江苏省2018高二期末试卷数学(无附加题)含答案

2018学年江苏高二下学期期末考试数学（文科）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题．．卡相应位置上．．．．．．. 1.已知集合A ＝{1，3}，B ＝{1，4，5}，则A ∪B ＝ ▲ ． 2.已知复数z ＝(4＋3i)2(i 为虚数单位)，则z 的实部为 ▲ ．3. 一个原命题的逆否命题是“若x ＝1，则x 2－2x ＜0”，那么该原命题是 ▲ 命题．（填“真”或“假”）．4.函数f (x )＝5－4x －x 2的定义域是 ▲ ．5.以双曲线x 22－y 2＝1的左焦点为焦点的抛物线的标准方程为 ▲ ．6.函数f (x )＝2x (0＜x ＜1)，其值域为D ，在区间(－1，2)上随机取一个数x ，则x ∈D 的概率是 ▲ ．7.某地区为了了解居民每天的饮水状况，采用分层抽样的方法随机抽取100名年龄在[10，20)，[20，30)，…，[50，60]年龄段的市民进行问卷调查，由此得到样本的频率分布直方图如图所示，则[30，40)年龄段应抽取的人数为 ▲ ．8.如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的s 值等于 ▲ ．9.观察下列各式：a ＋b ＝1，a 2＋b 2＝3，a 3＋b 3＝4，a 4＋b 4＝7，a 5＋b 5＝11，…，则a 8＋b 8NY第7题 第7题第8题开始k ＜4结束k ←1，s ←1s ←2s-k k ←k+1输出s等于 ▲ ．10.从集合A ＝{－2，－1，1，2}中随机取一个数为m ，从集合B ＝{－1，1，2，3}中随机取一个数为n ，则方程x 2m ＋y 2n ＝1表示双曲线的概率为 ▲ ．11.设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 是椭圆C 上的点，PF 2⊥F 1F 2，∠PF 1F 2＝θ，若cos θ＝13，则椭圆C 的离心率为 ▲ ．12.函数f (x )满足f (x ＋2)＝f (x )(x ∈R )，且在区间[－1，1)上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2sin πx 3，﹣1≤x ≤0x ＋3，0＜x ＜1，则f (f (2019))＝ ▲ ．13.已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝12(|x －1|＋|x －2|－3)．若函数g (x )＝f (x ) －ax 恰有三个不同的零点，则实数a 的取值范围为 ▲ ．14.已知函数f (x )＝|x |e x (x ∈R )，其中e 为自然对数的底数，g (x )＝－x 2＋2ax －2(a ∈R ),若A ＝{x |f (g (x ))＞e}＝R ，则a 的取值范围是 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分。

2018年江苏高二下学期期末考试数学（理科）参考公式：方差2211()ni i s x x n ==-∑一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡．．．相应位置上．．．．．. 1．设i 为虚数单位，复数2iz i+=，则z 的模||z = ▲ . 2．一根木棍长为5米，若将其任意锯为两段，则锯成的两段木棍的长度都大于2米的概率为 ▲ . 3．命题“若0a =，则复数(,)z a bi a b R =+∈为纯虚数”的逆命题．．．是 ▲ 命题.（填“真”或“假”） 4．已知一组数据为2，3，4，5，6，则这组数据的方差为 ▲ .5．将一颗骰子抛掷两次，用m 表示向上点数之和，则10m ≥的概率为 ▲ .6．用分层抽样的方法从某校学生中抽取1个容量为45的样本，其中高一年级抽20人，高三年级抽10人.已知该校高二年级共有学生300人，则该校学生总数为 ▲ . 7．函数()y f x =在点(1,)P m 处切线方程为60x y +-=，则(1)(1)f f '+= ▲ . 8．若21(2)nx x -的展开式中所有二项式系数和为64，则展开式中的常数项是 ▲ . 9．根据如图所示的伪代码可知,输出的结果为 ▲ . 10．若2624101201256(2)x a a x a x a x a x +=+++++ ， 则0246a a a a +++= ▲ .11．已知m ∈R ，设命题P ：2,10x R mx mx ∀∈++>； 命题Q ：函数32()31f x x x m =-+-只有一个零点. 则使“P ∨Q ”为假命题的实数m 的取值范围为 ▲ .i ←1 S ←0 While i<8 S ←3i+S i ←i+2 End While Print S 第9题……222222(7)(3)(2)(6)(5)(1)-+-+-=-+-+-222222045126++=++ 222222*********++=++ 222222141819151620++=++……12．有编号分别为1，2，3，4，5的5个黑色小球和编号分别为1，2，3，4，5的5个白色小球，若选取的4个小球中既有1号球又有白色小球，则有 ▲ 种不同的选法.13．观察下列等式：请你归纳出一般性结论 ▲ .14．乒乓球比赛,三局二胜制.任一局甲胜的概率是(01)p p <<,甲赢得比赛的概率是q ,则q p -的最大值为 ▲ .二、解答题：本大题共6小题，共计90分。

2018学年江苏高二下学期期末考试数学（文科）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题．．卡相应位置上．．．．．．. 1.已知集合A ＝{1，3}，B ＝{1，4，5}，则A ∪B ＝ ▲ ． 2.已知复数z ＝(4＋3i)2(i 为虚数单位)，则z 的实部为 ▲ ．3. 一个原命题的逆否命题是“若x ＝1，则x 2－2x ＜0”，那么该原命题是 ▲ 命题．（填“真”或“假”）．4.函数f (x )＝5－4x －x 2的定义域是 ▲ ．5.以双曲线x 22－y 2＝1的左焦点为焦点的抛物线的标准方程为 ▲ ．6.函数f (x )＝2x (0＜x ＜1)，其值域为D ，在区间(－1，2)上随机取一个数x ，则x ∈D 的概率是 ▲ ．7.某地区为了了解居民每天的饮水状况，采用分层抽样的方法随机抽取100名年龄在[10，20)，[20，30)，…，[50，60]年龄段的市民进行问卷调查，由此得到样本的频率分布直方图如图所示，则[30，40)年龄段应抽取的人数为 ▲ ．8.如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的s 值等于 ▲ ．9.观察下列各式：a ＋b ＝1，a 2＋b 2＝3，a 3＋b 3＝4，a 4＋b 4＝7，a 5＋b 5＝11，…，则a 8＋b 8NY第7题 第7题第8题开始k ＜4结束k ←1，s ←1s ←2s-k k ←k+1输出s等于 ▲ ．10.从集合A ＝{－2，－1，1，2}中随机取一个数为m ，从集合B ＝{－1，1，2，3}中随机取一个数为n ，则方程x 2m ＋y 2n ＝1表示双曲线的概率为 ▲ ．11.设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 是椭圆C 上的点，PF 2⊥F 1F 2，∠PF 1F 2＝θ，若cos θ＝13，则椭圆C 的离心率为 ▲ ．12.函数f (x )满足f (x ＋2)＝f (x )(x ∈R )，且在区间[－1，1)上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2sin πx 3，﹣1≤x ≤0x ＋3，0＜x ＜1，则f (f (2019))＝ ▲ ．13.已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝12(|x －1|＋|x －2|－3)．若函数g (x )＝f (x ) －ax 恰有三个不同的零点，则实数a 的取值范围为 ▲ ．14.已知函数f (x )＝|x |e x (x ∈R )，其中e 为自然对数的底数，g (x )＝－x 2＋2ax －2(a ∈R ),若A ＝{x |f (g (x ))＞e}＝R ，则a 的取值范围是 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分。

2017-2018学年江苏省苏州市高二（下）期末数学试卷（理科）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.请把答案直接填写在答卷卡相应的位置.1．（5分）已知复数（i为虚数单位），则|z|＝．2．（5分）双曲线的离心率是．3．（5分）函数y＝2x﹣ln（x﹣1）的极值点为x0，则x0＝．4．（5分）“x＞1”是“x＞3”的条件．（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充分必要”、“既不充分也不必要”之一）5．（5分）现有5个人排成一排，则甲恰在正中间的排法有种．（用数字作答）6．（5分）抛物线y2＝4x上位于第一象限内的一点到焦点的距离是3，则该点坐标是．7．（5分）若离散型随机变量X的分布列为则X的数学期望E（X）＝．8．（5分）若（m为正整数且m≥4），则m＝．9．（5分）已知，则a1+a2+…+a5的值是．10．（5分）已知圆C的圆心在直线2x﹣y＝0上，且经过A（6，2），B（4，8）两点，则圆C的标准方程是．11．（5分）如图，在体积为V1的圆柱中挖去以圆柱上下底面为底面、共顶点的两个圆锥，剩余部分的体积为V2，则＝．12．（5分）若函数在其定义域上单调递减，则称函数f（x）是“L函数”．已知f （x）＝ax2+2是“L函数”，则实数a的取值范围是．13．（5分）过曲线y＝2|x﹣a|+x﹣a上的点P向圆O：x2+y2＝1作两条切线P A，PB，切点为A，B，且∠APB＝60°，若这样的点P有且只有两个，则实数a的取值范围是．14．（5分）已知a≠0，函数f（x）＝ae x，g（x）＝alnx+b，若存在一条直线与曲线y＝f（x）和y＝g（x）均相切，则使不等式恒成立的最小整数m的值是．二、解答题：本大题共6小题，共90分.请在答题卡区域内作答，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．（15分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，△P AB是正三角形，D，E分别为AB，AC的中点，∠ABC＝90°．求证：（1）DE∥平面PBC；（2）AB⊥PE．16．（15分）某公司年会举行抽奖活动，每位员工均有一次抽奖机会．活动规则如下：一只盒子里装有大小相同的6个小球，其中3个白球，2个红球，1个黑球，抽奖时从中一次摸出3个小球，若所得的小球同色，则获得一等奖，奖金为300元；若所得的小球颜色互不相同，则获得二等奖，奖金为200元；若所得的小球恰有2个同色，则获得三等奖，奖金为100元．（1）求小张在这次活动中获得的奖金数X的概率分布及数学期望；（2）若每个人获奖与否互不影响，求该公司某部门3个人中至少有2个人获二等奖的概率．17．（15分）已知，n∈N*．（1）当a＝1时，求f5（x）展开式中的常数项；（2）若二项式f n（x）的展开式中含有x7的项，当n取最小值时，展开式中含x的正整数次幂的项的系数之和为10，求实数a的值．18．（15分）如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面ABC的边长为2，侧棱长为4，M是线段AA1上一点，O是线段BC的中点，D为B1C1的中点．以为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系O﹣xyz．（1）若AM＝MA1，求直线B1C1和平面BMC1所成角的正弦值；（2）若二面角M﹣BC1﹣B1的正弦值为，求AM的长．19．（15分）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：的离心率为，焦点到相应准线的距离为，A，B分别为椭圆的左顶点和下顶点，P为椭圆C 上位于第一象限内的一点，P A交y轴于点E，PB交x轴于点D．（1）求椭圆C的标准方程；（2）若，求的值；（3）求证：四边形ABDE的面积为定值．20．（15分）已知函数f（x）＝x3﹣3x2+（2﹣t）x，f'（x）为f（x）的导函数，其中t∈R．（1）当t＝2时，求函数f（x）的单调区间；（2）若方程f（x）＝0有三个互不相同的根0，α，β，其中α＜β．①是否存在实数t，使得成立？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．②若对任意的x∈[α，β]，不等式f（x）≤16﹣t恒成立，求t的取值范围．理科附加A组（选修4-2：矩阵与变换）21．若圆C：x2+y2＝1在矩阵对应的变换下变成椭圆E：．（1）求a，b的值；（2）求矩阵A的逆矩阵A﹣1．22．已知，为矩阵的两个特征向量．（1）求矩阵M；（2）若，求M10β．B组（选修4-4：坐标系与参数方程）23．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（其中t为参数）．在以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，圆C的方程为ρ＝4cosθ．（1）分别写出直线l的普通方程和圆C的直角坐标方程；（2）若直线l与圆C相切，求实数a的值．24．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程是（其中φ为参数，0≤φ≤π）．在以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2的极坐标方程是ρ＝2，等边△ABC的顶点都在C2上，且点A，B，C依逆时针次序排列，点A的极角为．（1）求点A，B，C的直角坐标；（2）设P为C1上任意一点，求点P到直线BC距离的取值范围．2017-2018学年江苏省苏州市高二（下）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.请把答案直接填写在答卷卡相应的位置.1．【解答】解：复数z＝＝＝＝1+i，则|z|＝．故答案为：．2．【解答】解：∵双曲线中，a2＝1且b2＝3∴a＝1，b＝，可得c＝＝2因此双曲线的离心率e＝＝2故答案为：23．【解答】解：函数y＝2x﹣ln（x﹣1），可得y′＝2﹣，令2﹣＝0可得x＝，当x∈（1，）时，y′＜0，当x时，y′＞0，所以x＝是函数的极值点．故答案为：．4．【解答】解：由x＞3，一定有x＞1，反之，x＞1，不一定有x＞3．所以，“x＞1”是“x＞3”成立的必要不充分条件．故答案为：必要不充分．5．【解答】解：甲必须在中间，则其他4人对应其他4个位置，有A44＝24种情况，故答案为：24．6．【解答】解：抛物线y2＝4x的准线方程为x＝﹣1，∵抛物线y2＝4x上一点到其焦点距离为3，则该点到抛物线的准线的距离为3，∴所求点的横坐标为2，代入y2＝4x，得y＝±2 ．抛物线y2＝4x上位于第一象限内的一点为：（2，2）故答案为：（2，2）．7．【解答】解：离散型随机变量X的分布列可知：a+2a+＝1，解得a＝，所以离散型随机变量X的分布列为则X的数学期望E（X）＝＝．故答案为：．8．【解答】解：（m为正整数且m≥4），即为＝+＝，即有m+1＝7，解得m＝6，故答案为：6．9．【解答】解：（x+1）2（x+2）3＝（x2+2x+1）（x3+6x2+12x+8）＝x5+2x4+x3+6x4+12x3+6x2+12x3+24x2+12x+8x2+16x+8＝8+28x+38x2+25x3+8x4+x5，∴a1+a2+…+a5＝28+38+25+8+1＝100．故答案为：100．10．【解答】解：∵圆C的圆心在直线2x﹣y＝0上，可设圆心C（a，2a），∵圆经过A（6，2），B（4，8）两点，则CA＝CB，∴（a﹣6）2+（2a﹣2）2＝（a﹣4）2+（2a﹣8）2，求得a＝2，故圆心坐标C（2，4），半径CA＝＝2，则圆C的标准方程是（x﹣2）2+（y﹣4）2＝20，故答案为：（x﹣2）2+（y﹣4）2＝20．11．【解答】解：设圆锥与圆柱的底面面积为s，高为h，所以V1＝sh，V2＝sh﹣sh＝．则＝．故答案为：．12．【解答】解：由题意得：y＝在R递减，∵y′＝，∴﹣ax2+2ax﹣2≤0，即ax2﹣2ax+2≥0，∴a＝0或，解得：0≤a≤2，故答案为：[0，2]．13．【解答】解：根据题意，若经过点P作圆O：x2+y2＝1的两条切线，切点为A，B，且∠APB＝60°，则∠OAP＝30°，则有|PO|＝2|AO|＝2，则P的轨迹为x2+y2＝4，y＝2|x﹣a|+x﹣a＝，当x≤a时，曲线为x+y﹣a＝0，（x≤a），当x≥a时，曲线为3x﹣y﹣3a＝0，（x≥a），当a＜0时，若这样的点P有且只有两个，必有＜2，即﹣＜2，解可得a＞﹣，当a＝0时，曲线为y＝2|x|+x＝，符合题意，当a＞0时，若这样的点P有且只有两个，必有＜2，解可得a＜2，则a的取值范围为（﹣，2）；故答案为：（﹣，2）．14．【解答】解：函数f（x）＝ae x，g（x）＝alnx+b，导数为f′（x）＝ae x，g′（x）＝，设切点分别为（t，ae t），（n，alnn+b），与y＝f（x），y＝g（x）相切的直线方程为y﹣ae t＝ae t（x﹣t），y﹣alnn﹣b＝（x﹣n），由题意可得ae t＝，且﹣a+b+alnn＝（1﹣t）ae t，可得n＝e﹣t，b＝a+（1﹣t）ae t+ta，则＝1+t+（1﹣t）e t，由y＝1+t+（1﹣t）e t导数为y′＝1﹣te t，由y＝e t与y＝的交点只有一个，且t＞0，可得e t＝，即有＝1+t+＝t+∈[2，3），且t＝1时，取得等号，则m＞2，可得最小整数m＝3．故答案为：3．二、解答题：本大题共6小题，共90分.请在答题卡区域内作答，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．【解答】证明：（1）因为D，E分别为AB，AC的中点，所以DE∥BC，又DE⊄平面PBC，BC⊂平面PBC，所以DE∥平面PBC．（2）连结PD，因为DE∥BC，又∠ABC＝90°，所以DE⊥AB．又P A＝PB，D为AB的中点，所以PD⊥AB，又PD∩DE＝D，所以AB⊥平面PDE．因为PE⊂平面PDE，所以AB⊥PE．16．【解答】解：（1）小张在这次活动中获得的奖金数X的所有可能取值为100，200，300．，，，（或P（X＝100）＝1﹣P（X＝200）﹣P（X＝300）＝）所以奖金数X的概率分布为奖金数X的数学期望＝140（元）．（2）设3个人中获二等奖的人数为Y，则，所以（k＝0，1，2，3），设该公司某部门3个人中至少有2个人获二等奖为事件A，则P（A）＝P（Y＝2）+P（Y＝3）＝．答：该公司某部门3个人中至少有2个人获二等奖的概率为．17．【解答】解：（1）二项式的展开式通项为（r＝0，1，2，…，n），当n＝5，a＝1时，f5（x）的展开式的常数项为．（2）令2n﹣5r＝7，则，所以n的最小值为6，当n＝6时，二项式的展开式通项为（r＝0，1，2，…，6），则展开式中含x的正整数次幂的项为T1，T2，T3，它们的系数之和为，即15a2+2a﹣1＝0，解得或a＝．故实数a的值为﹣或．18．【解答】解：根据题意得B（1，0，0），B1（1，4，0），C1（﹣1，4，0），所以，，（1）当M是线段AA1的中点时，，，设平面BMC1的一个法向量为，则，得，即，取y＝1，得，设B1C1和平面BMC1所成角为θ，则＝，所以B1C1和平面BMC1所成角的正弦值为．（2）设AM＝a（0≤a≤4），则，，设平面BMC1的一个法向量为，则，得，即，取y＝1，得，显然是平面BC1B1的一个法向量，设二面角M﹣BC1﹣B1的大小为φ，则，所以＝，解得a＝1或3，所以AM的长为1或3．19．【解答】解：（1）设右焦点F（c，0），因为椭圆C的离心率为，所以，①又因为右焦点F到右准线的距离为，所以，②由①②得，a＝2，，b＝1，所以椭圆C的标准方程是．（2）因为，所以，直线AE的方程为，由，得，解得x＝﹣2（舍）或，可得，直线PB的方程为，令y＝0，得，所以．（3）设P（x0，y0）（x0＞0，y0＞0），则，即．直线AP的方程为，令x＝0，得．直线BP的方程为，令y＝0，得．所以四边形ABDE的面积＝＝＝为定值．20．【解答】解：（1）当t＝2时，f'（x）＝3x2﹣6x，令f'（x）＝3x2﹣6x＞0，得x＞2或x＜0，所以f（x）的单调增区间为（﹣∞，0）和（2，+∞）；令f'（x）＝3x2﹣6x＜0，得0＜x＜2，所以f（x）的单调减区间为（0，2）．（2）①由题意知α，β是方程x2﹣3x+（2﹣t）＝0的两个实根，所以，得．且α+β＝3，αβ＝2﹣t，α2+β2＝5+2t，由成立得，αf'（α）＝βf'（β），化简得3（α2+αβ+β2）﹣6（α+β）+（2﹣t）＝0，代入得3（5+2t+2﹣t）﹣6×3+（2﹣t）＝0，即5+2t＝0，解得，因为，所以这样的实数t不存在．②因为对任意的x∈[α，β]，f（x）≤16﹣t恒成立．由α+β＝3，αβ＝2﹣t，且α＜β，当时，有0＜α＜β，所以对x∈[α，β]，f（x）≤0，所以0≤16﹣t，解得t≤16．所以．当t＞2时，有α＜0＜β，f'（x）＝3x2﹣6x+（2﹣t），其判别式△＝（﹣6）2﹣12（2﹣t）＝12（t+1）＞0．由f'（x）＞0，得或，此时f（x）存在极大值点x1∈（α，0），且．由题得，将代入化简得，解得t≤11．因此2＜t≤11．综上，t的取值范围是．理科附加A组（选修4-2：矩阵与变换）21．【解答】解：（1）设点P（x，y）为圆C：x2+y2＝1上任意一点，经过矩阵A变换后对应点为P'（x'，y'），则，所以，代入椭圆方程得，又圆方程为x2+y2＝1，故，即，又a＞0，b＞0，所以a＝2，．（2）设，则，即，所以，解得，所以．22．【解答】解：（1）设矩阵M的特征向量对应的特征值为λ1，特征向量对应的特征值为λ2，则由，得，即，解得m＝0，n＝1，λ1＝2，λ2＝1，所以．（2）因为，所以＝．B组（选修4-4：坐标系与参数方程）23．【解答】解：（1）直线l的参数方程为（其中t为参数）．所以：直线l的直角坐标系方程是2x+y﹣a﹣2＝0，圆C的方程为ρ＝4cosθ．所以圆C的直角坐标方程是（x﹣2）2+y2＝4．（2）由（1）知圆心为C（2，0），半径r＝2，设圆心到直线的距离为d，因为直线与圆相切，所以，解得．24．【解答】解：（1）由x＝ρcosθ，y＝ρsinθ可得点A的直角坐标，由已知，B点的极坐标为，可得点B的直角坐标为，C点的极坐标为，可得点C的直角坐标为C（0，﹣2）；（2）由直线方程的两点式可得直线BC的方程为，设点P（cosφ，2sinφ）（0≤φ≤π），则点P到直线BC的距离＝（其中，），∵0≤φ≤π，∴θ≤φ+θ≤π+θ，则，∴．。

2018江苏扬州高二数学第二学期期末试题（带答案理科）
c 1，4），
，
又；……8分
⑵由⑴可知，得点c 即，
取c中点F，连结DF，因为弧cD为半圆弧，所以，
即，则圆弧段造价预算为万元，
中，，则直线段cD造价预算为万元，
所以步行道造价预算，．……13分
由得当时，，
当时，，即在上单调递增；
当时，，即在上单调递减
所以在时取极大值，也即造价预算最大值为（）万元． (16)
分
19⑴因为，所以，
因为的值域为，所以，……3分
所以，所以，
所以；……5分
⑵因为是偶函数，所以，
又，所以，……8分
因为，不妨设，则，又，所以，
此时，
所以；……10分
⑶因为，所以，又，则，
因为，所以
则原不等式证明等价于证明“对任意实数，” ，
即……12分
先研究，再研究
① 记，，令，得，。

江苏省南京市中学2018年高二数学理期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知某物体的运动方程是S=t+t3，则当t=3s时的瞬时速度是（）A．10m/s B．9m/s C．4m/s D．3m/s参考答案：C【考点】导数的运算．【专题】计算题．【分析】求出位移的导数；将t=3代入；利用位移的导数值为瞬时速度；求出当t=3s时的瞬时速度．【解答】解：根据题意，S=t+t3，则s′=1+t2将t=3代入得s′（3）=4；故选C【点评】本题考查导数在物理中的应用：位移的导数值为瞬时速度．2. 将数列按“第n组有n个数”的规则分组如下:(1),(3,9),(27,81,243),…,则第100组中的第一个数是( )A．34949 B． 34950 C．34951 D．35049参考答案：B略3. 已知点，若直线过点与线段相交，则直线的斜率的取值范围是（）A． B． C． D．参考答案：C 解析：4. 某程序框图如图所示，若输出的S=57，则判断框内为（）（A） k＞4? （B）k＞5? （C）k＞6? （D）k＞7?参考答案：A略5. 已知二项分布ξ～B（4，），则该分布列的方差Dξ值为（）A．4 B．3 C．1 D．2参考答案：C【考点】CH：离散型随机变量的期望与方差；CN：二项分布与n次独立重复试验的模型．【分析】根据比例符合二项分布，根据所给的二项分布的表示式，把n，p，q的结果代入方差的公式，做出要求的方差的值．【解答】解：∵二项分布ξ～B（4，），∴该分布列的方差Dξ=npq=4××（1﹣）=1故选：C．6. 设曲线在点（1，1）处的切线与轴的交点的横坐标为,则的值为A. B.C. D. 1参考答案：C略7. 三棱锥A﹣BCD的所有棱长均为6，点P在AC上，且AP=2PC，过P作四面体的截面，使截面平行于直线AB和CD，则该截面的周长为（）A．16 B．12 C．10 D．8参考答案：B【考点】棱锥的结构特征．【分析】作PH∥CD，交AD于H，过H作HF∥AB，交BD于F，过FE∥CD，交BC于E，连结PE，则四边形PEFH是过P作四面体的截面，且截面平行于直线AB和CD，由AP=2PC，三棱锥A﹣BCD的所有棱长均为6，能求出该截面的周长．【解答】解：∵三棱锥A﹣BCD的所有棱长均为6，点P在AC上，且AP=2PC，过P作四面体的截面，使截面平行于直线AB和CD，作PH∥CD，交AD于H，过H作HF∥AB，交BD于F，过FE∥CD，交BC于E，连结PE，则四边形PEFH是过P作四面体的截面，且截面平行于直线AB和CD，∵AP=2PC，三棱锥A﹣BCD的所有棱长均为6，∴PH=EF=，HF=PE=，∴该截面PEFH的周长为：4+4+2+2=12．故选：B．【点评】本题考查截面的周长的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间培养．8. 已知复数满足，则的实部（）A.不小于B.不大于C.大于D.小于参考答案：B1. 已知集合,，则=A. B. C. D.参考答案：D略10. 设服从二项分布X～B(n，p)的随机变量X的均值与方差分别是15和，则n、p 的值分别是()A．50， B．60， C．50， D．60，参考答案：B由得二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知正三角形内圆的半径是高的，若把这个结论推广到空间正四面体，则正四面体的内切球的半径是高的___________.参考答案：略12. 若是正数，且满足，用表示中的最大者，则的最小值为___ _______参考答案：略13. 已知点，，则向量的坐标为▲.参考答案：（-5，6，-1）略14. 已知圆C的圆心与点P（﹣2，1）关于直线y=x+1对称．直线3x+4y﹣11=0与圆C相交于A，B两点，且|AB|=6，则圆C的方程为．参考答案：x2+（y+1）2=18【考点】直线与圆的位置关系．【专题】计算题；压轴题．【分析】要求圆C的方程，先求圆心，设圆心坐标为（a，b），根据圆心与P关于直线y=x+1对称得到直线PC垂直与y=x+1且PC的中点在直线y=x+1上分别列出方程①②，联立求出a和b即可；再求半径，根据垂径定理得到|AB|、圆心到直线AB的距离及圆的半径成直角三角形，根据勾股定理求出半径．写出圆的方程即可．【解答】解：设圆心坐标C（a，b），根据圆心与P关于直线y=x+1对称得到直线CP与y=x+1垂直，而y=x+1的斜率为1，所以直线CP的斜率为﹣1即=﹣1化简得a+b+1=0①，再根据CP的中点在直线y=x+1上得到=+1化简得a﹣b﹣1=0②联立①②得到a=0，b=﹣1，所以圆心的坐标为（0，﹣1）；圆心C到直线AB的距离d==3， |AB|=3所以根据勾股定理得到半径，所以圆的方程为x2+（y+1）2=18．故答案为：x2+（y+1）2=18【点评】此题是一道综合题，要求学生会求一个点关于直线的对称点，灵活运用垂径定理及点到直线的距离公式解决数学问题．会根据圆心和半径写出圆的方程．15. 已知，，且对任意的恒成立，则的最小值为__________．参考答案：3【分析】先令，用导数的方法求出其最大值，结合题中条件，得到，进而有，用导数方法求出的最大值，即可得出结果.【详解】因为，，且，令，则，令得，显然，所以当时，，单调递增；当时，，单调递减；因此；因为对任意的恒成立，所以；即，所以，因此，令，则，当时，，单调递增；当时，，单调递减；所以，故最小值为3，所以故答案为3【点睛】本题主要考查导数的应用，掌握导数的方法判断函数单调性，求函数最值即可，属于常考题型.16. 已知函数的导函数为，且满足，则＝ . 参考答案：略17. 将正整数1，2，3，…按照如图的规律排列，则100应在第列．参考答案：14【考点】归纳推理．【专题】推理和证明．【分析】先找到数的分布规律，求出第n列结束的时候一共出现的数的个数，每一列的数字都是从大大小按排列的，且每一列的数字个数等于列数，继而求出答案．【解答】解：由排列的规律可得，第n列结束的时候排了1+2+3+…+n﹣1=n（n+1）个数．每一列的数字都是从大大小按排列的，且每一列的数字个数等于列数，而第13列的第一个数字是13×（13+1）=91，第14列的第一个数字是14×（14+1）=105，故100应在第14列．故答案为：14【点评】此题主要考查了数字的变化规律，借助于一个三角形数阵考查数列的应用，是道基础题三、解答题：本大题共5小题，共72分。

2017-2018学年江苏省苏州市高二（下）期末数学试卷（理科）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.请把答案直接填写在答卷卡相应的位置.1．（5分）已知复数（i为虚数单位），则|z|＝．2．（5分）双曲线的离心率是．3．（5分）函数y＝2x﹣ln（x﹣1）的极值点为x0，则x0＝．4．（5分）“x＞1”是“x＞3”的条件．（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充分必要”、“既不充分也不必要”之一）5．（5分）现有5个人排成一排，则甲恰在正中间的排法有种．（用数字作答）6．（5分）抛物线y2＝4x上位于第一象限内的一点到焦点的距离是3，则该点坐标是．7．（5分）若离散型随机变量X的分布列为则X的数学期望E（X）＝．8．（5分）若（m为正整数且m≥4），则m＝．9．（5分）已知，则a1+a2+…+a5的值是．10．（5分）已知圆C的圆心在直线2x﹣y＝0上，且经过A（6，2），B（4，8）两点，则圆C的标准方程是．11．（5分）如图，在体积为V1的圆柱中挖去以圆柱上下底面为底面、共顶点的两个圆锥，剩余部分的体积为V2，则＝．12．（5分）若函数在其定义域上单调递减，则称函数f（x）是“L函数”．已知f （x）＝ax2+2是“L函数”，则实数a的取值范围是．13．（5分）过曲线y＝2|x﹣a|+x﹣a上的点P向圆O：x2+y2＝1作两条切线P A，PB，切点为A，B，且∠APB＝60°，若这样的点P有且只有两个，则实数a的取值范围是．14．（5分）已知a≠0，函数f（x）＝ae x，g（x）＝alnx+b，若存在一条直线与曲线y＝f（x）和y＝g（x）均相切，则使不等式恒成立的最小整数m的值是．二、解答题：本大题共6小题，共90分.请在答题卡区域内作答，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．（15分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，△P AB是正三角形，D，E分别为AB，AC的中点，∠ABC＝90°．求证：（1）DE∥平面PBC；（2）AB⊥PE．16．（15分）某公司年会举行抽奖活动，每位员工均有一次抽奖机会．活动规则如下：一只盒子里装有大小相同的6个小球，其中3个白球，2个红球，1个黑球，抽奖时从中一次摸出3个小球，若所得的小球同色，则获得一等奖，奖金为300元；若所得的小球颜色互不相同，则获得二等奖，奖金为200元；若所得的小球恰有2个同色，则获得三等奖，奖金为100元．（1）求小张在这次活动中获得的奖金数X的概率分布及数学期望；（2）若每个人获奖与否互不影响，求该公司某部门3个人中至少有2个人获二等奖的概率．17．（15分）已知，n∈N*．（1）当a＝1时，求f5（x）展开式中的常数项；（2）若二项式f n（x）的展开式中含有x7的项，当n取最小值时，展开式中含x的正整数次幂的项的系数之和为10，求实数a的值．18．（15分）如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面ABC的边长为2，侧棱长为4，M是线段AA1上一点，O是线段BC的中点，D为B1C1的中点．以为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系O﹣xyz．（1）若AM＝MA1，求直线B1C1和平面BMC1所成角的正弦值；（2）若二面角M﹣BC1﹣B1的正弦值为，求AM的长．19．（15分）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：的离心率为，焦点到相应准线的距离为，A，B分别为椭圆的左顶点和下顶点，P为椭圆C 上位于第一象限内的一点，P A交y轴于点E，PB交x轴于点D．（1）求椭圆C的标准方程；（2）若，求的值；（3）求证：四边形ABDE的面积为定值．20．（15分）已知函数f（x）＝x3﹣3x2+（2﹣t）x，f'（x）为f（x）的导函数，其中t∈R．（1）当t＝2时，求函数f（x）的单调区间；（2）若方程f（x）＝0有三个互不相同的根0，α，β，其中α＜β．①是否存在实数t，使得成立？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．②若对任意的x∈[α，β]，不等式f（x）≤16﹣t恒成立，求t的取值范围．理科附加A组（选修4-2：矩阵与变换）21．若圆C：x2+y2＝1在矩阵对应的变换下变成椭圆E：．（1）求a，b的值；（2）求矩阵A的逆矩阵A﹣1．22．已知，为矩阵的两个特征向量．（1）求矩阵M；（2）若，求M10β．B组（选修4-4：坐标系与参数方程）23．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（其中t为参数）．在以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，圆C的方程为ρ＝4cosθ．（1）分别写出直线l的普通方程和圆C的直角坐标方程；（2）若直线l与圆C相切，求实数a的值．24．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程是（其中φ为参数，0≤φ≤π）．在以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2的极坐标方程是ρ＝2，等边△ABC的顶点都在C2上，且点A，B，C依逆时针次序排列，点A的极角为．（1）求点A，B，C的直角坐标；（2）设P为C1上任意一点，求点P到直线BC距离的取值范围．2017-2018学年江苏省苏州市高二（下）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.请把答案直接填写在答卷卡相应的位置.1．【考点】A8：复数的模．【解答】解：复数z＝＝＝＝1+i，则|z|＝．故答案为：．【点评】本题考查了复数的运算法则、模的计算公式，属于基础题．2．【考点】KC：双曲线的性质．【解答】解：∵双曲线中，a2＝1且b2＝3∴a＝1，b＝，可得c＝＝2因此双曲线的离心率e＝＝2故答案为：2【点评】本题给出双曲线的方程，求双曲线的离心率．着重考查了双曲线的标准方程与基本概念的知识，属于基础题．3．【考点】6D：利用导数研究函数的极值．【解答】解：函数y＝2x﹣ln（x﹣1），可得y′＝2﹣，令2﹣＝0可得x＝，当x∈（1，）时，y′＜0，当x时，y′＞0，所以x＝是函数的极值点．故答案为：．【点评】本题考查函数的极值的求法，考查计算能力．4．【考点】29：充分条件、必要条件、充要条件．【解答】解：由x＞3，一定有x＞1，反之，x＞1，不一定有x＞3．所以，“x＞1”是“x＞3”成立的必要不充分条件．故答案为：必要不充分．【点评】本题考查必要条件、充分条件与充要条件．判断充要条件的方法是：①若p⇒q为真命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；②若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；③若p⇒q为真命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的充要条件；④若p⇒q为假命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的即不充分也不必要条件．5．【考点】D9：排列、组合及简单计数问题．【解答】解：甲必须在中间，则其他4人对应其他4个位置，有A44＝24种情况，故答案为：24．【点评】本题考查排列、组合的运用，一般要先处理特殊（受到限制的）元素．6．【考点】K8：抛物线的性质．【解答】解：抛物线y2＝4x的准线方程为x＝﹣1，∵抛物线y2＝4x上一点到其焦点距离为3，则该点到抛物线的准线的距离为3，∴所求点的横坐标为2，代入y2＝4x，得y＝±2 ．抛物线y2＝4x上位于第一象限内的一点为：（2，2）故答案为：（2，2）．【点评】本题主要考查了抛物线的简单性质．在涉及焦点弦和关于焦点的问题时常用抛物线的定义来解决，是中档题．7．【考点】CH：离散型随机变量的期望与方差．【解答】解：离散型随机变量X的分布列可知：a+2a+＝1，解得a＝，所以离散型随机变量X的分布列为则X的数学期望E（X）＝＝．故答案为：．【点评】本题考查离散型随机变量的分布列以及期望的求法，考查计算能力．8．【考点】D5：组合及组合数公式．【解答】解：（m为正整数且m≥4），即为＝+＝，即有m+1＝7，解得m＝6，故答案为：6．【点评】本题考查组合数公式和运用，考查方程思想和运算能力，属于基础题．9．【考点】DA：二项式定理．【解答】解：（x+1）2（x+2）3＝（x2+2x+1）（x3+6x2+12x+8）＝x5+2x4+x3+6x4+12x3+6x2+12x3+24x2+12x+8x2+16x+8＝8+28x+38x2+25x3+8x4+x5，∴a1+a2+…+a5＝28+38+25+8+1＝100．故答案为：100．【点评】本题考查二项展开式中系数的求法，考查二项式定理、通项公式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．10．【考点】J1：圆的标准方程．【解答】解：∵圆C的圆心在直线2x﹣y＝0上，可设圆心C（a，2a），∵圆经过A（6，2），B（4，8）两点，则CA＝CB，∴（a﹣6）2+（2a﹣2）2＝（a﹣4）2+（2a﹣8）2，求得a＝2，故圆心坐标C（2，4），半径CA＝＝2，则圆C的标准方程是（x﹣2）2+（y﹣4）2＝20，故答案为：（x﹣2）2+（y﹣4）2＝20．【点评】本题主要考查求圆的标准方程的方法，关键是求圆心和半径，属于中档题．11．【考点】L5：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【解答】解：设圆锥与圆柱的底面面积为s，高为h，所以V1＝sh，V2＝sh﹣sh＝．则＝．故答案为：．【点评】本题考查几何体的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力．12．【考点】3K：函数奇偶性的性质与判断．【解答】解：由题意得：y＝在R递减，∵y′＝，∴﹣ax2+2ax﹣2≤0，即ax2﹣2ax+2≥0，∴a＝0或，解得：0≤a≤2，故答案为：[0，2]．【点评】本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及二次函数的性质，是一道中档题．13．【考点】5B：分段函数的应用；JE：直线和圆的方程的应用．【解答】解：根据题意，若经过点P作圆O：x2+y2＝1的两条切线，切点为A，B，且∠APB＝60°，则∠OP A＝30°，则有|PO|＝2|AO|＝2，则P的轨迹为x2+y2＝4，y＝2|x﹣a|+x﹣a＝，当x≤a时，曲线为x+y﹣a＝0，（x≤a），当x≥a时，曲线为3x﹣y﹣3a＝0，（x≥a），当a＜0时，若这样的点P有且只有两个，必有＜2，即﹣＜2，解可得a＞﹣，当a＝0时，曲线为y＝2|x|+x＝，符合题意，当a＞0时，若这样的点P有且只有两个，必有＜2，解可得a＜2，则a的取值范围为（﹣，2）；故答案为：（﹣，2）．【点评】本题考查直线与圆的位置关系，涉及分段函数的图象，关键是分析曲线的图象，属于综合题．14．【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【解答】解：函数f（x）＝ae x，g（x）＝alnx+b，导数为f′（x）＝ae x，g′（x）＝，设切点分别为（t，ae t），（n，alnn+b），与y＝f（x），y＝g（x）相切的直线方程为y﹣ae t＝ae t（x﹣t），y﹣alnn﹣b＝（x﹣n），由题意可得ae t＝，且﹣a+b+alnn＝（1﹣t）ae t，可得n＝e﹣t，b＝a+（1﹣t）ae t+ta，则＝1+t+（1﹣t）e t，由y＝1+t+（1﹣t）e t导数为y′＝1﹣te t，由y＝e t与y＝的交点只有一个，且t＞0，可得e t＝，即有＝1+t+＝t+∈[2，3），且t＝1时，取得等号，则m＞2，可得最小整数m＝3．故答案为：3．【点评】本题考查导数的运用：求切线方程，考查基本不等式的运用，以及运算能力和推理能力，属于中档题．二、解答题：本大题共6小题，共90分.请在答题卡区域内作答，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．【考点】LS：直线与平面平行；LW：直线与平面垂直．【解答】证明：（1）因为D，E分别为AB，AC的中点，所以DE∥BC，又DE⊄平面PBC，BC⊂平面PBC，所以DE∥平面PBC．（2）连结PD，因为DE∥BC，又∠ABC＝90°，所以DE⊥AB．又P A＝PB，D为AB的中点，所以PD⊥AB，又PD∩DE＝D，所以AB⊥平面PDE．因为PE⊂平面PDE，所以AB⊥PE．【点评】本题考查线面平行、线线垂直的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．16．【考点】CG：离散型随机变量及其分布列；CH：离散型随机变量的期望与方差．【解答】解：（1）小张在这次活动中获得的奖金数X的所有可能取值为100，200，300．，，，（或P（X＝100）＝1﹣P（X＝200）﹣P（X＝300）＝）所以奖金数X的概率分布为奖金数X的数学期望＝140（元）．（2）设3个人中获二等奖的人数为Y，则，所以（k＝0，1，2，3），设该公司某部门3个人中至少有2个人获二等奖为事件A，则P（A）＝P（Y＝2）+P（Y＝3）＝．答：该公司某部门3个人中至少有2个人获二等奖的概率为．【点评】本题考查离散型随机变量的分布列以及期望的求法，考查计算能力．17．【考点】DA：二项式定理．【解答】解：（1）二项式的展开式通项为（r＝0，1，2，…，n），当n＝5，a＝1时，f5（x）的展开式的常数项为．（2）令2n﹣5r＝7，则，所以n的最小值为6，当n＝6时，二项式的展开式通项为（r＝0，1，2，…，6），则展开式中含x的正整数次幂的项为T1，T2，T3，它们的系数之和为，即15a2+2a﹣1＝0，解得或a＝．故实数a的值为﹣或．【点评】本题考查二项展开式中常数项的求法，考查实数值的求法，考查二项式定理等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．18．【考点】MI：直线与平面所成的角；MJ：二面角的平面角及求法．【解答】解：根据题意得B（1，0，0），B1（1，4，0），C1（﹣1，4，0），所以，，（1）当M是线段AA1的中点时，，，设平面BMC1的一个法向量为，则，得，即，取y＝1，得，设B1C1和平面BMC1所成角为θ，则＝，所以B1C1和平面BMC1所成角的正弦值为．（2）设AM＝a（0≤a≤4），则，，设平面BMC1的一个法向量为，则，得，即，取y＝1，得，显然是平面BC1B1的一个法向量，设二面角M﹣BC1﹣B1的大小为φ，则，所以＝，解得a＝1或3，所以AM的长为1或3．【点评】本题考查直线与平面以及平面与平面所成角的求法，考查空间向量的数量积的应用，考查计算能力．19．【考点】KL：直线与椭圆的综合．【解答】解：（1）设右焦点F（c，0），因为椭圆C的离心率为，所以，①又因为右焦点F到右准线的距离为，所以，②由①②得，a＝2，，b＝1，所以椭圆C的标准方程是．（2）因为，所以，直线AE的方程为，由，得，解得x＝﹣2（舍）或，可得，直线PB的方程为，令y＝0，得，所以．（3）设P（x0，y0）（x0＞0，y0＞0），则，即．直线AP的方程为，令x＝0，得．直线BP的方程为，令y＝0，得．所以四边形ABDE的面积＝＝＝为定值．【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查四边形的面积为定值的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意椭圆性质、韦达定理、直线与椭圆位置关系等知识点的合理运用20．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6E：利用导数研究函数的最值．【解答】解：（1）当t＝2时，f'（x）＝3x2﹣6x，令f'（x）＝3x2﹣6x＞0，得x＞2或x＜0，所以f（x）的单调增区间为（﹣∞，0）和（2，+∞）；令f'（x）＝3x2﹣6x＜0，得0＜x＜2，所以f（x）的单调减区间为（0，2）．（2）①由题意知α，β是方程x2﹣3x+（2﹣t）＝0的两个实根，所以，得．且α+β＝3，αβ＝2﹣t，α2+β2＝5+2t，由成立得，αf'（α）＝βf'（β），化简得3（α2+αβ+β2）﹣6（α+β）+（2﹣t）＝0，代入得3（5+2t+2﹣t）﹣6×3+（2﹣t）＝0，即5+2t＝0，解得，因为，所以这样的实数t不存在．②因为对任意的x∈[α，β]，f（x）≤16﹣t恒成立．由α+β＝3，αβ＝2﹣t，且α＜β，当时，有0＜α＜β，所以对x∈[α，β]，f（x）≤0，所以0≤16﹣t，解得t≤16．所以．当t＞2时，有α＜0＜β，f'（x）＝3x2﹣6x+（2﹣t），其判别式△＝（﹣6）2﹣12（2﹣t）＝12（t+1）＞0．由f'（x）＞0，得或，此时f（x）存在极大值点x1∈（α，0），且．由题得，将代入化简得，解得t≤11．因此2＜t≤11．综上，t的取值范围是．【点评】本题考查了函数的单调性，最值问题，考查韦达定理的应用以及参数问题，考查转化思想，是一道综合题．理科附加A组（选修4-2：矩阵与变换）21．【考点】OH：逆变换与逆矩阵．【解答】解：（1）设点P（x，y）为圆C：x2+y2＝1上任意一点，经过矩阵A变换后对应点为P'（x'，y'），则，所以，代入椭圆方程得，又圆方程为x2+y2＝1，故，即，又a＞0，b＞0，所以a＝2，．（2）设，则，即，所以，解得，所以．【点评】本题考查实数值的求法，考查矩阵的逆矩阵的求法，考查矩阵的变换、矩阵的乘法法则等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．22．【考点】OV：特征值与特征向量的计算．【解答】解：（1）设矩阵M的特征向量对应的特征值为λ1，特征向量对应的特征值为λ2，则由，得，即，解得m＝0，n＝1，λ1＝2，λ2＝1，所以．（2）因为，所以＝．【点评】本题考查矩阵的求法，考查矩阵的特征方程、待征向量、矩阵的乘法法则等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．B组（选修4-4：坐标系与参数方程）23．【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程；QH：参数方程化成普通方程．【解答】解：（1）直线l的参数方程为（其中t为参数）．所以：直线l的直角坐标系方程是2x+y﹣a﹣2＝0，圆C的方程为ρ＝4cosθ．所以圆C的直角坐标方程是（x﹣2）2+y2＝4．（2）由（1）知圆心为C（2，0），半径r＝2，设圆心到直线的距离为d，因为直线与圆相切，所以，解得．【点评】本题考查的知识要点：参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，点到直线距离公式的应用．24．【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程；QH：参数方程化成普通方程．【解答】解：（1）由x＝ρcosθ，y＝ρsinθ可得点A的直角坐标，由已知，B点的极坐标为，可得点B的直角坐标为，C点的极坐标为，可得点C的直角坐标为C（0，﹣2）；（2）由直线方程的两点式可得直线BC的方程为，设点P（cosφ，2sinφ）（0≤φ≤π），则点P到直线BC的距离＝（其中，），∵0≤φ≤π，∴θ≤φ+θ≤π+θ，则，∴．【点评】本题考查简单曲线的极坐标方程，考查极坐标与直角坐标的互化，考查点到直线距离公式的应用，是基础题．。

宿迁市2018－2018学年度第二学期期末试卷高二数学本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分总分：150分 考试时间：120分钟第I 卷（选择题：共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1、函数f(x)=2的导数是 （ ）A. 2B. 1 C . 0 D. 2x.2、在棱长为1的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，异面直线AB 与CD 1之间的距离是 （ ）A.2B.3C. 1D.3、高二年级12个班共有580人，要采用分层抽样的方法从高二年级的全体学生中抽取一个容量为60的样本，已知某班有58名学生，那么从该班抽取的学生数是 （ ）A. 5B. 6C. 10D. 12. 4、已知直线l ，m ，n 及平面α，下列命题中的假命题．．．是 （ ） A.若l ∥m ，m ∥n ，则l ∥nB.若l ⊥α，m ∥α，则l ⊥mC.若l ⊥m ，m ∥n ，则l ⊥nD.若l ∥α，n ∥α，则l ∥n.5、已知球面上两点的球面距离为1cm ，过这两点的球半径所成的角3π，则球的半径为 ()A.1πcm B.3πcm C. πcm D. 3πcm .6、已知函数f(x)=13x 3+12x 2+tx 是R 上的单调增函数，则t 的值可能是（ ）A. t=1B. t=0C. t = -1D. 不存在.7、一个半径为R 的球与体对角线长为l 的正方体的六个面都相切，则R 与l 的关系是 （ ）A. l =3RB. l =23RC. l =2RD. 2R=3l. 8、函数y=f(x)在 [a ,b]上（ ）A.极大值一定比极小值大B.极大值一定是最大值C.最大值一定是极大值D.最大值一定大于极小值. 9、5名工人分别要在3天中选择1天休息，不同方法的种数有（ ）A. 53B. 35C. 35CD. 35A .10、正三棱锥侧面均为直角三角形，其体积为32，则底面边长是 （ ）A. 1B. 2C. 3 D 4.11、4名学生参加数、理、化竞赛，每门学科至少有1人参加，则不同的参赛方案有（）A. 12种B. 24种C. 36种D. 48种.12、已知函数y=f(x)的导函数y=f ' (x)的图象如图所示，则y=f(x)的图象可能是下图中的（）二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中的横线上)13、已知曲线y =13x3+43，则过点P（2，4）的切线方程是.14、空间有3个平面，其中没有两个互相平行，则一共有________条交线.15、如图，在正三角形ABC中，D、E、F分别为各边的中点，G、H、I、J分别为AF、AD、BE、DE的中点，则将ΔABC沿DE、EF、FD折成三棱锥后，GH与IJ所在直线所成的角的大小为.16、杨辉是我国南宋著名的数学家，“杨辉三角”是杨辉的一大重要研究成果，其中蕴含了许多优美的规律（如图），“杨辉三角”中第14行从左到右第10与第11个数的比值为__________.第1行1 1第2行1 2 1第3行133 1第4行 1 4 6 4 1第5行1 5 10 10 5 1宿迁市高二年级2018－2018学年度第二学期期末试卷第Ⅱ卷（选择题：共60分）一、选择题：（共12题，每题5分）二、填空题：（共4题，每题4分）13 ；14 ；15 ；16 .三、解答题（本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17、（本小题满分12分）将5盆名花排成一列展览，（Ⅰ）牡丹花恰好放在正中间的概率；（Ⅱ）牡丹花、玫瑰花恰放在两端的概率.如图，在四棱锥P-ABCD中，PA、AB、AD两两互相垂直，BC∥AD，且AB=AD=2BC，E，F分别是PB、PD 的中点。

2017-2018学年江苏省苏州市高二（下）期末数学试卷（文科）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.请把答案直接填写在答卷卡相应的位置.1．（5分）已知集合A＝{1，2}，B＝{﹣1，a﹣1}．若A∩B＝{2}，则实数a的值为．2．（5分）已知复数（i为虚数单位），则|z|＝．3．（5分）双曲线的离心率是．4．（5分）曲线y＝2x﹣lnx在x＝1处的切线方程是．5．（5分）“x＞1”是“x＞3”的条件．（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充分必要”、“既不充分也不必要”之一）6．（5分）抛物线y2＝4x上位于第一象限内的一点到焦点的距离是3，则该点坐标是．7．（5分）函数的定义域为．8．（5分）设直线2x﹣y+4＝0的倾斜角为α，则的值为．9．（5分）设各项为正数的等比数列{a n}的前n项和为S n，已知a2＝6，a3﹣3a1＝12，则S5＝．10．（5分）已知圆C的圆心在直线2x﹣y＝0上，且经过A（6，2），B（4，8）两点，则圆C的标准方程是．11．（5分）如图，在体积为V1的圆柱中挖去以圆柱上下底面为底面、共顶点的两个圆锥，剩余部分的体积为V2，则＝．12．（5分）若函数在其定义域上单调递减，则称函数f（x）是“L函数”．已知f （x）＝ax2+2是“L函数”，则实数a的取值范围是．13．（5分）已知函数f（x）＝，若函数g（x）＝f（x）﹣ax有三个不同的零点，则实数a的取值范围是．14．（5分）过曲线y＝2|x﹣a|+x﹣a上的点P向圆O：x2+y2＝1作两条切线P A，PB，切点为A，B，且∠APB＝60°，若这样的点P有且只有两个，则实数a的取值范围是．二、解答题：本大题共6小题，共90分.请在答题卡区域内作答，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．（15分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，△P AB是正三角形，D，E分别为AB，AC的中点，∠ABC＝90°．求证：（1）DE∥平面PBC；（2）AB⊥PE．16．（15分）已知函数是奇函数．（1）求实数a的值；（2）若函数f（x）在区间上的值域为[n﹣2，m﹣2]，求m，n的值．17．（15分）已知函数．（1）求函数的单调增区间；（2）当时，求函数的取值范围．18．（15分）已知等差数列{a n}的前2m﹣1项中，奇数项的和为56，偶数项的和为48，且a2＝3（其中m∈N*）．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若，，…，，…是一个等比数列，其中k1＝1，k2＝5，求数列{k n}的通项公式；（3）若存在实数a，b，使得对任意n∈N*恒成立，求b﹣a的最小值．19．（15分）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：的离心率为，焦点到相应准线的距离为，A，B分别为椭圆的左顶点和下顶点，P为椭圆C 上位于第一象限内的一点，P A交y轴于点E，PB交x轴于点D．（1）求椭圆C的标准方程；（2）若，求的值；（3）求证：四边形ABDE的面积为定值．20．（15分）已知函数f（x）＝x3﹣3x2+（2﹣t）x，f'（x）为f（x）的导函数，其中t∈R．（1）当t＝2时，求函数f（x）的单调区间；（2）若方程f（x）＝0有三个互不相同的根0，α，β，其中α＜β．①是否存在实数t，使得成立？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．②若对任意的x∈[α，β]，不等式f（x）≤16﹣t恒成立，求t的取值范围．2017-2018学年江苏省苏州市高二（下）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.请把答案直接填写在答卷卡相应的位置.1．【考点】1E：交集及其运算．【解答】解：∵集合A＝{1，2}，B＝{﹣1，a﹣1}．A∩B＝{2}，∴a﹣1＝2，解得实数a＝3．故答案为：3．【点评】本题考查实数值的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．2．【考点】A8：复数的模．【解答】解：复数z＝＝＝＝1+i，则|z|＝．故答案为：．【点评】本题考查了复数的运算法则、模的计算公式，属于基础题．3．【考点】KC：双曲线的性质．【解答】解：∵双曲线中，a2＝1且b2＝3∴a＝1，b＝，可得c＝＝2因此双曲线的离心率e＝＝2故答案为：2【点评】本题给出双曲线的方程，求双曲线的离心率．着重考查了双曲线的标准方程与基本概念的知识，属于基础题．4．【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【解答】解：由函数y＝2x﹣lnx知y′＝2﹣，把x＝1代入y′得到切线的斜率k＝2﹣＝1，切点坐标为（1，2），切线方程为：y﹣2＝（x﹣1），即y＝x+1．故答案为：y＝x+1．【点评】考查学生会根据曲线的导函数求切线的斜率，从而利用切点和斜率写出切线的方程．5．【考点】29：充分条件、必要条件、充要条件．【解答】解：由x＞3，一定有x＞1，反之，x＞1，不一定有x＞3．所以，“x＞1”是“x＞3”成立的必要不充分条件．故答案为：必要不充分．【点评】本题考查必要条件、充分条件与充要条件．判断充要条件的方法是：①若p⇒q为真命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；②若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；③若p⇒q为真命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的充要条件；④若p⇒q为假命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的即不充分也不必要条件．6．【考点】K8：抛物线的性质．【解答】解：抛物线y2＝4x的准线方程为x＝﹣1，∵抛物线y2＝4x上一点到其焦点距离为3，则该点到抛物线的准线的距离为3，∴所求点的横坐标为2，代入y2＝4x，得y＝±2 ．抛物线y2＝4x上位于第一象限内的一点为：（2，2）故答案为：（2，2）．【点评】本题主要考查了抛物线的简单性质．在涉及焦点弦和关于焦点的问题时常用抛物线的定义来解决，是中档题．7．【考点】33：函数的定义域及其求法．【解答】解：由＞0，得＜0，解得﹣1＜x＜0．∴函数的定义域为（﹣1，0）．故答案为：（﹣1，0）．【点评】本题考查函数的定义域及其求法，考查分式不等式的解法，是基础题．8．【考点】GP：两角和与差的三角函数．【解答】解：∵直线2x﹣y+4＝0斜率k＝2．∴tanα＝2，则＝＝．故答案为：﹣3．【点评】本题考查两角和的正切，考查直线的斜率与倾斜角的关系，是基础题．9．【考点】89：等比数列的前n项和．【解答】解：∵设各项为正数的等比数列{a n}的前n项和为S n，a2＝6，a3﹣3a1＝12，∴，且q＞0，解得a1＝2，q＝3，S5＝＝242．故答案为：242．【点评】本题考查等比数列的前5项和的求法，考查等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．10．【考点】J1：圆的标准方程．【解答】解：∵圆C的圆心在直线2x﹣y＝0上，可设圆心C（a，2a），∵圆经过A（6，2），B（4，8）两点，则CA＝CB，∴（a﹣6）2+（2a﹣2）2＝（a﹣4）2+（2a﹣8）2，求得a＝2，故圆心坐标C（2，4），半径CA＝＝2，则圆C的标准方程是（x﹣2）2+（y﹣4）2＝20，故答案为：（x﹣2）2+（y﹣4）2＝20．【点评】本题主要考查求圆的标准方程的方法，关键是求圆心和半径，属于中档题．11．【考点】L5：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【解答】解：设圆锥与圆柱的底面面积为s，高为h，所以V1＝sh，V2＝sh﹣sh＝．则＝．故答案为：．【点评】本题考查几何体的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力．12．【考点】3K：函数奇偶性的性质与判断．【解答】解：由题意得：y＝在R递减，∵y′＝，∴﹣ax2+2ax﹣2≤0，即ax2﹣2ax+2≥0，∴a＝0或，解得：0≤a≤2，故答案为：[0，2]．【点评】本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及二次函数的性质，是一道中档题．13．【考点】57：函数与方程的综合运用．【解答】解：函数g（x）＝f（x）﹣ax有三个不同的零点，即为f（x）＝ax有三个不等实根，即y＝f（x）与直线y＝ax有三个交点，作出y＝f（x）的图象，当直线y＝ax经过点（3，）时，a＝；当直线y＝ax与直线y＝x﹣1平行时，a＝．由图象可得＜a＜时，两函数的图象有三个交点．故答案为：（，）．【点评】本题考查函数的零点个数问题解法，注意运用转化思想和数形结合思想，考查观察和分析能力，属于基础题．14．【考点】5B：分段函数的应用；JE：直线和圆的方程的应用．【解答】解：根据题意，若经过点P作圆O：x2+y2＝1的两条切线，切点为A，B，且∠APB＝60°，则∠OP A＝30°，则有|PO|＝2|AO|＝2，则P的轨迹为x2+y2＝4，y＝2|x﹣a|+x﹣a＝，当x≤a时，曲线为x+y﹣a＝0，（x≤a），当x≥a时，曲线为3x﹣y﹣3a＝0，（x≥a），当a＜0时，若这样的点P有且只有两个，必有＜2，即﹣＜2，解可得a＞﹣，当a＝0时，曲线为y＝2|x|+x＝，符合题意，当a＞0时，若这样的点P有且只有两个，必有＜2，解可得a＜2，则a的取值范围为（﹣，2）；故答案为：（﹣，2）．【点评】本题考查直线与圆的位置关系，涉及分段函数的图象，关键是分析曲线的图象，属于综合题．二、解答题：本大题共6小题，共90分.请在答题卡区域内作答，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．【考点】LS：直线与平面平行；LW：直线与平面垂直．【解答】证明：（1）因为D，E分别为AB，AC的中点，所以DE∥BC，又DE⊄平面PBC，BC⊂平面PBC，所以DE∥平面PBC．（2）连结PD，因为DE∥BC，又∠ABC＝90°，所以DE⊥AB．又P A＝PB，D为AB的中点，所以PD⊥AB，又PD∩DE＝D，所以AB⊥平面PDE．因为PE⊂平面PDE，所以AB⊥PE．【点评】本题考查线面平行、线线垂直的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．16．【考点】3N：奇偶性与单调性的综合．【解答】解：（1）函数f（x）的定义域为{x|x≠0，}，，所以恒成立，所以a＝2．（2）由题（1）得，所以，所以f（x）在函数（0，+∞）上为单调减函数．因为，所以，所以m，n是方程x2﹣6x+8＝0的两根，又因为m＞n＞1，所以m＝4且n＝2．【点评】本题主要考查函数奇偶性和单调性的应用，根据奇函数的定义以及函数的导数研究函数的单调性是解决本题的关键．17．【考点】GP：两角和与差的三角函数；H5：正弦函数的单调性；HW：三角函数的最值．【解答】解：（1）＝＝，所以．令，解得，即的单调增区间为，k∈Z．（2）由（1）知＝，所以＝＝＝．因为，所以，所以，所以函数的取值范围是．【点评】本题考查两角和与差的三角函数，三角函数的单调性以及函数的最值的求法，考查计算能力．18．【考点】8E：数列的求和．【解答】解：（1）由题意，，，因为a2+a2m﹣2＝a1+a2m﹣1，所以，解得m＝7．所以a1+a13＝16，因为a1+a13＝a2+a12，且a2＝3，所以a12＝13．设数列{a n}公差为d，则10d＝a12﹣a2＝10，所以d＝1．所以a1＝2，通项公式；（2）由题意，，，设这个等比数列公比为q，则．那么，另一方面，所以；（3）记，则＝，因为n∈N*，所以当n≥2时，﹣2n2+2n+3＝﹣2n（n﹣1）+3＜0，即c n+1＜c n，又，所以当n＝2时，c n的最大值为，所以．又c1＝0，当n＞1时，c n＞0，所以，当n＝1时，c n的最小值c1＝0，所以a≤0．综上，b﹣a的最小值为．【点评】本题考查等差数列和等比数列的通项公式的运用，考查方程思想和数列的单调性和运用，考查化简整理的运算能力和推理能力，属于中档题．19．【考点】KL：直线与椭圆的综合．【解答】解：（1）设右焦点F（c，0），因为椭圆C的离心率为，所以，①又因为右焦点F到右准线的距离为，所以，②由①②得，a＝2，，b＝1，所以椭圆C的标准方程是．（2）因为，所以，直线AE的方程为，由，得，解得x＝﹣2（舍）或，可得，直线PB的方程为，令y＝0，得，所以．（3）设P（x0，y0）（x0＞0，y0＞0），则，即．直线AP的方程为，令x＝0，得．直线BP的方程为，令y＝0，得．所以四边形ABDE的面积＝＝＝为定值．【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查四边形的面积为定值的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意椭圆性质、韦达定理、直线与椭圆位置关系等知识点的合理运用20．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6E：利用导数研究函数的最值．【解答】解：（1）当t＝2时，f'（x）＝3x2﹣6x，令f'（x）＝3x2﹣6x＞0，得x＞2或x＜0，所以f（x）的单调增区间为（﹣∞，0）和（2，+∞）；令f'（x）＝3x2﹣6x＜0，得0＜x＜2，所以f（x）的单调减区间为（0，2）．（2）①由题意知α，β是方程x2﹣3x+（2﹣t）＝0的两个实根，所以，得．且α+β＝3，αβ＝2﹣t，α2+β2＝5+2t，由成立得，αf'（α）＝βf'（β），化简得3（α2+αβ+β2）﹣6（α+β）+（2﹣t）＝0，代入得3（5+2t+2﹣t）﹣6×3+（2﹣t）＝0，即5+2t＝0，解得，因为，所以这样的实数t不存在．②因为对任意的x∈[α，β]，f（x）≤16﹣t恒成立．由α+β＝3，αβ＝2﹣t，且α＜β，当时，有0＜α＜β，所以对x∈[α，β]，f（x）≤0，所以0≤16﹣t，解得t≤16．所以．当t＞2时，有α＜0＜β，f'（x）＝3x2﹣6x+（2﹣t），其判别式△＝（﹣6）2﹣12（2﹣t）＝12（t+1）＞0．由f'（x）＞0，得或，此时f（x）存在极大值点x1∈（α，0），且．由题得，将代入化简得，解得t≤11．因此2＜t≤11．综上，t的取值范围是．【点评】本题考查了函数的单调性，最值问题，考查韦达定理的应用以及参数问题，考查转化思想，是一道综合题．。

2017-2018学年江苏省扬州市高二（下）期末数学试卷（理科）一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需要写出解答过程，请将答案填写在答题卡相应的位置上．）1．（5分）已知集合A＝{2}，B＝{1，a2}，若A∪B＝{0，1，2}，则实数a＝．2．（5分）已知i是虚数单位，则|1﹣2i|＝．3．（5分）若幂函数f（x）＝x a的图象经过点（3，），则实数a＝．4．（5分）若＝，则＝．5．（5分）若函数y＝f（x）的图象经过点（1，2），则y＝f（﹣x）+1的图象必经过的点坐标是．6．（5分）已知i是虚数单位，则复数z＝的共轭复数是．7．（5分）用数学归纳法证明：1＝2+3+…n2＝，则等式左端在n＝k+1时比在n＝k 时增加的项数为．8．（5分）点（x0，y0）到直线Ax+By+C＝0的距离公式为d＝，通过类比的方法，可求得：在空间中，点（1，1，2）到平面x+y+2z+3＝0的距离为．9．（5分）若复数z满足|z﹣1﹣2i|＝2，则|z|的最小值为．10．（5分）x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，并用{x}＝x﹣|x|表示x的小数部分，已知数列{a n}满足：a1＝，a n+1＝[a n]+，则a2018＝．11．（5分）分别在曲线y＝2lnx与直线y＝2x+3各取一点M，N，则MN的最小值为．12．（5分）某市旅游节分配志愿者工作，组委会将甲乙丙丁戊五名志愿者分配到翻译，导游，司机三个岗位，若每人不准兼职则不同的分配方案有种．13．（5分）设函数f（x）＝c x﹣a x﹣b x，其中c＞a＞0，c＞b＞0，若a，b，c是△ABC的三条边长，则下列结论正确的是．①∃x∈（﹣∞，1），使得f（x）≥0成立；②∀x∈R，a x，b x，c x总能构成一个三角形的三条边长；③若△ABC为直角三角形，则∀n∈N*，f（2n）≥0恒成立；④若△ABC为钝角三角形，则方程f（x）＝0在区间（1，2）必有解；14．（5分）定义在R的函数f（x）满足：f（x）+f（﹣x）＝x2，且当x≥0时，f′（x）＜x．设函数g（x）＝2e x+3x﹣a，若存在x0∈{x|f（x）﹣f（1﹣x）≥x﹣}，使得g[g（x0）]＝x0，则实数a的取值范围是．二、解答题（本大题共6小题，共计90分．请在答题纸指定区域内作答，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）15．（15分）全集U＝R，函数f（x）＝+lg（3﹣x）的定义域为A，则函数y＝lg2x﹣lgx+a在x∈[1，10]的值域为B．（1）求∁U A；（2）若A∪B＝A，求实数a的取值范围．16．（15分）若（x﹣）n展开式中的第四项的二项式系数是第二项的二项式系数的5倍，求：（1）n的值；（2）展开式中含x3的项．17．（15分）若命题p：关于x的不等式3x＜a的解集为空集；命题q：函数f（x）＝x3+ax2+x 在R上是增函数．．（1）若命题p∧q是真命题，求实数a的取值范围．（2）设命题m：函数y＝x2+bx+a的图象与x轴有公共点，若￢p是￢m的必要不充分条件，求实数b的取值范围．18．（15分）某中学旅游局欲将一块长20百米，宽10百米的矩形空地ABCD建成三星级乡村旅游园区，园区内有一景观湖EFG（如图中阴影部分）以AB所在直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系xOy，O为园区正门，园区北门P在y正半轴上，且PO＝10百米．景观湖的边界线符合函数y＝x+（x＞0）的模型．（1）若建设一条与AB平行的水平通道，将园区分成面积相等的两部分，其中湖上的部分建成玻璃栈道，求玻璃栈道的长度．（2）若在景观湖边界线上一点M修建游船码头，使得码头M到正门O的距离最短，求此时M点的横坐标．（3）设图中点B为仓库所在地，现欲在线段OB上确定一点Q建货物转运站，将货物从点B经Q点直线转运至点P（线路PQ不穿过景观湖），使货物转运距离QB+PQ最短，试确定点P的位置．19．（15分）如图在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2+（y﹣2）2＝1，且圆C与y 轴交于M，N两点（点N在点M的上方），直线l：y＝kx（k＞0）与圆C交于A，B两点．（1）若AB＝，求实数k的值．（2）设直线AM，直线BN的斜率分别为k1，k2，若存在常数a使得k1＝ak2恒成立？若存在，求出a的值．若不存在请说明理由．（3）若直线AM与直线BN相较于点P，求证点P在一条定直线上．20．（15分）已知f（x）＝x（lnx﹣ax）．（1）若a＝0，求函数f（x）的单调区间和最小值．（2）若f（x）有两个极值求实数a的取值范围．（3）若x1，x2∈（，1），且x1+x2＜1，比较x1x2与（x1+x2）4的大小，并说明理由．二.数学附加题21．已知（1﹣2x）n＝a0+ax1+a2x2+…+a n x n（n∈N*），且a1＝﹣10（1）求n的值；（2）求a1+a2+…+a n的值．22．在一个口袋中装有3个红球，2个白球，这些球除颜色外完全相同．某学生一次从中摸出3个球，其中白球的个数记为X．（1）求X的概率分布；（2）求X的数学期望．23．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，四边形ABCD为正方形，P A⊥平面ABCD，P A＝AB，M 是PC上一点，且＝λ（λ＞0）．（1）当λ＝3时，求直线PB与直线DM所成角的余弦值；（2）若直线PB与平面MBD所成角的余弦值为，求实数λ的值．24．如图，平面上已有一个边长为1的正方形，现按如图规律作正方形：第一步向右作一个边长也为1的正方形；第二步向下以上面两个正方形的边长之和为边作正方形；第三步向右以左面两个正方形的边长之和为边长作正方形，…，记第n步所作正方形的边长为f （n），n∈N*（1）求f（1）f（3）﹣f2（2）和f（2）f（4）﹣f2（3）的值；（2）试猜想f（n）f（n+2）﹣f2（n+1）的结果，并用数学归纳法证明．2017-2018学年江苏省扬州市高二（下）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需要写出解答过程，请将答案填写在答题卡相应的位置上．）1．【解答】解：∵集合A＝{2}，B＝{1，a2}，A∪B＝{0，1，2}，∴a2＝0，解得实数a＝0．故答案为：0．2．【解答】解：|1﹣2i|＝．故答案为：．3．【解答】解：∵幂函数f（x）＝x a的图象经过点（3，），∴（3）a＝，解得：a＝，故答案为：．4．【解答】解：∵＝，∴n＝4+7＝11．则＝＝55．故答案为：55．5．【解答】解：把函数y＝f（x）的图象关于y轴对称，再向上平移1个单位，可得函数y ＝f（﹣x）+1的图象．把函数y＝f（x）的图象上的点（1，2）关于y轴对称、再向上平移1个单位，可得点（﹣1，3），故函数y＝f（﹣x）+1的图象必定经过的点的坐标是（﹣1，3），故答案为：（﹣1，3）．6．【解答】解：∵z＝＝，∴．故答案为：．7．【解答】解：n＝k时左端为：1+2+3+…+k2，n＝k+1时左端为：1+2+3+…+k2+（k2+1）+（k2+2）+…+（k+1）2．故答案为：（k2+1）+（k2+2）+…+（k+1）2．8．【解答】解：在空间中，点（1，1，2）到平面x+y+2z+3＝0的距离为：d＝＝．故答案为：．9．【解答】解：由|z﹣1﹣2i|＝2，得|z﹣（1+2i）|＝2．如图：z在以（1，2）为圆心，以2为半径的圆上．则|z|的最小值为|OP|﹣2＝．故答案为：．10．【解答】解：：a1＝，a n+1＝[a n]+，可得a1＝1+（﹣1），a2＝1+＝2+＝3+（﹣1），a3＝3+＝4+＝5+（﹣1），a4＝5+＝6+＝7+（﹣1），…，a n＝2n﹣1+（﹣1），则a2018＝2×2018﹣1+（﹣1）＝4034+，故答案为：4034+．11．【解答】解：设切点是（x0，y0），曲线y＝2lnx，可得，则＝＝2，∴x 0＝1，故切点（1，0），故M（1，0），故M到直线y＝2x+3的距离是：d＝＝，故答案为：．12．【解答】解：根据题意，分2步进行分析：①，将5人分成3组，若分成2、2、1的三组，有＝15种分组方法；若分成3、1、1的三组，有＝10种分组方法；则有15+10＝25种分组方法；②，将分好的三组全排列，对应三个岗位，有A33＝6种情况，则有25×6＝150种不同的分配方案．故答案为：150．13．【解答】解：①因为a，b，c是三角形的三条边长，所以a+b＞c，又因为c＞a＞0，c＞b＞0，所以0＜＜1，0＜＜1，所以当x∈（﹣∞，1）时，f（x）＝c x[1﹣（）x﹣（）x]＜c x（1﹣﹣）＝c x•＞0，故①不正确；②令a＝2，b＝3，c＝4，则a，b，c可以构成三角形的三边长，但a2＝4，b2＝9，c2＝16却不能构成三角形的三边长，故②不正确；③若△ABC为直角三角形，由题意得，c2＝a2+b2，对于n∈N*，f（2n）＝c2n﹣a2n﹣b2n＝（a2+b2）n﹣a2n﹣b2n≥0，故③正确；④因为c＞a＞0，c＞b＞0，且△ABC为钝角三角形，所以a2+b2﹣c2＜0，于是f（1）＝a+b﹣c＞0，f（2）＝a2+b2﹣c2＜0，故函数f（x）在区间（1，2）内存在零点，故④正确．故答案为：③④．14．【解答】解：∵f（﹣x）+f（x）＝x2∴令F（x）＝f（x）﹣x2，∴f（x）﹣x2＝﹣f（﹣x）+x2∴F（x）＝﹣F（﹣x），即F（x）为奇函数，∵F′（x）＝f′（x）﹣x，且当x＜0时，f′（x）＜x，∴F′（x）＜0对x＜0恒成立，∵F（x）为奇函数，∴F（x）在R上单调递减，∵f（x）+≥f（1﹣x）+x，∴f（x）+﹣x2≥f（1﹣x）+x﹣x2，即F（x）≥F（1﹣x），∴x≤1﹣x，x0≤，由g[g（x0）]＝x0可得g（x0）＝g﹣1（x0），而g（x）如果与其反函数相交，则交点一定在直线y＝x上，故有g（x0）＝x0，即h（x）＝2e x+2x﹣a＝0在（﹣∞，]有解．∵h′（x）＝2e x+3，∴h（x）在R上单调递增．∴h（x）max＝h（）＝2+1﹣a≥0即可，∴a≤2+1故答案为：（﹣∞，2+1]．二、解答题（本大题共6小题，共计90分．请在答题纸指定区域内作答，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）15．【解答】解：（1）∵集U＝R，函数f（x）＝+lg（3﹣x）的定义域为A，∴A＝{x|}＝{x|1＜x＜3}，∴∁U A＝{x|x≤1或x≥3}．（2）∵函数y＝lg2x﹣lgx+a在x∈[1，10]的值域为B．∴B＝{x|a﹣≤x≤a}，∵A∪B＝A，∴B⊆A，∴，解得≤a≤3．∴实数a的取值范围是[，3]．16．【解答】解：（1）由题意，，即n＝7；（2）（x﹣）n＝．其二项展开式的通项＝．令，得r＝3．∴展开式中含x3的项为＝﹣280x3．17．【解答】解：命题p为真，即关于x的不等式3x＜a的解集为空集，可得a≤0；命题q为真，即函数f（x）＝x3+ax2+x在R上是增函数，则f′（x）＝3x2+2ax+1≥0在R 上恒成立，∴△＝4a2﹣12≤0，即﹣．（1）若命题p∧q是真命题，则实数a的取值范围为[，0]；（2）命题m：函数y＝x2+bx+a的图象与x轴有公共点，则△＝b2﹣4a≥0，即．由￢p是￢m的充分不必要条件，得m是p的充分非必要条件，∴（﹣∞，]⊊（﹣∞，0]，∴＜0，∴b∈∅．18．【解答】解：（1）景观湖的边界线符合函数y＝x+（x＞0），令，即x2﹣5x+4＝0，解得：x＝1或4，则玻璃栈道的长度4﹣1＝3，∴玻璃栈道的长度为3百米．…………………………（3分）（2）设，其中x1＞0，则，当且仅当时，即时取等号．∴OM取最小值时M点的横坐标为．…………………………（8分）（3）设Q（m，0）（0≤m≤10），∵P在y轴正半轴上，且PO＝10∴P（0，10）又∵B（10，0）∴在[0，10]上单调减∴点Q越靠近点B，PQ+QB越短．…………………………（11分）∵路线PQ不穿过景观湖∴当直线PQ与边界曲线相切时，PQ+QB最短．设切点为，由得∴切线的方程为∵切线过点P（0，10），∴，解得：∴切线方程为：．令y＝0，得，即点Q在线段OB上且与点O的距离为百米．………………（15分）答：当点Q在线段OB上且与点O的距离为百米时，PQ+QB最短．………（16分）19．【解答】解：（1）∵圆C：x2+（y﹣2）2＝1，∴圆心（0，2），半径r＝1，∵直线l：kx﹣y＝0（k＞0）与圆C相交于A，B两点，且，∴圆心到l的距离为，即，解得：k＝±2，∵k＞0，∴k＝2．（2）∵圆C与y轴交于M，N两点（点N在点M上方）∴M（0，1），N（0，3），∴AM：y＝k1x+1，BN：y＝k2x+3．设A（x1，y1），B（x2，y2），直线AM与圆C方程联立：，化简得：，∴，同理可求：．∵O，A，B三点共线，且，∴，化简得：（3k1+k2）（k1k2+1）＝0，∵k1k2+1≠0，∴3k1+k2＝0，即，∴存在实数，使得k1＝ak2恒成立．（3）设P（x0，y0），∴且k1≠k2 ，∴，由（2）知：k2＝﹣3k1，代入得：为定值．∴点P在定直线上．20．【解答】解：（1）∵a＝0，∴f（x）＝xlnx，x∈（0，+∞）∴f'（x）＝lnx+1，令f'（x）＝0，解得：，列表得：，∴f（x）的单调减区间为，单调增区间为，；…………（3分）（2）∵f（x）有两个极值点∴在（0，+∞）上有两个不同的零点，且零点左右的f'（x）的符号的相反．………………（5分）设h（x）＝lnx﹣2ax+1，则．当a≤0时，h'（x）＞0在（0，+∞）上恒成立，所以h（x）在（0，+∞）上单调增，h（x）在（0，+∞）上最多有一个零点，不合题意；当a＞0时，由，解得：∴时，h'（x）＞0，时，h'（x）＜0∴h（x）在上单调增，则上单调减，若，则，所以，h（x）在（0，+∞）上最多有一个零点，不合题意；若，，又，（取其他小于0的函数值也可）设H（x）＝lnx﹣x，x∈（1，+∞），则在（1，+∞）上恒成立∴H（x）在（1，+∞）上单调减，∴H（x）＜H（1）＝﹣1，则x＞1时，lnx﹣x＜﹣1∵∴，∴∴h（x）在、上各有一个零点，且零点两侧的函数符号相反∴（若用分离变量做，不取值说明零点存在，扣2分）………（10分）（3）结论：．下面证明：由（1）知：f（x）在上单调减，在上单调增∵，∴f（x1+x2）＞f（x1），即（x1+x2）ln（x1+x2）＞x1lnx1∴，同理∴∵，当且仅当x1＝x2时取等号，且ln（x1+x2）＜0∴，则lnx1+lnx2＜4ln（x1+x2）∴，∴．………………（16分）二.数学附加题21．【解答】解：（1）∵（1﹣2x）n＝a0+ax1+a2x2+…+a n x n（n∈N*），且a1＝﹣10，T r+1＝＝（﹣2）r x r，∴当r＝1时，＝﹣2n＝﹣10，解得n＝5，∴n的值是5．（2）由（1）（1﹣2x）5＝a0+ax1+a2x2+…+a5x5（n∈N*），∴当x＝0时，a0＝1，当x＝1时，a0+a1+a2+…+a n＝﹣1，∴a1+a2+…+a n＝﹣1﹣1＝﹣2．22．【解答】解：（1）在一个口袋中装有3个红球，2个白球，这些球除颜色外完全相同．某学生一次从中摸出3个球，其中白球的个数记为X．则X的可能取值为0，1，2，P（X＝0）＝＝0.1，P（X＝1）＝＝0.6，P（X＝2）＝＝0.3，∴X的概率分布为：（2）X的数学期望EX＝0×0.1+1×0.6+2×0.3＝1.2．23．【解答】解：（1）取A为原点，直线AB，AD，AP分别为x，y，z轴，建立坐标系A﹣xyz，设P A＝AB＝1，则P（0，0，1），B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，1，0）设M（x，y，z），∵＝3，∴（x，y，z﹣1）＝3（1﹣x，1﹣y，﹣z），∴，解的x＝y＝，z＝，∴M（，，），∵＝（1，0，﹣1），＝（，﹣，），∴•＝+0﹣＝，||＝，||＝，设直线PB与直线DM所成角为θ，∴cosθ＝＝＝；（2）设M（x，y，z），直线PB与平面MBD所成角的为θ，∵＝λ，∴（x，y，z﹣1）＝λ（1﹣x，1﹣y，﹣z），∴，解的x＝y＝，z＝，∴M（，，），∴＝（﹣，，），＝（﹣1，1，0），设＝（x，y，z）为平面平面MBD的法向量，则，∴，令x＝y＝1，则z＝1﹣λ，则＝（1，1，1﹣λ），∴•＝1+0+λ﹣1＝λ，||＝，∴cos＜•＞＝||＝＝＝，整理可得3λ2＝4（3﹣2λ+λ2），解得λ＝2或λ＝624．【解答】解：（1）由题意可得f（1）＝1，f（2）＝2，f（3）＝3，f（4）＝5，f（5）＝8，…，f（n）+f（n+1）＝f（n+2），则f（1）f（3）﹣f2（2）＝1×3﹣22＝﹣1；和f（2）f（4）﹣f2（3）＝2×5﹣32＝1；（2）由f（1）f（3）﹣f2（2）＝﹣1；f（2）f（4）﹣f2（3）＝1；f（3）f（5）﹣f2（4）＝3×8﹣52＝﹣1；f（4）f（6）﹣f2（5）＝5×13﹣82＝1；…，f（n）f（n+2）﹣f2（n+1）＝（﹣1）n，运用数学归纳法证明：当n＝1时，f（1）f（3）﹣f2（2）＝1×3﹣22＝﹣1；n＝2时，f（2）f（4）﹣f2（3）＝2×5﹣32＝1；猜想成立；假设n＝k即有f（k）f（k+2）﹣f2（k+1）＝（﹣1）k，当k为奇数时，f（k）f（k+2）﹣f2（k+1）＝﹣1，当k为偶数时，f（k）f（k+2）﹣f2（k+1）＝1．当n＝k+1时，且k+1为偶数，则k为奇数，可得f（k+1）f（k+3）﹣f2（k+2）＝﹣f（k）f（k+2）+f2（k+1）＝1；且k+1为奇数，则k为偶数，可得f（k+1）f（k+3）﹣f2（k+2）＝﹣f（k）f（k+2）+f2（k+1）＝﹣1；综上可得n＝k+1时，f（k）f（k+2）﹣f2（k+1）＝（﹣1）k+1，则f（n）f（n+2）﹣f2（n+1）＝（﹣1）n．。