取得极大值B．f（x）有两个不同的零点C．f（2）＜f（π）＜f（3）D．若在（0，+∞）上恒成立，则三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知随机变量ξ～N（3，σ2），且，则P（3＜ξ＜5）＝．14．若，则m＝．15．已知函数f（x）＝2lnx，g（x）＝ax2﹣x﹣1（a＞0），若直线y＝2x﹣b函数y＝f（x），y＝g（x）的图象均相切，则a的值为．16．定义：设函数y＝f（x）在（a，b）上的导函数为f′（x），若f′（x）在（a，b）上也存在导函数，则称函数y＝f（x）在（a，b）上存在二阶导函数，简记为f″（x）．若在区间（a，b）上f″（x）＜0恒成立，则称函数y＝f（x）在区间（a，b）上为“凸函数．已知f（x）＝ln（2+e x）﹣mx2在区间（﹣1，1）上为“凸函数”，则实数m的取值范围为．四、解答题：本题共6小题，共70分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．在①；②复平面上表示的点在直线x+2y＝0上；③z1（a﹣i）＞0这三个条件中任选一个，补充在下面问题中的横线上，并解答：已知复数z1＝1+i，z2＝a+3i（a∈R）（i为虚数单位），满足____．（1）若，求复数z以及|z|；（2）若z2是实系数一元二次方程x2+mx+4﹣3m＝0的根，求实数m的值．18．现有编号为A，B，C的3个不同的红球和编号为D，E的2个不同的白球．（1）若将这些小球排成一排，且要求D，E两个球相邻，则有多少种不同的排法？（2）若将这些小球排成一排，要求A球排在中间，且D，E各不相邻，则有多少种不同的排法？（3）现将这些小球放入袋中，从中随机一次性摸出3个球，求摸出的三个球中至少有1个白球的不同的摸球方法数．（4）若将这些小球放入甲，乙，丙三个不同的盒子，每个盒子至少一个球，则有多少种不同的放法？（注：请列出解题过程，结果保留数字）19．已知（1﹣x）n＝a0+a1x+a2x2+⋅⋅⋅+a n x n，且＝﹣1010．（1）求n和a0的值；（2）求a2+a4+a6+⋅⋅⋅+a n﹣1的值；（3）求a1+2a2+3a3+⋅⋅⋅+na n的值．20．某学校准备举办数学文化知识竞赛，进入决赛的条件为：先参加初赛，初赛时，电脑随机产生5道数学文化试题，能够正确解答3道及以上的参赛者进入决赛．若学生甲参赛，他正确解答每道试题的概率均为．（1）求甲在初赛中恰好正确解答4道试题的概率；（2）进入决赛后，采用积分淘汰制，规则是：参赛者初始分为零分，电脑随机抽取4道不同的数学文化试题，每道试题解答正确加20分，错误减10分，由于难度增加，甲正确解答每道试题的概率变为，求甲在决赛中积分X的概率分布，并求数学期望．21．已知函数，其中m为正实数．（1）试讨论函数f（x）的单调性；（2）设，若存在x∈[1，2]，使得不等式g（x）＜0成立，求m的取值范围．22．已知函数，且函数f（x）与g（x）有相同的极值点．（1）求实数a的值；（2）若对，不等式恒成立，求实数k的取值范围；（3）求证：．参考答案一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．已知i是虚数单位，复数的虚部为（）A．B．C．D．解：∵＝，∴复数的虚部为﹣．故选：A．2．（3﹣2x）（x+1）5展开式中x3的系数为（）A．﹣15B．﹣10C．10D．15解：∵（x+1）5展开式的通项公式为T r+1＝•x5﹣r，分别令5﹣r＝3，5﹣r＝2，可得r＝2，3，故（3﹣2x）（x+1）5展开式中x3的系数为3﹣2＝10，故选：C．3．环保部门为降低某社区在改造过程中产生的扬尘污染，决定对全部街道采取洒水降尘作业．该社区街道的平面结构如图所示（线段代表街道），洒水车随机选择A、B、C、D、E、F中的一点驶入进行作业，则选择的驶入点使洒水车能够不重复地走遍全部街道的概率为（）A．B．C．D．解：由题意可知，若使洒水车能够不重复地走遍全部街道，则要选择B，E两点开始驶入，若从B点驶入，则有B→A→F→E→D→C→B→E或B→C→D→E→F→A→B→E，同理E点也是如图，若选择除B，E外的其它点开始驶入，则会有重复路线，所以6个点中有2个点，故选择的驶入点使洒水车能够不重复地走遍全部街道的概率为．故选：B．4．为了弘扬我国古代的“六艺文化”，某学校欲利用每周的社团活动课开设“礼”“乐”“射”“御”“书”“数”六门课程，每周开设一门，连续开设六周，若课程“射”不排在第二周，课程“乐”不排在第五周，则所有可能的排法种数为（）A．600种B．504种C．480种D．384种解：根据题意，分2种情况讨论：①课程“射”排在第五周，剩下5“艺”任意安排在其他五周即可，有A55＝120种安排方法，①课程“射”不排在第五周，则课程“射”有4种排法，课程“乐”有4种排法，剩下4“艺”任意安排在其他四周即可，此时有4×4×A44＝384种安排方法，则有120+384＝504种安排方法；故选：B．5．我国古代珠算算具，算盘的每个档（挂珠的杆）上有7颗算珠，用梁隔开，梁上面的两颗珠叫“上珠”，下面的5颗叫“下珠”，从一档的7颗算珠中任取3颗，至多含有一颗上珠的概率为（）A．B．C．D．解：算盘的每个档（挂珠的杆）上有7颗算珠，用梁隔开，梁上面的两颗珠叫“上珠”，下面的5颗叫“下珠”，从一档的7颗算珠中任取3颗，基本事件总数n＝＝35，至多含有一颗上珠包含的基本事件有m＝＝30，∴至多含有一颗上珠的概率为P＝＝＝．故选：A．6．复数集中，一个数的平方恰好为这个数的共轭复数的数有（）A．4个B．3个C．2个D．1个解：设z＝a+bi，（a，b∈R），则，∴（a+bi）2＝a﹣bi，∴a2﹣b2+2abi＝a﹣bi，∴，解得，，∴z＝0，1，．因此满足条件的复数z共有4个．故选：A．7．函数的图象不可能是下列图中的（）A．B．C．D．解：根据题意，对于，当a＝0时，f（x）＝x2+x+1，为二次函数，开口向上，其对称轴为x＝﹣1，与y轴交于（0，1），D选项符合；当a＜0时，f′（x）＝ax2+x+1，f′（x）＝0有一正一负的两根，f（x）先减再增最后为减函数，与y轴交于（0，1），C选项符合，当a＞0时，f′（x）＝ax2+x+1，则有△＝1﹣4a，当1﹣4a＜0，即a＞时，f′（x）＝0无解，即f′（x）＞0恒成立，f（x）在R上为增函数，与y轴交于（0，1），B选项符合，当1﹣4a＞0，即0＜a＜时，f′（x）＝0有两个负根，在（﹣∞，0）上，先增再减最后增，A选项不符合；故选：A．8．定义在（0，+∞）上的函数y＝f（x），有不等式2f（x）＜xf′（x）＜3f（x）恒成立，其中y＝f′（x）为函数y＝f（x）的导函数，则（）A．4＜＜16B．4＜＜8C．3＜＜4D．2＜＜4解：2f（x）＜xf'（x），即f'（x）⋅x﹣2f（x）＞0，∵y＝f（x）定义在（0，+∞）上，∴f'（x）⋅x2﹣2xf（x）＞0，令，则，则函数g（x）在（0，+∞）上单调递增，由g（2）＞g（1）得，，即，同理令，，则函数h（x）在（0，+∞）上单调递减，由h（2）＜h（1），得，即，∴．故选：B．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．下列命题正确的有（）A．若z1，z2互为共轭复数，则z1z2为实数B．若z为复数，|z|2＝z2C．若复数z满足，则|z|＝5D．已知复数z满足|z﹣1|＝|z+1|，则z在复平面内对应的点的轨迹为直线解：若z1，z2互为共轭复数，设z1＝a+bi，z2＝a﹣bi（a，b∈R），则z1z2＝a2+b2，故是实数，即z1z2为实数，所以A正确；若z为复数，|z|2≥0，z2可能是复数，所以两者不一定相等，所以B不正确；复数z满足，则|z|＝＝＝＝5，所以C正确；复数z满足|z﹣1|＝|z+1|，则z在复平面内对应的点的轨迹为到（1，0）与（﹣1，0）距离相等的点的轨迹，是中垂线，是直线，所以D正确．故选：ACD．10．已知的二项展开式中二项式系数之和为64，则下列结论正确的是（）A．二项展开式中各项系数之和为36B．二项展开式中二项式系数最大的项为C．二项展开式中无常数项D．二项展开式中系数最大的项为90x3解：∵的二项展开式中二项式系数之和为2n＝64，∴n＝6．令x＝1，可得二项展开式中各项系数之和为36，故A正确；根据展开的通项公式为T r+1＝•26﹣r•，可得第四项（r＝3）的二项式系数最大，该项为160，故B正确；对于通项公式，令x的幂指数等于零，即令6﹣＝0，求得r＝4，可得展开式第四项为常数项，故C错误；由于第r+1项的系数为•26﹣r，检验可得，当r＝2时，该项的系数取得最大值，该项为240x3，故D错误．故选：AB．11．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x＜0时，f（x）＝e x（x+1），则下列命题正确的是（）A．若f（x）＝a有唯一解，则B．函数f（x）有3个零点C．f（x）＜0的解集为（﹣∞，﹣1）∪（0，1）D．∀x1，x2∈R，都有|f（x1）﹣f（x2）|＜2解：函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x＜0时，f（x）＝e x（x+1），设x＞0时，﹣x＜0，f（﹣x）＝e﹣x（﹣x+1），∴f（x）＝﹣f（﹣x）＝e﹣x（x﹣1），x＝0时，f（0）＝0．因此函数f（x）有三个零点：0，±1．当x＜0时，f（x）＝e x（x+1），f′（x）＝）＝e x（x+2），可得x＝﹣2时，函数f（x）取得极小值，f（﹣2）＝﹣可得其图象：f（x）＜0时的解集为：（﹣∞，﹣1）∪（0，1）．∀x1，x2∈R，都有|f（x1）﹣f（x2）|≤|f（0+）﹣f（0﹣）|＜2．因此BCD都正确．故选：BCD．12．对于函数，下列说法正确的是（）A．f（x）在x＝e处取得极大值B．f（x）有两个不同的零点C．f（2）＜f（π）＜f（3）D．若在（0，+∞）上恒成立，则解：函数f（x）＝＝，定义域为x∈（0，+∞），因为f'（x）＝，令f'（x）＝0，则有x＝e，f'（x）＞0⇒0＜x＜e；f'（x）＜0⇒x＞e；即得函数f（x）在（0，e）上单调递增，在（e，+∞）上单调递减；所以函数f（x）在x＝e处取得极大值为，f（e）＝，故A正确；又因为当x→0时，lnx→﹣∞；当x→+∞时，lnx→0；据此作出函数图像如下：故可得函数f（x）只有一个零点，故B错误；由上可得，因为π＞3，所以f（π）＜f（3），又因为f（2）＝＝，f（3）＝＝，即得f（2）＜f（3），又因为f（π）＝，f（2）＝，即得f（π）＞f（2）综上可得，f（2）＜f（π）＜f（3），故C正确；若f（x）＜k﹣在（0，+∞）上恒成立，即f（x）+＜k在（0，+∞）上恒成立，令g（x）＝f（x）+（x＞0），则有g'（x）＝f'（x）﹣＝，令g'（x）＝0⇒﹣2﹣2lnx＝0⇒x＝，g'（x）＞0⇒0＜x＜；g'（x）＜0⇒x＞，所以函数g（x）在（0，）上单调递增，在（，+∞）上单调递减，即得，故得k＞，即D正确．故选：ACD．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知随机变量ξ～N（3，σ2），且，则P（3＜ξ＜5）＝0.3．解：由正态分布的性质可知：μ＝3，曲线关于ξ＝3对称，故P（ξ＜1）＝P（ξ＞5），结合正态分布的性质可知：，即为，结合P（ξ＞5）+P（ξ＜5）＝1解得：P（ξ＞5）＝0.2．故P（3＜ξ＜5）＝P（ξ＜5）﹣P（ξ≤3）＝（1﹣0.2）﹣0.5＝0.3．故答案为：0.3．14．若，则m＝7．解：，可得m（m﹣1）（m﹣2）＝6×，解得m＝7．故答案为：7．15．已知函数f（x）＝2lnx，g（x）＝ax2﹣x﹣1（a＞0），若直线y＝2x﹣b函数y＝f（x），y＝g（x）的图象均相切，则a的值为．解：设直线y＝2x﹣b与函数y＝f（x）的图象相切的切点为（m，2lnm），由f′（x）＝，可得＝2，即m＝1，切点为（1，0），则b＝2，切线的方程为y＝2x﹣2，联立y＝g（x）＝ax2﹣x﹣1，可得ax2﹣3x+1＝0，由题意可得△＝9﹣4a＝0，解得a＝．故答案为：．16．定义：设函数y＝f（x）在（a，b）上的导函数为f′（x），若f′（x）在（a，b）上也存在导函数，则称函数y＝f（x）在（a，b）上存在二阶导函数，简记为f″（x）．若在区间（a，b）上f″（x）＜0恒成立，则称函数y＝f（x）在区间（a，b）上为“凸函数．已知f（x）＝ln（2+e x）﹣mx2在区间（﹣1，1）上为“凸函数”，则实数m的取值范围为[，+∞）．解：∵f（x）＝ln（2+e x）﹣mx2，∴f′（x）＝﹣2mx，∵f（x）＝ln（2+e x）﹣mx2在区间（﹣1，1）上为“凸函数”，∴f″（x）＝﹣2m＝﹣2m≤0恒成立，∴m≥＝（﹣1＜x＜1））恒成立，令t＝e x（＜t＜e），y＝e x++4可化为g（t）＝t++4，由基本不等式得，t++4≥2+4＝8（当且仅当t＝2时取“＝”），∴y＝e x++4的最小值为8，∴m≥，故答案为：[，+∞）．四、解答题：本题共6小题，共70分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．在①；②复平面上表示的点在直线x+2y＝0上；③z1（a﹣i）＞0这三个条件中任选一个，补充在下面问题中的横线上，并解答：已知复数z1＝1+i，z2＝a+3i（a∈R）（i为虚数单位），满足____．（1）若，求复数z以及|z|；（2）若z2是实系数一元二次方程x2+mx+4﹣3m＝0的根，求实数m的值．解：（1）选条件①，因为z1＝1+i，z2＝a+3i，所以z2＝a2+9＝10，解得a2＝1；又a＞0，所以a＝1；选条件②，复平面上表示的点在直线x+2y＝0上，因为z1＝1+i，z2＝a+3i，（a∈R），所以＝＝＝+i，在复平面上表示的点为（，），依题意可知+2×＝0，解得a＝1；选条件③，z1（a﹣i）＞0，因为z1＝1+i，所以z1（a﹣i）＝（1+i）（a﹣i）＝（a+1）+（a﹣1）i＞0，所以，解得a＝1，所以+＝+＝+＝﹣i，|z|＝＝1；（2）z2是实系数一元二次方程x2+mx+4﹣3m＝0的根，则也是该方程的根，所以实数m＝﹣（z2+）＝﹣（1+3i+1﹣3i）＝﹣2．18．现有编号为A，B，C的3个不同的红球和编号为D，E的2个不同的白球．（1）若将这些小球排成一排，且要求D，E两个球相邻，则有多少种不同的排法？（2）若将这些小球排成一排，要求A球排在中间，且D，E各不相邻，则有多少种不同的排法？（3）现将这些小球放入袋中，从中随机一次性摸出3个球，求摸出的三个球中至少有1个白球的不同的摸球方法数．（4）若将这些小球放入甲，乙，丙三个不同的盒子，每个盒子至少一个球，则有多少种不同的放法？（注：请列出解题过程，结果保留数字）解：（1）编号为A，B，C的3个不同的红球和编号为D，E的2个不同的白球，将这些小球排成一排，且要求D，E两个球相邻，则把D、E2个白球捆在一起看做一个，和其他的小球排列，方法有•＝48种．（2）将这些小球排成一排，要求A球排在中间，且D，E各不相邻，则先把A安在中间位置，从A的2侧各选一个位置插入D、E，其余小球任意排，方法有•••＝16种．（3）将这些小球放入袋中，从中随机一次性摸出3个球，求摸出的三个球中至少有1个白球的不同的摸球方法数为﹣＝9种．（4）将这些小球放入甲，乙，丙三个不同的盒子，每个盒子至少一个球，则先把5个小球分成3组，再进入3个盒子中．若按311分配，方法有••＝20种，若按221分配，方法有••＝30种．综上可得，方法共有20+30＝50种．19．已知（1﹣x）n＝a0+a1x+a2x2+⋅⋅⋅+a n x n，且＝﹣1010．（1）求n和a0的值；（2）求a2+a4+a6+⋅⋅⋅+a n﹣1的值；（3）求a1+2a2+3a3+⋅⋅⋅+na n的值．解：（1）∵（1﹣x）n＝a0+a1x+a2x2+⋅⋅⋅+a n x n，且＝﹣1010＝，∴n＝2021，a0＝＝1．（2）令x＝1，可得a0+a1+a2+a3+⋅⋅⋅+a n＝0，再令x＝﹣1，可得a0﹣a1+a2﹣a3+⋅⋅⋅+（﹣1）n a n＝2n＝22021，两式相加除以2，可得a2+a4+a6+⋅⋅⋅+a n﹣1＝a2+a4+a6+⋅⋅⋅+a2020 ＝22020．（3）对于（1﹣x）n＝a0+a1x+a2x2+⋅⋅⋅+a n x n，两边对x求导数，可得﹣n（1﹣x）n﹣1＝a1+2a2x+⋅⋅⋅+na n x n﹣1，再令x＝1，可得a1+2a2+3a3+⋅⋅⋅+na n＝0．20．某学校准备举办数学文化知识竞赛，进入决赛的条件为：先参加初赛，初赛时，电脑随机产生5道数学文化试题，能够正确解答3道及以上的参赛者进入决赛．若学生甲参赛，他正确解答每道试题的概率均为．（1）求甲在初赛中恰好正确解答4道试题的概率；（2）进入决赛后，采用积分淘汰制，规则是：参赛者初始分为零分，电脑随机抽取4道不同的数学文化试题，每道试题解答正确加20分，错误减10分，由于难度增加，甲正确解答每道试题的概率变为，求甲在决赛中积分X的概率分布，并求数学期望．解：（1）记“甲在初赛中恰好正确解答4道试题的”为事件A，学生甲参赛，他正确解答每道试题的概率均为，则P（A）＝××＝．（2）甲的积分X的可能的取值为80分，50分，20分，﹣10分，﹣40分，则P（X＝80）＝×＝，P（X＝50）＝××＝，P（X＝20）＝××＝＝，P（X＝﹣10）＝××＝，P（X＝﹣40）＝××＝，所以X的概率分布列为：X805020﹣10﹣40P所以数学期望E（X）＝80×+50×+20×﹣10×﹣40×＝0．21．已知函数，其中m为正实数．（1）试讨论函数f（x）的单调性；（2）设，若存在x∈[1，2]，使得不等式g（x）＜0成立，求m的取值范围．解：（1）根据题意，f'（x）＝mx2﹣（m+1）x+1＝（mx﹣1）（x﹣1），∵m＞0，∴f'（x）＝0⇒（mx﹣1）（x﹣1）＝0⇒x＝，或x＝1，所以①当m＞1时，，则有f'（x）＞0⇒x＜，或x＞1；f'（x）＜0⇒＜x＜1，此时可得，f（x）在（），（1，+∞）上单调递增，在（）上单调递减．②当0＜m＜1时，，则有f'（x）＞0⇒x＞，或x＜1；f'（x）＜0⇒1＜x＜，此时可得，f（x）在（﹣∞，1），（，+∞）上单调递增，在（1，）上单调递减．③当m＝1时，恒有f'（x）≥0，此时函数f（x）在R上单调递增．综上可得，①当m＞1时，f（x）在（），（1，+∞）上单调递增，在（）上单调递减．②当0＜m＜1时，f（x）在（﹣∞，1），（，+∞）上单调递增，在（1，）上单调递减．③当m＝1时，函数f（x）在R上单调递增．（2）根据题意，由（1）可得，＝（x＞0），若存在x∈[1，2]，使得不等式g（x）＜0成立，则需使g（x）min＜0，∵g'（x）＝＝，由（1）可知，①当m＞1时，，则有g'（x）＞0⇒x＜，或x＞1；f'（x）＜0⇒＜x＜1，此时可得，g（x）在（﹣∞，），（1，+∞）上单调递增，在（）上单调递减，即得g（x）在[1，2]上单调递增，故有＜0⇒m＞1；②当0＜m＜1时，，则有g'（x）＞0⇒x＞，或x＜1；g'（x）＜0⇒1＜x＜，此时可得，g（x）在（﹣∞，1），（，+∞）上单调递增，在（1，）上单调递减．（i）当≥2时，即0＜m≤时，g（x）在[1，2]上单调递减，则有＞0，不合题意；（ii）当1＜＜2时，即＜m＜1时，g（x）在[1，）上单调递减，在（]，则有，此时令（1＜t＜2），则⇒＞0，即得此时h（t）在（1，2）上单调递增，所以h（t）＞h（1）＝0恒成立，即g（x）min ＞0恒成立，不合题意；综上可得，m＞1．22．已知函数，且函数f（x）与g（x）有相同的极值点．（1）求实数a的值；（2）若对，不等式恒成立，求实数k的取值范围；（3）求证：．解：（1）令，解得x＝1，易知函数f（x）在（0，1）单调递增，在（1，+∞）单调递减，故函数f（x）的极大值点为x＝1，令，则由题意有，g′（1）＝1﹣a＝0，解得a＝1，经验证符合题意，故实数a的值为1；（2）由（1）知，函数f（x）在单调递增，在（1，3）单调递减，又，且，∴当时，f（x）max＝f（1）＝﹣1，f（x）min＝f（3）＝ln3﹣3，①当k+1＞0，即k＞﹣1时，对，不等式恒成立，即为k+1≥f（x1）﹣f（x2）恒成立，则k+1≥f（x）max﹣f（x）min＝﹣1﹣（ln3﹣3）＝2﹣ln3，∴k≥1﹣ln3，又1﹣ln3＞﹣1，∴此时k的取值范围为k≥1﹣ln3；②当k+1＜0，即k＜﹣1时，对，不等式恒成立，即为k+1≤f（x1）﹣f（x2）恒成立，则k+1≤f（x）min﹣f（x）max＝ln3﹣3+1＝ln3﹣2，∴k≤ln3﹣3，又ln3﹣3＜﹣1，∴此时k的取值范围为k≤ln3﹣3，综上，实数k的取值范围为（﹣∞，ln3﹣3]∪[1﹣ln3，+∞）；（3）证明：所证不等式即为xlnx﹣e x＜cos x﹣1，下证：xlnx﹣e x＜﹣x﹣1，即证xlnx﹣e x+x+1＜0，设h（x）＝xlnx﹣e x+x+1（x＞0），则h′（x）＝lnx+1﹣e x+1＝lnx﹣e x+2，，易知函数h''（x）在（0，+∞）上单调递减，且，故存在唯一的，使得h''（x0）＝0，即，lnx0＝﹣x0，且当x∈（0，x0）时，h''（x）＞0，h′（x）单调递增，当x∈（x0，+∞）时，h''（x）＜0，h′（x）单调递减，∴＝，∴h（x）在（0，+∞）单调递减，又x→0时，h（x）→0，故h（x）＜0，即xlnx﹣e x＜﹣x﹣1；再证：﹣x﹣1＜cos x﹣1（x＞0），即证cos x+x＞0在（0，+∞）上恒成立，设m（x）＝cos x+x，m′（x）＝﹣sin x+1≥0，∴m（x）在（0，+∞）单调递增，则m（x）＞m（0）＝1，故﹣x﹣1＜cos x﹣1，综上，xlnx﹣e x＜cos x﹣1，即得证．。

期中数学试卷（文科）题号一二总分得分一、填空题（本大题共14小题，共70.0分）1.已知集合A={x|0＜x＜2}，集合B={x|x＞1}，则A∪B=______．2.命题“∀x≥0，x2-x+2＞0”的否定是______．3.若；其中a，b∈R，i是虚数单位，则a-b的值为______．4.函数f（x）=+lg（2-x）的定义域为______．5.定义在R上的奇函数f（x）满足当x≥0时，f（x）=log2（x+2）+（a-1）x+b（a，b为常数），若f（2）=-1，则f（-6）的值为______ ．6.设p：x2-x-20＞0，q：log2（x-5）＜2，则p是q的______条件．7.已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）=x2-3x，则函数g（x）=f（x）-x+3的零点个数为______．8.已知a＞0且a≠1，若函数f（x）=的值域为[1，+∞），则a的取值范围是______．9.如图，将自然数按如下规则“放置”在平面直角坐标系中，使其满足条件：①每个自然数“放置”在一个“整点”（横纵坐标均为整数的点）上；②0在原点，1在（0，1）点，2在（1，1）点，3在（1，0）点，4在（1，-1）点，5在（0，-1）点，…，即所有自然数按顺时针“缠绕”在以“0”为中心的“桩”上，则放置数字（2n+1）2，n∈N*的整点坐标是______ ．10.设n为正整数，，计算得，f（4）＞2，，f（16）＞3，观察上述结果，可推测一般的结论为______．11.记S n是等差数列{a n}前n项的和，T n是等比数列{b n}前n项的积，设等差数列{a n}公差d≠0，若对小于2019的正整数n，都有S n=S2019-n成立，则推导出a1010=0，设正项等比数列{b n}的公比q≠1，若对于小于23的正整数n，都有T n=T23-n成立，则b12=______．12.已知f(x)是定义在R上的以3为周期的偶函数，若f(1)<1，f(5)=，则实数a的取值范围为___________．13.函数y=f（x）是偶函数，当x＞0时，f（x）=x+，且当x∈[-3，-1]时，n≤f（x）≤m，则m-n的最小值为______．14.在实数的原有运算法则中，我们补充定义新运算“⊕”如下：当a≥b时，a⊕b=a，当a＜b时，a⊕b=b2．已知函数f（x）=（2⊕x）•x-（m⊕x）（m＜2），若对任意x∈[-3，2]，f（x）≥-5恒成立，则实数m的取值范围是______（“•”“-”仍为通常的乘法与减法）二、解答题（本大题共6小题，共90.0分）15.已知p：∀x∈R，x2+2＞a；q：∃x∈R，x2-4x+a≤0．（1）若“p且q”为真命题，求实数a的取值范围；（2）若“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，求实数a的取值范围．16.设实部为正数的复数z，满足|z|=，且复数（1+2i）z在复平面上对应的点在第一、三象限的角平分线上．（1）求复数z；（2）若+（m∈R）为纯虚数，求实数m的值．17.设f（x）的定义域为（-∞，0）∪（0，+∞），且f（x）是奇函数，当x＞0时，f（x）=．（1）求当x＜0时，f（x）的解析式；（2）解不等式f（x）＜-．18.已知函数f（x）=．（1）分别求f（2）+f（），f（3）+f（），f（4）+f（）的值，归纳猜想一般性结论并证明你的结论；（2）求值=______．19.已知二次函数f（x）=ax2+bx+c满足下列3个条件：①f（x）的图象过坐标原点；②对于任意x∈R都有f（+x）=f（x）；③对于任意x∈R都有f（x）≥x-1．（1）求函数f（x）的解析式；（2）令g（x）=f（x）+x|x-4m|-x2+5x，（其中m为参数），求函数g（x）的单调区间；20.对于函数f（x），若在定义域内存在实数x，满足f（-x）=-f（x），则称f（x）为“局部奇函数”．（Ⅰ）已知二次函数f（x）=ax2+2x-4a（a∈R），试判断f（x）是否为“局部奇函数”？并说明理由；（Ⅱ）若f（x）=2x+m是定义在区间[-1，1]上的“局部奇函数”，求实数m的取值范围；（Ⅲ）若f（x）=4x-m•2x+1+m2-3为定义域R上的“局部奇函数”，求实数m的取值范围．答案和解析1.【答案】{x|x＞0}【解析】解：∵集合A={x|0＜x＜2}，集合B={x|x＞1}，∴A∪B={x|x＞0}．故答案为：{x|x＞0}．利用并集定义直接求解．本题考查并集的求法，考查并集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.【答案】∃x≥0，使得x2-x+2≤0【解析】解：∃x≥0，使得x2-x+2≤0．故答案为：∃x≥0，使得x2-x+2≤0．全称命题的否定，注意量词符号的转化及不等式否定时，不等号大小方向的转换．本题考查命题知识，题型固定，方法单一，属于基础题．3.【答案】-1【解析】解：由，得a-i=（b+2i）i=-2+bi，则a=-2，b=-1．∴a-b=-1．故答案为：-1．把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数相等的条件求得a，b 的值，则答案可求．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数相等的条件，是基础题．4.【答案】[1，2）【解析】解：要使函数的解析式有意义，自变量x须满足：解得：1≤x＜2．故函数的定义域为[1，2）故答案为[1，2）根据使函数的解析式有意义的原则，我们可以根据偶次被开方数不小于0，对数的真数大于0，构造关于x的不等式组，解不等式组即可得到函数的定义域．本题考查的知识点是函数的定义域及其求法，对数函数的定义域，其中根据使函数的解析式有意义的原则，构造关于x的不等式组，是解答本题的关键．5.【答案】4【解析】解：∵函数f（x）为定义在R上的奇函数，∴f（0）=1+b=0，解得：b=-1，∴当x≥0时，f（x）=log2（x+2）+（a-1）x-1，∵f（2）=-1，∴f（2）=2+2（a-1）-1=-1，∴a=0∴f（x）=log2（x+2）-x-1，∴f（-6）=-f（6）=4．故答案为：4．根据定义在R上的奇函数f（0）=0，求出b值，利用f（2）=-1，求出a，再由f（-6）=-f （6）得到答案．本题考查的知识点是函数奇偶性的性质，熟练掌握函数奇偶性的定义和性质，是解答的关键．6.【答案】必要不充分【解析】解：∵p：x2-x-20=0，∴x＜-4或x＞5；∵q：log2（x-5）＜2，∴0＜x-5＜4，解之得5＜x＜9．∵{x|x＜-4或x＞5}是{x|5＜x＜9}的必要不充分条件．故答案为：必要不充分条件．先解不等式，再讨论充要性．本题考查解不等式，以及充要性，属于基础题．7.【答案】3【解析】解：设x＜0，则-x＞0，则f（x）=-f（-x）=-[（-x）2-3（-x）]=-x2-3x，函数g（x）的零点个数等价于方程f（x）=x-3的解的个数，当x≥0时，x2-3x=x-3，解得x=3，x=1，当x＜0时，-x2-3x=x-3，解得x=-2-，故函数g（x）=f（x）-x+3的零点个数共3个，故答案为：3．根据函数为奇函数求出当x＜0时的函数解析式：f（x）=-x2-3x，将条件转化为方程f（x ）=x-3的解的个数，分x≥0和x＜0时，带入解出方程的根即可．本题考查函数零点个数与方程根的个数的转化，涉及二次函数方程的根的求法，属于中档题．8.【答案】（1，2]【解析】解：a＞0且a≠1，若函数f（x）=的值域为[1，+∞），当x≤2时，y=3-x≥1，所以，可得1＜a≤2．故答案为：（1，2]．利用分段函数的表达式，结合函数的值域，列出不等式求解a的范围即可．本题考查分段函数的应用，函数的单调性以及函数的最值的求法，考查计算能力．9.【答案】（-n，n+1）【解析】解：观察已知中点（0，1）处标1，即12，点（-1，2）处标9，即32，点（-2，3）处标25，即52，…由此推断点（-n，n+1）处标（2n+1）2，故放置数字（2n+1）2，n∈N*的整点坐标是（-n，n+1）．故答案为：（-n，n+1）根据条件寻找规律，归纳出其中奇数平方坐标的位置出现的规律，即可得到答案．本题考查的知识点是归纳推理，其中根据已知平面直角坐标系的格点的规则，找出表上数字标签所示的规律，是解答的关键．考查学生的观察能力．10.【答案】f（2n）≥（n∈N*）【解析】解：观察已知中等式：得，f（4）＞2，，f（16）＞3，…，则f（2n）≥（n∈N*）故答案为：f（2n）≥（n∈N*）．根据已知中的等式：，f（4）＞2，，f（16）＞3，…，我们分析等式左边数的变化规律及等式两边数的关系，归纳推断后，即可得到答案．归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想）11.【答案】1【解析】解：假设n≤2019-n，∵S n=S2019-n，∴S2019-n-S n=a n+1+a n+2+…+a2019-n=0，a n+1与a2019-n的等差中项为a1010，则a1010=0；∵T n=T23-n，∴=b n+1b n+2…b23-n=1，∵b n+1与b23-n的等比中项为b12，根据等比数列{b n}的性质可知b n+1b n+2…b23-n=b1223-2n=1．∴b12=1．故答案为：1．先根据S n=S2011-n可得S2011-n-S n=a n+1+a n+2+…+a2011-n=0，即a1006=0，可得=b n+1b n+2…b23-n=1，然后根据等比数列的性质可知结论．本题主要考查了等差数列与等比数列的综合，以及等差数列的性质和等比数列的性质，同时考查了推理能力，属于中档题．12.【答案】（-1，4）【解析】解：∵f（x）是定义在R上的以3为周期的偶函数，∴f（5）=f（5-6）=f（-1）=f（1），∴由f（1）＜1，f（5）=，得f（5）=＜1，即-1=＜0，解得：-1＜a＜4，∴实数a的取值范围为（-1，4）．故答案为：（-1，4）．根据函数的奇偶性和周期性将条件进行转化，利用不等式的解法即可得到结论．本题主要考查不等式的解法，利用函数的奇偶性和周期性进行转化是解决本题的关键．13.【答案】1【解析】解：当x∈[-3，-1]时-x∈[1，3]∵当x＞0时，f（x）=∴f（-x）=∵函数y=f（x）是偶函数∴f（x）=，x∈[-3，-1]∵f′（x）=-1+=当-3≤x＜-2时，f′（x）＜0；当-2＜x＜-1时，f′（x）＞0所以当x=-2时，函数有最小值4；当x=-3时f（-3）=；当x=-1时，f（-1）=5所以函数的最大值为5所以m=5，n=4，故m-n=1，故答案为1．利用偶函数的定义求出函数在[-3，-1]上的解析式，利用导数求出函数的最值，求出差．本题考查偶函数的定义、利用导数求函数的单调性及求函数的最值．14.【答案】【解析】解：当x=2时，f（x）=（2⊕x）•x-（m⊕x）=8-4=4对任意m＜2均成立；当x∈[-3，2）时，若x∈[-3，m]，则f（x）=（2⊕x）•x-（m⊕x）（m＜2）=2x-m，若f（x）≥-5恒成立，则-6-m≥-5，解得m≤-1若x∈（m，2），则f（x）=（2⊕x）•x-（m⊕x）（m＜2）=2x-x2，若f（x）≥-5恒成立，若f（x）≥-5恒成立，则2m-m2≥-5即≤m≤综上实数m的取值范围是故答案为：由已知中，新运算“⊕”的定义：当a≥b时，a⊕b=a，当a＜b时，a⊕b=b2．结合x∈[-3，2]，我们要分类讨论，即将区间[-3，2]，分为[-3，m]，（m，2），{2}三种情况进行讨论，分别求出满足条件的实数m的取值范围，最后综合讨论结果，即可得到答案．本题考查的知识点是函数最值的应用，解答的关键是根据新定义，计算出函数f（x）在各段上的最小值．15.【答案】解：当命题p为真时，x2+2＞a恒成立，可得a＜2．当命题q为真时，△=42-4a≥0，可得a≤4．（1）若“p且q”为真命题，则a＜2且a≤4，则a＜2．即若“p且q”为真命题，实数a的取值范围是（-∞，2）；（2）若“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，即则“p真q假”或“p假q真”，实数a的取值范围是[2，4]．【解析】分别求出p，q为真命题的a的范围．（1）取交集求解“p且q”为真命题的实数a的取值范围；（2）由“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，可知“p真q假”或“p假q真”，由交、并、补集的混合运算求实数a的取值范围．本题考查复合命题的真假判断与应用，考查恒成立问题的求解方法，是基础题．16.【答案】解：（1）设Z=a+bi（a，b∈R且a＞0），由得：a2+b2=10①．又复数（1+2i）z=（a-2b）+（2a+b）i在复平面上对应的点在第一、三象限的角平分线上，则a-2b=2a+b，即a=-3b②．由①②联立的方程组得a=3，b=-1；或a=-3，b=1．∵a＞0，∴a=3，b=-1，则Z=3-i．（2）∵为纯虚数，∴，解得m=-5．【解析】（1）设Z=a+bi（a，b∈R且a＞0），由条件可得a2+b2=10①，a=-3b②．由①②联立的方程组得a、b的值，即可得到z的值．（2）根据若+（m∈R）为纯虚数，可得，由此求得m的值．本题主要考查复数的基本概念，两个复数代数形式的乘除法法则的应用，虚数单位i的幂运算性质，属于基础题．17.【答案】解：（1）∵f（x）是奇函数，所以当x＜0时，f（x）=-f（-x），-x＞0，又∵当x＞0时，，∴当x＜0时，；（2），当x＞0时，即，∴，所以，∴3x-1＜8，所以x＜2，所以x∈（0，2）．当x＜0时，即，∴，所以3-x＞32，∴x＜-2；综上得，原不等式的解集为（-∞，-2）∪（0，2）．【解析】（1）可设x＜0，则有-x＞0，从而可得出f（-x），从而求出f（x）=；（2）分x＞0和x＜0时两种情况，讨论满足f（x）＜-的x的范围，综合讨论结果，可得答案．考查奇函数的定义，对于奇函数，已知x＞0时的解析式，求对称区间上的解析式的方法，以及指数函数的单调性，不等式的性质．18.【答案】4036【解析】解：（1）f（2）+f（）=1，f（3）+f（）=1，f（4）+f（）=1，猜想f（x）+f（）=1，证明：f（x）+f（）=+=1，即证．（2）f（x）+f（x）=+=1，且（1）知f（x）+f（）=1，∴=2018×2=4036．（1）通过计算f（2）+f（）=1，f（3）+f（）=1，f（4）+f（）=1，可以猜想f（x）+f（）=1，然后证明，（2）f（x）+f（x）=1和f（x）+f（）=1，可以两两配对，得出结果．本题考查猜想，证明，然后求值，属于基础题．19.【答案】解：（1）∵f（0）=0，∴c=0，∵对于任意x∈R都有f（+x）=f（x），∴对称轴为，即，即b=-a，∴f（x）=ax2-ax，又对于任意x∈R都有f（x）≥x-1，∴ax2-（a+1）x+1≥0对任意x∈R都成立，∴，∴a=1，b=-1，∴f（x）=x2-x；（2）g（x）=x|x-4m|+4x，①当x≥4m时，g（x）=x2+（4-4m）x=[x-（2m-2）]2-（2m-2）2，若2m-2＞4m，即m＜-1，则g（x）在（4m，2m-2）上递减，在（2m-2，+∞）上递增；若2m-2≤4m，即m≥-1，则g（x）在（4m，+∞）上递增；②当x＜4m时，g（x）=-x2+（4+4m）x=-[x-（2m+2）]2+（2m+2）2，若2m-2＜4m，即m＞1时，则g（x）在（-∞，2m+2）上递增，在（2m+2，4m）上递减；若2m+2≥4m，即m≤1时，则g（x）在（-∞，4m）上递增．【解析】（1）先可求出c=0，再根据对称轴可得b=-a，再根据对于任意x∈R都有f（x）≥x-1，即可求得a的值，进而可得函数解析式；（2）g（x）=x|x-4m|+4x，先去掉绝对值，化为分段函数，再结合二次函数的图象及性质即可求出函数单调区间．本题二次函数解析式的求法，图象及其性质，考查将绝对值函数化为分段函数，通过分类讨论研究函数的单调性问题，考查运算求解能力及灵活运用知识的能力，属于中档题．20.【答案】解：f（x）为“局部奇函数”等价于关于x的方程f（-x）=-f（x）有解．（Ⅰ）当f（x）=ax2+2x-4a（a∈R）时，方程f（-x）=-f（x），即2a（x2-4）=0有解，x=±2，所以f（x）为“局部奇函数”．（Ⅱ）当f（x）=2x+m时，f（-x）=-f（x）可化为2x+2-x+2m=0，因为f（x）的定义域为[-1，1]，所以方程2x+2-x+2m=0在[-1，1]上有解．令，则．设g（t）=t+，则由对勾函数的性质可得，当t∈（0，1）时，g（t）在（0，1）上为减函数，当t∈（1，+∞）g（t）在（1，+∞）上为增函数．所以t∈[]时，g（t）．所以，即．（Ⅲ）当f（x）=4x-m2x+1+m2-3时，f（-x）=-f（x）可化为4x+4-x-2m（2x+2-x）+2m2-6=0．令b=2x+2-x≥2，则4x+4-x=b2-2，从而b2-2mb+2m2-8=0在[2，+∞）有解即可保证f（x）为“局部奇函数”．令F（b）=b2-2mb+2m2-8，1° 当F（2）≤0，b2-2mb+2m2-8=0在[2，+∞）有解，由当F（2）≤0，即2m2-4m-4≤0，解得1-；2° 当F（2）＞0时，b2-2mb+2m2-8=0在[2，+∞）有解等价于，解得．综上，所求实数m的取值范围为．【解析】本题主要考查新定义的应用，利用新定义，建立方程关系，然后利用函数性质进行求解是解决本题的关键，考查学生的运算能力，属于中档题．利用局部奇函数的定义，建立方程关系，然后判断方程是否有解求解（Ⅰ）问题转化为2a（x2-4）=0有解，求解即可；（Ⅱ）问题转化为2x+2-x+2m=0在[-1，1]上有解，即，求g（t）=t+范围即可；（Ⅲ）令b=2x+2-x≥2，则4x+4-x=b2-2，从而将问题转化为b2-2mb+2m2-8=0在[2，+∞）有解，求解即可．第11页，共11页。

2019-2020学年江苏省苏州市高二第二学期期中数学试卷一、选择题（共8小题）. 1．复数1−i 1+i（其中i 是虚数单位）的实部是（ ）A ．1B ．﹣1C ．﹣2D ．02．如果一质点的运动方程为S ＝2t 3（位移单位：米；时间单位：秒），则该质点在t ＝3秒时的瞬时速度为（ ） A ．6米/秒B ．18米/秒C ．54米/秒D ．81米/秒3．(x −1x)10的展开式中x 4的系数是（ ） A ．﹣210B ．﹣120C ．120D ．2104．导数公式“[f(x)g(x)]′=()g(x)2”中分子的括号应为（）A ．f （x ）g '（x ）﹣f '（x ）g （x ）B ．f '（x ）g （x ）﹣f （x ）g '（x ）C ．f （x ）g （x ）﹣f '（x ）g '（x ）D ．f '（x ）g '（x ）﹣f （x ）g （x ）5．平面截球得到半径是3的圆面，球心到这个平面的距离是4，则该球的表面积是（ ） A ．100πB ．416√3π3C ．20πD ．500π36．5个人站成一排，甲、乙两人中间恰有1人的排法共有（ ）种 A ．24种B ．36种C ．48种D ．72种7．已知C 28x =C 282x−8，则x 的值为（ ）A ．6B ．8C ．12D ．8或128．若a =ln22，b =ln33，c =ln55，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a ＞c ＞b B ．a ＞b ＞c C ．c ＞a ＞b D ．b ＞a ＞c二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）9．如图，在四面体ABCD 中，截面PQMN 是正方形，则在下列命题中，正确的为（ ）A ．AC ⊥BDB ．AC ∥截面PQMNC ．AC ＝BDD ．异面直线PM 与BD 所成的角为45°10．已知复数z =−1+√3i （i 为虚数单位），z 为z 的共轭复数，若复数w =zz ，则下列结论正确的有（ ）A ．w 在复平面内对应的点位于第二象限B ．|w |＝1C ．w 的实数部分为−12D ．w 的虚部为√32i11．下列组合数公式中恒成立的有（ ）A ．C n m =C n n−mB ．mC n m =nC n−1m−1 C ．C n+1m+1=C n m +C n+1mD ．(C n 0)2+(C n 1)2+(C n 2)2+⋯+(C n n )2=C 2n n12．已知函数f （x ）＝e x ﹣alnx 的定义域是D ，有下列四个命题，其中正确的有（ ） A ．对于∀a ∈（﹣∞，0），函数f （x ）在D 上是单调增函数 B ．对于∀a ∈（0，+∞），函数f （x ）存在最小值C ．存在a ∈（﹣∞，0），使得对于任意x ∈D ，都有f （x ）＞0成立 D ．存在a ∈（0，+∞），使得函数f （x ）有两个零点三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分．其中第16题共有2空，第一个空2分，第二个空3分；其余题均为一空，每空5分．请把答案填写在答题卡相应位置上） 13．若复数z 满足|z |＝1（i 为虚数单位），则|z ﹣2i |的最小值是 ．14．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，已知底面ABCD是矩形，AB＝2，AD＝a，PD⊥平面ABCD，若边AB上存在点M，使得PM⊥CM，则实数a的取值范围是．15．（1+x）2+（1+x）3+（1+x）4+…+（1+x）20中x2的系数为．16．函数f（x）在（0，+∞）上有定义，对于给定的正数K，定义函数f K（x）={f(x)，f(x)≤K K，f(x)＞K，取函数f（x）=52x2−3x2lnx，若对任意x∈（0，+∞），恒有f K（x）＝f（x），则K的最小值为．四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．已知函数f（x）＝x+ax2+blnx，曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为2x ﹣y﹣2＝0．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）求函数f（x）的极大值．18．有5个男生和3个女生，从中选出5人担任5门不同学科的科代表，求分别符合下列条件的选法数．（1）某女生一定担任语文科代表；（2）某男生必须包括在内，但不担任语文科代表；（3）某女生一定要担任语文科代表，某男生必须担任科代表，但不担任数学科代表．19．如图：设一正方形纸片ABCD边长为2分米，切去阴影部分所示的四个全等的等腰三角形，剩余为一个正方形和四个全等的等腰三角形，沿虛线折起，恰好能做成一个正四棱锥（粘接损耗不计），图中AH⊥PQ，O为正四棱锥底面中心．（1）若正四棱锥的棱长都相等，求这个正四棱锥的体积V；（2）设等腰三角形APQ的底角为x，试把正四棱锥的侧面积S表示为x的函数，并求S 的范围．20．在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥AC，AB＝AC＝2，A1A＝4，点D是BC的中点．（1）求异面直线A1B，AC1所成角的余弦值；（2）求直线AB1与平面C1AD所成角的正弦值；（3）求异面直线A1B与AD的距离．21．已知函数f n（x）＝（1+λx）n＝a0+a1x+a2x2+…+a n x n，其中λ∈R．（1）若λ＝﹣2，n＝2020，求a0+a2+a4+…+a2020的值；（2）若n＝8，a7＝1024，求a i（i＝0，1，2，3，…，8）的最大值；（3）若λ＝﹣1，求证：∑n k=0C n k k n x k f n−k(x)=x．22．已知函数f(x)=lnx x．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）设a＞0，求函数f（x）在[2a，4a]上的最小值；（3）某同学发现：总存在正实数a、b（a＜b），使a b＝b a，试问：他的判断是否正确？若不正确，请说明理由；若正确，请直接写出a的取值范围（不需要解答过程）．参考答案一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上） 1．复数1−i 1+i（其中i 是虚数单位）的实部是（ ）A ．1B ．﹣1C ．﹣2D ．0【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案． 解：∵1−i 1+i=(1−i)2(1+i)(1−i)=−2i 2=−i ，∴1−i 1+i的实部是0．故选：D ．2．如果一质点的运动方程为S ＝2t 3（位移单位：米；时间单位：秒），则该质点在t ＝3秒时的瞬时速度为（ ） A ．6米/秒B ．18米/秒C ．54米/秒D ．81米/秒【分析】求出导数，再将t ＝3代入，由此可求得瞬时速度． 解：（法一）∵S ＝2t 3， ∴S ′＝6t 2，∴当t ＝3时，S ′＝6×9＝54， 故选：C ． （法二）∵S ＝2t 3，∴S′|t=3=lim △t→02(3+△t)3−2×33△t=lim △t→02(3+△t−3)[(3+△t)2+(3+△t)×3+9]△t=lim △t→0[54+18△t +(△t)2]=54， 故选：C ．3．(x −1x)10的展开式中x 4的系数是（ ） A ．﹣210B ．﹣120C ．120D ．210【分析】先求出二项式展开式的通项公式，再令x 的幂指数等于4，求得r 的值，即可求得展开式中x 4的系数．解：(x −1x )10的展开式的通项公式为 T r +1=C 10r •（﹣1）r •x 10﹣2r ，令10﹣2r ＝4，可得r ＝3，故展开式中x4的系数为−C103=−120，故选：B．4．导数公式“[f(x)g(x)]′=()g(x)2”中分子的括号应为（）A．f（x）g'（x）﹣f'（x）g（x）B．f'（x）g（x）﹣f（x）g'（x）C．f（x）g（x）﹣f'（x）g'（x）D．f'（x）g'（x）﹣f（x）g（x）【分析】直接利用导数公式求解即可．解：由导数运算法则可知，[f(x)g(x)]′=f′(x)g(x)−f(x)g′(x)g2(x)．故选：B．5．平面截球得到半径是3的圆面，球心到这个平面的距离是4，则该球的表面积是（）A．100πB．416√3π3C．20πD．500π3【分析】作出球的轴截面图，根据条件求出球的半径，然后根据球的表面积公式进行计算即可．解：作出球的轴截面图，由题意知BC＝3，球心到这个平面的距离为4，即OC＝4，∴球的半径OB=√32+42=5，∴球的表面积为4π×52＝100π．故选：A．6．5个人站成一排，甲、乙两人中间恰有1人的排法共有（）种A．24种B．36种C．48种D．72种【分析】根据题意，分2步进行分析：先在甲乙两人中间安排一个，将三者绑定，将其看作一个元素与剩余的两人组成三个元素进行全排列，由分步计数原理计算可得答案．解：根据题意，考虑甲乙两人站法，甲乙两人顺序有2种情况，中间恰有一个人，从其余三人选一人即可，有三种选法，故第一步三人绑定在一起的方法有2×3＝6；将此三人看作一个元素与剩余两人组成三个元素进行排列，排列方法有A33＝6种故5个人站成一排，甲、乙2人中间恰有1人的排法共有6×6＝36种；故选：B．7．已知C28x=C282x−8，则x的值为（）A．6B．8C．12D．8或12【分析】由组合数公式的性质直接得到关于x的多项式方程，解出即可．解：∵C28x=C282x−8，∴x＝2x﹣8或x+2x﹣8＝28，则x＝8或x＝12，故选：D．8．若a=ln22，b=ln33，c=ln55，则a，b，c的大小关系为（）A．a＞c＞b B．a＞b＞c C．c＞a＞b D．b＞a＞c【分析】可令f(x)=lnxx，求导得出f′(x)=1−lnxx2，根据导数符号即可判断出f（x）在（e，+∞）上单调递减，并且a=ln44，从而可得出a，b，c的大小关系．解：令f(x)=lnxx，f′(x)=1−lnxx2，∴x＞e时，f′（x）＜0，∴f（x）在（e，+∞）上单调递减，又a=ln22=ln44=f（4），b=ln33=f(3)，c=ln55=f(5)，∴f（3）＞f（4）＞f（5），∴b＞a＞c．故选：D．二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）9．如图，在四面体ABCD中，截面PQMN是正方形，则在下列命题中，正确的为（）A．AC⊥BDB．AC∥截面PQMNC．AC＝BDD．异面直线PM与BD所成的角为45°【分析】首先由正方形中的线线平行推导线面平行，再利用线面平行推导线线平行，这样就把AC、BD平移到正方形内，即可利用平面图形知识做出判断．解：因为截面PQMN是正方形，所以PQ∥MN、QM∥PN，则PQ∥平面ACD、QM∥平面BDA，所以PQ∥AC，QM∥BD，由PQ⊥QM可得AC⊥BD，故A正确；由PQ∥AC可得AC∥截面PQMN，故B正确；异面直线PM与BD所成的角等于PM与QM所成的角，故D正确；综上C是错误的．故选：ABD．10．已知复数z=−1+√3i（i为虚数单位），z为z的共轭复数，若复数w=zz，则下列结论正确的有（）A．w在复平面内对应的点位于第二象限B．|w|＝1C．w的实数部分为−1 2D．w的虚部为√32i【分析】先根据条件求出w；再结合其定义以及几何意义即可求得答案．解：因为复数z=−1+√3i（i为虚数单位），z为z的共轭复数，则复数w=zz=−1−√3i−1+3i=(−1−√3i)(−1−√3i)(−1+3i)(−1−3i)=−12+√32i；故w 对应的点为（−12，√32）； |w |=(−12)2+(32)2=1；且w 的实部为：−12，虚部为：√32；故选：ABC ．11．下列组合数公式中恒成立的有（ ）A ．C n m =C n n−mB ．mC n m =nC n−1m−1 C ．C n+1m+1=C n m +C n+1mD ．(C n 0)2+(C n 1)2+(C n 2)2+⋯+(C n n )2=C 2n n【分析】由组合数的性质分别检验各选项即可判断出结论．解：（1）由组合数的性质可得：∁n m =∁n n−m（0≤m ≤n ），A 正确； mC n m =m ×n!m!(n−m)!=n(n−1)!(m−1)![(n−1)−(m−1)]!=n C n−1m−1，故B 正确； 由组合数的性质可得：∁n+1m+1=∁n m +C nm+1（1≤k ≤n ），故C 错误； 由于（1+x ）n •（1+x ）n ＝（1+x ）2n ，两边展开可得，(C n 0+C n 1x +⋯+C n n x n )•(C n 0+C n 1x +⋯+C n n x n )=C 2n 0+C 2n 1x +⋯+C 2n 2n x 2n ，比较两边x n 的系数可得，C n 0⋅C n n +C n 1⋅C n n−1+⋯+C n n ⋅C n 0=(C n 0)2+(C n 1)2+⋯+(C n n )2=C 2n n ，故D 正确．故选：ABD ．12．已知函数f （x ）＝e x ﹣alnx 的定义域是D ，有下列四个命题，其中正确的有（ ） A ．对于∀a ∈（﹣∞，0），函数f （x ）在D 上是单调增函数 B ．对于∀a ∈（0，+∞），函数f （x ）存在最小值C ．存在a ∈（﹣∞，0），使得对于任意x ∈D ，都有f （x ）＞0成立 D ．存在a ∈（0，+∞），使得函数f （x ）有两个零点【分析】先求导数，若为减函数则导数恒小于零；在开区间上，若有最小值则有唯一的极小值，若有零点则对应方程有根．解：由对数函数知：函数的定义域为：（0，+∞），f ′（x ）＝e x −ax ， 对于A ：∵a ∈（﹣∞，0）∴f ′（x ）＝e x −ax ≥0，是增函数．所以A 正确，对于B：∵a∈（0，+∞），∴存在x有f′（x）＝e x−ax=0，可以判断函数有最小值，B正确．对于C：画出函数y＝e x，y＝﹣alnx的图象，如图：显然不正确．对于D：令函数y＝e x是增函数，y＝alnx是增函数，所以存在a∈（0，+∞），f（x）＝e x﹣alnx＝0有两个根，正确．故选：ABD．三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分．其中第16题共有2空，第一个空2分，第二个空3分；其余题均为一空，每空5分．请把答案填写在答题卡相应位置上）13．若复数z满足|z|＝1（i为虚数单位），则|z﹣2i|的最小值是1．【分析】复数z满足|z|＝1（i为虚数单位），设z＝cosθ+i sinθ，θ∈[0，2π）．利用复数模的计算公式与三角函数求值即可得出．解：∵复数z满足|z|＝1（i为虚数单位），设z＝cosθ+i sinθ，θ∈[0，2π）．则|z﹣2i|＝|cosθ+i（sinθ﹣2）|=√cos2θ+(sinθ−2)2=√5−4sinθ≥1，当且仅当sinθ＝1时取等号．故答案为：1．14．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，已知底面ABCD是矩形，AB＝2，AD＝a，PD⊥平面ABCD，若边AB上存在点M，使得PM⊥CM，则实数a的取值范围是（0，1]．【分析】以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出实数a的取值范围．解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DP为z轴，建立空间直角坐标系，设AM＝m，DP＝t，则P（0，0，t），M（a，m，0），C（0，2，0），∴PM→=(a，m，−t)，CM→=(a，m−2，0)，∵PM⊥CM，∴PM→⋅CM→=a2+m2﹣2m＝0，∴a2＝﹣m2+2m＝﹣（m﹣1）2+1≤1，∵0≤m≤1，∴0≤a2≤1，又a＞0，∴实数a的取值范围是（0，1]．故答案为：（0，1]．15．（1+x）2+（1+x）3+（1+x）4+…+（1+x）20中x2的系数为1330．【分析】由题意利用二项式系数的性质，求出结果．解：（1+x）2+（1+x）3+（1+x）4+…+（1+x）20中x2的系数为C22+C32+C42+⋯+C202= C213=1330，故答案为：1330．16．函数f （x ）在（0，+∞）上有定义，对于给定的正数K ，定义函数f K （x ）={f(x)，f(x)≤KK ，f(x)＞K，取函数f （x ）=52x 2−3x 2lnx ，若对任意x ∈（0，+∞），恒有f K （x ）＝f （x ），则K的最小值为2e 23 ．【分析】根据新定义的函数建立f k （x ）与f （x ）之间的关系，通过二者相等得出实数k 满足的条件，利用导数或者函数函数的单调性求解函数的最值，进而求出k 的范围，进一步得出所要的结果． 解：∵函数f k (x)={f(x)，f(x)≤KK ，f(x)＞K，对任意的x ∈（0，+∞），恒有f k （x ）＝f （x ）， ∴k ≥f （x ）最大值，由于f ′（x ）＝5x ﹣3x ﹣6xlnx ＝2x ﹣6xlnx ， 令f ′（x ）＝0，解得x ＝0（舍），或x =e 13， 当0＜x ＜e 13时，f ′（x ）＞0，f （x ）单调递增， 当x ＞e 13时，f ′（x ）＜0，f （x ）单调递减． 故当x =e 13时，f （x ）取到最大值f （e 13）=32e 23．故当k ≥32e 23时，恒有f k （x ）＝f （x ）．因此K 的最小值是32e 23．故答案为：32e 23．四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．已知函数f （x ）＝x +ax 2+blnx ，曲线y ＝f （x ）在点（1，f （1））处的切线方程为2x ﹣y ﹣2＝0．（Ⅰ）求a ，b 的值；（Ⅱ）求函数f （x ）的极大值．【分析】（Ⅰ）求出原函数的导函数，利用f ′（1）＝2及f （1）＝0联立不等式组求解a ，b 的值，则函数解析式可求．（Ⅱ）求出导函数，通过导函数的符号，判断函数的单调性，然后求解函数的极大值即可．【解答】（本小题满分10分）（Ⅰ）解：由f （x ）＝x +ax 2+blnx ，得f ′（x ）＝2ax +1+b x（x ＞0）． 由曲线y ＝f （x ）在点（1，f （1））处的切线方程为2x ﹣y ﹣2＝0， 得{f′(1)=2a +1+b =2f(1)=1+a =0，∴{a =−1b =3， 即a ＝﹣1，b ＝3．（Ⅱ）f （x ）＝﹣x 2+x +3lnx ．x ∈（0，+∞），f ′（x ）＝﹣2x +1+3x（x ＞0）．﹣2x +1+3x＞0，解得x ∈(0，32)；﹣2x +1+3x ＜0，解得x ∈(32，+∞)；所以函数的增区间：(0，32)；减区间：(32，+∞)，x =32时，函数取得极大值，函数的极大值为f(32)=−34+3ln 32．18．有5个男生和3个女生，从中选出5人担任5门不同学科的科代表，求分别符合下列条件的选法数．（1）某女生一定担任语文科代表；（2）某男生必须包括在内，但不担任语文科代表；（3）某女生一定要担任语文科代表，某男生必须担任科代表，但不担任数学科代表． 【分析】（1）根据题意，需要在其他7人中任选4人，担任其他4科的课代表，由排列数公式计算可得答案；（2）根据题意，分2步进行分析：：①，受到限制的男生有4种情况，②，在其他7人中任选4人，担任其他4科的课代表，由分步计数原理计算可得答案；（3）根据题意，需要在其他6人中选出3科课代表，且某男生必须担任科代表，但不是数学科代表；则受到限制的男生有3种情况，在其他6人中任选3人，担任其他3科的课代表，由分步计数原理计算可得答案；解：（1）根据题意，有5个男生和3个女生，共8名学生；若某女生一定担任语文科代表，在剩下的7人中任选4人，担任其他4科课代表即可， 则有A 74＝840种不同的选法；（2）根据题意，分2步进行分析：①要求某男生必须在内，但不担任数学科代表，则该男生的安排有4种情况，②在其他7人中任选4人，担任其他4科的课代表，有A74＝840种选法；则有4×840＝3360种不同的选法；（3）根据题意，某女生一定要担任语文科代表，需要在其他6人中选出3科课代表，且某男生必须担任科代表，但不是数学科代表；分2步进行分析：①，某男生必须在内，但不担任语文和数学科代表，则该男生有3种情况，②，在其他6人中任选3人，担任其他3科的课代表，有A63＝120种选法；则有3×120＝360种不同的选法．19．如图：设一正方形纸片ABCD边长为2分米，切去阴影部分所示的四个全等的等腰三角形，剩余为一个正方形和四个全等的等腰三角形，沿虛线折起，恰好能做成一个正四棱锥（粘接损耗不计），图中AH⊥PQ，O为正四棱锥底面中心．（1）若正四棱锥的棱长都相等，求这个正四棱锥的体积V；（2）设等腰三角形APQ的底角为x，试把正四棱锥的侧面积S表示为x的函数，并求S 的范围．【分析】（I）若正四棱锥的棱长都相等，则在正方形ABCD中，三角形APQ为等边三角形，由此先计算出此正四棱锥的棱长，再利用正棱锥的性质计算其体积即可；（II）先利用等腰三角形APQ的底角为x的特点，将侧棱长和底边长分别表示为x的函数，再利用棱锥的体积计算公式将棱锥体积表示为关于x的函数，最后可利用均值定理求函数的值域解：（I ）若正四棱锥的棱长都相等，则在正方形ABCD 中，三角形APQ 为等边三角形，设边长为a ，∵正方形ABCD 边长为2分米，∴AH =√32a =AC−a 2=2√2−a 2，解得a =√21+3=√6−√2∴正四棱锥的棱长a =√6−√2∴PO =√22a ，AO =√AP 2−PO 2=√22a ，∴V =13×a 2×AO =√26a 3=√26×（√6−√2）3＝4√3−203（II ）∵AH =12PQ ×tan x =AC−PQ 2=2√2−PQ 2=√2−12PQ∴PQ =2√21+tanx ，AH =√2tanx 1+tanx∴S ＝4×12×PQ ×AH ＝2×PQ ×AH ＝2×2√21+tanx ×√2tanx 1+tanx=8tanx(1+tanx)2 x ∈[π4，π2） ∵S =8tanx(1+tanx)2=8tanx 2=81tanx+tanx+2≤82+2=2 （当且仅当tan x ＝1即x =π4时取等号） 而tan x ＞0，故s ＞0∵S 等于2时三角形APQ 是等腰直角三角形，顶角PAQ 等于90°，阴影部分不存在，折叠后A 与O 重合，构不成棱锥，∴S 的范围为（0，2）．20．在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，AB ⊥AC ，AB ＝AC ＝2，A 1A ＝4，点D 是BC 的中点．（1）求异面直线A 1B ，AC 1所成角的余弦值； （2）求直线AB 1与平面C 1AD 所成角的正弦值； （3）求异面直线A 1B 与AD 的距离．【分析】（1）以A 为原点，AB 为x 轴，AC 为y 轴，AA 1为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线A 1B ，AC 1所成角的余弦值．（2）求出平面C 1AD 的法向量，利用向量法能求出直线AB 1与平面C 1AD 所成角的正弦值．（3）连结A 1C ，交AC 1于点M ，连结DM ，由题意得DM ∥A 1B ，A 1B ∥平面C 1AD ，由此能求出异面直线A 1B 与AD 的距离．解：（1）以A 为原点，AB 为x 轴，AC 为y 轴，AA 1为z 轴，建立空间直角坐标系， 则B （2，0，0），A 1（0，0，4），C 1（0，2，4），D （1，1，0）， A 1B →=（2，0，4），AC 1→=（0，2，4）， ∴cos ＜A 1B →，AC 1→＞=A 1B →⋅AC 1→|A 1B →|⋅|AC 1→|=−16√20⋅√20=−45，∴异面直线A 1B ，AC 1所成角的余弦值为45． （2）AB 1→=（2，0，4），AD →=（1，1，0）， 设平面C 1AD 的法向量为n →=(x ，y ，z)，则{n →⋅AC 1→=2y +4z =0n →⋅AD →=x +y =0，取x ＝1，得n →=（1，﹣1，12），设直线AB 1与平面C 1AD 所成角为θ， 则sin θ=|AB 1→⋅n →||AB 1→|⋅|n →|=4√515，∴直线AB 1与平面C 1AD 所成角的正弦值为4√515． （3）连结A 1C ，交AC 1于点M ，连结DM ，由题意得DM ∥A 1B ， ∴A 1B ∥平面C 1AD ，∴点A 1到平面C 1AD 的距离为d ，则d =|AA 1→⋅n →||n →|=232=43，∴异面直线A 1B 与AD 的距离为43．21．已知函数f n （x ）＝（1+λx ）n ＝a 0+a 1x +a 2x 2+…+a n x n ，其中λ∈R ． （1）若λ＝﹣2，n ＝2020，求a 0+a 2+a 4+…+a 2020的值；（2）若n ＝8，a 7＝1024，求a i （i ＝0，1，2，3，…，8）的最大值；（3）若λ＝﹣1，求证：∑ n k=0C n k kn x k f n−k (x)=x ．【分析】（1）令x ＝1得（1﹣2）2000＝a 0+a 1+a 2+…+a 2000＝1，令x ＝﹣1得（1+2）2000＝a 0﹣a 1+a 2﹣a 3+…﹣a 2019+a 2000＝32000，两式相加可求得结果；（2）先假设a t 最大，利用{a t ≥at−1a t ≥a t+1求得t 的值，进而求得a i 中的最大值；（3）先说明C n k k n =n!k!(n−k)!⋅k n =(n−1)!(k−1)!(n−k)!=C n−1k−1，再利用二项式定理求证出结果． 解：（1）当λ＝﹣2，n ＝2020时，f 2000（x ）＝（1﹣2x ）2000＝a 0+a 1x +a 2x 2+…+a 2000x 2000， 令x ＝1得（1﹣2）2000＝a 0+a 1+a 2+…+a 2000＝1，令x ＝﹣1得（1+2）2000＝a 0﹣a 1+a 2﹣a 3+…﹣a 2019+a 2000＝32000，两式相加可得a 0+a 2+a 4+…+a 2020=32000+12；（2）由题知f 8（x ）＝（1+λx ）8＝a 0+a 1x +a 2x 2+…+a 8x 8，a 7=C 87λ7＝1024，解得λ＝2．不妨设a i 中a t （t ＝0，1，2，…，8）最大，则{a t ≥a t−1a t ≥a t+1⇒{C 8t 2t≥C 8t−12t−1C 8t 2t ≥C 8t+12t+1， 解得t ＝5或6，故a i 中的最大值为a 5＝a 6=C 8525=C 8626＝1792；（3）证明：若λ＝﹣1，f n （x ）＝（1﹣x ）n ，∑ n k=0C n k kn x k f n ﹣k （x ）=C n 00n x 0(1−x)n +C n 11n x1（1﹣x ）n ﹣1+⋯+C n n nn x n (1−x)0．因为C n k k n =n!k!(n−k)!⋅k n =(n−1)!(k−1)!(n−k)!=C n−1k−1，所以∑ n k=0C n k kn x k f n ﹣k （x ）＝0+C n−10x 1（1﹣x ）n ﹣1+⋯+C n−1n−1x n （1﹣x ）0＝x [C n−10x 0（1﹣x ）n ﹣1+⋯+C n−1n−1xn ﹣1（1﹣x ）0]＝x [x +（1﹣x ）]n ﹣1＝x ． 22．已知函数f(x)=lnx x． （1）求函数f （x ）的单调区间；（2）设a ＞0，求函数f （x ）在[2a ，4a ]上的最小值；（3）某同学发现：总存在正实数a 、b （a ＜b ），使a b ＝b a ，试问：他的判断是否正确？若不正确，请说明理由；若正确，请直接写出a 的取值范围（不需要解答过程）． 【分析】（1）先确定函数的定义域，再利用导数，可求函数f （x ）的单调区间； （2）根据f （x ）在（0，e ）上单调递增，在（e ，+∞）上单调递减，结合函数的定义域，分类讨论，可求函数f （x ）在[2a ，4a ]上的最小值；（3）a 的取值范围是1＜a ＜e ，利用f （x ）在（0，e ）上单调递增，在（e ，+∞）上单调递减，即可求得．解：（1）定义域为（0，+∞），f′(x)=1−lnx2， 令f′(x)=1−lnxx 2=0，则x ＝e ， 当x 变化时，f '（x ），f （x ）的变化情况如下表：x （0，e ）e （e ，+∞）f '（x ）+﹣f （x ） ↗1e↘∴f （x ）的单调增区间为（0，e ）；单调减区间为（e ，+∞）．…（2）由（1）知f （x ）在（0，e ）上单调递增，在（e ，+∞）上单调递减，所以， 当4a ≤e 时，即a ≤e4时，f （x ）在[2a ，4a ]上单调递增，∴f （x ）min ＝f （2a ）； 当2a ≥e 时，f （x ）在[2a ，4a ]上单调递减，∴f （x ）min ＝f （4a ）当2a ＜e ＜4a 时，即e4＜a ＜e2时，f （x ）在[2a ，e ]上单调递增，f （x ）在[e ，4a ]上单调递减，∴f （x ）min ＝min {f （2a ），f （4a ）}． 下面比较f （2a ），f （4a ）的大小，… ∵f(2a)−f(4a)=lna 4a， ∴若e4＜a ≤1，则f （a ）﹣f （2a ）≤0，此时f(x)min =f(2a)=ln2a2a； 若1＜a ＜e2，则f （a ）﹣f （2a ）＞0，此时f(x)min =f(4a)=ln4a4a；… 综上得：当0＜a ≤1时，f(x)min =f(2a)=ln2a2a；当a ＞1时，f(x)min =f(4a)=ln4a4a，…（3）正确，a 的取值范围是1＜a ＜e …（16分） 理由如下，考虑几何意义，即斜率，当x →+∞时，f （x ）→0 又∵f （x ）在（0，e ）上单调递增，在（e ，+∞）上单调递减 ∴f （x ）的大致图象如右图所示∴总存在正实数a ，b 且1＜a ＜e ＜b ，使得f （a ）＝f （b ），即lna a=lnb b，即a b ＝b a ．。

2020-2021学年江苏省苏州市常熟市高二（下）期中数学试卷一、单项选择题（共8小题）.1．命题甲：对任意x∈（a，b），有f′（x）＞0；命题乙：f（x）在（a，b）内是单调递增的，则甲是乙的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件2．将4封不同的信投入3个不同的信箱，不同的投法种数为（）A．B．C．34D．433．函数在区间上的最大值是（）A．B．C．D．4．若（1+x）3（1﹣2x）4＝a0+a1x+a2x2+…+a7x7，则a0+a2+a4+a6＝（）A．8B．6C．5D．45．如图，用4种不同的颜色对图中5个区域涂色（4种颜色全部使用），要求每个区域涂一种颜色，相邻的区域不能涂相同的颜色，则不同的涂色种数有（）A．72种B．96种C．108种D．120种6．设a∈Z，且0≤a≤13，若512021+a能被13整除，则a＝（）A．0B．1C．11D．127．函数f（x）＝x2﹣x sin x的图象大致为（）A．B．C．D．8．已知定义在R上的连续奇函数f（x）的导函数为f′（x），已知f（1）≠0，且当x＞0时，有xlnx•f′（x）＜﹣f（x）成立，则使（x2﹣4）f（x）＞0成立的x的取值范围是（）A．（﹣2，0）∪（0，2）B．（﹣∞，﹣2）∪（0，2）C．（﹣2，0）∪（2，+∞）D．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）二、多选题（每小题5分）.9．若直线是函数f（x）图象的一条切线，则函数f（x）可以是（）A．B．f（x）＝x4C．f（x）＝sin x D．f（x）＝e x 10．下列等式正确的是（）A．C＝CB．A﹣A＝n2AC．A＝nAD．nC＝C+kC11．已知（+3x2）n展开式中，各项系数的和比它的二项式系数的和大992，则下列结论正确的为（）A．展开式中偶数项的二项式系数之和为25B．展开式中二项式系数最大的项只有第三项C．展开式中系数最大的项只有第五项D．展开式中有理项为第三项、第六项12．已知函数f（x）＝x cos x﹣sin x，下列结论中正确的是（）A．函数f（x）在时，取得极小值﹣1B．对于∀x∈[0，π]，f（x）≤0恒成立C．若0＜x1＜x2＜π，则D．若，对于恒成立，则a的最大值为，b的最小值为1三、填空题（每小题5分）.13．（﹣3）7的展开式中x3的系数为．14．已知a为实数，若函数f（x）＝x3﹣3ax2+2a2的极小值为0，则a的值为．15．已知函数f（x）＝ax2﹣2x+lnx有两个不同的极值点x1，x2，则实数a的取值范围为．16．有8个座位连成一排，甲、乙、丙、丁4人就坐，要求有且仅有两个空位相邻且甲、乙两人都在丙的同侧，则共有种不同的坐法．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知函数f（x）＝lnx﹣x2+3．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）求函数f（x）在区间[，e]上的最大值和最小值．18．用0，1，2，3，4这五个数字组成无重复数字的自然数．（1）在组成的五位数中，所有奇数的个数有多少？（2）在组成的五位数中，数字1和3相邻的个数有多少？（3）在组成的五位数中，若从小到大排列，30124排第几个？19．将4个编号为1，2，3，4的不同小球全部放入4个编号为1，2，3，4的4个不同盒子中．求：（Ⅰ）每个盒至少一个球，有多少种不同的放法？（Ⅱ）恰好有一个空盒，有多少种不同的放法？（Ⅲ）每盒放一个球，并且恰好有一个球的编号与盒子的编号相同，有多少种不同的放法？（Ⅳ）把已知中4个不同的小球换成四个完全相同的小球（无编号），其余条件不变，恰有一个空盒，有多少种不同的放法？20．已知在（﹣）n的展开式中，第5项的系数与第3项的系数之比是56：3．（1）求展开式中的所有有理项；（2）求展开式中系数绝对值最大的项．（3）求n+++…+9n﹣1的值．21．已知函数f（x）＝lnx++a．（1）当a＝﹣时，求函数f（x）在（2，f（2））处的切线方程；（2）当a∈（0，ln2），证明：函数g（x）＝e x f（x）存在唯一极值点x0，且g（x0）＞0．22．已知函数f（x）＝xlnx﹣ae x+a，其中a∈R．（1）若f（x）在定义域内是单调函数，求a的取值范围；（2）当a＝1时，求证：对任意x∈（0，+∞），恒有f（x）＜cos x成立．参考答案一、单项选择题（每小题5分）.1．命题甲：对任意x∈（a，b），有f′（x）＞0；命题乙：f（x）在（a，b）内是单调递增的，则甲是乙的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解：对任意x∈（a，b），有f′（x）＞0，则f（x）在（a，b）内是单调递增的，则甲是乙的充分条件，f（x）在（a，b）内是单调递增的，则对任意x∈（a，b），有f′（x）≥0，则甲是乙的不必要条件，故甲是乙的充分不必要条件，故选：A．2．将4封不同的信投入3个不同的信箱，不同的投法种数为（）A．B．C．34D．43解：每封信都有3种不同的投法由分步计数原理可得，4封信共有3×3×3×3＝34．故选：C．3．函数在区间上的最大值是（）A．B．C．D．解：函数f（x）＝，x∈，f′（x）＝1﹣2sin x，令f′（x）＝0，解得x＝．∴函数f（x）在内单调递增，在内单调递减．∴x＝时函数f（x）取得极大值即最大值．＝﹣＝．故选：B．4．若（1+x）3（1﹣2x）4＝a0+a1x+a2x2+…+a7x7，则a0+a2+a4+a6＝（）A．8B．6C．5D．4解：∵（1+x）3（1﹣2x）4＝a0+a1x+a2x2+…+a7x7，令x＝1，可得a0+a1+a2+…+a7＝8 ①，再令x＝﹣1，可得a0﹣a1+a2+…﹣a7＝0 ②，则①+②，并除以2，可得a0+a2+a4+a6＝4，故选：D．5．如图，用4种不同的颜色对图中5个区域涂色（4种颜色全部使用），要求每个区域涂一种颜色，相邻的区域不能涂相同的颜色，则不同的涂色种数有（）A．72种B．96种C．108种D．120种解：由题意知本题是一个分步计数问题，第一步：涂区域1，有4种方法；第二步：涂区域2，有3种方法；第三步：涂区域4，有2种方法（此前三步已经用去三种颜色）；第四步：涂区域3，分两类：第一类，3与1同色，则区域5涂第四种颜色；第二类，区域3与1不同色，则涂第四种颜色，此时区域5就可以涂区域1或区域2或区域3中的任意一种颜色，有3种方法．所以，不同的涂色种数有4×3×2×（1×1+1×3）＝96种．故选：B．6．设a∈Z，且0≤a≤13，若512021+a能被13整除，则a＝（）A．0B．1C．11D．12解：∵a∈Z，且0≤a≤13，若512021+a＝（52﹣1）2021+a＝×522021﹣×522020+522016+…+×52﹣+a能被13整除，∴﹣+a＝﹣1+a能被13整除，则a＝1，故选：B．7．函数f（x）＝x2﹣x sin x的图象大致为（）A．B．C．D．解：∵f（﹣x）＝（﹣x）2﹣（﹣x）sin（﹣x）＝x2﹣x sin x＝f（x），且定义域为R，∴f（x）为偶函数，故排除选项D；f（x）＝x（x﹣sin x），设g（x）＝x﹣sin x，则g′（x）＝1﹣cos x≥0恒成立，∴g（x）单调递增，∴当x＞0时，g（x）＞g（0）＝0，∴当x＞0时，f（x）＝xg（x）＞0，且f（x）单调递增，故排除选项A、B；故选：C．8．已知定义在R上的连续奇函数f（x）的导函数为f′（x），已知f（1）≠0，且当x＞0时，有xlnx•f′（x）＜﹣f（x）成立，则使（x2﹣4）f（x）＞0成立的x的取值范围是（）A．（﹣2，0）∪（0，2）B．（﹣∞，﹣2）∪（0，2）C．（﹣2，0）∪（2，+∞）D．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）解：令g（x）＝f（x）•lnx（x＞0），所以g′（x）＝f′（x）lnx+，当x＞0时，有xlnx•f′（x）+f（x）＜0，得f′（x）lnx+＜0，则g′（x）＜0，故g（x）在（0，+∞）上单调递减，且g（1）＝0m当x＞1时，f（x）lnx＜0，得f（x）＜0，当0＜x＜1时，f（x）lnx＞0，得f（x）＜0，因为f（x）为连续函数，且f（1）≠0，所以f（x）＜0在（0，+∞）上恒成立，又f（x）为定义在R上的奇函数，所以当x＜0时，f（x）＞0，不等式（x2﹣4）f（x）＞0，即或，解得x＜﹣2或0＜x＜2，则x的取值范围为（﹣∞，﹣2）∪（0，2），故选：B．二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．9．若直线是函数f（x）图象的一条切线，则函数f（x）可以是（）A．B．f（x）＝x4C．f（x）＝sin x D．f（x）＝e x解：直线的斜率为k＝，由f（x）＝的导数为f′（x）＝﹣，即有切线的斜率小于0，故A不能选；由f（x）＝x4的导数为f′（x）＝4x3，而4x3＝，解得x＝，故B可以选；由f（x）＝sin x的导数为f′（x）＝cos x，而cos x＝有解，故C可以选；由f（x）＝e x的导数为f′（x）＝e x，而e x＝，解得x＝﹣ln2，故D可以选．故选：BCD．10．下列等式正确的是（）A．C＝CB．A﹣A＝n2AC．A＝nAD．nC＝C+kC解：∵＝，而＝•＝，故A错误；∵﹣＝（n+1）n（n﹣1）•••（n﹣m+1）﹣n（n﹣1）•••（n﹣m+1）＝n（n﹣1）•••（n﹣m+1）[n+1﹣1]＝n2（n﹣1）（n﹣2）•••（n﹣m+1），n2＝n2（n﹣1）（n﹣2）•••（n﹣m+1），故B正确；∵＝n（n﹣1）•••（n﹣m+1），n＝n•（n﹣1）（n﹣2）•••（n﹣m+1），故C正确；n＝n，+k＝+k＝+＝，故D错误，故选：BC．11．已知（+3x2）n展开式中，各项系数的和比它的二项式系数的和大992，则下列结论正确的为（）A．展开式中偶数项的二项式系数之和为25B．展开式中二项式系数最大的项只有第三项C．展开式中系数最大的项只有第五项D．展开式中有理项为第三项、第六项解：∵（+3x2）n展开式中，各项系数的和比它的二项式系数的和大992，∴4n﹣2n＝992，求得2n＝32，∴n＝5，故展开式中偶数项的二项式系数之和为＝24，故A错误．二项展开式的通项公式为T r+1＝•3r•，展开式中，故当r＝2或3时，即第三项、第四项的二项式系数最大，故B错误．故当r＝4时，展开式中第r+1项的系数•3r最大，即第五项得系数最大．由于（+3x2）n展开式的通项公式为T r+1＝•3r•，故C正确．故当r＝2 或5时，展开式中为理项，即第三项、第六项为有理项，故D正确．故选：CD．12．已知函数f（x）＝x cos x﹣sin x，下列结论中正确的是（）A．函数f（x）在时，取得极小值﹣1B．对于∀x∈[0，π]，f（x）≤0恒成立C．若0＜x1＜x2＜π，则D．若，对于恒成立，则a的最大值为，b的最小值为1解：因为f′（x）＝cos x﹣x sin x﹣cos x＝﹣x sin x，当x∈[0，π]时，f′（x）≤0，f（x）单调递减，所以函数f（x）在x＝处，不是极值点，故A错误．所以对于∀x∈[0，π]，f（x）≤f（0）＝0，故B正确，令g（x）＝，g′（x）＝，由上可知，当x∈（0，π）时，g′（x）≤0，所以g（x）在（0，π）上是减函数，若0＜x1＜x2＜π所以，即，故C正确，当x＞0时，“”等价于“sin x﹣ax＞0”，令g（x）＝sin x﹣cx，g′（x）＝cos x﹣c，当c≤0时，g（x）＞0对x∈（0，）恒成立，当c≥1时，因为对∀∈（0，），g′（x）＝cos x﹣c＜0，所以g（x）在区间（0，）上单调递减，从而，g（x）＜g（0）＝0，对∀x∈（0，）恒成立，当0＜c＜1时，存在唯一的x0∈（0，）使得g（x0）＝cos x0﹣c＝0成立，若x∈（0，x0），g′（x0）＞0，g（x）在（0，x0）上单调递增，且g（x）＞g（0）＝0，若x∈（x0，），g′（x0）＜0，g（x）在（x0，）上单调递减，且g（x）＝sin x﹣cx＞0，在（x0，）上恒成立，必须使g（）＝sin﹣c＝1﹣≥0恒成立，即0＜c≤，综上所述，当c≤时，g（x）＞0，对任意x∈（0，）恒成立，当c≥1时，g（x）＜0，对任意x∈（0，）恒成立，所以若a＜＜b，对x∈（0，）恒成立，则a的最大值为，b的最小值为1，所以D正确．故选：BCD．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共计20分．13．（﹣3）7的展开式中x3的系数为﹣21．解：（﹣3）7的展开式的通项．由，得r＝1．∴（﹣3）7的展开式中x3的系数为．故答案为：﹣21．14．已知a为实数，若函数f（x）＝x3﹣3ax2+2a2的极小值为0，则a的值为．解：由已知f′（x）＝3x2﹣6ax＝3x（x﹣2a），又a＞0，所以由f′（x）＞0得x＜0或x＞2a，由f′（x）＜0得0＜x＜2a，所以f（x）在x＝2a处取得极小值0，即f（x）极小值＝f（2a）＝（2a）3﹣3a（2a）2+2a2＝﹣4a3+2a2＝0，又a＞0，解得a＝，故答案为：．15．已知函数f（x）＝ax2﹣2x+lnx有两个不同的极值点x1，x2，则实数a的取值范围为（0，）．解：f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）＝2ax﹣2+＝，∵f（x）有两个不同的极值点x1，x2，∴f′（x）＝0有两个不相等的正实数根，即2ax2﹣2x+1＝0两个不相等的正实数根x1，x2，∴，解得：0＜a＜，故答案为：（0，）．16．有8个座位连成一排，甲、乙、丙、丁4人就坐，要求有且仅有两个空位相邻且甲、乙两人都在丙的同侧，则共有480种不同的坐法．解：根据题意，分3步进行分析：①将甲乙两人安排在丙的同侧，有2A22＝4种安排方法，②将丁安排在三人的空位中，有4种安排方法，③将两个空位看成一个整体，和剩下的2个空位安排到4人形成的5个空位中，有5C42＝30种安排方法，则有4×4×30＝480种安排方法，故答案为：480．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知函数f（x）＝lnx﹣x2+3．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）求函数f（x）在区间[，e]上的最大值和最小值．解：（1）∵f（x）＝lnx﹣x2+3，定义域为（0，+∞），∴f'（x）＝﹣x＝，令f'（x）＞0，则0＜x＜1，∴函数f（x）的单调递增区间为（0，1）；令f'（x）＜0，则x＞1，∴函数f（x）的单调递减区间为（1，+∞）．（2）f（x），f'（x）在区间[，e]上随x的变化情况如下表：x（，1）1（1，e）ef'（x）+0﹣f（x）2﹣↑极大值↓4﹣e2∴f（x）max＝，f（x）min＝4﹣e2．18．用0，1，2，3，4这五个数字组成无重复数字的自然数．（1）在组成的五位数中，所有奇数的个数有多少？（2）在组成的五位数中，数字1和3相邻的个数有多少？（3）在组成的五位数中，若从小到大排列，30124排第几个？解：（1）依题意，所有奇数的个数为＝36个；（2）数字1和3相邻的个数有＝36个；（3）比30124小的数的个数为：＝48个，所以在组成的五位数中，若从小到大排列，30124排第49个．19．将4个编号为1，2，3，4的不同小球全部放入4个编号为1，2，3，4的4个不同盒子中．求：（Ⅰ）每个盒至少一个球，有多少种不同的放法？（Ⅱ）恰好有一个空盒，有多少种不同的放法？（Ⅲ）每盒放一个球，并且恰好有一个球的编号与盒子的编号相同，有多少种不同的放法？（Ⅳ）把已知中4个不同的小球换成四个完全相同的小球（无编号），其余条件不变，恰有一个空盒，有多少种不同的放法？解：（Ⅰ）每个盒至少一个球即每个盒子均有一球，也就是4个元素的排列，故有A44＝24种不同的放法；（Ⅱ）恰有一个空盒，说明恰有一个盒子中有2个小球，从4个小球中选两个作为一个元素，同另外两个元素在三个位置全排列，故共有C42A43＝144种不同的放法；（Ⅲ）先选出1个小球，放到对应序号的盒子里，有C41＝4种情况，其它小球的放法只有2种，例如：4号球放在4号盒子里，其余3个球的放法为，（2，3，1），（3，1，2），共2种，故每盒放一个球，并且恰好有一个球的编号与盒子的编号相同，有2C41＝8种；（Ⅳ）分2步进行分析，从4个盒子中选出一个盒子当作空盒，C41＝4种选法，再将其余3个盒子装球，由题意，3个盒子分别装2，1，1个球，只要选一个盒子装2个球，另外的2个盒子一定是每个装一个球，有C31＝3种选法，所以，总方法数为3×4＝12种．20．已知在（﹣）n的展开式中，第5项的系数与第3项的系数之比是56：3．（1）求展开式中的所有有理项；（2）求展开式中系数绝对值最大的项．（3）求n+++…+9n﹣1的值．解：（1）由第5项的系数与第3项的系数之比是：＝56：3，解得n＝10．因为通项：T r+1＝•（﹣2）r•，当5﹣为整数，r可取0，6，于是有理项为T1＝x5和T7＝13440．（2）设第r+1项系数绝对值最大，则．解得，于是r只能为7．所以系数绝对值最大的项为T8＝﹣15360．（3）n+++…+9n﹣1＝10+9+92•+…+910﹣1•＝＝＝．21．已知函数f（x）＝lnx++a．（1）当a＝﹣时，求函数f（x）在（2，f（2））处的切线方程；（2）当a∈（0，ln2），证明：函数g（x）＝e x f（x）存在唯一极值点x0，且g（x0）＞0．解：（1）当a＝﹣时，f（x）＝lnx+﹣．f′（x）＝﹣＝，∴f′（2）＝，f（2）＝ln2，∴函数f（x）在（2，f（2））处的切线方程为：y﹣ln2＝（x﹣2），整理为：x﹣4y+4ln2﹣2＝0．（2）证明：函数g（x）＝e x f（x）＝e x（lnx++a），x∈（0，+∞）．g′（x）＝e x（lnx+﹣+a），设h（x）＝lnx+﹣+a，∵∀x∈R，e x＞0，因此g′（x）与h（x）的符号相同．h′（x）＝﹣+＝，显然，当x＞0时，h′（x）＞0，函数h（x）单调递增．又h（1）＝0+2﹣1+a＝1+a＞0，h（）＝ln+4﹣4+a＝a﹣ln2＜0．（a∈（0，ln2）），∴存在唯一x0∈（，1），使得h（x0）＝0．对于g（x），则有x∈（0，x0）时，g′（x）＜0；x∈（x0，+∞）时，g′（x）＞0．∴函数g（x）＝e x f（x）存在唯一极值点x0，x0∈（，1）．由h（x0）＝0，可得：lnx0+﹣+a＝0，解得a＝﹣lnx0﹣+，∴g（x0）＝（lnx0++﹣lnx0﹣）＝（﹣）＝，∵x0∈（，1），∴g（x0）＞0．22．已知函数f（x）＝xlnx﹣ae x+a，其中a∈R．（1）若f（x）在定义域内是单调函数，求a的取值范围；（2）当a＝1时，求证：对任意x∈（0，+∞），恒有f（x）＜cos x成立．解：（1）因为f（x）＝xlnx﹣ae x+a，所以f'（x）＝lnx+1﹣ae x，因为f（x）在定义域内是单调递减函数，则f'（x）≤0在（0，+∞）上恒成立，若f'（x）≤0，则a≥，令G（x）＝（x＞0），得G′（x）＝，易知G'（1）＝0，且函数y＝−lnx−1在（0，+∞）上单调递减，当x＞0时，e x＞1，所以在区间（0，1）上，G'（x）＞0；在（1，+∞）上G'（x）＜0，所以G（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，此时G（x）的最大值为G（1）＝，所以当a≥时，f（x）在定义域上单调递减；即a的取值范围是[，+∞）．（2）证明：当a＝1时，f（x）＝xlnx﹣e x+1，要证f（x）＜cos x，即证xlnx＜e x+cos x﹣1，当0＜x≤1时，xlnx≤0，而e x+cos x﹣1＞1+cos1﹣1＝cos1＞0，故xlnx＜e x+cos x﹣1成立，即f（x）＜cos x成立，当x＞1时，令h（x）＝e x+cos x﹣xlnx﹣1（x＞1），则h′（x）＝e x﹣sin x﹣lnx﹣1，设g（x）＝e x﹣sin x﹣lnx﹣1（x＞1），则g′（x）＝e x﹣cos x﹣，∵x＞1，∴g′（x）＝e x﹣cos x﹣＞e﹣1﹣1＞0，故x＞1时，g（x）单调递增，故g（x）＞e﹣sin x﹣1＞0，即h′（x）＞0，h（x）在（1，+∞）单调递增，故h（x）＞e+cos1﹣1＞0，即f（x）＜cos x成立，综上：对任意x∈（0，+∞），恒有f（x）＜cos x成立．。

期中数学试卷题号一二总分得分一、填空题（本大题共14小题，共70.0分）1.已知集合A={-2，-1}，B={-1，2，3}，则A∩B=______．2.函数f（x）=lg（-x2+2x+3）的定义域为______．3.若复数为纯虚数，i是虚数单位，则实数a的值是______．4.某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为4：3：3，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为80的样本，则应从高一抽取的学生人数为______名．5.如图是一个算法流程图，则输出S的值是______．6.一只口袋内装有大小相同的5只球，其中3只白球，2只黑球，从中一次性随机摸出2只球，则恰好有1只是白球的概率为______．7.已知变量x，y满足，则2x+y的最大值为______．8.已知函数f（x）=|2x-2|（x∈（-1，2）），则函数y=f（x-1）的值域为______．9.已知函数y=A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的图象上有一个最高点的坐标为（2，），由这个最高点到其右侧相邻最低点间的图象与x轴交于点（6，0），则此解析式为______．10.若曲线C1：y=3x4-ax3-6x2与曲线C2：y=e x在x=1处的切线互相垂直，则实数a的值为______．11.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若tan A=7tan B，=3，则c=______．12.已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且在（-∞，0]上为单调增函数．若f（-1）=-2，则满足f（2x-3）≤2的x的取值范围是______ ．13.已知函数f（x）=x2-2ax+a2-1，若关于x的不等式f（f（x））＜0的解集为空集，则实数a的取值范围是______．14.已知函数f（x）=，当x∈[0，100]时，关于x的方程f（x）=x-的所有解的和为______．二、解答题（本大题共6小题，共90.0分）15.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知b cos C+c cos B=2a cos A．（1）求角A的大小；（2）若•=，求△ABC的面积．16.已知函数f（x）=ax2+x-a，a∈R．（1）若函数f（x）有最大值，求实数a的值；（2）解不等式f（x）＞1（a≥0）．17.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，O，E分别为B1D，AB的中点．（1）求证：OE∥平面BCC1B1；（2）求证：平面B1DC⊥平面B1DE．18.某地发生地质灾害，使当地的自来水受到了污染，某部门对水质检测后，决定往水中投放一种药剂来净化水质．已知每投放质量为m的药剂后，经过x天该药剂在水中释放的浓度y（毫克/升）满足y=mf（x），其中f（x）=，当药剂在水中释放的浓度不低于4（毫克/升）时称为有效净化；当药剂在水中释放的浓度不低于4（毫克/升）且不高于10（毫克/升）时称为最佳净化．（1）如果投放的药剂质量为m=4，试问自来水达到有效净化一共可持续几天？（2）如果投放的药剂质量为m，为了使在7天（从投放药剂算起包括7天）之内的自来水达到最佳净化，试确定应该投放的药剂质量m的最小值．19.设函数（x∈R，k∈Z）．（1）若f k（x）是偶函数，求k的值；（2）设不等式f0（x）+mf1（x）≤4的解集为A，若A∩[1，2]≠∅，求实数m的取值范围；（3）设函数g（x）=λf0（x）-f2（2x）-2，若g（x）在x∈[1，+∞）有零点，求实数λ的取值范围．20.记f′（x），g′（x）分别为函数f（x），g（x）的导函数．若存在x0∈R，满足f（x0）=g（x0）且f′（x0）=g′（x0），则称x0为函数f（x）与g（x）的一个“S点”．（1）证明：函数f（x）=x与g（x）=x2+2x-2不存在“S点”；（2）若函数f（x）=ax2-1与g（x）=ln x存在“S点”，求实数a的值；（3）已知函数f（x）=-x2+a，g（x）=．对任意a＞0，判断是否存在b＞0，使函数f（x）与g（x）在区间（0，+∞）内存在“S点”，并说明理由．答案和解析1.【答案】{-1}【解析】解：∵集合A={-2，-1}，B={-1，2，3}，∴A∩B={-1}．故答案为：{-1}．利用交集的定义求解．本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题．2.【答案】（-1，3）【解析】解：要使函数有意义，则需-x2+2x+3＞0，解得，-1＜x＜3．则定义域为（-1，3）．故答案为：（-1，3）．要使函数有意义，则需-x2+2x+3＞0，解出即可得到定义域．本题考查函数的定义域的求法，注意对数的真数必须大于0，考查运算能力，属于基础题．3.【答案】1【解析】解：∵复数===为纯虚数，∴，解得a=1．故答案为：1．利用复数的运算法则与共轭复数的定义、纯虚数的定义即可得出．本题考查了复数的运算法则与共轭复数的定义、纯虚数的定义，属于基础题．4.【答案】32【解析】解：高一学生在总体中所占的比例为=，故应从高一年级抽取的学生人数为80×=32，故答案为：32．先求出高一学生在总体中所占的比例，再用样本容量乘以此比例，即得应从高一年级抽取的学生人数．本题主要考查分层抽样的定义和方法，利用了总体中各层的个体数之比等于样本中对应各层的样本数之比，属于基础题．5.【答案】35【解析】解：k=1，k＞5不成立，S=0+12=1，k=1+2=3，k=3，k＞5不成立，S=1+32=10，k=3+2=5，k=5，k＞5不成立，S=10+52=35，k=5+2=7，k=7，k＞5成立，输出S=35，故答案为：35根据程序框图进行模拟运算即可．本题主要考查程序框图的识别和判断，利用模拟运算法是解决本题的关键．6.【答案】【解析】解：从中一次性随机摸出2只球，基本事件总数n=，恰好有1只是白球的基本事件个数m=，∴恰好有1只是白球的概率P==．故答案为：．从中一次性随机摸出2只球，基本事件总数n=，恰好有1只是白球的基本事件个数m=，由此能求出恰好有1只是白球的概率．本题考查概率的求法，是基础题，解题时要注意等可能事件概率计算公式的合理运用．7.【答案】8【解析】解：作出不等式组对应的平面区域如图：设z=x+y，则y=-x+z，平移直线y=-x+z，由图象可知当直线y=-x+z经过点A时y=-x+z的截距最大，此时z最大．由，解得，即A（1，2），代入z=x+y得z=1+2=3．即z=x+y最大值为3，∴2x+y的最大值为23=8．故答案为：8．作出不等式组对应的平面区域，设z=x+y，利用z的几何意义，先求出z的最大值，即可得到结论．本题主要考查线性规划的应用以及指数函数的运算，利用z的几何意义结合数形结合是解决本题的关键．8.【答案】[0，2）【解析】【分析】本题考查了函数的值域的求法，考查了函数图象的平移，是基础题．由指数函数的单调性求出函数f（x）=|2x-2|（x∈（-1，2））的值域，再由函数图象的平移得答案．【解答】解：∵x∈（-1，2），∴，，则f（x）=|2x-2|∈[0，2），y=f（x-1）的图象是把函数f（x）左右平移得到的，函数值域不发生变化，∴函数y=f（x-1）的值域为[0，2）．故答案为[0，2）．9.【答案】y=sin（x+）【解析】【分析】本题主要考查三角函数的图象和性质，根据条件确定A，ω，φ的取值是解决本题的关键．根据函数的最高点的坐标确定A，根据函数零点的坐标确定函数的周期，利用最值点的坐标同时求φ的取值，即可得到函数的解析式．【解答】解：∵函数图象的一个最高点为（2，），∴A=，x=2为其中一条对称轴．这个最高点到相邻最低点的图象与x轴交于（6，0），∴=6-2=4，即函数的周期T=16，∵T==16，∴ω=，此时函数y=f（x）=sin（x+φ），∵f（2）=sin（×2+）=，∴sin（+φ）=1，即+φ=+2kπ，即=+2kπ，∵|φ|＜，∴当k=0时，φ=，∴这个函数的解析式为y=sin（x+）．故答案为：y=sin（x+）.10.【答案】【解析】解：由y=3x4-ax3-6x2，得y′=12x3-3ax2-12x，∴y′|x=1=-3a，由y=e x，得y′=e x，∴y′|x=1=e．∵曲线C1：y=3x4-ax3-6x2与曲线C2：y=e x在x=1处的切线互相垂直，∴-3a•e=-1，解得：a=．故答案为：．分别求出两个函数的导函数，求得两函数在x=1处的导数值，由题意知两导数值的乘积等于-1，由此求得a的值．本题考查利用导数研究曲线上某点处的切线方程，函数在某点处的导数，就是曲线过该点的切线的斜率，是中档题．11.【答案】4【解析】解：∵tan A=7tan B，∴=7•．∴sin A cos B=7sin B cos A，∴a•=7•b•，整理得8a2-8b2=6c2，①∵=3，②①②联立求得c=4，故答案为：4利用tan A=7tan B求得sin A cos B与cos A sin B的关系式，进而利用正弦定理和余弦定理转化成边的问题，化简求得a，b和c的关系式，然后根据已知条件可直接求得c．本题主要考查了正弦定理的应用，解题的关键是利用正弦定理和余弦定理完成边角问题的转化．12.【答案】（-∞，2]【解析】解：根据题意，函数f（x）是定义在R上的奇函数，且在（-∞，0]上为单调增函数，则在f（x）在[0，+∞）上也是增函数，故函数f（x）R上也是增函数；又由f（-1）=-2，则f（1）=-f（-1）=2，则f（2x-3）≤2⇒2x-3≤1，解可得x≤2，即不等式的解集为（-∞，2]；故答案为：（-∞，2]．根据题意，由奇函数的性质分析可得函数f（x）在R上是增函数，且f（1）=-f（-1）=2，进而f（2x-3）≤2可以转化为2x-3≤1，解可得x的取值范围，即可得答案．本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，关键是将f（2x-3）≤2转化为关于x的不等式．13.【答案】a≤-2【解析】解：f（x）=x2-2ax+a2-1=x2-2ax+（a-1）（a+1）=[x-（a-1）][x-（a+1）]由f（x）＜0即[x-（a-1）][x-（a+1）]＜0解得a-1＜x＜a+1，那么不等式f（f（x））＜0⇒a-1＜f（x）＜a+1 （*）又f（x）=（x-a）2-1当x=a时，f（x）取得最小值-1即函数的值域为[-1，+∞）若原不等式的解集为空集，则（*）的解集为空集，那么（a-1，a+1）与值域的交集为空集所以a+1≤-1所以a≤-2．故答案为：a≤-2．由f（x）＜0解得a-1＜x＜a+1，不等式f（f（x））＜0⇒a-1＜f（x）＜a+1，原不等式的解集为空集，得到a-1＜f（x）＜a+1解集为空集，那么（a-1，a+1）与值域的交集为空集，求出a的范围．本题考查了由一元二次不等式的解集求参数的范围，属于中档题．14.【答案】10000【解析】解：x∈[0，1）时，f（x）=（x-1）2+2（x-1）+1=x2，令f（x）=x-，得：x2-x+=0，∴x1+x2=1；x∈[1，2）时，f（x）=（x-1）2+1，令f（x）=x-，得：x3+x4=3，x∈[3，4）时，f（x）=（x-2）2+2，令f（x）=x-，得：x5+x6=5，…，x∈[n，n+1）时，f（x）=（x-n）2+n，令f（x）=x-，得：x2n+1+x2n+2=2n+1，x∈[99，100]时，f（x）=（x-99）2+99，令f（x）=x-，得：x199+x200=199，∴1+3+5+…+199=10000，故答案为：10000．根据函数的解析式分别求出各段上方程的根的和，找出规律作和即可．本题考查了分段函数问题，考查了分类讨论以及二次函数的性质，是一道基础题．15.【答案】解：（1）由正弦定理得sin B cos C+sin C cos B=2sin A cosA，即sin（B+C）=2sin A cosA，则sin A=2sin A cosA，在三角形中，sin A≠0，∴cos A=，即A=；（2）若•=，则AB•AC cosA=AB•AC=，即AB•AC=2，则△ABC的面积S=AB•AC sinA==．【解析】（1）根据正弦定理结合两角和差的正弦公式，即可求角A的大小；（2）若•=，根据向量的数量积，求出AB•AC的大小即可，求△ABC的面积本题主要考查正弦定理的应用，以及三角形面积的计算，利用向量数量积的公式是解决本题的关键．16.【答案】解：（1）∵函数f（x）有最大值，所以a≥0，不满足题意；∴，∴8a2+17a+2=0，∴a=-2或a=-．（2）f（x）=ax2+x-a＞1，即ax2+x-（a+1）＞0，即（x-1）（ax+a+1）＞0a=0时，解集为（1，+∞）a＞0时，解集为（-∞，-1）∪（1，+∞）．【解析】（1）函数f（x）有最大值，则，解之，即可求实数a的值；（2）f（x）=ax2+x-a＞1，即ax2+x-（a+1）＞0，即（x-1）（ax+a+1）＞0，再分类讨论，确定不等式的解集．本题考查函数的最值，考查解不等式，解题的关键是确定方程两根的大小关系．17.【答案】证明：（1）：连接BC1，设BC1∩B1C=F，连接OF，…2分因为O，F分别是B1D与B1C的中点，所以OF∥DC，且，又E为AB中点，所以EB∥DC，且d1=1，从而，即四边形OEBF是平行四边形，所以OE∥BF，…6分又OE⊄面BCC1B1，BF⊂面BCC1B1，所以OE∥面BCC1B1．…8分（2）因为DC⊥面BCC1B1，BC1⊂面BCC1B1，所以BC1⊥DC，…10分又BC1⊥B1C，且DC，B1C⊂面B1DC，DC∩B1C=C，所以BC1⊥面B1DC，…12分而BC1∥OE，所以OE⊥面B1DC，又OE⊂面B1DE，所以面B1DC⊥面B1DE．…14分【解析】（1）：连接BC1，设BC1∩B1C=F，连接OF，可证四边形OEBF是平行四边形，又OE⊄面BCC1B1，BF⊂面BCC1B1，可证OE∥面BCC1B1．（2）先证明BC1⊥DC，再证BC1⊥面B1DC，而BC1∥OE，OE⊥面B1DC，又OE⊂面B1DE ，从而可证面B1DC⊥面B1DE．本题主要考察了平面与平面垂直的判定，直线与平面平行的判定，属于基本知识的考查．18.【答案】解：（1）由题意，当药剂质量为m=4，所以y=4f（x）=，当0＜x≤4时+8≥4，显然符合题意．当x＞4时≥4，解得4＜x≤16，综上0＜x≤16．所以自来水达到有效净化一共可持续16天．（2）由y=m•f（x）=，得在区间（0，4]上单调递增，即2m＜y≤3m；在区间（4，7]上单调递减，即，综上，为使4≤y≤10恒成立，只要且3m≤10即可，即．所以应该投放的药剂质量m的最小值为．【解析】本题考查分段函数的应用，考查函数的单调性及应用：求值域，注意函数的各段解析式，属于中档题．（1）由题意，写出y=4f（x）=，再对每一段考虑大于等于4，解出x的范围，求并集即可；（2）由y=m•f（x）=，确定各段的单调性，求出值域，再求并集，为使4≤y≤10恒成立，则4≤y min，且10≥y max即可．19.【答案】解：（1）若f k（x）是偶函数，则f k（-x）=f k（x），即2-x+（k-1）•2x=2x+（k-1）•2-x，即2-x-2x=（k-1）•2-x-（k-1）•2x=（k-1）（2-x-2x），则k-1=1，即k=2；（2）f0（x）=2x-2-x，f1（x）=2x，则不等式f0（x）+mf1（x）≤4等价为2x-2-x+m2x≤4，∵A∩[1，2]≠∅，∴不等式在[1，2]内有解，即m2x≤4-2x+2-x，则m≤=4•2-x+（2-x）2-1，设t=2-x，∵1≤x≤2，∴≤t≤，设4•2-x+（2-x）2-1=t2+4t-1，则y=t2+4t-1=（t+2）2-5，∵≤t≤，∴当t=时，函数取得最大值y=+2-1=，要使不等式在[1，2]内有解，则m≤，即实数m的取值范围是；（3）f0（x）=2x-2-x，f2（x）=2x+2-x，则f2（2x）=22x+2-2x=（2x-2-x）2+2，则g（x）=λf0（x）-f2（2x）-2=λ（2x-2-x）-（2x-2-x）2-4，设t=2x-2-x，当x≥1时，函数t=2x-2-x，为增函数，则t≥2-=，若g（x）在x∈[1，+∞）有零点，即g（x）=λ（2x-2-x）-（2x-2-x）2-4=λt-t2-4=0，在t≥上有解，即λt=t2+4，即λ=t+，∵t+≥2=4，当且仅当t=，即t=2时取等号，∴λ≥4，即λ的取值范围是[4，+∞）．【解析】本题主要考查函数与方程的综合应用，求出函数的解析式，利用参数分离法转化为最值问题是解决本题的关键．考查学生的转化能力．（1）根据函数是偶函数，建立方程进行求解即可．（2）根据A∩[1，2]≠∅，等价为不等式在[1，2]内有解，利用参数分离法进行转化求解即可．（3）求出g（x）的解析式，根据函数存在零点转化为方程有根，利用参数分离法进行求解即可．20.【答案】解：（1）证明：f′（x）=1，g′（x）=2x+2，则由定义得，得方程无解，则f（x）=x与g（x）=x2+2x-2不存在“S点”；（2）f′（x）=2ax，g′（x）=，x＞0，由f′（x）=g′（x）得=2ax，得x=，f（）=-=g（）=-ln a2，得a=；（3）f′（x）=-2x，g′（x）=，（x≠0），由f′（x0）=g′（x0），假设b＞0，得b=-＞0，得0＜x0＜1，由f（x0）=g（x0），得-x02+a==-，得a=x02-，令h（x）=x2--a=，（a＞0，0＜x＜1），设m（x）=-x3+3x2+ax-a，（a＞0，0＜x＜1），则m（0）=-a＜0，m（1）=2＞0，得m（0）m（1）＜0，又m（x）的图象在（0，1）上不间断，则m（x）在（0，1）上有零点，则h（x）在（0，1）上有零点，则存在b＞0，使f（x）与g（x）在区间（0，+∞）内存在“S”点．【解析】（1）根据“S点”的定义解两个方程，判断方程是否有解即可；（2）根据“S点”的定义解两个方程即可；（3）分别求出两个函数的导数，结合两个方程之间的关系进行求解判断即可．本题主要考查导数的应用，根据条件建立两个方程组，判断方程组是否有解是解决本题的关键．。

第二学期高二数学期中测试卷数 学（理科）一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上） 1．复数2+i 1−2i的共轭复数是 ．2．由①正方形的对角线相等；②平行四边形的对角线相等；③正方形是平行四边形，根据“三段论”推理出一个结论，则这个结论是 ．3．已知a →=(−3，2，5)，b →=(1，x ，−1)，且a →⋅b →=2，则x 的值是 ． 4．把4封不同的信投入3个不同的信箱，不同的投法种数共有 种．5．若直线l 的方向向量为（4，2，m ），平面α的法向量为（2，1，﹣1），且l ⊥α，则m ＝ ． 6．从1，3，5，7，9这五个数中，每次取出两个不同的数分别为a ，b ，共可得到lga ﹣lgb 的不同值的个数是 ．7．已知a →=（3，﹣2，﹣3），b →=（﹣1，x ﹣1，1），且a →与b →的夹角为钝角，则x 的取值范围是 ．8．6个人排成一行，其中甲、乙两人不相邻的不同排法共有 种．（用数字作答） 9．在数学归纳法的递推性证明中，由假设n ＝k 时成立推导n ＝k +1时成立时，f(n)=1+12+13+⋯+12n −1增加的项数是 10．如图在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，已知A 1A →=a →，A 1B 1→=b →，A 1D 1→=c →，O 为底面ABCD 的中心，G 为△D 1C 1O 的重心，则AG →=11．将序号分别为1，2，3，4，5的5张参观券全部分给4人，每人至少1张，如果分给同一人的2张参观券连号，那么不同的分法种数是 ．12．已知结论：“在三边长都相等的△ABC 中，若D 是BC 的中点，G 是△ABC 外接圆的圆心，则AGGD=2”．若把该结论推广到空间，则有结论：“在六条棱长都相等的四面体ABCD中，若M 是△BCD 的三边中线的交点，O 为四面体ABCD 外接球的球心，则AOOM= ．13．小明和爸爸妈妈、爷爷奶奶一同参加《中国诗词大会》的现场录制，5人坐成一排．若小明的父母至少有一人与小明相邻，则不同的坐法总数为 ． 14．观察下列等式： ①cos2α＝2cos 2α﹣1； ②cos4α＝8cos 4α﹣8cos 2α+1；③cos6α＝32cos 6α﹣48cos 4α+18cos 2α﹣1；④cos8α＝128cos 8α﹣256cos 6α+160cos 4α﹣32cos 2α+1； ⑤cos10α＝m cos 10α﹣1280cos 8α+1120cos 6α+n cos 4α+p cos 2α﹣1； 可以推测，m ﹣n +p ＝ ．二、解答题（本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15．设z 为复数z 的共轭复数，满足|z −z |＝2√3． （1）若z 为纯虚数，求z ； （2）若z −z 2为实数，求|z |．16．有4名男生、5名女生，全体排成一行，问下列情形各有多少种不同的排法？ （1）甲不在中间也不在两端； （2）甲、乙两人必须排在两端； （3）男女相间．17．如图，四棱锥P ﹣ABCD 中，底面四边形ABCD 为矩形，P A ⊥底面ABCD ，P A ＝AD ＝2AB ＝2，F 为BC 的中点，PE →=λEC →．（1）若λ＝2，求异面直线PD 与EF 所成角的余弦值； （2）若λ=12，求二面角E ﹣AF ﹣C 的余弦值．18．（1）已知正数a ，b ，c 成等差数列，且公差d ≠0，求证：1a ，1b，1c不可能是等差数列．（2）设实数c ＞0，整数p ＞1，n ∈N *．证明：当x ＞﹣1且x ≠0时，（1+x ）p ＞1+px ． 19．如图，在四棱锥E ﹣ABCD 中，平面ABE ⊥底面ABCD ，侧面AEB 为等腰直角三角形，∠AEB =π2，底面ABCD 为直角梯形，AB ∥CD ，AB ⊥BC ，AB ＝2CD ＝2BC （1）求直线EC 与平面ABE 所成角的正弦值；（2）线段EA 上是否存在点F ，使EC ∥平面FBD ？若存在，求出EF EA；若不存在，说明理由．20．在数列{a n }中，a 1＝1，a n +1=√a n 2−2a n +2−1（n ∈N *）． （1）求a 2，a 3的值 （2）证明：①0≤a n ≤1； ②a 2n ＜14＜a 2n +1．一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上）1．﹣i．2．正方形的对角线相等3．5．4．815．﹣26．18．7．x＞﹣2且x≠−5 3．8．480．9．2k．10．23a→+12b→+56c→．11．96．12 313．84．14．962．二、解答题（本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15．（1）设z＝bi，b∈R，则z=−bi，因为|z−z|＝2√3，则|2bi|＝2√3，即|b|=√3⋯所以b=±√3，所以z=±√3i⋯（6分）（2）设z＝a+bi，（a，b∈R），则z=a﹣bi，因为|z−z|＝2√3，则|2bi|＝2√3，即|b|=√3．…（7分）z−z2＝a+bi﹣（a﹣bi）2＝a﹣a2+b2+（b+2ab）i．因为z−z2为实数，所以b+2ab＝0…因为|b|=√3，所以a=−1 2，…所以|z|=√(−12)2+(±√3)2=√132⋯16．（1）先排甲有6种，其余有A88种，∴共有6•A 88＝241920种排法．（2）先排甲、乙，再排其余7人，共有A 22•A 77＝10080种排法．（3）先排4名男生有A 44种方法，再将5名女生插在男生形成的5个空上有A 55种方法， 故共有A 44•A 55＝2880种排法．17．（1）四棱锥P ﹣ABCD 中，底面四边形ABC D 为矩形，P A ⊥底面ABCD ，P A ＝AD ＝2AB ＝2，F 为BC 的中点，PE →=λEC →． 以A 为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，AP 为z 轴，建立空间直角坐标系，当λ＝2时，P （0，0，2），D （0，2，0），C （1，2，0），E （23，43，23），F （1，1，0），PD →=（0，2，﹣2），EF →=（13，−13，−23），设异面直线PD 与EF 所成角为θ， 则异面直线PD 与EF 所成角的余弦值为： cosθ=|PD →⋅EF →||PD →|⋅|EF →|=23√8⋅√69=√36．（2）当λ=12，E （13，23，43），A （0，0，0），F （1，1，0），C （1，2，0），AE →=（13，23，43），AF →=（1，1，0），设平面AEF 的法向量n →=（x ，y ，z ），则{n →⋅AE →=13x +23y +43z =0n →⋅AF →=x +y =0，取x ＝1，得n →=（1，﹣1，14）， 平面AFC 的法向量m →=（0，0，1）， 设二面角E ﹣AF ﹣C 的平面角为θ， 则二面角E ﹣AF ﹣C 的余弦值为：cosθ=|m →⋅n →||m →|⋅|n →|=14√1+1+116=√3333．18．证明：（1）假设1a ，1b，1c是等差数列，则1b−1a=1c−1b，即a−b ab=b−c bc，∴a−b a=b−c c，∵a ，b ，c 成等差数列，且公差d ≠0， ∴a ﹣b ＝b ﹣c ≠0， ∴1a=1c ，∴a ＝c ，此时公差d ＝0，这与题设矛盾， ∴假设不成立，即1a ，1b，1c不可能是等差数列．（2）①当p ＝2时，（1+x ）2＝1+2x +x 2＞1+2x ，原不等式成立； ②假设p ＝k （k ≥2，k ∈N *）时，不等式（1+x ）k ＞1+kx 成立，当p ＝k +1时，（1+x ）k +1＝（1+x ）（1+x ）k ＞（1+x ）（1+kx ）＝1+（k +1）x +kx 2＞1+（k +1）x ，∴当p ＝k +1时，原不等式也成立，综合①②可得，当x ＞﹣1且x ≠0时，（1+x ）p ＞1+px ． 19．（1）因为平面ABE ⊥底面ABCD ，且AB ⊥BC ，所以BC ⊥平面ABE ，则∠CEB 即为直线EC 与平面ABE 所成的角， 设BC ＝a ，则AB ＝2a ，BE =√2a ，所以CE =√3a ， 则直角三角形CBE 中，sin ∠CEB =CBCE =3=√33，即直线EC 与平面ABE 所成角的正弦值为√33； （2）存在点F ，且EF EA=13时，有EC ∥平面FBD ，证明如下：解：连接AC 、BD 交于点M ，面ACE ∩面FBD ＝FM ． 因为EC ∥平面FBD ，所以EC ∥FM ．在梯形ABCD 中，有△DMC ∽△BMA ，可得MA ＝2MC ，∴AF ＝2FE ， 即点F 满足EF EA=13时，有EC ∥平面FBD ．20．（1）a 2＝0，a 3=√2−1，（2）设f （x ）=√(x −1)2+1−1，则a n +1＝f （a n ）， ①（i ）当n ＝1时，命题成立，（ii ）假设n ＝k 时，命题成立，即0≤a k ≤1，则当n ＝k +1时，易知f （x ）在（﹣∞，1]上为减函数，从而0＝f （1）≤f （a k ）≤f （0）=√2−1＜1， 即0≤a k ≤1，所以当n ＝k +1时结论成立， 由（i ），（ii ）可知命题成立， ②先证a 2n ＜a 2n +1，（n ∈N *），（i ）当n ＝1时，0＝a 2＜a 3=√2−1，即n ＝1时命题成立， （ii ）假设n ＝k 时，命题成立，即a 2k ＜a 2k +1，（k ∈N *），则当n ＝k +1时，由①f （x ）在（﹣∞，1]上为减函数，得a 2k +1＝f （a 2k ）＞f （a 2k +1）＝a 2k +2，故a 2k +2＝f （a 2k +1）＞f （a 2k +2）＝a 2k +3， 所以当n ＝k +1时结论成立， 由（i ），（ii ）a 2n ＜a 2n +1，（n ∈N *）， 再证a 2n ＜14＜a 2n +1，由上可知，a 2n ＜√a 2n 2−2a 2n +2−1，即（a 2n +1）2＜a 2n 2﹣2a 2n +2，因此a 2n ＜14，由f （x ）在（﹣∞，1]上为减函数，得f （a 2n ）＞f （a 2n +1），即a 2n +1＞a 2n +2，所以a 2n +1＞√a 2n+12−2a 2n+1+2−1，即a 2n +1＞14，所以a 2n ＜14＜a 2n +1．。

期中数学试卷（理科）题号一二总分得分一、填空题（本大题共14小题，共70.0分）1.=______．2.若i是虚数单位，且复数z满足z=3-i，则|z|=______．3.用反证法证明命题“如果m＜n，那么m7＜n7”时，假设的内容应该是______．4.若，则x的值为______．5.已知复数（i是虚数单位），则ω3-2=______．6.用灰、白两种颜色的正六边形瓷砖按如图所示的规律拼成若干个图案，则第6个图案中正六边形瓷砖的个数是______．7.有这样一段“三段论”推理，对于可导函数f（x），大前提：如果f′（x0）=0，那么x=x0是函数f（x）的极值点；小前提：因为函数f（x）=x3在x=0处的导数值f′（0）=0，结论：所以x=0是函数f（x）=x3的极值点．以上推理中错误的原因是______错误（填大前提、小前提、结论）．8.用数学归纳法证明1＋＋＋…＋<n(n∈N*，n>1)时，第一步应验证不等式为__________．9.在△AOB的边OA上有4个点，边OB上有5个点，加上O点共10个点，以这10个点为顶点的三角形有个______．10.已知复数z满足等式|z-1-i|=1，则|z-3|的最大值为______．11.某学校将甲、乙等6名新招聘的老师分配到4个不同的年级，每个年级至少分配1名教师，且甲、乙两名老师必须分到同一个年级，则不同的分法种数为______．12.如图（1）所示，点O是△ABC内任意一点，连结AO，BO，CO，并延长分别交对边于A1，B1，C1，则，类比猜想：点O是空间四面体VBCD内的任意一点，如图（2）所示，连结VO，BO，CO，DO并延长分别交平面BCD，平面VCD，平面VBD，平面VBC于点V1，B1，C1，D1，则有______．13.设二项展开式，则a0+a1+2a2+3a3+4a4+5a5+6a6=______．14.54张扑克牌，将第1张扔掉，第2张放到最后，第3张扔掉，第4张放到最后，依次下去，当手中最后只剩下一张扑克牌时，这张是最开始的扑克牌顺序中从上面数的第______张．二、解答题（本大题共6小题，共90.0分）15.已知复数z=（m2-5m+6）+（m-2）i（m∈R）．（1）若复数z为纯虚数，求实数m的值；（2）若复数z在复平面内对应的点在第二象限，求实数m的取值范围．16.在二项式的展开式中，前三项的系数依次成等差数列．（1）求展开式中的所有有理项；（2）求二项式系数最大的项．17.把5件不同产品摆成一排．（1）若产品A必须摆在正中间，排法有多少种？（2）若产品A必须摆在两端，产品B不能摆在两端的排法有多少种？（3）若产品A与产品B相邻，且产品A与产品C不相邻，则不同的排法有多少种？18.已知数列{a n}的前n项和为S n，且a1=1，S n=n2a n（n∈N*）．（1）写出S1，S2，S3，S4，并猜想S n的表达式；（2）用数学归纳法证明你的猜想，并求出a n的表达式．19.已知圆具有以下性质：设A，B是圆C：x2+y2=r2（r＞0）上关于原点对称的两点，点P是圆上的任意一点．若直线PA，PB的斜率都存在并分别记为k PA，k PB，则k PA•k PB=-1，是与点P的位置无关的定值．（1）试类比圆的上述性质，写出椭圆的一个类似性质，并加以证明；（2）如图，若椭圆M的标准方程为，点P在椭圆M上且位于第一象限，点A，B分别为椭圆长轴的两个端点，过点A，B分别作l1⊥PA，l2⊥PB，直线l1，l2交于点C，直线l1与椭圆M的另一交点为Q，且，求λ的取值范围（可直接使用（1）中证明的结论）．20.（1）用反证法证明：若角A，B为三角形ABC的内角，且A＞B，则cos B＞0；（2）证明：当a＞0，b＞0，且a≠b时，有．答案和解析1.【答案】60【解析】解：=5×4×3=60．故答案为：60．根据排列数公式计算即可，本题主要考查了排列数公式，属于基础题．2.【答案】【解析】解：∵z=3-i，∴|z|=．故答案为：．由已知直接代入复数模的计算公式求解．本题考查复数模的求法，是基础题．3.【答案】m7≥n7【解析】【分析】本题主要考查用命题的否定，反证法证明数学命题的方法和步骤，属于基础题．由于用反证法证明命题时，应先假设命题的否定成立，而“m7＜n7”的否定为：“m7≥n7”，由此得出结论．【解答】解：∵用反证法证明命题时，应先假设命题的否定成立，而“m7＜n7”的否定为：“m7≥n7”，∴假设的内容应该是“m7≥n7”，故答案为：m7≥n7.4.【答案】3或4【解析】解：由组合数的公式和性质得x=2x-3，或x+2x-3=9，得x=3或x=4，经检验x=3或x=4都成立，故答案为：3或4结合组合数公式结合性质进行求解即可．本题主要考查组合数公式的计算，结合组合数的性质建立方程关系是解决本题的关键．5.【答案】-1【解析】解：∵，∴ω3-2===．故答案为：-1．把代入ω3-2，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础题．6.【答案】37【解析】解：第1个图案中有灰色瓷砖6块，白色瓷砖1块第2个图案中有灰色瓷砖11块，白色瓷砖2块；第3个图案中有灰色瓷砖16块，白色瓷砖3块；…设第n个图案中有瓷砖a n块，用数列{a n}表示，则a1=6+1=7，a2=11+2=13，a3=16+3=19，可知a2-a1=a3-a2=6，…∴数列{a n}是以7为首项，6为公差的等差数列，∴a n=7+6（n-1）=6n+1，∴a6=37，故答案为：37通过已知的几个图案找出规律，可转化为求一个等差数列的通项公式问题即可．本题考查了归纳推理的问题，属于基础题7.【答案】大前提【解析】解：∵大前提是：“对于可导函数f（x），如果f'（x0）=0，那么x=x0是函数f （x）的极值点”，不是真命题，因为对于可导函数f（x），如果f'（x0）=0，且满足当x＞x0时和当x＜x0时的导函数值异号时，那么x=x0是函数f（x）的极值点，∴大前提错误，故答案为：大前提．在使用三段论推理证明中，如果命题是错误的，则可能是“大前提”错误，也可能是“小前提”错误，也可能是推理形式错误，我们分析的其大前提的形式：“对于可导函数f（x），如果f'（x0）=0，那么x=x0是函数f（x）的极值点”，不难得到结论．本题考查的知识点是演绎推理的基本方法，演绎推理是一种必然性推理，演绎推理的前提与结论之间有蕴涵关系．因而，只要前提是真实的，推理的形式是正确的，那么结论必定是真实的，但错误的前提可能导致错误的结论．8.【答案】【解析】【分析】直接利用数学归纳法写出n=2时左边的表达式即可，不等式的左边需要从1加到，不要漏掉项．在利用数学归纳法证明问题中，第一步是论证n=n0时结论是否成立，此时一定要分析不等式左边的项的特点，不能多写也不能少写，否则会引起答案的错误．【解答】解：用数学归纳法证明（n∈N+，n＞1）时，第一步应验证不等式为：1+＜2；故答案为：1+＜2.9.【答案】90【解析】解：C310-C35-C36=90．故答案为：90构成三角形的三个点不共线，所以在12个点中任意取3个点构成三角形的情况中把在同一直线上的点除外即可此题既考查了计数原理的知识，又复习了构成三角形的条件，是一道较容易的题目10.【答案】【解析】解：|z-1-i|=1的几何意义为复平面内动点到定点（1，1）距离为1的点的轨迹，如图：由图可知，|z-3|的最大值为．故答案为：．由题意画出图形，数形结合得答案．本题考查复数模的求法，考查数形结合的解题思想方法，是基础题．11.【答案】240【解析】解：6名老师分配到4个不同的年级，每个年级至少分配1名教师，则四个年级的人数为1，1，1，3或1，1，2，2，因为甲、乙两名老师必须分到同一个年级，所以若甲乙一组3个人，则从剩余4人选1人和甲乙1组，有C=4，然后全排列有4A =96，若人数为1，1，2，2，则甲乙一组，剩余4人分3组，从剩余4人选2人一组有C=6，然后全排列有6A=144，共有144+96=240，故答案为：240．根据人数进行分组分1，1，1，3或1，1，2，2，结合甲乙一组，然后进行讨论即可．本题主要考查排列组合的应用，结合条件进行分组，讨论人数关系是解决本题的关键．12.【答案】【解析】解：利用类比推理，猜想，点O是空间四面体V-BCD内的任意一点，连结VO ，BO，CO，DO并延长分别交面BCD，VCD，VBD，VBC于点V1，B1，C1，D1，应有；故答案为：．先根据所给的定理写出猜想的定理，把面积类比成体积，把面积之和等于1，写成体积之和等于1，再进行证明．本题主要考查类比推理，用平面中图形的线段的性质类比立体图形中的体积的性质，属于基础题．13.【答案】82【解析】解：二项展开式，两边对x求导可得：6×3（3x-2）5=a1+2a2x+3a3x2+4a4x3+5a5x4+6a6x5．令x=1，可得：a1+2a2+3a3+4a4+5a5+6a6=18．由二项展开式，令x=0，可得：a0=（-2）6=64．∴a0+a1+2a2+3a3+4a4+5a5+6a6=18+64=82．故答案为：82．二项展开式，两边对x求导可得：6×3（3x-2）5=a1+2a2x+3a3x2+4a4x3+5a5x4+6a6x5．令x=1，可得：a1+2a2+3a3+4a4+5a5+6a6．由二项展开式，令x=0，可得：a0=（-2）6．即可得出结论．本题考查了二项式定理的求值、导数运算法则，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．14.【答案】44【解析】解：第一次剩下的卡片是27张：2，4，6，8，10，12，14，16，18，20， (54)，第二次剩下的卡片是14张：54，4，8，12，16，20，24，28，32，36，40，44，48，52，第三次剩下的卡片是7张：4，12，20，28，36，44，52，第四次剩下的卡片是4张：52，12，28，44，第五次剩下的卡片是2张：12，44．第六次剩下的卡片是1张：44．故答案为：44．根据题意第一次扔掉的是奇数，剩下能被2整除的数，共剩27张；第二次扔掉后，剩下了能被4整除的数和54；第三步由于首先扔掉了54，所以剩下了4，12，20，28，36，44，52；第四步剩下12，28，44；第五步因为上次扔掉52，所以留下12与44；第六次再扔掉12，所以剩下44．此题主要考查了数字规律，对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．15.【答案】解：（1）若复数z为纯虚数，则，得，得m=3．（2）复数对应点的坐标为（m2-5m+6，m-2），若对应的点在第二象限，则，得，得2＜m＜3，即实数m的取值范围是（2，3）．【解析】本题主要考查复数的有关概念以及复数的几何意义，属于基础题．（1）根据纯虚数的定义建立不等式组进行求解即可．（2）根据复数的几何意义求出点的坐标，结合点位于第二象限，建立不等式关系进行求解．16.【答案】解：由题知，该二项式展开式的通项为∵二项展开式的前三项的系数分别为1，，n（n-1）∴2=1+n（n-1），解得n=8或n=1（不合题意，舍去）…4分∴T r+1=•••=•2-r•，当4-∈Z时，T r+1为有理项，又0≤r≤8且k∈Z，∴r=0，4，8符合要求故有理项有3项，分别是：T1=x4，T5=x，T9=x-2，∵n=8，∴展开式中共9项，中间一项即第5项的系数最大，T5=x【解析】本题考查二项式定理及二项式系数的性质，考查分析与运算能力，属于中档题．二项展开式的前三项的系数分别为1，，n（n-1）成等差数列，可求得n，利用二项展开式的通项公式即可求得展开式中的有理项和二项式系数最大的项．17.【答案】解：（1）A摆在正中间，其他4个产品进行全排列，故共有A=24（种）排法（2）分三步：第一步将A摆个两端，有2种，第二步将B摆在中间位置之一，有3种排法，第三步将剩余的3件产品摆在余下3个位置，有A种排法，故共有2×3×A=36（种）排法．（3）将A，B捆绑在一起，有A种排法，再将它们与其他3件产品全排列，有A种排法，共有A A=48（种）排法．而A，B，C三件在一起、且A，B相邻，A，C相邻，有CAB，BAC两种情况．将这3件与剩下2件全排列．有2A=12（种）排法．故产品A与产品B相邻，且产品A与产品C不相邻共有48-12=36（种）．【解析】本题主要考查排列组合的应用，结合元素优先或位置优先法以及相邻问题捆绑法，不相邻问题插空法是解决本题的关键．排列组合问题中常用的方法．（1）利用元素优先法，先安排A的位置，然后在排其他元素（2）利用元素优先或位置优先进行排列即可（3）根据相邻问题捆绑法，不相邻问题插空法进行求解或利用排除法进行求解18.【答案】解：（1）：∵a1=1，S n=n2a n，∴S1=a1=1，当n=2时，S2=a1+a2=4a2，解得a2=，S2=1+=，当n=3时，S3=a1+a2+a3=9a3，解得a3=，S3=1++==，当n=4时，S4=a1+a2+a3+a4=16a4，解得a4=，S4=，∴S n=（2）下面用数学归纳法证①当n=1时，结论显然成立．②假设当n=k时结论成立，即S k=，则当n=k+1时，则S k+1=（k+1）2a k+1=（k+1）2（S k+1-S k），∴（k2+2k）S k+1=（k+1）2S k=（k+1）2，∴S k+1=故当n=k+1时结论也成立．由①、②可知，对于任意的n∈N*，都有S n=，∵S n=n2a n，∴a n===【解析】（1）先根据数列的前n项的和求得S1，S2，S3，S4，可知分母和分子分别是等差数列进而可猜想出S n．（2）用数学归纳法证明数列问题时分为两个步骤，第一步，先证明当n=1时，结论显然成立，第二步，先假设当n=k+1时，有S k=，利用此假设证明当n=k+1时，结论也成立即可．本题主要考查数学归纳法，数学归纳法的基本形式设P（n）是关于自然数n的命题，若1°P（n0）成立2°假设P（k）成立（k≥n0），可以推出P（k+1）成立，则P（n）对一切大于等于n0的自然数n都成立．19.【答案】解：（1）性质：设A，B是上关于原点对称的两点，点P是圆上的任意一点．若直线PA，PB的斜率都存在并分别记为k PA，k PB，则k PA•k PB是与点P的位置无关的定值．证明：设点A（x1，y1），则B（-x1，-y1），P（x0，y0），则，．∴k PA•k PB==．∴k PA•k PB是与点P的位置无关的定值；（2）设AP的斜率为k，P（x0，y0），∵点P在椭圆M上且位于第一象限，∴0＜k＜．由（1）中结论可知，k PA•k PB=-，则BP的斜率为．∵l1⊥PA，l2⊥PB，∴，AC方程为y=-，，则BC方程为y=．由，解得y=，即．设Q（x0，y0），C（x C，y C），∵，且直线AC的斜率为，∴BQ的斜率为，则BQ的方程为．联立，得y=，即y0=，则λ=．∵0，∴λ∈（）．【解析】（1）利用类比推理得：设A，B是上关于原点对称的两点，点P是圆上的任意一点．若直线PA，PB的斜率都存在并分别记为k PA，k PB，则k PA•k PB是与点P的位置无关的定值．设点A（x1，y1），则B（-x1，-y1），P（x0，y0），把点的坐标代入椭圆方程，结合斜率公式证明；（2）设AP的斜率为k，P（x0，y0），由点P在椭圆M上且位于第一象限，求得0＜k ＜．结合（1）中结论可知，k PA•k PB=-，再由l1⊥PA，l2⊥PB，分别得到AC，BC的斜率，写出直线方程，联立求得C的纵坐标，同理再求出Q的纵坐标，可得λ=，结合k的范围得答案．本题考查类比推理，考查直线与椭圆位置关系的应用，考查计算能力，是难题．20.【答案】证明：（1）假设cos B≤0，因为B三角形ABC的内角，所以B∈（0，π），则B∈[，π），因为A＞B，则A＞，则A+B＞π，这与A+B＜π矛盾，故假设不成立，因此cos B＞0，（2）根据对称性，不妨设a＞b＞0，第11页，共11页①＜⇔ln a -ln b ＜⇔ln ＜⇔2ln x ＜x -，x =且x ＞1，设f （x ）=2ln x -x +，x ＞1，则f ′（x ）=-（-1）2＜0，所以f （x ）在（1，+∞）上单调递减，所以f （x ）＜f （1）=0，即2ln x ＜x -，故＜．②＜⇔ln a -ln b ＞⇔ln ＞⇔ln x ＞，x =且x ＞1，令g （x ）=ln x -，x ＞1，则g ′（x ）=＞0，所以g （x ）在（1，+∞）上单调递增，所以g （x ）＞g （1）=0，即ln x ＞，故＜，综上所述当a ＞0，b ＞0，且a ≠b 时，有．【解析】（1）假设cos B ≤0，推出矛盾即可证明，（2）根据对称性，不妨设a ＞b ＞0，①＜⇔ln ＜⇔2ln x ＜x -，x =且x ＞1，构造函数，利用导数即可证明，②＜⇔ln ＞⇔ln x ＞，x =且x ＞1，构造函数，利用导数即可证明本题考查了反证法和不等式的证明，考查了导数和函数最值得关系，属于难题。

江苏省 2020 版高二下学期期中数学试卷（理科）（II）卷姓名:________班级:________成绩:________一、 选择题： (共 10 题；共 20 分)1. （2 分） (2018·浙江模拟) 设复数 满足为虚数单位 ，则A. B.i C. D.1 2. （2 分） (2019 高二下·拉萨月考) 现有 6 名同学去听同时进行的 5 个课外知识讲座，每名同学可自由选 择其中的一个讲座，不同选法的种数是（ ） A. B. C.D.3. （2 分） (2020 高二下·中山期中) 若 A. B.C.D.4. （2 分） 根据下边给出的数塔猜测 123456 9+8=（ ）1 9+2=11第 1 页 共 12 页，则（ ）12 9+3=111 123 9+4=1111 1234 9+5=11111 A . 1111110 B . 1111111 C . 1111112 D . 11111135.（2 分）(2016·湖南模拟) 若 A.6的展开式中的常数项为 a，则的值为（ ）B . 20C.8D . 246. （2 分） (2017 高二下·淄川期末) 某单位有 7 个连在一起的车位，现有 3 辆不同型号的车需停放，如果 要求剩余的 4 个车位连在一起，则不同的停放方法的种数为（ ）A . 16B . 18C . 24D . 327. （2 分） (2019·浙江) 已知 x，y 是实数，则“x+y≤1”是“x≤ 或 y≤ ”的（ ） A . 充分而不必要条件B . 必要而不充分条件C . 充分必要条件第 2 页 共 12 页D . 既不充分也不必要条件8. （2 分） (2016 高二上·包头期中) 已知方程﹣=1 表示双曲线，那么 k 的取值范围是（ ）A . k＞5B . ﹣2＜k＜2C . k＞2 或 k＜﹣2D . k＞5 或﹣2＜k＜29. （2 分） (2019 高二上·葫芦岛月考) 已知抛物线的焦点为 ， ， 是该抛物线上的两点，且，则线段的中点到 轴的距离是（ ）A.B.C. D.10. （2 分） (2017 高二上·定州期末) 已知函数 f（x）=（a＞0，且 a≠1）在 R 上单调递减，且关于 x 的方程|f（x）|=2﹣x 恰好有两个不相等的实数解，则 a 的取值范围是（ ）A . （0， ]B.[ ， ]C . [ ， ]∪{ }D . [ ， ）∪{ }二、 填空题： (共 5 题；共 5 分)第 3 页 共 12 页11. （1 分） 若不等式|x﹣3|≤x+ 的解集为空集，则 a 的取值范围为________12. （1 分） (2016 高二下·连云港期中) 计算 + + +…+=________．13. （1 分） (2016 高二下·新余期末) 已知在等差数列{an}中， 数列{bn}中，类似的结论为________．，则在等比14. （1 分） (2020·吉林模拟) 若函数与满足：存在实数 ，使得，则称函数为的“友导”函数．已知函数围是________为函数的“友导”函数，则 k 的取值范15. （1 分） (2018 高三上·重庆月考) 若实数 ________.满足约束条件三、 解答题： (共 6 题；共 55 分)16. （10 分） (2020 高二下·嘉定期末) 已知复数，（1） 若，求实数 m 的取值范围；则，.的最大值是（2） 若 是关于 的方程的一个根，求实数 m 与 n 的值.17. （10 分） (2020·如皋模拟) 若正项数列则称数列为“数列”.的首项为 ，且当数列是公比为 2 的等比数列时，（1） 已知数列 的通项公式为，证明：数列为“数列”；（2） 若数列为“数列”，且对任意，、、成等差数列，公差为 .①求 与间的关系；②若数列为递增数列，求 的取值范围.18. （5 分） 如图，多面体 AEDBFC 的直观图及三视图如图所示，M，N 分别为 AF，BC 的中点．第 4 页 共 12 页（1）求证：MN∥平面 CDEF； （2）求多面体 A﹣CDEF 的体积； （3）求证：CE⊥AF．19. （10 分） (2019 高二下·大庆期末) 设点 P 在曲线 y＝x2 上，从原点向 A(2,4)移动，如果直线 OP，曲线 y＝x2 及直线 x＝2 所围成的面积分别记为 S1、S2.（1） 当 S1＝S2 时，求点 P 的坐标； （2） 当 S1＋S2 有最小值时，求点 P 的坐标和最小值． 20. （5 分） (2017 高一上·泰州月考) 某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券类稳健型 产品的收益与投资额成正比，投资股票类风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比.已知两类产品各投资 1 万元时的收益分别为 0.125 万元和 0.5 万元，如图：（Ⅰ）分别写出两类产品的收益 （万元）与投资额 （万元）的函数关系；第 5 页 共 12 页（Ⅱ）该家庭有 20 万元资金，全部用于理财投资，问：怎么分配资金能使投资获得最大收益，最大收益是多 少万元？21. （15 分） (2019 高一上·武汉月考) 设函数①对任意正数 ，都有；②当是定义在 上的函数，并且满足下面三个条件：时，；③.（1） 求，的值；（2） 证明在上是减函数；（3） 如果不等式成立，求 的取值范围.第 6 页 共 12 页一、 选择题： (共 10 题；共 20 分)1-1、参考答案2-1、 3-1、4-1、 5-1、 6-1、7-1、 8-1、 9-1、 10-1、二、 填空题： (共 5 题；共 5 分)11-1、12-1、 13-1、 14-1、 15-1、第 7 页 共 12 页三、 解答题： (共 6 题；共 55 分)16-1、 16-2、 17-1、第 8 页 共 12 页17-2、第 9 页 共 12 页18-1、第 10 页 共 12 页19-1、19-2、20-1、21-1、21-2、21-3、。