江苏省-学年度第一学期期终考试高二数学试卷

2022－2023学年第一学期期中教学质量检测高二年级 数学试卷（时间120分钟，满分150分）注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。

用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。

2.作答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。

答案不能答在试卷上。

3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题指定区域内相应的位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知 =（1,0,1），(),1,2b x =，且3a b ⋅=，则向量a 与b 的夹角为（ ）A ．5π6B ．2π3C ．π3D ．6π2．若直线1:60l x ay ++=与()2:2320l a x y a -++=平行，则1l 与2l 间的距离为（ ）A ．2 B．3 CD3．设向量,,a b c 不共面，则下列可作为空间的一个基底的是（ ）A ．{},,a b b c c a +++B ．{},,a b b c c a --- C ．{},,a b c a b c +++ D ．{},,3a b c a b c a b c -++--+ 4．与直线y =切于点A，且经过点B 的圆的方程为（ ）A．22(3)(24x y ++= B．22((1)16x y ++= aC ．22(3)(1)16x y ++-=D ．22(23)(2)4x y -+-=5．已知椭圆22:14x y C m +=的焦距是2，则离心率e 的值是（ ） A 5 B ．125C ．123D 525 6．如图所示，在棱长为1的正方形1111ABCD A B C D -中，点P 是1AA 的中点，点M ，N是矩形11BB D D 内（包括边界）的任意两点，则PM PN ⋅的取值范围是（ ）A ．15,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．15,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．15,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．15,24⎡⎤-⎢⎥⎣⎦7．我国自主研发的“嫦娥四号”探测器成功着陆月球，并通过“鹊桥”中继星传回了月球背面影像图．假设“嫦娥四号”在月球附近一点P 变轨进入以月球球心F 为一个焦点的椭圆轨道绕月飞行，其轨道的离心率为e ，设月球的半径为R ，“嫦娥四号”到月球表面最近的距离为r ，则“嫦娥四号”到月球表面最远的距离为（ ）A ．(1)11e r eR e e ++-- B ．(1)211e r eR e e ++-- C ．(1)11e r eR e e -+++ D ．(1)211e r eR e e -+++ 8．设抛物线2:8C x y =的焦点为F ，准线为l ，()00,P x y 为C 上一动点，(2,1)A ，则下列结论错误的是（ ）A ．当04x =时，||PF 的值为6B ．当02x =时，抛物线C 在点P 处的切线方程为220x y --=C ．||||PA PF +的最小值为3D ．||||PA PF -5二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

苏州市2022～2023学年第一学期高二期中调研试卷数学2022.11一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分．1．直线2x π=的倾斜角为A ．不存在B ．2πC ．0D ．π2．等比数列{}n a 中，15116a a ==，，则4a =A ．8-B ．8C ．8±D ．4±3．直线0x y b ++=与线段AB 没有公共点，其中()()1,233A B -，，则实数b 的取值范围是A ．()(),30,-∞-+∞ B ．()3,0-C ．[]3,0-D ．()(),03,-∞+∞ 4．已知等差数列{}n a 公差0d ≠，数列{}n b 为正项等比数列，已知3399a b a b ==，，则下列结论中正确的是A ．22a b >B ．66a b <C ．88a b >D ．1212a b >5．已知(0,0),(2,0),(2,2),(,1)A B C D m --四点共圆，则实数m 的值为A 1B 1C 1-D ．16．n S 为等差数列{}n a 前n 项和，若613S a =，10a >，则使n n S a >的n 的最大值为A ．2B ．12C ．11D ．107．直线l 按向量()3,1a =-平移后得直线l '，设直线l 与l '之间的距离为d ，则d 的范围是A ．)+∞B ．⎡⎣C ．[]1,3D ．[]0,108．已知数列{}n a 前n 项和n S 满足：223n S n n =+，数列{}n b 前n 项和n T 满足：21n n T b =-，记12n b b n b M a a a +++= ，则使得n M 值不超过2022的项的个数为A ．8B ．9C ．10D ．11二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分．．9．下述四个结论，正确的是A ．过点(1,1)A 在x 轴，y 轴上截距都相等的直线方程为20x y +-=B ．直线0x y k -+=与圆221x y +=相交的充分不必要条件是1k =C ．直线10ax y ++=表示过点()0,1-的所有直线D．过点B 与圆224x y +=相切的直线方程为40x +-=10．对于数列{}n a ，设其前n 项和n S ，则下列命题正确的是A ．若数列{}n a 为等比数列，396S S S ，，成等差，则285a a a ，，也成等差B ．若数列{}n a 为等比数列，则223n n nS S S =⋅C ．若数列{}n a 为等差数列，且5810S S a =<，，则使得0n S >的最小的n 值为13D ．若数列{}n a为等差数列，且1311a a ==，，则{}n a 中任意三项均不能构成等比数列11．设直线()()210,0mx m y m m R m -++=∈≠与圆22(1)(1)2x y -+-=交于,A B 两点，定点()2,0C ，则ABC ∆的形状可能为A ．钝角三角形B ．直角三角形C ．正三角形D ．等腰直角三角形12．古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数，他们根据沙粒或小石子所排列的形状，把数分成许多类，如图中第一行图形中黑色小点个数：1，3，6，10，…称为三角形数，第二行图形中黑色小点个数：1，4，9，16，…称为正方形数，记三角形数构成数列{}n a ，正方形数构成数列{}n b ，则下列说法正确的是A ．12311111n na a a a n ++++=+ B ．1225既是三角形数，又是正方形数C ．12311113320n b b b b ++++<D ．*,m N m ∀∈≥2，总存在*,p q N ∈，使得m p q b a a =+成立三、填空题：本大题共4小题，每小题5分13．已知点P 在直线10x y --=上，点()()1,22,6A B -，，则PA PB -取得最小值时点P 坐标为●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●________．14．设正项等比数列{}n a 满足：7652a a a =+，若存在,m n a a ，使得14a =，则数列14m n+的最小值为________．15．曲线2221221x y x y x +=-++-所围成图形面积为________．16．在平面直角坐标系xoy 中，A 为直线:20l x y -=上的点，()5,0B ，以AB 为直径的C （圆心为C ）与直线l 交于另一点D ，若ABD ∆为等腰三角形，则点A 的横坐标为________；若C 与()22:510B x y -+= 相交于E F ，两点，则公共弦EF 长度最小值为________．四、解答题：本大题共6小题，共计70分．17．(本小题满分10分)已知直线12:80:210l mx y n l x my ++=+-=，，试分别确定满足下列条件的实数m n ，的值.（1）1l 和2l 相交于点(),1P m -；（2）12//l l ；（3）12l l ⊥，且1l 在y 轴上的截距为1-．18．(本小题满分12分)已知等差数列{}n a 前n 项和为n S ，且满足263225n n a a S S =+=，．（1）求9a 的值；（2）设x 为25a a ，的等比中项，数列{}n b 是以25a x a ，，为前三项的等比数列，试求数列{}n b 的通项n b 及前n 项和n T 的表达式．已知点()1,1P -，()22:211C x y a +--= ，过点P 斜率为a 的直线l 交圆C 于A B ，两点．（1）当ABC ∆面积最大时，求直线l 方程；（2）若0a >，在（1）条件下，设点T 为圆C 上任意一点，试问在平面内是否存在定点Q ，使得2TP TQ =成立，若存在，求出该定点坐标，若不存在，请说明理由．20．(本小题满分12分)设正项数列{}n a 前n 项和为n S ，从条件：①()12311113572121nna a a n a n ++++=++ ，②()241n n S a =+，③11114n n n a a a S +=+=，，任选一个，补充在下面横线上，并解答下面问题．已知正项数列{}n a 前n 项和为n S ，且满足．（1）求n S ；（2）令1n a n n b a +=⋅，记数列{}n b 前n 项和为n T ，若对任意的*,2n N n ∈≥，均有()2641615n T m n n --+≥恒成立，求实数m 的取值范围．已知圆()22:13D x y +-=，过点()0,1P -的直线l 与圆D 相交于M ，N 两点，且2MN =，圆Q 是以线段MN 为直径的圆．（1）求圆Q 的方程；（2）设()()()0,0,652A t B t t +--，≤≤，圆Q 是ABC ∆的内切圆，试求ABC ∆面积的取值范围．22．(本小题满分12分)已知正项数列{}n a 满足1111122n n n n n a a a a a +++=+=，．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求证：12118n a a a +++<．2022～2023学年第一学期高二期中调研试卷数学参考答案2022.11一、单项选择题：题号12345678答案BCACDCBC二、多项选择题题号9101112答案BDADABBCD三、填空题13.()34--，14.3215.48π+16.3或1-，四、解答题17.(本小题满分10分)解：（1）因为1l 和2l 相交于点(),1P m -，所以P 点在1l 上也在2l 上，于是有280210m n m m ⎧-+=⎨--=⎩，解得17m n =⎧⎨=⎩………………………………………………………………………………………3分（2）因为12:80:210l mx y n l x my ++=+-=，，12//l l ，所以有2168m mn ⎧=⎨≠-⎩，解得42m n =⎧⎨≠-⎩或42m n =-⎧⎨≠⎩.…………………………………………………………………………6分(3)当0m≠时，由2184m m ⎛⎫⎛⎫-⋅-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭知，1l 和2l 不垂直。

江苏省锡山高级中学2020—2021学年度第一学期期中考试高二数学试卷 （1-4,6-16班） 命题人 李金凯 何鹏 审核人 何鹏（本试卷满分150分，考试时间120分钟）一、单选题（本题共8小题,每小题5分,共计40分.在每小题给出的选项中,只有1项符合题意） 1. 命题:“,1x Z x N ∃∈-∈”的否定为 （ ） A.,1.x Z x N ∀∉-∈ B.,1.x Z x N ∀∉-∉C.,1.x Z x N ∀∈-∉D.,1.x Z x N ∃∈-∉2. 已知双曲线2221(0)x y a a-=>的离心率为3,则实数a 的值为 （ ）B. 12C.1D.23. 在3和81之间插入2个数,使这4个数成等比数列,则公比q 为 （ ） A. 2± B. 2 C. 3± D.34. 已知双曲线221412y x -=右支上一点P 到右焦点的距离为4,则该点到左准线的距离为 （ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 55. 若直线l 过抛物线28y x =的焦点,与抛物线相交于,A B 两点,且16||=AB ,则线段AB 的中点P 到y轴的距离为 （ ） A.6 B. 8 C. 10 D.126. 为了参加学校的长跑比赛,省锡中高二年级小李同学制定了一个为期15天的训练计划.已知后一天的跑步距离都是在前一天的基础上增加相同距离.若小李同学前三天共跑了3600米,最后三天共跑了10800米,则这15天小李同学总共跑的路程为 （ ）A.34000米 B .36000米 C.38000米 D.40000米 7. 数列{}n a 是等比数列,公比为q ,且01>a .则“1-<q ”是“122122,+-*<+∈∀n n n a a a N n ”的 （ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件8. 已知椭圆22143y x C +=：的右焦点为F .点,A B 为椭圆上不同的两点,且满足AF BF ⊥.过线段AB 的中点P 作椭圆C 右准线的垂线,垂足为Q .则||||AB PQ 的最小值为 （ ）A.12 D. 1二、多选题（本题共4小题,每小题5分,共计20分.在每小题给出的选项中,有多项符合要求,全部选对得5分,部分选对得3分,有选错的得0分）9. 已知数列 ,2,0,2,0,2,0,则前六项适合的通项公式为 （ ）A. n n a )1(1-+=B. 2cos 2πn a n = C. |2)1(sin|2π+=n a n D. )2)(1()1cos(1--+--=n n n a n π 10. 已知命题:p 不存在过点(1,1)的直线与椭圆12222=+y m x 相切.则命题p 是真命题的一个充分不必要条件是 （ ） A.2≥m B.2>m C.20<<m D.3-=m11. 意大利人斐波那契于1202年从兔子繁殖问题中发现了这样的一列数:,13,8,5,3,2,1,1....即从第三项开始,每一项都是它前两项的和.后人为了纪念他,就把这列数称为斐波那契数列.下面关于斐波那契数列{}n a 说法正确的是 （ ） A.5510=a B.2020a 是偶数 C.2020201820223a a a =+ D.+++321a a a (2022)2020a a =+12. 已知抛物线x y C 8:2=的焦点为F ,准线l 与x 轴交于点M . 点Q P ,是抛物线上不同的两点.下面说法中正确的是 （ ） A.若直线PQ 过焦点F ,则以线段PQ 为直径的圆与准线l 相切; B.过点M 与抛物线C 有且仅有一个公共点的直线至多两条; C.对于抛物线内的一点(1,1)T ,则||||3PT PF +≥;D.若直线PQ 垂直于x 轴,则直线PM 与直线QF 的交点在抛物线C 上.三、填空题（本题共4小题,每小题5分,共计20分.只要求直接写出结果,不必写出计算和推理过程） 13. 已知递增等差数列{}n a 满足:20,125142==+a a a a ,则4a = ▲ .14. 已知抛物线21:2(0)C x py p =>的焦点到双曲线222:1916y x C -=的渐近线的距离为,则实数p的值为 ▲ .15. 设椭圆2222:1(0)y x C a b a b+=>>的右焦点为F ,O 为坐标原点.过点F 的直线240x y +-=与椭圆的交点为Q (点Q 在x 轴上方),且||||OF OQ =,则椭圆C 的离心率为 ▲ .16. 数列{}n a 满足:1*1151,2(),22n n n a S a n N ++==--∈其中n S 为数列{}n a 的前n 项和,则=n a ▲ ,若不等式2(2)2512n t a n n -≥--对*n N ∀∈恒成立,则实数t 的最小值为 ▲ .四、解答题（本题共6小题,共计70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. （本题满分10分）已知命题p :方程13522=-++ky k x 表示焦点在x 轴上的椭圆； 命题2:,250q x R x kx k ∀∈+++≥恒成立； 命题:11(0).r m k m m -<<+> （1）若命题p 与命题r 互为充要条件,求实数m 的值； （2）若命题q 是命题r 的必要不充分条件,求正数m 的取值范围.18. （本题满分12分）已知双曲线C 的标准方程为22136y x -=,12,F F 分别为双曲线C 的左、右焦点. （1）若点P 在双曲线的右支上,且12F PF ∆的面积为3,求点P 的坐标；（2）若斜率为1且经过右焦点2F 的直线l 与双曲线交于,M N 两点,求线段MN 的长度.19. （本题满分12分）在①321,1,a a a +成等差数列；②304=S ；③64321=a a a 三个条件中任选一个补充在下面的问题中,并作答.（注：如果选择多个条件分别作答,按第一个解答计分）已知n S 是数列}{n a 的前n 项和. 若)(21*∈-=N n a a S n n ,01≠a ,且满足（1）求数列}{n a 的通项公式；（2）设11=b ,)(*1N n a b b n n n ∈=-+,求数列}{n b 的通项公式.20. （本题满分12分）已知椭圆2222:1(0)y x C a b a b+=>>的左、右顶点分别为B A ,,4||=AB .过右焦点F 且垂直于x 轴的直线交椭圆C 于E D ,两点, 且1||=DE . （1）求椭圆C 的方程；（2）斜率大于0的直线l 经过点(4,0)P -,且交椭圆C 于不同的两点,M N （M 在点,P N 之间）.记PNA ∆与PMB ∆的面积之比为λ,求实数λ的取值范围.21. （本题满分12分）已知数列}{n a 中, 11=a ,1)2()1(1=+-++n n a n a n )(*N n ∈,n S 为数列{}n a 的前n 项和.数列}{n b 满足*1()n nb n N S =∈.（1）证明：数列}{n a 是等差数列,并求出数列}{n a 的通项公式；（2）设数列}{n b 的前n 项和为n T .问是否存在正整数)3(,q p q p <<,使得q p T T T ,,3成等差数列？若存在,求出q p ,的值;若不存在,请说明理由.22. （本题满分12分）已知抛物线2:2(0)C y px p =>经过点(2,-（1）求抛物线C 的方程及其相应准线方程；（2）过点(2,0)E 作斜率为12,k k 的两条直线分别交抛物线于,M N 和,P Q 四点，其中121k k +=.设线 段MN 和PQ 的中点分别为,,A B 过点E 作,ED AB ⊥垂足为.D 证明:存在定点,T 使得线段TD 长度为定值.。

江苏省姜堰第二中学2020-2021学年度第一学期期中考试高二数学试卷一、单项选择题：本大题共8小题. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上.1. 在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线x 2=2y 的焦点为F ，准线为ι，则点F 到直线ι的距离为 A. 12B. 1C. 2D. 42. 已知向量a ⃗=（-2，3，-1），b ⃗⃗=（4，m ，n ），且a ⃗//b⃗⃗，其中m ，n ∈R ，则m+n= A. 4 B. -4 C. 2 D. -2 3. 若sin θ=2cos （π-θ），则tan （θ+π4）的值为A. 3B. 13C. -3D. −134. 在平面直角坐标系xOy 中，若椭圆C ：x 29+y 2m =1与双曲线T ：x 2−y 2m =1有相同的焦点，则双曲线T 的渐近线方程为 A. y=±14xB. y=±12x C. y=±4x D. y=±2x5. 在平面直角坐标系xOy 中，直线x+2y-4=0与两坐标轴分别交于点A ，B ，圆C 经过A ，B ，且圆心在y 轴上，则圆C 的方程为 A. x 2+y 2+6y-16=0 B. x 2+y 2-6y-16=0 C. x 2+y 2+8y-9=0 D. x 2+y 2-8y-9=06. 如图，已知圆柱的底面半径为2，与圆柱底面成60º角的平面截这个圆柱得到一个椭圆，则该椭圆的焦距为A. 2√2B. 2√3C. 4√2D. 4√37. 如图，在三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，BC 1与B 1C 相交于点O ，∠A 1AB=∠A 1AC=60º，∠BAC=90º，A 1A=3，AB=AC=2，则线段AO 的长度为A. √292B. √29 C. √232D. √238. 在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C：x2a2−y2b2=1（a＞0，b＞0）的左焦点为F，点M，N在双曲线C上. 若四边形OFMN为菱形，则双曲线C的离心率为A. √3−1B. √5−1C. √3+1D. √5+1二、多项选择题：本大题共4小题. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上.9. 已知两个不重合的平面α，β及直线m，下列说法正确的是A. 若α⊥β，m⊥α，则m//βB. 若α//β，m⊥α，则m⊥βC. 若m//α，m⊥β，则α⊥βD. 若m//α，m//β，则α//β10. 在平面直角坐标系xOy中，F1，F2分别为椭圆x24+y22=1的左、右焦点，点A在椭圆上. 若△AF1F2为直角三角形，则AF1的长度可以为A. 1B. 2C. 3D. 411. 如图，直线ι1，ι2相交于点O，点P是平面内的任意一点，若x，y分别表示点P到ι1，ι2的距离，则称（x，y）为点P的“距离坐标”. 下列说法正确的是A. 距离坐标为（0，0）的点有1个B. 距离坐标为（0，1）的点有2个C. 距离坐标为（1，2）的点有4个D. 距离坐标为（x，x）的点在一条直线上12. 20世纪50年代，人们发现利用静态超高压和高温技术，通过石墨等碳质原料和某些金属反应可以人工合成金刚石. 人工合成金刚石的典型晶态为立方体（六面体）、八面体和立方八面体以及它们的过渡形态. 其中立方八面体（如图所示）有24条棱、12个顶点、14个面（6个正方形、8个正三角形），它是将立方体“切”去8个“角”后得到的几何体. 已知一个立方八面体的棱长为1，则A. 它的所有顶点均在同一个球面上，且该球的直径为2B. 它的任意两条不共面的棱所在直线都相互垂直C. 它的体积为5√23D. 它的任意两个共棱的面所成的二面角都相等三、填空题：本大题共4小题. 请把答案填写在答题卡相应位置上.13. 在平面直角坐标系xOy 中，已知直线ι1：x+ay=0和直线ι2：2x-（a-3）y-4=0，a ∈R. 若ι1与ι2平行，则ι1与ι2之间的距离为________.14. 在空间直角坐标系中，若三点A （1，-1，a ），B （2，a ，0），C （1，a ，-2）满足(AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗−2AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗)⊥BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗，则实数a 的值为________.15. 词语“堑堵”、“阳马”、“鳖臑”等出自中国数学名著《九章算术·商功》，是古代人对一些特殊锥体的称呼. 在《九章算术·商功》中，把四个面都是直角三角形的四面体称为“鳖臑”. 现有如图所示的“鳖臑”四面体PABC ，其中PA ⊥平面ABC ，PA=AC=1，BC=√2，则四面体PABC 的外接球的表面积为________.16. 早在一千多年之前，我国已经把溢流孔技术用于造桥，以减轻桥身重量和水流对桥身的冲击. 现设桥拱上有如图所示的4个溢流孔，桥拱和溢流孔轮廓线均为抛物线的一部分，且四个溢流孔轮廓线相同. 建立如图所示的平面直角坐标系xOy ，根据图上尺寸，溢流孔ABC 所在抛物线的方程为________，溢流孔与桥拱交点A 的横坐标为________.四、解答题：本大题共6小题. 请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.17. 在①sin （A-B ）=sinB+sinC ；②2acosC=2b+c ；③△ABC 的面积S=√34（a 2-b 2-c 2）三个条件中任选一个（填序号），补充在下面的问题中，并解答该问题.已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，________，D 是边BC 上的一点，∠BAD=π2，且b=4，c=2，求线段AD 的长.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 18. 在平面直角坐标系xOy 中，已知圆F ：（x-2）2+y 2=1，动圆M 与直线ι：x=-1相切且与圆F 外切.（1）记圆心M 的轨迹为曲线C ，求曲线C 的方程；（2）已知A （-2，0），曲线C 上一点P 满足PA=√2PF ，求∠PAF 的大小. 19. 如图，在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，D 为AC 中点. （1）求证：B 1A//平面C 1BD ；（2）若AA 1=AB=3，BC=4，且AB ⊥BC ，求三棱锥B-B 1C 1D 的体积.20. 在平面直角坐标系xOy 中，已知圆O ：x 2+y 2=1，点A ，B 是直线x-y+m=0（m ∈R ）与圆O 的两个公共点，点C 在圆O 上.（1）若△ABC 为正三角形，求直线AB 的方程；（2）若直线x-y-√3=0上存在点P 满足AP⃗⃗⃗⃗⃗⃗·BP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=0，求实数m 的取值范围. 21. 如图，在四棱锥P-ABCD 中，平面PAB ⊥平面ABCD ，PA ⊥AB ，PA=AD=4，BC//AD ，AB ⊥AD ，AB=BC=2，PE⃗⃗⃗⃗⃗⃗=λPC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗（0≤λ＜1）. （1）若λ=12，求直线DE 与平面ABE 所成角的正弦值；（2）设二面角B-AE-C 的大小为θ，若|cos θ|=2√3417，求λ的值.22. 在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的左顶点与上顶点的距离为2√3，且经过点（2，√2）.（1）求椭圆C 的方程；（2）直线ι与椭圆C 相交于P ，Q 两点，M 是PQ 的中点. 若椭圆上存在点N 满足ON⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=3MO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗，求证：△PQN 的面积S 为定值.江苏省姜堰第二中学2020-2021学年度第一学期期中考试高二数学参考答案2020.11一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．1．B 2．B 3．D 4．D 5．A 6．D 7．A 8．C 二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 9．BC 10．ABC 11．ABC 12．ACD三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13． 2 14．－92 15．4π 16．y ＝－536(x －14)2，14013四、解答题：本大题共6小题，共70分． 17．（本小题满分10分） 解：选①．由条件① sin(A －B )＝sin B ＋sin C ，在△ABC 中，A ＋B ＋C ＝π，所以sin(A －B )＝sin B ＋sin(A ＋B )，即 sin A cos B －cos A sin B ＝sin B ＋sin A cos B ＋cos A sin B ， ……………… 2分 从而sin B ＝－2cos A sin B ．因为B 为三角形内角，所以sin B ≠0，所以cos A ＝－12．因为A 为三角形内角，所以A ＝2π3． ……………… 4分在△ABC 中，因为b ＝4，c ＝2， 故由正弦定理b sin B ＝c sin C得4sin C ＝2sin B ，即2sin C ＝sin B ， 所以sin B ＝2sin C ＝2sin(π3－B )＝3cos B －sin B ，即2sin B ＝3cos B ．由sin B ≠0知cos B ≠0，因此tan B ＝sin B cos B ＝32． ……………… 8分 因为∠BAD ＝π2，所以AD ＝AB ·tan B ＝3． ……………… 10分选②．由条件②2a cos C ＝2b ＋c ，结合余弦定理得2a ×b 2＋a 2－c 22ab＝2b ＋c ，即 a 2＝b 2＋c 2＋bc ， ……………… 2分 所以cos A ＝b 2＋c 2－a 2 2bc ＝－12，因为A 为三角形内角，所以A ＝2π3． ……………… 4分在△ABC 中，因为b ＝4，c ＝2， 故由正弦定理b sin B ＝c sin C得4sin C ＝2sin B ，即2sin C ＝sin B ， 所以sin B ＝2sin C ＝2sin(π3－B )＝3cos B －sin B ，即2sin B ＝3cos B ．由sin B ≠0知cos B ≠0，因此tan B ＝sin B cos B ＝32． ……………… 8分 因为∠BAD ＝π2，所以AD ＝AB ·tan B ＝3． ……………… 10分选③．由条件③，△ABC 的面积S ＝34(a 2－b 2－c 2)， 得12bc sin A ＝34(－2bc cos A )，即sin A ＝－3cos A ， ……………… 2分 因为A 为三角形内角，所以sin A ≠0，从而cos A ≠0，所以tan A ＝sin A cos A ＝－3，所以A ＝2π3． ……………… 4分在△ABC 中，因为b ＝4，c ＝2， 故由正弦定理b sin B ＝csin C得4sin C ＝2sin B ，即2sin C ＝sin B ， 所以sin B ＝2sin C ＝2sin(π3－B )＝3cos B －sin B ，即2sin B ＝3cos B ．由sin B ≠0知cos B ≠0，因此tan B ＝sin B cos B ＝32． ……………… 8分 因为∠BAD ＝π2，所以AD ＝AB ·tan B ＝3． ……………… 10分另解：A ＝2π3（略）……………… 4分在△ABC 中，因为b ＝4，c ＝2，由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝42＋22－2×4×2×cos 2π3＝28，所以a ＝27．……………… 6分由正弦定理得a sin A ＝bsin B ，则sin B ＝b sin A a ＝4×sin2π327＝217，又B 为锐角，所以cos B ＝1－sin 2B ＝277，则tan B ＝sin B cos B ＝32．……… 8分 在△ABD 中，因为∠BAD ＝π2，所以AD ＝AB ·tan B ＝3． ……………… 10分18．（本小题满分12分）解：（1）设M (x ，y )，圆M 的半径为r ．由题意知，MF ＝r ＋1，M 到直线l 的距离为r ．方法一：点M 到点F (2，0)的距离等于M 到定直线x ＝－2的距离， 根据抛物线的定义知，曲线C 是以F (2，0)为焦点，x ＝－2为准线的抛物线．故曲线C 的方程为y 2＝8x ． ……………………6分 方法二：因为MF ＝(x －2)2＋y 2＝r ＋1，|x ＋1|＝r ，x ＞－1， 所以(x －2)2＋y 2＝x ＋2，化简得y 2＝8x ，故曲线C 的方程为y 2＝8x ． ……………………6分 （2）方法一：设P (x 0，y 0)，由P A ＝2PF ，得(x 0＋2)2＋y 02＝2[(x 0－2)2＋y 02]， ……………………8分 又y 02＝8x 0，解得x 0＝2，故P (2，±4)， ……………………10分 所以k P A ＝±1，从而∠P AF ＝π4． …………………12分方法二：过点P 向直线x ＝－2作垂线，垂足为Q ．由抛物线定义知，PQ ＝PF ，所以P A ＝2PQ ， ……………………8分 在△APQ 中，因为∠PQA ＝π2，所以sin ∠QAP ＝PQ P A ＝ 22， ……………………10分从而∠QAP ＝π4，故∠P AF ＝π4． …………………12分19．（本小题满分12分）（1）证明：连结B 1C 交BC 1于点O ，连结OD ． 在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，BC ＝B 1C 1，BC ∥B 1C 1，所以四边形B 1BCC 1为平行四边形，所以O 为B 1C 中点．B 1（第19A 1C 1BDAC OE又因为D 为AC 中点， 所以OD 为△CB 1A 的中位线，所以B 1A ∥OD ． …………………3分 又因为B 1A ⊄平面C 1BD ，OD ⊂平面C 1BD ，所以B 1A ∥平面C 1BD ． …………………5分 （2）解：方法一：三棱锥B －B 1C 1D 的体积就是三棱锥D －BB 1C 1的体积． …7分过点D 作DE ⊥BC ，垂足为E ．在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，B 1B ⊥平面ABC ． 因为DE ⊂平面ABC ， 所以B 1B ⊥DE ．又因为DE ⊥BC ，且B 1B ，BC ⊂平面B 1BCC 1，B 1B ∩BC ＝B ， 所以DE ⊥平面B 1BCC 1，即DE 为三棱锥D －BB 1C 1的高． ………9分在△ABC 中，AB ＝3，BC ＝4，且AB ⊥BC ， 所以AC ＝32＋42＝5，sin C ＝35，在Rt △DEC 中，DC ＝12AC ＝52，所以DE ＝DC ×sin C ＝32．又△BB 1C 1的面积S ＝12×BB 1×B 1C 1＝12×3×4＝6，所以三棱锥D －BB 1C 1的体积V ＝13×S ×DE ＝3，故三棱锥B －B 1C 1D 的体积等于3．………12分方法二：三棱锥B －B 1C 1D 的体积就是三棱锥B 1－BDC 1的体积． ………7分 因为（1）中已证B 1A ∥平面C 1BD ，所以B 1到平面BDC 1的距离等于A 到平面BDC 1的距离． 因此三棱锥B 1－BDC 1的体积等于三棱锥A －BDC 1的体积， 即等于三棱锥C 1－ABD 的体积．在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，C 1C ⊥平面ABC ， 所以C 1C 为三棱锥C 1－ABD 的高．………10分因为AB ＝3，BC ＝4，且AB ⊥BC ，S △ABC ＝12×AB ×BC ＝6．因为D 是AC 的中点，所以△ABD 的面积S ＝12S △ABC ＝3．故三棱锥C 1－ABD 的体积V ＝13×S ×C 1C ＝3，即三棱锥B －B 1C 1D 的体积等于3．………12分20．（本小题满分12分）解：（1）由△ABC 为正三角形，得∠AOB ＝2∠ACB ＝2π3，所以∠ABO ＝∠BAO ＝π6， 所以原点O 到直线AB 的距离d ＝1×sin π6＝12． ………3分由点到直线的距离公式得|m |2＝12，解得m ＝22或－22．所以直线AB 的方程为2x －2y ＋2＝0或2x －2y －2＝0． ………5分 （2）方法一：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，P (x ，y )． 因为AP →·BP →＝0，所以点P 在以AB 为直径的圆上．记该圆圆心为(x 0，y 0)，则⎩⎨⎧x ＝x 0，y ＝y 0是方程组⎩⎨⎧x ＋y ＝0，x －y ＋m ＝0的解，解得⎩⎨⎧x 0＝－m2，y 0＝m 2．故以AB 为直径的圆的方程为(x ＋m 2)2＋(y －m 2)2＝1－m 22，其中－2＜m ＜2． …9分又点P 在直线x －y － 3 ＝0上，即直线与圆有公共点， 所以|m ＋3|2≤1－m 22，即2m 2＋23m ＋1≤0．解得－3＋12≤m ≤1－32． 综上，实数m 的取值范围是[－3＋12，1－32]． ………12分方法二：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．联立直线AB 与圆O 方程，得⎩⎨⎧x 2＋y 2＝1，x －y ＋m ＝0，消去y 得2x 2＋2mx ＋m 2－1＝0． ①所以x 1，x 2是①的两个解，判别式△＝(2m )2－4×2×(m 2－1)＞0，即－2＜m ＜2， 且x 1＋x 2＝－m ，x 1x 2＝m 2－12．………7分设点P (x ，y )，则AP →＝(x －x 1，y －y 1)，BP →＝(x －x 2，y －y 2)． 由AP →·BP →＝0，得(x －x 1) (x －x 2)＋(y －y 1) (y －y 2)＝0， ②将y ＝x －3，y 1＝x 1＋m ，y 2＝x 2＋m 代入②，整理得2x 2－2(x 1＋x 2＋m ＋3)x ＋2x 1x 2＋(m ＋3)(x 1＋x 2)＋(m ＋3)2＝0． 又x 1＋x 2＝－m ，x 1x 2＝m 2－12，所以2x 2－23x ＋m 2＋3m ＋2＝0，关于x 的方程2x 2－23x ＋m 2＋3m ＋2＝0有实数解，………10分因此(－23)2－4×2×(m 2＋3m ＋2)≥0，即2m 2＋23m ＋1≤0， 解得－3＋12≤m ≤1－32． 综上，实数m 的取值范围是[－3＋12，1－32]． ………12分 21．（本小题满分12分）解：因为平面P AB ⊥平面ABCD ，P A ⊥AB ，平面P AB ∩平面ABCD ＝AB ，P A ⊂平面P AB ，所以P A ⊥平面ABCD ．因为AD ⊂平面ABCD ，所以P A ⊥AD ．又AB ⊥AD ，所以P A ，AB ，AD 两两互相垂直．以{AB →，AD →，AP →}为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系A -xyz ．…………2分 因为P A ＝AD ＝4，AB ＝BC ＝2，所以A (0，0，0)，B (2，0，0)，C (2，2，0)，D (0，4，0)，P (0，0，4)．（1）若λ＝12，即E 为PC 中点，则E ()1，1，2，所以DE →＝()1，－3，2，AB →＝()2，0，0，AE →＝()1，1，2． 设平面ABE 的一个法向量为m ＝(x 1，y 1，z 1)， 则⎩⎪⎨⎪⎧m ·AB →＝0，m ·AE →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧2x 1＝0，x 1＋y 1＋2z 1＝0．令z 1＝1，得y 1＝－2， 所以平面ABE 的一个法向量为m ＝(0，－2，1)． …………………4分 设直线DE 与平面ABE 所成角为α，则sin α＝|cos ＜DE →，m ＞|＝|6＋214×5|＝47035． …………………6分（2）因为PE →＝λPC →(0≤λ＜1)，则E (2λ，2λ，4－4λ)．设平面ABE 的一个法向量为n ＝(x 2，y 2，z 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·AB →＝0，n ·AE →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧2x 2＝0，2λx 2+2λy 2+(4－4λ)z 2＝0．令y 2＝2，得z 2＝λλ－1，所以平面ABE 的一个法向量为n ＝(0，2，λλ－1)．设平面AEC 的一个法向量为l ＝(x 3，y 3，z 3)，则⎩⎪⎨⎪⎧l ·AC →＝0，l ·AP →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧2x 3＋2y 3＝0，4z 3＝0．令x 3＝1，得y 3＝－1，yz P A BCD Ex所以平面AEC 的一个向量为l ＝(1，－1，0)． ……………………9分（或证明CD ⊥平面P AC ，从而CD →为平面P AC 的一个法向量）因为二面角B -AE -C 的大小为θ，且|cos θ|＝23417， 得|cos ＜n ，l ＞|＝|－24＋(λλ－1)2×2|＝23417，整理得3λ2＋2λ－1＝0， 解得λ＝13，或λ＝－1(舍)．所以λ＝13． ……………12分 22．（本小题满分12分）解：（1）椭圆C 的左顶点(－a ，0)，上顶点(0，b )．因为左顶点与上顶点的距离为23，所以a 2＋b 2＝23，化简得a 2＋b 2＝12． ① 因为椭圆经过点(2，2)，所以4a 2＋2b2＝1，② …………2分 由①②解得a 2＝8，b 2＝4或a 2＝6，b 2＝6（舍去），所以椭圆C 的方程为x 28＋y 24＝1． …………4分 （2）当PQ 斜率不存在时，N 为(±22，0)，PQ 方程为x ＝±223，易得PQ ＝823， 此时S ＝12×MN ×PQ ＝12×823×823＝649． …………5分 当PQ 斜率存在时，设PQ 的方程为y ＝kx ＋m (m ≠0)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 28＋y 24＝1得(1＋2k 2)x 2＋4kmx ＋2(m 2－4)＝0， 由△＝(4km )2－8(1＋2k 2)(m 2－4)＞0，得0＜m 2＜8k 2＋4． （*）设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－4km 1＋2k 2，x 1x 2＝2(m 2－4)1＋2k 2， 因此PQ 的中点M 为(－2km 1＋2k 2，m 1＋2k 2)． 又因为ON →＝3MO →，所以N (6km 1＋2k 2，－3m 1＋2k 2)， 将点M 代入椭圆方程，得18k 2m 24(1＋2k 2)2＋9m 24(1＋2k 2)2＝1， 化简得2k 2＋1＝94m 2，符合（*）式． ……………9分 记点O 到直线l 的距离为d ，则S ＝4S △OPQ ＝2PQ ×d ＝21＋k 2|x 1－x 2|×d＝21＋k 2×22×8k 2＋4－m 21＋2k 2×|m |1＋k2＝42|m |×8k 2＋4－m 21＋2k 2， 将2k 2＋1＝94m 2代入，得S ＝42|m |×9m 2－m 294m 2＝649． 综上，△PQN 的面积S 为定值649． …………12分。

江苏省高二上学期数学期中考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共8题；共16分)1. （2分） (2020高一上·泉州期中) 命题“ ”的否定是（）A .B .C .D .2. （2分）经过A(2,0),B(5,3)两点的直线的倾斜角（）A . 45°B . 135°C . 90°D . 60°3. （2分） (2019高二上·大冶月考) 圆与圆的公共弦所在直线和两坐标轴所围成图形的面积为（）A . 1B . 2C . 4D . 84. （2分） (2020高二上·武汉期中) 在空间直角坐标系中，点M( ，y，2020）（x∈R，y∈R)构成的集合是（）A . 一条直线B . 平行于平面的平面C . 两条直线D . 平行于平面的平面5. （2分）(2018·石嘴山模拟) 将函数的图象向左平移个单位后得到函数的图象，则（）A . 为奇函数，在上单调递減B . 最大值为1，图象关于直线对称C . 周期为，图象关于点对称D . 为偶函数，在上单调递增6. （2分） (2019高二上·荔湾期末) 、为双曲线的左、右焦点，过作轴的垂线与双曲线交于，两点，，则的离心率为（）A .B .C .D .7. （2分）(2017·成都模拟) 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某四棱锥的三视图，则该四棱锥的外接球的表面积为（）A . 136πB . 34πC . 25πD . 18π8. （2分） (2020高二上·福州期中) 已知双曲线的左右焦点分别为，若双曲线上一点P使得，求的面积（）A .B .C .D .二、多选题 (共4题；共12分)9. （3分） (2020高二上·临澧期中) 以下说法正确的有（）A .B . 双曲线，则直线与双曲线有且只有一个公共点C . 过的直线与椭圆交于、两点，线段中点为，设直线斜率为，直线的斜率为，则D . 已知是以F1、F2为左、右焦点的椭圆上一点，则满足为直角的点有且只有2个10. （3分） (2019高二上·中山月考) 已知曲线，则曲线（）A . 关于轴对称B . 关于轴对称C . 关于原点对称D . 关于直线轴对称11. （3分） (2020高一下·邹城期中) 在中，，，，则角B的值可以是（）A . 105ºB . 15ºC . 45ºD . 135º12. （3分）(2020·肥城模拟) 如图,正方体的棱长为1,则下列四个命题正确的是（）A . 直线与平面所成的角等于B . 点C到面的距离为C . 两条异面直线和所成的角为D . 三棱柱外接球半径为三、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）(2017·乌鲁木齐模拟) 若ln（x+1）﹣1≤ax+b对任意x＞﹣1的恒成立，则的最小值是________．14. （1分） (2019高二上·大庆月考) 过椭圆的中心作一直线交椭圆于，两点，是椭圆的一个焦点，则周长的最小值是________．15. （1分） (2016高二上·温州期中) 已知数列{an}满足a1=1，a2=2，an+2=（1+cos2 ）an+sin2 ，则该数列的前10项和为________．16. （1分） (2020高一上·衢州期末) 函数的单调增区间是________，值域是________．四、解答题 (共6题；共60分)17. （10分） (2019高二上·会宁期中) 解关于不等式：18. （10分） (2016高二上·徐水期中) 已知圆c关于y轴对称，经过抛物线y2=4x的焦点，且被直线y=x 分成两段弧长之比为1：2，求圆c的方程．19. （10分） (2019高二下·上海期中) 如图，在正三棱柱中，是的中点，是线段上的动点，且 .（1）若，求证：；（2）求二面角的余弦值；（3）若直线与平面所成角的大小为，求的最大值20. （10分） (2018高二下·凯里期末) 已知椭圆的离心率为，且椭圆上的一点与两个焦点构成的三角形周长为 .（1）求椭圆的方程；（2）已知直线与椭圆相交于两点.①若线段中点的横坐标为，求的值；②在轴上是否存在点，使为定值？若是，求点的坐标；若不是，请说明理由.21. （10分） (2019高二上·北京期中) 求过点，离心率为的双曲线的标准方程．22. （10分） (2017高二下·濮阳期末) 已知直线y=﹣x+1与椭圆 + =1（a＞b＞0）相交于A、B两点．①若椭圆的离心率为，焦距为2，求线段AB的长；②若向量与向量互相垂直（其中O为坐标原点），当椭圆的离心率e∈[ ， ]时，求椭圆的长轴长的最大值．参考答案一、单选题 (共8题；共16分)答案：1-1、考点：解析：答案：2-1、考点：解析：答案：3-1、考点：解析：答案：4-1、解析：答案：5-1、考点：解析：答案：6-1、考点：解析：答案：7-1、考点：解析：答案：8-1、考点：解析：二、多选题 (共4题；共12分)答案：9-1、考点：解析：答案：10-1、考点：解析：答案：11-1、考点：解析：答案：12-1、考点：解析：三、填空题 (共4题；共4分)答案：13-1、考点：解析：答案：14-1、考点：解析：答案：15-1、考点：解析：答案：16-1、考点：解析：四、解答题 (共6题；共60分)答案：17-1、考点：解析：答案：18-1、考点：解析：答案：19-1、答案：19-2、答案：19-3、考点：解析：答案：20-1、答案：20-2、考点：解析：答案：21-1、考点：解析：。

2021~2022学年度第一学期期中考试高二数学试题本试卷共4页，22小题，满分150分．考试用时120分钟．1. 答卷前， 考生务必将自己的姓名、准考证号、学校、班级填写在答题卡上．2. 作答选择题时， 选出每小题答案后， 用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂 黑，如需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其他答案． 答案写在试卷上无效．3. 非选择题必须用黑色字迹的 0.5mm 签字笔作答， 答案必须写在答题卡各题目指定区域内相 应位置上； 如需改动， 先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液． 不按以上要 求作答无效．4. 考生必须保持答题卡的整洁．一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分， 共 40 分． 在每小题给出的四个选项中， 只有一项符合 题目条件要求．1. 直线过 ()2,3A 和 ()4,5B 两点， 则直线的倾斜角是 ()ΔA ． 30B ． 45C ． 135D ． 1502. 已知圆心为 ()2,1- 的圆与 y 轴相切， 则该圆的标准方程是 ()ΔA ． 22(2)(1)4x y ++-=B ． 22(2)(1)1x y ++-=C ． 22(2)(1)4x y -++=D ． 22(2)(1)1x y -++=3. 设 a R ∈， 直线 1:22l x ay a +=+ 与直线 2:1l ax y a +=+ 平行， 则 a 的值是 (A ． 1±B ． 1-C ． 1D ． 04. 经过点 ()2,3P - 作圆 22:2240C x y x ++-= 的弦 AB ， 使得点 P 平分弦 AB ， 则弦 AB 所在直线 的方程是（Δ ) A ． 50x y ++=B ． 50x y +-=C ． 50x y -+=D ． 50x y --=5. 两圆 221:(3)4C x y +-= 与 222:(4)9C x y -+= 的公切线有 (A ． 1 条B ． 2 条C ． 3 条D ． 4 条6. 已知点 F 是抛物线 22(0)x py p => 的焦点， O 为坐标原点， 若以 F 为圆心， FO 为半径的圆与直 线30y -+= 相切，则抛物线的准线方程是 ()ΔA ． 1x =-B ． 1y =-C ． 2x =-D ． 2y =- 7. 许多建筑融入了数学元素，更具神韵，数学赋予了建筑活力，数学的美也被建筑表现得淋漓尽致． 已知下面左图是单叶双曲面 (由双曲线绕虚轴旋转形成立体图形) 型建筑，右图是其中截面最细附近处的部分图象． 上下底面与地面平行． 现测得下底面直径 AB = 米， 上底面 直径 CD =米， AB 与 CD ． 间的距离为 80 米，与上下底面等距离的 G 处的直径等于 CD ． ， 则 最细部分处的直径为 ( Δ )A ． 20 米B ． 105 米C ． 103米D ． 10 米8. 已知实数 ,x y 满足方程4=，则 2x y ++ 的最大值是 ( Δ )A ．B ．C ．D ． 二、多项选择题： 本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分． 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求． 全部选5 分， 有选错的得 0 分， 部分选对的得 2 分．9. 已知 a 为实数， 若三条直线 280,43100ax y x y ++=+-=． 和 2100x y --= 不能围成三角形， 则 a 的值为 ( Δ )A ． 83B ． 1C ． 1-D ． 4- 10. 已知曲线 C 的方程为 ()22191x y k R k k +=∈--， 则下列结论正确的是 (Δ) A ． 当 5k = 时， 曲线 C 是半径为 2 的圆B ． 当 0k = 时， 曲线C 是双曲线， 其哳近线方程为 13y x =±．C ． 存在实数 k ， 使得曲线 C 为离心率为 的双曲线D ． " 1k > " 是“曲线 C 为焦点在 x 轴上的椭圆” 的必要不充分条件11. 已知直线 :sin cos 1l x y αα+= 与圆 22:6O x y += 交于 ,A B 两点，则下列说法正确的是（ Δ )A ． 直线 l 的倾斜角为 πα-B ． 线段 AB 的账度为定值，C ． 线段 AB 点轨迹方程为 221x y +=D ． 圆 O 上总有 4 个点到 l 的距离为 212. 在平面直角坐标系中，定义 ()1212,d P Q x x y y =-+- 为 ()()1122,,,P x y Q x y 两点之间的 "曼哈顿距离"， 则下列说法正确的是 ( Δ) A ． 若点 C 在线段 AB 上，则有 ()()(),,,d A C d C B d A B +=B ． 若 A BC 、、 是三角形的三个顶点， 则有 ()()(),,,d A C d C B d A B +>。

2023~2024学年第一学期高二期中调研试卷数学（答案在最后）注意事项学生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求：1．本卷共4页、包含单项选择题（第1题~第8题），多项选择题（第9题~第12题）.填空题（第13题~第16题）、解答题（第17题~第22题）．本卷满分150分，答题时间为120分钟．答题结束后，请将答题卡交回．2．答题前，请您务必将自己的学校、班级、姓名、考试号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在答题卡的规定位置．3．请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效，作答必须用0．5毫米黑色墨水的签字笔，请注意字体工整，笔迹清楚．一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上．1.直线320x y +-=的方向向量为（）A.()1,3- B.()1,3 C.()3,1- D.()3,1【答案】A 【解析】【分析】根据直线的斜率得到直线的一个方向向量为()1,k ，再求其共线向量即可.【详解】由题意得直线320x y +-=的斜率为-3，所以直线的一个方向向量为()1,3-，又()()1,31,3-=--，所以()1,3-也是直线320x y +-=的一个方向向量.故选：A.2.等差数列{}n a 中，若39218a a +=，则263a a +的值为（）A.36B.24C.18D.9【答案】B 【解析】【分析】由等差数列通项公式求基本量得5146d a a +==，再由2639532a a a a a +=++即可求值.【详解】令{}n a 的公差为d ，则3911122(2)831218a a a d a d a d +=+++=+=，即5146d a a +==，则2624683953218624a a a a a a a a a +=+++=++=+=.故选：B3.与直线3x﹣4y+5=0关于y 轴对称的直线方程是（）A.3x+4y+5=0 B.3x+4y﹣5=0C.3x﹣4y+5=0D.3x﹣4y﹣5=0【答案】B 【解析】【分析】分别求出直线3450x y -+=与坐标轴的交点，分别求得关于y 轴的对称点，即可求解直线的方程．【详解】令0x =，则54y =，可得直线3450x y -+=与y 轴的交点为5(0,)4，令0y =，则53x =-，可得直线3450x y -+=与x 轴的交点为5(,0)3-，此时关于y 轴的对称点为5(,0)3，所以与直线3450x y -+=关于y 轴对称的直线经过两点55(0,),(,0)43，其直线的方程为15534x y +=，化为3450x y +-=，故选B ．【点睛】本题主要考查了直线方程点的求解，以及点关于线的对称问题，其中解答中熟记点关于直线的对称点的求解，以及合理使用直线的方程是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．4.经过原点和点()3,1-且圆心在直线350x y +-=上的圆的方程为（）A.()()22510125x y -++= B.()()22125x y ++-=C.()()22125x y -+-= D.2252539x y ⎛⎫-+=⎪⎝⎭【答案】D 【解析】【分析】令圆心为(,53)x x -，由圆所经过的点及两点距离公式列方程求出圆心坐标，即可写出圆的方程.【详解】由题设，令圆心为(,53)x x -，又圆经过原点和点()3,1-，所以()()()2222253363r x x x x =+-=-+-，整理可得53x =，故圆心为5(,0)3，所以半径平方2259r =，则圆的方程为2252539x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭.故选：D5.设{}n a 是公差不为0的无穷等差数列，则“{}n a 为递减数列”是“存在正整数0N ，当0n N >时，0n a <”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】【分析】由等差数列的通项公式和一次函数性质，结合充分、必要性定义判断条件间的推出关系即可.【详解】令{}n a 公差为d 且0d ≠的无穷等差数列，且11(1)()n n d a a a dn d =+-=+-，若{}n a 为递减数列，则0d <，结合一次函数性质，不论1a 为何值，存在正整数0N ，当0n N >时0n a <，充分性成立；若存在正整数0N ，当0n N >时0n a <，由于0d ≠，即{}n a 不为常数列，故1()n a dn a d =+-单调递减，即0d <，所以{}n a 为递减数列，必要性成立；所以“{}n a 为递减数列”是“存在正整数0N ，当0n N >时，0n a <”的充分必要条件.故选：C6.已知点()4,3P ，点Q 在224x y +=的圆周上运动，点M 满足PM MQ =，则点M 的运动轨迹围成图形的面积为（）A.πB.2πC.3πD.4π【答案】A 【解析】【分析】设(,)M x y ，00(,)Q x y ，由动点转移法求得M 点轨迹方程，由方程确定轨迹后可得面积．【详解】设(,)M x y ，00(,)Q x y ，由PM MQ =得M 是线段PQ 中点，∴002423x x y y =-⎧⎨=-⎩，又Q 在圆224x y +=上，22(24)(23)4x y -+-=，即223(2)()12x y -+-=，∴M 点轨迹是半径为1的圆，面积为πS =，故选：A ．7.等比数列{}n a 中，123453a a a a a ++++=，222221234515a a a a a ++++=，则12345a a a a a -+-+=（）A.5-B.1-C.5D.1【答案】C 【解析】【分析】由等比数列前n 项和公式写出已知与待求式后，进行比较，已知两式相除即得.【详解】设公比为q ，显然1q ≠±，则由题意得5121012(1)31(1)151a q q a q q⎧-=⎪-⎪⎨-⎪=⎪-⎩，两式相除得51(1)51a q q +=+，所以551112345[1()](1)51()1a q a q a a a a a q q--+-+-+===--+，故选：C.8.过点()2,0P 作圆2241x y y +-=的两条切线，设切点分别为,A B ，则PAB 的面积为（）A.8B.2C.8D.【答案】A 【解析】【分析】写出圆的标准方程得圆心为(0,2)C，半径r =，进而有||CP =，由圆的切线性质得||||BP AP ==，sin BPC BPC ∠=∠=，2BPA BPC ∠=∠，最后应用倍角正弦公式、三角形面积公式求PAB 面积.【详解】由题设，圆的标准方程为22(2)5x y +-=，圆心为(0,2)C，半径r =，所以||CP =，如下图示，切点分别为,A B，则||||BP AP ===，所以||||sin ||||BC BP BPC BPC CP CP ∠==∠==2BPA BPC ∠=∠，所以15sin sin 22sin cos 4BPA BPC BPC BPC ∠=∠=∠∠=，所以11||||sin 2248PAB S BP AP BPA =∠==.故选：A二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求、全部选对得5分，选对但不全得2分，选错或不答得0分，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上．9.已知直线:0l x my m ++=，若直线l 与连接()()3,2,2,1A B -两点的线段总有公共点，则直线l 的倾斜角可以是（）A.2π3 B.π2C.π4D.π6【答案】ABC 【解析】【分析】求出直线l 过的定点，从而求得,AC BC k k ，进而利用数形结合可得直线l 倾斜角的范围，由此得解.【详解】因为直线:0l x my m ++=可化为()10x y m ++=，所以直线l 过定点()0,1C -，又()()3,2,2,1A B -，所以()21130AC k --==---，()11120BC k --==-，故直线AC 的倾斜角为3π4，直线BC 的倾斜角为π4，结合图象，可知直线l 的倾斜角范围为π3π,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦，故ABC 正确，D 错误.故选：ABC.10.设,n n S T 分别是等差数列{}n a 和等比数列{}n b 的前()*Nn n ∈项和，下列说法正确的是（）A.若15160a a +>，15170a a +<，则使0n S >的最大正整数n 的值为15B.若5nn T c =+（c 为常数），则必有1c =-C.51051510,,S S S S S --必为等差数列D.51051510,,T T T T T --必为等比数列【答案】BCD 【解析】【分析】A 由已知可得129152d a d -<<-，且0d <，再应用等差数列前n 项和公式及0n S >得1201a n d<<-，即可判断；B 由等比数列前n 项和公式有11511n n n b b q T c q q =-=+--，即可判断；C 、D 根据等差、等比数列片段和的性质直接判断.【详解】令{}n a 的公差为d ，则11(1)()n n d a a a dn d =+-=+-，所以151611517122902300a a a d a a a d +=+>⎧⎨+=+<⎩，故129152d a d -<<-，且0d <，使211(1)()0222n n n d dS na d n a n -=+=+->，则1201a n d <<-，而122930a d <-<，即121(30,31)ad-∈，故030n <≤，所以使0n S >的最大正整数n 的值为30，A 错；令{}n b 的公比为q 且0q ≠，则()11115111nnn n b q b b q T c qq q-==-=+---（公比不能为1），所以1511q b q =⎧⎪⎨=-⎪-⎩，即1c =-，B 对；根据等差、等比数列片段和的性质知：51051510,,S S S S S --必为等差数列，51051510,,T T T T T --必为等比数列，C 、D 对.故选：BCD11.已知等比数列{}n a 的公比为q ，前()*Nn n ∈项和为nS，前()*Nn n ∈项积为nT ，若1132a=，56T T =，则（）A.2q = B.当且仅当6n =时，n T 取得最小值C.()*11N ,11n n T T n n -=∈< D.n n S T >的正整数n 的最大值为11【答案】AC 【解析】【分析】根据56T T =确定6a ，561a q a =求出q 的值确定A ，根据数列项的变化，确定B ，利用等比数列的基本量运算判断C ，根据n n S T >转化二次不等式，从而确定正整数n 的最大值判断D.【详解】对于A ，因为56T T =，所以6651T a T ==，因为56132a q a ==，解得2q =，故A 正确；对于B ，注意到61a =，故15,Z n n ≤≤∈时，01n a <<，7,Z n n ≥∈时，1n a >，所以当5n =或6n =时，n T 取得最小值，故B 错误；对于C ，()()()21111215*221231222N ,11n n n nnn n n n T a a a a a q n n --+++--===⋅=∈< ，()()()()2111011111112105*221112111222N ,11n n n n nn n n n T a a a a q n n -----+++----===⋅=∈< ，所以()*11N ,11n n T T n n -=∈<，故C 正确；对于D ，()1512112n n n a q S q--==-，21122n n n T -=，因为n n S T >，所以211252212n nn -->，即211102212n n n -+->，所以211102212n n n -+->，即211102n n n -+>，所以131322n <<，正整数n 的最大值为12，故D 错误，故选：AC.12.已知圆22:4C x y +=，圆22:860M x y x y m +--+=（）A.若8m =，则圆C 与圆M 相交且交线长为165B.若9m =，则圆C 与圆M 有两条公切线且它们的交点为()3,4--C.若圆C 与圆M 恰有4条公切线，则16m >D.若圆M 恰好平分圆C 的周长，则4m =-【答案】AD 【解析】【分析】A 、B 将圆M 化为标准形式，确定圆心和半径，判断圆心距与两圆半径的关系，再求相交弦长判断；C 由题意知两圆相离，根据圆心距大于两圆半径之和及圆的方程有意义求参数范围；D 由题意相交弦所在直线必过(0,0)C ，并代入相交弦方程求参数即可.【详解】A ：8m =时圆22:(4)(3)17M x y -+-=，则(4,3)M，半径r =，而圆22:4C x y +=中(0,0)C ，半径2r '=，所以||5CM =，2||2CM -<<+，即两圆相交，此时相交弦方程为4360x y +-=，所以(0,0)C 到4360x y +-=的距离为65d =，故相交弦长为1625=，对；B ：9m =时圆22:(4)(3)16M x y -+-=，则(4,3)M ，半径4r =，同A 分析知：42||42CM -<<+，故两圆相交，错；C ：若圆C 与圆M 恰有4条公切线，则两圆相离，则||2CM r r r '>+=+，而圆22:(4)(3)25M x y m -+-=-，即r =所以250162525m m ->⎧⎪⇒<<⎨<⎪⎩，错；D ：若圆M 恰好平分圆C 的周长，则相交弦所在直线必过(0,0)C ，两圆方程相减得相交弦方程为8640x y m +--=，将点代入可得4m =-，对.故选：AD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案写在答题卡相应的位置上．13.若{}n a 是公差不为0的等差数列，248,,a a a 成等比数列，11a =，n S 为{}n a 的前()*Nn n ∈项和，则1210111S S S +++ 的值为___________．【答案】2011【解析】【分析】由等差数列中248,,a a a 成等比数列，解出公差为d ，得到n a ，求出n S ，裂项相消求1210111S S S +++ 的值.【详解】设等差数列{}n a 公差为d ，248,,a a a 成等比数列，由2428a a a =，则()()()211137a d a d a d +=++，即()()()213117d d d +=++，由0d ≠，得1d =，所以()11n a a n d n =+-=，则有()()1122n n n a a n n S ++==，得()1211211n S n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭，所以121011111101111112021211221311S S S ⎛⎫⎛⎫+++=-+-++=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭- .故答案为：201114.平面直角坐标系xOy 中，过直线1:7310l x y -+=与2:430l x y +-=的交点，且在y 轴上截距为1的直线l 的方程为_______________．（写成一般式）【答案】9550x y +-=【解析】【分析】设交点系方程，结合直线过(0,1)求方程即可.【详解】由题设，令直线l 的方程为731(43)0x y x y λ-+++-=，且直线过(0,1)，所以031(043)02λλ-+++-=⇒=，故直线l 的方程为9550x y +-=.故答案为：9550x y +-=15.如图，第一个正六边形111111A B C D E F 的面积是1，取正六边形111111A B C D E F 各边的中点222222,,,,,A B C D E F ，作第二个正六边形222222A B C D E F ，然后取正六边形222222A B C D E F 各边的中点333333,,,,,A B C D E F ，作第三个正六边形，依此方法一直继续下去，则前n 个正六边形的面积之和为_______________．【答案】3414n ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】根据题设分析出前n 个正六边形的面积是首项为1，公比为34的等比数列，应用等比数列前n 项和公式求面积和.【详解】由题设知：后一个正六边形与前一个正六边形的边长比值为2，故它们面积比为34，所以前n 个正六边形的面积是首项为1，公比为34的等比数列，所以前n 个正六边形的面积之和31()344[1()]3414nn S -==--.故答案为：34[1()]4n-16.已知实数,,a b c 成等差数列，在平面直角坐标系xOy 中，点()4,1A ，O 是坐标原点，直线:230l ax by c ++=．若直线OM 垂直于直线l ，垂足为M ，则线段AM 的最小值为___________．【答案】【解析】【分析】由等差数列的性质及直线方程有:()(3)0l a x y c y +++=，求出直线所过的定点，结合已知M 在以||OB 为直径的圆上，且圆心33(,22C -，半径为2，问题化为求()4,1A 到该圆上点距离的最小值.【详解】由题设2b a c =+，则:()30l ax a c y c +++=，即:()(3)0l a x y c y +++=，令03303x y x y y +==⎧⎧⇒⎨⎨+==-⎩⎩，即直线l 恒过定点(3,3)B -，又OM l ⊥，所以M 在以||OB 为直径的圆上，且圆心33(,)22C -，半径为2，要求AM 的最小值，即求()4,1A 到该圆上点距离的最小值，而52||2CA =，所以min 22AM =-=四、解答题：本题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知直线()1:2120l x a y ---=，()()()2:22130R l a x a y a ++++=∈．（1）若12l l ⊥，求实数a 的值；（2）若1//l 2l ，求12,l l 之间的距离．【答案】（1）1a =-或52；（2【解析】【分析】（1）由两线垂直的判定列方程求参数即可；（2）由两线平行的判定列方程求参数，注意验证是否存在重合情况，再应用平行线距离公式求距离.【小问1详解】由12l l ⊥，则2(2)(1)(21)0a a a +--+=，即22350a a --=，所以(25)(1)0a a -+=，可得1a =-或52.【小问2详解】由1//l 2l ，则22121a a a++=-，可得250a a +=，故0a =或5-，当0a =，则1:220l x y +-=，2:230l x y ++=，此时满足平行，且12,l l=；当5a =-，则1:310l x y +-=，2:310l x y +-=，此时两线重合，舍；综上，1//l 2l 时12,l l18.已知等差数列{}n a ，前()*Nn n ∈项和为n S ，又294,90a S ==．（1）求数列{}n a 的通项公式n a ；（2）设9n n b a =-，求数列{}n b 的前n 项和n T ．【答案】（1）2n a n =（2）()()228,14,N 832,5,N n n n n n T n n n n **⎧-≤≤∈⎪=⎨-+≥∈⎪⎩【解析】【分析】（1）根据等差数列的求和公式和等差数列的通项公式即得.（2）由992n n b a n =-=-，令920n c n =->求出n 的取值范围，再分段求出数列{}n b 的前n 项和nT 【小问1详解】设等差数列的公差为d ，首项为1a ，因为990S =，所以()199599902a a S a +===，所以510a =，由5231046a a d -==-=，解得2d =，又24a =，所以()()224222n a a n d n n =+-=+-⨯=；【小问2详解】992n n b a n=-=-设92n c n =-，{}n c 的前n 项和为n S ，得()279282n n S n n n +-=⨯=-，920n c n =->，得92n <当14n ≤≤时，0n c >，即n n b c =，所以214,8n n n T S n n≤≤==-当5n ≥时，得0n c <，所以n n b c =-，则()()12456n n T c c c c c c =+++-+++ ()()224442328832n n S S S S S n n n n =--=-=--=-+综上所述：()()228,14,N 832,5,N n n n n n T n n n n **⎧-≤≤∈⎪=⎨-+≥∈⎪⎩19.已知数列{}n a 的首项123a =，且满足121n n na a a +=+．（1）求证：数列11n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭为等比数列；（2）设()11n n n b a --=，求数列{}n b 的前2n 项和2n S ．【答案】（1）证明见解析（2）4134n n-⨯【解析】【分析】（1）121n n n a a a +=+，取倒数得1112n n n a a a ++=，化简整理即可判断11n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭为等比数列；（2）法一：将2n S 转化为()1111n n a +⎧⎫⎛⎫⎪⎪--⎨⎬ ⎪⎪⎪⎝⎭⎩⎭的前n 项和，结合（1）中结论即可得解；法二：结合（1）中结论得()1112n n n b -⎛⎫=--- ⎪⎝⎭，应用分组求和及等比数列的前n 项和公式即可得解.【小问1详解】因为1122,13n n n a a a a +==+，所以0n a ≠，所以11111222n n n n a a a a ++==+，所以1111122n n a a +-=-，即11111(1)2n na a +-=-因为11211,1032a a =-=≠，1111121n na a +-=-，所以11n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是以12为首项，12为公比的等比数列；【小问2详解】法一：21234212111111n n nS a a a a a a -=-+-++- 1234212111111111111n n a a a a a a -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=---+---++-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭易知()1111n n a +⎧⎫⎛⎫⎪⎪--⎨⎬ ⎪⎪⎪⎝⎭⎩⎭是以12为首项，12-为公比的等比数列，所以2221111122412133412n n n n n S ⎡⎤⎛⎫⎛⎫--⎢⎥ ⎪- ⎪⎝⎭-⎢⎥⎣⎦⎝⎭===⨯⎛⎫-- ⎪⎝⎭；法二：由（1）1112n n a ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以1112n n a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以()()111112n nn n n b a ---⎛⎫==--- ⎪⎝⎭所以22211111224120133412n n n n n S ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫---⎢⎥ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭⎝⎭-⎢⎥⎣⎦⎝⎭=-==⨯⎛⎫-- ⎪⎝⎭．20.如图，等腰梯形ABCD 中，AB ∥CD ，28AB CD ==，,AB CD 间的距离为4，以线段AB 的中点为坐标原点O ，建立如图所示的平面直角坐标系，记经过,,,A B C D 四点的圆为圆M ．（1）求圆M 的标准方程；（2）若点E 是线段AO 的中点，P 是圆M 上一动点，满足24PO PE ≥，求动点P 横坐标的取值范围．【答案】（1）2216524x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭（2）652,2⎡⎢⎣⎦【解析】【分析】（1）根据圆所过点的坐标求解圆的方程即可.（2）根据P 是圆M 上一动点，满足24PO PE ≥，设P 点坐标带入化简求解，依据图像即可得出答案.【小问1详解】如图，因为28AB CD ==，,AB CD 间的距离为4，所以()()()()4,0,4,0,2,4,2,4A B C D --，经过,,,A B C D 四点的圆即经过,,A B C 三点的圆，法一：AB 中垂线方程即0x =，BC 中点为()3,2，04242BC k -==--，所以BC 的中垂线方程为()1232y x -=-，即1122y x =+，联立01122x y x =⎧⎪⎨=+⎪⎩，得圆心坐标10,2M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()2216540022MB ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭所以圆M 的标准方程为2216524x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭；法二：设圆M 的一般方程为()2222040x y Dx Ey F D E F ++++=+->，代入()()()4,0,4,0,2,4A B C -，4160416024200D F D F D E F -++=⎧⎪++=⎨⎪+++=⎩解得0116D E F =⎧⎪=-⎨⎪=-⎩，所以圆M 的标准方程为2216524x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭；法三：以AB 为直径的圆方程为()()2440x x y +-+=，直线:0AB y =，设圆M 的方程为()()2440x x y y λ+-++=，代入()2,4C ，解得1λ=-，所以圆M 的标准方程为2216524x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭；【小问2详解】()2,0E -，设圆M 上一点(),P x y ，()(),,2,PO x y PE x y =--=--- ，因为24PO PE ≥，所以()()()224x x y y ---+--≥，即222240x y x ++-≥，由222240x y x ++-≥对应方程为圆()22222240125x y x x y ++-=⇒++=所以P 点在圆()22125x y ++=上及其外部，22221602240x y y x y x ⎧+--=⎨++-=⎩解得122,4x x ==，所以两圆交点恰为()()4,0,2,4B C ，结合图形，当圆M 上一点纵坐标为12时，横坐标为342x =>，所以点P横坐标的取值范围是2,2⎡⎢⎣⎦．.21.平面直角坐标系xOy 中，直线0:3213x y l +-=，圆M ：22128480x y x y +--+=，圆C 与圆M 关于直线l 对称，P 是直线l 上的动点．（1）求圆C 的标准方程；（2）过点P 引圆C 的两条切线，切点分别为,A B ，设线段AB 的中点是Q ，是否存在定点H ，使得QH 为定值，若存在，求出该定点H 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）224x y +=（2）存在；64,1313H ⎛⎫⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）利用对称求出C 点坐标，即可得到圆C 的标准方程；（2）设P 点坐标，,A B 在以PC 为直径的圆N 上，由圆C 与圆N 求公共弦AB ，得直线AB 过定点T ，Q 点是在以CT 为直径的圆上，所以存在点H 是CT 的中点，使得QH 为定值．【小问1详解】圆M 化成标准方程为()()22644x y -+-=，圆心()6,4M ，半径为2，设圆心()00,C x y ，圆C 与圆M 关于直线l 对称，直线0:3213x y l +-=的斜率为32-，所以00004263643213022y x x y -⎧=⎪-⎪⎨++⎪⨯+⨯-=⎪⎩，解得0000x y =⎧⎨=⎩，所以()0,0C ，圆C 的方程为224x y +=.【小问2详解】因为P 是直线l 上的动点，设132,32P t t ⎛⎫- ⎪⎝⎭，,PA PB 分别与圆C 切于,A B 两点，所以,CA PA CB PB ⊥⊥，所以,A B 在以PC 为直径的圆N上，圆N 的方程()22221331334242t t x t y t ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-+--=+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，即22132302x y tx t y ⎛⎫+-+-= ⎪⎝⎭AB 为圆C 与圆N 的公共弦，由222240132302x y x y tx t y ⎧+-=⎪⎨⎛⎫+-+-= ⎪⎪⎝⎭⎩，作差得AB 方程为1323402tx t y ⎛⎫---= ⎪⎝⎭即()1323402t x y y -+-=令23013402x y y -=⎧⎪⎨-=⎪⎩得1213813x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，设128,1313T ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以直线AB 过定点128,1313T ⎛⎫ ⎪⎝⎭，又Q 是AB 中点，所以CQ AB ⊥，则有Q 点是在以CT 为直径的圆上，所以存在点H 是CT 的中点，使得12QH CT =为定值，坐标为64,1313H ⎛⎫ ⎪⎝⎭.22.记首项为1的递增数列为“W -数列”．（1）已知正项等比数列{}n a ，前()*Nn n ∈项和为n S ，且满足：222n n a S +=+．求证：数列{}n a 为“W -数列”；（2）设数列{}()*Nn b n ∈为“W -数列”，前()*N n n ∈项和为n S ，且满足()32*1N n i n i b S n ==∈∑．（注：3333121n i n i bb b b ==+++∑ ）①求数列{}n b 的通项公式n b ；②数列{}()*N n c n ∈满足33n n n b b c =，数列{}n c 是否存在最大项？若存在，请求出最大项的值，若不存在，请说明理由．（参考数据： 1.44≈≈）【答案】（1）证明见解析（2）①n b n =；②存在；最大项为31c =【解析】【分析】（1）利用等比数列中,n n a S 的关系求解；（2）利用等差数列的定义以及,n n a S 的关系求解，并根据数列的单调性求最值.【小问1详解】设正项等比数列{}n a 的公比为()0q q >，因为222n n a S +=+，则3122n n a S ++=+，两式相减得3212n n n a a a +++-=，即()()()2112210n n a q q a q q ++--=-+=,因为0,0n a q >>，所以2q =，222n n a S +=+中，当1n =时，有3122=+a a ，即11422a a =+，解得11a =，因此数列{}n a 为“W -数列”；【小问2详解】①因为()32*1N n i n i bS n ==∈∑所以3211b b =，又{}n b 为“W -数列”，所以11b =，且1n n b b +>，所以{}n b 各项为正，当2n ≥，321n i ni b S ==∑①，13211n i n i b S --==∑②，①一②得：3221n n n b S S -=-，即()()311n n n n n b S S S S --=-+，所以21n n n b S S -=+③，从而211n n n b S S ++=+④，④-③得：2211n n n n b b b b ++-=+，即()()111n n n n n n b b b b b b ++++-=+，由于{}n b 为“W -数列”，必有10n n b b ++>，所以11n n b b +-=，()2n ≥，又由③知2221b S S =+，即22122b b b =+，即22220b b --=得22b =或21b =-（舍）所以211b b -=，故()*11n n b b n N +-=∈所以{}n b 是以1为首项，公差是1的等差数列，所以n b n =；②303n n n c =>，所以31113n n c n c n ++⎛⎫= ⎪⎝⎭，令311113n n c n c n ++⎛⎫=< ⎪⎝⎭，得 2.27n >≈，。

2023年-2024学年度第一学期期中考试高二数学试卷（答案在最后）一、单选题（共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.）1.直线()1330a x y +++=与直线()110x a y +-+=平行，则实数a 的值为（）A.2B.12C.2-D.2或2-【答案】C 【解析】【分析】求出两直线不相交时的a 值，再验证即可得解.【详解】当直线()1330a x y +++=与直线()110x a y +-+=不相交时，(1)(1)3a a +-=，解得2a =±，当2a =时，直线3330x y ++=与直线10x y ++=重合，不符合题意，舍去；当2a =-时，直线330x y -++=，即330x y --=与直线310x y -+=平行，所以实数a 的值为2-.故选：C2.已知A ，B ，C 三点不共线，对空间任意一点O ，若311488OP OA OB OC =++，则可以得到结论是,,,P A B C 四点（）A.共面B.不一定共面C.无法判断是否共面D.不共面【答案】A 【解析】【分析】根据空间向量线性运算化简得1166AP PB PC =+，即可判断四点位置情况.【详解】311488OP OA OB OC =++,则3311114488808OC OA OP OB OP OP ---+=+，所以3110488PA PB PC ++=，则1166A P PBC P -=- ，故,,,P A B C 四点共面.故选：A3.已知向量()2a = ，向量(= b ，则向量a 在向量b上的投影向量为（）A.122骣ççç÷ç桫,,0 B.()2C.(D.)【答案】D 【解析】【分析】由空间向量数量积的几何意义及投影向量的定义，应用向量数量积、模长的坐标运算求向量a 在向量b上的投影向量.【详解】向量a 在向量b 上的投影向量为()434||||a b b b b ⋅⋅=⋅=.故选：D.4.若圆222410x y x y ++-+=被直线()2200,0ax by a b -+=>>平分，则11a b+的最小值为（）A.14B.9C.4D.19【答案】C 【解析】【分析】由题意得圆心(1,2)-在直线()2200,0ax by a b -+=>>上，即得1a b +=，再利用基本不等式“1”的妙用即可求解.【详解】由圆222410x y x y ++-+=被直线()2200,0ax by a b -+=>>平分，得圆心(1,2)-在直线()2200,0ax by a b -+=>>上，则2220a b --+=，即1a b +=，而0,0a b >>，则1111()()224b a a b a b a b a b +=++=++≥=，当且仅当b a a b =，即12a b ==时取等号，所以11a b+的最小值为4.故选：C5.已知平行六面体1111ABCD A B C D -的所有棱长均为2，1160BAD BAA DAA ∠=∠=∠=︒，M 为11C D 的中点，则向量AM的模长为（）A.B.4C.D.【答案】C 【解析】【分析】以1,,AB AD AA 为基底表示出AM，再利用数量积的运算律计算可得.【详解】由平行六面体1111ABCD A B C D -的所有棱长均为2，1160BAD BAADAA ∠=∠=∠=︒，得1122cos602AB AD AA AD AB AA ⋅=⋅=⋅=⨯⨯︒=，依题意，11112AM AD DD D M AB AD AA =++=++，因此22222111111()224AM AB AD AA AB AD AA AB AD AB AA AD AA =++=+++⋅+⋅+⋅22212222222174=⨯+++++⨯=，所以MN = .故选：C6.已知A 、B 为椭圆22143x y +=上两点，O 为坐标原点，M （异于点O ）为弦AB 中点，若AB 两点连线斜率为12，则OM 两点连线斜率为（）A.23-B.32-C.34-D.43-【答案】B 【解析】【分析】首先利用直线和椭圆的位置关系建立方程组，进一步利用一元二次方程根和系数关系式和中点坐标公式的应用求出结果．【详解】由于直线AB 的斜率为12，故设直线的方程为12y x b =+，设1122(,),(,)A x y B x y ，故2214312x y y x b ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，整理得2230x bx b ++-=，则()222431230b b b ∆=--=->，即22b -<<，故12x x b +=-，故()121213222b y y x x b +=++=．利用中点坐标公式，3,,24b b M b ⎛⎫-⎪⎝⎭不是零，故34322OMbk b ==--．故选：B ．7.已知点P 是圆M ：()()22222x y -+-=上的动点，线段AB 是圆C ：()()22114x y +++=的一条动弦，且AB =PA PB +的最大值是（）A.1+B.C.1+D.2+【答案】D 【解析】【分析】设AB 中点为D ，计算1CD =，CM =2PA PB PD +=，计算最值得到答案.【详解】圆M ：()()22222x y -+-=，圆心()2,2M，半径1r =；圆C ：()()22114x y +++=，圆心()1,1C --，半径22r =；设AB 中点为D ，则圆心C 到直线AB 的距离为1CD ==，圆心距为CM ==，2PA PB PD +=，PD最大值为11+=，故PA PB +的最大值为2+.故选：D.8.《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑．在如图所示的鳖臑A BCD -中，AB ⊥平面BCD ，90BDC ∠=︒，222BD AB CD ===，E 是BC 的中点，H 是ABD △内的动点（含边界），且//EH 平面ACD ，则CA EH ⋅的取值范围是（）A.[]0,3 B.1,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦C.111,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦D.113,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】B 【解析】【分析】依题意作出图形，利用面面平行的判定定理可得平面//EFG 平面ACD ，再由线面垂直的判定定理可得CD ⊥平面ABD ，进而有EG FG ⊥，cos FGEFG EF∠=，结合空间向量的数量积运算即可求解.【详解】设F ，G 分别为AB ，BD 的中点，连接FG ，EF ，EG ，如图，易得//FG AD ，//EF AC ，//EG CD ，因为FG ⊂平面EFG ，AD ⊄平面EFG ，所以//AD 平面EFG ，同理//AC 平面EFG ，又因为,AC AD ⊂平面ACD ，AC AD A ⋂=，所以平面//EFG 平面ACD .因为//EH 平面ACD ，所以H 为线段FG 上的点.由AB ⊥平面BCD ，CD ⊂平面BCD ，得AB CD ⊥，又90BDC ︒∠=，则BD CD ⊥，由,,AB BD B AB BD =⊂I 平面ABD ，得CD ⊥平面ABD ，因为//EG CD ，所以EG ⊥平面ABD ，EG FG ⊥，cos FGEFG EF∠=.因为222BD AB CD ===，所以122FG AD ==，BC =，122EF AC ==.所以()2222CA EH EF EF FH EF EF FH⋅=⋅+=+⋅ ()2222cos π22cos EF EF FH EFG EF EF FH EFG =+⋅-∠=-⋅∠2223EF FH FG =-⋅= .因为0,2FH ⎡∈⎢⎣⎦，所以1,32CA EH ⎡⎤⋅∈⎢⎥⎣⎦ .故选：B.【点睛】关键点睛：本题解决的关键是推得H 为线段FG上的点，从而利用空间向量数量积的定义得到3CA EH ⋅= ，从而得解.二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.）9.直线l 过点()2,1A ，且在两坐标轴上的截距的绝对值相等，则直线l 在y 轴上的截距可能是（）A.1- B.1C.3D.0【答案】ACD 【解析】【分析】考虑直线过原点，直线不过原点且截距相同，直线不过原点且截距相反，计算得到答案.【详解】当直线过原点时，设直线方程为y kx =，则12k =，解得12k =，此时在y 轴上的截距为0；当直线不过原点且截距相同，设直线方程为1x ya a +=，则211a a +=，解得3a =，此时在y 轴上的截距为3；当直线不过原点且截距相反，设直线方程为1x y a a -=，则211a a-=，解得1a =，此时在y 轴上的截距为1-；综上所述：截距可能为0,1,3-.故选：ACD10.已知直线l ：kx y k 0--=，圆M ：2210x y Dx Ey ++++=的圆心坐标为()2,1，则下列说法正确的是（）A.直线l 恒过点()1,0B .4D =-，2E =-C.直线l 被圆M 截得的最短弦长为D.若点(),P x y 是圆M 上一动点，x y -的最小值为-【答案】AB 【解析】【分析】直线l 恒过点()1,0A ，A 正确，根据圆的一般方程计算B 正确，计算弦长的最小值为C 错误，确定1x y ⎡-∈-+⎣，D 错误，得到答案.【详解】圆M ：2210x y Dx Ey ++++=的圆心坐标为()2,1M ，故22D -=，12E -=，解得4D =-，2E =-，圆方程为()()22214x y -+-=，对选项A ：因为直线():1l y k x =-恒过点()1,0A ，正确；对选项B ：4D =-，2E =-，正确；对选项C ：当直线l 与AM 垂直时，弦最短，此时AM =弦长为=，错误；对选项D ：设x y a -=，即0x y a --=2=，解得1a =-或1a =+，故1x y ⎡-∈-+⎣，错误；故选：AB11.已知椭圆M ：()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为()1F ，)2F ，过点2F 且垂直于x 轴的直线与该椭圆相交于A ，B 两点，且1AB =，点P 在该椭圆上，则下列说法正确的是（）A.存在点P ，使得1290F PF ∠=︒B.若1260F PF ∠=︒，则123F PF S =△C.满足12F PF △为等腰三角形的点P 只有2个D.12PF PF -的取值范围为⎡-⎣【答案】AD 【解析】【分析】求出椭圆方程，利用动点P 的位置变化，研究12F PF ∠的取值范围判断A ；根据椭圆的几何性质及余弦定理求解判断B ；分类讨论，借助方程组求动点坐标判断C ；利用三角形不等式求解判断D.【详解】由椭圆2222:1x y M a b+=的左右焦点分别为()1F 、)2F ，得c ==将x =代入22221x y a b +=，则22231y a b +=，解得2b y a =±，不妨令2b A a ⎫⎪⎭，2b B a ⎫-⎪⎭，由1AB =，则221b a =，即22a b =，将其代入223a b -=，可得232a a -=，化简得()()2320a a +-=，由0a >，解得2a =，则椭圆22:14x M y +=，对于A ，当点P 为椭圆的上（或下）顶点时，12F PF ∠最大，如图：由椭圆22:14x M y +=，则1PO =，22PF =，在2Rt OPF 中，260POF ∠=，由对称性得12120F PF ∠=，因此12F PF ∠的取值范围为2π0,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦，A 正确；对于B ，如图：设1PF m =，2PF n =，则24m n a +==，1223F F c ==，在12F PF △中，由余弦定理得22212121212cos 2PF PF F F F PF PF PF +-∠=⋅⋅，即2212cos 602m n mn+-=o，整理得43=mn ，因此121212113sin sin 60223F PF S PF PF F PF mn =⋅⋅⋅∠==，B 错误；对于C ，设1PF m =，2PF n =，则4m n +=，1223F F c ==，当2m n ==时，12F PF △为等腰三角形，此时P 的坐标为()0,1或()0,1-，当12m F F =时，12F PF △为等腰三角形，此时3m =，设(),P x y ，则()22221433x y x y ⎧+=⎪⎪++=，消去y 得2383320x x +-=，由(()28343325760∆=-⨯⨯-=>，则方程有解，C 错误；对于D ，显然12123||||||||PF PF F F -≤=，当且仅当点P 为椭圆长轴端点时取等号，因此12|||323|2PF PF -≤≤-D 正确.故选：AD12.直三棱柱111ABC A B C -中，1,1AB AC AB AC AA ⊥===，点D 是线段1BC 上的动点（不含端点），则（）A.CD 与1AC 一定不垂直B.AC //平面1A BDC.三棱锥1A ABC -的外接球表面积为3πD.AD DC +的最小值为【答案】BCD 【解析】【分析】利用空间向量法判断AD 选项的正确性，根据线面平行、外接球的知识判断BC 选项的正确性.【详解】A 选项，以A 为原点建立如图所示空间直角坐标系，()()()()110,1,0,1,0,0,0,1,1,1,1,1C B C BC =-，设()101BD BC λλ=<<，则(),,BD λλλ=- ，()()1,,,1,1,AD AB BD CD λλλλλλ=+=-=--，1121CD AC λλλ⋅=-+=-，可知当12λ=时，CD 与1AC 垂直，所以A 选项错误.B 选项，由于11//,AC A C AC ⊄平面11A BC ，11AC ⊂平面11A BC ，所以//AC 平面11A BC ，而平面1A BD 即平面11A BC ，所以AC //平面1A BD ，B 选项正确.C 选项，将三棱锥1A ABC -补形成正方体如图所示，三棱锥1A ABC -的外接球也即正方体的外接球，设正方体外接球的半径为R ，则2R =所以外接球的表面积为24πR 3π=，C 选项正确.D 选项，先证明不等式≥，当且仅当ad bc =且0ac bd +≤时等号成立：设()()(),,,,,x a b y c d x y a c b d ==+=++，所以x y x y +=+=根据向量加法的三角形法则可知x y x y +≥+，当,x y同向，即ad bc =且0ac bd +>时等号成立，+≥，当且仅当ad bc =且0ac bd +≤时等号成立.（证毕）所以AD CD AD CD +=+===≥，当且仅当1233λλ⎫⎫-=-⎪⎪⎭⎭12033λλ⎫⎫--+⎪⎪⎭⎭，即12λ=时等号成立，所以D 选项正确.故选：BCD三、填空题（本题共4小题，每题5分，共20分.）13.直线2390x y --=的一个方向向量为________.【答案】2(1,)3（答案不唯一）【解析】【分析】根据给定的直线方程，求出直线的斜率，再写出方向向量即可.【详解】直线2390x y --=的斜率23k =，所以直线直线2390x y --=的一个方向向量为2(1,)3.故答案为：2(1,)314.已知直线1l ：220x y --=的倾斜角为θ，直线2l 的倾斜角为2θ，且直线2l 在y 轴上的截距为3，则直线2l 的一般式方程为________.【答案】4390x y -+=【解析】【分析】确定1tan 2θ=，计算4tan 23θ=，得到直线斜率，再计算直线方程得到答案.【详解】直线1l ：220x y --=的倾斜角为θ，则1tan 2θ=，故22tan 4tan 21tan 3θθθ==-，故直线2l 的斜率为43k =，截距为3，故直线方程为433y x =+，即4390x y -+=.故答案为：4390x y -+=15.若点O 和点F 分别为椭圆22143x y +=的中心和左焦点，点P 为椭圆上任意一点，则OP ·FP 的取值范围为________.【答案】[]2,6【解析】【分析】可设(,)P x y ，可求得OP 与FP 的坐标，利用向量的数量积的坐标公式结合椭圆的方程即可求得其答案．【详解】点P 为椭圆22143x y +=上的任意一点，设(,)(22,P x y x y -≤≤≤≤，依题意得左焦点(1,0)F -，(,)OP x y = ，(1,)FP x y =+uu r ，2(1)OP FP x x y ⋅=++ 221234x x x -=++2134x x =++21(1)22x =++，22x -≤≤ ，10122x ∴≤+≤，210(1)42x ∴≤+≤，212(1)262x ∴≤++≤．则26OP FP ≤⋅≤ ．故答案为：[]2,6．16.已知圆C ：()()221310x y -++=和点()5,M t ，若圆C 上存在两点A ，B 使得MA MB ⊥，则实数t 的取值范围是________.【答案】51t -≤≤-【解析】【分析】利用题设条件，分析MA MB ⊥且与圆C 交于,A B 的临界情况，由点M 在临界点之间移动的变化情况运算即可得解.【详解】圆C ：()()221310x y -++=，则半径为，()1,3C -，如上图，对于直线5x =上任意一点()5,M t ，当,AM BM 均为圆的切线时AMB ∠最大，由题意，MA MB ⊥即90AMB ∠= 时，此时M 为满足题设条件的临界点，此时有=sin 2AC AMC CM ∠≥.当M 在临界点之间移动时，有2AC CM ≥2≥，即有：()234t +≤，解得：51t -≤≤-.故答案为：51t -≤≤-.四、解答题（共6小题，共70分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.）17.已知ABC 的顶点()4,2A ，顶点C 在x 轴上，AB 边上的高所在的直线方程为20x y m ++=.（1）求直线AB 的方程；（2）若AC 边上的中线所在的直线方程为40x y --=，求m 的值.【答案】（1）260x y --=；（2）6-.【解析】【分析】（1）求出直线AB 的斜率，利用点斜式可得出直线AB 的方程；（2）设点(),0C t ，利用AC 的中点在直线40x y --=上，求出t 值，再由点C 在直线20x y m ++=上求出m 值.【小问1详解】依题意，由AB 边上的高所在的直线的斜率为12-，得直线AB 的斜率为2，又()4,2A ，所以直线AB 的方程为()224y x -=-，即260x y --=.【小问2详解】由C 点在x 轴上，设(),0C t ，则线段AC 的中点4(,1)2t D +，由点D 在直线40x y --=上，得41402t +--=，得6t =，即()6,0C ，又点C 在直线20x y m ++=上，因此60m +=，解得6m =-，所以m 的值为6-.18.如图，在四棱锥O ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的正方形，OA ⊥底面ABCD ，2OA =，M 为OA 的中点，N 为BC 的中点，解答以下问题：（1）证明：直线//MN 平面OCD ；（2）求直线AC 与平面OCD 所成角的余弦值.（3）求点N 到平面OCD 的距离.【答案】（1）证明见解析；（2）2；（3）2.【解析】【分析】（1）根据给定条件，以A 为坐标原点建立空间直角坐标系，利用空间位置关系的向量证明推理即得.（2）由（1）结论，利用线面角的向量求法求解即得.（3）由（1）结论，利用点到平面距离的向量求法求解即得.【小问1详解】在四棱锥O ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的正方形，OA ⊥底面ABCD ，则,,AB AD AO 两两垂直，以A 为坐标原点，,,AB AD AO 所在直线分别为,,x y z轴，建立空间直角坐标系，如图，由2OA =，M 为OA 的中点，N 为BC 的中点，得()()()()()()0,0,0,0,0,1,2,1,0,0,0,2,2,2,0,0,2,0A M N O C D ，即()()()2,1,1,2,2,2,0,2,2MN OC OD =-=-=- ，设平面OCD 的法向量为(),,n x y z = ，则2220220n OC x y z n OD y z ⎧⋅=+-=⎪⎨⋅=-=⎪⎩ ，取1z =，得()0,1,1n = ，则110n MN ⋅=-= ，MN ⊄平面OCD ，所以直线//MN 平面OCD .【小问2详解】由（1）知，()2,2,0AC = ，且平面OCD 的一个法向量为()0,1,1n = ，设直线AC 与平面OCD 所成角为θ，则||1sin |cos ,|2||||n AC n AC n AC θ⋅=〈〉==，cos 2θ==所以直线AC 与平面OCD所成角的余弦值为2【小问3详解】由（1）知，()0,1,0NC = ，且平面OCD 的一个法向量为()0,1,1n = ，所以点N 到平面OCD的距离||2||NC n d n ⋅=== .19.一个火山口的周围是无人区，无人区分布在以火山口中心()0,0O 为圆心，半径为400km 的圆形区域内，一辆运输车位于火山口的正东方向600km 处准备出发，若运输车沿北偏西60°方向以每小时km 的速度做匀速直线运动：（1）运输车将在无人区经历多少小时？（2）若运输车仍位于火山口的正东方向，且按原来的速度和方向前进，为使该运输车成功避开无人区，求至少应离火山口多远出发才安全？【答案】（1）5小时（2）800km【解析】【分析】（1）根据题意，以火山口的位置为坐标原点O ，其正东方向为x 轴正方向，正北方向为y 轴正方向，建立平面直角坐标系，结合点到直线的距离公式求得弦长，即可得到结果；（2）根据题意，由直线与圆相切，即可得到结果.【小问1详解】以火山口的位置为坐标原点O ，其正东方向为x 轴正方向，正北方向为y 轴正方向，建立平面直角坐标系，如图所示，记运输车从()600,0A 出发，点N 处开始进入无人区，到M 处离开无人区，则圆O 方程为222400x y +=，由运输车沿北偏西60°方向运动，可得直线AB的斜率tan1503k =︒=-，则():6003AB l y x =--，即30y +-=，因为O 到AB l 的距离为300km OO '==,则2MN =⨯==，5=小时.【小问2详解】设运输车至少应离火山口km a 出发才安全，此时运输车的行驶直线刚好与圆O 相切，且直线方程为)33y x a =--30y +-=，则O到直线的距离400d ==，解得800a =，即运输车至少应离火山口800km 出发才安全.20.已知点()4,1-A ，()0,3B ，圆C 的半径为1.（1）若圆C 的圆心坐标为()3,2C ，过点A 作圆C 的切线，求此切线的方程；（2）若圆C 的圆心C 在直线l ：1y x =-上，且圆C 上存在点M ，使2MB MO =，O 为坐标原点，求圆C 圆心的横坐标a 的取值范围.【答案】（1）4x =或43130x y +-=（2）,,2222⎡--⎢⎣⎦⎣⎦【解析】【分析】（1）确定圆方程，考虑切线斜率不存在和存在两种情况，根据圆心到直线的距离等于半径计算得到答案.（2）确定圆方程，根据2MB MO =得到M 的轨迹为圆，确定两圆的位置关系，解得答案.【小问1详解】圆C 的圆心坐标为()3,2C ，半径为1，故圆方程为()()22321x y -+-=，当切线斜率不存在时，易知4x =与圆相切；当切线斜率存在时，设切线方程为()41y k x =--，即410kx y k ---=，1=，解得43k =-，切线方程为：43130x y +-=；综上所述：切线方程为4x =或43130x y +-=.【小问2详解】圆方程为()()2211x a y a -+-+=，设(),M x y ，2MB MO ==整理得的()22+1=4x y +，故M 在两圆的交点上，故两圆相切或者相交，即212+1-≤≤，解得32222a -≤≤-或23222a ≤≤，故322232,,2222a ⎡∈--⎢⎣⎦⎣⎦.21.如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，AD BC ∥，AD CD ⊥，且AD CD ==，BC =2PA =.（1）求证：AB PC ⊥；（2）在线段PD 上，是否存在一点M ，使得平面MAC 与平面PBC 所成角的大小为30︒，如果存在，求PM PD 的值，如果不存在，请说明理由.【答案】（1）证明见解析（2）存在，12或78；理由见解析【解析】【分析】（1）根据题意可先证明AB APC ⊥面，又因为PC 在面APC 内，从而可证；（2）建立空间向量直角坐标系，根据已知条件用空间向量求解证明是否存在.【小问1详解】如图，取BC 的中点为E ，连接AE ，因AD EC =，AD EC ∥，所以得：四边形AECD 为平行四边形.从而得：AE CD ∥，AE CD =，又因为AD BC ∥，AD CD ⊥，所以得：4AB ==，4AC ==，从而得：22232AB AC BC +==，所以得：AC AB ⊥，因为PA PAC ⊥平面，AB PAC ⊂平面，得：PA AB ⊥；又因为,AC PA PAC ⊂平面，且AC PA A ⋂=，所以得：AB PAC ⊥平面；又因为PC PAC ⊂平面，所以得：AB PC ⊥.故可证：AB PC ⊥.【小问2详解】存在，理由如下：由（1）如图建立以A 点为原点的空间直角坐标系.得：()0,0,0A，()0,D，()C ，()002P ,,，()B -得：()AC =，()0,2PD =- ，()0,0,2AP =，()2CP =--，()0,CB =- 设()01PM PD λλ=≤≤，得：()02,,PM λ=-，()022,,AM AP PM λ=+=- ，设平面MAC 的一个法向量为(),,n x y z = ，得：()0220n AC n AM y z λ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+-=⎪⎩ ，令：1x λ=-，得：1y λ=-，z =，所以得：()11,n λλ=-- ，设平面PBC 的一个法向量为(),,m a b c = ，得：020m CB m CP c ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-++=⎪⎩ ，令：1a =，得：0b =，c =所以得：(m = ，又因为平面MAC 与平面PBC 所成角的大小为30︒，所以得：cos302m n m n ⋅︒===⋅ ，化简得：2162270λλ-+=，解之得：12λ=或78λ=.故答案为：存在，12或78.22.已知()0,1P 为椭圆C ：()222210x y a ba b+=>>上一点，长轴长为.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）不经过点P 的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，若直线PA 与PB 的斜率之和为1-，证明：直线l 必过定点，并求出这个定点坐标.【答案】（1）2212x y +=（2）证明见解析，定点为()2,1-【解析】【分析】（1）根据长轴长确定a =1b =，得到答案.（2）设直线l x my n =+，联立方程得到根与系数的关系，根据斜率的关系计算化简得到20n m --=，代入直线方程得到定点.【小问1详解】长轴长为2a =，故a =()0,1P 为椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>上一点，故1b =，椭圆方程为：2212x y +=；【小问2详解】直线与x 轴平行时，根据对称性知斜率和为0，不成立；设直线l ：x my n =+，()11,A x y ，()22,B x y ，直线不过()0,1P ，则0m n +≠，则2212x my n x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，则()2222220m y mny n +++-=，()()222244220m n n m ∆=--+>，即2220-+>m n ，则12221222222mn y y m n y y m ⎧+=-⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，1212111AP BP y y k k x x --+=+=-，即()()()()()()122112110y my n y my n my n my n -++-++++=，整理得到()()222222222022n mn m m n m mn n n m m -+⋅--+⋅+-=++，化简得到()()20m n n m +--=，0m n +≠，则20n m --=，直线方程2x my m =++，直线过定点()2,1-.【点睛】关键点睛：本题考查了椭圆方程，直线过定点问题，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中，利用设而不求的思想，根据根与系数的关系来计算定点，可以简化运算，是解题的关键.。

南京市2023－2024学年度第一学期期中调研测试高二数学2023.11注意事项：1．本试卷共6页，包括单项选择题(第1题~第8题)、多项选择题(第9题~第12题)、填空题(第13题~第16题)、解答题(第17题~第22题)四部分．本试卷满分为150分，考试时间为120分钟．2．答卷前，考生务必将自己的学校、姓名、考生号填涂在答题卡上指定的位置．3．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上指定位置，在其他位置作答一律无效．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．某工厂生产A，B，C三种不同型号的产品，它们的产量之比为2：3：5，用分层抽样的方法抽取一个容量为n的样本．若样本中A型号的产品有20件，则样本容量n为A．50B．80C．100D．2002．已知复数z0＝3＋i，其中i为虚数单位，复数z满足zz0＝3z＋z0，则z＝A．1－3i B．1＋3i C．3＋i D．3－i 3．已知圆C1：x2＋y2－x－ay＝0与圆C2：x2＋y2－2x－4y＋2＝0的公共弦所在直线与x轴垂直，则实数a的值为A．－4 B．－2 C．2 D．4 4．《数书九章》天池测雨：今州郡都有天池盆，以测雨水．但知以盆中之水为得雨之数．不知器形不同，则受雨多少亦异，未可以所测，便为平地得雨之数，即平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积．假令器形为圆台，盆口径(直径)一尺四寸，底径(直径)六寸、深一尺二寸，接雨水深六寸(一尺等于十寸)，则平地降雨量为A．1 B．2 C．3 D．45．已知cos x＋sin x＝23，则sin2xcos(x－\f(π,4))＝A．－716B．－726C．－76D．－736．在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F 2，A 为双曲线右支上一点，连接AF 1交y 轴于点B ．若△ABF 2为等边三角形，则双曲线C 的离心率为A ．23B ．32C ．3D ．3327．在平面直角坐标系xOy 中，P 为直线3x ＋4y ＋1＝0上一点．若向量a ＝(3，4)，则向量OP→在向量a 上的投影向量为A ．－15B ．(－35，－45)C ．(－325，－425)D ．无法确定8．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0)．若 x ∈R ，f (x )≤f (π3)，且f (x )在(0，π)上恰有1个零点，则实数ω的取值范围为A ．(0，32]B ．(34，32]C ．(34，94]D ．(32，94]二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．某研究小组依次记录下10天的观测值：26，28，22，24，22，78，32，26，20，22，则A ．众数是22B ．80百分位数是28C ．平均数是30D ．前4个数据的方差比最后4个数据的方差小10．声音是由物体的振动产生的声波，一个声音可以是纯音或复合音，复合音由纯音合成，纯音的函数解析式为y ＝A sin ωx ．设声音的函数为φ(x )，音的响度与φ(x )的最大值有关，最大值越大，响度越大；音调与φ(x )的最小正周期有关，最小正周期越大声音越低沉．假设复合音甲的函数解析式是f (x )＝sin x ＋12sin2x ，纯音乙的函数解析式是g (x )＝32sin ωx (ω＞0)，则下列说法正确的有A ．纯音乙的响度与ω无关B ．纯音乙的音调与ω无关C ．若复合音甲的音调比纯音乙的音调低沉，则ω＞1D ．复合音甲的响度与纯音乙的响度一样大11．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，D (x 3，y 3)为抛物线C 上的任意三点(异于O 点)，FA → ＋FB → ＋FD →＝0，则下列说法正确的有A ．设A ，B 到直线x ＝－1的距离分别为d 1，d 2，则d 1＋d 2＜AB B ．FA ＋FB ＋FD ＝6C ．若FA ⊥FB ，则FD ＝ABD ．若直线AB ，AD ，BD 的斜率分别为k AB ，k AD ，k BD ，则1k AB ＋1k AD ＋1k BD ＝012．在长方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，AB ＝8，AD ＝6，点E 是正方形BCC 1B 1内部或边界上异于点C 的一点，则下列说法正确的有A ．若D 1E ∥平面ABB 1A 1，则E ∈C 1CB ．设直线D 1E 与平面BCC 1B 1所成角的最小值为θ，则tan θ＝223C ．存在E ∈BB 1，使得∠D 1EC ＞π2D ．若∠D 1EC ＝π2，则EB 的最小值为35－3三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．在平面直角坐标系xOy 中，已知点M (2，3)和N (4，0)，点Q 在x 轴上．若直线MQ 与直线MN 的夹角为90°，则点Q 的坐标为▲________．14．在△ABC 中，AB ＝36，∠ABC ＝45°，∠BAC ＝75°，D 是射线BC 上一点，且CD ＝10，则AD ＝▲________．15．某商场为了促销，每天会在上午和下午各举办一场演出活动，两场演出活动相互独立．每个时段演出的概率分别如下：若某顾客打算第二天11：00抵达商场并逛3.5小时后离开，则他当天能观看到演出的概率为▲________．16．已知向量a ＝(1，3)，b ＝(1，0)，|a －c |＝12，则向量b ，c 最大夹角的余弦值为▲________．上午演出时段9：00－9：3010：00－10：3011：00－11：30下午演出时段14：00－14：3015：00－15：3016：00－16：30相应的概率161213四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(本小题满分10分)已知函数f(x)＝sin x cos x－sin2x＋t(x∈R)的最大值为2 2．（1）求f(x)的解析式；（2）若 x∈[π12，π2]，f(x)－m≤0，求实数m的最小值．18．(本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy中，已知圆C的圆心在l：x－2y＝0上，且圆C与x轴相切，直线l1：x－ay＝0(a∈R)，D(6，0)．（1）若直线l1与圆C相切，求a的值；（2）若直线l1与圆C相交于A，B两点，将圆C分成的两段弧的弧长之比为1∶3，且DA＝DB，求圆C的方程．19．(本小题满分12分)如图，一个质地均匀的正二十面体骰子的各面上标有数字0~9这10个数字(相对的两个面上的数字相同)，抛掷这个骰子，并记录下朝上一面(与地面或桌面平行)的数字．记事件A1为“抛两次，两次记录的数字之和大于16”，记事件A2为“抛两次，两次记录的数字之和为奇数”，事件A3为“抛两次，第一次记录的数字为奇数”．（1）求P(A1)，P(A2)；（2）判断事件A1A2与事件A3是否相互独立，并说明理由．20．(本小题满分12分)在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边，AB → ·AC →＝b 2－12ab ．（1）求角C 的大小；（2）若△ABC 的面积为32，且CM → ＝2MB → ，AN → ＝3NM → ，求|CN →|的最小值．21．(本小题满分12分)如图，在所有棱长都等于1的三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠ABB 1＝π2，∠B 1BC ＝π3．（1）证明：A 1C 1⊥B 1C ；（2）求直线BC 与平面ABB 1A 1所成角的大小．22．(本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，且焦距为23，椭圆C 的上顶点为B ，且BF 1→ ·BF 2→＝－2．（1）求椭圆C 的方程；（2）若直线l 过点A (2，－1)，且与椭圆C 交于M ，N 两点（不与B 重合），直线BM 与直线BN 分别交直线x ＝4于P ，Q 两点．判断是否存在定点G ，使得点P ，Q 关于点G 对称，并说明理由．（第21题图）南京市2023－2024学年度第一学期期中学情调研测试高二数学参考答案 2023.11一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上． 1．C2．A 3．D 4．B 5．D6．C7．C 8．B二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上．全部选对得5分，部分选对得2分，不选或有错选的得0分． 9．ACD10．AC11．BCD12．ABD三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填写在答题卡相应位置上． 13．(12，0)14．1415．4916．15－38四、解答题：本大题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．17．（本小题满分10分）解：（1）f (x )＝sin x cos x －sin 2x ＋t ＝12sin2x －1－cos2x2＋t ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙2分＝12sin2x ＋12cos2x －12＋t ＝22sin(2x ＋π4)－12＋t ．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙4分因为f (x )的最大值为22，所以22－12＋t ＝22，解得t ＝12，所以f (x )＝22sin(2x ＋π4)．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙6分（2）由（1）可知f (x )＝22sin(2x ＋π4)，当x ∈[π12，π2]时，5π12≤2x ＋π4≤5π4，当2x ＋π4＝π2时，即x ＝π8时，f (x )max ＝22．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙8分因为f (x )－m ≤0恒成立，所以m ≥f (x )max 恒成立，即m ≥22恒成立，因此m 的最小值为22．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙10分18．（本小题满分12分）解：（1）因为圆心C 在直线l 上，可设C (2m ，m )，m ≠0．因为圆C 与x 轴相切，所以r ＝|m |．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙2分又因为直线l 1与圆C 相切，所以|m |＝|2m －am |a 2＋1．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙4分因为m ≠0，解得a ＝34．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙5分（2）因为A ，B 把圆C 分成的两段弧长之比为1∶3，所以弦AB 所对劣弧圆心角为2π×14＝π2，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙6分所以圆心C 到l 1的距离d 等于圆C 半径的22倍，即22|m |＝|2m －am |a 2＋1，由（1）得m ≠0，解得a ＝1或a ＝7． ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙8分又因为DA ＝DB ，所以AB 的垂直平分线经过D (6，0)和圆心C (2m ，m )，所以m2m －6＝－a ，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙10分所以，当a ＝1时，m ＝2，圆C 方程为(x －4)2＋(y －2)2＝4，当a ＝7时，m ＝145，圆C 方程为(x －285)2＋(y －145)2＝19625．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙12分19．（本小题满分12分）解：若用(i ，j )表示第一次抛掷骰子数字为i ，用j 表示第二次抛掷骰子数字为j ，则样本空间Ω＝{(i ，j )|0≤i ≤9，0≤j ≤9，i ，j ∈Z }，共有100种等可能的样本点． ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙1分（1）A 1＝{(8，9)，(9，8)，(9，9)}，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙2分所以P (A 1)＝3100．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙4分因为 A 2＝{(0，1)，(0，3)…(9，8)}共有50个样本点，所以P (A 2)＝50100＝12．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙6分（2）因为A 1A 2＝{(8，9)，(9，8)}，所以P (A 1A 2)＝2100＝150．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙8分因为A 3＝{(1，0)，(1，1)…(9，9)}，共有50个样本点，所以P (A 3)＝50100＝12．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙9分因为A 1A 2A 3＝{(9，8)}，所以P (A 1A 2A 3)＝1100．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙10分因为P (A 1A 2)P (A 3)＝150×12＝P (A 1A 2A 3)，所以事件A 1A 2与事件A 3独立．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙12分20．（本小题满分12分）解：（1）方法1因为AB → ·AC → ＝b 2－12ab ，所以bc cos A ＝b 2－12ab ．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙2分由余弦定理得bc ×b 2＋c 2－a 22bc ＝b 2－12ab ，化简得b 2＋a 2－c 22ab ＝12，所以cos C ＝12．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙4分因为C 为△ABC 内角，所以C ＝π3．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙5分方法2因为AB → ·AC →＝b 2－12ab ，所以bc cos A ＝b 2－12ab ．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙2分由正弦定理得sin B sin C cos A ＝sin 2B －12sin A sin B ．因为B 为△ABC 内角，所以sin B ≠0，所以sin C cos A ＝sin B －12sin A ．因为A ＋B ＋C ＝π，所以sin C cos A ＝sin(A ＋C )－12sin A ，即sin C cos A ＝sin A cos C ＋cos A sin C －12sin A ，化简得sin A cos C ＝12sin A ．因为A 为△ABC 内角，所以sin A ≠0，所以cos C ＝12．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙4分因为C 为△ABC 内角，所以C ＝π3．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙5分（2）因为S △ABC ＝12ab sin C ＝32，所以ab ＝2．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙6分因为CM → ＝2MB → ，AN → ＝3NM → ，所以CN → ＝CA → ＋AN → ＝CA → ＋34AM → ＝CA → ＋34(CM →－CA → )＝14CA → ＋34CM → ＝14CA → ＋12CB →，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙8分从而|C N → |2＝(14CA → ＋12CB → )2＝116b 2＋14a 2＋14CA → ·CB→＝116b 2＋14a 2＋14∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙10分≥2116b 2×14a 2＋14＝34．当且仅当116b 2＝14a 2，即a ＝1，b ＝2时取等号．所以|C N →|的最小值为32．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙12分21．（本小题满分12分）（1）证明：连接AB 1，在△ABB 1中，∠ABB 1＝π2，AB ＝BB 1＝1，所以AB 1＝2，在△BCB 1中，∠B 1BC ＝π3，BC ＝BB 1＝1，所以B 1C ＝1，所以在△ACB 1中，AB 1＝2，B 1C ＝1，AC ＝1，所以AB 12＝AC 2＋B 1C 2，所以AC ⊥B 1C ．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙2分又因为在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AC ∥A 1C 1，所以A 1C 1⊥B 1C ．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙4分（2）方法1解：连接AB 1，A 1B ，交于点O ，连接BC 1，连接CO ．在边长都为1的正方形A 1ABB 1中，O 是AB 1的中点，又因为B 1C ＝AC ＝1，所以CO ⊥AB 1． ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙6分因为四边形B 1BCC 1边长都为1，所以B 1C ⊥BC 1．由(1)知B 1C ⊥A 1C 1．又因为A 1C 1∩BC 1＝C 1，A 1C 1，BC 1⊂平面A 1BC 1，所以B 1C ⊥平面A 1BC 1．因为A 1B ⊂平面A 1BC 1，所以B 1C ⊥A 1B ．因为在边长都为1的四边形A 1ABB 1中，A 1B ⊥AB 1．又因为AB 1∩B 1C ＝B 1，AB 1，B 1C ⊂平面AB 1C ，所以A 1B ⊥平面AB 1C ．因为CO ⊂平面AB 1C ，所以CO ⊥A 1B ． ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙8分又因为A 1B ∩AB 1＝O ，A 1B ，AB 1⊂平面A 1ABB 1，所以CO ⊥平面A 1ABB 1，所以∠CBO 即为直线BC 与平面ABB 1A 1所成的角． ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙10分在边长都为1的四边形A 1ABB 1中，∠ABB 1＝π2，所以BO ＝22．因为BC ＝1，所以cos ∠CBO ＝22，所以∠CBO ＝π4，所以直线BC 与平面ABB 1A 1所成角的大小为π4． ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙12分方法2解：取AB 1中点O ，连接BO ，CO ．在△ACB 1中，AC ＝B 1C ＝1，所以CO ⊥AB 1， ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙6分在边长都为1的正方形A 1ABB 1中，BO ＝22，A 1B ＝2．又因为AC 2＋B 1C 2＝A 1B 2，所以△ACB 1为直角三角形，所以CO ＝22．在△ACB 1中，CO 2＋BO 2＝BC 2，所以CO ⊥BO ．…………………………………………8分又因为AB 1∩BO ＝O ，AB 1，BO 平面A 1ABB 1，所以CO ⊥平面A 1ABB 1，所以∠CBO 即为直线BC 与平面ABB 1A 1所成的角．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙10分在边长都为1的四边形A 1ABB 1中，∠ABB 1＝π2，所以BO ＝22．因为BC ＝1，所以cos ∠CBO ＝22，所以∠CBO ＝π4，所以直线BC 与平面ABB 1A 1所成角的大小为π4．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙12分22．（本小题满分12分）解：（1）因为BF 1→ ＝(－3，－b )，BF 2→＝(3，－b )，所以BF 1→ ·BF 2→＝b 2－3＝－2，所以b 2＝1．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙2分因为c ＝3，所以a 2＝4，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙4分（2）设直线MN 的方程为y ＝k (x －2)－1，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，联立{x 2＋4y 2＝4，y ＝k (x －2)－1，消去y 得，(1＋4k 2)x 2－8k (1＋2k )x ＋16k 2＋16k ＝0，所以x 1＋x 2＝8k (1＋2k )1＋4k 2，x 1x 2＝16k 2＋16k 1＋4k 2，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙6分直线BM 的方程为y ＝y 1－1x 1x ＋1，直线BN 的方程为y ＝y 2－1x 2x ＋1，设P ，Q 两点的纵坐标分别为y P ，y Q ，所以y P ＝4×y 1－1x 1＋1，y Q ＝4×y 2－1x 2＋1．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙8分因为y P ＋y Q ＝4×(y 2－1x 2＋y 1－1x 1)＋2＝4×[k (x 2－2)－2x 2＋k (x 1－2)－2x 1]＋2＝4×(2k －2k ＋2x 2－2k ＋2x 1)＋2＝4×[2k －(2k ＋2)x 1＋x 2x 1x 2]＋2∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙10分＝4×[2k －(2k ＋2)8k (1＋2k )16(k ＋k 2)]＋2＝4×[2k －(2k ＋1)]＋2＝－2，所以y P ＋y Q 2＝－1，所以存在G (4，－1)，使得点P ，Q 关于点G 对称．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙12分。

江苏省仪征中学2020—2021学年度第一学期高二数学期中模拟（1）一、单项选择题1. 若0a b <<，则下列结论不正确的是（ ） A. a b ->-B.>C. 22a b >D.11a b> 2．已知3x >，13y x x =+-，则y 的最小值为（ ） A ．2 B ．3 C ．4D ．53．等比数列{}n a 中，12a =,2q =,126n S =, 则n =（ ） A ．9 B ．8 C ． 7 D ． 64．《周髀算经》是中国古代重要的数学著作，其记载的“日月历法”曰：“阴阳之数，日月之法，十九岁为一章，四章为一部，部七十六岁，二十部为一遂，遂千百五二十岁，…．生数皆终，万物复苏，天以更元作纪历”，某老年公寓住有20位老人，他们的年龄（都为正整数）之和恰好为一遂，其中年长者已是奔百之龄（年龄介于90至100），其余19人的年龄依次相差一岁，则年长者的年龄为( ) A ．94B ．95C ．96D ．985．已知双曲线C ：2222=1x ya b-(a ＞0，b ＞0)C 的渐近线方程为( )． A ．y ＝14x ± B ．y ＝13x ± C ．y ＝12x ± D ．y ＝±x6． 设双曲线2211612x y -=的左、右焦点分别为12,F F ，过1F 的直线l 交双曲线左支于,A B 两点，、则22||||AF BF +的最小值为（ ） A ．20B ．21C ．22D ．237．已知点()2,1A 在直线10ax by +-=()0,0a b >>上，若存在满足该条件的a ，b 使得不等式2122m m a b+≤+成立，则实数m 的取值范围是（ ）A ．(,4][2,)-∞-+∞B ．(,2][4,)-∞-+∞C ．(,6][4,)-∞-+∞D ．(,4][6,)-∞-+∞8．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S，且132n n tS ++=，若对任意的n ∈N *，(2S n +3)λ≥27(n -5)恒成立， 则实数λ的取值范围是（ .） A. [,)181+∞ B. [,)127+∞ C. [,)164+∞ D. [,)116+∞ 二、多项选择题9．下面命题正确的是（ ）A ．“1a >”是“11a<”的充分不必要条件 B ．命题“x R ∀∈,则210++<x x ”的否定是“x R ∃∈,则210++≥x x ”. C ．设,x y R ∈,则“2x ≥且2y ≥”是“224x y +≥”的必要而不充分条件 D ．设,a b ∈R ,则“0a ≠”是“0ab ≠”的必要不充分条件 10．下列有关说法正确的是（ ）A.当0x >时，1lg 2lg x x +≥； B. 当0a >，0b >时，114a b a b ⎛⎫⎛⎫++≥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭恒成立;C.当0x >2≥； D.当0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，2sin sin θθ+的最小值为 11．设椭圆22193x y +=的右焦点为F ，直线y =m （0<m <√3）与椭圆交于A ，B 两点，则（ ） A.AF +BF 为定值 B.∆ABF 周长的取值范围是[6，12] C.当m =时，∆ABF 为直角三角形 D.当m =1时，∆ABF 的面积为√6 12．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，……，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列{a n }称为“斐波那契数列”，记S n 为数列{a n }的前n 项和，则下列结论正确的是（ ） A.S 7=33 B.S n+2=S n+1+S nC. a 1+a 3+a 5+⋯+a 2019=a 2020D.a 12+a 22+⋯+a 20192a 2019=a 2020三、填空题13.抛物线的准线方程是12y =，则其标准方程是______ 14. 若[]21,2,10x ax ∃∈+≤为真命题，则实数a 的取值范围为______ 15．在数列{}n a 中，112a =，12n n a a n +=+，n *∈N ，则5a 的值为______，数列1112n a +⎧⎫⎨⎬-⎩⎭（n *∈N ）的前n 项和为______.16．已知椭圆C 的焦点为1F ，2F ，过点1F 的直线与椭圆C 交于A ，B 两点.若112AF F B =，2AB BF =，则椭圆C 的离心率为______.四、解答题17．已知命题p ：实数m 满足的方程221(0)34x y a m a m a+=>--表示双曲线，命题q ：实数m 满足的方程x 2m －1＋y 22－m ＝1表示焦点在y 轴上的椭圆. （1）若命题p 为真命题，求实数m 的取值范围； （2）若p 是q 的充分不必要条件，求a 的取值范围． .18. 已知双曲线的焦点为12(4,0),(4,0)F F -，且该双曲线过点(6,P ． （1）求双曲线的标准方程及其离心率、渐近线方程；（2）若双曲线上的点M 满足12MF MF ⊥，求12MF F ∆的面积．19. 已知数列{a n }是公差不为零的等差数列，a 1=1，其前n 项和为S n ，数列{b n }前n 项和为T n ，从 ①a 1，a 2，a 5成等比数列，T n =2−b n ，②S 55−S 33=2，T n =2−(12)n−1，③数列{b n }为等比数列，101111021n n n a a =+=∑，a 1=b 1，a 3b 4=58，这三个条件中任选一个作为已知条件并解答下列问题． (1)求数列{a n }，{b n }的通项公式； (2)求数列{an b n}的前n 项和M n ．20.为了加强“平安校园”建设，有效遏制涉校案件的发生，保障师生安全，某校决定在学校门口利用一侧原有墙体，建造一间墙高为3米，底面为24平方米，且背面靠墙的长方体形状的校园警务室．由于此警务室的后背靠墙，无需建造费用，甲工程队给出的报价为：屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元，左右两面新建墙体报价为每平方米300元，屋顶和地面以及其他报价共计14400元．设屋子的左右两面墙的长度均为米．（1）当左右两面墙的长度为多少时，甲工程队报价最低？并求出最低报价． （2）现有乙工程队也要参与此警务室的建造竞标，其给出的整体报价为元， 若无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，试求的取值范围．21. 已知数列{}n a 各项均为正数，S n 是数列{}n a 的前n 项的和，对任意的*n ∈N ，都有2232n n n S a a =+-.数列{}n b 各项都是正整数，121,4b b ==，且数列123,,,,n b b b b a a a a ⋯是等比数列．(1) 证明：数列{}n a 是等差数列； (2) 求数列{}n b 的通项公式n b ；(3)求满足124n n S b <+的最小正整数n .22．已知椭圆E ：22221x y a b+=（0a b >>）的离心率是2，1A ，2A 分别为椭圆E 的左右顶点，B 为上顶点，12A BA ∆的面积为2.直线l 过点()1,0D 且与椭圆E 交于P ，Q 两点（P ，Q 异于1A ，2A ） （1）求椭圆E 的标准方程； （2）求OPQ ∆的面积最大值；（3）设直线1A P 与直线2A Q 的斜率分别为1k ，2k ，求证：12k k 为常数，并求出这个常数.江苏省仪征中学2020—2021学年度第一学期高二数学期中模拟（1）一、单项选择题： BDDB CCAA二、多项选择题: 9.ABD 10.BC 11.AD 12.ACD三、填空题: 13. x 2=−2y 14. 14a ≤- 15．32; 1nn + 16．四、解答题17．解：（1）若命题p 为真，即方程221(0)34x y a m a m a+=>--表示双曲线，所以()()340m a m a --<，解得34a m a <<，即()3,4m a a ∈.（2）若命题q 为真，即x 2m －1＋y 22－m ＝1表示的焦点在y 轴上的椭圆成立，解得312m <<，记B=3(1,)2. 由(1)知，记A=()3,4a a因为p 是q 的充分不必要条件，所以AB ，故33421a a ⎧≥⎪⎨<⎪⎩或33421a a ⎧>⎪⎨≤⎪⎩，解得1338a ≤≤. 所以实数a 的取值范围为1338a ≤≤.18（1）设双曲线的方程为22221(0,0)x y a b a b -=>>，由1(4,0)F -，2(4,0)F，且该双曲线过点(6,P ，可得2a ==∴2212a ==，又4c =，∴22244b =-=，∴双曲线的标准方程为221124x y -=；离心率3c e a ==，渐近线方程为3y x =±（2）由221212|||||||||64MF MF MF MF -=+=，得12||||8MF MF ⋅=， ∴12121||||42MF F SMF MF =⋅=．19. 解：选择条件①a 1，a 2，a 5成等比数列，T n =2−b n ，设数列{a n }的公差为d ，由a 1，a 2，a 5成等比数列，即a 22=a 1a 5， 所以(1+d )2=1+4d ，解得d =0(舍)或d =2，所以a n =2n −1， 因为T n =2−b n ，则T n+1=2−b n+1， 所以b n+1=T n+1−T n =2−b n+1−2+b n ，则b n+1b n=12， 又b 1=T 1=2−b 1，解得b 1=1，所以b n =(12)n−1，选择条件②，设数列{a n }的公差为d ，所以S55−S 33=5a 1+10d5−3a 1+3d3=d =2，所以a n =2n −1，因为T n =2−(12)n−1，当n ≥2时，b n =T n −T n−1=(12)n−1，且n =1时，b 1=1适合上式，所以b n =(12)n−1，选择条件③，设数列{a n }的公差为d ，所以1a n a n+1=1d (1a n−1an+1)，所以∑1a n a n+110n=1=1d[(1a 1−1a 2)+(1a 2−1a 3)+⋯+(1a 10−1a 11)]=1d (1a 1−1a 11)=10a1a 11=1021，又a 1=1，则a 11=21， 所以d =2，所以a n =2n −1，设数列{b n }的公比为q ，因为a 3=5，a 3b 4=58，可得b 4=18，又a 1=b 1=1，可得q =12，所以b n =(12)n−1，(2)a nb n=2n−1(12)n−1=(2n −1)·2n−1，所以M n =1×20+3×21+5×22+⋯+(2n −3)·2n−2+(2n −1)·2n−1，2M n =1×21+3×22+5×23+⋯+(2n −3)·2n−1+(2n −1)·2n ， 以上两式相减，并化简可得 M n =(2n −3)·2n +3．20.解：（1）设甲工程队的总造价为元，则．............3分当且仅当，即时，等号取到，，即当左右两面墙的长度为4米时，甲工程队报价最低，最低报价28800元；..5分（2）由题意无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功可得： 对恒成立，整理得：对恒成立，................................7分令，，当且仅当，即，等号取到，........................................10分，在上递增，，所以，综上的取值范围为.....................................................................12分21 (1)当1n =时，2111232a a a =+-，即211320a a --=，()()113210a a +-=，由10a >得11a =. 当2n ≥时，由2232n n n S a a =+-得2111232n n n S a a ---=+-，所以两式相减得2211233n n n n n a a a a a --=+--，所以()()1113n n n n n n a a a a a a ----+=+.由0n a >知10n n a a ->+，所以113n n a a --=， 所以数列{}n a 是首项11a =，公差13d =的等差数列.(2)由(1)得121(1)333n n a n =+-=+， 由12141,2b b a a a a ====,所以数列{}n b a 的公比221q ==， 所以数列{}n b a 是首项为1，公比为2的等比数列，所以12n n b a -=.又233n n b b a =+，所以12233n n n b b a -=+=，即1322n n b -=⋅-.(3)由()()121526n n n a a S n n +==+，得22155623292n n nn n nS n n b -++==+⨯⨯. 设25()292n n n S n nf n b +==+⨯， 则221222(1)5(1)(1)761269215()2102592n nn n f n n n n n n f n n n n n ++++++++⎛⎫⋅===+ ⎪+++⎝⎭⋅. 令(1)1()f n f n +>得22761210n n n n++>+，即2360n n +-<.由*n N ∈得1n =. 令(1)1()f n f n +<得2360n n +->，知*2,n n ≥∈N ，所以(1)(2),(2)(3)(4)()f f f f f f n <>>>⋯>， 又因为1414611361(1),(4)2183214444S S f f b b ===>===++，故当5n ≥时，1()4f n <， 所以满足124n n S b <+的最小正整数n 为5.22解：（1）设椭圆的焦距为2c （0c >），因为2222c e a ab a b c ⎧==⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩，所以2a =，1b =，c =所以椭圆的标准方程为2214x y +=（2）设直线l ：+1x my =交椭圆于()11,P x y ，()22,Q x y ， 联立22144x my x y =+⎧⎨+=⎩，化简得()224230m y my ++-=， 由根与系数关系得12212202434m y y m y y m ⎧⎪∆>⎪⎪+=-⎨+⎪⎪=-⎪+⎩所以1212OPQ S OD y y ∆=⨯⨯-==令23t m =+，3t ≥，故 OPQ S ∆== 当[)3,t ∈+∞，12t t ++单调递增，故3t =时，POQS ∆（3）证：因为111121212212122221332y k x y my my y y y k my y my y y x +--==⋅=++-， 由第（2）问知121223y y my y +=，即()121232my y y y =+ 将其代入上式得1212121312239322y y k k y y +==+为常数，即证 解法2：设直线1A P ：()12y k x =+， 联立()()222211112221416164044y k x k x k x k x y ⎧=+⇒+++-=⎨+=⎩，因为2-，1x 是该方程的根， 所以22111122111642821414k k x x k k ---⋅=⇒=++，故2112211284,1414k k P k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭； 设直线1A Q ：()22y k x =-， 联立()()222222222221416164044y k x k x k x k x y ⎧=-⇒+-+-=⎨+=⎩，因为2-，1x 是该方程的根， 所以22222222221648221414k k x x k k ---⋅=⇒=++，故2222222824,1414k k Q k k ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭； 因为P ，D ，Q 三点共线，12212221222124414142882111414PD PQk k k k k k k k k k -++=⇒=----++化简得()()12124130k k k k +-=，因为12410k k +>，所以1230k k -=，即1213k k =。

江苏省扬州中学2013—2014学年度第一学期期中考试高 二 数 学 试 卷 2013年11月（注：本试卷满分160分，考试时间120分钟，请将答案写在答题纸上） 一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分） 1．抛物线x y 42=的焦点坐标是 ▲ ． 2．命题“2,10x R x ∀∈+>.”的否定是 ▲ ．3．设1AA 是正方体的一条棱，这个正方体中与1AA 平行的棱共有 ▲条． 4．“1>a 且1>b ”是“1>ab ”成立的 ▲ 条件．（填充分不必要，必要不充分，充要条件或既不充分也不必要）5．已知椭圆192522=+y x 上一点M 到左焦点1F 的距离是2，则M 到左准线的距离为 ▲ ．6．曲线33+-=x x y 在点)3,1(P 处的切线方程为 ▲ ．7.在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线C ：2221x y a-=（0a >）的一条渐近线与直线l ：210x y -+=垂直，则实数=a ▲ ．8.函数xxe x f =)(的单调增区间为 ▲ ．9．把一个圆锥截成圆台，已知圆台的上、下底面半径之比为1：2，母线长为6cm ，则圆锥的母线长为 ▲ cm ． 10．函数x x x f sin 21)(-=在区间[0，π]上的最小值为 ▲ ． 11．设命题1|34:|≤-x p ；命题0)1()12(:2≤+++-a a x a x q ．若p ⌝是q ⌝的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是 ▲ ．12．已知函数x x mx x f 2ln )(2-+=在定义域内是增函数，则实数m 的取值范围为 ▲ ．13.如图，已知椭圆C ：)0(12222>>=+b a by a x ，B是其下顶点，F 是其右焦点，BF 的延长线与椭圆及其右准线分别交于Q P ,两点，若点P 恰好是线段BQ 的中点，则此椭圆的离心率=e ▲ ． 14．设0a >，函数x x x g xax x f ln )(,)(-=+=，若对任意的12,[1,]x x e ∈，都有12()()f x g x ≥成立，则a 的取值范围为 ▲． 二、解答题（本大题共6小题，计90分）15. （本题满分14分）如图，在三棱锥BCD A -中，H G F E ,,,分别是边DA CD BC AB ,,,的中点．（1）求证：四边形EFGH 是平行四边形；（2）若BD AC =，求证：EFGH 是菱形．15．（本题满分14分）设命题p ：关于x 的方程01442=++ax x 有实数根；命题q ：关于x 的不等式02>+-a ax x 的解集是R ．若“p 或q ”为真，“p 且q ”为假，求a 的取值范围．17. （本题满分15分）已知椭圆1C 与椭圆22152y x +=有相同的焦点，且过点⎛ ⎝⎭．⑵若P 是椭圆1C 上一点，F 1、F 2为椭圆1C 的左、右焦点，PF 1⊥PF 2，求△PF 1F 2的面积．G AH E F DC B18. （本题满分15分）现有一张长80厘米、宽60厘米的长方形ABCD 铁皮，准备用它做成一只无盖长方体铁皮盒， 要求材料利用率为l00％，不考虑焊接处损失．方案一：如图(1)，从右侧两个角上剪下两个小正方形，焊接到左侧中闻，沿虚线折起，求此时铁皮盒的体积；方案二：如图(2)，若从长方形ABCD 的一个角上剪下一块正方形铁皮，作为铁皮盒的底面，用余下材料剪拼后作为铁皮盒的侧面，求该铁皮盒体积的最大值，并说明如何剪拼?19．（本题满分16分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知12,F F 分别是椭圆E :22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点，B A ,分别是椭圆E 的左、右顶点，且2250AF BF +=.（1）求椭圆E 的离心率；（2）已知点()1,0D 为线段2OF 的中点，M 为椭圆E 上的动点（异于点A 、B ），连接1MF 并延长交椭圆E 于点N ，连接MD 、ND 并分别延长交椭圆E 于点P 、Q ，连接PQ ，设直线MN 、PQ 的斜率存在且分别为1k 、2k ，试问是否存在常数λ，使得120k k λ+=恒成立？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由.20. （本题满分16分）已知函数22,0()ln ,0x x a x f x x x ⎧++<=⎨>⎩,其中a 是实数.设11(,())A x f x ,22(,())B x f x 为该函数图象上的两点,且12x x <.(1)指出函数()f x 的单调区间;(2)若函数()f x 的图象在点,A B 处的切线互相垂直,且20x <,求21x x -的最小值； (3)若函数()f x 的图象在点,A B 处的切线重合,求a 的取值范围．命题、校对：钱伟 审核：姜卫东高二数学期中试卷答题纸 2013.11一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，计70分） 成绩1． 2． 3． 4．5． 6． 7． 8．9． 10． 11． 12．13． 14．三、解答题（本大题共6小题，计90分） 15．解：学号________ 姓名_____________…线……………内……………不……………要……………答……………题………………G A H E F D CB16．解：17．解：18．解：19.解：请将20题做在反面高二数学期中试卷参考答案 2013.111.)0,1(；2.01,2≤+∈∃x R x ；3.3 ；4.充分不必要； 5.25；6.012=+-y x ；7.2 ； 8.),1(+∞-； 9.12 ； 10.236-π； 11.]21,0[ ；12.),21[+∞；13.33；14.),2[+∞-e15.（1）F E , 为BC AB ,的中点，AC EF //∴且AC EF 21=． H G , 为AD CD ,的中点，AC GH //∴且AC GH 21=． 由平行公理，GH EF //且GH EF =，所以四边形EFGH 是平行四边形；（2）AC EF 21=，同理BD EH 21=，BD AC = ，EH EF =∴．由（1）四边形EFGH 是平行四边形，所以四边形EFGH 是菱形．16.p 真：10161621≥⇒≥-=∆a a 或1-≤a ，q 真：400422<<⇒<-=∆a a a因为“p 或q ”为真，“p 且q ”为假，则q p ,一真一假。

2021-2022学年度第一学期期中学情检测 高二数学第Ⅰ卷（共60分）一、填空题：本大题共14个小题,每小题5分,共70分.不需要写出解答过程，请将答案直接填写在相应位置.. 1.命题：“x R ∃∈，20ax ->”的否定为 .2.不等式11x ≥的解集是 ．3.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且332310S a -=，则数列{}n a 的首项为 ．4.关于x 的不等式||1x m -<成立的充分不必要条件是14x <<，则实数m 的取值范围是 ．5.若正项等比数列{}n a 满足201520174a a +=，则2016a 的最大值为 ．6.若直线y ax =上存在点()x y ，满足条件302301x y x y x +-⎧⎪--⎨⎪⎩≤≤≥，则实数a 的取值范围为 ．7.等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知332a =，392S =，则公比q = ．8.设{}n a 与{}n b 是两个等差数列，它们的前n 项和分别为n S 和n T ，若3143n n S n T n -=-，那么65a b =．9.某种汽车购车时的费用为10万元，每年保险，养路费，汽油费共1.5万元，假如汽车的修理费第1年0.1万元，从第2年起，每年比上一年多0.2万元，这种汽车最多使用 年报废量合算（即年平均费用最少）. 10.下列说法中全部正确命题的序号是 ．①“2x <”是“24x <”成立的充分非必要条件；②a 、b R ∈，则“0ab >”是“2b a a b +>”的必要非充分条件； ③若一个命题的逆命题为真，则它的否命题肯定为真；④设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，则“10a <”是“32S S <”成立的充要条件. 11.设n S 是数列{}n a 的前n 项和，且11a =-，11n n n a S S ++=，则n S = ．12.已知实数x ，y 满足约束条件20x y x y y -⎧⎪+⎨⎪⎩≥≤≥，若z ax by =+（0b a >>）的最大值为2，则2a bab +的最小值为 ．13.对于数列{}n a ，定义11233n nn a a a H n -+++=为{}n a 的“优值”，现在已知某数列{}n a 的“优值”13n n H +=，记数列{}n a kn -的前n 项和为n S ，若5n S S ≤对任意的n 恒成立，则实数k 的取值范围是 ．14.已知a ，b 均为正数，且4ab a b =+，则228216a b ab -+-的最小值为 ． 三、解答题 （本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15.设2()6f x ax bx =++（a ，b R ∈）（1）若不等式()0f x >的解集为{|23}x x -<<，求a ，b 的值；（2）记2b a =，若(1)0f ->且(2)0f -<，求a 的取值范围．16.命题p ：已知实数x ，y 满足约束条件2022x y y x y x -⎧⎪-⎨⎪-⎩≥≥≥，二元一次不等式220x y a +-≤恒成立，命题q ：设数列{}n a 的通项公式为29n n a n +=，若*x N ∃∈，使得n a a ≤． （1）分别求出访命题p ，q 为真时，实数a 的取值范围； （2）若命题p 与q 真假相同，求实数a 的取值范围.17. 设数列{}n a 的前n 项和n S ，满足2n S n =（*n N ∈）； （1）记2na nb =，求数列{}n b 的前n 和n T .（2）记11n n n c a a +=⋅，且数列{}n c 的前n 和为n M ，若不等式n M k <，对任意*n N ∈恒成立，求实数k 的最小值.18. 服装厂拟在2021年进行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）m 万件与年促销费用x （0x a ≤≤）万元满足131m x =-+.已知2017年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要投入16万元.厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的2倍（产品成本包括固定投入和再投入两部分资金，不包括促销费用）.（1）将2021年该产品的利润y 万元表示为年促销费用x 万元的函数； （2）该服装厂2021年的促销费用投入多少万元时，利润最大？19. 数列{}n a ，定义{}n a ∆为数列{}n a 的一阶差分数列，其中1n n n a a a +∆=-，（*n N ∈），设11a =（1）若1n n a a ∆-=，求证：{1}n a +是等比数列，并求出{}n a 的通项公式；（2）若2nn n a a ∆-=，又数列{}n b 满足：12n n n a a b +=：①求数列{}n a 的前n 和n S ；②求证：数列{}n b 中的任意一项总可以表示成该数列中其他两项之积. 20. 已知函数2()2f x x ax =-. （1）若任意[]11a ∈-，，不等式()3f x ≤恒成立，求实数x 的取值范围；（2）求证：对任意1x ，2x R ∈，都有12121()[()()]22x x f f x f x ++≤成立；（3）对于给定的正数a ，有一个最大的正数()M a ，使得整个区间[0()]M a ，上，不等式|()|5f x ≤恒成立，求出()M a 的解析式.2021-2022学年度第一学期期中学情检测 高二数学加试试卷（物理方向考生作答）解答题（共4小题，每小题10分共40分，解答对应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 1.矩阵1237A -⎛⎫= ⎪-⎝⎭的逆矩阵为1A -，矩阵B 满足31AB ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，求1A -，B . 2.已知矩阵21m n ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦M 的两个特征向量110a ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，201a ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，若12β⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，求2βM .3.解关于x 的不等式：2(2)20ax a x +-->.4.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足4n S 与2n a 的等差中项为3（*n N ∈）.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）是否存在正整数k ，是不等式2(1)n n n k a S -<（*n N ∈）恒成立，若存在，求出k 的最大值；若不存在，请说明理由.（3）设(2)3()32nn nb n n a +=⋅*n N ∈，若集合*{|}n M n b n N λ=∈，≥恰有4个元素，求实数λ的取值范围.2021-2022学年度第一学期期中学情检测 高二数学参考答案 一、填空题1.x R ∀∈，20ax -≤2.(01]，3.1034.∅5.26.[12]-，7.1或12-8.3433 9.10 10.②③④ 11.1n - 12.322+ 13.133325⎡⎤⎢⎥⎣⎦， 14.6 二、解答题15.解：（1）由题意得：023623a b a a ⎧⎪<⎪⎪+=-⎨⎪⎪⨯=⎪⎩解得11a b =-⎧⎨=⎩（2）∵2b a =，∴22()6f x ax a x =++ 由题意得：22(1)60(2)4260f a a f a a ⎧-=-+>⎪⎨-=-+<⎪⎩解得21a -<<-16.解：（1）约束条件2022x y y x y x---≥≥≥，画出可行域，结合图象可得当目标函数2z x y =+过点A 时，目标函数取得最大值.202x y y x -=⎧⎨=-⎩得(42)A ，，则2z x y =+的最大值为10. 所以命题p 为真：5a ≥ 由299n n a n n n +==+6=≥（当且仅当9n n =，即3n =时取等号.）所以命题q 为真：6a ≥ （2）由于命题p 与q 真假相同①若p 与q 同为真：则56a a ⎧⎨⎩≥≥，∴6a ≥. ②若p 与q 同为假，则56a a <⎧⎨<⎩，∴5a <.综上：5a <或6a ≥.17.解：（1）由于2n S n =（*n N ∈）当1n =时，111a S ==，当2n ≥时，1n n n a S S -=-22(1)n n =--21n =-，对1n =适用所以21n a n =-所以2112224n a n n n b --===⋅所以2(14)2241433n n n T -==⋅-- （2）由于111(21)(21)n n n c a a n n +==⋅-⋅+111()22121n n =--+所以1111111111(1)()()()()23355723212121n M n n n n ⎡⎤=-+-+-+-+-⎢⎥---+⎣⎦111(1)2212n =-<+故12k ≥从而k 的最小值为12 18.解：（1）由题意知：每件产品的销售价格为8162mm +⨯所以816(816)m y m m x m +=⋅-++816m x =+- 1816(3)1x x =+--+16561xx =--+（[0]x a ∈，） 所以16561y xx =--+（[0]x a ∈，） （2）由16561y x x =--+1657(1)1x x ⎡⎤=-++⎢⎥+⎣⎦5749-≤当且仅当1611x x =++，即3x =时取等号. 又[0]x a ∈，当3a ≥时，当3x =时，y 有最大值；当3a <时，易证y 关于x 为增函数，所以x a =时，y 有最大值； 答：当3a ≥时，该服装厂2021年的促销费用投入3万元时，利润最大； 当3a <时，该服装厂2021年的促销费用投入a 万元时，利润最大. 19.解：（1）由于1n n a a ∆-=.故121n n a a +=+，即112(1)n n a a ++=+，所以1121n n a a ++=+故数列{1}n a +为等比数列，且112a +=，所以21nn a =- （2）2n n n a a ∆-= 122nn n a a +=+111222n n n n a a ++=+，故数列2n na ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以12为首项，12为公差的等差数列，易求出12n n a n -=⋅ ①012122232n S =⋅+⋅+⋅21(1)22n n n n --++-+⋅1221222n S =⋅+⋅21(2)2(1)22n n n n n n --++-+-⋅+⋅以上两式相减得： 12122n S -=++122n n n -++-⋅(1)21nn =-⋅-所以(1)21nn S n =-⋅+ ②证明：由12n n n a a b +=且12n n a n -=⋅，知1n n b n +=，对于给定的*n N ∈，若存在k ，t n ≠，且t ，*k ∈N ，只需111n k t n k t +++=⋅ 只需(1)n k t k n +=-取1k n =+，则(2)t n n =+ 所以对于数列{}n b 中的任意一项1n n b n +=，都存在121n n b n ++=+与2(2)2212n n n n b n n +++=+，使得1(2)n n n n b b b ++=⋅， 即数列{}n c 中的任意一项总可以表示成该数列其他两项之积. 20.解：（1）由于[11]a ∈-，，223x ax -≤恒成立， 令2()2g a ax x =-+ [11]a ∈-，，则max ()3g a ≤ 所以22(1)23(1)23g x x g x x ⎧-=+⎪⎨=-⎪⎩≤≤，解得11x -≤≤（2）对任意1x ，2x R ∈，12122()[()()]2x x f f x f x +-+22121212()422x x x xa x ++=--212222ax x ax +-+ 222212121222x x x x x x ++=--212()02x x -=-≤12121()[()()]22x x f f x f x ++≤（3）222()2()f x x ax x a a =-=--对称轴0x a =>，[]0()x M a ∈，由不等式|()|5f x ≤恒成立得max ()5f x ≤且min ()5f x -≥由于0a >，当25a -<-，即5a ()M a a <，()f x 在[]0()M a ，为减函数.由题意知：(())5f M a =-由()5f x =-且x a <解得：25x a a =-所以5a 2()5M a a a =--当250a --<≤，即05a <min ()5f x -≥总成立max ()5f x ≤由题意得：()M a a >，()f x 在(0)a ，为减函数. ()f x 在[]0()M a ，为增函数，又(0)0f =，则(())5f M a =，()M a a >由()5f x =，x a >解得25x a a =++所以05a <2()5M a a a =++综上2255()505a a a M a a a a ⎧->⎪=⎨+<⎪⎩数学（加试）参考答案21.解：由逆矩阵公式，1db ad bc ad bc A c a ad bc ad bc --⎡⎤⎢⎥--=⎢⎥-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦7231-⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦则1723311B A AB --⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦198⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ 22.解：设矩阵M 的特征向量1α对应的特征值为1λ，特征向量2α对应的特征值为2λ，则由111222M M αλααλα⎧=⎪⎨=⎪⎩可解得：0m n ==，12λ=，21λ= 又1102201β⎡⎤⎡⎤⎡⎤==+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦122αα=+， 所以2222121122(2)2M M βααλαλα=+=+10442012⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 23.解：（1）0a =，原不等式的解为1x > （2）0a ≠，原不等式可化为(2)(1)0ax x +->方程(2)(1)0ax x +-=的解为2a -和1①0a >原不等式的解为：2x a <-或1x > ②0a <当2a <-时，原不等式的解集为2|1x x a ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭ 当2a =-时，原不等式的解集为∅ 当20a -<<，原不等式的解集为21x a <<-综上：当2a <-时，原不等式的解集为2|1x x a ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭ 当2a =-时，原不等式的解集为∅当20a -<<，原不等式的解集为2|1x x a ⎧⎫<<-⎨⎬⎩⎭ 当0a =时，原不等式的解集为{|1}x x >当0a >时，原不等式的解集为2|1x x x a ⎧⎫<->⎨⎬⎩⎭或 24.解：（1）由4n S 与2n a 的等差中项为3得426n n S a +=，① 当2n ≥时，11426n n S a --+=②①-②得，113n n a a -=，有由于在①中令1n =，得11a = {}n a 是以11a =，公比为13q =的等比数列 数列{}n a 的通项公式为113n n a -=（2）原问题等价于2(1)1111(1)3323n n nk --⎡⎤⎛⎫⎛⎫-<-⎢⎥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦（*n N ∈）恒成立.当n 为奇数时，对任意正整数k 不等式恒成立；当n 为偶数时，等价于2(1)11123033n n k --⎛⎫⎛⎫+-< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭恒成立，令113n t-⎛⎫= ⎪⎝⎭，103t <<，则等价于2230kt t +-<对103t <<恒成立*k N ∈故2()23f t kt t =+-在103t <<上递增故max 128()()0393f t f k ==-<即12k <故正整数k 的最大值为11 （3）由(2)3()32n n nb n n a +=⋅*n N ∈及13n n a = 得(1)2n nn n b +=，21122n n n n n b b ++-++-=当1n =时，21b b >；当2n ≥时，1n n b b +<132b =，22b =，3158b =，432b =，53532b =由集合*{|}n M n b n N λ=∈，≥恰有4个元素，得353322λ<≤。

2023~2024学年第一学期期中调研试卷高二数学（答案在最后）（满分150分，考试时间120分钟）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.经过()1,2A -，()4,8B -两点的直线的斜率是（）A.2B.2- C.12D.12-【答案】B 【解析】【分析】直接代入直线斜率公式即可.【详解】经过()1,2A -，()4,8B -两点的直线的斜率是8224(1)k -==----.故选：B.2.直线1l ：310++=mx y ，2l ：()2520x m y +++=，若12l l //，则实数m 的值为（）A.6-B.1C.6-或1D.3-【答案】A 【解析】【分析】根据已知得出2560m m +-=，求解得出m 的值，代入12,l l 的方程检验，即可得出答案.【详解】由12l l //可得，()5320m m +-⨯=，即2560m m +-=，解得6m =-或1m =.当6m =-时，1l 方程为6310x y -++=，2l 方程为220x y -+=不重合，满足；当1m =时，1l 方程为310x y ++=，2l 方程为2620x y ++=，即310x y ++=，与1l 重合，舍去.综上所述，6m =-.故选：A.3.圆1C ：221x y +=与圆2C ：()2224x y ++=的公切线条数为（）A.1B.2C.3D.4【答案】B 【解析】【分析】根据两圆的标准方程，判断出两圆的位置关系，即可得出结果.【详解】因为圆1C ：221x y +=的圆心为1(0,0)C ，11r =，圆2C ：()2224x y ++=的圆心为2(2,0)C -，22r =，所以122C C =，可得21121213r r C C r r -=<<+=，故圆1C 与圆2C 相交，所以圆1C 与圆2C 的公切线条数为2条，故选：B.4.双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>）A.12y x =±B.3y x =±C.y =D.2y x=±【答案】D 【解析】【分析】根据双曲线的离心率的定义求出a 与c 的关系，从而得出a 与b 的关系，再根据渐近线方程定义即得.【详解】由c e a==可得：,c =又因222,a b c +=故有2,b a =而双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b -=>>的渐近线方程为,by x a=±即：2.y x =±故选：D.5.阿基米德是古希腊著名的数学家、物理学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率π等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的面积是，长轴的一个端点与短轴的两个端点构成等边三角形，则椭圆的方程为（）A.221248x y += B.2212812x y += C.2213216x y += D.2213618x y +=【答案】A 【解析】【分析】由椭圆面积公式求得关于a,b 的关系式，结合等边三角形性质可得a,b 的基本关系，联立方程即可求解.【详解】由椭圆面积公式可得πSab =,依题意有ab =①，2b =②，联立①②得：228,24b a ==，故椭圆的方程为221248x y +=.故选：A6.圆22220x y x y +++=上的点到直线20x y --=的距离的最大值为（） A.B. C.322 D.522【答案】B 【解析】【分析】根据给定条件，求出圆心到直线距离，再利用圆的性质求解即得.【详解】圆22(1)(1)2x y +++=的圆心为(1,1)--，半径为，则点(1,1)--到直线20x y --==，所以圆22220x y x y +++=上的点到直线20x y --=的距离的最大值为.故选：B7.已知点P 到直线1l ：40x y --=和直线2l ：20x y --=的距离相等，则点P 到坐标原点距离的最小值为（）A. B.2C.2D.4【答案】C 【解析】【分析】由两直线平行可判断点P 所在直线，垂直时距离最小，再由点到直线的距离公式求出即可.【详解】因为直线1l ：40x y --=和直线2l ：20x y --=平行，且点P 到他们的距离相等，所以点P 在直线:30l x y --=上，当OP l ⊥时，点P 到坐标原点距离的最小，为2=故选：C8.椭圆C ：22195x y +=长轴的左右两个端点分别是A ，B ，点C 满足45AC BC =，则ABC 面积的最大值为（）A.40B.44C.433D.533【答案】A 【解析】【分析】由题意得(3,0),(3,0)A B -，设(,)C x y ，则由45AC BC =可得2241160039x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，从而可求得403y ≤，进而可求出ABC 面积的最大值.【详解】由22195x y +=，得29a =，则3a =，所以(3,0),(3,0)A B -，则6AB =，设(,)C x y ，所以AC BC ==,因为45ACBC =，所以=，所以222216(69)25(69)x x y x x y +++=-++，化简得2292469810x x y -++=，即2282903x x y -++=，所以228216811681160093999x x y -++=-=，所以2241160039x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，所以221600411600939y x ⎛⎫=--≤⎪⎝⎭，当且仅当413x =时取等号，所以403y ≤，所以1140640223ABC S AB y =４�，所以ABC 面积的最大值为40，二、选择题：本题共4小题．每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.下列说法中，正确的有（）A.直线的点斜式方程()11y y k x x -=-可以表示任何直线B.直线42y x =-在y 轴上的截距为2-C.直线230x y -+=关于点()3,2对称的直线方程是2110x y --=D.直线1l ：210x y ++=与2l ：2430x y ++=之间的距离为5【答案】BC 【解析】【分析】根据点斜式方程判断A ；根据斜截式方程判断B ；设直线230x y -+=关于点()3,2对称的直线方程是20,3x y t t -+=≠，利用点到直线的距离公式求解判断C ；利用平行线间距离公式判断D.【详解】直线的点斜式方程()11y y k x x -=-不表示直线1x x =，故A 不正确；由直线的斜截式方程可知，直线42y x =-在y 轴上的截距为2-，故B 正确；设直线230x y -+=关于点()3,2对称的直线方程是20,3x y t t -+=≠，由点()3,2=11t =-，则直线230x y -+=关于点()3,2对称的直线方程是2110x y --=，故C 正确；直线1l ：210x y ++=即2420x y ++=，与2l ：2430x y++=之间的距离为10d ==，故D 不正确.10.已知直线l 过点()2,3P --，若点()2,1M -和点()4,5N 到直线l 的距离相等，则直线l 的方程为（）A.330x y --=B.330x y -+=C.10x y --=D.30x y +-=【答案】BC 【解析】【分析】由题意，直线l 存在斜率，设直线l 的方程为()32y k x +=+，利用点到直线的距离公式求解.【详解】当直线l 的斜率不存在时，方程为2x =-，()2,1M -和()4,5N 到直线l 的距离不相等，因此直线l 存在斜率，设直线l 的方程为()32y k x +=+，即230kx y k -+-=，若点()2,1M -和点()4,5N 到直线l 的距离相等，=4268k k -=-，解得3k =或1k =，∴直线l 的方程为330x y -+=或10x y --=.故选：BC.11.我们把离心率为12+的双曲线叫做理想双曲线，若双曲线E ：2221(0)x y a a -=>是理想双曲线，左右顶点分别为1A ，2A ，虚轴的上端点为B ，左焦点为F ，离心率为e ，则（）A.21a e =B.顶点到渐近线的距离为eC.2A B FB ⊥D.2A FB 的外接圆的面积为2π4+【答案】ACD 【解析】【分析】根据离心率求出2a ，利用双曲线的性质结合选项逐个判定即可.【详解】因为12e +=，所以12a =，解得2a =；对于A ，2112a e ===，A 正确；对于B ，渐近线的方程为1y x a=±，右顶点(),0a到渐近线的距离为1d e ===，B 不正确；对于C ，设双曲线的焦距为2c ，由21a e =得1ac =，()()2,1,,1FB c BA a ==-，因为210FB BA ac ⋅=-=，所以2A B FB ⊥，C 正确；对于D ，由2A B FB ⊥可知，2A FB 的外接圆的半径为()12a c +，所以面积为()()()2222πππ2223π4444a c a ac c a ++=++=+=，D 正确.故选：ACD.12.已知圆C ：()()222341125x k y k k -+-+=+，则下列结论中正确的有（）A.圆C 过定点B.点()0,0在圆C 外C.直线4330x y --=平分圆周D.存在实数k ，使圆与x 轴相切【答案】ACD 【解析】【分析】选项A ，将圆的方程化简得到222(688)0x y y k x y ++-++=，再由22206880x y y x y ⎧++=⎨++=⎩即可求出圆过点；选项B ，利用点与圆位置关系的判断方法即可判断出选项的正误；选项C ，根据条件，可得圆心(3,41)k k -在直线4330x y --=上，从而可判断出选项C 的正误；选项D，根据条件可得41k -=k ，即可解决问题.【详解】对于选项A ，由()()222341125x k y k k -+-+=+，得到22222692(41)1681125x kx k y k y k k k -++--+-+=+，整理得到222(688)0x y y k x y ++-++=，由22206880x y y x y ⎧++=⎨++=⎩，得到4525x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩或4585x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，故圆C 过定点42(,)55--和48(,55-，所以选项A 正确；对于选项B ，因为圆心为(3,41)k k -，r =，点()0,0到圆心的距离d ==又因为R k ∈，当0k >时，d r <，此时点()0,0在圆C 内，所以选项B 错误；对于选项C ，因为圆心为(3,41)k k -，又433(41)30k k ⨯---=，即圆心在直线4330x y --=上，所以选项C 正确；对于选项D ，若圆与x轴相切，则有41k -=2980k k +=，解得0k =或89k =-，所以选项D 正确，故选：ACD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.直线20y -+=的倾斜角为______．【答案】3π【解析】【详解】设直线的倾斜角为,α20,2y y -+=∴=+，∴直线的斜率为k =tan α=0180,60=3παα≤<∴=，故答案为3π.14.方程22126x y m m+=--表示焦点在y 轴上的椭圆，则实数m 的取值范围是________．【答案】()2,4【解析】【分析】根据已知列出不等式组，求解不等式组，即可得出答案.【详解】由已知可得，626020m m m m ->-⎧⎪->⎨⎪->⎩，解得24m <<.故答案为：()2,4.15.已知圆O ：229x y +=，过点()2,4--作圆的两条切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 的方程是________．【答案】2490x y ++=【解析】【分析】设()2,4M --，根据题意确定出,,,O A M B 四点共圆并求解出圆的方程，然后根据两圆相交弦所在直线方程的求法求解出结果.【详解】设()2,4M --，如下图，因为,AM BM 为圆O 的切线，所以90OAM OBM ∠=∠=︒，所以180AOB AMB ∠+∠=︒，所以,,,O A M B 四点共圆，且OM 为圆的直径，记OM 的中点为N ，因为()2,4M --，所以()111,2,22N ON OM --===，所以经过,,,O A M B 四点的圆的方程为()()22:125N x y +++=，显然()()22:125N x y +++=与22:9O x y +=的相交弦为AB ，所以AB 所在直线的方程为()()()22221259x y x y+++-+=-，即为2490x y ++=，故答案为：2490x y ++=.16.已知P 是双曲线22197x y -=上的点，F 为双曲线的右焦点，点A 的坐标为()5,1，则PF PA +的最小值是________．【答案】6-##6-+【解析】【分析】根据已知求出,a c 的值.结合图象可知点P 应在双曲线的右支上，根据双曲线的定义可得16PF PA PF PA +=+-.结合图象，以及两点间的距离公式，即可得出答案.【详解】由已知可得，29a =，27b =，所以，216c =，3a =，4c =.如图，设双曲线左焦点为1F ，因为点A 在双曲线右支内部，要使PF PA +最小，则点P 应在双曲线的右支上.根据双曲线的定义可得，126PF PF a -==，所以，16PF PF =-.所以，16PF PA PF PA +=+-.由图象可知，当1,,A P F 三点共线且如图示位置时，1PF PA +有最小值1AF .又()14,0F -，所以1AF =，所以，16PF PA +-6-，即PF PA +6.6.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知直线l 过点()3,7-，直线l '：380x y -+=．（1）若直线l l '⊥，求直线l 的方程；（2）若直线l 为入射光线，经直线l '反射，其反射光线经过点()0,6，求l 的方程．【答案】（1）320x y ++=；（2）75140x y +-=.【解析】【分析】（1）根据两直线垂直，可求斜率，结合点斜式即可求解.（2）求得点0,6（）关于直线的对称点，则反射光线上的两点知道，进而可求斜率，应用点斜式即可求解.【小问1详解】因为直线:380l x y '-+=,所以18:33l y x '=+，即13l k '=,因为l l '⊥，所以1l l k k '⋅=-，即3l k =-，从而直线l 的方程为：73(3)y x -=-+即320x y ++=;【小问2详解】设点0,6（）关于直线:380l x y '-+=的对称点为()m n ，，06380226113m n n m ++⎧-⋅+=⎪⎪⎨-⎪⋅=-⎪⎩，解得：20m n =⎧⎨=⎩，入射光线的斜率为077235-=-+，从而入射光线的直线l 方程为70(2)5y x -=--，即75140x y +-=.18.已知圆C ：()()2224x a y -+-=，直线l ：30x y -+=，l 与圆C 相交于A ，B两点，||AB =．（1）求实数a 的值；（2）当0a >时，求过点()1,6-并与圆C 相切的直线方程．【答案】（1）1a =或3a =-（2）=1x -或34210x y +-=【解析】【分析】（1）根据圆的半径以及直线与圆相交所得的弦长求解出圆心到直线的距离，由此列出关于a 的方程即可求解出结果；（2）分别考虑直线的斜率存在与不存在两种情况，直线斜率不存在时直接求解，直线斜率存在时利用圆心到直线的距离等于半径进行求解.【小问1详解】因为圆的半径2r =，||AB =所以圆心到直线的距离d ==，所以d ==，所以12a +=，所以1a =或3a =-.【小问2详解】因为0a >，所以()()22:124C x y -+-=，当直线的斜率不存在时，直线方程为=1x -，圆心到=1x -的距离为()112r --==，所以=1x -与圆相切；当直线的斜率存在时，设直线方程为()61y k x -=+，即60kx y k -++=，2=，所以34k =-，所以直线方程为34210x y +-=，所以过点()1,6-并与圆C 相切的直线方程为=1x -或34210x y +-=.19.设m 为实数，直线()()211530m x m y m +++--=．（1）求证：不论m 为何值，直线必过定点M ，并求出定点M 的坐标；（2）过点M 引直线1l ，使它与两坐标轴的正半轴的截距之和最小，求1l 的方程．【答案】（1）证明见解析，(21)，（2）12y x =-++【解析】【分析】（1）列出方程(25)30m x y x y +-++-=，解方程组25030x y x y +-=⎧⎨+-=⎩，可求出定点；（2）设出直线1l 的方程1(00)x y a b a b +=>>，，将点(21)M ，代入，可得211a b+=，利用基本不等式可求得a b +取最小值时的a ，b ，从而得解.【小问1详解】因为直线21)(1)530m x m y m +++--=（，所以(25)30m x y x y +-++-=，对R m ∀∈恒成立，从而由25030x y x y +-=⎧⎨+-=⎩，解得21x y =⎧⎨=⎩，从而直线过定点(21)M ，.【小问2详解】由题意设1:1(00)x y l a b a b+=>>，，因为直线1l 过定点(21)，，所以211a b +=，1l 与两坐标轴的正半轴的截距之和为a b +，212()(33b a a b a b a b a b ∴+=++=++≥+，当且仅当2a b b a=，即21a b =+=，时等号成立，从而1l 的方程为1=，即12y x =-++.20.在平面直角坐标系xOy 中，点P 到点()1,0的距离与到直线=1x -的距离相等，记动点P 的轨迹为C ．（1）求C 的方程；（2）直线l 与C 相交异于坐标原点的两点M ，N ，若OM ON ⊥，证明：直线l 恒过定点，并求出定点坐标．【答案】（1）24y x=（2）证明见解析，(4,0)【解析】【分析】（1）利用抛物线的定义或者直接把条件转化可得答案；（2）设出方程x my n =+，利用垂直可得4n =，进而得到定点或者利用直线的两点式方程，结合韦达定理可得定点.【小问1详解】法一：因为P 到点(10)，的距离与到直线=1x -的距离相等；所以P 的轨迹是以(1,0)为焦点=1x -为准线的抛物线故可设C 的方程为22(0)y px p =>,则有12p =所以2p =,故C 的方程为24y x =.法二：设P 的坐标为()，x y则有1x =+,所以222(1)(1)x y x ++=+.即24y x =,所以C 的方程为24y x =.【小问2详解】法一：设l 方程为1122(0)(),()x my n n M x y N x y =+≠，，，，因为OM ON ⊥，所以0OM ON ⋅= ，即12120x x y y +=.所以1212()()0my n my n y y +++=，即221212(1)0m y y mny y n +++=；由24x my n y x=+⎧⎨=⎩得2440y my n --=，所以121244y y m y y n +==-，.所以2224(1)40n m m n n -+++=，即240n n -=，所以4n =；所以l 方程为4x my =+，故l 恒过定点(4,0).法二：设221212()()44y y M y N y ，，，12(0)y y <，因为OM ON ⊥，所以0OM ON ⋅= ；所以221212016y y y y +=，所以1216y y =-.所以l 的方程为：221112221(44y y y y x y y y -=-+-，整理得1212124y y y x y y y y =+++，所以1212416y x y y y y =-++，即124(4)y x y y =-+，所以直线l 恒过定点(4,0).21.已知双曲线C经过点2⎫⎪⎭，两个焦点在x轴上，离心率为2．（1）求双曲线C 的标准方程；（2）若斜率为()0k k ≠的直线l 与双曲线C 相交于()11,A x y ，()22,B x y 两点，点A 关于y 轴对称点为1A ，点B 关于x 轴对称点为1B ，设直线11A B 的斜率为1k ，请问k 与1k 的乘积是否为定值，若是，请求出这个定值，若不是，请说明理由．【答案】（1）22143x y -=（2）是，34-【解析】【分析】（1）设双曲线C 的标准方程为22221(0,0)x y a b a b-=>>，由待定系数法列方程组求解；（2）法一：由题可得111122(),()A x y B x y --,,，可得11,,k k kk 的表达式，结合222211221,14343x y x y -=-=作差可得结论；法二：由题可得111122(),()A x y B x y --,,，设直线l 方程为y kx t =+，所以1122t k k x x =--+，联立直线l 与双曲线方程，结合韦达定理可得134k k=-，可得结论.【小问1详解】设双曲线C 的标准方程为22221(0,0)x y a b a b-=>>，双曲线C经过点2⎫⎪⎭，则有226614a b -=，因为2e ==，所以2234b a =，即2243b a =.所以241a=，所以224,3a b ==，所以双曲线C 的标准方程为22143x y -=.【小问2详解】法一：由题可得111122(),()A x y B x y --,,，所以211212112y y y y k k x x x x -+==--+,，所以222112221y y kk x x -=--，因为22221122114343x y x y -=-=,，所以22222121043x x y y ---=，所以2221222134y y x x -=-，所以134kk =-.所以k 与1k 的乘积为定值，定值为34-.法二：由题可得111122(),()A x y B x y --,,，设直线l 方程为y kx t =+，则1122,y kx t y kx t =+=+，所以111122()()A x kx t B x kx t -+--,,,，所以1122t k k x x =--+，由22143y kx t x y =+⎧⎪⎨-=⎪⎩，得222(34)84120k x ktx t ----=，所以122834kt x x k +=-，所以2213434284k k k k t k kt k--=--⋅=--，即134k k =-，所以134kk =-，所以k 与1k 的乘积为定值，定值为34-.22.已知焦距为2的椭圆M ：22221(0)x y a b a b+=>>，1F ，2F 分别为其左右焦点，过点2F 的直线1l 与椭圆交于A ，B 两点，1ABF 的周长为8．（1）求椭圆M 的方程；（2）若过点2F 的直线2l 与椭圆交于C ，D 两点且满足12l l ⊥，求四边形ACBD 面积的最小值．【答案】（1）22143x y +=（2）28849【解析】【分析】（1）由椭圆的性质直接求即可；（2）分斜率不存在，等于零，不等于零三种情况讨论，由弦长公式得出面积的表达式再用二次函数的单调性求得结果.【小问1详解】设22212(0)(0)F c F c c a b -=-，，，，因为过点2F 的直线1l 与椭圆交于A ，B 两点，1ABF 的周长为8所以则有2248c a =⎧⎨=⎩所以21a c =⎧⎨=⎩所以2223b ac =-=所以M 的方程为22143x y +=【小问2详解】()i 1l 斜率不存在时.1l 方程为1x =，2l 方程为0y =则有3,4AB CD ==所以1134622ABCD S AB CD =⋅=⋅⋅=四边形()ii 1l 斜率为0时.1l 方程为0y =，此时无法构成1ABF ，不符合题意；()iii 1l 斜率存在且不为0时.设1l 方程为1122(1)()()y k x A x kx k B x kx k =---，，，，则2l 方程为1(1)y x k=--所以12AB x ==-由22(1)143y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得2222(34)84120k x k x k +-+-=所以21441440k ∆=+>221212228412,3434k k x x x x k k -+=⋅=++所以2212(1)43k AB k +=+同理，设()()3344,,,C D x y y x 221(1)143y x k x y ⎧=--⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩2222111(3484120x x k k k +-+-=211441440kD =+>22343422118412,113434k k x x x x k k-+=×=++CD =代入并化简可得2212(1)34k CD k +=+.所以22221112(1)12(1)224334ABCD k k S AB CD k k ++=⋅=⋅⋅++四边形即222272(1)(43)(34)ABCD k S k k +=++四边形...令211k t t +=，＞则2227272(41)(31)121ABCD t t S t t t t ==-++-四边形即22727211114912()24ABCD S t t t ==-++--+四边形所以此时当2t =时，面积最小，【点睛】本题计算量较大，属于弦长问题；第一问直接由椭圆的定义可得；第二问需要分类讨论斜率不存在，等于零，不等于零三种情况，再由弦长公式得到面积的表达式，最后得出结果.。

2023—2024学年度第一学期期中考试高二数学试卷（答案在最后）命题人：考试时间：120分钟分值：150分一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若点(),0a 在圆221x y +=的内部，则实数a 的取值范围是（）A.()1,1- B.(),1-∞ C.[)0,1 D.()1,+∞2.已知空间向量()2,2,1a =- ，()3,0,4b = ，则向量b 在向量a 上的投影向量是（）A .109bB.25b C.109a D.25a 3.已知椭圆22:3412C x y +=，则它的焦点坐标是（）A.()5,0和()5,0- B.()1,0和()1,0- C.()0,5和()0,5- D.()0,1和()0,1-4.如图，ABCD －EFGH 是棱长为1的正方体，若P 在正方体内部且满足312423AP AB AD AE =++ ，则P到AB 的距离为（）A.34B.45C.56D.355.圆221:1C x y +=与圆()()()2222:340C x y m m -++=>内切，则实数m 的值为（）A.4B.5C.6D.76.已知直线ax +y+1=0，x +ay+1=0和x +y+a =0能构成三角形，则a 的取值范围是（）A.a≠2-B.a≠1±C.a≠2-且a≠1± D.a≠2-且a≠17.若直线0kx y k ++=与曲线1y =+k 的取值范围是（）A.{}11,03⎡⎫--⎪⎢⎣⎭B.{}11,03⎛⎫--⋃ ⎪⎝⎭C.141,33⎡⎤⎧⎫--⋃-⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭D.141,33⎛⎤⎧⎫--⋃-⎨⎬⎥⎝⎦⎩⎭8.已知1F ，2F 是椭圆2212516x y +=的左、右焦点，P 是椭圆上任意一点，过1F 引12F PF ∠的外角平分线的垂线，垂足为Q ，则Q 与短轴端点的最近距离为（）A.1B.2C.4D.5二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.下列说法正确的是（）A.10y ++=的倾斜角为120°B.经过点(2,1)P ，且在,x y 轴上截距互为相反数的直线方程为10x y --=C.直线:20l mx y m ++-=恒过定点(1,2)-D.直线12:210,:(1)(1)40l ax ay l a x a y ++=--+-=，12l l ⊥，则3a =-或010.已知12,F F 是椭圆22:15025x yC +=的左、右焦点，点P 在椭圆C 上，则下列结论正确的有()A.椭圆C 的离心率为2B.12||||PF PF +=C.15||5PF ≤≤+ D.12F PF ∠的最大值为π211.已知实数x 、y 满足方程224240x y x y +--+=，则下列说法正确的是（）A.yx 的最大值为43B.yx的最小值为0C.22x y +1+ D.x y +的最大值为3+12.如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，以顶点A 为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是60°，下列说法中不正确的是（）A.1126AC =B.BD ⊥平面1ACC C.向量1B C 与1AA的夹角是60°D.直线1BD 与AC 所成角的余弦值为66三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知1,,2a m =- （），,1,2b n =- （），且3)//(3)a b a b +-(，则m n +=___________.14.已知点2()1,M -，则点M 关于直线:250l x y +-=的对称点Q 的坐标是__．15.设椭圆2222 x y E :1(a b 0)a b+=>>的右顶点为A 、右焦点为,F B 为椭圆E 在第二象限上的点，直线BO 交椭圆E 于点C ，若直线BF 平分线段AC ，则椭圆E 的离心率是______．16.已知椭圆C ：22142x y +=的左､右焦点分别为1F ､2F ，M 为椭圆C 上任意一点，N 为圆E ：((223221x y -+-=上任意一点，则1MN MF -的取值范围为___________.四、解答题：本大题共6小题，共计70分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步步骤.17.已知两直线l 1：mx ＋8y ＋n ＝0和l 2：2x ＋my －1＝0，试确定m ，n 的值，使：(1)l 1与l 2相交于点P (m ，－1)；(2)l 1∥l 2；(3)l 1⊥l 2，且l 1在y 轴上的截距为－1.18.已知一个动点M 在圆2216x y +=上运动，它与定点()8,0Q 所连线段的中点为P ．（1）求点P 的轨迹方程；（2）若点P 的轨迹的切线在两坐标轴上有相等的截距，求此切线方程.19.已知空间中三点()2,0,2A -，()1,1,2B --，()3,0,4C -（1）若3c = ，且BC c ∥，求向量c ；（2）若点()1,1,P m -在平面ABC 上，求m 的值．20.已知椭圆()2222:10x y M a b a b +=>>焦距为，过点3⎫⎪⎪⎝⎭，斜率为k 的直线l 与椭圆有两个不同的交点A 、B .（1）求椭圆M 的方程；（2）若1k =，AB 的最大值.21.如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是直角梯形，其中AD BC ∥，AB AD ⊥，122AB AD BC ===，4PA =，E 为棱BC 上的点，且14BE BC =.（1）求证：DE ⊥平面PAC .（2）求二面角A PC D --的平面角的余弦值.（3）若点Q 在棱CP 上（不与点C ，P 重合），直线QE 能与平面PCD 垂直吗？若能，求出CQCP的值；若不能，请说明理由.22.已知31,2P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭为椭圆()2222:10x y E a b a b +=>>上一点，上、下顶点分别为A 、B ，右顶点为C ，且225a b +=.（1）求椭圆E 的方程；（2）点P为椭圆E上异于顶点的一动点，直线AC与BP交于点Q，直线CP交y轴于点R.求证：直线RQ过定点.2023—2024学年度第一学期期中考试高二数学试卷命题人：考试时间：120分钟分值：150分一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若点(),0a 在圆221x y +=的内部，则实数a 的取值范围是（）A.()1,1- B.(),1-∞ C.[)0,1 D.()1,+∞【答案】A 【解析】【分析】利用点与圆的位置关系可得出关于实数a 的不等式，解之即可.【详解】由题意可得21a <，解得11a -<<.故选：A.2.已知空间向量()2,2,1a =- ，()3,0,4b = ，则向量b 在向量a 上的投影向量是（）A.109bB.25b C.109a D.25a 【答案】C 【解析】【分析】根据空间向量数量积的运算性质和定义，结合投影向量进行求解即可.【详解】因为空间向量()2,2,1a =-，()3,0,4b = ，所以向量b在向量a上的投影向量为：()222314109a b a a b b a a a a b a a⋅⋅⨯+⨯⋅⋅=⋅=⋅=⋅，故选：C3.已知椭圆22:3412C x y +=，则它的焦点坐标是（）A.()5,0和()5,0- B.()1,0和()1,0- C.()0,5和()0,5- D.()0,1和()0,1-【答案】B 【解析】【分析】转化为标准方程后即可求解.【详解】椭圆22:3412C x y +=的标准方程为22143x y +=，其中224,3a b ==，所以222431c a b =-=-=.所以焦点坐标是()1,0和()1,0-.故选：B4.如图，ABCD －EFGH 是棱长为1的正方体，若P 在正方体内部且满足312423AP AB AD AE =++，则P到AB 的距离为（）A.34B.45C.56D.35【答案】C 【解析】【分析】以A 为坐标原点，AB ，AD ，AE 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，计算出AB 和AP的坐标，然后根据向量法求点到直线的距离公式即可求解.【详解】如图，以A 为坐标原点，AB ，AD ，AE 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，则()1,0,0AB = ，()0,1,0AD =uuu r ，()0,0,1AE =，因为312423AP AB AD AE =++，所以312,,423AP ⎛⎫= ⎪⎝⎭，312,,423a AP ⎛⎫== ⎪⎝⎭，()1,0,0ABu AB ==，2222312181423144a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ，31231004234a u ⋅=⨯+⨯+⨯= ，所以点P 到AB 的距离56d ===．故选：C.5.圆221:1C x y +=与圆()()()2222:340C x y m m -++=>内切，则实数m 的值为（）A.4B.5C.6D.7【答案】C 【解析】【分析】由圆12,C C 内切得1212C C r r =-即可解决.【详解】由题知221:1C x y +=，()()()2222:340C x y m m -++=>所以1122(0,0),1,(3,4),C C r r m =-=，因为圆221:1C x y +=与圆()()()2222:340C x y m m -++=>内切，所以1212C C r r =-，即51m =-，因为0m >，所以6m =，故选：C.6.已知直线ax +y+1=0，x +ay+1=0和x +y+a =0能构成三角形，则a 的取值范围是（）A.a≠2-B.a≠1±C.a≠2-且a≠1±D.a≠2-且a≠1【答案】C 【解析】【分析】由三条直线两两不平行，且不交于同一点可得．【详解】已知三条直线能构成三角形，首先不平行，若0a =，则三条直线围成三角形，若0a ≠，则11a a ≠，111a ≠，解得1a ≠±，1a ≠±时，由100ax y x y a ++=⎧⎨++=⎩，得1(1)x y a =⎧⎨=-+⎩，代入10x ay ++=得1(1)10a a -++=，1a =或2a =-，因此2a ≠-综上：1a ≠±且2a ≠-．故选：C ．7.若直线0kx y k ++=与曲线1y =+k 的取值范围是（）A.{}11,03⎡⎫--⎪⎢⎣⎭B.{}11,03⎛⎫--⋃ ⎪⎝⎭C.141,33⎡⎤⎧⎫--⋃-⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭ D.141,33⎛⎤⎧⎫--⋃-⎨⎬ ⎥⎝⎦⎩⎭【答案】D 【解析】【分析】首先确定曲线的形状，然后结合直线恒过定点考查临界情况结合图像即可确定实数k 的取值范围．【详解】曲线1y =+22(1)20(1)x y x y +--= ，即22(1)(1)1(1)x y y -+-= ，表示(1,1)M 为圆心，1r =为半径的圆的上半部分，直线0kx y k ++=即(1)y k x =-+恒过定点(1,0)-，作出直线与半圆的图象，如图，考查临界情况：当直线过点(0,1)时，直线的斜率1k -=，此时直线与半圆有两个交点，当直线过点(2,1)时，直线的斜率13k -=，此时直线与半圆有1个交点，当直线与半圆相切时，圆心(1,1)M 到直线0kx y k ++=的距离为1，且0k ->，1=，解得：43k=-，(0k=舍去）．据此可得，实数k的取值范围是14(1,33⎧⎫---⎨⎬⎩⎭．故选：D．8.已知1F，2F是椭圆2212516x y+=的左、右焦点，P是椭圆上任意一点，过1F引12F PF∠的外角平分线的垂线，垂足为Q，则Q与短轴端点的最近距离为（）A.1B.2C.4D.5【答案】A【解析】【分析】根据角平分线的性质和椭圆的定义可得OQ是12F F M△的中位线，||5OQ a==，可得Q点的轨迹是以O为圆心，以5为半径的圆，由此可得选项.【详解】因为P是焦点为1F，2F的椭圆2212516x y+=上的一点，PQ为12F PF∠的外角平分线，1QF PQ⊥，设1FQ的延长线交2F P的延长线于点M，所以1||||PM PF=，12212210,PF PF a MF PF PF+==∴=+，所以由题意得OQ是12F F M△的中位线，所以||5OQ a==，所以Q点的轨迹是以O为圆心，以5为半径的圆，所以当点Q与y轴重合时，Q与短轴端点取最近距离54 1.d=-=故选：A.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.下列说法正确的是（）A.10y++=的倾斜角为120°B.经过点(2,1)P，且在,x y轴上截距互为相反数的直线方程为10x y--=C.直线:20l mx y m++-=恒过定点(1,2)-D.直线12:210,:(1)(1)40l ax ay l a x a y ++=--+-=，12l l ⊥，则3a =-或0【答案】AC 【解析】【分析】根据直线方程求得斜率为k =tan α=A 正确；当直线过原点时，得到20x y -=，满足题意，可判定B 错误；化简得到(1)(2)0m x y -++=，进而可判定C 正确；根据直线的一般式的条件和垂直关系，列出方程，可判定D 不正确.【详解】对于A 中，设直线的倾斜角为α10y ++=，可得斜率为k =即tan α=，因为0180α≤< ，所以120α= ，所以A 正确；对于B 中，当直线过原点时，此时过点P 直线方程为12y x =，即20x y -=，满足题意；当直线不过原点时，要使得直线在,x y 轴上截距互为相反数，可得所求直线的斜率1k =，所以点(2,1)P 的直线方程为12y x -=-，即10x y --=，所以B 错误；对于C 中，直线:20l mx y m ++-=，可化为(1)(2)0m x y -++=，由方程组1020x y -=⎧⎨+=⎩，解得x 1,y 2==-，所以直线l 恒过点(1,2)-，所以C 正确；对于D 中，由直线12:210,:(1)(1)40l ax ay l a x a y ++=--+-=，若12l l ⊥，可得(1)2(1)0a a a a --+=且0a ≠，解得3a =-，所以D 不正确.故选：AC.10.已知12,F F 是椭圆22:15025x yC +=的左、右焦点，点P 在椭圆C 上，则下列结论正确的有()A.椭圆C 的离心率为2B.12||||PF PF +=C.15||5PF ≤≤+D.12F PF ∠的最大值为π2【答案】ACD 【解析】【分析】根据椭圆的标准方程求出a 、b 、c ，根据椭圆的几何性质即可逐项求解判断．【详解】易得a =，5b =，5c =，则12||||2PF PF a +==C的离心率为2c a =，故A 正确，B 错误；∵1||a c PF a c -≤≤+，∴15||5PF -≤≤+，C 正确；当点P 位于短轴的端点时，12F PF ∠取得最大值，此时12||||PF PF a ===，12210F F c ==，故12PF PF ⊥，即12F PF ∠的最大值为π2，D 正确．故选：ACD ．11.已知实数x 、y 满足方程224240x y x y +--+=，则下列说法正确的是（）A.yx 的最大值为43B.yx的最小值为0C.22x y +1+ D.x y +的最大值为3+【答案】ABD 【解析】【分析】设y k x=，可得y kx =，利用直线y kx =与圆()()22211x y -+-=有公共点，求出k 的取值范围，可判断AB 选项；利用距离的几何意义求出22xy +的最大值，可判断C 选项；设x y t +=，利用直线0x y t +-=与圆()()22211x y -+-=有公共点，求出t 的取值范围，可判断D 选项.【详解】将方程224240x y x y +--+=化为标准方程可得()()22211x y -+-=，圆()()22211x y -+-=的圆心为()2,1C ，半径为1r =，对于A 选项，设yk x=，可得y kx =，则直线y kx =与圆()()22211x y -+-=有公共点，1≤，整理可得2340k k -≤，解得403k ≤≤，AB 都对；对于C 选项，代数式22x y +的几何意义为圆()()22211x y -+-=上的点(),P x y 到原点的距离的平方，如下图所示：由图可知，当点P 为射线OC 与圆C 的交点时，OP 取最大值，即2max 21151OP OC r =+=++=，故22xy+的最大值为)25165+=+，C 错；对于D 选项，设x y t +=，则直线0x y t +-=与圆()()22211x y -+-=有公共点，2112t+-≤，解得3232t ≤≤，所以，x y +的最大值为32，D 对.故选：ABD.12.如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，以顶点A 为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是60°，下列说法中不正确的是（）A.1126AC =B.BD ⊥平面1ACC C.向量1B C 与1AA的夹角是60°D.直线1BD 与AC 所成角的余弦值为66【答案】AC 【解析】【分析】根据题意，利用空间向量的线性运算和数量积运算，对选项中的命题分析，判断正误即可．【详解】解：对于111:A AC AB BC CC AB AD AA =++=++，∴22221111222AC AB AD AA AB AD AD AA AD AA =+++⋅+⋅+⋅ 363636266cos 60266cos 60266cos 60216=+++⨯⨯⨯︒+⨯⨯⨯︒+⨯⨯⨯︒=，所以1||AC ==，选项A 错误；对于:B 11()()AC BD AB AD AA AD AB ⋅=++⋅-22110AB AD AB AD AB AD AA AD AA AB =⋅-+⋅+⋅--⋅=，所以10AC DB ⋅= ，即1AC DB ⊥，2222()()0AC BD AB AD AD AB AD AB AD AB⋅=+⋅-==--= ，所以0AC BD ⋅=，即AC BD ⊥，因为1AC AC A ⋂=，1,AC AC ⊂平面1ACC ，所以BD ⊥平面1ACC ，选项B 正确；对于C ：向量1B C 与1BB 的夹角是18060120︒-︒=︒，所以向量1B C 与1AA的夹角也是120︒，选项C 错误；对于11:D BD AD AA AB =+- ，AC AB AD =+所以()2222211111222BD AD AA ABAD AA AB AD AA AD AB AA AB =+-=+++⋅-⋅-⋅，1||BD ∴==同理，可得||AC =11()()18183636181836AC BD AD AA AB AB AD ⋅=+-⋅+=+-++-=，所以111cos 6||||AC BD BD AC AC BD ⋅<⋅>==⋅ ，所以选项D 正确．故选：AC ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知1,,2a m =- （），,1,2b n =- （），且3)//(3)a b a b +-(，则m n +=___________.【答案】0【解析】【分析】由空间向量的坐标运算求解，【详解】313,3,4a b n m +=-++- （），33,31,8a b n m -=---（），而3)//(3)a b a b +- (，故3(3)a b t a b +=-即13(3)3(31)48n t n m t m t -+=--⎧⎪+=-⎨⎪-=⎩，解得1112m n t ⎧⎪=-⎪=⎨⎪⎪=-⎩，0m n +=故答案为：014.已知点2()1,M -，则点M 关于直线:250l x y +-=的对称点Q 的坐标是__．【答案】(3,4)【解析】【分析】设出点M 关于直线:250l x y +-=的对称点Q 的坐标，根据对称的几何性质列出方程组，即可求得答案.【详解】设点2()1,M -关于直线250x y +-=的对称点Q 的坐标为(,)a b ，则()12250222112a bb a -++⎧⨯+-=⎪⎪⎨-⎪=--⎪⎩，解得3a =，4b =，故点M 关于直线:250l x y +-=的对称点Q 的坐标是(3,4)，故答案为：(3,4)15.设椭圆2222 x y E :1(a b 0)a b+=>>的右顶点为A 、右焦点为,F B 为椭圆E 在第二象限上的点，直线BO 交椭圆E 于点C ，若直线BF 平分线段AC ，则椭圆E 的离心率是______．【答案】13【解析】【详解】试题分析：如图，设AC 中点为M ，连接OM ，则OM 为ABC 的中位线，于是OFM AFB ∽，且12OF FA=，即1123c c a c a =⇒=-．考点：椭圆的离心率．16.已知椭圆C ：22142x y +=的左､右焦点分别为1F ､2F ，M 为椭圆C 上任意一点，N 为圆E ：((223221x y -+-=上任意一点，则1MN MF -的取值范围为___________.【答案】1,2101⎡⎤-+⎣⎦【解析】【分析】根据椭圆的定义，结合椭圆和圆的几何性质进行求解即可.【详解】如图，由M 为椭圆C 上任意一点，则12224MF MF +=⨯=，又N 为圆((22:3221E x y -+-=上任意一点，则1MN ME ≥-（当且仅当M 、N 、E 共线时取等号），∴()122224455MN MF MN MF MN MF ME MF EF -=--=+-≥+-≥-，当且仅当M 、N 、E 、2F 共线时等号成立.∵22,0)F ，(32,22)E ，则222||(322)(220)4EF =-+-=，∴1MN MF -的最小值为451-=-，当1,,,M F E N 共线时，1MN MF -最大，如下图所示：1(2,0)F -，最大值为2211(322)(22)101F E +=++，所以1MN MF -的取值范围为1⎡⎤-⎣⎦，故答案为：1⎡⎤-+⎣⎦【点睛】关键点睛：运用椭圆的定义和椭圆、圆的几何性质是解题的关键.四、解答题：本大题共6小题，共计70分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步步骤.17.已知两直线l 1：mx ＋8y ＋n ＝0和l 2：2x ＋my －1＝0，试确定m ，n 的值，使：(1)l 1与l 2相交于点P (m ，－1)；(2)l 1∥l 2；(3)l 1⊥l 2，且l 1在y 轴上的截距为－1.【答案】（1）m ＝1，n ＝7；（2）m ＝4，n ≠－2或m ＝－4，n ≠2；（3）m ＝0，n ＝8【解析】【详解】（1）根据点P 分别在直线l 1和直线l 2上，代入这两条直线方程，解方程组即可求得m,n.(2)由l 1∥l 2可得m·m －8×2＝0得m ＝±4,然后分别代入检验排除掉两直线重合的情况（3）由l 1⊥l 2可知m·2＋8·m ＝0，从而求得m,然后再根据l 1在y 轴上的截距求得n.解：(1)∵m 2－8＋n ＝0且2m －m －1＝0，∴m ＝1，n ＝7.(2)由m·m －8×2＝0得m ＝±4.由8×(－1)－n·m≠0得44,{{2 2.m m n n ==-≠-≠或即m ＝4，n≠－2时或m ＝－4，n≠2时，l 1∥l 2.(3)当且仅当m·2＋8·m ＝0，即m ＝0时，l 1⊥l 2，又－8n＝－1，∴n ＝8.故当m ＝0且n ＝8时满足条件．18.已知一个动点M 在圆2216x y +=上运动，它与定点()8,0Q 所连线段的中点为P ．（1）求点P 的轨迹方程；（2）若点P 的轨迹的切线在两坐标轴上有相等的截距，求此切线方程.【答案】（1）22(4)4x y -+=；（2）3y x =±或4x y +=±【解析】【分析】（1）设(),P x y ，()00,M xy ，用,x y 表示出00,x y ，把00(,)x y 代入已知圆方程化简后可得P 点轨迹方程；（2）截距均为0时，设切线y kx =，截距相等且不为0时，设切线(0)x y a a +=≠，由圆心到切线的距离等于半径求出参数即得切线方程．【详解】解：（1）设(),P x y ，()00,M x y ，根据中点公式得008202x x y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，解得00282x x y y =-⎧⎨=⎩．由220016x y +=，得22(28)(2)16x y -+=∴点P 的轨迹方程是22(4)4x y -+=．（2）当切线在两坐标轴上截距均为0时，设切线y kx =2=∴3k =±，所以切线方程为3y x =±，当切线在两坐标轴上截距相等且不为0时，设切线(0)x y a a +=≠由相切有2=，∴4a =±，切线方程为4x y +=±综上：切线方程为33y x =±或4x y +=±【点睛】关键点点睛：求动点轨迹方程的方法：1、直接法：设曲线上动点坐标为(,)x y 后，就可根据命题中的已知条件，研究动点形成的几何特征，在此基础上运用几何或代数的基本公式、定理等列出含有,x y 的关系式。

2021～2022学年度第一学期期中考试高二数学参考答案1. 20,0x x x ∃>-≥ 2. {}11x x x <->或 3. 必要不充分 4.8 5. 8 6.（0,4） 7. 63 8.3 9. 22 10. 1211. 21n a n =- 12.6 13.9 14. 615.解：（1）若1a =，不等式为2540x x -+< ，解得p ：14x <<，．………2分由(2)(5)0x x --<，解得q ：25x <<，．……………4分 若 为真，则 真且 真，所以实数 的取值范围是24x <<．……………6分（2）由22540x ax a -+<，由0>a ，解得p ：4a x a <<．……………8分若p 是q 的必要不充分条件，则q p ≠⊂，……………10分又q ：25x <<，所以由245a a ≤⎧⎨≥⎩，得524a ≤≤. ……………14分16.解：（1）依据题意，得方程210ax bx +-=的两个根为3和4，……………2分 由根与系数的关系，得34b a +=-，134a -⨯=（或把3和4带入方程求解），解之得17,1212a b =-=，所以12a b +=……………6分 （2）由1a =-，则210x bx -+-≥，得210x bx -+≤，①由△=240b -<，22b -<<，不等式解集为∅；……………8分②由△=240b -=，得2b =±，不等式解集为{}2b x x =……………11分③由△=240b ->，得22b b ><-或，不等式解集为2244{}b b b b x x --+-≤≤. ……………14分17.解：(1)由题意，汽车第n 年的修理费为0.1(1)0.20.20.1n n +-=-…………1分则[]()16.90.90.10.30.5(0.20.1)f n n n =+++++⋅⋅⋅+-……………2分[]0.1(0.20.1)16.90.92n n n +-=++20.10.916.9n n =++（n N *∈）. ……………6分(2) 由题意该车使用n 年平均费用为2()0.10.916.9f n n n n n ++=16.90.10.9n n =++……………8分 16.90.10.9n n≥⨯2 1.690.9= 3.5=……………11分 当且仅当16.90.1n n=时取“=”，即13n =.……………13分 答：这种汽车使用13年报废最合算. ……………14分18.解：（1）由3124a a d =+=，58121115a a a d +=+=,得12,1a d ==，……………2分则1(1)1n a a n d n =+-=+.……………4分 (2)由题意1(1)(2)n b n n =++1112n n =-++…………6分 11111111()()()()23344512n S n n =-+-+-+⋅⋅⋅+-++1122n =-+，又由于n N *∈，所以102n >+，111222n S n =-<+ …………8分（3）由1(1)4n n b n +=+⨯，123n n T b b b b =+++⋅⋅⋅+,2341243444(1)4n n T n +=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅++⨯①3412424344(1)4n n n T n n ++=⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯++⨯②…………10分①-②得231232444(1)4n n n T n ++-=⨯++⋅⋅⋅+-+⨯2231234444(1)4n n n T n ++-=+++⋅⋅⋅++-+⨯2224(14)34(1)414n n n T n +--=+-+⨯-2322()433n n +=-+⨯所以2232()4399n n n T +=+-.…………16分19. （1）解：由题意得, 125,2a d ==, 101225a =……………………2分=,……………………4分 所以100S5=……………………6分 （2）证:令1n ==,则p =1……………………(7分)所以1nn i S ==（1）111n n i S ++==（2）,（2）—（1）,,化简得121(1)(1)n n n a na a n +++-=≥（3）………………………………12分231(2)(1)(1)n n n a n a a n +++-+=≥（4）,（4）—（3）得1322(1)n n n a a a n ++++=≥ …………15分在（3）中令1n =,得1322a a a +=,从而{}n a 为等差数列………………16分 20. 解：（1）由于4b 2＝3b 1＋b 3，即4×9+3d 2＝3(6＋d )＋12+6d3， 解之得，d=4．…………6分（2）由1111(1)2(1)(1)2(1)t t r r a q b t t q a q b r r q ++-+-==-+-，则1111,(2)(2)t r q q t t r r ++--=++……………7分 设11()n(n 2)n q f n +-=+，2n ≥，12[(1)2(2)3]23(1)()(1)(3)(2)n q q n q n n f n f n n n n n +-+--+++-=+++·········9分由2,2n q ≥>，则22(1)2(2)3310q n q n n -+-->-≥>， 所以(1)()0f n f n +->，即()f n 单调递增，·····················11分则当2r ≥时，2t r >≥，则f (t )＞f (r )，即1111(2)r(2)t r q q t t r ++-->++，这与1111(2)r(2)t r q q t t r ++--=++相互冲突．所以r ＝1，即1211(2)3t q q t t +--=+．··································13分若t ≥3，则f (t )≥f (3)＝4222111115353q q q q --+-=⋅>，即1211(2)3t q q t t +-->+，与1211(2)3t q q t t +--=+相冲突．于是t ＝2，所以321183q q --=，即3q 2－5q －5＝0．……………15分 又q ＞2，所以q……………16分。