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有 σ (α ) + σ ( β ) = σ (α + β ) ∈ σ (V )
kσ (α ) = σ ( kα ) ∈ σ (V )
即 σ (V ) 对于V的加法与数量乘法封闭 对于 的加法与数量乘法封闭. 的加法与数量乘法封闭
∴ σ (V ) 为V的子空间 的子空间. 的子空间
1 再看 σ (0).
§7.6 线性变换的值域与核
是线性空间V的一组基 的一组基, 例3,设 ε 1 , ε 2 , ε 3 , ε 4 是线性空间 的一组基,已知 ,
1 0 1 2 线性变换 σ 在此基下的矩阵为 A = 1 2 1 2 2 1) 求 σ (V )及 σ (0).
1
1 1 3 5 5 1 2 2
dim σ (V ) = n σ (V ) = V
σ 是满射 是满射.
§7.6 线性变换的值域与核
A2 = A, 证明:A相似于 是一个n阶方阵 证明: 相似于 例2,设A是一个 阶方阵, , 是一个 阶方阵,
一个对角矩阵
1 O 1 0 O 0
维线性空间V的一个线性变换 证:设A是n维线性空间 的一个线性变换 σ 在一 是 维线性空间 下的矩阵, 组基 ε 1 , ε 2 ,L , ε n 下的矩阵,即
一,值域与核的概念
定义1 是线性空间V的一个线性变换 的一个线性变换, 定义 :设σ 是线性空间 的一个线性变换,
集合
σ (V ) = {σ (α ) | α ∈ V }
称为线性变换 的值域, 称为线性变换 σ 的值域,也记作 Im σ , 或 σ V . 集合
σ (0) = {α | α ∈ V ,σ (α ) = 0}
( 0,0,0,0 ) .
故
1 0 1 2 1 2 2 2
1 x1 0 1 3 x2 0 = 5 5 x3 0 x 1 2 4 0 2
§7.6 线性变换的值域与核
解此齐次线性方程组,得它的一个基础解系: 解此齐次线性方程组,得它的一个基础解系:
§7.6 线性变换的值域与核
2. 设 σ 为n 维线性空间 的线性变换,则 维线性空间V的线性变换 的线性变换,
σ 的秩+ σ 的零度=n 的秩+ 的零度=
即
dim σ (V ) + dim σ 1 (0) = n.
σ 的零度等于 ,在核σ 1 (0)中取一组基 证明: 证明:设 的零度等于r ε 1 , ε 2 ,L , ε r
σ (ξ ) = x1σ (ε 1 ) + x2σ (ε 2 ) + L + xnσ (ε n )
∈ L ( σ (ε 1 ),σ (ε 2 ),L ,σ (ε n ) )
即 σ (V ) L (σ (ε 1 ),σ (ε 2 ),L ,σ (ε n ) ) 又对 x1σ (ε 1 ) + x2σ (ε 2 ) + L + xnσ (ε n ) 有
σ ( kα ) = kσ (α ) = k 0 = 0, α + β ∈ σ 1 (0), kα ∈ σ 1 (0), 即
k ∈ P
∴ σ (0) 对于 的加法与数量乘法封闭. 对于V的加法与数量乘法封闭 的加法与数量乘法封闭
1
的子空间. 故 σ (0) 为V的子空间 的子空间
1
§7.6 线性变换的值域与核
x1σ (ε 1 ) + x2σ (ε 2 ) + L + xnσ (ε n ) = σ ( x1ε 1 + x2ε 2 + ... + xnε n ) ∈ σ (V )
§7.6 线性变换的值域与核
∴ L (σ (ε 1 ),σ (ε 2 ),L ,σ (ε n ) ) σ (V ).
因此, 因此,σ (V ) = L (σ (ε 1 ),σ (ε 2 ),L ,σ (ε n ) ) .
故有 α ∈ σ (V ), σ (α ) = 0 当且仅当 α = 0. 因此有 σ (V ) I σ (0) = {0}
1
σ (V ) + σ 1 (0) 是直和 . 从而
dim σ (V ) + dim σ 1 (0) = n 又
1 所以有 V = σ (V ) ⊕ σ (0).
§7.6 线性变换的值域与核
则有 σ ( kr +1ε r +1 + L + knε n ) = 0
∴ ξ = kr +1ε r +1 + L + knε n ∈ σ 1 (0)
线性表出. 即ξ 可被 ε 1 , ε 2 ,L , ε r 线性表出
§7.6 线性变换的值域与核
设 ξ = k1ε 1 + k2ε 2 + L + kr ε r 于是有 k1ε 1 + k2ε 2 + L + kr ε r , kr +1ε r +1 L knε n = 0 的基. 由于为 ε 1 , ε 2 ,L , ε n V的基 的基
所以D的秩为 - , 的零度为 的零度为1. 所以 的秩为n-1,D的零度为 的秩为
§7.6 线性变换的值域与核
二,有关性质
1. (定理 定理10) 设 σ 是n 维线性空间 的线性变换, 维线性空间V的线性变换 的线性变换, 定理
ε 1 , ε 2 ,L , ε n 是V的一组基, σ 在这组基下的矩阵是 , 的一组基, 在这组基下的矩阵是A, 的一组基
∴ k1 = k2 = L = kn = 0
性无关, 的一组基. 故 σ (ε r +1 ),L ,σ (ε n ) 线 性无关,即它为σ (V ) 的一组基
∴ σ 的秩=n-r . 的秩= -
因此, 的秩+ 的零度= 因此,σ 的秩+ σ 的零度=n.
§7.6 线性变换的值域与核
注意: 注意:
σ (V ) 与 σ 1 (0) 的维数之和等于 ,但是 的维数之和等于n 虽然
则 1) σ 的值域 σ (V )是由基象组生成的子空间,即 ) 是由基象组生成的子空间,
σ (V ) = L (σ (ε 1 ),σ (ε 2 ),L ,σ (ε n ) )
2) σ 的秩=A的秩 ) 的秩= 的秩 的秩.
§7.6 线性变换的值域与核
证:1) ξ ∈ V , 设 ξ = x1ε 1 + x2ε 2 + L + xnε n , ) 于是
2) 在 σ (0)中选一组基,把它扩充为V的一组基, 的一组基, 中选一组基,把它扩充为 的一组基 在这组基下的矩阵. 并求 σ 在这组基下的矩阵 3) 在 σ (V ) 中选一组基,把它扩充为 的一组基, 中选一组基,把它扩充为V的一组基 的一组基, 在这组基下的矩阵. 并求 σ 在这组基下的矩阵
σ 2)由1), 的秩等于基象组 σ (ε 1 ),σ (ε 2 ),L ,σ (ε n ) ) ),
的秩, 的秩,又
(σ (ε 1 ),σ (ε 2 ),L ,σ (ε n ) ) = (ε 1 , ε 2 ,L , ε n, ) A.
由第六章§ 由第六章§5的结论3知, σ (ε 1 ),σ (ε 2 ),L ,σ (ε n ) 的秩 结论 知 等于矩阵A的秩 等于矩阵 的秩. 的秩 ∴ 秩(σ ) =秩 ( A).
§7.6 线性变换的值域与核
σ 1 (0). 设 ξ ∈ σ 1 (0), 它在 ε 1 , ε 2 , ε 3 , ε 4 解:1)先求 )
下的坐标为 ( x1 , x2 , x3 , x4 ). 由于 σ (ξ ) = 0, 有 σ (ξ )在 ε 1 , ε 2 , ε 3 , ε 4 下的坐标为
1
称为线性变换 的核, 称为线性变换 σ 的核,也记作 ker σ .
σ (V ), σ 1 (0)皆为 的子空间 皆为V的子空间 的子空间. 注:
§7.6 线性变换的值域与核
事实上, 事实上, σ (V ) V ,σ (V ) ≠ , 且对
σ (α ),σ ( β ) ∈ σ (V ), k ∈ P
并把它扩充为V的一组基: 并把它扩充为 的一组基:ε 1 , ε 2 ,L , ε r ,L , ε n 的一组基
σ 由定理10, 由定理 , (V ) 是由基象组 σ (ε 1 ),σ (ε 2 ),L ,σ (ε n )
生成的. 生成的
§7.6 线性变换的值域与核
但 σ (ε i ) = 0,
第七章 线性变换
§1 线性变换的定义 §2 线性变换的运算 §3 线性变换的矩阵 §4 特征值与特征向量 §5 对角矩阵 §6 线性变换的值域与核 §7不变子空间 §8 若当标准形简介 §9 最小多项式 小结与习题
§7.6 线性变换的值域与核
一,值域与核的概念 二,值域与核的有关性质
§7.6 线性变换的值域与核
σ ( ε 1 , ε 2 ,L , ε n , ) = (ε 1 , ε 2 ,L , ε n , ) A
§7.6 线性变换的值域与核
A2 = A, 知 σ 2 = σ . 由
任取 α ∈ σ (V ), 设 α = σ ( β ), β ∈ V ,
σ (α ) = σ (σ ( β )) = σ 2 ( β ) = σ ( β ) = α 则
i = 1,2,L , r .
∴ σ (V ) = L (σ (ε r +1 ),L ,σ (ε n ) )
的一组基, 下证 σ (ε r +1 ),L ,σ (ε n ) 为σ (V ) 的一组基,即证它们 线性无关. 线性无关 设
kr +1σ (ε r +1 ) + L + knσ (ε n σ 的值域σ (V ) 的维数称为σ 的秩;
